「電磁場の共変的量子化(中西-Lautrap理論)」の続きです。ＰＣトラブルで,ちょっと間があきました。
今日は,一般的な不変デルタ関数を考察します。
無用な煩雑さを避けるため,素朴な質量ｍのクライン・ゴルドン方程式に従う１成分の自由な中性スカラー場φ(ｘ)の考察から始めます。
(簡単のため,ｃ＝ｈ/(2π)＝1の自然単位を採用します。)
自由な中性スカラー場φ(ｘ)のラグランジアン密度Ｌ0はＬ0(φ,∂μφ)＝(1/2)(∂μφ∂μφ－ｍ2φ)で与えられます。
(ただし,∂μφ≡∂φ/∂ｘμetc.です。)
φの変分δφに対して,作用Ｓ＝∫Ｌ0(φ,∂μφ)ｄ4ｘの変分δＳが停留値を取るべきであるという作用原理から,場の運動方程式はオイラー・ラグランジュ方程式∂μ{∂Ｌ0/∂(∂μφ)}－∂Ｌ0/∂φ＝0 で与えられます。
当然ながら,これは素朴なクライン・ゴルドン方程式(□＋ｍ2)φ(ｘ)＝0 に一致します。ここに□≡∂μ∂μ＝∂2/∂ｔ2－∇2で,これはダランベルシャン(d'Alembertian)と呼ばれる微分演算子です。∇2はラプラス演算子(Laplacian)です。
正準共役な運動量密度演算子はπ(ｘ)＝∂Ｌ0/∂(∂0φ)＝∂0φ＝∂0φで与えられます。
そこで,同時刻の正準交換関係は,[π(ｘ),φ(ｙ)]|x0=y0＝－iδ3(ｘ－ｙ),および[φ(ｘ),φ(ｙ)]|x0=y0＝[π(ｘ),π(ｙ)]|x0=y0＝0 となります。
そして,φ(ｘ)の自由平面波によるフーリエ(Fourier)展開式はφ(ｘ)＝(2π)-3/2∫ｄ3ｋ(2ωk)-1/2{ａ^(ｋ)exp(－iｋｘ)＋ａ^＋(ｋ)exp(iｋｘ)}と書けます。
ただし,ωk≡(ｋ2＋ｍ2)1/2＞0 であり,exp(－iｋｘ)＝exp(－iωkｔ＋iｋｘ),exp(iｋｘ)＝exp(iωkｔ－iｋｘ)です。また,ａ^＋(ｋ)はａ^(ｋ)のエルミート共役です。
同時刻の正準交換関係[π(ｘ),φ(ｙ)]|x0=y0＝－iδ3(ｘ－ｙ),[φ(ｘ),φ(ｙ)]|x0=y0＝[π(ｘ),π(ｙ)]|x0=y0＝0 から,ａ^(ｋ),ａ^＋(ｋ)の交換関係[ａ^(ｋ),ａ^＋(ｋ')]＝δ3(ｋ－ｋ'),[ａ^(ｋ),ａ^(ｋ')]＝[ａ^＋(ｋ),ａ^＋(ｋ')]＝0 が得られます。
これらａ^(ｋ),ａ^＋(ｋ)の交換関係から,同時刻とは限らない一般の場の交換関係のフーリエ積分表示として,[φ(ｘ),φ(ｙ)]＝(2π)-3∫ｄ3ｋ(2ωk)-1[exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}＋exp{iｋ(ｘ－ｙ)}]を得ます。
これをiΔ(ｘ－ｙ)と定義します。
特に,質量ｍの関数であることを強調したいときには,Δ(ｘ)の代わりにΔ(ｘ,ｍ2)と表記します。Δ(ｘ),またはΔ(ｘ,ｍ2)は座標ｘμのローレンツ変換に対して不変なので,不変デルタ関数と呼ばれます。
そして,iΔ(ｘ－ｙ)＝[φ(ｘ),φ(ｙ)]ですから,Δ(ｙ－ｘ)＝－Δ(ｘ－ｙ)であり,また,(□＋ｍ2)φ(ｘ)＝0 ですから,(□＋ｍ2)Δ(ｘ)＝0 を満たします。
前記事の電磁場について,不変デルタ関数として与えたＤ(ｘ)は－Δ(ｘ,0)であり,□Ｄ(ｘ)＝0 の解です。
不変デルタ関数は,交換子[φ(ｘ),φ(ｙ)]で与えられる上記の関数だけではなく,(□＋ｍ2)Δ(ｘ)＝0 ,または(□＋ｍ2)Δ(ｘ)＝±δ4(ｘ)を満たすローレンツ不変な関数Δ(ｘ)は全て,クライン・ゴルドン演算子(□＋ｍ2)に対する不変デルタ関数と呼ばれるようです。
同時刻交換関係[π(ｘ),φ(ｙ)]|x0=y0＝[∂0φ(ｘ),φ(ｙ)]|x0=y0＝－iδ3(ｘ－ｙ)から,このΔ(ｘ)は∂0Δ(ｘ)|x0=0＝－δ3(ｘ)を満たします。
そして,[φ(ｘ),φ(ｙ)]|x0=y0＝0 から,ｘとｙが空間的(space-like)に離れているとき,すなわち(ｘ－ｙ)2＜0なら[φ(ｘ),φ(ｙ)]＝iΔ(ｘ－ｙ)＝0 が得られます。
空間的(ｘ－ｙ)2＝(ｘ0－ｙ0)2－(ｘ－ｙ)2＜0 の場合,適当なローレンツ変換によって,２つの事象ｘ,ｙが同時刻:ｘ0＝ｙ0となるような座標系を取ることが可能です。
その座標系では同時刻なので[φ(ｘ),φ(ｙ)]|x0=y0＝0 ですが,これはローレンツ変換に対して不変な関係ですから,[φ(ｘ),φ(ｙ)]＝iΔ(ｘ－ｙ)＝0 と結論されます。
そういうわけで,(ｘ－ｙ)2＜0 (空間的)なら[φ(ｘ),φ(ｙ)]＝0 が成立します。これは理論が相対論的な微視的因果律を満たす十分条件になっています。
さて,簡単な計算によって,ωk≡(ｋ2＋ｍ2)1/2＞0とｋの任意関数ｆ(ωk,ｋ)に対し,公式∫ｄ3ｋ(2ωk)-1ｆ(ωk,ｋ)＝∫ｄ4ｋδ(ｋ2－ｍ2)θ(ｋ0)ｆ(ｋ0,ｋ)が成立することがわかります。
ただし,θ(τ)はヘヴィサイド関数(階段関数)でθ(τ)≡1(τ＞0),0(τ＞0)によって定義され,常にθ(τ)＋θ(－τ)＝1を満たします。
これを用いると,iΔ(ｘ)＝(2π)-3∫ｄ3ｋ(2ωk)-1[exp(－iｋｘ)＋exp(iｋｘ)]より,Δ(ｘ)＝(－i)(2π)-3∫ｄ4ｋδ(ｋ2－ｍ2)θ(ｋ0)[exp(－iｋｘ)－exp(iｋｘ)]＝(－i)(2π)-3∫ｄ4ｋδ(ｋ2－ｍ2)ε(ｋ0)exp(－iｋｘ)と書けます。
ここで,ε(τ)はε(τ)≡1(τ＞0),－1(τ＞0)でθ(τ)＝(1/2){ε(τ)＋1}で定義される符号関数です。
一方,(□＋ｍ2)ΔF(ｘ)＝－δ4(ｘ)を満たすグリーン関数として,よく知られた伝播関数(propagator)ΔF(ｘ)があります。
これは,Ｔ積の真空期待値:iΔF(ｘ－ｙ)≡＜0|Ｔ(φ(ｘ)φ(ｙ)))|0＞＝θ(ｘ0－ｙ0)＜0|φ(ｘ)φ(ｙ)|0＞＋θ(ｙ0－ｘ0)＜0|φ(ｙ)φ(ｘ)|0＞で与えられるグリーン関数です。
φ(ｘ)＝(2π)-3/2∫ｄ3ｋ(2ωk)-1/2{ａ^(ｋ)exp(－iｋｘ)＋ａ^＋(ｋ)exp(iｋｘ)}を代入すると,＜0|φ(ｘ)φ(ｙ)|0＞＝(2π)-3∫ｄ3ｋ(2ωk)-1exp{－iｋ(ｘ―ｙ)},＜0|φ(ｙ)φ(ｘ)|0＞＝(2π)-3∫ｄ3ｋ(2ωk)-1exp{iｋ(ｘ―ｙ)}です。
この＜0|φ(ｘ)φ(ｙ)|0＞,＜0|φ(ｙ)φ(ｘ)|0＞を示す関数を,それぞれΔ＋(ｘ－ｙ),Δ－(ｘ－ｙ)と書けば,iΔF(ｘ)＝θ(ｘ0)Δ＋(ｘ)＋θ(－ｘ0)Δ－(ｘ)と書けます。
一般に,Δret(ｘ)≡θ(ｘ0)Δ＋(ｘ)は遅延グリーン関数と呼ばれ,Δadv(ｘ)≡－θ(－ｘ0)Δ－(ｘ)は先進グリーン関数と呼ばれます。
そこで,伝播関数iΔF(ｘ)は,iΔF(ｘ)＝Δret(ｘ)－Δadv(ｘ)とも表現されます。
一方,iΔ(ｘ－ｙ)＝[φ(ｘ),φ(ｙ)]＝＜0|[φ(ｘ),φ(ｙ)]|0＞＝＜0|φ(ｘ)φ(ｙ)|0＞－＜0|φ(ｙ)φ(ｘ)|0＞＝Δ＋(ｘ－ｙ)－Δ－(ｘ－ｙ)です。よって,iΔ(ｘ)＝Δ＋(ｘ)－Δ－(ｘ)です。
Δret(ｘ)≡θ(ｘ0)Δ＋(ｘ),およびΔadv(ｘ)≡－θ(－ｘ0)Δ－(ｘ),用いると,iΔ(ｘ)もiΔ(ｘ)＝θ(ｘ0)Δret(ｘ)＋θ(－ｘ0)Δadv(ｘ)と表現することができます。
いずれにしても,ｘ0＞0 の未来では,iΔ(ｘ)＝iΔF(ｘ)＝Δret(ｘ)＝Δ＋(ｘ)となりますから,iΔ(ｘ)もiΔF(ｘ)も遅延グリーン関数として同じ意味を持ちます。
したがって,Δ(ｘ)を用いてもΔF(ｘ)を用いても,全く同じように初期値問題のキルヒホッフ表示が可能です。
なお,(□＋ｍ2)ΔF(ｘ)＝－δ4(ｘ)から,ΔF(ｘ)のフーリエ変換をΔF(ｘ)≡(2π)-4∫ｄ4ｋΔ~F(ｋ)exp(－iｋｘ)と書けば,(ｋ2－ｍ2)Δ~F(ｋ)＝1となります。
そこで,iΔF(ｘ)＝(2π)-3∫ｄ3ｋ(2ωk)-1[θ(ｘ0－ｙ0)exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}＋θ(ｙ0－ｘ0)exp{iｋ(ｘ－ｙ)}]は,別の表示として(2π)-4∫ｄ4ｋ[exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}/(ｋ2－ｍ2＋iε)]を持ちます。
これは,ヘヴィサイド関数θ(τ)がθ(τ)＝{－/(2πi)}∫-∞∞ｄω[exp(－iωτ)(ω＋iε)-1]と表わせることからも簡単に示せます。
Δ(ｘ),ΔF(ｘ)を,それぞれΔ(ｘ,ｍ2),ΔF(ｘ,ｍ2)と表記して質量ｍがゼロの場合のΔ(ｘ,ｍ2),ΔF(ｘ,ｍ2)を,それぞれＤ(ｘ)≡Δ(ｘ,0),ＤF(ｘ)≡ΔF(ｘ,0)と定義します。
(□＋ｍ2)Δ(ｘ,ｍ2)＝0,(□＋ｍ2)ΔF(ｘ,ｍ2)＝－δ4(ｘ)でしたから,□Ｄ(ｘ)＝0,□ＤF(ｘ)＝－δ4(ｘ)です。
Ｄ(ｘ)のフーリエ積分表示は,Ｄ(ｘ)＝(－i)(2π)-3∫ｄ3ｋ(2|ｋ|)-1[exp(－iｋｘ)＋exp(iｋｘ)]＝(－i)(2π)-3∫ｄ4ｋδ(ｋ2)θ(ｋ0)[exp(－iｋｘ)－exp(iｋｘ)]＝(－i)(2π)-3∫ｄ4ｋδ(ｋ2)ε(ｋ0)exp(－iｋｘ)であり,∂0Ｄ(ｘ)|x0=0＝－δ3(ｘ)です。
また,ｘが空間的:ｘ2＜0ならＤ(ｘ)＝0です。
一方,ＤF(ｘ)のフーリエ積分表示は,ＤF(ｘ)＝(－i)(2π)-3∫ｄ3ｋ(2|ｋ|)-1[θ(ｘ0－ｙ0)exp{－iｋ(ｘ―ｙ)}＋θ(ｙ0－ｘ0)exp{iｋ(ｘ―ｙ)}]＝(2π)-4∫ｄ4ｋ[exp{－iｋ(ｘ―ｙ)}/(ｋ2＋iε)]です。
さらに,Ｅ関数は□Ｅ(ｘ)＝Ｄ(ｘ)を満たす関数であるとすると,□2Ｅ(ｘ)＝Ｄ(ｘ)です。
Ｄ(ｘ)＝(－i)(2π)-3∫ｄ4ｋδ(ｋ2)ε(ｋ0)exp(－iｋｘ)でしたから,形式上はＥ(ｘ)＝(－i)(2π)-3∫ｄ4ｋδ(ｋ2)ε(ｋ0)ｋ-2exp(－iｋｘ)です。
しかし,被積分関数がｋ2＝0 に特異性を持つので何らかの特異点を避ける処理が必要です。ｋ2をｋ2＋iεで置き換えて,積分後にε→＋0 の極限を取ることにします。
細かいことは後にして,,電磁場の共変的量子化を考えます。
すぐ前の記事では,Ｄ(ｘ)は∂0Ｄ(ｘ)|x0=0＝δ3(ｘ)を満たすと書いていることからもわかるように,前記事でのＤ(ｘ)は－Δ(ｘ,0)を意味していました。
そこでは,補助場Ｂ(ｘ)がダランベール方程式□Ｂ(ｘ)＝0 を満たすので,キルヒホッフの積分表示がＢ(ｘ)＝∫ｄ3ｚ[{∂Ｄ(ｘ－ｚ)/∂ｘ0}Ｂ(ｚ)＋Ｄ(ｘ－ｚ)∂Ｂ(ｚ)/∂ｚ0]で与えられるとしていました。
しかし,ここではＤ(ｘ)＝Δ(ｘ,0)としているので,キルヒホッフの表示式はＢ(ｘ)＝∫ｄ3ｚ[{∂Ｄ(ｘ－ｚ)/∂ｚ0}Ｂ(ｚ)－Ｄ(ｘ－ｚ)∂Ｂ(ｚ)/∂ｚ0]となります。
ここで,記号∂0⇔をｆ∂0⇔ｇ≡{∂ｆ(ｘ)/∂ｘ0}ｇ(ｘ)－ｆ(ｘ)∂ｇ(ｘ)/∂ｘ0によって定義すると,Ｂ(ｘ)の積分表示は,Ｂ(ｘ)＝∫ｄ3ｚＤ(ｘ－ｚ)∂z0⇔Ｂ(ｚ)と簡単になります。
右辺の積分式はｚ0に依存するように見えますが,左辺のＢ(ｘ)がｚ0に依存しないので,右辺をｚ0で偏微分してもゼロのはずです。
実際,□Ｂ＝0 を用いると確かに∂[∫ｄ3ｚＤ(ｘ－ｚ)∂z0⇔Ｂ(ｚ)]/∂ｚ0＝∫ｄ3ｚ[∇2Ｄ(ｘ－ｚ)Ｂ(ｚ)－Ｄ(ｘ－ｚ)∂z02Ｂ(ｚ)]＝0 となります。
４次元交換関係[Ｂ(ｘ),Ｂ(ｙ)]にＢ(ｘ)＝∫ｄ3ｚ{∂z0Ｄ(ｘ－ｚ)Ｂ(ｚ)－Ｄ(ｘ－ｚ)∂z0Ｂ(ｚ)}を代入すると,[Ｂ(ｘ),Ｂ(ｙ)]＝∫ｄ3ｚ{∂z0Ｄ(ｘ－ｚ)[Ｂ(ｚ),Ｂ(ｙ)]－Ｄ(ｘ－ｚ)[∂z0Ｂ(ｚ),Ｂ(ｙ)]}が得られます。
右辺のｚ0は何でもいいので,ｚ0＝ｙ0とおくと,既知の同時刻交換関係[Ｂ(ｘ0,ｘ),Ｂ(ｘ0,ｙ)]＝0,[Ｂ(ｘ0,ｘ),∂0Ｂ(ｘ0,ｙ)]＝0 から,[Ｂ(ｘ),Ｂ(ｙ)]＝0 が得られます。
一方,運動方程式:□Ａμ＝(1－α)∂μＢ＝0 から,前記事では,Ａμ(ｘ)＝Ｃμ(ｘ)＋(1－α)∫ｄ4ｚＤ(ｘ－ｚ){∂Ｂ(ｚ)/∂ｚμ},□Ｃμ＝0 なる表現ができるはずと書きました。
特に,□Ｃμ＝0 を満たすＣμ(ｘ)を,Ｃμ(ｘ)≡∫ｄ3ｚ{∂z0Ｄ(ｘ－ｚ)∂z0⇔Ａμ(ｚ)}とします。
残りの非同次の部分:(1－α)∫ｄ4ｚＤ(ｘ－ｚ){∂Ｂ(ｚ)/∂ｚμ}は,前記事ではＤ(ｘ)の符号が違うので,これを－Ｄ(ｘ)に変更します。
すると,Ａμ(ｘ)＝∫ｄ3ｚ{Ｄ(ｘ－ｚ)∂z0⇔Ａμ(ｚ)}－(1－α)∫ｄ4ｚＤ(ｘ－ｚ)∂zμＢ(ｚ)となります。
さらに,□∂μＢ＝0 ですから,∂μＢ＝∫ｄ3ｚ{Ｄ(ｘ－ｚ)∂z0⇔∂zμＢ(ｚ)}とキルヒホッフ表示式で表現できます。
そこで,Ａμ(ｘ)＝∫ｄ3ｚ{Ｄ(ｘ－ｚ){∂－ｚ)∂z0⇔Ａμ(ｚ)}－(1－α)∫ｄ4ｙ∫ｄ3ｚＤ(ｘ－ｙ)Ｄ(ｙ－ｚ)∂zμＢ(ｚ)となります。
ところが,□Ｅ(ｘ)＝Ｄ(ｘ)から,Ｅ(ｘ)はＥ(ｘ)＝－∫ｄ4ｚＤ(ｘ－ｚ)Ｄ(ｚ)なる表現を持ちますから,∫ｄ4ｙ∫ｄ3ｚＤ(ｘ－ｙ)Ｄ(ｙ－ｚ)＝Ｅ(ｘ－ｚ)と書けます。
したがって,結局Ａμ(ｘ)＝∫ｄ3ｚ{Ｄ(ｘ－ｚ)∂z0⇔Ａμ(ｚ)＋(1－α)Ｅ(ｘ－ｚ)∂z0⇔∂zμＢ(ｚ)}なる表現を得ます。
これから,[Ａμ(ｘ),Ａν(ｙ)]＝－iημνＤ(ｘ－ｙ)＋i(1－α)∂xμ∂xνＥ(ｘ－ｙ)なる４次元交換関係の表現が得られます。
最後の部分の詳細についてはは次回にして今日はここで終わります。
参考文献：J.D.Bjorken,S.D.Drell「Relativistic Quantum Fields」McGraw-Hill,中西 襄 著「場の量子論」(培風館)
ＰＳ：(6/17(水)早朝記す。) 何？「大政奉還すべきだ。」という主張の意味がわからない？だって。。発想が貧困だなあ。。
「別に政権を朝廷に返せ」などというアナクロな意味じゃないよ。。
これは,「政治を本来の主人＝主権者に返還するべきだ。」という意味だろう？
いつまでも姑息な延命をはかるんじゃなくて,早く主権者に返して少なくとも審判を仰げ。。という素朴な意味だぜ。。
ＰＳ２:どうも,この記事はCatFalconさんのブログの記事「不変デルタ関数」http://blogs.yahoo.co.jp/cat_falcon/29567993.html とほぼ,かぶっているようです。
CatFalconさんの方が,時期的に少し前で,かなり似ているようですが参考文献が同じ中西さんの本なのでそうなりますね。。
ヒョッとしたら,記事を見かけてブログネタとして参考にしたかもしれませんが,内容をコピーしたわけではありません。
悪気はないので,よろしくです。。＞CatFalconさん
なお,「電磁場の共変的量子化(2)」の続きは今執筆中です。
TOSHI
http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。
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