2017年6月20日 (火)

摂動論のアノマリー(8)

摂動論のアノマリーの続きです。
 

前回は,軸性カレントのWardの恒等式が,軸性頂点を1つ含む 

三角グラフの摂動計算では,(63): 

(1+k2)μσρμ20σρ8π21ξ2τεξτσρ 

となり, 右辺の最後の項が,純粋に場理論から求められる恒等式

への余分な異常項=アノマリーとして存在することがわかり,
 

これを引き算などの単純な操作で除去する試みは不可能であり, 

むしろ.これを本質的な存在と認めるべきである,という結論 

に到達した。というところで終わりました。
 

前回の記事は1976年当時のノートと,それに説明不足がある

のを,後の1995年に補足したノートを含めたものから原稿を

書きました。,
 

そして,日付によると,1995年の112日夜から13日未明

までの深夜に,ここまでの内容の理解が完了したようです。
 

そして,今回は,また主に1975年のノ-トからの引用です。

本講義の残りでは,当面の三角グラフに対して,常に表現:

σρμを用います。

 この方が,"正しい"軸性ベクトルWard恒等式を
満足し,

異常項(アノマリー)を持たないように引き算された

表現:R'σρμより,むしろ自然であると考えます。
 

ベクトルカレントのWard恒等式が,軸性ベクトルカレント

Ward恒等式よりも,先験的に神聖であるということは

決してない,と思われるので,この選択には,何らかの正当化

の言を要します。

 
とりわけ,次のことに着目します。

 
もしも,三角グラフが,ニュートリノ-反ニュートリノ対と

2つの光子の物理的相互作用を記述することを期待する

なら,ベクトルカレントの保存を強要する,ことは本質的な

ことです。

 
2つの光子は,J=1という状態には存在し得ないので,

νν~のJ=1の状態から2光子の状態へという寄与は

消える必要があります。
 

 (8-1):2光子のC.M系(質量中心系(center of fmass)

=重心系で考察します。

光子は,スピン1の自由度3の3次元空間ベクトルで表現

されます,特に質量がゼロのベクトル粒子という性格から,

縦波自由度が除去されて,実は自由度が2の粒子です。
 

しかし.取りあえず,横波のみであることを忘れるとこれは,

3次元空間のベクトルで表現されます。
 

そこで2光子系の波動関数は,運動量表示で2階の3次元

テンソル:ij()(,j=1,2,3)で記述されます。2つの

添字は各々1つの光子のベクトル添字に対応します。
 

.M系という意味は,01+k2です。

故に,1-k221です。

 
2光子がいずれも横波であるという条件を用いると, 

iij=kjij0 です。

 
さらに光子は,粒子(状態)交換で対称なBose統計に従います。
 

光子の交換は,添字iとjの交換と同時に → -kを

意味 しますから,

Bose統計から,ji()=Aij() 要求されます。
 

つまり,座標系の反転は2階テンソルの向きを変えず,(極性) 

ベクトル.の向きを変えます。


 一方,Bose統計は空間反転に対して全体
としてのパリティが

1であることを要求するわけです。
 

3次元ベクトルのテンソル積として得られる2階テンソル:

ij,3×3=1+3+5と,表現空間に分解され,それぞれ

スピン:S=0,1,2 に対応します。

  1次元(S=0)と5次元(S=2)は対称テンソル,3次元

(S=1) は反対称テンソルです。

そこで,これが意味するスピン波動関数部分のパリティは,

S=0 とS=2 の対称 テンソルなら,+1でS=1の反対称

テンソルなら,-1です。
 

一方,軌道部分を考察すると,軌道角運動量をLとすると

トータルの角運動量は,J=L+Sで与えられます。,

総角運動量が1の状態:つまり,J=1となるためには,

(,)(1,0),(0,1),(1,1)(1,2) 組合わせしか

ありません。

 
よく知られているように,軌道部分のパリティは,

(-1)与えられますすから,

 
スピンと軌道の積で全体としてのパリティが+1

であるべき,というBose統計性の必要条件は,

(,)(1,0),(0,1),(1,2)のペアでは満足

れ得ません。
 

残るのは,(,)(1.1)だけですが,
 
ここで光子は質量
のあるベクトル粒子のようなSO(3)

の自由度3の粒子ではなく,縦波の無い自由度2のE(2)

に属することを考慮します。

 
2光子系は,3×3=1+3+5なる規約表現空間への

次元展開ではなく2×2=1+3と展開され.それぞれ,

S=0,S=2に対応し,S=1をつくることはできません。
 

以上から,(,)(1.1)も有り得ないので,

結局,2光子系はJ=1の状態をつくることができない

ことがわかりました。     

 (8-1終わり※)
 

そこで,Rσρμによって,上記の"J=1の状態から2光子

への寄与は消えなければならない"という要求を表現

すると次の通りです。
 

νν~対の運動量:(1+k2)に対して,μ

(1+k2)0 を満たす任意のスピン1の偏極ベクトル

とし,(ε1,1),(ε2,2)を,ε110,ε220,

(1)2=(2)20 を満足する光子変数とすれば,

με1σε2ρσρμ0 が成立しなければならない。

.

ということです。

(55):σρμ(1,2)
=A11τετσρμ+A22τετσρμ
+A31ρ1ξ2τεξτσμ+A42ρ1ξ2τεξτσμ
+A42ρ1ξ2τεξτσμ+A51σ1ξ2τεξτρμ

+A62σ1ξ2τεξτρμ 

および,

(56):1(1,2)=-A2(2,1),3(1,2)=-A6(2,1),

4(1,2)=-A5(2,1) 

(57):1(12)3(2)24,2(1)25(12)6 

(58):31,2)=-16π211(1,2),

41,2)16π2{20(1,2)-I10(1,2)}

 によって与えられるRσρμ,この条件:

με1σε2ρσρμ0 を満足することが,実際に

Rosenbergによって,示されています。

(※これは,実際に容易にチェックできますが。。)

 
一方,(65)の引き算項:σρμ4π2ετσρμ(1-k2)τ,

明らかにμε1σε2ρσρμ0 を満たしません。
 それ故,R' σρμ=Rσρμ-Sσρμもまた,条件

με1σε2ρR'σρμ0 を満足しません。

 第2に,以下に見ることですが,Ward恒等式のアノマリー

と交換子のアノマリーの関係は,ベクトオルカレントの保存

(=ゲージ不変性)が守られているときには,特に簡単な形式

をとります。

 最後に三角グラフのアノマリーの最も興味深い適用,つまり,

π0崩壊の低エネルギー定理」は,三角グラフの定義が

用いられる方法に独立である,ということが後にわかります。


 
そこで再び,(このケースには本質的ではないですが)

ゲージ不変性を守るという条件が,便利であることが

わかります。

 
(↑※ 以上,§2.2「引き算によるアノマリー除去

 の不可能性」終わりです。※)

§2.3 Anomaly for General Axial-Vector current Matrix Element

(一般的軸性ベクトルカレントの行列要素のアノマリー)

 
次に,三角グラフに対するアノマリーを伴うWard恒等式(63):

(1+k2)μσρμ20σρ8π21ξ2τεξτσρ

までで,やめた,グラフ的解析に戻ります。

  
明らかに,基本的な三角グラフに対するWard恒等式の破れ

 は, 下図のような型の任意のグラフdiagramに対してもWard

 恒等式の不成立を引き起こします。

  
下記のグラフにおいては,三角グラフから出てくる2つ

 の光子線が2F個のFermion線とB個のBoson線が出ているblob

の中に入っています。



  
上述の式(63),基本三角グラフの軸性カレントの発散に

対する式から,一般の場合の軸性ベクトルカレントの

Ward恒等式は軸性ベクトルカレントの4次元発散

対する(41):μ5μ()2i05(), 

μ5μ()2i05()

{α0/(4π)}ξσ()τρ()εξστρ..(68)

置き換えることによって簡単に記述されます。
 

(68),5μ,5,および,{α0/(4π)}ξστρεξστρ

に対する次のようなFeynmanルールを用いて,容易に

証明されます。
 

5μ() p←・←p⇔ γμγ5 

5() p←・←p γ5

{α0/(4π)}ξστρεξστρ  1,σ←・←k2,ρ  

⇔ (2α0/π)1ξ2τεξστρ

 

ただし,α0=e02/(4π) です。
 

(8-2):頂点因子のうち,{α0/(4π)}ξστρεξστρ 

部分に対応する寄与を,Γσρ(-k1,2)と書けば,
 

(2π)4δ4(1+k2)(i)(2π)-3(4ω1ω2)-1/2

εσ(1)ερ(2)Γσρ(-k1,2)

(i){α0/(4π)}εσ(1)ερ(2)εξατβ 

∫d4x<0|[ξα()τβ()]|k1,σ;k2,ρ>
 

ただし,μν()=∂νμ()-∂μν(),

ν()=∫d3{(2π)3(2ω)}-1/2 

{μ()ex(ikx))+a+μ()exp(ikx)} であり,
 

|k1,σ;k2,ρ>=a+ρ(1)+σ(2)|0> です。
 

交換関係は,

[α(2),β(2)][+α(1),+β(2)]0, 

[α(1),+β(2)]=δ3(12)αβ です。
 

故に,(i){α0/(4π)}εσ(1)ερ(2)εξατβ 

∫d4x<0|[ξα()τβ()]|k1,σ;k2,ρ>
 

(i){α0/(4π)}εσ(1)ερ(2)εξατβ

(2π)4δ4(1+k2){(2π)6(4ω1ω2)}-1/2 

{(i1αξσi1ξασ)( i2ατρi2ταρ) 

(i1ατσi1τασ)( i2αξρi2ξαρ)}
 

(2π)4δ4(1+k2)(i){{(2π)6(4ω1ω2)}-1/2

εσ(1)ερ(2){α0/(4π)}(8)εξστρ1ξ2τ,
 

したがって,座標表示の{α0/(4π)}ξσ()τρ()εξστρ  

の寄与は,Γσρ(-k1,2)(2α0/π) 1ξ2τεξστρ 

と×という結果が得られました。   

  (8-2終わり※)
 

こうしたFeynmanルールを用いると, 

基本三角グラフについては 

μ5μ()2i05() に対しての, 

(1+k2)μσρμ20σρという形のWard恒等式 

の代わりに.
 

(1+k2)μσρμ20σρ 

{(2π)4/(i02)}(i)(2α0/π) 1ξ2τεξστρ 

20σρ8π21ξ2τεξτσρ 

という形のアノマリー項のあるWard恒等式(63)が得られます。
 

(68):μ5μ()2i05() 

{α0/(4π)}ξσ()τρ()εξστρ 

を用いると,軸性ベクトル頂点に対するWard恒等式が 

どのように変わるか?を容易に見ることができます。
 

そのため,~(,p')を次式で定義します。
 

すなわち,F'(p)~(,p')F'(p') 

=∫d4xd4exp(ipx)exp(ip'y) 

0|[ψ()ξσ(0)τρ(0)εξστρψ~()]|0..(69) 

です。
 

このとき,(p-p')μΓ5μ(,p')20Γ5(,p')

+SF'-1(p)γ5+γ5F' -1(p')i{α0/(4π)}~(.p')

 ..(70)
 

これが(44):(p-p')μΓ5μ(,p')20Γ5(,p') 

+SF'-1(p)γ5+γ5F' -1(p')

にとって代わる式です。
 

切りがいいので,今日はここで終わります。
 

次回は,今の考察に引き続く,

§2.4 Coordinate Space Calculation(座標空間の計算)

という項目に入る予定です。
 

(参照文献):Lectures on Elementary Particles 

 and Quantum Field Theory 

(1970 Brandeis University SummerInstitute  

in Theoretical Physics) Volume

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2017年6月19日 (月)

訃報!!野際陽子さん

 去る6月13日女優の野際陽子さんが,肺せんガンのため亡くなられました。

 享年81歳でした。

 NHKニュース → 女優の野際陽子さん死去。81歳

「野際 陽子」の画像検索結果

 日本のテレビ創世記に元NHKアナウンサーで,女優に転向され,「キイハンター」以後は有名でした遅咲きでしたが。。いろいろなドラマでの出演を当たり前のように見ていました。 まだまだ,お若いので残念です。

 最近も「やすらぎの里」という有名老人の憩いのホームといのドラマでお見かけしていたので,突然の訃報には驚きました。:

 ご冥福を祈ります。合掌!!

PS:6/15に久しぶりに年金が入ったので,ブログ書き以外の少額の必需品の買い物などに少し興味が移っていました。

 それにカゼでもないのに,連日夜になると,普段より1度以上も高い微熱の発生も気になっています。私の場合,発熱の原因は傷の化膿,雑菌感染の疑いがとても大きく,敗血症で命取りになるのでね。

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2017年6月 8日 (木)

摂動論のアノマリー(7)

摂動論のアノマリーの続きです。
 

前回は,軸性カレントのWardの恒等式(46); 

(p-p')μΛ5μ(,p') 

20Λ5(,p')-Σ()γ5-γ5Σ(p') 

,三角グラフにおいても成立するなら, 

(62):(1+k2)μσρμ20σρとなる 

べきなのに,
 

実際に,計算を実行すると, 

(63):(1+k2)μσρμ20σρ8π21ξ2τεξτσρ 

となり,三角グラフの場合には,軸性カレントのWardの恒等式 

は成立せず,破れ(アノマリー)が存在することがわかりました。
 

しかし,(63)式を示す訳注を追加するには長くなり過ぎるため, 

ここで終わり次回に回します。
 

と書いて終わりました。
 

そこで,今回は(63)を証明する訳注(7-1)から始めます。
 

(7-1):σρμ(1,2) 

16π2 [{(12)11(2)2(20-I10)}1τετσρμ 

{(12)11(1)2(02-I01)}2τετσρμ 

-I111ρ1ξ2τεξτσμ(20-I10)2ρ1ξ2τεξτσμ 

(02-I01)}1σ1ξ2τεξτρμ+I112σ1ξ2τεξτρμ]
 

故に,(1+k2)μσρμ(1,2) 

=-16π2 [{(12)11(2)2(20-I10)}1τ2μετσρμ 

{(12)11(1)2(02-I01)}1μ2τετσρμ 

{2(12)11(2)2(20-I10)(1)2(02-I01)} 

×k1ξ2τεξτσρ  です。
 

よって,(1+k2)μσρμ(1,2)16π2 

{2(12)11(2)2(20-I10)(1)2(02-I01)}

×1ξ2τεξτσρ  です。
 

ところが,

2(12)11(2)2(20-I10)(1)2(02-I01)} 

=∫01dx∫01-xdy

{(1-y)(1)2+x(1-x)(2)2

2xyk12)} /{(1-y)(1)2+x(1-x)( 2)2

2xy(12)-m02}]
 

=∫01dx∫01-xdy 

[1+m02/{(1-y)(1)2+x(1-x)( 2)2

2xy(12)-m02}]1/2+m0200(12) 

です。
 

したがって,(1+k2)μσρμ(1,2) 

8π21ξ2τεξτσρ16π20200(12)1ξ2τεξτσρ 

が得られました。  (7-1終わり※)
 

§2.2 Impossibility of Eliminating the Anomaly by subtraction 

(引き算によってアノマリーを除去することが不可能なこと)
 

今度は,引き算(切断など),別の方法でRσρμを再定義して 

(63)式のWard恒等式のアノマリーを削除したり、回避したり 

することが可能か否か?という問いが直ちに生じます。
 

(※このアノマリーの存在は,本質的なのか?,それとも 

見掛け上に過ぎないのか?という疑問が生じます。※)
 

もちろん,この方法を実行した際,新たなタイプのアノマラス 

なモノ(異常項)を持ちこんでは意味がないことは,明らかです。
 

σρμのあるべき性質を保持するためには,引き算項は, 

次の性質を持つ必要があります。,
 

()成分が3つの共変添字を持つ,軸性テンソルでなければ

ならない。
 

()光子変数:1σ,2ρの交換に対して対称でなければ

ならない。
 

()運動量変数:1,2の多項式でなければならない。
 

この要請は,一般化されたユニタリ性(質量殻の外でもS演算子 

はユニタリであること)から導かれます。

 それによると,
σρμの外線変数に関する不連続性は

「Cutkoskyの法則」によって,中間状態に対する

Feynman振幅と関係付けられます。

 (※ 中西襄 著(培風館)「n場の量子論」p236~237
 

 によると,

 
Cutkoskyの法則」とは,

特異点のまわりの不連続性は,運動量示のFeynman 

積分において,縮約図(reduced-graph)の内線に対応する 

Feynman伝播関数を,それぞれそのまま,分母のデルタ関数 

の(2πi)倍に置き変えた得られる積分によって与えられる。」
 

という規則です。

 これは,外線変数が
全て実数であるときは正しいことが,
 

homology論を用いて示されていますが.複素数の場合は 

運動量積分をどう解釈するか?がまだ不明確です。※)
 

結局,(54)feynman積分は不連続性を除くと,収束するので 

σρμの不連続性吸収部分虚数部分はアノマリーを持たない 

ことがわかります。
 

(7-2):(54)のRσρμを示すFeynman積分式で,これを

複素数:q2複素関数と考え,複素q2平面の実軸より上の

領域が物理的領域であるとした式を,

(i02)(2π)-4σρμ(2iε) 

2∫d4(2π)-4(1)r[{i/(1-m0)}(i0γσ) 

{i/(-m0)}(i0γρ){i/(2-m0)}(γμγ5)iε]

と書きます。

よって,σρμ(2iε) 2∫d4

(r{(1+m0)γσ(+m0)γρ(2+m0)γμγ5} 

/[{(r+k1)2-m02}(2-m02){(r-k2)2-m02}iε]) 

です。
 

この複素共役を取ると,

σρμ(2iε)=Rσρμ(2iε)2∫d4

(r{(1+m0) γσ(+m0)γρ(2+m0)γμγ5} 

/[{(r+k1)2-m02}(2-m02){(r-k2)2-m02}iε]) 

です。

 (+iε)の付加は,外向き散乱状態(out-states)の境界条件 

を持つ伝播関数である遅延(Retarded)Green関数に対応し,
 

(-iε)は,内向き散乱状態(in-states)の境界条件を持つ 

伝播関数である先進(Advancsd)Green関数に対応します。

ところが, 前に見たように,,

r{(1+m0)γσ(+m0)}γρ(2+m0)(γμγ5)} 

は展開すると,4iεασρμを係数とするような純虚数なので 

r{(1+m0) γσ(+m0)γρ(2+m0)(γμγ5)} 

=-Tr{(1+m0) γσ(+m0)γρ(2+m0)(γμγ5)} 

です。
 

故に,σρμ(2iε)=Rσρμ(2iε) 

=-2∫d4

(r{(1+m0) γσ(+m0)γρ(2+m0)(γμγ5)} 

/[{(r+k1)2-m02}(2-m02){(r-k2)2-m02}iε] 

です。
 

したがって, 

<γ(.1,ε1),γ(.2,ε2)out|5μ(0)|0  

(2π)-3(41020)-1/2(i02)(2π)-4ε1ρε2σ

σρμ(2iε) と書くと,
 

(2π)-3(41020)-1/2(i02)(2π)-4ε1ρε2σ

σρμ(2iε)

=-<γ(.1,ε1),γ(.2,ε2)in|5μ(0)|0  

となります。
 

これらを,辺々加えると,

(2π)-3(41020)-1/2(i02)(2π)-4ερεσ 

×{σρμ(2iε)-Rσρμ(2iε)} 

=<γ(.1,ε1),γ(.2,ε2)out|5μ(0)|0 > 

-<γ(.1,ε1),γ(.2,ε2)in|5μ(0)|0 >
 

一方, σρμ(2iε)401dx∫01-xdy∫d4

[r(・・・)/{2-x(1-x)(1)2}+y(1-y)(2)2

2yx(12)-m02iε}3]
 

σρμ(2iε)

=- 401dx∫01-xdy∫d4[r(・・・) 

/{2-x(1-x)(1)2}+y(1-y)(2)2

2yx(12)-m02iε}3]
 

σρμ(2iε)-Rσρμ(2iε) 

4σρμ(2iε)2im[σρμ(2iε)] 

401dx∫01-xdy∫d4lTr(・・・) 

×[{2-x(1-x)(1)2}+y(1-y)(2)2

2yx(12)-m02iε}-3 

{2-x(1-x)(1)2}+y(1-y)(2)2

2yx(12)-m02iε}^-3]
 

不連続性は,対数発散する項(多価関数性)によるため, 

そうした項の寄与を計算すると. 

∫d4[2/{2+f(x,,1,2)iε}3 

+l2/{2+f(x,,1,2)iε}3] 

=∫d4[1/{2+f(x,,1,2)iε}2 

1/{2+f(x,,1,2)iε}2](収束する項) 


となります。

 

そして, ∫d4[1/{2+f(x,,1,2)iε}2 

 1/{2+f(x,,1,2)iε}2] 

=-∫(x,,1,2)dc(/∂c) 

∫d4[{1/(2+c+iε)21/(2+c―iε)2}] 

2(x,,1,2)dc 

∫d4[{1/(2+c+iε)31/(2+c―iε)3}] 

=-2(x,,1,2)dc

[π2/{2i(c+iε)}-π2/{2i(c-iε)}] 

2επ2(x,,1,2)dc{(1/(2+ε2))(ε→ +0 )
 

これは明らかに収束します。つまり.σρμ(2iε)

複素q2平面の実軸上の不連続性は有限値に収束します。
 

有限値に収束する積分においては,これに,(1+k2)μ

を掛けて∫d4r積分を実行する際,rの原点を有限値だけ,

ずらしても,結果は不変なはずです。
 

したがって, (1+k2)μm[σρμ(2iε)] 

20m[ρσ(2iε)] が成立します。

 

すなわち,この有限な不連続性はアノマリーを持ちません。
 

このことから,適切な引き算項をSσρμ(2iε)と置くと, 

(1+k2)μ[σρμ(2iε)-Sσρμ(2iε)] 

20ρσ(2iε)  ですから,  

(1+k2)μm[σρμ(2iε)]0

が得られます。
 

また,Cutkoskiルールが信頼できるとすれば, 

次図のグラフの内線でreducedグラフを作ると考えて,

1/{(r+k1)2-m02}

2πiθ(-r0-k10)δ((r+k1)2-m02) 
 

1/{(r-k2)2-m02}

  2πiθ(0-k20)δ((r-k2)2-m02) 

です。
 

この置き換えで不連続性は, 

(2π)-3(41020)-1/2(i02)(2π)-4ε1ρε2σ 

×[σρμ(2iε)-Rσρμ(2iε)] 

(i02)(2π)-4×2∫d4

[θ(0+k10)δ((r+k1)2-m02)θ(-r0+k20)

δ((r-k2)2-m02)(2πi)2{1/(2-m02)} 

×Tr{(1+m0) γσ(+m0)γρ(2―m0)(γμγ5)}]
 

(i02)(2π)-4(-1)(2π)2×2∫d4142

θ(10)δ(12-m02)θ(20)δ(22-m02) 

δ4(1+p2+k1+k1){(1+k1)2-m02)}-1 

×Tr{(1+m0) γσ(11+m0)γρ(2-m0)(γμγ5)}]
 

(i02)(2)∫d3132{02/(1020)}1/2(2π)-6 

(2π)4δ4(1+p2+k1+k1)(20)-2 

r{(1+m0)γσ(11+m0)-1γρ(2-m0)(γμγ5)}]
 

です。
 

 一方, σρμ,それ自身のみでユニタリ性を満たすとすれば, 

ε1σε2ρ(i02)(2π)-4

[σρμ(2iε)-Rσρμ(2iε)] 

=<γ(.1,ε1), γ(.2,ε2)out|5μ(0)|0 > 

-<γ(.1,ε1), γ(.2,ε2)in|5μ(0)|0 >
 

=Σ±s1,±s2∫d4142 

{<γ(.1,ε1),γ(.2,ε2)out|(1,1)(2,2)out> 

-<γ(.1,ε1),γ(.2,ε2)in|(1,1)(2,2)out>}

×<e(1,1)(2,2)out|5μ(0)|0 >
 

=-iΣ±s1,±s2∫d3132(2π)4δ4(1+p2+k1+k1)

<e(1,1)(2,2)out|^|γ(.1,ε1),

γ(.2,ε2)out>

×<e(1,1)(2,2)out|5μ(0)|0 >
 

故に, 

(i02)(2π)-4[σρμ(2iε)-Rσρμ(2iε)] 

(i02)(2)∫d3132{02/(1020)}1/2(2π)-6 

(2π)4δ4(1+p2+k1+k1)Σ±s1,±s2 

~(2,2)iγσ(i)(11-m0)γρ(1,1) 

~(1,1)γμγ5 (2,2) 

(i02)(2)∫d3132{02/(1020)}1/2(2π)-6 

(2π)4δ4(1+p2+k1+k1)(20)-2 

×Tr{(2-m0) γσ(11-m0)-1γρ(1+m0)(γμγ5)}]
 

 (i02)(2)∫d3132{02/(1020)}1/2(2π)-6 

(2π)4δ4(1+p2+k1+k1)(20)-2 

×Tr{(1+m0) γσ(11-m0)-1γρ(2―m0)(γμγ5)}]
 

です。
 

こうして2つの方法で求めたRσρμの不連続性が完全に 

一致しました。
 

そこで,σρμはSσρμを差し引くことなく一般化された

ユニタリ性を満たします。これと,

(1+k2)μm[σρμ(2iε)]0 から,

m[σρμ(2iε)]0

と考えてよいと思われます。
 

以上から, σρμは複素q2平面,および,複素k12平面,

複素k22平面での整関数(entire function:複素平面上の任意

の点で正則な関数)であることがわかります。
 

したがって,無限遠点での真性特異性を除外すれば,

σρμ多項式となる必要があります。
 

(※zの多項式は無限遠点z=∞にのみ特異点()を持つ

整関数:収束半径が∞の無限ベキ展開可能な関数exp(az)

sin()なども整関数ではありますが。。)  


(7-3終わり※)
 
 

条件():もし,,,Wは任意として 

1=ξU,2=ξU+ξV+Wと置いて,ξ→∞とするとき, 

引き算項:σρμは悪くても(lnξ)のベキ乗のξ倍で発散

しなければなりません。
 

この要求はWeinbergの定理から導かれます。
 

すなわち,Feynman-diagramの外線運動量が上述のような形で 

∞に近づくとき,最大ベキは,ξmaxでありDmax,そのdiagram 

とその全ての部分diagramsの表面的発散が最大の次数です。
 

そして,この三角グラフでは,max1です。
 

σρμ,既にWeinbergの定理と無矛盾な漸近的挙動を持って 

いるのでSσρμもまた,そうでなければなりません。
 

(7-4):σρμ(1,2) 

=A11τετσρμ+A22τετσρμ 

+A31ρ1ξ2τεξτσμ+A42ρ1ξ2τεξτσμ 

+A42ρ1ξ2τεξτσμ+A51σ1ξ2τεξτρμ 

+A62σ1ξ2τεξτρμであり,
 

1(1,2)=-A2(2,1),3(1,2)=-A6(2,1), 

4(1,2)=-A5(2,1), 

1(12)3(2)24,2(1)25(12)6
 

そこでk1=ξU,2=ξU+ξV+Wと置いて, 

ξ→∞とするとき, 

(σρμ)=O(ξ33) or (ξ34)であり. 

3=-16π211(1,2) 

=-16π201dx∫01-xdy 

[xy/{(1-y)(1)2+x(1-x)( 2)2

2xy(12)-m02}3 なので.

(3)=O(ξ-2lnξ)です。
 

したがって,(σρμ)=O(ξlnξ) (7-4終わり※)
 

将来参照するため,V=0で1+k2は有限, 

ξ→∞のときの, σρμを評価すると,
 

σρμ(1=ξU,2=-ξU+(p-p')) 

→ -8π2ξUτετσρμ+O(lnξ)..(64)

となることに着目しておきます。
 

(7-5): 何故なら, 

(1+k2)μσρμ20σρ8π21η2τεητσρ
 

W=k1+k2(p-p’), 

-Wμσρμ8π2(ξU)η(-ξU+W)τεητσρ 

16π202ξU)η(-ξU+W)τεητσρ00(1,2)
 

-Wμσρμ8π2ητξεητσρ+O(lnξ)
 

特に,μ=―gμλと置けば,  

σρλ=-8π2ηξεηλσρ+O(lnξ) 
 

すなわち,σρμ=-8π2ηξεημσρ+O(lnξ) 

を得ます。   (7-5終わり※)
 

()引き算項は,質量と同じ次元(単位)を持つ

必要があります。 

(※k1,2の次元が質量Mなので,[σρμ]=M3[11] 

=M3-2=M です。)
 

()引き算項はベクトルカレントの保存を満足する

必要があります。 

(※k1σρμ=k2ρρμ0 → k1σσρμ=k2ρσρμ0 )
 

しかし,実際に,これら6つの条件の全てを満足する引き算項

を見出すのは不可能であることがわかります。

これを見るのは容易です。
 

最初の5つの条件は,(1-k2)τετσρμに比例する項

によってのみ満足されます。

しかしながら,この項は条件()を満足しません。

つまり,R'σρμ=Rσρμ4π2(1-k2)τετσρμ

と置けば,軸性カレントのアノマリー(異常項)のない

次のWardの恒等式を満たすもの:R'σρμを定義できます。
 

(1+k2)μR'σρμ20σρ..(65) 

しかし,これは,ベクトルカレントの保存を破ります。
 

1σR'σρμ=-4π21σ2τετσρμ 

2ρR'σρμ=π22ρ1τετσρμ  ..(66) 

です。
 

σρμ=-4π2(1-k2)τと置けば,カレントの保存

は破るが,アノマリーのないWardの恒等式をなすことに

成功した全ての理由は,,一方の発散アノマリー:

1μσρμがもう1つのそれ,-k2μσρμに置き換

わることです。
 

同様に,射影演算子を次のように導入して, 

R"σρμ

(μν-qμν/2)νσρ(μ/2)20σρ 

(q=-(1+k2) 

(3)σρμ

(σξ-k1σ1ξ/12)(ρη-k2ρ2η/22)ξησρ 

(67) と定義すれば 
 

σρ=-8π201ξ2τ00 εττσρ より 

μR"σρμ20σρ,

(1+k2) (3)σρμ20σρ が満たされ, 

1σR"σρμ=k2ρR"σρμ0,  

1σ(3)σρμ=k2ρ(3)σρμ0,も成立する

のですが,(1/2),(1/12)) (1/22)の導入により,

疑似運動学的特異性が導かれ,()多項式性(整関数性)

が破れます。
 

結局,アノマリーは,(63):(1+k2)μσρμ 

20σρ8π21ξ2τεξτσρ,それだけから,

存在するのではなく,上述の6つの要請の全てを同時的

に満足する再定義での三角グラフの寄与を見出すこと

が不可能であるという事実から,確かに存在するわけ

です。
 

アノマリーのカメレオン的性質を正しく評価する

ことに失敗すると,いくつかの文献におけるように,

アノマリーは除去できる.という誤った主張に帰着

します。
 

アノマリーは簡単に引き算で除去できるものでなく,

本質的存在であるという結論を得ました。
 

切りがいいので,今日はここで終わります。
 

(参照文献):Lectures on Elementary Particles 

 and Quantum Field Theory 

(1970 Brandeis University SummerInstitute  

in Theoretical Physics) Volume

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2017年6月 4日 (日)

摂動論のアノマリー(6)

摂動論のアノマリーの続きです。
 

前回は,アノマリーの可能性を持つ三角グラフと,

その2光子入れ換えグラフの和が,次のRosenberg

の表現: (i02)(2π)-4σρμ 

2∫d4(2π)-4(1)r[{i/(1-m0)}(i0γσ) 

{i/(-m0)}(i0γρ){i/(2-m0)}(γμγ5)].

(54) で与えられること。
 

そして,これは,見かけ上1次発散しますが,

カレント保存の要請から,光子の場の強さ(電場,磁場)

のテンソル:(2ξε2ρ-k2ρε2ξ),(1ηε2σ-k2σε1η)

を通してcoupleすることを考慮すると,

  
運動量の2つのベキ
,その因子に費やされることが

わかるため,有効発散次数はDeff=-1なって収束積分

が残る。という内容のこと
 

を書いたところで終わりました。
 

さて,今回はその続きです。
 

実際問題として,カレントの保存を用いる最も簡単な

方法は まず,パリティとLorentz不変性の要請に矛盾

しないように軸性テンソル;σρμの最も一般的な形

を書き下す,ことです。
 

((6-1):σρμは、ε1σ,ε2ρ,および,ある

擬ベクトル(軸性ベクトル):εμcoupleしてLorentz

不変な振幅を構成するため,σρμ自体は3階の軸性

テンソル(axial-tensor)です。  

(6-1終わり※)
 

Lorentz不変なテンソルはスカラー:1とgμν

(および,μν,μν,μν)のみ, Lorentz不変な

軸性テンソルはεμνρσ(および,その成分の添字

を上下したもの)のみであることを考慮して,

  4
元ベクトル:
1とk2だけから作られ得る全ての

階共変テンソルを考えると.
 

σρμ(1,2) 

=A11τετσρμ+A22τετσρμ 

+A31ρ1ξ2τεξτσμ+A42ρ1ξ2τεξτσμ 

+A42ρ1ξ2τεξτσμ+A51σ1ξ2τεξτρμ 

+A62σ1ξ2τεξτρμ ..(55)


 と書けます。
 

ただし,j=Aj(1,2)(j=1,..6)はk1とk2 

Lorentzスカラー関数です。
 

※(62):軸性ベクトルであるためには,必ず,

ετσρμ,εξτσμなどの奇数個の積のk1とk2

による縮約が必要となりますが,

εμνρσεμνyτξ2στρξ2ρτσξとなる

ため,εを2つ以上掛けても,新しいモノを生み出さず,

また. 1ξ1τεξτσμ=k2ξ2τεξτσμ0 

なので,こうした項も含まれません。

  さらに,εの4つの添字を,
つ以上の同じk1かk2

縮約しても,同様に寄与はゼロです。
 

 共変不変擬テンソルεばかりの3つの積は既に 

階共変テンソルを作るため,12個の下添字のうち

9個 をk1,2の上添字で縮約しなければならず,

これてゼロでないモノを作る,のは不可能です。
 

したがって,考えられる軸性テンソルを与える式は 

不変擬テンソル:εを1つだけ含むモノ(εの1次式) 

だけです。,
 

しかも,kを3つ含む組み合わせは(55)の中の4種類 

だけでなくk1μ1ξ2τεξτρσのような項も考え

られますが,これは他の項の線型結合で表現できます。
 

つまり,1μ1ξ2τεξτρσ 

{()22τ(12)1τ}εξτρσ 

-k1ρ1ξ2τεξτσμ+k1σ1ξ2τεξτρμ 

です
 

これは,次のように陽な計算でわかります。
 

()ρ,σ,μが全て異なる場合,残る1つの添字

をηとすると, 

1μ1ξ2τεξτρσ+k1ρ1ξ2τεξτσμ

-k1σ1ξ2τεξτρμ 

(1μ1μ+k1ρ1ρ+k1σ1σ)2ηεμηρσ 

(1μ2μ+k1ρ2ρ+k1σ2σ)1ηεημρσ 

[{(1)2-k1η1η}2η

{(12)-k1η2η}1η]εμηρσ 

{(1)2(12)}2ηεμηρσ
 

※ただし.1行目だけ普通にξ,τで縮約和を取り,

行目からは,ρ,σ,μ,ηが全て異なるので,

これらが,それぞれ,0.1,2.3 のどれかに一致する 

として和を取りませんが,

  
そのときεμηρσは,+1かー1のいずれか
であり,

それ以外の項は全てゼロです。
 

()ρ,σ,μの少なくとも2つが同じ場合

右辺={()22τ(12)1τ}εξτρσ0

は自明であり,

左辺=k1μ1ξ2τεξτρσ+k1ρ1ξ2τεξτσμ

-k1σ1ξ2τεξτρμ もゼロです。
 

以上から,一般形は,(55)の形式であることがわかります。
 

(6-2終わり※)
 

そして,Bose対称性の要求から, 

σρμ(1,2)=Rσρμ(2,1)です。
 

故に,

1(1,2)=-A2(2,1),3(1,2)=-A6(2,1), 

4(1,2)=-A5(2,1) ..(56) です。
 

さらに,カレント保存の条件を課します。
 

σρμのμについては軸性ベクトルの添字で,00

なら,μ5μ0 ですが,σとρについては保存します。
 

すなわち,1σσρμ=k2ρσρμ0 です。
 

これからA1,2と残りのAjとの関係が得られます。
 

再掲載(55): σρμ(1,2) 

=A11τετσρμ+A22τετσρμ 

+A31ρ1ξ2τεξτσμ

+A42ρ1ξ2τεξτσμ 

+A42ρ1ξ2τεξτσμ+A51σ1ξ2τεξτρμ 

+A62σ1ξ2τεξτρμ 
  を参照すれば,
 

2ρσρμ0 ,

12ρ1τετσρμ+A32ρ1ρ1ξ2τεξτσμ 

+A42ρ2ρ1ξ2τεξτσμ0 を意味し,
 

1σσρμ0 ,21σ2τετσρμ

+A51σ1σ1ξ2τεξτρμ 

+A61σ2σ1ξ2τεξτρμ0  

を意味します。
 

それ故, 1(12)3(2)24,

2(1)25(12)6 (57) です。
 

ところで,(55)では,3,4,5,6,各々,

外線光子運動量の3つのベキが掛かった項

の係数です。

  そ
こで,これらは,有効発散次数:eff13=-2

で強く収束するFeynman積分と関係しています。
 

(6-3):(1.2)を任意のFeynman積分とする

とき,F(1,2)=f(0,0)+k1μ(∂f/∂k1μ)0

2μ(∂f/∂k2μ)0+k1μ1ν(2/∂k1μ∂k1ν)0

+・・・ とMaclaulin展開すると,
 

Feynman積分の発散次数がDなら,係数:(∂f/∂k1μ)0, 

(∂f/∂k2μ)0の発散次数は(D-1),

(2/∂k1μ∂k1ν)0のの発散次数は(D-2) etc.

となります。 (6-3終わり※)
 

一方,1,2,光子運動量の1次ベキのスカラー係数

なので,形式的にはDeff==1-10 であり,対数発散

するFeynman積分で表わされるはずです。
 

しかし,カレントの保存条件からその難を避けることが

できます。何故なら, 1,2,強収束する量:

3,4,5,6から(57)により,直接,計算で得られる

からです。
 

Feymanパラメーターを導入して,r積分を通常の方法

で実行すると,次式が得られます。
 

31,2)=-16π211(1,2),  

41,2)16π2{20(1,2)-I10(1,2)}58
 

ただし,st(1,2)}=∫01dx∫01-xdyxst 

/[(1-y)(1)2+x(1-x)( 2)22xy(12)-m02] 

59)です。
 

(6-4): (54)から余分な係数を両辺から計算で相殺すると 

σρμ2∫d4rTr[{1/(1-m0)}γσ 

{1/(-m0)}γρ{1/(2-m0)}(γμγ5)].. 

2∫d4

[r{(1+m0)γσ(+m0)γρ(2+m0)γμγ5 

/[{(r+k1)2-m02}(2-m02){(r-k2)2-m02}]

です。
 

これに.Feynman積分の公式: 

1/(12..n)

(n-1)!0dz1dz2..dznδ(1-Σii)/(Σjjj)n 

をn=3 として適用します。
 

1/(abc)

2!0dx∫0dy∫0dzδ(1-x-y-z) 

/(ax+by+cz)3 ですから,

a=(r+k1)2-m02,b=2-m02,

c=(r-k2)2-m02として,
 

σρμ2×2! 01dx∫01dy∫01dz

∫d4δ(1-x-y-z) 

[r(1+m0)γσ(+m0)γρ(2+m0)γμγ5 

/{(r+k1)2x+r2y+(r-k2)2z-m02(x+y+z)}3] 

です。
 

δ(1-x-y-z)により,dy積分∫を実行して 

y=1-x-zとし,yを消去すると,

   
分母の
{ }の中の計算値として, 

(r+k1)2x+r2y+(r-k2)2z-m02(x+y+z) 

(r+p)2+x(1-x)(1)2+z(1-z)(1)2 

2xz(12)-m02 を得ます。

ここでp=xk1-zk2 と置きました。
 

そこで,さらに,l=r+pでrを変数変換すれば, 

σρμ2×2!01dx∫01-xdz∫d4[r{・・・} 

/{2+x(1-x)(1)2+z(1-z)( 2)2

2xz(12)-m02}3} となります。
 

r{・・・},

r{(1+m0)γσ(+m0)γρ(2+m0)γμγ5 

においてr=l-p=r-xk1+zk2を代入して

rを消去したものです。
 

この被積分関数の分子の)トレースを変数rのままで

書き下すと.

r{(1+m0)γσ(+m0)γρ(2+m0)γμγ5 

=Tr{(1)γσγρ(2)γμγ5} 

+m02r{(1)γσγργμγ5+γσγρ(2)γμγ5}

です。
 

公式:r(γ5abcdef) 

4iεαβγδ{(ab)αβγδ(ac)αβγδ 

(bc)αβγδ(de)αβγδ 

(dc)αβγδ(db)αβγδ

(da)αβγδ(ea)αβγδ 

(eb)αβγδ(ec)αβγδ} 

を用いると,
 

r{(1)γσγρ(2)γμγ5} 

=Tr{γ5(1)γσγρ(2)γμ} 

4i{εασρμ{(-r2α-r2(1-k2)α 

(rk1)2α(rk2)1α(12)α}

+・・・ と長い式が続きます。
 

一方,

02r{(1)γσγργμγ5+γσγρ(2)γμγ5} 

4iεασρμ02{(r+k1)2-r2(r-k2)2} です。
 

これらに,r=l-p=r-xk1+zk2を代入すると, 

被積分関数の分母: {2+x(1-x)(1)2+z(1-z)( 2)2

2xz(12)-m02}3}はlの偶関数はので∫d4lの結果,

分子がlの奇数個の積となるものの寄与はゼロです。
 

そこで分子のトレース項からlの偶数個の積だけ残し, 

対称性から,lνλのような因子を(1/4)νλ2 

置き換えて整理します。
 

最終的に,σρμ(1,2) 

=A11τετσρμ+A22τετσρμ 

+A31ρ1ξ2τεξτσμ+A42ρ1ξ2τεξτσμ 

+A42ρ1ξ2τεξτσμ+A51σ1ξ2τεξτρμ 

+A62σ1ξ2τεξτρμ ..(55) 

の形の係数を比較すると,
 

3(1,2)32i01dz∫01-zdx 

∫d4[zx/φ(,1,2:,)].,

および,4(1,2)32i01dz∫01-zdx 

∫d4[(z-z2)/φ(,1,2:,)] 

を得ます。

  ただし,φ(,1,2:,)
 

{2+x(1-x)(1)2+z(1-z)(2)22zx(12)}3 

と置きました。
 

zをxに,xをyに変え,

公式:∫d4/(l-c+iε)3=π2/(2i)を適用すると,
 

3(1,2)}=-16π201dx∫01-xdy[xy

/{(1-y)(1)2+x(1-x)( 2)22xy(12)-m02}] 

=-16π211(1,2).
 

4(1,2)}16π201dx∫01-xdy[(2-x)t

/{(1-y)(1)2+x(1-x)( 2)22xy(12)-m02}] 

=16π2{20(1,2)-I10(1,2)}
 

となって確かに(58),(59)が得られます。 

(途中計算を相当省略しましたが自己チェックでは, 

どこも間違っていないはずです。)

 (6-4終わり※)

こうして,3(1,2),4(1,2)が求まれば, 

対称性から A5(1,2)=-A4(2,1), 

6(1,2)=-A3(2,1) を得ることができて,
 

(57)のA1(1,2)

(12)3(1,2)(2)24(1,2)により,

1(1,2) が得られます。
 

そしてA2(1,2)=-A1(2,1),または, 

2(1,2)(1)25(1,2)(12)6(1,2) 

から,A2(1,2)も得られ,σρμ(1,2),完全に

決まります。
 

軸性カレントのWard(-Takahashi)の恒等式の成立を 

チェックするためには,

(54)式:(i02)(2π)-4σρμ 

2∫d4(2π)-4(1)

r[{i/(1-m0)}(i0γσ){i/(-m0)}

(i0γρ){i/(2-m0)}(γμγ5)].

において,

  
右辺最後の(γμγ5)20γ5に置き換えた
 

同じ三角グラフに対する表現が必要です。
 

そこで,(i02)(2π)-420σρ 

2∫d4(2π)-4(1)r[{i/(1-m0)}

(i0γσ){i/(-m0)}(i0γρ)

{i/(2-m0)}(20γ5)]..(60)

,σρを定義します。
 

右辺を直接計算するとRσρ=k1ξ2τεξτσρ1,

を得ます。1,8π2000(1,2) ..(61)です。
 

(6-5): 以下,(61)を証明します。 

大筋はRσρμの計算過程と同様ですから,詳細は略します。
 

σρ401dx∫01dy∫01dz∫d4rδ(1-x-y-z) 

[r(1+m0)γσ(+m0)γρ(2+m0)γ5 

/{(r+k1)2x+r2y+(r-k2)2z-m02(x+y+z)}3] 

401dx∫01-xdz∫d4[r{・・・} 

/{2+x(1-x)(1)2+z(1-z)( 2)2

2xz(12)-m02}3}
 

r{・・・}, 

=Tr{(1+m0)γσ(+m0)γρ(2+m0)γ5
  ただし,r=l-p=r-xk1+zk2  です。
 

r{・・・}4i01ξ2τεξτρσ

となることがわかります。
 

結局, σρ=-8π21ξ2τεξτρσ01dx∫01-xdy

/{(1-y)(1)2+x(1-x)( 2)22xy(12)-m02} 8π21ξ2τεξτσρ00(1,2)

を得ます。   (6-5終わり※)
 

これで,軸性クトルカレント:5μの4次元発散:μ5μ 

の三角グラフにおける寄与を評価できます。
 

μ5μ2i05に基づく軸性カレントWard恒等式 

(p-p')μΛ5μ(,p')20Λ5(,p')

-Σ()γ5-γ5Σ(p')ループグラフ(b)の寄与分:

(p-p')μΛ5μ()(,p')20Λ5()(,p')
 

が三角グラフにおいても正しいなら, 

(p-p’)μ=-(1+k2)μより, 

(1+k2)μσρμ20σρ..(62)

となるはずです。
 

ところが,実際に(55)(61)に求めた具体的計算を

代入すると(1+k2)μσρμ

20σρ8π21ξ2τεξτσρ ..63) 

を得ます。

  以上から,三角グラフの場合では,軸性カレントの
 

Wardの恒等式が成立しないことがわかりました。
 

この破れ(アノマリー)は,

「1次発散するFeynman積分では, ループを回る運動量

の原点を自由に平行移動しても不変という操作が不可能

である。という事実からの帰結です。

 ここから,
(63)式を示す訳注を追加するには記事が長く

なり過ぎるため,今回はここで終わり次回に回します。
 

(参照文献):Lectures on Elementary Particles 

 and Quantum Field Theory 

(1970) Brandeis University SummerInstitute  

in Theoretical Physics) Volume

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2017年5月30日 (火)

摂動論のアノマリー(5)

摂動論のアノマリーの続きです。
 

前回は,軸性ベクトルのWard(-Takahashi)の恒等式(44): 

(p-p')μΓ5μ(,p')20Γ5(,p') 

+SF'-1(p)γ5+γ5F'-1(p')

,通常の場理論が厳密に正しいという前提で,証明した

ところで 終わりました。
 

§2.1 Ward-identity in Perturbation Theory 

(摂動論におけるWardの恒等式)
 

今から,(44)式に到るナイーブで形式的な操作が,

実際的な摂動論においても正しい操作かどうか?

を調べたい,と考えます。
 

まず,軸性頂点の頂点補正:Λ5μ,および,Λ5を次式で

定義します。 

すなわち,Γ5μ=γμγ5+Λ5μ,および,Γ5=γ5+Λ5.(45)

です。
 

そ うして,(44):

(p-p')μΓ5μ(,p')20Γ5(,p') 

+SF'-1(p)γ5+γ5F'-1(p'),たった今与えた

定義式(45),(7):F'(p)1/(-m0-Σ())

を代入すると,(44),次のように書き直せます。
 

(p-p')μΛ5μ(,p')20Λ5(,p') 

-Σ()γ5-γ5Σ(p') ..(46) です。
 

この式を,摂動論的に導くために,Λ5μ(,p')に寄与

しているdiagramsを2種類に分割します。
 

()軸性頂点:γμγ5,外線4運動量:p'に始まり,

外線4運動量pで終わるFermi粒子線上に接している

diagrams, 

および,
 

() 軸性頂点:γμγ5,1つの閉じた内線ループ上に

接しているdiagrams


  の2種類
です。
 

(5-1)「軸性ベクトル頂点が1個だけあって,残りの

頂点 が全てベクトル頂点のループでは,ベクトル頂点の

個数が奇数の場合,ループの寄与はゼロである。」という

Furryの定理」の一般化を証明します。
 

(証明)閉じたループには時計回りのもの:(ⅰ)とそれ

に対応する反時計回りのもの;(ⅱ)とが存在するため,

寄与は次の1,とF2の和で与えられます。
 

すなわち,

1=Tr[{1/(2k-m+iε)}γ5{1/(2k-1-m+iε)} 

2k-1...2{1/(2k-1-m+iε)}1] ,

  
および,
 

2=Tr[1{1/(1-m+iε)}2{1/(2-m+iε)}

3..2k{1/(2k-1-m+iε)}γ5{1/(2k-m+iε)}]
 

です。
 

1の両辺に荷電共役変換(Charge conjugation)の演算子: 

^iγ2γ0(^=C^-1)によるユニタリ変換を行うと, 

^1^-

1=Tr[^{1/(2k-m+iε)}γ5{1/(2k-1-m+iε)} 

2k-1...2{1/(2k-1-m+iε)}1^-1] 

ですが,trace(トレース:対角和),の性質から,

1の式の右辺

=Tr[^-1^{1/(2k-m+iε)}γ5

{1/(2k-1-m+iε)}2k-1...2{1/(2k-1-m+iε)}1]

=F1 です。

  
よって,^1^-1=F1であり,1は荷電共役不変です。
 

他方,1=C^1^-1=Tr[^{1/(2k-m+iε)}

^-1^γ5^-1^{1/(2k-1-m+iε)}

^-1^2k-1^-1.^2^-1^{1/(2k-1-m+iε)}

^-1^1^-1] よ書けます。
 

^iγ2γ0に対しては,^γμ^-1=-γμ, 

また,^γ5^-1=γ5です。

(※Tは転置行列:transpose matrix)

よって,^^-1=-.^^-1=-etc. 

かつ,^(γ5)^-1=-γ5(γ5)T  です。
 

以上から,1=C^1^-1 

(1)2-1r[{1/(2k T-m+iε)}(γ5) T  

×{1/(2k-1 T-m+iε)}2k-1 T...2 T

{1/(2k-1 T-m+iε)}1 T]

(1) 2-1r[1{1/(1-m+iε)}2

{1/(2-m+iε)}3..2k{1/(2k-1-m+iε)}

γ5{1/(2k-m+iε)}] =-F2 

を得ます。
 

したがって,1+F20 です。(照明終わり)
 

(5-1終わり※)
 

()図の型の典型的な寄与は, 

Σk=12n-1{Πj=1k-1[γ(j){1/(j-m0)}] 

×[γ(){1/(k-m0)}γμγ5{1/('+k-m0)}] 

×Πj=k+12n-1[γ(j){1/('+j-m0)}]×γ(2) (・・・)}

.(47です。
 

ここで,注意をγμγ5の接する内線に集中し,diagrams 

の残りの部分の因子(=図のblob),(・・・)で記述 

しました。
 

これに,(p-p')μを掛けて, 

 {1/(k-m0)}(')γ5{1/('+k-m0)} 

{1/(k-m0)}(20γ5){1/('+k-m0)} 

{1/(k-m0)}γ5+γ5{1/('+k-m0)}..(48) 

なる公式を用います。
 

(5-2): 上の公式の証明です。

  
(48)の左辺
{1/(k-m0)}

 (k-m0'-pk+m0)γ5{1/('+k-m0)}] 

=γ5{1/(k-m0)}{1/(k-m0)}γ5 

('k-m020){1/(k-m0)}

=γ5{1/('+k-m0)}{1/(k-m0)}γ5 

{1/(k-m0)}(20γ5){1/('+k-m0)}
 

(5-2終わり※)
 

そこで,頂点:Λ5μへのグラフ型()の寄与(47), 

Σk=12n-1{Πj=1k-1[γ(j){1/(j-m0)}] 

×[γ(k){1/(k-m0)}γμγ5{1/('+k-m0)}] 

×Πj=k+12n-1[γ(j){1/('+j-m0)}]γ(2) (・・・)} 
 

ですが,これに(p-p')μを掛け,代数的に順序を

変えつつ,公式(48)を適用すると,
 

Σk=12n-1{Πj=1k-1[γ(j){1/(j-m0)}] 

×[γ(){1/(k-m0)}(2μ0γ5){1/('+k-m0)}] 

×Πj=k+12n-1[γ(j){1/('+j-m0)}]γ(2) (・・・)}
 

(・・・)Πj=12n-1[γ(j){1/(j-m0)}]γ(2n)γ5 

-γ5Πj=12n-1[γ(j){1/('+j-m0)}]γ(2n) (・・・)

.(49) が得られます。
 

(5-3):因子:γ(k){1/(k-m0)}γμγ5{1/('+k-m0)} 

(p-p')μを掛けると,

γ(k){1/(k-m0)}(')γ5{1/(k-m0) 

=γ(k){1/(k-m0)}(20γ5){1/('+k-m0)} 

+γ(k)[{1/(k-m0)}γ5+γ5{1/('+k-m0)}]

です。
 

よって,この第1項から,

Σk=12n-1{Πj=1k-1[γ(j){1/(j-m0)}] 

×[γ(){1/(k-m0)}(2μ0γ5){1/('+k-m0)}] 

×Πj=k+12n-1[γ(j){1/('+j-m0)}]γ(2) (・・・)} 

が得られるのは明らかです。
 

他方,Σk=12n-1{Πj=1k-1[γ(j){1/(j-m0)}] 

×[γ(k){1/(k-m0)}γ5+γ(k)γ5{1/('+k-m0)}] 

×Πj=k+12n-1[γ(j){1/(j-m0)}]γ(2) (・・・)}

=Σk=12n-1{Πj=1k[γ(j){1/(j-m0)}γ5 

×Πj=k+12n-1[γ(j){1/('+j-m0)}]γ(2n) (・・・)} 

-Σk=12n-1{Πj=1k-1[γ(j){1/(j-m0)} 

×γ5Πj=k2n-1[γ(j){1/(j-m0)}]γ(2n) (・・・)} 

=Πj=12n-1[γ(j){1/(j-m0)}γ5γ(2n) (・・・) 

-γ5Πj=12n-1[γ(j){1/('+j-m0)}]γ(2n) (・・・)
 

=-(・・・)Πj=12n-1[γ(j){1/(j-m0)}]γ(2n)γ5 

-γ5Πj=12n-1[γ(j){1/('+j-m0)}]γ(2n) (・・・) 

です。
 

(5-3終わり※)

(49)の第1項は,20Λ5(.p')への,()のブラフの寄与,

一方,第2.3項は,同じグラフの,{-Σ()γ5-γ5Σ(p')}

への 寄与に等しいことがわかります。
 

あらゆる()のタイプのグラフの総和のΛ5μ(.p') 

および,Λ5(.p')への寄与分を,それぞれ,

Λ5μ()(.p'),および,Λ5()(.p')とすると,
 

(49)の成立,(p-p')μΛ5μ()(.p') 

20Λ5()(.p') -Σ()γ5-γ5Σ(p').(50) 

を意味します。

(↑ ※ 内線の個数が頂点の個数より必ず1つ少ない数 

なので,(i)Σ()の係数:(i),全てのi,(i) 

因子を相殺で除いたときに,相殺されて消えます。)
 

次に,()のタイプのΛ5μ(.p')への寄与に移ります。
 

典型的な項は,Furryの定理による係数:2やループ因子

(1)など,Λ5μ(.p')とΛ5(.p')の両方に共通な

係数を除けば,
 

∫d4rTr(Σk=12n{Πj=1k-1[γ(j){1/(j-m0)}] 

×[γ(k){1/(k-m0)}(γμγ5){1/(k'--m0)}] 

×Πj=k+12n[γ(j){1/(j'--m0)}]})×(・・・)..(51) 

です。
 

(p-p')μを掛けて,公式(48)を適用すると, 

∫d4rTr(Σk=12n{Πj=1k-1[γ(j){1/(j-m0)}] 

×[γ(k){1/(k-m0)}(20γ5){1/(k'--m0)}] 

×Πj=k+12n[γ(j){1/(j'--m0)}]})×(・・・)
 

+∫d4rTr(Σk=12n{Πj=1k[γ(j){1/(j-m0)}] 

×[γ5Πj=k+12n[γ(j){1/(j'--m0)}]}) 

.-Πj=1k-1[γ(j){1/(j-m0)}] 

×[γ5Πj=k2n[γ(j){1/(j'--m0)}]}) 

×(・・・)
 

=∫d4rTr(Σk=12n{Πj=1k-1[γ(j){1/(j-m0)}] 

×[γ(k){1/(k-m0)}(20γ5){1/(k'--m0)}] 

×Πj=k+12n[γ(j){1/(j'--m0)}]})×(・・・)
 

-∫d4rTr({γ5Πj=12n[γ(j){1/(j-m0)}] 

-γ5Πj=12n[γ(j){1/(j-m0)}]})×(・・・) (52)


 
となります。
 

この(52)の第1項は,Λ5μ(.p')への()のグラフに

対応する20Λ5(.p')への寄与です。
 

前の(a)と同様,Λ5μ(.p'),および,Λ5(.p')への 

()のタイプのグラフの寄与の総和を,それぞれ, 

Λ5μ()(.p'),および,Λ5()(.p')と書きます。
 

一方,(42)の第2項と第3項は,第2項の積分変数を

rから(+p-p')変えるという操作が正しいなら,

完全に相殺して消えます。
 

以上から.

(p-p')μΛ5μ()(.p')20Λ5()(.p').(53) 

を得ます。
 

最後に,(50)(53)を辺々加え合わせると,軸性カレント 

Wardの恒等式(46):(p-p')μΛ5μ(.p') 

20Λ5(.p') -Σ()γ5-γ5Σ(p') 

が得られます。
 

しかしながら,上述の導出においては,単純な代数的な

配置換えではないような唯一の操作として,(52)

第2,3項において.積分変数の置換を行ないました。

  これが,正しい操作ではない可能性があります。
 

これが,正しい操作で有り得るのは,積分が悪くても

対数発散するときです。

この条件は,4つ以上の光子頂点を持つループ,つまり

n≧2なるループに対しては明らかに満足されています。
 

ところが,ループが,ただ2つの出入りする光子を持つ

ような三角グラフ(Triangle graph)のときは,n=1

なので(52)積分は,2次発散すると見えます。
 

実際には,r{γ5γ(1)γ(2)}0 なので,n=1

のとき,積分は表面上は1次的に発散します。
 

(5-4):実際の三角グラフの寄与を与える,∫d4

が掛かる被積分関数は,係数を除いて, 

 r{γ5γ(1){1/(1-m0)}γ(2) {1/(2-m0)}} 

{(r+p1)2-m02)(r+p2)2-m02)}-1 

×Tr{γ5γ(1)(1+m0)}γ(2)(2+m0)}}

です。
 

これにおいて,r{γ5γ(1)γ(2)} 

4iεαβγδα(1) βγ(1)δ0 を用いると,
 

r{γ5γ(1)(1+m0)}γ(2)(2+m0)}} 

=Tr{γ5γ(1)(1)γ(2) 2)+γ5γ(1)1(2)} 

となり,

積分の発散時数はD=4141となります。
 

(5-4終わり※)
 

そして,1次発散するFeynman積分の平行移動(積分変数

の原点のずらし)によって積分値は不変ということを

利用する操作は,必ずしも正しい操作,ではないことは

良く知られています。(※これは,例えば有名な,

Jauch-RoelichThe Theory of Photons and Electrons

を参照)
 

(5-5);対数発散なら,,Bが有限な定数で

A≠Bのとき, 

dk/(k+A)-∫dk/(k+B) 

=∫dk(B-A)/{(k+A)/(k+B)}

[ln(k+A)/(k+B)] なので,

積分領域境界のk→∞の紫外領域で,

ln(k+A)/(k+B)0 が成立するため,

繰り込みでの切断による正則化が正当化される

のです。
 

しかし,1次発散では∫Adk-∫Bdk

[(A-B)] →±∞ですから,一般に有限値

が得られません。。  (5-5終わり※)
 

それ故,(53): (p-p')μΛ5μ(.p') 

20Λ5(.p')-Σ()γ5-γ5Σ(p')

,上述の三角グラフでは破れている可能性が

あります。
 

そうして,これが現実に破れていることを見るために

Rosenbergによって計算された三角グラフの陽な表現

を使用します。
 

 上に図示したグラフと,その2光子を入れ替えた

グラフの和は,Furryの定理では,どちらも同じ寄与

なので,因子2が掛かるだけですが,
,
 

i02(2π)-4σρμ 

2∫d4(2π)-4(1)r[{i/(1-m0)}(i0γσ) 

{i/(-m0)}(i0γρ){i/(2-m0)}(γμγ5)]

..(54) です。
 

この表現は,確かに1次発散します。

しかし,光子の自己エネルギー部分:Πμν()の評価のとき

のように,カレントの保存の要請から,光子の場の強さの

テンソル:(2ξε2ρ-k2ρε2ξ),(1ηε2σ-k2σε1η)

を通してcouple(相互作用)することを考慮すると

   
運動量の2つのベキが,その因子に費やされること

がわかるので,有効発散次数は,Deff=-1となって

収束積分が残ります。 

(※収束はしてもゼロではないので,軸性カレントのWard

恒等式には確かに破れが存在して,これがアノマリーです。)
 

(5-6):つまり,ε1σε2ρσρμ 

(2ξε2η-k2ηε2ξ)(1αε2β-k2βε1α) 

αβξημ(1,2)という場の強さに比例する形 

であるなら,

  εi→εi+ki(i=1,2)に対して,(iαεiβ-kiβεiα) 

(iαεiβ-kiβεiα)(iαiβ-kiβiα) 

(iαεiβ-kiβεiα)となるため、ゲージ不変性が 

保証されます。

  (5-6終わり※)
 

以下,長くなるので,今日はここで一旦終わります。~
 

(参照文献):Lectures on Elementary Particles 

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2017年5月29日 (月)

摂動論のアノマリー(4)

摂動論のアノマリーの続きです。
 

前回で第1章については完了しました。
 

前回記事の最後でも述べたように,私の19951月からの参照 

ノートでは,それより20年昔のノートにある第2章の項目に

戻る前に,19955月末までかかって,

中西㐮 著(培風館)「場の量子論」から中西-Lautrap理論

呼ばれている「電磁場の共変的量子化」について詳述

していました。
 

1995年当時には,第2章以後の理解に必要な知見として,

かなり詳しく勉強した経緯が見て取れますが,

この中西-Lautrap

論については,「電磁場の共変的量子化」

という題名のシリーズ記事で本ブログの,2009年6月からの

過去記事に要約を紹介してあります。
 

,ここでは,こうした経緯などはスキップして1975年当時の

ノートに戻ることにします。
 

以下は,本題です。
 

2.The VVA Triangle-Anomaly(VVA三角グラフのアノマリー) 

(※VVAとは,vector-ector-axialvector3頂点の意味です。)
 

Ward(-Takahashi)の恒等式の最初のアノマリーの例を得るため 

QEDにおける軸性ベクトルカレント(Axial-vector current): 

5μ()を考えます。
 

これは,Fermi粒子のspinor:ψ()について,次のように

定義されます。
 

すなわち,5μ()=ψ~()γμγ5ψ() ..(36) 

(※ γ5=γ5≡γ0γ1γ2γ)  です。
 

このカレントは,"純粋な"QEDでは何の役割も果たしません。
 

しかし, 軸性(ベクトル)カレントは,電子-ニュートリノの 

弱い相互作用の局所カレント-カレント理論(弱い相互作用

旧理論であるFermi理論)の枠内での話を考えるとき出現

します。
 

このことを理解するため,次のことに着目します。
 

仲介boson(弱ボソン)の存在を設定しないカレント-カレント 

理論では,レプトン的な弱い相互作用の有効Lagrangiann 

,eff(/2)λλ  .(37)で記述されます。
 

(※ レプトン(lepton)とは,軽粒子のことであり,レプトンを 

伴う相互作用を,レプトン的相互作用(leptonic interaction) 

と呼びます。)
 

ただし,G ~ 10-5/p2であり,これはFermiの結合定数と 

呼ばれるものでです。(※Mは陽子(proton)の質量)
 

そして,λ

λ=νμ~γλ(1-γ5)μ+νe~γλ(1-γ5) .(38)

で定義され,これはレプトンカレントと呼ばれます。
 

(※ただし,μ,,νμ,νe,μ粒子,電子,μ-ニュートリノ, 

-ニュートリノの,それぞれの粒子場を示すspinor演算子 

を意味します。

  なお,この講義の頃は,3世代目のレプトンで
あるτ粒子:

τと,τ-ニュートリノ:ντの存在は,未だ知られていない

時代でした。)
 

μ粒子の崩壊を記述する通常の項に加えて,

相互作用Lagrabgian密度(37)eff(/2)λλ

は次のような項も含みます。
 

すなわち,(/2){μ~γλ(1-γ5)νμνμ~γλ(1-γ5)μ 

+e~γλ(1-γ5)νeνe~γλ(1-γ5)} ..(39) です。

これは,ニュートリノ-レプトンの弾性散乱の記述に対応して 

います。
 

(39),Fierz変換(フィールヅ変換)によって書き換えた

方が便利です。これは謂わゆる電荷保存の形です。


  すなわち,
(/2){μ~γλ(1-γ5)μνμ~γλ(1-γ5)νμ 

+e~γλ(1-γ5)eνe~γλ(1-γ5)ν} ..(40) です。
 

このカレントには,明らかに,μ粒子,電子の(極性)

ベクトルカレントだけでなく軸性ベクトルカレント項も

含まれています。
 

ここから,前節のQEDの電磁ベクトルカレントに対する扱い

アナロジーで話を進めます。
 

まず,軸性ベクトルカレント(36):

5μ()=ψ~()γμγ5ψ()4次元発散を計算して

カレント保存条件をチェックします。
 

運動方程式(2):

(iγ∇―m0)ψ()=e0γμμ()ψ(). 

νμν()=e0μ()  

※jμ()=ψ~()γμψ() γ∇=γλλ  

の前者の方程式を用いると,
 

μ5μ()=ψ~(){i0i0γμμ()}γ5ψ() 

+ψ~()γ5{i0i0γμμ()}ψ()

2i05() ,..(41),

ただし,5()≡ψ~()γ5ψ()  ..(42) 

を得ます。
 

(4-1): (iγμμ―m0)ψ()

=e0γμμ()ψ()より.

μψ()(iγμ+)=ψ(){m+e0γμμ()}

です。

 故に,
ψ~()=ψ()γ0であり,γ0γμ+γ0=γμですから 

μψ~()γμ=ψ~(){i0i0γμμ()} です。
 

したがって,μψ~()γμγ5ψ() 

=ψ~(){i0i0γμμ()}γ5ψ() です。
 

他方,iγμμψ(){0+e0γμμ()}ψ() 

ですから,
 
ψ~()γμγ5μψ()
 

=ψ~(){i0i0γμμ()}γ5ψ() です。
 

それ故, μ5μ() 

=∂μψ~()γμγ5ψ()+ψ~()γμγ5μψ() 

2i0ψ~()γ5ψ() となります。  


 (4-1終わり※)
 

次に,電磁カレントの頂点:Γμ(,’)を定義する

(6.)式:F'() Γμ(,')F'(') 

=-∫d4xd4exp(ipx)exp(i')

0|[ψ()μ(0)ψ~()]|0 


 のアナロジーで, 軸性ベクトルカレント頂点,および,

擬スカラーカレントの頂点を次のように定義します。
 

すなわち,F'()Γ5μ(,')F'(') 

=-∫d4xd4exp(ipx)exp(i') 

0|[ψ()5μ(0)ψ~()]|0,

 
および,
F'()Γ5(,')F'(p') 

=-∫d4xd4exp(ipx)exp(i') 

0|[ψ()5(0)ψ~()]|0> ..(43)

です。
 

(33)の導出と同様,(43)から丁寧に計算すると,次のような 

単純な軸性ベクトルのWard-Takahasjiの恒等式が得られます。
 

(p-p')μΓ5μ(,')20Γ5(,') 

+SF'-1(p) γ5+γ5F'-1(p') ..(44) です。
 

(4-2): 証明です。
 

まず,(p-p')μF'(p)Γ5μ(,')F'(p') 

 =-(p-p')μ∫d4xd4exp(ipx)exp(i') 

0|[ψ()5μ(0)ψ~()]|0 

=-(p-p’)μ∫d4xd4exp{i('-p))exp(i') 

0|[ψ()5(0)ψ~()]|0> です。

 

そして,結局,(p-p')μF‘()Γ5μ(,p')S'(p’) 

i∫d4xd4exp{i(p'-p)}exp(ip'y)

0| ([ψ(0)μ5μ()ψ~()]+δ(0)

{[50()ψ(0)]ψ~()}

+δ(0―y0){ψ(0)[50(),ψ~()]})|0 

を得ます。
 

これらは通常のWard-Takahashi恒等式の証明:(3-3)と同じ

であり,唯一異なるのはjμ()がj5μ()に置き換わって

いるだけです。
 

(3-4)の交換関係:δ(0)[0()ψ(0)]=-δ4()ψ(0)

,δ(0)[50()ψ(0)]=-δ4()γ5ψ(0)に置換され, 

δ(0-y0)[0(),ψ~()] =δ4(x-)ψ~() 

δ(0-y0)[50(),ψ~()] =-δ4(x-)ψ~()γ5

に置換されます。
 

それ故,(p-p')μF'(p)Γ5μ(,p')F'(p') 

=∫d4xd4exp{i(p'-p)}exp(ip'y) 

0|[ψ(0)μ5μ()ψ~(){0] 

+γ5F'(p)+SF'(p')γ5 ですが,


 ∂μ5μ()2i05() なので
 

(p-p')μF'(p)Γ5μ(,p')F'(p') 

2i0F'(p)Γ5μ(,p')F'(p') 

+γ5F'(p) +SF'(p')γ5  を得ます。
 

この両辺に,左からSF'-1(p)を,右からSF'-1(p') 

を掛けると,(p-p')μΓ5μ(,p')20Γ5(,p') 

+SF'-1(p) γ5+γ5F'-1(p')  です。
 

(4-2終わり※) 
 

途中ですが切りがいいので,いつもより短いながら,

ここで終わります。
 

(参照文献):Lectures on Elementary Particles 

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訃報 !!ムーアさん。能村さん。夢路さん。

まとめ記事ですみません。

宝塚出身の女優 月丘夢路さん,,時代劇プロデューサー 能村庸一さん

イギリスの俳優ロジャー・ムーア(Roger.G.Moore)さん。

の訃報です。

元宝塚娘役スターで女優の月丘夢路さんが去る5月3日,肺炎で亡くなられていたことが8日にわかりました。享年95歳でした。

→スポーツ報知

 元宝塚娘役スターで女優の月岡夢路さん死去 95歳 付

「月丘 夢路」の画像検索結果

丘さんは私より28歳も年上で,しかも私の家にTVが来たのは小学5年の10歳くらいですから,もう38歳くらいでしたでしょう。

いろいろなTVドラマでお姿を拝見していたた記憶がありますが,残念ながら幼かったこともあり,特に印象的思い出は無しです。

ご冥福を祈ります。合掌!!

元フジテレビプロデューサーの能村庸一さんが去る5月13日に左腎細胞ガンで亡くなれました。享年76歳でした。

→ 朝日新聞デジタル 

元フジ能村庸一さん死去「鬼平犯科帳」プロデューサー.「能村庸一」の画像検索結果

 

 能村さんについては,普通のTVだけを見ていたころには全く知らなかったのですが.,新しモノ好きな自分は25年くらい前に,パラボラアンテナを買ってきて当時住んでいた10階建マンションの10Fの自屋のベランダに付けて,まだNHKとワウワウくらいしか放送が無かった時代にBSを見るようになり,

 いつの頃からか?,豊島ケーブルテレッビをはじめ,スカパー,やひかりテレビで特に「時代劇専門チャンネル」を見るという習慣ができました。

 .近年,その番組ゲストで,元気で親しみ深いお姿を拝見するようになったばかりでした。 まだお若い感じでしたのに,とても残念です。

ご冥福を祈ります。合掌!!

イギリスの俳優で,007ジェームズボンド役主演の3代目のロジャームーアさんが去る5月23日にンくなられたそうです。享年89歳でした。

→ BBCニュース

英俳優ロジャー・ムーアさん死去 ジェームズボンド役で有名「ロジャームーア」の画像検索結果

映画007シリーズのジェームズボンド役の3代目でした。

ガンの闘病でスイスの自宅療養中だったようです。

007は,私は映画館まで行って観たことはありませんが,TVの洋画劇場でショーン・コネリー以来,かなりの本数を誰が主役か?を意識しないで楽しく見ていたのですが,R。ムーアが印象的だったのは「私を愛したスパイ」でしょうか?

イイ男でしたね。。

ご冥福を祈ります。合掌!!

PS/ここのところ2週間くらい。。5月12日のにストレッチ体操の翌日から寝違いが原因なのか?首痛から頭痛になり,何日経たっても湿布膏薬や痛み止め錠剤も効果なく,かなり睡眠不足でしたが,

 やっと小康状態で首部分に疲労があるくらいになりました。

 私,,元々左の頸椎炎症モチで普通の寝違いでも簡単には治りません。

 数年前には整形外科でCTやX線の検査で頸椎にズレあることは,わかっても,手術は技術的に無理と言われていたので,注意していて首障害用の枕も持っています。

 今回も,その枕が無かったら,もっと辛かったかもしれません。

 こういう急性の痛みは,姿勢とか,寝姿とかが関係してるのは間違いないので,枕などは昔からいろいろと模索していました。。

 しかし,いくら評判が良くても貧乏ですから,高価なモノには全く手が出ないのが悩みのタネですネ。。

今,持っているのは安物の

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 くらいです。。

 6000円くらいもするけれど,来月年金が入ったら,これ↑でも買おうかな。

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2017年5月21日 (日)

摂動論のアノマリー(3)

摂動論のアノマリーの続きです。
 

さて,前回記事では,次のように書いて終わりました。
 

再計測(rescaling),本当に自己エネルギー部分と頂点部分

を有限にするということの証明は,数学的帰納法に基づいて

成されます。
 

eの(n-2)次のあらゆるグラフを.この手法で有限にする

と仮定し,それから,オーダー:nの再計測グラフの収束性を

示すわけです。

 
次回は,上記証明の簡単なスケッチから入る予定です。

と書きました。

 ここからは今回です。

簡単に頂点部分と電子の自己エネルギー部分のケースにおける証明 

をスケッチします。
 

というのは,ここに含まれる論理は,単純で,かつ,後でアノマリー

論じる際に,我々にとって有意義な概念を有しているからです。
 

光子の自己エネルギー部分:Πや伝播関数DF'についての証明は,

重複発散の問題によって,複雑になるため,省略します。

 まず,頂点部分の繰り込み可能性を証明をするため,
それが満足

すべき積分方程式の存在を示すことから始めます。
 

この方程式を表現するため,まず,電子-陽電子核(Kernel:積分核) 

(p',,)αβ,γδを定義します。
 

これは,次図の形のあらゆるdiagramを表現しています。
 

ただし,図から外線の足となる伝播関数は除去され,また,

非連結diagrams,次図の2つのケースのdiagramsは排除

されます。
 

Kの最低次の寄与は,次の形式です。 

(0)(p',,)αβ,γδ (i02/2)(γμ)αβ(γμ)γδ ..(20)
 

これは次図のdiagramに由来します。
:

この核:Kによって,次図のdiagram表現に従って, 

頂点部分の1つの積分方程式を書くことができます。


 

すなわち, 

Γμ(,’)δγ(γμ) δγ+∫d4(2π)-4 

{r[iF'(p+q)Γμ(p+q,'+q)iF'(p'+q)]}βα 

×K(p',,)αβ,γδ   ...21

です。
 

これを,引数,積分変数や添字を,はずした行列積という

省略形で書けば,

Γ=γ -∫ΓSF'F'.. 22) です。
 

今の繰り込み可能性の証明には,この表現の方が,簡単,かつ

便利なので,以下,特に明記の必要がない限り,これを使います。
 

再スケールした核:~,~=Z22...(23)で定義すると,

(22)は,Γ~μ=Z1γμ-∫Γ~μF'~F'~~...(24)

となります。
 

理論が,eの(n―2)次まで有限である。と仮定したとき,

(15)で定義した.繰り込み定数による再スケールが,n次の

Γ~をも有限にすることを示したい。と考えます。
 

(20)のKの最低次が,

(0)(p',,)αβ,γδ (i02/2)(γμ)αβ(γμ)γδ

であることから.~の最低次は,

(0) → K~ (0),02→e2のように繰り込まれた形に

書けるため,~はe2のオーダーで始まるので,(24):

Γ~μ=Z1γμ-∫Γ~μF'~F'~~.の右辺も. 

Γ~,F'~,F'~,~(n-2)次の寄与を代入すること 

により,左辺にΓ~のn次までの.寄与を得ます。

すなわち, 

Γ~(n)μ=Z1(n)γμ-∫Γ~(n-2)μF'~(n-2)F'~(n-2)~(n-2)...(25) 

です。
 

(3-1):(24)は摂動級数に展開すると 

Γ~(0)μ+Γ~(2)μ+Γ~(4)μ.. +Γ~(n-2)μ+Γ~(n)μ.. 

(1(0)+Z1(2)+Z1(4).. +Z1(n-2)+Z1(n)..)γμ 

-∫[(Γ~(0)μ+Γ~(2)μ+Γ~(4)μ.. +Γ~(n-2)μ+Γ~(n)μ..)

F'~SF'~ 

×(~(0)+K~(2)+K~(4).. +K~(n-2)+K(~n)..)]

であり,..
 

F'~=SF'~(0)+SF'~(2)+SF'~(4).. +SF'~(n-2)+SF'~(n)

..

ですから,両辺をeの同じオーダーで正しく等置すると, 

Γ~(n)μ=Z1(n)γμ-∫Γ~(n-2)F'~(0)F'~(0)~(0) 

-∫Γ~(n-4)F'~(2)F'~(0)~(0) 

-∫Γ~(n-4)F'~(0)F'(2)~(0) 

-∫Γ~(n-4)F'~(0)F'~(0)~(2) 

-∫Γ~(0)F'~(n-2)F'~(0)~(0) ;;

ですから,

 
実は
(25)式にはなりませんが,  

1(n)を除けば,今の正しく評価した式の右辺はeの(n-2)

までの有限と仮定したの有限和で表現されます。
 

ただし,Γ~とZ1のみ, 

Γ~=Γ~(0)μ+Γ~(2)μ+Γ~(4)μ.. +Γ~(n-2)μ+Γ~(n)μ.. 

1=Z1(0)+Z1(2)+Z1(4).. +Z1(n-2)+Z1(n).. 

という定義であり,
 

F'~(n-2),~(n^2),(n-2)次の単独項ではなく,

(n-2)までの項の総和という,別の定義であれば, 

(25)式は成立する。ので,

ここではそう解釈します。

 
(3-1終わり※)

 

すると,(15)(16)の再スケールの定義から, 

 Γ~(n)μ(,)|=m0 ..(26)です。
 

それ故, 

1(n)γμ=∫Γ~(n-2)μF'~(n-2)F'~(n-2)~(n-2)|’=..(27) 

です。

 こうして,有限な既知量の和の積分として,1(n)
 

決まります。
 

この(27)式の右辺は,何の仮定もなく, 

「右辺の積分値が電子の質量殻上でγμの定数倍である。」 

という命題を含むというのは,注目に値することです。
 

(27)式の右辺は,無次元量mのLorentzテソル関数であり,

それ故, , 'が共にmで置き換えられる問題における唯一

Lorentzテソルであるγμに比例すると考えられます。
 

(27)(25):

Γ~(n)μ=Z1(n)γμ-∫Γ~(n-2)μF'~(n-2)F'~(n-2)~(n-2)

に代入すると, 

Γ~(n)μ=∫Γ~(n-2)μF'~(n-2)F'~(n-2)~(n-2)|’=.. 

-∫Γ~(n-2)μF’~(n-2)F’~(n-2)~(n-2)., .(28) です。
 

ここまでくると,帰納法の仮定を用いて, 

(24);Γ~μ=Z1γμ-∫Γ~μ'~SF'~K~...に含まれる

全ての部分グラフに関わる積分が有限であること,を示す

のは容易なことです。
 

そこで,唯一の発散は,全ての内線を通る4元運動量が大きくなる 

とき.全ての積分に関連する対数発散です。
 

しかし,この全体としての発散は(28)のように単純な差を取れば, 

有限となるため, 結局,Γ~μ(n)は収束することがわかります。

したがって,頂点部分Γ~μは多重的に繰り込み可能であること, 

が確証されました。
 

我々の論旨において,着目すべき重要事は,全て(22)の積分方程式 

から話を進めたことです。
 

そして,これは,とにかく,頂点部分が,ベクトルカレントを意味する 

γμの形である,という特殊性には依存していないことです。

 

それ故,QEDにおける擬ベクトル(Axial-Vector)および,擬スカラー 

(Pseud-Scalar)による頂点でも22):Γμ=γμ -∫ΓμF'F'. 

と同様な積分方程式が満たされると考えられます。
 

すなわち,Γμ5=γμγ5-∫Γμ5F'F', 

Γ5=γ 5-∫Γ5F'F'.. 29) です。
 

そして,前と同様に,帰納的論議によって,こうした頂点でも

上の式に現われるものについて,次のように繰り込まれた関数

(チルダ関数)を定義して与えることにより,掛け算的繰り込み

が可能であることが,示せます。
 

すなわち,Γμ5(,')=Z-1Γ~μ5(,'), 

Γ5(,')=Z-1Γ~ 5(,') ..(30)  

,チルダ関数を定義します。
 

さて,次には,電子の伝播関数;F'(p)に向かいます。
 

このとき,重複発散の問題が存在しますが,

こうした問題は,伝播関数と頂点部分の間に,Ward-Takahashi

の恒等式として知られている重要な関係を用いて,うまく回避

することができます。
 

Ward-Takahashiの恒等式に,ついては,既に証明抜きで使用

しましたが,これは,

(p-p')μΓμ(,’)=SF'-1(p)-SF'-1(p')

で与えられる関係式です。
 

これを証明するために(6): 

F'(p)Γμ(,')F'(p') 

=-∫d4xd4exp(ipx)exp(i')

0|[ψ()μ(0)ψ~()]|0

から始めます。

の両辺に,(p-p')μを掛けると,, 

 まず,(p-p')μF'(p)Γμ(,')F'(p') 

=-,(p-p')μ∫d4xd4exp(ipx)exp(i') 

0|{ψ()μ(0)ψ~()}|0 

=-(p-p')μ∫d4xd4exp{i('-p))exp(i') 

0|{ψ(0)μ()ψ~()}|0> 

です。
 

(3-2): x→―x,y→y-(y-x)と積分変数を置換 

するとき,∫d4xd4yは変わらず,
 

 exp(ipx)exp(i')0|{ψ()μ(0)ψ~()}|0 

exp(ipx)exp{i'(y―x)} 

0|{ψ(-x)μ(0)ψ~(y―x)}|0> ですが,

 
T積については,
平行移動のユニタリ変換:

ψ(-x)=U(-)ψ(0)-1(-x), 

および,ψ~(y-x)=U(-x)ψ~()-1(-) により, 

0|{ψ(-x)μ(0)ψ~(y-x)}|0 

=<0|{ψ(0)μ()ψ~()}|0>です。

 そして,
 exp(ipx)exp{i'(y―x)} 

exp{i('-p))exp(i')です。

 (3-2終わり※)
 

さらに,

最右辺=∫d4xd4exp{i('-p)}exp(i') 

i(/∂xμ)0|{ψ(0)μ()ψ~()}|0 

i∫d4xd4exp{i('-p)}exp(i')0| 

×([ψ(0)μμ()ψ~()]

+δ(0){[0()ψ(0)]ψ~()}

+δ(0―y0){ψ(0)[0(),ψ~()]})|0

となります。
 

(3-3):何故なら,(/∂xμ)を∂μと書くと, 

微分可能な任意のxの関数:()に対し, 

μ[exp{i('-p)}()] 

i('-p)μexp{i('-p)}() 

exp{i('-p)}{μ()}] です。

 

一方,4次元Gaussのの積分定理によって,

4(μ)=∫FdS(Sは4次元体積Vの3次元

表面境界)です。ただし,()exp{i('-p)}()

とします。
 

Vが全時空を示すなら,その境界である3次元閉曲面S

は無限遠に存在して,そこでは全ての場の量は急減衰して

ゼロになるため,4(μ)0ですから,
 

最初に書いた連鎖微分の式により,部分積分から事実上, 

('-p)μexp{i(-p)}() 

iexp{i('-p)}×{μ()} が成立します。

 

また,T積の定義から,{ψ(0)μ()ψ~()}

=T{ψ(0)ψ~()μ()} 

=θ(-y0)θ(0-x0)ψ(0)ψ~()μ() 

-θ(0-x0)θ(0)ψ~()μ()ψ(0) 

+θ(-x0)θ(0-y0)ψ(0)μ()ψ~() 

+θ(0)θ(-y0)μ()ψ(0)ψ~() 

-θ(0-y0)θ(0)ψ(0)μ()ψ~() 

-θ(0)θ(-x0)ψ~()ψ(0)μ()

です。
 

故に,(/∂xμ){ψ(0) ψ~()μ() } 

=T{ψ(0) ψ~()μμ()} 

-θ(-y0)δ(0-y0)ψ(0)ψ~()0() 

+δ(0-y0)θ(0)ψ~()0()ψ(0) 

+θ(0-y0)δ(0)ψ~()0()ψ(0) 

-δ(0)θ(0-y0)ψ(0)0()ψ~() 

+θ(-x0)δ(0-y0)ψ(0)0()ψ~() 

-δ(0) θ(-y0)0()ψ(0)ψ~() 

+θ(-x0)δ(0-y0)ψ(0)μ()ψ~() 

-δ(0-y0)θ(0)μ()ψ~()ψ(0) 

+θ(0)δ(0)ψ~()ψ(0)μ()
 

つまり, 

(/∂xμ){ψ(0) ψ~()μ() } 

=T{ψ(0) ψ~()μμ()} 

+δ(0){θ(-y0)[0(),ψ(0)]ψ~()

-θ(0)ψ~() [0(),ψ(0)]} 

+δ(0-y0){θ(-y0)ψ(0)[0(),ψ~()] 

-θ(0)[0(),ψ~()]ψ(0)}
 

=T{ψ(0)μμ()ψ~() }

+δ(0){[0(),ψ(0)]ψ~()} 

+δ(0-y0) {ψ(0)[0(),ψ~()]}

を得ます。
 

(3-3終わり※)
 

最右辺の第1項は,カレントの保存:(3):μμ0,

用いるとゼロであり,残る2つの項を正準反交換関係

を用いて評価すると

(p-p')μF'(p)Γμ(,')F'(p') 

=SF'(p')-SF'(p)..(32) 

です。

 

この,両辺に,左からSF'-1(p),右からSF'-1(p')を掛けると 

(p-p')μΓμ(,'’)=SF'-1(p)-SF'-1(p') ..(33) 

を得ます。これがWard-Takahashiの恒等式です。
 

(3-4):[AB,]=ABC-CAB=A{,}{.}Bより 

まず,δ(0)が掛かっているためx00の同時刻で. 

[0()ψα(0)][ψβ()ψβ(),ψα(0)] 

=ψβ(){ψβ(),ψα(0)}{ψβ() ψα(0)}ψβ() 

=-δ3()ψα(0) です。

 

また,δ(00-y0)が掛かっているため,0=y0の同時刻で, 

[0(),ψ~α()] [ψβ()ψβ(),ψ~α()] 

=ψβ(){ψβ(),ψγ()}γ0γα

{ψβ() ψγ()}γ0γαψβ() 

=δ3(-y)ψ~α()  です。
 

したがって,(p-p')μF'(p)Γμ(,')F'(p') 

i∫d4xd4exp{i('-p)}exp(i')0| 

×([ψ(0)μμ()ψ~()]+δ(0){[0()ψ(0)]ψ~()} 

+δ(0―y0){ψ(0)[0(),ψ~()]})|0> 
 

i∫d4xd4[exp{i('-p)}exp(i') 

δ4()0|{ψ(0)ψ~()}|0 

+δ4(x-y)0|{ψ(0)ψ~()}|0] 

i∫d4exp(i')0|{ψ(0)ψ~()}|0 

i∫d4exp(ipy)0|{ψ(0)ψ~()}|0 

=SF'(p')-SF’() です。

(3-4終わり※)
 

Ward-Takahashiの恒等式(33: 

(p-p')μΓμ(,’)=SF'-1(p)-SF'-1(p') 

において,'=mとすると,F'-1(p')'-m=0 です。
 

それ故,

'-1(p)(p-p')μΓμ(,')|=m .(34) 

ですが,これによって,電子伝播関数SF'(p),頂点部分

Γμ(,')が決まれば,完全に決まることがわかります。
 

そして,頂点部分については,

Γ~μ(,')=Z1Γμ(,')から,Γ~μとZ1(n-2)

まで有限という帰納法の仮定から,それらはオーダーnまでも

有限になることを示して,繰り込み可能性を既に証明しました。
 

そこで,1-1F'(p)=Z2-1F'(p)=SF'~(p)も同じく, 

(n-2)次まで有限という仮定から,オーダーnまで有限で

あることが直ちに示されます。
 

ちなみに,(34)式は,さらに,=mの近傍で, 

2-1(p-m)~ SF'-1(p)|=m 

(p-p')μΓμ(,')|p=m ~Z1-1(p-m)..(35) 

なることを意味し,これからZ1=Z2が導かれますが, 

このことは,既に証明抜きで述べていたことで,それ以後は,

これを使用していました。
 

QEDの繰り込みを論じる際には,Ward-Takahashiの恒等式は 

有益で重要な役割を果たす,ことがわかります。

 

カレントの保存条件:(3):μμ0,および,(16)

繰り込み条件において, Ward-Takahashiの恒等式を導出

するに当たって,序文で言及した危険なタイプの操作を

一応無事に行ないました。
 

しかし,こうした操作は,正当化され, Ward-Takahashi

恒等式と頂点のカレント保存の他の帰結は,摂動論の

あらゆる次数で正しいことがわかります。
 

これは,言い換えると,頂点に関わるカレントが保存する

通常のQEDでは,幸い,Ward-Takahashiの恒等式のアノマリー

を生じないということです。
 

これで一応,やっと20年がかりで関わった第1章が終わり,

本題の「2.The VVA Triangle Anomaly」に入るわけです。
 

私のノートは,19951/5()に第1章を完了した後,2

20昔のノート「に戻る前に,19955月末までかかって

中西㐮 著(培風館)「場の量子論」から,

今は中西-Lautrap理論と呼ばれている「電磁場の共変的量子化」

に進み,最後には,Ward-Takahashiの恒等式,任意のゲ-ジで

成立することを示すところまで記述していました。

 

「電磁場の共変的量子化」については,本ブログの

過去記事で記述していたと記憶しているので,私自身

ちょっと調べてみます。


 (※PS:ありました。8年前で忘れてました。

 まずは,2009年6/5の過去記事:

電磁がの共変的量子(1)(中西ーLautrap理論」から回顧です。)
 

今日は,ここで終わります。

(参照文献):Lectures on Elementary Particles 

 and Quantum Field Theory 

(1970 Brandeis University SummerInstitute  

in Theoretical Physics) Volume

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