2018年11月11日 (日)

明日か明後日 入院します。

表題のとおり。ベッド空きの知らせがあり次第。12日か13日だと思いますが,お茶の水の順天大形成外科病棟に入院予約中です。。

PS:今13日の朝です。

昨日病院に問い合わせたらまだ空きがないらしく自宅待機です。

もう7日から訪問の医師と看護師により朝夕2回,抗性物質の点滴を受けて感染症による敗血症での死亡を抑えていますが,なぜか抗生物質点滴開始からリンパ線の腫れ?のよに首,頭,脇など痛みが続いて痛み止めで抑えてますが苦しいです。

早く病巣の左足親指が除去されるのを望んでいます。

もう自宅での入院準備はできてます。。。

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2018年10月29日 (月)

記事リバイバル⑤(量子通信(続::神はサイコロ遊びをなさる))

※ リバイバル記事第5弾!!同じ日にアップした前記事の続きです。

量子コンピュータの話をしたので,ついでに量子通信の可能性について述べておきましょう。

一般に情報の伝達速度は最高でも真空中での"電波=電磁波"の速さでしかない,つまり光速以上の速さでは意味のある物や事は伝わらないというのが現代の常識です。

光速を超える速さの粒子としては,かつてオーストラリアの学生だったか?が,後にタキオン(tachyon)と名付けられた超光速粒子を発見したというニュースがあったらしいです。

 

しかし,それを追検証しようと当時の人々が努力したにも関わらず,結局再び観測することはできず,結局,幻の粒子とされたという経緯があったと聞きます。

タキオンというのは,日本では競馬の馬の名前にもなりましたが,もしそうした粒子が存在すれば,それは虚数質量を持ち,決して止まることはできず必ず光速以上の速度を持っていて,加速しようとエネルギーを与えると逆に減速してしまうという奇妙な粒子(ロバ粒子?)です。

 

それに,虚数質量というのは物理的にはどういう意味なのかもわかっていません。

かつて,日本で唯一?のハードSFの作家であり遅筆で有名な堀晃(ほりあきら)氏の短編小説集で「太陽風交点」とか「恐怖省」とかというのを読みました。

 

その中ではよくタキオン通信というのが描かれていて,担当者はその通信をした代償として記憶喪失になる,というのがありました。

 

実際,タキオンがあると"巨視的因果律=結果は必ず原因よりも後に起こる。"という自然現象の基本原理が破れてしまうので記憶喪失というのはよくできた設定だと思います。

一方,量子通信というのは,別にタキオンを利用するわけではなく(そもそもそんなものは今のところ存在が確認されていません。),量子力学の非局所性(non-locality)を利用するものです。

つまり,量子テレポーテーションという言葉もあるように,量子力学では2つ以上の場所に同時に存在できるわけです。

 

しかし,これは相対論にも反することで先に述べた巨視的因果律にも違反します。

 

かつて,アインシュタイン(A.Einstein)らは「EPRのパラドックス(Einstein-Podolski-Rosen paradox)」という思考実験を提示し,量子論の一般的解釈は相対論(特に因果律)に矛盾するから間違っている,と主張しました。

これについては,記号論理学で成り立つベルの不等式(Bell's inequality)が,"量子論的なブール代数=量子論理"では破れるということがわかっていたのですが,そのことを実際に実験で確かめることで決着が付きました。

 

それは1980年代に実施されたアスペ(Aspect)の実験などの種々の実験の結果でした。この結果,アインシュタインらの主張が斥けられて彼らの敗北という結果になったわけです。

 

やはり,神はサイコロ遊びをなさる。(God does play dice.)というのが正しかったのですね。

量子論では2つの場所に同時に存在できるわけです。

 

粒子といえども完全に粒子ではなくて拡がりのある波(wave)でもあるわけですから,これは決して不思議ではなく,同じ1つの波の一部がそれぞれ確率的に東京と大阪に同時にあっても不思議ではないわけです。

 

極端にいえば,ハイゼンベルク(Heisenberg)の不確定性原理により,"速度の確定した1つの波=平面波"であれば同一の確率で全宇宙のあらゆるところに同時に行き渡っているということになります

量子論の方程式であるシュレーディンガー方程式(Schrödinger equation)は自由粒子の場合には,いわゆる古典的拡散方程式の時間という実数パラメータを純虚数時間に置き換えれば得られるものです。

 

そもそも拡散方程式は,放物型の偏微分方程式であるということもあって,解は波(波動)とはならず,拡散現象は相対論を破る非局所的な解をもたらす方程式です。

 

つまり,拡散は光速よりも速く影響が瞬時に伝わるという定式化になっています。(アメリカ大陸の西海岸で大地震が起きると,タイムラグもなく即座に日本の海岸で津波が起きるというような方程式です。)

この拡散方程式の時間を虚数にして得られるものがシュレーディンガー方程式ですから,その解が非局所的でテレポーテーションが可能なことを示し,巨視的因果律を破るものであるとしても不思議ではないわけです。

 

しかし,虚数を入れたため放物型方程式なのに解は波動になります。

 

シュレーディンガー方程式を特殊相対論と結合したディラック方程式(Dirac equation)においても状況は同じです。

 

ただ解である波動関数,あるいは確率波は直接観測にかかる量ではないので,その意味では因果律を破るとは言えないかもしれません。

相対論を含む現代の量子論では,巨視的因果律は破れても微視的因果律は破れてはいません。

 

後者は"空間的(space-like)に離れた2時空点における物理量の交換関係はゼロである,つまり物理的に無関係である。"というものです。

 

空間的に離れた2時空点というのは,光速信号でつなぐことが不可能な2つの事象(出来事)のことです。

だから,情報伝達が可能であるかどうか?という意味では量子論の非局所性は実用的ではないのではないか?

 

(つまり,たとえ東京と大阪のように離れていても相関(EPR相関)のある情報であっても,それとは別に東京で得た情報を即座に大阪に伝えられる実用的手段がないなら個々独立に情報を得るのと同じで,一方で得た情報を超光速で情報を知らない他方に伝えるという意味はない。)

 

と私は思っていたのですが,量子コンピュータと同じくそうした問題はクリアされる道があるらしいということです。

 

ただ,それについては,私はまだ上に述べてきた認識があるくらいで十分な知識を仕入れているわけではありません。

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記事リバイバル④(公開キー暗号(神はサイコロ遊びをなさる))

※ リバイバル記事第4弾!!2006年5/4の量子エンタングルメント関係の記事の再掲載です。

先ほど「パズル・パレス(迷宮)(The Puzzle Palace)」という暗号の解読に関わる小説を読み終えたところです。

 

 これは「ダヴィンチ・コード(The Da Vinci Code)」というベストセラー小説を書いたダン・ブラウン(Dan Brown)の処女作です

 

 確かに両方の著書はよく似ています。この著者は小説の中に自然科学とか数学とかを神秘的なテーマとして含ませるのが特徴のようです。

小説「パズル・パレス(迷宮)」の中では暗号特に公開鍵(キー)暗号の話がよく出てきます。

 

この暗号はアメリカの中央情報局(C.I.A)などが実際に使っているらしく,現状では事実上解読不可能なものですが,もしも後述するような量子コンピュータができたなら解読できるだろうと予測されるものです。

公開キー暗号,特にRSA式公開キー暗号について私が興味を持ったのは,シルヴァーマン(J.H.Silverman)著の「はじめての数論」という整数論の本を,一昨年だったか昨年だったかに読んで,その中に書かれていた内容からそれを知ったのがきっかけでした。

 

この本は,私がスタッフをやっている「ニフティ・物理フォーラム(@nifty Fphys)」の母胎の「ニフティ・サイエンスフォーラム(nifty-serve FSCI)」の数学会議室で長年の間,"議長=世話役"をやっておられ,ホームページに移った後もスタッフとして残っておられる「プークさん=鈴木治郎氏」が翻訳されたものです。

 

RSA式公開キー暗号は,いわゆる合同式に関する方程式を解くことで解読するものです。そこでまず,合同式というのはどういうものか?ということから説明しましょう。

 

a,bを整数の組として,a≡b(mod 7)のように書かれた式を合同式といいます。この記号は,"7を法(modulo)としてaはbと合同である。"と読みます。

 

そして,a≡b(mod 7)は,"aとbをそれぞれ7で割ったとき,それらの余りが全く同じである"ことを意味します。例えば,6≡20(mod 7),6≡-1(mod 7),103≡68(mod 7)...ということになります。

 

言い換えると,a≡b(mod 7)というのは,"aとbの差:(a-b)が7で割り切れるとき,そのときに限ってaとbは合同である。"という意味ですね。法(modulo)は7とは限らず,一般に,8≡41(mod 3),222≡57(mod 11)などと書けます。

RSA式暗号では,"複雑な合同式x131758(mod 1073)を満たす最小の自然数xを求めよ。"というような合同式の方程式を解くことが暗号解読につながります。

 

この合同式の方程式x131758(mod 1073)をどうやって解くのかについては,話が長くなるので省略しますが,要するに1073をすべて素数の積に素因数分解できればこれを解くことができます。

素因数分解というのは,例えば120=2×2×2×3×5というように,左辺の120を全てが素数の積に因数分解することを言います。もちろん,素数(prime number)とは1以外で自分自身と1以外に約数を持たない自然数のことです。

1073の場合は,素因数分解が1073=29×37だということは容易にわかるので,その結果としてx=905と計算できるわけです。つまり,905131 758(mod 1073)という式が成立します。

例えば,xk ≡y (mod m)という合同式において,予めk=79921,m=163276821という値を知っていて,右辺のyとして5つの数のリスト:(145387828,47164891,152020614,27279275,353564912)が暗号として送られてきたとします。

 

これらの最初の数:y=145387828についての方程式79921 ≡145387828 (mod 163276821)の解xを求めるには,mがm=163276821=12553×13007と素因数分解できることがわかる必要があります。

 これがわかっていれば,解読結果として,x=30182523が得られます。

 

 そして5つの暗号数yについて全て解いて,その結果のxの値を2桁毎に分けて順に並べます。x=30182523は,30 18 25 23と並べられます。

 

 5つの解xの全てについて並べたものは次のようになります。

 30 18 25 23 26 29 25 24 19 29 19 24 30 28 25 31 12 22 15

ですね。

 

 これらの数に,アルファベット(Alphabet)を対応させて当てはめれば,暗号は解読されます。

 一般に,11=A,12=B,13=C,....36=Zというように2桁の数にアルファベットを対応させるのが普通です。

 

 これを行うと,上記暗号は,

  T H O M P S O N I S I N T R O U B L E

つまり,"Thompson is in trouble."(トンプソンがトラブルにあっている)と解読されるわけです。

  しかし,暗号というのは他人に解かれては困りますが,本人には解けないと困ります。

 

 そこで,暗号を解いて欲しい人だけに,m=163276821については鍵(key:キー)として,"163276821が12553と13007の積に素因数分解できる。"ことを教えておくわけですね。

 

 具体的には,暗号は解くプロセスをコンピュータにプログラムしておき,キーとyのリストを入力すると直ちにxのリストが計算されて文章に変換された解読結果が得られるようにしておくわけです。

 m=163276821の素因数分解程度なら,大した労力もなくできるので,これは暗号としての意味を持ちません。

 

 しかし,mの桁を200桁とか400桁とかにしておくと,現在のコンピュータでは因数分解に何年か何十年かがかかるはずなので,それで解けたとしてももはや暗号としての価値はなくなっていることになります。

 

 そこでキーを持っている人だけに通じる秘密となります。これが公開(キー)暗号の一つRSA暗号の仕組みです。

 

 では,具体的にコンピュータでmの素因数を見つけるというのはどうすればいいのでしょうか? それは,もちろん単純には2から順にmを割っていって1つ1つ割り切れるかどうかを調べればいいのですが。。

 

 でも例えば 613という整数が何かの整数で割り切れるかどうか,を調べるのに2から 612まで600回程度も割り算をする必要はありません。

613は25×25=625よりも小さいので,仮に613が何かの整数で割り切れるとすると,それはまず2つの整数の積に表わせるはずですが,その2つの整数のうち,一方は必ず25以上で他方は25以下です。

 

そこで,2から25までの間の数で割り切れないなら,これの素因数はない,つまり613は素数であるということになります。

 

実際にはこれより効率のいい素因数探しのアルゴリズム(algorithm)もあるとは思いますが,基本的には8桁まで,つまり1億までの数が素数かどうかを調べるとか,その素因数を全て探すとかが目的なら,"せいぜい4桁の試行回数=1万回の割り算"をするだけでいいことになります。

しかし,もしmが200桁ならどうでしょうか。基本的には1から100桁までの全ての数で試行錯誤して割り算をやって余りがでるかどうかを検算する必要があります。

 

これは現在のコンピュータでも莫大な計算量なので,工夫しても何年かはかかるでしょう。というわけで,事実上解けない暗号ということになるわけです。

 

もっともパスワード(password)である"素因数=鍵(キー)そのもの"を盗まれたら意味はないわけですけどね。

ところが,いまの工学(technology)の世界では,現在のコンピュータの計算時間をはるかに縮めることができる"量子コンピュータ"という可能性があります。例の小説の中では既にこれが完成して実用化されていて世界中の暗号が無力化されたことになっています。

 

しかし,実際には,まだ量子コンピュータは,せいぜい数桁の因数分解に成功したというレベル(level)にしか到達してないらしいです。

 

しも,量子コンピュータが完成すれば,それは現在のコンピュータが何年,何十年とかかる計算を,因数分解などの計算の種類によっては数秒,数分で解いてしまうということになります。

 

今の暗号は役に立たないことになり,新しいものを考え出す必要にせまられるでしょう。

 

そもそも,コンピュータといのは,数でいえば全ての数を2進法で表わす,つまり1と 0 だけで表わすことが基本になっています。0 は 0 ,1は1,2は10,3は11,4は100,5は101,6は110,という感じです。

 

このときの1と 0 で表わされた各桁をビット(bit)といいます。また,面倒なので,ビットが8桁集まったものをまとめてバイト(Byte)と呼びます。

これを利用すると,片手の指だけで 0 から 31まで32個の数をカウントすることができます。手を開いた状態が 0 ,親指を折ると1,人差し指を折って親指を元に戻して立てると2,人差し指と親指を折ると3,中指まで使うと7まで数えられます。

 

指が1本増えるごとに折った状態と立てた状態の2通りがあるので数えられる数の個数は2倍に増える,というわけです。片手を握った状態は31ですね。

 

このことから,両手を使うと 0 から1023まで数えられる,ことになります。足の指を折るのは大変ですが,もしも可能なら手足の指は全部で20本あるので 0 から(1024×1024-1)まで,実に100万以上まで数えることができます。

手足の指:20ビットだけでもそこまで数えられるのですが,現在のパソコンの最先端には64ビットのマシンというのもあって,それだと整数だけでも莫大な数(264-1)まで数えられるということがわかります。

 

コンピュータの具体的な計算には,媒体(メディア)としてメモリーとか,時には大容量のディスクなども利用しますが,基本的に一度にバサッと足し算や掛け算などの演算をするものは,32ビットマシンなら2進法で32桁,64ビットマシンなら2進法で64桁くらいのレジスターと呼ばれるものです。

電気回路的には,"通電=(電流が流れている状態)がon=1"で,"(電流が流れていない状態)がoff=0 "であり,これによって電流で数:1,0 を表現することができます。

 

これをうまく組合わせれば,全ての数を表わすこともできるのです。

 

さらには論理回路といって,いわゆるブール代数の論理を表現する電気回路もコンピュータの中に構成されています。

 

だいたい,"NOT=(否定)"という回路があればほとんどの論理を表現できます。"NOT=(否定)"というのは1がくれば 0 を, 0 がくれば1を返す論理回路です。

 

例えば"YES=(肯定)"なら,"NOT=(否定)"を2つ直列に並べればいいわけです。逆に"YES=(肯定)"だけの回路からはどうしても"NOT=(否定)"をつくることはできません。

ですから,例えばコンピュータの内部で割り算の試行錯誤を行なう場合,1ビットなら 0 の場合と1の場合の2通りを行うのですから最低2回の計算をする必要があるわけです。

 

そして2ビットなら4回,3ビットなら8回というように計算回数はネズミ算的に増加していきます。

 

そこで,単純に考えても200桁の数 ~ 10200なら,10100回,つまり約3300ビット=23300回くらいの計算回数が必要ということになり,コンピュータの能力をもってしても莫大な計算回数となって事実上不可能になるわけです。

ところが,量子コンピュータのアイデアはブール代数の単純な論理では表現できない量子力学に従う論理回路を利用することで,計算のスピードが飛躍的に上昇して,こうした時間的限界を突破できるというものです。

 

かつて,アインシュタイン(A.Einstein)は,"神はサイコロ遊びをなさらない。"とか,"神はサイコロを振らない。"(英語では"God does not play dice.")とか述べたと言われています。

 

これこそは"アインシュタイン生涯最大のあやまち"です。実際は"神はサイコロ遊びをなさる。(God does play dice.)"というのが正しいのです。

 

これについては後で量子通信について述べるときに詳しく説明しますが,"神がサイコロ遊びをする。"というのは量子力学の1つの真髄を示す言葉です。

現在のコンピュータというのは 0 の場合と1の場合で"2通り=2回の計算"が必要なわけですが,これが1回で済めば結局,"何桁=何ビット"であろうと1回の計算で済むわけですから,計算時間は飛躍的に短くなることは自明です。

 

これを実現しようというのが量子コンピュータという概念ですね。

量子論というのは全ての事象(event)は確率的にしか存在できない,つまり"粒子といえども実は存在する確率というものの波=確率波 or 量子(quantum)"でしかない,というものです。

ですから,確実に 0 である,とか確実に1であるとかいう確率として100%の状態ももちろんあるのですが,0 と1が半分ずつの確率で存在しているような中途半端な重ね合わせ状態も存在可能なわけです。

 

したがって,最初から確実に 0 であるとか1であるとかではなく,0 と1の両方の可能性を持つ状態を入力信号として入力すれば,0 に対する結果と1に対する結果が重ね合わされたものとして出力されるはずというのが,量子コンピュータの基本的なアイデアです。

 

つまり,入力信号の 0 である状態と1である状態のそれぞれの確率を示す係数さえ知っていれば,結果もその割合の重ね合わせで出力されるので,その結果, 0 の場合と1の場合の計算結果を並列して同時に得ることが可能になるのです。

 

しかしながら,技術的には,まだ色々な問題点があるので実用化には到っていないらしい,という話です。

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2018年10月27日 (土)

記事リバイバル③(一筆書き(トポロジー)入門)

※再掲載 第3弾!!2008年7/18の過去記事です。

今日は,また,頭の体操です。

 昔,ケーニヒベルクの橋(Königsberg bridge=seven bridge)という数学の問題がありました。

 「大きな河が流れていて,その中に中州のような島が一つあり,そこから少し下流で2本の河に枝分かれして,その間は陸地になっている。

 その島には両岸から2つずつと,枝分かれした2本の河の間の陸地から1つの合計5つの橋がかかっており,分かれた2本の河にもそれぞれ陸地と岸との間に1つずつ橋があって,合計7つの橋がかかっている。

 この7つの橋をちょうど一回ずつわたる道筋があるのかどうだろうか?」という問題でした。(下図)

           

 これはスイスのオイラー(Euler)によってはじめて解かれた問題で,これがトポロジー(位相幾何学)という幾何学の始まりであるとされています。

 まあ,「平たく言えばある図形について一筆書きができるかどうか?」という問題です。

 一般に連結した図形,つまりどこかで必ず線でつながっていてところどころ交差した頂点になっているような図形についてのこうした問題はオイラーによって既に結論が出されています。

 こうした図形のどの頂点にも必ず,それにつながる線が何本かあるわけですが,対象としている図形が一筆書きできるものなら,着目した頂点が出発点でも終点でもない場合,それに"つながっている線=連結線"の数は必ず偶数になります。

 こうした連結線が偶数の頂点を偶頂点と呼びます。

 なぜなら,一筆書きの途中の頂点では必ず,入ってくる線と出ていく線があって,それぞれ1回ずつしか通れない線ですから,それらは同じ本数だけなければならないため,その頂点につながる連結線の合計本数は偶数になるしかないわけです。

 しかし,出発点と終点では,それらがもしも同じ頂点でないなら,必ず入ってくる線か出て行く線かのどちらかが他方より1本多いわけですから,その頂点につながっている連結線の合計本数は奇数になります。

 これは連結線が奇数の頂点="奇頂点"です。

 そこで,出発点とか終点であるような頂点(奇頂点)は2つあるか? またはそれらが一致する場合,つまり1つだけあるか?のどちらかです。

 もしも,1つだけしかない場合は,その頂点でも入ってくる線と出て行く線の数は同数ですから,つながっている連結線の本数は偶数となり,このときは連結線の本数が奇数の頂点の数は まったくないことになります。

 というわけで,一筆書きができるかどうかは,"図に「連結線の本数が奇数である頂点=奇頂点」の個数がゼロであるか,2であるかのいずれかである。"ということになります。

 今得たのは,この条件が一筆書きができるための必要条件であることの証明ですが,これが十分条件であることもほぼ自明です。

 これでケーニヒスベルクの橋の場合は,奇頂点が4つ,偶頂点がゼロなので一筆書きできないということがわかりました。

 これはオイラーがはじめて証明したことです。(下右図はケーニヒスベルクの橋を模式図にしたものです。)

                         

 これから,オイラー数の公式などに始まるトポロジーという幾何学が生まれ,フランスのポアンカレ(Poincare')などによって発展させられてゆきました。

 解決したとかいうニュースもあったと思うのですが,そうなのかどうかはっきりしないポアンカレ予想(Poincare' conjecture)という問題などが有名なトポロジーの問題として残っています。

 ポアンカレ予想とは「単連結な3次元閉多様体は3次元球面に同相である。」というものです。

 多様体というのは通常のわれわれのユークリッド世界の点,曲線,曲面,立体とかいうものを一般次元でかつ非ユークリッドなものに拡張したものの総称です。もちろん,われわれの目に見える形あるものも多様体の一種です。

 同相あるいは同位相というのは,一方から他方へとある連続写像でお互いに完全に1対1で重なって移すことが可能である,という意味で,合同という概念とは異なり,形や大きさにはこだわらないという特殊な幾何学的概念です。

 単連結なとは,言ってみれば穴が開いていないという意味ですね。また閉多様体であるとはいわゆる閉曲面のように閉じているという意味です。

 われわれの世界の球面は3次元空間の中に埋め込まれた2次元球面であり,3次元球面というのは4次元以上の「空間=多様体」の中に抽象概念として仮想したものです。

 われわれの単連結な2次元閉曲面が普通の2次元球面と同相なのは一見して明らかなことなので,3次元だと何故むずかしいのかは数学の専門家ではないのでよくわかりません。

参考文献:瀬山士郎 著「トポロジー(柔らかい幾何学)」(日本評論社)

PS:「ポアンカレ予想」はロシアの数学者グレゴリー・ペレルマン(Grigory.Y.Perelman)氏によって2003年に提出されていた証明論文が2006年7月に査読を通過した,ということで解決されました。

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記事リバイナル②(台風の進路(コリオリの力))

※再掲載第2弾!!2006年8月16日の記事です。

そろそろ台風が頻発する季節になりました。

 今日は,北半球では赤道付近で発生し,海域から多量の水分やエネルギーを吸収しながら発達して北上する台風が,なぜ右(東)の方に進路を変えていくのか?

 そして,なぜ上空から見て左巻き(反時計回り)の風が吹くのか?

 という,ごくありふれた疑問について解説してみます。

 例として,ちょっと古いけど左回転しているLPレコードがあり,その上に"一寸法師"よりも小さい小人が乗っているという仮想的な状況を考えてみます。

(↑左回転は仮定であり,実際のLPレコードは,裏から見ない限り右回転(時計回り)です。)

 レコードの中心は地球の北極に相当し,レコードの最大半径の部分は地球の赤道に相当します。

 

 まず,レコードの回転している"最大半径=赤道"の上にいる小人が"レコードの中心=北極"めがけて真っ直ぐに小石を投げたとします。

 本人は真っ直ぐ中心に向かって投げたつもりでも,小石が手を離れた瞬間には慣性によって小石はレコードの回転スピードと同じ速度で右に向かう接線速度を持ちますから,実はそれは中心の方向に向かって真っ直ぐに飛ぶのではなく て,次第に右の方に逸れていくということになりますね。

 ↑ここで右というのは,小石を投げた小人にとっての右です。(わかってるとは思いますが念のため)

 次に逆に"中心=北極"の上に小人がいて今度は"最大半径=赤道"めがけてやはり小石を投げたとします。

 今度は北極で小人は自転しているかもしれませんが,スピンの回転半径はゼロなので,その慣性による小石の左右方向への速度はゼロですから確かに"真っ直ぐ"進むはずです。

 ところが,レコードの上,つまり北半球の地球上にいる人は"左から右=西から東"に回転しています。その人から見ると"上=北"から真っ直ぐ飛んでくる小石は"下=南"から見て"左に左に(西に西に)"逸れていくように見えます。

 逆に"小石を投げた方=北"から見ると,見かけ上はやはり右の方に逸れていくわけですね。

 小石を台風だとみなし地球の自転の角速度をΩとすると Ωは"360度=2πラジアン(rad)"を24時間で回転する角速度です。

 地球の半径をRとし,緯度をθとすると,そこでの回転半径はRcosθですから,回転の接線速度はΩRcosθです。

 したがって"赤道"での接線速度は最大速度"ΩR=時速1667km=秒速463m"ですが,日本付近の緯度:θ=35度での接線速度は"ΩRcosθ=秒速379m"です。

 日本付近では回転速度が赤道より"約2割=秒速80m"程度減っています。

 したがって,赤道付近で発生した台風は地球のまさつにより"ΩR=時速1667km=秒速463m"の地球に引きずられて慣性による右向きの速度を持っていて,その右向き速度は北上しても全く変わらないものです。

 しかし,地球自身の回転速度は緯度が上がるにつれて次第に小さくなるものですから,日本付近では1秒間に80mくらいの割合で,右(東)へ右へと逸れていくことになるわけです。

 先に,LPレコードの例で述べたように仮に北極で台風が発生して南下したとしてもそれは右に逸れていきます。

 実は北半球ではどこから投げた石も見かけ上,右に逸れていくわけです。

 例えば,スナイパー:「ゴルゴ13」が1km遠方の標的を狙って狙撃しても,弾丸は僅かに右に逸れていくのでそれを勘定に入れて狙う必要があるわけです。

 もしも南半球なら逆に左に逸れるわけですね。

 こうした北半球で右にそれる現象は結局,遠心力などと同じく"見かけの力=慣性力"が働いていると考えることができて,それを発見者の名前にちなんでコリオリ(Coriolis)の力といいます。

 次に,北半球での台風を考えると,台風ですから"中心=目の部分"の気圧が最低でまわりの気圧は目の部分のそれより高いわけです。

 風はどのように吹くか,というと水が高いところから低いところへと流れるように,風も気圧の高いところから低いところ目指してその気圧のスロープに沿って吹いていきます。

 もしもコリオリの力がなければ,風は"外周部から中心に向かって一直線に進む=落下していく"はずなのですが,コリオリの力によって気圧のスロープも右にねじれてしまっています。

 それ故,風は外周部から中心に向かっていくときに,右にフックして逸れていきながら,最後は中心の気圧最低の目に向かっていくことになり,そのために左巻き(反時計回り)になるのです。

 南半球での台風は逆に右巻き(時計回り)ですね。

 どこかの"バカな大学教授"が風呂の水が排水口へと流れていき排水されるときに,北半球では左巻き(反時計回り)だが,赤道を越えて南半球に入ったとたんに右巻き(時計回り)に変わる,"と主張したと聞きましたが,それは誤りですね。

 風呂の水程度の規模では地球自転の影響などは出てきません。

 たまたま排水口付近で左巻きの角運動量を持っていたら左巻きになり,逆なら右巻きになるというだけで,それはカオス現象,偶然の産物にすぎません。

 しかし台風くらいの規模になると地球の自転がもろに効いてきます。

 遠心力の加速度は緯度θでΩ2Rcosθですから,最大でも重力の加速度の0.3%程度です。

 北極で体重100kg重の人が赤道で体重を測っても300g重くらいしか軽くはなりません。

 一方,コリオリの力の加速度は台風の北上速度をvとして2Ωsinθ×vです。

 Ω=7,2×10-5/sですから,緯度θが35度で台風の北上速度が100mを10秒で走る程度の時速36km程度なら,加速度a=8.3×10-4m/s2であり,重力g=9.8m/s2の約0.01%程度です。

 そこで,コリオリの力の加速度は,最大で重力加速度の0.3%程度しかない遠心力のさらに1/30程度にすぎません。

 しかし,台風程度の規模だとそれがかなり効いてきます。

 地球自転の証拠であるとされるフーコー(Foucault)の振り子をこのコリオリ力で説明することもできます。

 ニュートン(Isac Newton)は"慣性系の同等性=ガリレイの相対性原理"は認めても"回転系を含む非慣性系の同等性=マッハ(Mach)原理 → 一般相対性原理"を認めることをあきらめました。

 そして,彼が"絶対座標系=絶対空間"に固執せざるを得なかったのも,こうした"遠心力やコリオリ力の絶対性"を解消する道はない,という考えからだったという話もあります。

 こうした"見かけの力=慣性力"の扱いはとても悩ましいところがあります。 

※追記 (2018年10/26)

今年の夏は北東に進む常識的なモノとは異なる台風がいくつかありました。しかし少し考えて見るに,これは,別に上記記事と矛盾するものではなく,非常にゆっくりと北上していれば,右に右に曲がるのですからやがては1周,あるいはそれ以上回転して西方に向かうこともあり得るし,そこから急に移動速度が大きくなったなら,そのまま西進する行路をとっても不思議ではないと思います。

 

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訃報!穂積孝信さん

俳優の穂積孝信さんが去る10月19日に亡くなられました。胆のうガンが原因らしいです。

享年87歳でした。

ニュース→ 俳優の穂積孝信さん死去。87歳 遺体は医学のため献体

俳優としても名脇役でしたが,1982年,娘さんの非行の経緯などを綴った「積木くずし」が大ベストセラーとなって当時は大きな話題になりました。

美しい話ではないし自分の娘のことを赤裸々に書くことについて本人の個人情報の暴露に当たり当時でも賛否両論がありました。

確かオニャンコの一員の高部知子が主演でドラマにもなったと記憶してい,ますが.その後.モデルとなった娘さんは亡くなられて悲劇の父親でした。

ご冥福を祈ります。合掌!!

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2018年10月25日 (木)

記事リバイバル①(算数の問題:最終版)

※ブログの科学記事もボチボチ再開したいのですが,MS-Wordの環境がまだ復活せず,そのせいか記事を書くモチベーションが不足なので動機付けで過去の記事群から私自身のお気に入りの記事をいくつかリバイブしたいと思います。これは第1弾です。

以下は2011年11/8の記事の再掲載で,枕から全部過去記事丸写しです。

ここ数日,看板の理系記事が途絶えているので,つなぎとして,目の手術で2週間入院した直後の2011年6/13の記事「算数の問題(再々掲)」から,そのメイン部分をまたまた,再掲しておきます。

 この問題は面白いので,折にふれてアップするつもりです。

 ※以下,再掲記事です。

 これは2006年3月にブログ開始してまもなく書いた問題です。

 (2006年3/30の記事「算数の問題」)

 その後2006年12月にはヒントも出しました。

 ところが,その後出題した私自身どのように解いたかを忘れてしまいました。

 「どうしてもわからないので解答を示してくれ」との要望があったため,再度トライしてみましたが,面目ないことにどうしても解けなくて,大きなことを言った手前,謝まってPendingにしていました。← これはYahooのミラー「TOSHIの宇宙4」での話?

 しかし病院生活が余りに暇なので,6/5(日)には朝食後から,BSで延長戦になって5時間以上も続いたアスレチックスとヤンキースのゲームを見るとはなしに見ながら,何の邪魔も入らずゆっくりじっくり考えていると,昼食後の14時頃にあっさりと解けました。

 取り合えず,まず問題とヒントまでを再掲します。

 解答部分は今日夕方帰宅してから書きます。

 ※(問題) でたらめな形の四角形が1つあるとします。

 その4つの各辺を,それぞれ3等分してその向かい合う点同士を直線で結ぶと,やはりでたらめな形の9個の小さい四角形に分割されます。

 このとき真ん中にできた小四角形の面積は元の四角形の面積のちょうど,1/9 になることを証明しなさい。※

 という問題です。

 そして,2006年12/20には問題再掲してヒントを与えました。。「算数の問題(再掲)

※これに対して今回はヒントとして対辺の分点同士を結んでできる3つの四角形のうちの真ん中のそれは全体の1/3になることを示すことができるという指摘を追加しておきます。

(追伸):今2007年1月9日~10日の深夜ですが,kaさんから補助線を明示した図を見たいとの希望がありました。

 そこで□ABCDと,そのADの3等分点M,NおよびBCの3等分点P,Qを書いた図を書いてみました。

要するに⊿MPQ=(1/2)⊿MBQ,⊿MQN=(1/2)⊿MQDなので,□MPQN=(1/2)□MBQDとなります。

 

別の補助線を引いて⊿MBD=(2/3)⊿ABD,⊿DBQ=(2/3)⊿DBCなので,□MBQD=(2/3)□ABCDが成立します。

 

故に,□MPQN=(1/3)□ABCDになります。

 

もちろん,□ABCDが台形でないなら,面積が1/3になるのは真ん中の四角形だけで両側の四角形は1/3にはなりません。

 

これがヒントです。※

 

PS:さて,帰宅したので,約束の解答です。

 

まず,9個の小四角形に下図のようにa,b,c,d,e,f,g,h,iとラベルを付けます。

 

同時にこれらは各四角形の面積をも表わす記号とします。

 ここで□ABCDの面積をSとすると,証明すべき結論はe=S/9です。

 

まず,明らかにa+b+c+d+e+f+g+i=S です。

 

そして,ヒントから, ,b+e+h=S/3,かつd+e+f=S/3 です。

このことから,a+c+g+i=S/3+eと書けることもわかります。

 

これ以上,これらの式をいくら変形しても何も新しいことは出てきません。

 

そこで,新しい補助線を引いて考察します。

まず,⊿EAM=(1/2)⊿EMD,かつ⊿EAK=(1/2)⊿EKBです。

 

故に,a=⊿EAM+⊿EAK=(1/2)(⊿EMD+⊿EKB)です。言い換えると⊿EMD+⊿EKB=2aです。そこで,□EBCD=S-3aです

 

他方,⊿EDR=(1/3)⊿DEC,かつ⊿EBP=(1/3)⊿EBCですから,⊿EDR+⊿EBP=(1/3)(⊿DEC+⊿EBC)=(1/3)□EBCDです。

 

以上から,(b+c+d+g)-2a=(1/3)(S-3a)ですから,b+c+d+g=a+S/3が成立します。

 

対称性から,同様に,f+i+b+a=c+S/3,h+g+f+c=i+S/3,d+a+h+i=g+S/3も成り立つはずです。

 

これら4つの等式の両辺を全てそれぞれ加えると,2(a+b+c+d+f+g+h+i)=(a+c+g+i)+4S/3となります。

 

したがって,2(S-e)=(S/3+e)+4S/3より3e=S/3ですからe=S/9です。

 

解答は以上で終わりです。お疲れさま。。

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2018年10月23日 (火)

訃報! ジョー・スタンカ氏

元南海ホークスの昭和中期の助っ人アメリカ人スタンカ投手が10月15日に亡くなられたそうです。享年87歳でした。

ニュース → 元南海のスタンカ氏死去。87歳。NPB100勝投手

私の父は1965年4月私が15歳のとき46歳で亡くなりましたが,関西(兵庫県明石)の出身ということもあって生涯南海ホークスのファンでした。

今でこそホークスはソフトバンクですが,当時の親会社は大阪から堺,和歌山へと向かう南海電車(南海電鉄)でした。

そもそも私が初めてプロ野球に興味もったのが8歳(1958年;昭和33年)で,丁度,長嶋茂雄さんが立教大学を出て巨人に入団した年です。

そのころパリーグは西鉄ライオンズと南海ホークスの2強時代でした。西鉄は本拠地が福岡でしたから今の西武が埼玉所沢まできて逆にソフトバンクが福岡に行った形ですね。

東京6大学の立教黄金時代(砂押監督)の三羽ガラス。。投の杉浦,打の長嶋,守の本屋敷(もとやしき)がプロに入団し本屋敷は阪急ブレーブスでしたが,杉浦は南海に入団し当時の鶴岡監督のもとで野村選手ら共に日本シリーズで長嶋のいた巨人(水原監督,川上監督)らと名勝負ありました。

当時の日本では大男だったスタンカ投手の活躍は,そのころです。。

ところで私の生まれた岡山県の自宅で父親がテレビを買ったのは私が小学5年生(10歳)のとき1960年(昭和35年)です。

その年から甲子園の高校野球中継やプロ野球の中継もテレビで見られるようになったのですが当時の岡山県玉島市(1967年から倉敷市に)の田舎では巨人戦の放送しかなくパリーグのチームはオールスターか日本シリーズでしか見ることができませんでした。

私も8歳のころは野球放送はラジオで聞くのみでしたが,父は南海ファンだったので亡くなる最後までほとんどラジオで応援していました。

そして野村のことをカンビ(藤山寛美;松竹新喜劇)がまた打った。。とか,スタンカについてはスカタンがよく投げたとか関西弁のノリで言ってたのがとても懐かしいです。。。

当時プロ野球は親会社がほとんど鉄道会社でセリーグでは国鉄(現JR)まで地^無持ってました。金田正一投手のいた国鉄スワローズです。

ちなみにパリーグは南海,西鉄のほかは東映フライヤーズ,大毎(大映+毎日)オリオンズが映画会社か新聞社,最下位争いは阪急ブレーブスと近鉄バッファローズの鉄道でした。セリーグも巨人=読売ジャイアンツ、中日ドラゴンズが新聞社で阪神タイガース,国鉄スワローズが鉄道会社.広島カープは市民球団で東洋工業(マツダ)がスポンサーかもしれません。そして大洋ホエールズ(現横浜ベイスターズ)は大洋漁業(まるは)という水産会社でした。最下位争いは国鉄か大洋か広島でしたね。。

イヤなちかしい。。スタンカの訃報にことよせて子供時代(三丁目の夕日時代)の野球放送観戦の話してしまいました。。。

スタンカさんのご冥福をお祈りします。。合掌!!

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