相対論的場の量子論(正準定式化)(16)

　相対論的場の量子論シリーズの微視的因果律(microscopic causality)の項目の続きです。

　iΔ(ｘ－ｙ)＝[φ^(ｘ),φ^(ｙ)]

　＝∫ｄ³ｋ(2π)^-3(2ω_ｋ)^-1[exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}－exp{iｋ(ｘ－ｙ)}]

　＝∫ｄ⁴ｋδ(ｋ²－ｍ²)θ(ｋ⁰)[exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}

　ε(ｋ⁰)の関数値はｋ²＝ｋ^μｋ_μ＝((ｋ⁰)²－ｋ²＞0 満たす,時間的ベクトル:ｋ^μ＝(ｋ⁰,ｋ)に対しては不変です。

(※何故なら, 時間的ベクトルは光円錐(light-cone)の内側にあり,

ｋ⁰＞0,またはｋ⁰＜0という性質はLorentz変換によっては変わらない

からです。

そして,一般に実スカラー粒子の質量ｍは実数ですから,ｋ²＝ｋ^μｋ_μ

＝ｍ²＞0であり,ｋ^μ＝(ｋ⁰,ｋ)は確かに時間的です。) 

　このε(ｋ⁰)を用いると,Δ(ｘ－ｙ)は,より簡単な形に書けて,

Δ(ｘ－ｙ)＝－∫ｄ⁴ｋ(2π)^-3δ(ｋ²－ｍ²)ε(ｋ⁰)

[exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}　となります

※(注16-1):∫ｄ⁴ｋ(2π)^-3δ(ｋ²－ｍ²)θ(ｋ⁰) ∫₀^∞ｄｋ⁰δ(ｋ²－ｍ²)[exp{－iｋ⁰(ｘ⁰－ｙ⁰)}

×[exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}－exp{iｋ(ｘ－ｙ)}]

＝

＋∫_-∞⁰ｄ(－ｋ⁰)δ(ｋ²－ｍ²)exp{－iｋ⁰(ｘ⁰－ｙ⁰)}

＝∫_-∞^∞ｄｋ⁰δ(ｋ²－ｍ²)ε(ｋ⁰)[exp{－iｋ⁰(ｘ－ｙ)}です。

　そして,∫ｄ³ｋ(2ω_ｋ)^＝1＝∫ｄ⁴ｋδ(ｋ²－ｍ²)θ(ｋ⁰)であり,

　また,　∫ｄ³ｋ(2ω_ｋ)^-1exp{iｋ(ｘ－ｙ)}

　＝∫ｄ³ｋ(2ω_ｋ)^-1exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}

　であることは既に示しました。

　したがって,∫ｄ⁴ｋδ(ｋ²－ｍ²)θ(ｋ⁰)[exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}

　－exp{iｋ(ｘ－ｙ)}]

　＝∫ｄ⁴ｋ(2π)^-3δ(ｋ²－ｍ²)ε(ｋ⁰)[exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}

　を得ます。

(注16-1終わり)※

さて,Δ(ｘ－ｙ)＝－i[φ^(ｘ),φ^(ｙ)]であり,

(□＋ｍ²)Φ^(ｘ)＝0 ですから,明らかにΔ(ｘ－ｙ)は

(□＋ｍ²)Δ(ｘ―ｙ)＝0 を満たします。

つまり,Δ(ｘ)もKlein=Gordon方程式の１つの解です。

しかも,[φ^(ｙ),φ^(ｘ)]＝－[φ^(ｘ),φ^(ｙ)]なので,

Δ(ｘ－ｙ)＝－Δ(ｙ－ｘ)です。

ｘ⁰＝ｙ⁰のときの同時刻交換関係:[φ^(ｘ),φ^(ｙ)]_ｘ0＝ｙ0＝0 より 

ｘ⁰－ｙ⁰＝0 では,Δ(ｘ－ｙ)＝Δ(ｘ－ｙ,0)＝0 です。

Δ(ｘ－ｙ)のLorentz不変性から,(ｘ－ｙ)²＝(ｘ⁰－ｙ⁰)²－(ｘ－ｙ)²＜0を満たす任意のｘ,ｙ:空間的に離れている(space-like separated)２つの時空点ｘ,ｙに対して,Δ(ｘ－ｙ)＝－i[φ^(ｙ),φ^(ｘ)]＝0 です。

※(注16-2):何故なら,Δ(ｘ－ｙ)はLorentz不変なスカラーですが,

　(ｘ－ｙ)²も同じくLorentzスカラーです。

そこで,ｘ,ｙが空間的に離れているという性質:

(ｘ－ｙ)²＝(ｘ⁰－ｙ⁰)²－(ｘ－ｙ)²＜0 なることは,如何なる

Lorentz系でも変わりません。

そして,空間的:(ｘ－ｙ)²＝(ｘ⁰－ｙ⁰)²－(ｘ－ｙ)²＜0 であれば,

適切なLorentz系に座標変換すれば,その慣性座標系では２点ｘ,ｙ

は同時刻:ｘ⁰－ｙ⁰＝0であり,(ｘ－ｙ)²＝－(ｘ－ｙ)²＜0 である

ようにすることが可能です。

しかも,同時刻:ｘ⁰＝ｙ⁰では正準交換関係の基本仮定から,

　Δ(ｘ－ｙ)＝Δ(ｘ－ｙ,0)＝-i[φ^(ｘ),φ^(ｙ)]_ｘ0＝ｙ0＝0

　であることがわかっています。

Δ(ｘ－ｙ)は,座標系にy\依存しないLorentz不変なスカラーなので,座標変換前後のどちらの系でも,これは同じ値ゼロを取ります。

したがって,(ｘ－ｙ)²＝(ｘ⁰－ｙ⁰)²－(ｘ－ｙ)²＜0 (空間的)を満たす

任意のｘ,ｙに対して,常に[φ^(ｘ),φ^(ｙ)＝iΔ(ｘ－ｙ)＝0 と結論されます。 (注16-2終わり)※

　そこで,光信号でさえ決して結び付くことはない空間的に離れた２つ

　の時空点(Events:事象)ｘ,ｙ:(ｘ－ｙ)²＝(ｘ⁰－ｙ⁰)²－(ｘ－ｙ)²＜0,

　あるいは,光速ｃを陽に書けば,ｃｔ＝|ｘ⁰－ｙ⁰|として,

　|ｘ－ｙ|＞ｃｔを満たすｘ,ｙでは,

φ^そのものを物理的可観測量である場の強さと解釈できる場合,

[φ^(ｘ),φ^(ｙ)＝0 ですから,φ^(ｘ),φ^(ｙ)は互いに独立に

正確に測定できるはずです。 

別の同時刻での正準交換関係:[π^(ｘ),φ^(ｙ)]_ｘ0＝ｙ0

＝[φ^d^(ｘ),φ^(ｙ)]_ｘ0＝ｙ0＝－iδ³(ｘ－ｙ)から,

Δ(ｘ－ｙ)の同時刻での時間微分は,

[∂Δ(ｘ－ｙ)/∂ｘ⁰]_ｘ0＝ｙ0＝－δ³(ｘ－ｙ)となり原点ｘ－ｙ)＝0

では消えます。

実際,Δ(ｘ－ｙ)

＝{－1/(2π)³}∫ｄ³ｋω_ｋ^-1[exp{iｋ(ｘ－ｙ)}sin{ω_ｋ(ｘ⁰－ｙ⁰)}なる表現からも,

∂Δ(ｘ－ｙ)/∂ｘ⁰

＝{－1/(2π)³}∫ｄ³ｋ[exp{iｋ(ｘ－ｙ)cos{ω_ｋ(ｘ⁰－ｙ⁰)}なので,

ｘ⁰＝ｙ⁰では[∂Δ(ｘ－ｙ)/∂ｘ⁰]_ｘ0＝ｙ0

＝{－1/(2π)³}∫ｄ³ｋexp{iｋ(ｘ－ｙ)＝－δ³(ｘ－ｙ)

となり矛盾しない結果を得ます。

　これらの結果は,物理的内容を結びつけるために,場の強さの測定ということに 物理的な意味を付与することが意味を為す,ということを仮定しなければないません。

　この概念は既に以前のparagraphで批評され評価されていることです。

※(全体の注):実は因果律として,要請されるのは,一般には場φ^の双１次形式であり,量子エンタングルなどに見られるように場φ^そのものは観測可能な物理的実在とはみなされません。

　2006年８８の記事「http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2006/08/post_2bbf.html 負エネルギー階と相対論的因果律」。

Ｃ_n(..ｋ_j,., ｋ_i..)＝Ｃ_n(..ｋ_i,..,ｋ_j..)という要請は条件としては強すぎます。

　測定可能なのは確率密度の交換対称性:|Ｃ_n(..ｋ_j,., ｋ_i..)|²＝|Ｃ_n(..ｋ_i,..,ｋ_j..)|²であり,必ずしも波動関数の交換対称性:Ｃ_n(..ｋ_j,., ｋ_i..)|²＝|Ｃ_n(..ｋ_i,..,ｋ_j..)を意味しません。

参考文献:J.D.Bjorken S.D.Drell 「Relativistic　Quantum Fields」(McGrawHill)

　－exp{iｋ(ｘ－ｙ)}]

＝∫ｄ⁴ｋ(2π)^-3δ(ｋ²－ｍ²)θ(ｋ⁰)

[exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}－exp{iｋ(ｘ－ｙ)}]

において,

ｋ⁰＞0 ならε(ｋ⁰)≡1,ｋ⁰＞0 ならε(ｋ⁰)≡－1というθ(ｋ⁰)に似た符号関数ε(ｋ⁰)を導入すると,Δ(ｘ－ｙ)は簡単な形になり,

Δ(ｘ－ｙ)

＝－i∫ｄ⁴ｋ(2π)^-3δ(ｋ²－ｍ²)ε(ｋ⁰)[exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}

となります。

訃報!！！小林すすむさん。(ヒップアップ)

　５月16日の夜,元お笑いトリオ「ヒップアップ」のメンバー小林すすむさんがスキルス性胃がんと肝臓ガンが死因で亡くなられました。享年58歳。。まだまだ若いです。

　報知新聞ニュース→「ヒップアップ」小林すすむさん,死去...がん

　「ヒップアップ」と聞くと,私はまず島崎俊郎さんが思い浮かびます。

　1980年代に「ひょうきん族」などで活躍後,小林すすむさんは俳優に転身して人気を博しました。「踊る大捜査線」などに出演していました。

　　　

　　　　　　冥福を祈ります。　　合掌！！

相対論的場の量子論(正準定式化)(15)

相対論的場の量子論の続きです。

前記事の最後では,便利な個数演算子:Ｎ_ｋ^を導入し,正規順序

(normal-ordering)を取って再定義した自由場のエネルギー・

運動量４元ベクトル演算子をＰ^μ＾＝Σ_ｋｋ^μＮ_ｋ^と表現して,

Ｐ^μ^の固有状態,特にＨ^＝Ｐ⁰^＝Σ_ｋω_ｋＮ_ｋ^のエネルギー

固有値:Ｅ＝Σ_ｋｎ_ｋω_ｋに属する固有状態がＮ_ｋ^の固有値ｎ_ｋ

(状態の占有数＝運動量がｋの量子の個数)の総目録{..,ｎ_ｋ,..}

のみによって完全に決定されて,

総個数:Ｎ^＝Σ_ｋＮ_ｋ^の固有値ｎ＝Σ_ｋｎ_ｋに属する固有状態:

Φ(..,ｎ_ｋ,..)で尽くされることを見ました。

ずっと昔の学生時代から,量子論の本質は変換理論にある,と教えられ,そう認識してきましたが,

ここまでの段階でも,"場の量子化(第二量子化)というのは,通常の"座標表示の状態ベクトル＝波動関数"を運動量表示,あるいは個数表示の状態ベクトルに変換するという表示の変換を意味する"ということが,再認識されましたね。

さて,その続きです。同種量子の区別不可能性からです。

§2.2 状態の対称性(Symmetry of states)

さて,古典自由 Klein-Gordon場に正準量子化の手続きを適用した結果,量子個数による多粒子の記述が得られました。

自由場に対しては,量子個数(占有数)演算子:Ｎ_ｋ^はHamiltonian:Ｈ^と交換し,そこで量子個数(Ｎ_ｋ^or ｎ_ｋ)は運動の常数(定数＝保存量)になります。

※(注15-1):何故なら,自由場ではＨ^＝Σ_ｋｋ⁰Ｎ_ｋ^ですが,

　全てのｋ,ｋ'に対して[Ｎ_ｋ^,Ｎ_ｋ'^]＝0 なので,明らかに全てのｋに対して[Ｈ^,Ｎ_ｋ^]＝0 です。

したがって,ｄＮ_ｋ^/ｄｔ＝i[Ｈ^,Ｎ_ｋ^]＝0 です。

(注15-1終わり)※

そして,自由なＨ^に加え,占有数ｎ_ｋを変化させる相互作用項:

Ｈ_int^を付加すると,興味深い物理的問題に遭遇します。

しかし,今の自由 Klein-Gordon場の論議だけでも,まだ対象とする量子が"対称場の統計＝Bose-Einstein統計"に従うことを証明するという問題が残されています。

まず,対象としている１種類の実スカラー粒子だけから構成される任意の状態は,異なるｋでの占有数のｎ_ｋの組み合わせにわたって,

固有状態:Φ(..,ｎ_ｋ,..)＝Π_ｋ(ｎ_ｋ!)^-1/2(ａ_k^^＋)^nkΦ_ｋ(0)

を重ね合わせたもので与えられます。

そして,Φ(..,ｎ_ｋ,..)は,各々のｋについての量子個数ｎ_ｋを全て与えることにより,完全に決定され,記述できます。

各々のｋについての,基本的な正準交換関係:[ａ_ｋ^,ａ_ｋ'^^＋]＝δ_ｋｋ',

[ａ_ｋ^,ａ_ｋ'^]＝[ａ_ｋ^^＋,ａ_ｋ'^^＋]＝0　に従って,全てのａ_ｋ^^＋は互

いに交換するため,

Φ(..,ｎ_ｋ,..)＝Π_ｋ(ｎ_ｋ!)^-1/2(ａ_ｋ^^＋)^nkΦ_ｋ(0)の右辺において,

生成演算子ａ_k^^＋の順序を決める必要はなく,それ故,個々のｋに

対する量子は全く区別できないと結論されます。

このことは,異なる固有状態に対する展開係数の対称性に反映され

ます。以下,その詳細を検討します。

これは,Φ＝[Ｃ₀＋Σ_n=1^∞(1/ｎ!)^1/2{∫ｄ³ｋ₁..ｄ³ｋ_nＣ_n(ｋ₁,..,ｋ_n)

×ａ^^＋(ｋ₁)..ａ^^＋(ｋ_n)})Φ₀ において,

演算子ａ^^＋(ｋ_j)の順序を交換しても状態は不変であるという事実

が,展開係数Ｃ_n(ｋ₁,..,ｋ_n)の引数ｋ_jの交換対称性に帰着するとい

う主張です。 

ここで,因子(1/ｎ!)^1/2は係数Ｃ_nに課せられる規格化条件が簡単で便利な形になるよう挿入されました。

こうすれば,規格化は次のように書けます。

1＝＜Φ|Φ＞＝|Ｃ₀|²＋Σ_n=1^∞∫ｄ³ｋ₁..ｄ³ｋ_n|Ｃ_n(ｋ₁,..,ｋ_n)|²

です。

※(注15-2):|Φ＞＝[Ｃ₀＋Σ_n=1^∞(1/ｎ!)^1/2{∫ｄ³ｋ₁..ｄ³ｋ_n

Ｃ_n(ｋ₁,..,ｋ_n)ａ^^＋(ｋ₁)..ａ^^＋(ｋ_n)})|Φ₀＞に対して,

<Φ|＝<Φ₀|{Ｃ₀^＊＋Σ_m=1^∞(1/ｍ!)^1/2{∫ｄ³ｋ₁'..ｄ³ｋ_m'

Ｃ_m^＊(ｋ₁',..,ｋ_m')ａ^(ｋ_m')..ａ^(ｋ₁')}}　

です。

故に,＜Φ|Φ＞＝<Φ₀|{Ｃ₀^＊＋Σ_m=1^∞(ｍ!)^-1/2{∫ｄ³ｋ₁'..ｄ³ｋ_m'

Ｃ_m^＊(ｋ₁',..,ｋ_m')ａ^(ｋ_m')..ａ^(ｋ₁')}　

×[Ｃ₀＋Σ_n=1^∞(ｎ!)^-1/2{∫ｄ³ｋ₁..ｄ³ｋ_n

Ｃ_n(ｋ₁,..,ｋ_n)×ａ^^＋(ｋ₁)..ａ^^＋(ｋ_n)}|Φ₀＞

＝|Ｃ₀|²＋Ｃ₀{Σ_m=1^∞(ｍ!)^-1/2{∫ｄ³ｋ₁'..ｄ³ｋ_m'

Ｃ_m^＊(ｋ₁',..,ｋ_m')×<Φ₀|ａ^(ｋ_m')..ａ^(ｋ₁')|Φ₀＞}

＋Ｃ₀^＊{Σ_n=1^∞(ｎ!)^-1/2{∫ｄ³ｋ₁..ｄ³ｋ_nＣ_n(ｋ₁,..,ｋ_n)

×<Φ₀|ａ^^＋(ｋ₁)..ａ^^＋(ｋ_n)|Φ₀＞}

＋Σ_m=1^∞Σ_n=1^∞(ｍ!ｎ!)^-1/2∫ｄ³ｋ₁'..ｄ³ｋ_m'ｄ³ｋ₁..ｄ³ｋ_n

Ｃ_m^＊(ｋ₁',..,ｋ_m')Ｃ_n(ｋ₁,..,ｋ_n)

×<Φ₀|ａ^(ｋ_m')..ａ^(ｋ₁')ａ^^＋(ｋ₁)..ａ^^＋(ｋ_n)|Φ₀＞

です。

ところが,明らかに,<Φ₀|ａ^(ｋ_m')..ａ^(ｋ₁')|Φ₀＞＝0,

かつ,<Φ₀|ａ^^＋(ｋ₁)..ａ^^＋(ｋ_n)|Φ₀＞＝0 です。

そして,<Φ₀|ａ^(ｋ_m')..ａ^(ｋ₁')ａ^^＋(ｋ₁)..ａ^^＋(ｋ_n)|Φ₀＞は,

ｍ≠ｎの場合には,ａ^(ｋ),ａ^^＋(ｋ)のどちらかの数が多くて,

生成・消滅ペアから余るので真空Φ₀で挟む結果ゼロです。

他方,ｍ＝ｎなら,

<Φ₀|ａ^(ｋ_n')..ａ^(ｋ₁')ａ^^＋(ｋ₁)..ａ^^＋(ｋ_n)|Φ₀＞

＝Σ_Pδ³(ｋ_P1'－ｋ₁)δ³(ｋ_P2'－ｋ₁)..δ³(ｋ_Pn'－ｋ_n)となり,

＜Φ|Φ＞＝|Ｃ₀|²＋Σ_n=1^∞(ｎ!)^-1∫ｄ³ｋ₁'..ｄ³ｋ_n'ｄ³ｋ₁..ｄ³ｋ_n

Ｃ_m^＊(ｋ₁',..,ｋ_m')Ｃ_n(ｋ₁,..,ｋ_n)

×{Σ_Pδ³(ｋ_P1'－ｋ₁)δ³(ｋ_P2'－ｋ₁)..δ³(ｋ_Pn'－ｋ_n)}　

です。

ただし,和記号:Σ_Pにおける下添Ｐはｎ個ｋのmode番号{1,2,.,ｎ}に対する置換(Permutation)を意味します。

つまり,Ｐは並替え順列の写像:Ｐ≡{(1,2,..,ｎ)→(Ｐ₁Ｐ₂,..,Ｐ_n)}を意味し,それ故,Σ_Pは全部で丁度ｎ!通りあるそうした全ての置換Ｐにわたる総和です。

そして,Σ_Pの各項に係数Ｃ_m^＊(ｋ₁',..,ｋ_m')Ｃ_n(ｋ₁,..,ｋ_n)を掛け,

∫ｄ³ｋ₁'..ｄ³ｋ_n'の積分を実行すると,

重ね合わせの係数Ｃ_nのｋに対する対称性から,ｎ!個の置換Ｐの各々について全て同一の積分結果を与えるため,Ｐの個数ｎ!が先頭の因子(ｎ!)^-1と相殺します。

(※↑ここでの因子(1/ｎ!)^1/2の挿入の理由説明では,これから示すべき展開係数Ｃ_n(ｋ₁,..,ｋ_n)の引数ｋ_jの交換対称性は既知としました。)

結局,＜Φ|Φ＞

＝|Ｃ₀|²＋Σ_n=1^∞(ｎ!)^-1∫ｄ³ｋ₁..ｄ³ｋ_n|Ｃ_n(ｋ₁,.., ｋ_n)|²

を得ます。

(注15-2終わり)※

そして,係数Ｃ_n(ｋ₁,..,ｋ_n)はｎ量子を含む状態のエネルギー・運動量分布を示しています。

Ｃ_n(ｋ₁,..,ｋ_n)は,与えられたｋの集合を持つｎ個の同種粒子の集まりに対する,運動量空間での波動関数と見ることができます。

|Ｃ₀|²＋Σ_n=1^∞(ｎ!)^-1∫ｄ³ｋ₁..ｄ³ｋ_n|Ｃ_n(ｋ₁,.., ｋ_n)|²＝1 から.

|Ｃ_n(ｋ₁,.., ｋ_n)|²をｋの個数がｎの場合の存在確率密度と見なし,

Ｃ_n(ｋ₁,.., ｋ_n)を確率振幅を示す複素数と解釈するわけです。

　そして,Φ＝[Ｃ₀＋Σ_n=1^∞(1/ｎ!)^1/2{∫ｄ³ｋ₁..ｄ³ｋ_n

Ｃ_n(ｋ₁,..,ｋ_n)ａ^^＋(ｋ₁)..ａ^^＋(ｋ_n)}]Φ₀において,

　ａ^^＋(ｋ₁),..,ａ^^＋(ｋ_n)のそれぞれを互いに入れ替えても

　状態として同じであるため,

　波動関数:Ｃ_n(ｋ₁,..,ｋ_n)は,引数ｋ₁,.., ｋ_nについて交換対称

　な関数であることがわかります。

つまり,Ｃ_n(..ｋ_j,., ｋ_i..)＝Ｃ_n(..ｋ_i,..,ｋ_j..)なることを示す

ことができます。

※(注15-3):すなわち,

　　Φ'＝[Ｃ₀＋Σ_n=1^∞(1/ｎ!)^1/2{∫ｄ³ｋ₁..ｄ³ｋ_n Ｃ_n(..ｋ_i,., ｋ_j..)

×ａ^^＋(ｋ₁)..ａ^^＋(ｋ_j).. ａ^^＋(ｋ_i)..ａ^^＋(ｋ_n)]Φ₀ ,

　Φ＝[Ｃ₀＋Σ_n=1^∞(1/ｎ!)^1/2{∫ｄ³ｋ₁..ｄ³ｋ_nＣ_n(..ｋ_j,., ｋ_i..)

　×ａ^^＋(ｋ₁)..ａ^^＋(ｋ_j)..ａ^^＋(ｋ_i)..ａ^^＋(ｋ_n)]Φ₀

に対してΦ'とΦとが同一であるべき,という要求から,

0＝Φ'－Φ＝Σ_n=1^∞(1/ｎ!)^1/2{∫ｄ³ｋ₁..ｄ³ｋ_n

{Ｃ_n(..ｋ_j,., ｋ_i..)－Ｃ_n(..ｋ_i,..,ｋ_j..)}　

×ａ^^＋(ｋ₁)..ａ^^＋(ｋ_j)..ａ^^＋(ｋ_i)..ａ^^＋(ｋ_n)]Φ₀

ですから,

Ｃ_n(..ｋ_j,., ｋ_i..)＝Ｃ_n(..ｋ_i,..,ｋ_j..)　

と結論するわけです。(注15-3終わり)※

上に論じたように,状態を決定付けることは,様々なｋ値を持つ量子

の個数を全て与えるというだけの操作です。

同種量子は区別不可能であり,量子ａが運動量ｋ_iを,量子ｂが運動量

ｋ_jを持つつ確率も,ａとｂを交換した場合の確率も同じです。

つまり,|Ｃ_n(..ｋ_j,., ｋ_i..)|²＝|Ｃ_n(..ｋ_i,..,ｋ_j..)|²です。

こういう理由で,多体系の波動関数に対称性の条件が存在するのは,

ａ^^＋(ｋ)の交換可能性の結果と考えられます。

これは正準量子化の手法で生じる実スカラー場の量子(＝粒子描像の波)が"対称統計＝Bose-Einstein統計"に従うこと,を示すものです。

§2.3場の観測可能性と微視的因果律

(Measurability of the Field and Microscopic Causality)

古典的には場φ(ｘ)は,1つの物理量(observable＝可観測量)であり,

その点ｘにおける強さ:φ(ｘ)は測定可能なものでした。

量子論では,第１章の場の量子化への序文(introduction)で論じた条件により,量子領域において時空点ｘで定義される局所的な場の演算子として,φ^(ｘ)を導入しました。

場の量子論においては古典論とは対照的に,ゼロでない交換関係が存在するため,場の強さの正確な測定には限界があります。

例えば,２つの異なる時空点ｘとｙにおける場の強さ:φ^の正確な測定が可能なのは,交換子:[φ^(ｘ),φ^(ｙ)]がゼロとなって消える場合に限られます。

ところが,

φ^(ｘ)＝∫ｄ²ｋ{ａ^(ｋ)ｆ_k(ｘ)＋ａ^^＋(ｋ)ｆ_k^＊(ｘ)}

　＝∫ｄ³ｋ(2π)^-3/2(2ω_ｋ)^-1/2×[ａ^(ｋ)exp(－iｋｘ)

　＋ａ^^＋(ｋ)exp(iｋｘ)}

　という形で,既に自由Klein-Gordon場:φ^(ｘ)の陽な解表現が

　得られています。

　ただし,ｋｘ＝ｋ^μｘ_μ＝ｋ⁰ｘ⁰－ｋｘ,ｋ⁰＝ω_ｋ≡(ｋ²＋ｍ²)^1/2,

　ｆ _k(ｘ)＝(2π)^-3/2(2ω_ｋ)^-1/2exp(－iｋｘ)　です。

　場の同時刻交換関係だけから導き出されたａ^(ｋ),ａ^^＋(ｋ)

　の交換関係:[ａ^(ｋ),ａ^^＋(ｋ')]＝δ³(ｋ－ｋ'),および,

　[ａ^(ｋ),ａ^(ｋ')]＝[ａ^^＋(ｋ),ａ^^＋(ｋ')]＝0 から逆に,

　同時刻とは限らない任意の時空点ｘ,ｙにおける場の交換子:

　[φ^(ｘ),φ^(ｙ)]を評価できます。 

すなわち,　　

[φ^(ｘ),φ^(ｙ)]＝∫ｄ³ｋｄ³ｋ'(2π)^-3(4ω_ｋω_ｋ')^-1/2

　×([ａ^(ｋ),ａ^^＋(ｋ')]exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}

　＋[ａ^^＋(ｋ),ａ^(ｋ')]exp{iｋ(ｘ－ｙ)})

＝∫ｄ³ｋ(2π)^-3(2ω_ｋ)^-1[exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}－exp{iｋ(ｘ－ｙ)}]

＝{－i/(2π)³}∫ｄ³ｋ[exp{iｋ(ｘ－ｙ)}sin{ω_ｋ(ｘ⁰－ｙ⁰)}/ω_ｋ]　

です。 

こう表現される関数を,iΔ(ｘ－ｙ)と定義します。　

つまり,iΔ(ｘ－ｙ)＝[φ^(ｘ),φ^(ｙ)]　です。 

※(注15-4):

　∫ｄ³ｋ(ω_ｋ)^-1[exp{iｋ(ｘ－ｙ)}－exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}/(2i)]

　＝∫ｄ³ｋ(ω_ｋ)^-1[exp{{－iｋ(ｘ－ｙ)＋iω_ｋ(ｘ⁰－ｙ⁰)}

　－exp{iｋ(ｘ－ｙ)－iω_ｋ(ｘ⁰－ｙ⁰)}/(2i)}

　ところが,∫_-∞^∞ｄ³ｋ(ω_ｋ)^-1exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}

　＝－∫_∞^-∞ｄ³ｋ(ω_ｋ)^-1exp{iｋ(ｘ－ｙ)}

　＝∫_-∞^∞ｄ³ｋ(ω_ｋ)^-1exp{iｋ(ｘ－ｙ)}なので,

∫ｄ³ｋ(ω_ｋ)^-1[exp{iｋ(ｘ－ｙ)}－exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}/(2i)]

　＝∫ｄ³ｋ(ω_ｋ)^-1exp{iｋ(ｘ－ｙ)}exp{iω_ｋ(ｘ⁰－ｙ⁰)}

　－exp{－iω_k(ｘ⁰－ｙ⁰)}

　＝∫ｄ³ｋ[exp{iｋ(ｘ－ｙ)}sin{ω_ｋ(ｘ⁰－ｙ⁰)}/ω_ｋ]

(注15-4終わり※

Δ(ｘ－ｙ)は,不変特性関数の族(相対論的波動方程式の境界条件に従うGreen関数の集合)に属する関数の１つです。

そのLorentz不変性は,　

iΔ(ｘ－ｙ)＝∫ｄ³ｋ(2π)^-3(2ω_ｋ)^-1[exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}

－exp{iｋ(ｘ－ｙ)}]なる形から明らかです。

つまり,Lorentz不変な指数関数が,不変体積要素

∫ｄ³ｋ(2ω_ｋ)^-1＝∫ｄ⁴ｋδ(ｋ²－ｍ²)θ(ｋ⁰)の上にわたって積分

されるからです。

ここで,θ(ｋ⁰)はｋ⁰＞0ならθ(ｋ⁰)≡1,ｋ⁰＞0 ならθ(ｋ⁰)≡0 で定義されるHeaviside関数(階段関数)です。

※(注15-5):まず,次のようなδ-関数の性質を証明します。

　すなわち,

ａ＞0 ならδ(ｘ²－ａ²)＝{δ(ｘ－ａ)＋δ(ｘ＋ａ)}/(2ａ)

なる性質です。

　これは,以下のようにして証明することができます。

　まず,∫_-∞^∞ｆ(ｘ)δ(ｘ²－ａ²)ｄｘ

　＝∫₀^∞ｆ(ｘ)δ(ｘ²－ａ²)ｄｘ＋∫_-∞⁰ｆ(ｘ)δ(ｘ²－ａ²)ｄｘです。

　ｙ＝ｘ²－ａ²と変数置換すると,2ｘｄｘ＝ｄｙです。

0≦ｘ＜∞では,ｘ＝(ａ²＋ｙ)^1/2.ｄｘ＝ｄｙ/{2(ａ²＋ｙ)}^1/2

ですから,∫₀^∞ｆ(ｘ)δ(ｘ²－ａ²)ｄｘ

＝∫_-a2^∞ｄｙ[ｆ((ａ²＋ｙ)^1/2)δ(ｙ)/{2(ａ²＋ｙ)^1/2}]

＝ｆ(ａ)/(2ａ)です。

－∞≦ｘ＜0では,ｘ＝－(ａ²＋ｙ)^1/2,ｄｘ＝－ｄｙ/{2(ａ²＋ｙ)}^1/2

ですから,∫_-∞⁰ｆ(ｘ)δ(ｘ²－ａ²)ｄｘ

＝∫_-a2^∞ｄｙ[ｆ(－(ａ²＋ｙ)^1/2)δ(ｙ)/{2(ａ²＋ｙ)^1/2}]

＝ｆ(－ａ)/(2ａ)　です。

故に,∫_-∞^∞ｆ(ｘ)δ(ｘ²－ａ²)ｄｘ

＝{ｆ(ａ)＋ｆ(－ａ)}/(2ａ) となります。

右辺は,∫_-∞^∞[ｆ(ｘ){δ(ｘ－ａ)＋δ(ｘ＋ａ)}/(2ａ)]ｄｘ

に等しいので,ａ＞0 では,

δ(ｘ²－ａ²)＝{δ(ｘ－ａ)＋δ(ｘ＋ａ)}/(2ａ)

と結論されます。

そこで,Ｆ(ｋ⁰,ｋ)を任意関数とすると,

δ(ｋ²－ｍ²)＝δ((ｋ⁰)²－ｋ²－ｍ²)＝δ((ｋ⁰)²－ω_ｋ²)

＝{δ(ｋ⁰－ω_ｋ)＋δ(ｋ⁰＋ω_ｋ)}/(2ω_ｋ)なので,

∫_-∞^∞ｄｋ⁰Ｆ(ｋ⁰,ｋ)δ(ｋ²－ｍ²)θ(ｋ⁰)

＝Ｆ(ω_ｋ,ｋ)/(2ω_ｋ)　です。

したがって,∫ｄ³ｋ[Ｆ(ω_ｋ,ｋ)/2ω_ｋ]

＝∫ｄ³ｋ∫_-∞^∞ｄｋ⁰δ(ｋ²－ｍ²)θ(ｋ⁰)Ｆ(ｋ⁰,ｋ)

＝∫ｄ⁴ｋδ(ｋ²－ｍ²)θ(ｋ⁰)Ｆ(ｋ⁰,ｋ) です。

以上から,∫ｄ³ｋ(2ω_ｋ)^-1＝∫ｄ⁴ｋδ(ｋ²－ｍ²)θ(ｋ⁰)　

を得ました。

(注15-5終わり)※

ここで,またまた,一休みです。

(参考文献:J.D.Bjorken S.D.Drell "Relativistic Quantum Fields" (McGrawHill)

PS: 40年くらい前の学生(院生)の時代には,指導教官から,

「細かいところに拘泥していると,学生時代の数年間では,とても論文も書ける最先端のオリジナルな領域には到達できないから,１度目の勉強,読書では,ある程度は書いてあることを信用してとにかく先に進め。。」

　というようなことを,よく言われていました。

　しかし,私の専攻は,実験ではなく理論ということもあり,

「一言でも理解できないことがあったり,証明や検算をすべきことがあれば決して避けて通れず,早く(または速く)わかる必要などないいずれわかればいい。理解できないたった１行があればそれに数年,いやもっと費やすことも厭わない。」

　というような,１回精読主義のバカな性分を通したためか？

　結局,この道では飯を食うことはできず,

　今も,ライフワークの１つですが,全くお金には結び付かない趣味と

　化しています。

　本を読んで理解した履歴の過去ノートにも,種本の内容よりもはるか

　に大量の注がそのまま書いてあり,証明や検算の山です。

　それでも,ブログの科学記事に載せてある注は,ノートにある注の全部

　ではなく７～８割くらいです。

　"当たり前と思えることでも証明しなければ"という性格は,むしろ

　数学や数理物理学の方に向いていたのかも。。。

　これ(＝何かひっかかると,どこまでも追求する性格)で,

　さらに,早く(速く)解決できる能力があれば,

　"杉下右京"なのですがね。。

　ただし,ポリシーは自分とはかなり違います。

　ドラマ(フィクション)だし警察だから仕方ないのでしょうが,

「たとえ法律の方が間違っていても,それを破れば犯罪であり断罪さるべきである」とか,「目的が正当であれば手段は正当化される,のは間違いである。」などの"杉下右京"のポリシーでは,

　昨今の中東のジャスミン革命を含む,あらゆる革命は許されません。

　革命とは,富める者から無理やり財を略奪する義賊に似た行為です

　からね。

　上のポリシーもドグマではなく,ＴＰＯで使い分けなければ。。

続・数学の問題(入院中ニトライ)

　ブログネタも同じようなものばかりで特徴あるものは少ないので,退院直後にアップした「数学(算数?)の問題」の続きを書きます。

　前の記事では,最初の問題は入院初日の4/17の午後に解いた,と書きましたが,実は入院初日の17日は検査とか,必要品の買い物などやるべきことがたくさんありました。

　雑用を済ませた後,問題を見て考えて本に書いてあるヒントを見るのも癪なので,完全解答には17日の消灯後の夜中までかかりました。

入院中の日記を兼ねたノートによれば,次の18日には３問に挑戦していますが,18日中に解けたのは次の２問でした。

最初の問題を問１として番号を付けます。

問２.  0＜ａ,ｂ,ｃ≦1のとき,次の不等式が成り立つことを示せ。

ａ/(ｂ＋ｃ＋1)＋ｂ/(ｃ＋ａ＋1)＋ｃ/(ａ＋ｂ＋1)

＋(1－ａ)(1－ｂ)(1－ｃ)≦1

(解答)まず,一般性を失なうことなく,ａ,ｂ,ｃの大小関係を,

　0＜ａ≦ｂ≦ｃ≦1と仮定する,ことができます。

　この条件下では,(ａ＋ｂ＋1)≦(ｃ＋ａ＋1)≦(ｂ＋ｃ＋1)ですから,

　1/(ａ＋ｂ＋1)≧1/(ｃ＋ａ＋1)≧1/(ｂ＋ｃ＋1)　です。

そこで,ａ/(ｂ＋ｃ＋1)＋ｂ/(ｃ＋ａ＋1)＋ｃ/(ａ＋ｂ＋1)

≦(ａ＋ｂ＋ｃ)/(ａ＋ｂ＋1)＝1＋(ｃ-1)/(ａ＋ｂ＋1)です。

　したがって,1＋(ｃ-1)/(ａ＋ｂ＋1)＋(1－ａ)(1－ｂ)(1－ｃ)≦1を示せば十分です。

　よって,(1－ｃ){(1－ａ)(1－ｂ)－1/(ａ＋ｂ＋1)}≦0 を示せば十分ですが,(1－ｃ)＞0 なので,{(1－ａ)(1－ｂ)－1/(ａ＋ｂ＋1)}≦0 を示せばいいことになります。

結局,{1－(ａ＋ｂ＋1)(1－ａ)(1－ｂ)}≧0 を示せばいいです。

上式の左辺＝－(ａ＋ｂ){1－(ａ＋ｂ)＋ａｂ}＋{ａ＋ｂ－ａｂ}

　＝(ａ＋ｂ)²－ａｂ(ａ＋ｂ)－ａｂですが,

　正の数の相加平均は相乗平均より大きいので,(ａ＋ｂ)≧2ａ^1/2ｂ^1/2

ですから,結局,(左辺)≧(3ａｂ－2ａ^3/2ｂ^3/2) です。

そこで,簡単のためにＸ≡ａ^1/2ｂ^1/2 とおくと,0＜Ｘ≦1です。

そして,Ｘの関数ｆ(Ｘ)≡3Ｘ²－2Ｘ³を考えると,ｆ(0)＝0であり,

0＜Ｘ≦1では,ｄｆ/ｄＸ＝6Ｘ(１－Ｘ)≧0 なので,この範囲では

ｆ(Ｘ)は単調非減少です。

故に,ｆ(Ｘ)≧0 (0＜Ｘ≦1)と結論されます。

以上から,ｆ(ａｂ)＝3ａｂ－2ａ^3/2ｂ^3/2)≧0,であり,そして,

(ａ＋ｂ)²－ａｂ(ａ＋ｂ)≧ｆ(ａｂ)なので,

(ａ＋ｂ)²－ａｂ(ａ＋ｂ)≧0,です。

したがって,－(1－ｃ){(1－ａ)(1－ｂ)－1/(ａ＋ｂ＋1)}≦0 より,

ａ/(ｂ＋ｃ＋1)＋ｂ/(ｃ＋ａ＋1)＋ｃ/(ａ＋ｂ＋1)

＋(1－ａ)(1－ｂ)(1－ｃ)≦1

が証明されました。 (終わり)

(※PS:今思うと,

(ａ＋ｂ)²－ａｂ(ａ＋ｂ)－ａｂ≧3ａｂ－ａｂ(ａ＋ｂ)

＝ａｂ(3－ａ－ｂ)＝ａｂ{1＋(1－ａ)＋(1－ｂ)}＞0 ですから,

微分までやることはなかったですね。

当時(3週間前)は,今より頭が柔らかくなかったようです。※)

問３.  任意の正の整数ｋに対して,Ｓ＝{2¹―1,..,2^2k－1}の元の

少なくとも１つは,(2ｋ＋1)で割り切れることを示せ。

(解答)まず,集合Ｓの位数,つまりＳの元:2¹―1,..,2^2k－1の個数は

丁度 2ｋです。

そして,Ｓの各々の元を(2ｋ＋1)で割ったときの余りｒは,

ｒ＝0,1,2,..,2ｋ のいずれかです。

Ｓの元を(2ｋ＋1)で割ったときの余りがｒであることを,

2ⁿ―1≡ｒ mod(2ｋ＋1) (ｎ＝1,..,2ｋ)と表現します。

仮にＳの元の全てが(2ｋ＋1)で割り切れないとすると,

2ⁿ―1≡0 mod(2ｋ＋1),かつ１≦ｎ≦2ｋを満たすｎは存在しません。

ところが,もしも2^p―1と2^q―1の余りが等しいとすれば,つまり,

2^ｐ―1≡2^q―1 mod(2ｋ＋1)を満たすp,ｑ(1≦ｑ＜ｐ≦2ｋ)が存在

するとすれば,2^p－2^q≡0 mod(2ｋ＋1)なので,

2^q(2^p-q－1)≡0 mod(2ｋ＋1)となりますが,偶数の2^qが奇数の(2ｋ＋1)

で割り切れることはないので,これは,2^p-q－1≡0 mod(2ｋ＋1)である

こと:(2^p-q－1)が(2ｋ＋1)で割り切れることを意味します。

しかし,1≦(ｐ－ｑ)≦2ｋですから,１≦ｎ≦2ｋを満たすｎについて,2ⁿ―1≡0 mod(2ｋ＋1)となるｎは存在しないという仮定から,

2^ｐ―1≡2^q―1 mod(2ｋ＋1)を満たすp,ｑ(1≦ｑ＜ｐ≦2ｋ)は存在し

ません。

以上から,Ｓ＝{2¹―1,..,2^2k－1}の2ｋ個の元を(2ｋ＋1)で割った余り

ｒは全て異なると結論されます。

しかも,(2ｋ＋1)では割り切れないのですから,余りｒは.1,2,.,.2ｋのいずれかの2ｋ個であって,しかもこれら全てを尽くします。

しかし,このことから2ⁿ―1≡2ｋ mod(2ｋ＋1),かつ１≦ｎ≦2ｋなるｎが少なくとも１つ存在します。

このとき,2ⁿ≡2ｋ＋1≡0 mod(2ｋ＋1)ですから,この2ⁿは(2ｋ＋1)で割り切れるはずです。

2のベキ乗の因数しか持たない2ⁿが,奇数の(2ｋ＋1)を因数とするはずはないので,これは矛盾です。

そこで,１≦ｎ≦2ｋを満たすｎについて,2ⁿ―1≡0 mod(2ｋ＋1)となるｎは存在しない,という仮定の方が誤りということになります。

謂わゆる背理法ですが,これで成立を証明すべき命題の真なることが示されました。(終わり)

そして,次の問４は18日中には解けず,結局,翌19日に最後にはヒント(ほぼ答)を見てしまいました。

この問４については本日は問題だけをアップしておきます。

問４. {ｘ_n}を,ｘ₁＝ｘ,(ｘはｘ＞1なる実数),ｘ_n+1＝ｘ_n²＋ｘ_n ,

で定義される数列とする。

このとき,級数和:Ｓ＝Σ_n=1^∞{1/(1＋ｘ_n)}を求めよ。

という問題です。

　これ以後もありますが,私は気紛れなのでブログでこの続きを書くかどうかはわかりません。

　でも,整数,数式や数列関連の問題を解くのが得意というわけではなく,ただそれを考えるのが好きな変態？であることは再認識しました。

(↑※入院のヒマつぶしに,算数や高校数学の難問？を考えるのはある種の変態(or オタク？)でしょう。)

私の弱点は空間図形などのパターン認識がからむ問題です。

私は,２次元でも地図を見てもわからず,しょっちゅう他人に聞かないとたどりつけないことが多々ある方向音痴です。(※左脳は何とか機能していても右脳はダメかな。。。)

一応,これも入院中の日記の１つをアップしたつもりですが,この手の記事は引用文献を書かないと単なる盗作ですから,タネ本を下に明示しておきます。

では,またね。

(参考文献):秋山仁＋ピーターフランクル共著「(完全攻略)数学オリンピック(増補版)」(日本評論社)

PS：難問というと昔,「明聖アカデミー」という御茶ノ水の現役高校生専門予備校のアルバイトで,ＲＱＣ(randomquestion corner)という教室で何でも質問を聞く講師というのをやってた時代を思い出します。

　その予備校の当時の数学主任のＨ先生の個別指導の宿題で出された数学難問集をＲＱＣで毎回質問する高3なのに中学生のように見える小さくてかわいい女子高生がいて,他のまだ大学生の講師たちと解き方など相談していたことを思い出します。

　当時,私は９年間住んでいた江東区の木場から豊島区巣鴨に転居したばかりの40代中半から,50歳代にかかる頃でした。

　結局,彼女＝Ｋ野さん,については,その後,正社員のＨ先生からアルバイトの私が数学の個別指導を引き継いだのですが,

　何と彼女の第一志望は千葉大教育学部で,第二志望は明治大学文系ということでしたから,数学が必要といってもセンター試験だけです。

　確かに難問をたくさん解く,考えるという勉強法もありますが,私はセンター試験の過去問を解く訓練をすれば十分と考えました。

　何ゆえに,自力ではほとんど解けず,毎回ＲＱＣで質問するような難問の宿題ばかりを出していたのか？とそのときは疑問に思いましたね。

　結局,その彼女,現役のときは千葉大を落ちて,数学は関係ない明治大には合格したので,私はＫ野ちゃんの何らかお役に立ったのか,邪魔をしたのかは不明です。

　なつかしいですね。

順天大付属病院で検査。道すがら花の写真

　昨日５/７(月)はGW明けで帝京大病院眼科入院前から予約していた順天堂大病院の循環器内科の足の動脈硬化検査で,朝９時頃.お茶の水の病院に行きました。

　一昨日５/６(日)朝と昨日の道すがら,花の写真です。

　(※ 金は無くても高楊枝。。ダンゴより花ですか。。)

　最後の写真は,５/７午後,普通に職場に行って帰りに再び神保町まで行って帰りの自宅付近の信号そばのです。

　まず,５/６(日)午前11時頃自宅前」で。。。

　　　　

　　　　　

　　　　　

　　　　　

　　　　↓会社の男子更衣室。フラッシュなしなので暗い

　　　　

　　　↓翌日５//7(月)朝10時半頃病院からの帰り

　　明大校舎前の通りでつつじ,白つつじに着目しました。。

　　　

　　　

　　↓同じく午前１０時半頃,御茶ノ水から都営三田線神保町に帰る途中

　,　明治大学校舎を撮　影

　　　　

　↓午後５時頃,会社帰りに神保町で古本を買って後

　　帰りに巣鴨駅前信号そばの花壇

　　　

PS:実は本日５/８(火)も休みを取り昨日の検査に続いて朝10時から順天堂大学病院の循環器内科で診察受けました。

　そして明日は帝京大病院眼科で退院後初の診察予定です。

相対論的場の量子論(正準定式化)(14)

　相対論的場の量子論の続きです。

　前記事では,同一の時空点における局所演算子積Ａ^Ｂ^＝Ａ^(ｘ)Ｂ^(ｘ)の特異性のために,Ａ^Ｂ^の真空期待値:＜Φ₀|Ａ^Ｂ^|Φ₀＞に出現する無限大の零点エネルギーを簡単に除去する手段として,

　記号:Ａ^Ｂ^:で表記される正規順序積(normal-ordering)を定義するところで終わりました。

　さて,その続きとしてφ^φ^＝φ^(ｘ)φ^(ｘ)の正規順序積を取ると,　:φ^φ^:＝φ^(－)^φ^(－)^＋2φ^(-)^φ^(＋)^＋φ^(＋)^φ^(＋)^ですが,これの真空期待値がゼロとなって消えることは明らかです。

　すなわち,

φ^(-)^φ^(-)^＝∫ｄ³ｋｄ³ｋ'ａ^^＋(ｋ)ａ^^＋(ｋ')ｆ_k^＊(ｘ)ｆ_k'^＊(ｘ), 

φ^(-)^φ⁽⁺⁾^＝∫ｄ³ｋｄ³ｋ'ａ^(ｋ)ａ^^＋(ｋ')ｆ_k(ｘ)ｆ_k'^＊(ｘ),

φ^(＋)^φ^(＋)^＝∫ｄ³ｋｄ³ｋ'ａ^^＋(ｋ)ａ^^＋(ｋ')ｆ_k(ｘ)ｆ_k’(ｘ)

であり,かつ,ａ^(ｋ')|Φ₀＞＝0 ですから,

　＜Φ₀|:φ^φ^:|Φ₀＞＝∫ｄ³ｋｄ³ｋ'

　[＜Φ₀|ａ^^＋(ｋ)ａ^^＋(ｋ’)|Φ₀＞ｆ_k^＊(ｘ)ｆ_k’^＊(ｘ)]となりますが,

　ここで,ａ^(ｋ)|Φ₀＞＝0 のHermite共役を取れば,

　＜Φ₀|ａ^⁺(ｋ)＝0 となるため,

　＜Φ₀|ａ^^＋(ｋ)ａ^^＋(ｋ')|Φ₀＞＝0 となって,結局,

　＜Φ₀|:φ^φ^:|Φ₀＞＝0 を得ます。

したがって,一般に,{Σ_xＣ₁(ｘ)φ^(ｘ)}{Σ_yＣ₂(ｙ)φ^(ｙ)},

または,[Σ_x{Ｃ₁⁽⁺⁾(ｘ)φ⁽⁺⁾^(ｘ)＋Ｃ₁^(－)(ｘ)φ^(－)^(ｘ)}]

×[Σ_y{Ｃ₂^(＋)(ｙ)φ^(＋)^(ｙ)＋Ｃ₂^(－)(ｙ)φ^(－)^(ｙ)}]

で表わされるような,任意の双1次演算子積について,

正規順序を取れば,その真空期待値はゼロとなって消えます。

先に,離散的表現でのエネルギー・運動量演算子:

Ｐ^μ^＝(1/2)Σ_ｋｋ^μ(ａ_ｋ^ａ_ｋ^⁺＋ａ_ｋ^⁺ａ_ｋ^)

＝Σ_ｋｋ^μ(ａ_ｋ^⁺ａ_ｋ^＋1/2)に対し,

これの代わりに無限大を差し引いて真空期待値がゼロとなる

新しい演算子Ｐ'^μ^≡Ｐ^μ^－＜Φ₀|Ｐ^μ^|Φ₀＞

＝Σ_ｋｋ^μａ_ｋ^⁺ａ_ｋ^を定義して,これをＰ^μ^に置き換える,

と述べました。

いかし,実際,連続的表現での運動量演算子:

Ｐ^j^＝－∫ｄ³ｘπ(ｘ,ｔ)(∂φ(ｘ,ｔ)/∂ｘ^j)

＝(1/2)∫ｄ³ｋ[ｋ^j{ａ^(ｋ)ａ^⁺(ｋ)＋ａ^⁺(ｋ)ａ^(ｋ)}]

に,正規順序(normal-ordering)を適用すれば,

:Ｐ^j^:＝－∫ｄ³ｘ:π(∂φ/∂ｘ^j):＝∫ｄ³ｋｋ^jａ^⁺(ｋ)ａ^(ｋ)

＝Ｐ'^j^となって前と同じ操作を意味することは明らかです。

※(注14-1) :Ｐ^j^:＝:－∫π(∂φ/∂ｘ^j)ｄ³ｘ:

＝－∫ｄ³ｘ:π(∂φ/∂ｘ^j):

＝－∫ｄ³ｘ:{φ^(＋)d＋φ^(－)d}|(∂φ^(＋)/∂ｘ^j)＋(∂φ^(－)/∂ｘ^j)}:

　＝－∫ｄ³ｘ{φ^(－)d(∂φ^(－)/∂ｘ^j)＋(∂φ^(－)/∂ｘ^j)φ^(＋)d

＋φ^(－)d(∂φ^(＋)/∂ｘ^j)＋φ^(＋)d(∂φ^(＋)/∂ｘ^j)}

＝Ｐ^j^＋∫ｄ³ｘ[φ^(＋)d,(∂φ^(－)/∂ｘ^j)]　です。

　然るに,

　[φ^(＋)d,(∂φ^(－)/∂ｘ^j)][∫ｄ³ｋ∫ｄ³ｋ'

＝[(－iω_k)ａ^(ｋ)ｆ_k(ｘ),(iｋ'^j)ａ^^＋(ｋ')ｆ_k'^＊(ｘ)]

＝－(1/2)∫ｄ³ｋｄ³ｋ'(2π)^-3(ω_kω_k')^-1/2(ω_kｋ'^j)

[ａ^(ｋ),ａ^⁺(ｋ')]×exp{i(ｋ－ｋ')ｘ－i(ω_k－ω_k')ｔ}

です。

故に,∫ｄ³ｘ[φ^(＋)d,(∂φ^(－)/∂ｘ^j)]

＝－(1/2)∫ｄ³ｋｄ³ｋ'(ω_kω_k')^-1/2(ω_kｋ'^j)[ａ^(ｋ),ａ^⁺(ｋ')]

×δ³(ｋ－ｋ')exp{－i(ω_k－ω_k')ｔ}　

＝－(1/2)∫ｄ³ｋ{ｋ^j[ａ^(ｋ),ａ^⁺(ｋ)]}

です。

　また,Ｐ^j^

　＝(1/2)∫ｄ³ｋ[ｋ^j{ａ^(ｋ)ａ^⁺(ｋ)＋ａ^⁺(ｋ)ａ^(ｋ)}]

　です。

　したがって,

:Ｐ^j^:＝Ｐ^j^＋∫ｄ³ｘ[φ^(＋)d,(∂φ^(－)/∂ｘ^j)]

　＝(1/2)∫ｄ³ｋ[ｋ^j{ａ^(ｋ)ａ^⁺(ｋ)＋ａ^⁺(ｋ)ａ^(ｋ)

　－[ａ^(ｋ)ａ^⁺(ｋ)]}

　＝∫ｄ³ｋ{ｋ^jａ^⁺(ｋ)ａ^ (ｋ)}＝Ｐ'^j^

　が得られます。 (注14-1終わり)※

同様に, :Ｐ⁰^:＝Ｐ'⁰^＝Ｈ'^＝∫ｄ³ｋ{ω_kａ^⁺(ｋ)ａ^(ｋ)}

となることも示すことができます。

ここでは,正規順序の唯一の効果は,理論から零点エネルギーを除去し真空状態Φ₀をエネルギーゼロの状態として定義できることです。

先に,離散表現:Ｐ^μ^＝Σ_ｋｋ^μ(ａ_ｋ^⁺ａ_ｋ^＋1/2)で与えた,エネルギー・運動量の固有値と固有状態の関係:

Ｐ^μ^Φ(ｎ_k1,ｎ_k2,..,ｎ_kr,..)

＝Σ_ｋ(ｎ_ｋ＋1/2)ｋ^μΦ(ｎ_k1,ｎ_k2,..,ｎ_kr,..),および,

Ｐ'^μ^≡Ｐ^μ^－＜Φ₀|Ｐ^μ^|Φ₀＞＝Σ_ｋｋ^μａ_ｋ^⁺ａ_ｋ^から,

Ｐ'^μ^の固有値を見出すことができます。

すなわち,

Ｐ'^μ^Φ(ｎ_k1,ｎ_k2,..,ｎ_kr,..)＝Σ_ｋｎ_ｋｋ^μΦ(ｎ_k1,ｎ_k2,..,ｎ_kr,..)

(ｎ_kr＝0,1,2,..)　です。

各nomal-mode：ｋに対する異なる固有状態は,ｎ_ｋ個の量子に相当する４元運動量ｋ^μを与えます。

各々のｋについて,その固有状態は,Einsteinの関係式:

ｋ_μｋ^μ＝ｍ² に従う４元運動量ｋ^μと質量ｍを有すると見えます。

ここに至って,正準量子化の手続きから,質量ｍを持つ1個,２個と個数を数えられるような１つの粒子描像の出現が見られます。

各非負の整数ｎ_ｋはｋ番目の運動量状態の占有数(occupation-number)と呼ばれます。

そして,この量子個数(占有数):ｎ_ｋの総目録{ｎ_k1,ｎ_k2,..,ｎ_kr,..}が量子状態:Φ(ｎ_k1,ｎ_k2,..,ｎ_kr,..)を完全に決定します。

ここで,Ｎ^_ｋ≡ａ_ｋ^^＋ａ_ｋで定義される個数演算子:Ｎ^_ｋを導入すれば便利です。これは非負の整数固有値を取ります。

すなわち,Ｎ^_ｋΦ(ｎ_k1,ｎ_k2,..,ｎ_kr,..)＝ｎ_ｋΦ(ｎ_k1,ｎ_k2,..,ｎ_kr,..) (ｎ_kr＝0,1,2,..) です。

※(注14-2):Φ(ｎ_k1,ｎ_k2,..,ｎ_kr,..)＝Π_kΦ_k(ｎ_k)であり,

Φ_ｋ(ｎ_ｋ)≡(ｎ_ｋ!)^-1/2(ａ_ｋ^^＋)^ｎkΦ_ｋ(0)です。

　まず,Ｎ^_ｋΦ_ｋ(0)＝0 は明らかです。

　そして,Ｎ^_ｋΦ_ｋ(1)＝Ｎ^_ｋａ_ｋ^⁺Φ_ｋ(0)

　＝ａ_ｋ^⁺ａ_ｋａ_ｋ^⁺Φ_ｋ(0)＝ａ_ｋ^⁺[ａ_ｋ,ａ_ｋ^⁺]Φ_ｋ(0)

　＝ａ_ｋ^⁺Φ_ｋ(0)＝Φ_ｋ(1)です。

　それ故,Φ_ｋ(1)は固有値１に属するＮ^_ｋ-固有状態です。

　ここで,仮に,Φ_ｋ(ｎ_k)が固有値ｎ_kに属するＮ^_ｋ-固有状態であること:

　Ｎ^_ｋΦ_ｋ(ｎ_k)＝ｎ_ｋΦ_ｋ(ｎ_k)が成立しているとすると,

　Ｎ^_ｋΦ_ｋ(ｎ_k＋1)＝Ｎ^_ｋ(ｎ_k＋1)^-1/2ａ_ｋ^⁺Φ_ｋ(ｎ_k)

　＝(ｎ_k＋1)^-1/2ａ_ｋ^⁺Ｎ^_ｋΦ_ｋ(ｎ_k)

　＋(ｎ_k＋1)^-1/2ａ_ｋ^⁺[ａ_ｋ,ａ_ｋ^⁺]Φ_ｋ(ｎ_k)

　＝(ｎ_k＋1)(ｎ_k＋1)^-1/2ａ_ｋ^⁺Φ_ｋ(ｎ_k)

　つまり,Ｎ^_ｋΦ_ｋ(ｎ_k＋1)＝(ｎ_k＋1)Φ_ｋ(ｎ_k＋1)

　を得ます。

　それ故,帰納法によって,

　Ｎ^_ｋΦ_ｋ(ｎ_k)＝ｎ_ｋΦ_ｋ(ｎ_k) (ｎ_kr＝0,1,2,..)が成立する

　と結論されます。

したがって,Ｎ^_ｋΦ(ｎ_k1,ｎ_k2,..,ｎ_kr,..)＝Ｎ^_ｋΠ_kΦ_k(ｎ_k)

＝Σ_kｎ_ｋΦ_k(ｎ_k)です。

(注14-2終わり)※

そして,正規順序を取ったエネルギ－・運動量演算子をＰ'^μ^でなく,primeをはずして改めてＰ^μ^と表記することにすれば,

個数演算子Ｎ^_ｋを用いて,Ｐ^μ^＝Σ_kｋ^μＮ^_ｋと書けます。

そして,交換関係,[ａ_ｋ^,ａ_ｋ'^⁺]＝δ_ｋｋ',

[ａ_ｋ^,ａ_ｋ'^]＝[ａ_ｋ^⁺,ａ_ｋ'^⁺]＝0 から,

個数演算子:Ｎ^_ｋ≡ａ_ｋ^⁺ａ_ｋ^とａ_ｋ^,ａ_ｋ^⁺の交換関係が,

次のように書けることを示すことができます。

すなわち,まず,[Ｎ_ｋ^,ａ_ｋ'^⁺]＝[ａ_ｋ^⁺ａ_ｋ^,ａ_ｋ'^⁺]

＝ａ_ｋ^⁺[ａ_ｋ^,ａ_ｋ'^⁺]＋[ａ_ｋ^⁺,ａ_ｋ'^⁺]ａ_ｋより,

[Ｎ_ｋ^,ａ_ｋ'^⁺]＝δ_ｋｋ'ａ_ｋ^⁺＝δ_ｋｋ'ａ_ｋ'^⁺です。

他方,[Ｎ_ｋ^,ａ_ｋ'^]＝－δ_ｋｋ'ａ_ｋ^＝－δ_ｋｋ'ａ_ｋ' です。

これらと,Ｐ^μ^＝Σ_kｋ^μＮ^_ｋとを関連付けると,ａ_ｋ^⁺は４元運動量が

ｋ^μの１量子を生成する生成演算子(creation operator)を意味すると考えられます。

つまり,ａ_ｋ^⁺は４元運動量がｋ^μの量子個数がｎ_kの状態から,同じ４元運動量の量子個数が(ｎ_k＋１)の状態を創出することを示しています。

すなわち,

Ｐ^μ^ａ_ｋ^⁺Φ(ｎ_k1,ｎ_k2,..,ｎ_kr,..)

＝ａ_ｋ^^＋(Ｐ^μ^＋ｋ^μ)Φ(ｎ_k1,ｎ_k2,..,ｎ_kr,..)

＝(Σ_k'ｋ'^μｎ_ｋ’＋ｋ^μ)ａ_ｋ^⁺Φ(ｎ_k1,ｎ_k2,..,ｎ_kr,..)

です。 

※(注14-3):何故なら,

　Ｐ^μ^ａ_ｋ^⁺＝Σ_k'ｋ'^μＮ^_ｋ'ａ_ｋ^^＋

＝Σ_k'ｋ'^μａ_ｋ^^＋Ｎ^_ｋ'＋ Σ_k(ｋ'^μ[Ｎ_ｋ'^,ａ_ｋ^^＋]

＝ａ_ｋ^^＋(Ｐ^μ^＋ｋ^μ)

です。

それ故,Ｐ^μ^ａ_ｋ^^＋Φ(ｎ_k1,ｎ_k2,..,ｎ_kr,..)

＝(Σ_k'ｋ'^μｎ_ｋ’＋ｋ^μ)ａ_ｋ^^＋Φ(ｎ_k1,ｎ_k2,..,ｎ_kr,..)を得ます。

(注14-3終わり)※

同様に,ａ_ｋ^は４元運動量がｋ^μの１量子を消滅させる消滅演算子(annihilation operator)を意味します。

ａ_ｋ^は４元運動量がｋ^μの量子個数がｎ_k(≧1)の状態から,量子個数が(ｎ_k－１)の状態を創出します。

しかし,特に,量子個数ｎ_kがゼロの状態(ｎ_k＝0)にａ_ｋ^を作用させると,その状態そのものが消えてしまいます。

すなわち,

Ｐ^μ^ａ_ｋ^Φ(ｎ_k1,ｎ_k2,..,ｎ_kr,..)

＝ａ_ｋ^(Ｐ^μ^－ｋ^μ)Φ(ｎ_k1,ｎ_k2,..,ｎ_kr,..)

＝(Σ_k'ｋ'^μｎ_ｋ’－ｋ^μ)ａ_ｋ^Φ(ｎ_k1,ｎ_k2,..,ｎ_kr,..)

です。

演算子ａ_ｋ^,およびａ_ｋ^^＋の行列要素のうちでゼロでないものは,

占有数がｎ'_k＝ｎ_k±1の量子個数:ｎ'_kを持つ状態とｎ_kを持つ状態とを結び付けるものだけです。

すなわち,以下,Diracのブラケット(bra-c-ket)表示を用いて,

状態φ_k(ｎ_k)を|ｎ_k＞と表示すれば,

＜ｎ'_k|ａ_ｋ^|ｎ_k＞≡＜φ_k(ｎ'_k)|ａ_ｋ^|φ_k(ｎ_k)＞

＝(ｎ_k)^1/2δ_ｎ'kｎk-1,

＜ｎ'_k|ａ_ｋ^^＋|ｎ_k＞≡＜φ_k(ｎ'_k)|ａ_ｋ^^＋|φ_k(ｎ_k)＞

＝(ｎ_k＋1)^1/2δ_ｎ'kｎk+1

です。 

※(注14-3):何故なら,|ｎ_ｋ＞＝Φ_ｋ(ｎ_ｋ)≡(ｎ_ｋ!)^-1/2(ａ_ｋ^^＋)^ｎkΦ_ｋ(0)

ですが,これは,＜ｎ'_ｋ|ｎ_ｋ＞＝＜φ_k(ｎ'_k)|φ_k(ｎ_k)＞＝δ_ｎ'kｎk

と規格化されています。

そこで,＜ｎ'_ｋ＋1|ｎ_ｋ＞＝＜φ_k(ｎ'_k＋1)|φ_k(ｎ_k)＞

＝δ_ｎ'kｎk-1より,

(ｎ'_k＋1)^-1/2＜ａ_ｋ^^＋φ_k(ｎ'_k)|φ_k(ｎ_k)＞

＝(ｎ'_k＋1)^-1/2＜ｎ'_k|ａ_ｋ^|ｎ_k＞＝δ_ｎ'kｎk-1　です。

故に,＜ｎ'_k|ａ_ｋ^^＋|ｎ_k＞＝(ｎ'_k＋1)^1/2δ_ｎ'kｎk-1 を得ます。

他方,＜ｎ'_ｋ|ｎ_ｋ＋1＞＝δ_ｎ'kｎk+1より,

(ｎ_k＋1)^-1/2＜ｎ'_k| ａ_ｋ^|ｎ_k)＞＝δ_ｎ'kｎk+1なので,

＜ｎ'_k|ａ_ｋ^|ｎ_k＞＝(ｎ_k＋1)^1/2δ_ｎ'kｎk+1を得ます。

(注14-3終わり)※

　かなり,長くなったし切りがいいので,今日はここまでにします。

(参考文献:J.D.Bjorken & S.D.Drell "Relativistic　Quantum Fields" (MacGrawHill)

入院中に撮った写真等

　表題の通りです。

　,入院中に,何とはなしにときどき,景色を中心に写真を撮りました。

　まずは,4/17(火)に帝京大付属病院の内科病棟の15階に入院した後,７階まで　降りて屋上庭園で撮影した写真からです。

　　

　↓ そこにいた庭師？に聞くと,これは芝桜だそうです。　ふーん。さくら？

　　　

　　　　↓この花は何だっただろう？

　　　

　　　　

　次は入院した日の晩,,1503室の同部屋のS川さんから借りた本です。

　恩田陸の「夜のピクニック」(2004年本屋大賞)です。

　　

　私なら恐らくこうした小説を読むことを選択することはないでしょうし,病院で読む小説としては,この種の内容がマジ？の本は選ばないと思います。

　折角なので,読み始めたら結構興味深く毎日,少しずつ読み進んでいました。

　しかし,27日の眼科診察で医師から急に「明日退院していい」と言われ,,S川さんは「６月までは15階にいるから返すのはイツでもいい」と言ってましたが,そういうわけにもいかないので,その日のうちに残りを読了し夜消灯前にはお返ししました。　

　結局,今回の入院で読んだ小説はこれだけでしたが,今までの入院時の推理小説やB級の娯楽小説とは違って,病院で読む小説という意味じゃなく,ても新しい読書傾向の趣味が開けたカモ。。

　以下は,時系列順に20枚くらい。。

　まずは,翌朝(4/18(水)),内科15階談話室の窓から見た東京の絶景から。。

　↓超肥満で,医学的に減量中の元自衛隊員という兄ちゃんから,正面に朝霞の駐屯地のタワー？が見えて,天気が良ければ富士山も見える,と言われたので,こちらは北向きの窓でしょう。

　　　

↓15階の一般用の中央エレベータの15階フロアです。

　手術の際のストレッチャーとか医師,看護師などの業務用は別に奥のエリアにあって患者は入れません

　　

　　　　↓15階談話室の給湯コ＾ナーです。

　　　　　

　　↓同じく15階談話室のテレビとゴミ回収ボックスです。

　私は自室ではなく,ほとんどここにたむろしていました。

　「なるべく部屋にいてくれ」とよく注意されましたが,それじゃ退屈なので

　　　　

↓別の日にやはり15階北向きの窓からです。

　　　　

　　　　

　　　　

　　4/23(月)の朝の10時半頃,晴れて15階から７階の眼科病棟に移りました。

　　↓その記念に,自室のスグ隣出口から７階屋上に出て病棟側？を撮影

　　　　

　　↓7階の私のベッドとそのまわり

　　　

　　以下は,内科から眼科への転科の数日後にやっと晴れて,屋上に出たときに撮った写真です。

　入院最後の頃,天気が良くてドアが閉鎖されずに屋上に出られる日は少なかったので,これらを撮ったのも全部で２日か３日くらいでしょうか。。

　　　　..

　↓７階屋上庭園からさらに病院の上の方を撮りました。

　　前にいた15階などまだまだ上の階があります。

　　

　　　　

　　　　

　↓昨年６月には,屋上この当たりの排水路に,カルガモの親子がいました。

　去年は,カメラは無く携帯電話もカメラ機能無いので惜しいことをしました。

　　　

　　

　　　　

　　　

　　　

　　　

　これで終わりです。

５月初めの癒し

　４月30日にもらったYou-Tube　メールからです。

PS:勘違いしないように。。私は別にプロのカウンセラーでもないし,モチロン神様でもカリスマでもないよ。。。

　リストカットを繰り返して,本気じゃないとしても,いつか事故が起きるから。。

　やめなよ。。

　思い通りにならないからって,それは小さい子供が地面に寝ころがって.,「アレ買ってエー」とか泣きわめく様と変わりない。。

　私自身も平気なようでも,幼いころから今まで,挫折数々あったし今もある。

　ショックを合理化や諦観でゴマかし,鈍感を装っているだけです。

　今となっては普通の人なら簡単にできることさえ頭の中で考える通りには体がいうことを聞いてくれません。

　ある程度は歳もとり,いろいろわかるようでも自分の経験したり出会ったその他大勢とあなたは恐らく違うし,自分はあくまで自分で,その他大勢からの類推からでしか,私にはわかりっこないから,所詮通り一遍のアドバイスや対応,気休めくらいしかできません。

　もっとも,単なる気休めだと思っているのもわかってるから,それはそれでいいのだけどネ。上から目線だけど,みんな救ってアゲたいけど。。

　夜中,零時頃,就寝前にインスリン８単位を打つ前に,久しぶりに血糖値を測ってみると,497です。アリャリャ,退院前はせいぜい250くらいだったのに。。。

　チョッとやばいネ。。

　これから少し寝た後に(あと１,２時間しかないが)朝食前のインスリン４単位は打つとしても朝食抜きですね。

　退院後も,毎日4回のインスリンはちゃんとやってますが,入院中の"おあずけ"連続の反動で,少しくらいはと,ここ数日は食欲旺盛なまま食してるせいでしょう。