2019年7月13日 (土)

室井ちゃん。。がんばって

私が有名人の中でも特にかわいいと思って大好きなヒト

室井祐月さん。

(※AKBの大家志津香ちゃん,みいちゃんも好きですが。。)

このたび乳ガンで手術するらしいです。陰ながら応援します。。

がんばってください。

 

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2019年7月12日 (金)

-熱交換器・ヒートポンプなど

最近,子供のころ疑問に思っていた科学的事象を,今70歳

近くになるまでに知り得た多少の知見,薀蓄で,まとめたもの

をブログ記事に書き留めておこうと思うに到りました。

 

こうした疑問への詳細な回答は,最近はネットにアクセスして

直接質問したり,他人の質問への回答を見たりWikiなどを参照

するなど,いくらでも答を得る手段があるので,今更という感

もありますが,他人を啓蒙しようとする「上から目線」の意図

というより,ある意味自己満足の日記的覚え書きです。

 

さて,今回は冷房,暖房を司るヒートポンプの仕組みに関わる

熱交換器や冷媒についての薀蓄を書こうと思い,それの導入

として,まず,10年以上前にブログを開始して半年くらいの

2006年8/6にアップした記事「接触による2物体の温度交換」

を再掲載するところから始めようと思います。

 

  • 以下は,まず上記の過去記事の丸写し再掲です。を訂正し,途中計算を略してわかりにくいと思った部分を 温度がそれぞれTA,TBであったとし,これらを接触させて放置 にあったと記憶していたものを参考にしています。まず,一連の手順を5つの工程に分けて行います。これらの物体を 
  • 取り囲む環境は断熱で,熱は逃げたり入ったりしないと仮定します。
  •  
  • これは,どこだったか覚えていませんが,ある大学入試の過去問
  • するだけで,AとBの温度を交換する方法を考えてみます。
  • ※同じ質量Mで同じ物質から成る2つの物体(固体:A,Bの
  • 詳細に補足しておきました。
  • ただし,現在読み直して気づいた当時の若干の誤記,間違い
  1. AとBをそれぞれ半分の質量(M/2)の2つの物体:A1,A2,質量が同じですから「熱量保存の法則」により,これらの温度は, 
  2. A1=TB1=(TA+TB)/2 となるはずです。
  3. および,B1,B2に分割します。そしてA1とB1とを接触放置します。
  4. 次にA1とB2とを接触放置します。となるはずです。
  5.  
  6. 温度はTA1=TB2={(TA+TB)/2+TB}/2=(1/4)TA+(3/4)TB
  7. 次にA2とB1とを接触放置します、となるはずです。
  8.  
  9. 温度はTA2=TB1={TA+(TA+TB)/2}/2=(3/4)TA+(1/4)TB
  10. さらにA2とBとを接触放置します。 
  11. 温度はTA2=TB2=(TA+TB)/2 となるはずです。
  12. 最後に、分割していたA1とA2,および,B1とB2を, TA’=(TA1+TA2)/2=(3/8)TA+(5/8)TB,かつ,=(1/2)[{(3/4)TA+(1/4)TB}+(TA+TB)/2]と変わっているはずです。これら一連の手順で,結局,Bの温度はTBからTB’=(5/8)TA+(3/8)TBに当然のことながら,質量が同じで同じ物質なので, であったとすれば,この手順の結果として,TA’=272℃,かつ, すなわち,(1)まず,AとBをそれぞれ4分の1の質量(M/4)します。(2)まず,A1,A2とB1,B2に先の手順を施行します。A,Bの代わりの質量(M/2)の2物体として.上の操作をします。4分割直後の時点ではA1,A2,A3,A4,の温度は全てTAであり,①~⑤を実行して最後に接着したときには,となるはずです。
  13. A1+A2=(3/8)TA+(5/8)TB,B1*B2=(5/8)TA+(3/8)TB
  14. 1,B2,3,B4の温度は全てTBで結果は質量に無関係ですから,
  15.  
  16. つまり,まず,(A1+A2)と(B1+B2)を上記の質量Mの2物体
  17.  
  18. の4つの物体:A1,A2,A3,A4,および,B1,B2,3,B4に分割
  19. ではこのプロセスをもう1段階増やすとどうなるでしょう。
  20. B’=240℃となり,温度の高低は逆転することになります。
  21. ちなみに,最初Aの温度がTA=192℃,Bの温度がTB=320℃
  22. A’+TB’=TA+TBが成立しています。
  23. 変わることになります。
  24. Aの温度はTAからTA’=(3/8)TA+(5/8)TBに,
  25.  
  26. =(5/8)TA+(3/8)TB 
  27. B’= (TB1+TB2)/2
  28. =(1/2)[{(1/4)TA+(3/4)TB}+(TA+TB)/2]
  29. 最後に戻したA,Bの温度は,このとき
  30. それぞれ接着して元のAとBに戻します。

 

(3)続いて,先の操作をさらにA1,A2とB3,B4に施すと

A1+A2=(3/8)TA1+A2+(5/8)TB,かつ,

B3+B4=(5/8)TA1+A2+(3/8)TBとなります。

 

(4)さらにA3, A4とB1, B2で実行すると,

A3+A4=(3/8)TA+(5/8)TB1*B2,かつ,

B1*B2=(5/8)TA+(3/8)TB1*B2 です。

 

(5) さらにA3,A4とB3,B4で実施すると

A3+A4”=(3/8)TA3+A4’+(5/8)TB3+B4,かつ,

B3+B4=(5/8)TA3+A4’+(3/8)TB3+B4です。

 

(6)そして最後にA1,A2,A3,A4を全て接触,接着,

および,B1,B2,3,B4を全て接触,接着させて

このステップは終わりです。

 

この結果,A,Bの最終温度:TA~,TB~は,

A~=(TA1+A2+TA3+A4”)/2

={(3/8)2+(3/8)(5/8)2}TA

+{1-(3/8)2-(3/8)(5/8)2}TB,

および,

B~=(TA+TB)-TA~

={1-(3/8)2-(3/8)(5/8)2}TA

+{(3/8)2+(3/8)(5/8)2}TB

となります。

 

※(注):上式を証明します。

[証明]:簡単のためにa=3/8,b=1-a=5/8とします。

すると,(2)はTA1+A2=aTA+bTB,B1*B2=bTA+aTB

(3)はTA1+A2=aTA1+A2+bTB=a2A+(ab+b)TB,

B3+B4=bTA1+A2+aTB=abTA+(b2+a)TB

(4)はTA3+A4=aTA+bTB1*B2=(a+b2)TA+abTB,

B1*B2=bTA+aTB1*B2=(b+ab)TA+a2Bです。

 

故に(5)は,TA3+A4”=aTA3+A4’+bTB3+B4

=(a2+ab2)TA+a2bTB+ab2A+(b3+ab)TB,

=(a2+2ab2)TA+(a2b+b3+ab)TB,かつ,

B3+B4=bTA3+A4’+aTB3+B4

=(ab+b3)TA+ab2B+a2bTA+(ab2+a2)TB

=(a2b+b3+ab)TA+(a2+2ab2)TBとなります。

 

したがって.TA1+A2+ TA3+A4”

=2(a2+ab2)TA+(a2b+b3+2a+b)TB,

です。ところが,b=1-aなので,

2b+b3+2ab+b=b(a2+b2+2a+1)

=b(2-2ab+2a)=2(1-a)(1-ab+a)

=2(1-ab+a-a+a2b-a2)

=2(1-ab+a2b-a2)=2(1-a2-ab2)

です。

それ故, TA1+A2+ TA3+A4”

=2(a2+ab2)TA+2(1-a2-ab)TB より

A~=(TA1+A2+ TA3+A4”)/2

=(a2+ab2)TA+(1-a2-ab)TB

が得られます。

 

そして,TB~=(TB1+B2+ TB3+B4”)/2ですが

A~+TB~=TA+TBを用いれば

B~=(TA+TB)-TA~~

=(1-a2-ab)TA+(1-a2-ab)TA

を得ます。[証明終わり]  (注終わり※)

 

では,このプロセスをn回繰り返して2個まで分割

し,最後にはn→∞の無限分割まで際限なく繰り返した

場合.極限では,どうなるのでしょうか?

便宜上,n段階の操作後のAの温度をTnとしておきます。

 

すると,ここまでの話から,明らかに,T1=aTA+bTB,

2=(a2+ab2)TA+(1-a2-ab2)TBですから

一般に,Tn=anA+bnBと置くと,bn=1-anであり,

n+1=an2+ann2=an2+an (1-an)2

=an(an2-an+1),bn+1=1-an+1と漸化式で書けます。

 

しかし,an+1=an(an2-an+1)(a1=3/8)は線形な関係式

ではないし,この数列の一般項を陽に導くのは試行しましたが

できませんでした。

 

それでも,an+1/an=an2-an+1=(an-1/2) 2+3/4>3/4

であり,また,an+1/an-1=an2-an=-an(1-an)です。

 

そこで0<an<1なので, 0 <(an+1/an)<1であり,

一般に0<r<1なる定数rが存在して0<(an+1/an)<r

が成立するため,n→∞に対してan=rn-11→ 0 となること

がわかります。したがって,もちろん.limn→∞n → 1です。

 

かくして無限分割の施行では「マクスウェルの悪魔」という

わけではないですが,無限回の接触操作によってAとBの温度

を完全に交換して入れかえることが原理的には可能になります。

(過去記事再掲載終了)※

 

※ここからは今回の新しい記述です。

上述の同一質量Mの固体物質A,Bの同じ単位質量当たり

同一の熱容量=比熱をcとし,TA,TBを絶対温度と考えると,

A,Bの熱量=熱エネルギー:QA,QBは.QA=∫TAcMdT,

B=∫TBcMdTで与えられるため,上記では温度交換と

称していますが実は,熱交換でもあります。

 

比熱cは固体金属の塊りなどでは,常温では剛体と同じく

運動の自由度は6で,振動の自由度や量子効果を無視すれば

古典統計力学の「エネルギー等分配の法則」により1モル

の比熱は,cmol=(R/2)×6=3R~(8.31×3)J/(mol・K)

~(25/4.19)cal/(mol・K)です。例えば鉄(Fe)なら標準の鉄

の分子量は56なので,c~0.11cal/(g・K)です。

これは固体比熱のデュロン・プティ(Dulong-Petit)の法則と

して知られています。

 

さて,上の記事を書いた約13年前にも着目したことですが,

「(何もしなければ)熱は高温部から低温部に向かって移動し,

その逆向きに流れることはない。」という熱力学第2法則に

上記事実は反しているようにも見えますが,実は分解して接触

させるという力学的操作が加えられており「何もしなければ」

とか,「ひとりでに(自然に)」という条件が満足されていない

ので,低温から高温に熱が流れていても,別にこの法則を破って

いるわけではありません。

 

ヒートポンプ(エアコン)や冷蔵庫などでは電気エネルギー

でモーターを回すことで,こうした操作が施行されています。

 

こうした常温の空気を冷やしたり暖めたりする機器には

熱交換器が使用されています。

一般に熱交換器とは性質の異なる2流体が流れている容器

接触させて高温流体から低温流体へと熱を移動させます。

2つの物体を接触させて放置しておくとやがて熱平衡と

呼ばれる平衡状態に到ります。

この熱的平衡にあるかどうか?の指標が温度(経験温度)です。

 

AとBが熱平衡にあることをA~Bと表わすと,これは一種

の同値関係A~B,B~CならA~Cという推移律が

熱力学第0法則と呼ばれています。

そこでBを温度計とみなせば,AとCを接触させなくても

それらの熱平衡の度合いが測れるわけです。

 

熱交換器の2流体として,一方は普通の水,他方は冷媒と

呼ばれ,常温では既に沸点を超えて気体として存在するもの

を,低温の液体状態にして使用します。

元々は,フッ素(F),塩素(Cl).臭素(Br)などのハロゲンを

含むガス状態ではフロンガスと呼ばれるものを冷媒として

多用していましたが,近年,フロンはオゾン層を破壊して

光化学スモッグを発生させたり,有害な紫外線など太陽

から地球に注ぐ放射線(宇宙線)を貫通させて皮膚ガン

を誘発させるなど,さらに温室効果ガスでもあるという

ことで世界的に規制され,何か代替物に取って代かわら

れているらしいです。

 

要するに,常温の温水管が冷媒管に接触する普通に温水

が冷やされ,液体冷媒は水から気化熱を奪って気体(ガス)

になります。

これだけではやがて熱平衡になって冷却という作用は

終わってしまsいますから,通常,熱機関というのはサイクル

と呼ばれるシステムで元の状態に戻し熱の流れを継続する

必要があります。

(何もしないでもサイクルとなる永久機関は無いのです。)

 

気化熱をもらってガスとなった冷媒を再び圧縮して液体に

戻し断熱圧縮で発生する熱は内ではなく外に逃がします。

 

冷蔵庫ではコンプレッサーで圧縮して放熱板で外に逃がし.

ヒートポンプでは室外機です。

具体的には圧縮して熱を持った冷媒を室外で空冷式にファン

で冷却して室内に戻します。

 

日本の都会の夏は,ほとんど全ての建物で冷房が行われ,室内

の熱:トータルでは莫大な熱を屋外に捨てているので,屋外の

気温を上昇させる効果があります。

 

これはヒートアイランド現象とも呼ばれ,田舎に比べ都会は,

地球温暖化による異常気象のほかに,過剰な冷房のためにも

屋外気温が昔より高くなっています。

 

一方,暖房は冷房と逆のプロセスです。冷媒ガスを圧縮して

際の発生熱を室内に与えて空気を暖めます。圧縮で液体と

なった冷媒を室外で冬の冷気からさらに気化熱を奪ってガス

に戻すわけです。いずれにしろ,全体で熱交換機です。

※さて余談ですが万有引力により地球に束縛されている空気中の

酸素:O2は太陽光を吸収してO2+hν→O+Oと分解され,この

酸素原子をO2+O→O3なる反応で吸収してオゾン:O3ができると

考えられていますが,O3は酸素:O2よりエネルギー的に不安定で,

短絡的に書くと,逆反応:O3→O2+O+hνで光を放出して酸素

に戻ります。

 

これらの反応が平衡してオゾン層を形成していれば,太陽から

地上まで直線的に降り注ぐ光の中でも,特に高エネルギーで人体

にも有害な放射線が,この層で一旦吸収されて放出される際には

向きを変えるという意味での散乱により緩和されます。

 

ところが空気中のPAN(ポリアセチルナイトレート)やフロンが

増えると.こうしたものの介在で反応のバランスが崩れ,O3

分解されてO2に戻るという反応の方が過剰になるというのが

オゾン層破壊のシステムと考えられています。

 

日本では,昔,よく晴れた日には光化学スモッグが発生して目が

痛くなったりするということが問題となった時代がありました。

オゾンの平衡が崩れたのが原因ということで対策がなされて

いました。その後,そうした話を聞かなくなったので,今はどう

なっているのかは知らないのですが,これは丁度,私が20,30代

で,まだ環境アセスメントの会社の社員であった頃に,門前小僧

で得た薀蓄です。

 

また,特に南極大陸上空のオゾン層が破壊され,南極に近い南半球

のオーストラリア南部で,メラがニン色素の少ない肌の白人を中心

に日光による赤焼けなど危険で,オゾン層破壊が皮膚ガン増加

に寄与していると聞いています。

(※ 2006年7/12の本ブログ過去記事「オゾンホール」,および,

7/27の「オゾンホール(訂正)」も参照されたい。※)

 

一方,温室効果ガスですが,これは,そもそも太陽から地球表面に

注ぐ総エネルギーからStefan-Boltzmannの法則(T4則)で単純

計算すると地球上平均温度は,ー18℃くらいであるという評価を

過去記事で書きました。

(※2006年11/21の記事:

「地球の平均気温とステファン・ボルツマンの法則」参照※)

実際の地球平均気温が約15℃であるのは,吸収された熱が地上

から放射されて単純に全て宇宙空間に逃げるという計算では

なく,水蒸気の雲などにより反射し返されて実質上地球が温室

の様になるという意味で,これらの気体を温室効果ガスと呼ぶ

わけでです。

 

最大の温室効果ガスは水(水蒸気)ですが米副大統領ゴア氏の

「不都合な真実」以来,二酸化炭素が増えると,さらに温暖化

するとされて温室効果ガスは危険視されており,フロンもこれ

に寄与するらしいです。

 

PS:2月のリニューアル以後,ブログ書きがむずかしくなり,

コピペもうまくできません。

オリジナル発想の遺稿をアップするまでがんばろうと思って

いましたがモチベーションが下がりました。

2006年からぷ愛用していたブログのテノウレートが

リニューアル前のように戻らないなら,もう科学ブログは

やめて,後わずかなとき訪れるだろう永眠に備えようか?

という気になりました。(※実際,上記本文でもワードで

書いた草稿をコピペ゚でアップしただけで改行不具合発生,

文章順不同で訂正する気にもなりません。)

 

 

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2019年5月22日 (水)

頭の体操(19)

 その昔,古書店で秋山仁,P.フランクル編の

「数学オリンピック」という高校生が対象で

あろう国際数学オリンピック(IMO:

International Mathematics Olympic)の過去

問題集の本を買って,入院中の暇つぶし,など

に読んでいました。

本書に解答は載ってはいますが,昔から難問で

あるほど自力で解かなければ意味がない。我慢

できない,という性分です。何日をかけてもでき

ない問題は,とりあえずほったらかし,ときどき

思い出しては見直しなんとかヒントを探します。

結局,できないならそれまでですが。。

 

こうして解けたモノの中から問題や解答の興味

深いと思われたものについて,過去にも本ブログ

でネタが無いときに何度かアップしていました。

 

今回も,ヒマなときは考えることが好きなのですが

とりたててやることが無いと思ったときに解いた

うちの2問をアップします。

2019年版ということで

「頭の体操(19)」と題名付けしました。

 

図形問題が嫌いじゃないのですが,ブログ上では図

を描いて説明するのがわずらわしいので,以前と変

わらず図形問題は避けて数列の問題にしました

※問1. x1=x(x>1),かつ,

n+1=x2+x(n=1,2,3,..)で定義される

実数列:x1,x2,x3..について,その級数和:

S=Σk-1{1/(1+x)}を求めよ。

(1982年:ベルギー国内大会)

 

[解答] ,S=Σk=1[1/(1+x)]と置けば,

求めるものは,S=limn→∞n です。

n≧1について,

n+1=x2+x=x(1+x)なので

1/(1+x)=x/xn+1です。

そこで,S=Σk=1[1/(1+x)]

=Σk=1(x/xk+1)ですが,

1/(1+x)=x/xk+1

=x2/(xk+1)

=(xk+1-x)/(xk+1)

=(1/x)-(1/xk+1) ですから

=(1/x1)-(1/xn+1)=(1/x)-(1/xn+1)

を得ます。

 

ところが,xn+1=x2+xn  (n≧1)で,

1=x>1より,x2=x12+x1=x12+x>x2+1

故に,x3=x22+x2>(x2+1)2+x2+1..です。

それ故,n→∞に対してxn+1 → +∞

したがって,S=limn→∞n

=limn→∞[1/x-1/xn+1]=1/x です。

(解答終わり)

 

※問2 n≧2のとき,

1≦x2≦..≦xn-1≦xn,かつ,

1≦y2≦.. ≦yn-1≦yn を満たす,共に

単調非減少の実数列:{x1,x2,..xn}と,

{y1,y2,..yn}があるとき,

後者の{y1,y2,..,yn}の順序を変えたものを

{z1,z2,..zn}とすれば,常に不等式:

Σi=1(xi-yi)2≦Σi=1(xi-zi)2

が成立することを示せ。

(1975年IMO問題)

 

[解答]順列{1,2,3,..n}の順序を変えた置換

を,P={p1,p2,p3,..p}と書くことにします。

{1,2,3,..n}のi番目とj番目(i<j)を入れ

替えたもの:{1,2,..i-1,j,i+1,..j-1,i,

j+1,,..n}を,互換と呼んで(i,j)と表わせば,

任意の置換は,有限個の互換の積で表わされること

がわかっています。,例えば,

P=(i1,j1)(i2,j2)...(ir,jr)のように書けます。

ただし,積は左から右への順に演算を掛けるとします。

 

そして,1つの置換Pに対しての互換積の表わし方

は唯一ではないですが,この積の個数が奇数か偶数

かは一意的で,これが奇数なら奇置換,偶数なら

偶置換と呼ばれることは,線形代数学で行列式の定義

を与えるときなどに用いられる有名な順列の置換の

性質です。

 

また,順列の任意の置換Pは,また小さい順に並べだ

いくつかの巡回置換の積でも表わせます。

その巡回置換因子の1つを,Q=(q1,q2,q3,..q)

とします。ただし,q1<q2<q3<..<qm-1<qです。

 

このQが,Q=(q1,q2)(q2,q3)..(qm-1,q)

なる互換の積に書けることは明らかです。

 

以上から任意のPは(qj-1,q)(qj-1<q)

なる降ベキの互換の連続で到達されることが

わかりました。

 

さて,{y1,y2,.,y} → {z1,z2,..zn}を置換:

P={p1,p2,p3,..p}によるものであって,

{z1,z2,..zn}={yp1,yp2,..ypn}であると解釈

すれば,Σi=1(xi-zi)2=Σi=1(xi-ypi)2です。

 

仮に,p1≠1として{z1,z2,..zn}を与えるPが

(1,p1)なる1つの互換に等しい場合は,

i=1(xi-zi)2]-[Σi=1(xi-yi)2]

={(x1-yp1)2+(xp1-y1)2}

-{(x1-y1)2+(xp1-yp1)2}

=2(x1-xp1)(y1-yp1)≧0 ですから,

i=1(xi-zi)2]≧[Σi=1(xi-yi)2]

であり.この互換で2乗和は単調増加

(単調非減少)します。

 

そして,一般に{z1,z2,..zn}から,ある互換

(k,qk)を実行して{z1,z2,,..zn}から,

{w1,w2,..wn}を得たとき,

i=1(xi-wi)2]-[Σi=1(xi-zi)2]

=2(x-xqk)(z-zqk) です。

これらの互換:(k,qk)は全て降べき:k>q

となっているためx≧xqkであり,zの列も

単調減少のyの列からの降べき互換の連続

なのでで(z≧zqkです。

そこで.この互換でも,

i=1(xi-wi)2]≧[Σi=1(xi-zi)2]で,

やはり2乗和は単調増加(単調非減少)します。

 

以上から{y1,y2,..,yn}の順序を変えたものを

{z1,z2,..zn}とすれば,常に不等式:

Σi=1(xi-yi)2≦Σi=1(xi-zi)2

が成立することが示されました。 (解答終わり)

 

※余談ですが一所懸命,自分や家族の衣食住の

生活の糧を得るための日々の仕事(Workと

いうよりLord:労働,または労苦の方が多いモノ)

に心ならずも励まざるを得ない多くの人々や,日本

以外で戦争などにより難民となったり飢えに苦しむ

人々も大勢いて,一応最低限生きられるわが身は

ヒマつぶしというのも恥ずかしく申し訳ないとは

思っています。

ただ,私は,現在69歳で心臓,糖尿病,目,足などの

障害がある身で,在宅勤務などでも金を得る仕事を

得たい,と思うことはあっても積極的に追求する

こともせず,現状,細々と老齢年金と世間様のお世話

に頼って食をはむ身に甘んじています。

イヤ,本質的にナマケモノで,よりよい生活をしたい

というような上昇志向性ももはやアキラメ無く将来

についてタナカラボタモチ的な希望しか期待してない

けれど,まあ大した苦痛もなく生きているうちは,

急に死ぬのダケはコワイし,このままでもいいか?

と後ろ向きに考えている存在と化しています。

「税金の無駄遣いで,殺した方が社会のためになる」

として,相模原で起こった事件の対象者となりそうな

非社会的なダニ,老醜と化していると自認しています。

(ナサケナイ!!)

 

ただ,人生の最後に自分ではLife-work(生きがい仕事)

と呼んでいる金銭には関係ない仕事(Work)だけはまだ

残っていて(未だ夢の途中),急ぐ必要もなく体(頭)だけあって,

必要情報(本や文献)だけあれば,多くの金銭の必要もなく,

途中で死んだら死んだで,それもしょうがない。。ということ

くらいで,申し訳ないが日本のようなメタ福祉社会ゆえに,

ヒマなときはヒマがあるのです。

 

近年はTV放送を見てると,「何で働いているのか?

仕事をしてるのか?わからない。」とか言って,グルメだ

ダイエットだとか抜かしている飽食国家日本の

プチエリートたちがいるらしく,彼らには,わからない

かも知れない。アッシジのフランチェスコも疑問に思った

らしいけど,鳥や虫,ケモノなどと違って,人間であれば,

「働かなければ生きて食べていけない。」から,イヤな労働

であっても甘んじて働くのでしょう。

 

もっとも,「労働の代償として賃金をもらうという

システム」自体に疑問を持ち,私有財産を排して

「各人の能力に応じて働き,働いた量(時間)とは

無関係に,必要に応じて与えられる。」という理想社会

を追求する思想を「共産主義」としてドイツのマルクス

とエンゲルスが唱え,その社会革命を行なう手段として,

まずは富を持っている階級から,それらを強奪して富を

持たない貧困層に分配しなおす,という日本時代劇では

「ねずみ小僧」などの義賊がやる政治的革命が必要で

それだけでは多く働いても代償が得られないと不満が

出るので,十分な生産性を得て,人間も変革されねば

ならないという遠い理想があります。

こうした社会は理想であり,現実には今まで

「共産主義国家」と自称しても,全く異なる歪んだ

国家でしかなく実現されたことはないです。。。

そして,「義賊といっても盗賊は盗賊」と理想とは

ほど遠い封建社会の中で,もっともらしく,お上が

都合の良い理屈で奉行の名裁き。などとされる勧善懲悪

思想がもてはやされていたりします。

しかし,「義賊」がダメなら,18世紀に監獄の囚人暴動

に端を発し,専制君主のルイ15世を殺してレジームを

壊し共和制を始めたフランス革命も否定されます。

 

かつて,土着の民(コロンブスがインドと間違えたので

インディアンと呼ばれていたアメリカのネイティブ

を悪とし,イギリスから入植しアフリカからは黒人を

強制連行して奴隷として悪条件で強制労働させてきた

征服者の白人を善とした,アメリカ合衆国の勧善懲悪

時代劇がメインの西部劇が,ベトナム戦争を契機に善悪

逆転してリバイバル映画としても下火となっています。

 

かつて「ワールドアパート」という南アフリカ共和国の

アパルトヘイト時代の映画を見ました。

人種差別こそが正義で,黒人解放に協力し人種差別に反対

すると白人でも法律違反で逮捕拘留され有罪になりました。

これは,1990年頃まで,ほんの30年以内にあったことです。

 

時代も国も違うけど,日本じゃ江戸時代は,架空の存在らしい

が神田明神下の「銭形平次」などの目明し,与力,同心,今は

警察,刑事がTVドラマじゃ,わずかの例外を除き,常に正義

の味方で,彼らに逮捕されたら,ほぼ100%が悪人と思われる

風潮です。

正義,善悪とは時代のポピュリズムにも左右される相対的な

価値観です。

人殺しをしても戦時は英雄とされることもあります。でも

人殺しが正義なのは正当防衛だけではないかなぁ。

 

長々と脱線したけど,結局,細々とでも生きて

いるだけでもアリガタイと思います。※

 

コマーシャルつきの無料ブログだから仕方ない

しクレームも言えないけど,2月頃に大きく仕様

がリニューアルされてから,ブログ書きが前より

むずかしいと感じて億劫になってます。

文章だけなら2006年3月にブログをはじめて何の

スキルもなかったころと変わらなくなりました。

残念ながらインスタよりも貧困ですね。

 

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2019年4月25日 (木)

くりこみ理論(次元正則化)(5)

「くりこみ理論(次元正則化)」の続きです。

 

※平成最後かな?きわどい時期に女子陸上の

小出義雄監督が亡くなられましたが,

私は何とか,昭和,平成,令和の3代を生きられ

そうです。

 

※3点頂点関数

粒子の自己エネルギー,2点Green関数(伝播関数)

を評価したのに続いて,FermionとBosonの3点

頂点関数:Γψ~ψφ(3)を計算してみます。

 

これは,1-loopまでの近似で

Γjψ~ψφ(3)(p2.p1)=-gτj+Γjψ~ψφ(1-loop)(p2.p1)

+O(hc2)..(29) と書けます。

これの右辺第1項はtreeレベルの寄与であり,第2項

は,下図7.5の1-loppグラフの寄与です。

 

そして,この1-loopの寄与を書き下すと,

Γjψ~ψφ(1-loop)(p2.p1)

=∫dnk(2π)-n[(-igτj)i{(2)-m}-1

(-igτi)i{(1)-m}-1(-igτj)

i(k2-μ2)-1]..(30) となります。

 

これに,Feynmanパラメータ公式:1/(a12..an)

=(n-1)!∫01dx101dx2..∫01dxn

δ(1-x1-x2-..-xn)

×[1/(a11+a22+..+ann)]

を適用します。

 

※(注5-1):

上記Feynmanパラメータ公式を証明します。

(証明):まず,1/A=∫0dxexo(-Ax)

が成立するので.明らかに,n項の積では,

1/(a12..an)=∫0dy10dy2..∫0dyn

{exp(-a11-a22-..-ann)} 書けます。

 

さらに,1=∫0dtδ(t-y1-y2-..-yn)を

挿入すると,1/(a12..an)

=∫0dt∫0dy10dy2..∫0dyn

δ(t-y1-y2-..-yn)

×{exp({-(a11-a22-..-ann)} です。

 

ここで,yj=txj(j=1,2,..,n)と積分変数を

置換すれば,1/(a12..an)

=∫0dt∫0dx10dx2..∫0dxn

×δ(t(1-A)

{exp({-t(a11-a22-..-ann)}

となります。

ただし,A=x1+x2+..+xn=Σi=1ni

と置きました。:

さらに,B=ax1+ax2+..+ann=Σi=1nii

と置くと,1/(a12..an)

=∫0dx10dx2..∫0dxn

×∫0dt[δ[t(1-A)]texp(-tB)]

です。

 

右辺の最後のt積分の因子のみ着目すれば,

0dt[δ[t(1-A)]texp(-tB)]

=δ(1-A)∫0dt[tn-1exp(-tB)]

=δ(1-A)Γ(n)B-n を得ます。

 

したがって,1/(a12..an)

=∫0dx10dx2..∫0dxnδ(1-A)Γ(n)B-n,

つまり,1/(a12..an)

=∫01dx101dx2..∫01dxn[(n-1)!

δ(1-x1-x2-..-xn)

×[1/(ax1+ax2+..+ann)]

が得られました。(証明終わり)

※※この公式は帰納法でも簡単に示せますが,演繹法

で証明した方が美しいですね。

なお,昔,nifty物理フォーラムで懐かしい,あもんさん

の「あもんノート」を見つけて参照させてもらいました。

(注5-1終わり※)

※(注5-2):

既に,前記事で,n=2の場合の公式:1/(ab)

=∫01dx101dx2{δ(1-x1-x2)/(ax1+bx2)2]

=∫01dx[1/{ax+b(1-x)}2]を使用しています。

この両辺を,さらにパラメータaで微分すれば,

1/(a2b)=∫01dx(2x)/{ax+b(1-x)}3]

が得られます。

 

それ故,1/[{ax+b(1-x)}2c]

=∫01dy(2y)/[{ax+b(1-x)}y+c(1-y)]3]

より,1/(abc)=∫01dx∫01dy

(2y)/[{ax+b(1-x)}y+c(1-y)]3]

が成立することがいえます。

 

また,1/(ab)の表式をaで微分して得た上記,

1/(a2b)=∫01(2x)dx/{ax+b(1-x)}3]

を,さらにbで微分すると,1/(a22)

=∫01{6x(1-x)}dx/{ax+b(1-x)}4]

も得られます。

そこで,1/(aαβ)

={Γ(α)Γ(β)/Γ(α+β)}∫01dx

{xα-1(1-x)β-1}/{ax+b(1-x)}(α+β)]

=Β(α,β)(α,β=1,2,..)なる一般公式

が帰納的に得られます。

 

ここで.係数:Β(α,β)はベータ関数で,

Β(α,β)=∫01dt{tα-1(1-t)β-1}

で定義されます。

これは,Gaussのガンマ関数によって,Β(α,β)

=Γ(α)Γ(β)/Γ(α+β)=Β(β,α)

とも表わされます。

 

:先に証明した,

一般的Feynmanパラメータ公式:

1/(a12..an)

=∫01dx101dx2..∫01dxn

[(n-1)!δ(1-x1-x2-..-xn)

/(ax1+ax2+..+ann)] についても,

これをパラメータaiで複数回偏微分する

ことで,1/(a1α12α2..anαn)

に対する積分表式を得ることができます。

そして,1/[{ax+b(1-x)}2c]

=∫01dy(2y)

[1/{ax+b(1-x)}y+c(1-y)]3]

から,1/(abc)=∫01dx∫01dy

(2y)/[{ax+b(1-x)}y+c(1-y)]3]

を得たのと同様にして

 

一般化された別表現の公式:1/(a12..an)

=∫01dx101dx2..∫01dxn-1

[(n-1)!x232..xn-1(n-2

)/{(a1-a2)x12..xn-1+(a2-a3)x2..xn-1

+..(an-1-an)xn+an}]

をも示すことができます。(注5-2終わり※)

 

※(注5-3):余談ですがベータ関数:

Β(x,y)=∫01dt{tx-1(1-t)y-1}

=Β(y,x)を見るとき,

伝統的場理論では別のグラフとしてカウント

される散乱のsチャネルとtチャネルの過程;,

これは例えばQEDなら電子(e)と陽電子(e)

の電磁相互作用(光子の交換)による散乱グラフを,

sチャネルとすると,eとeが対消滅して光子

(γ)になり,再び対生成してeとeの対になる

過程が,tチャネルであり,これらはeとe

散乱振幅には独立な和として寄与します。

 

ところが,ハドロンの強い相互作用による散乱

ではsチャネルとtチャネルの過程は実は同一の

過程で別扱いをして和の寄与があるとすると重複

でダブルカウントになる.という性質:双対性

(そうついせい:duality)が存在することが観測

されていました。そして,この性質を体現する

Venetsiano(ベネツィアノ)模型というものが提議

され,これは上記ベータ関数の性質を利用したもの

であった,という歴史的経緯を想起したわけです。

 

この模型はハドロン散乱でsとtの関数としての

散乱振幅Aが,A(s,t)

=Γ(-α(s))Γ(-α(t))/Γ(-α(s)-α(t))

=Β(-α(s)x,^-α(t)) の形である

というもので.こう仮定すれば,確かに双対性:

A(t,s)=A(s,t)が成立するわけです。

ただし,αはRegge軌跡における極の粒子の

角運動量を意味します。

 

そして,双対共鳴模型は強い相互作用では,あまり

評価されませんでしたが,これを強い相互作用で

なく素粒子の2次元のヒモ:超弦模型の基礎式と

して量子化すればBose弦のみ存在する場合は,

背景時空が26次元,Fermi弦の存在する場合は10

次元のときにのみ,負のノルム(負の確率)のゴースト

が出現しない。という,

弦理論では有名な「no-ghost定理」

が示されたことなども思い出されます。

(以上,余談終わり)(注5-3終わり※)

 

さて, 3点頂点関数:の(29)式

Γjψ~ψφ(3)(p2.p1)

=-gτj+Γjψ~ψφ(1-loop)(p2.p1)+O(hc2)

において,右辺第2項の1-loopの寄与:,,

Γjψ~ψφ(1-loop)(p2.p1)

=∫dnk(2π)-n[(-igτj)i{(2)-m}-1

(-igτi)i{(1)-m}-1

(-igτj)i(k2-μ2)-1]

を評価するという主題に戻ります。

 

n=3のFeynmanパラメータ公式;

1/(abc)=∫01dx∫01dy(2y)

/[{ax+b(1-x)}y+c(1-y)]3]

を用いることにより,

Γjψ~ψφ(1-loop)(p2.p1)

=-∫01dx∫01dy∫dnk(2π)-n(2y)

(g2(gτj){(2)+m}{(1)+m}

[k2-2y{(1-x)(p1k)+x(p2k)}

+y{(1-x)p12+xp22}-m2y-μ2(1-y)]-3

と書けます。

 

ここで,p~=(1-x)p1+xp2,かつ,

q=p2-p1と置くと,p~2=(1-x)212

222+2x(1-x)(p12),q2=p22+p12

-2(p12) なのでp~2+q2x(1-x)

=(1-x)p12+xp22より

2-2y{(1-x)(p1k)+x(p2k)}

+y{(1-x)p12+xp22}-m2y-μ2(1-y)

=k2-2y(p~k)+y{p~2+q2x(1-x)}

-m2y-μ2(1-y) となります。

 

これから,D(x,y)

=(1-y)μ2+y{m2-q2(1-x)}

-y(1-y)p~2と置けば,

Γjψ~ψφ(1-loop)(p2.p1)

=∫01dx∫01dy

{2yg2(gτj)(4π)-n/2/Γ(3)}

{(2+m)(1+m)

-y{~(1+m)+(1+m)~}Γ(3-n/2)

D(x,y)-(3-n/2)+∫01dx∫01(2y)dy

[{g2(gτj)(4π)-n/2/Γ(2)}

×{Γ(3-n/2)p~23D(x,y)-(3-n/2)

-Γ(2-n/2)(n/2)yD(x,y)-(2-n/2)}]

を得ます。

 

時空の次元nが,n=4-2ε(ε=+0)の場合,

発散はΓ(2-n/2)(n/2)D(x,y)-(2-n/2)

=(1/ε-γ)(2-ε)(1-εlnD)

=2(1/ε-γ-lnD)-1のみから生じると

考えられます。

 

ε~-1=1/ε-γ+ln(4π).および,

01dx=1,∫01ydy=1/2を用いて

Γjψ~ψφ(1-loop)(p2.p1)

=-gτi{g2/(16π2)}

[-ε~-1+1/2+2∫01dx∫01ydylnD(x,y)

+∫01dx∫01dy

{(p2+m-yp~)(p1+m-yp~)D(x,y)-1}

…(31) が得られます。

 

※(注5-4):何故なら,前記事では

∫dk(2π)-n[1/{k2-2(pk)-m2+iε}α]

=∫dk(2π)-n[1/{(k-p)2-(p2+m2)}α]

={(-1)α+1/2(4π)-n/2Γ(α-n/2)/Γ(α)} 

×{1/(p2+m2)(α-n/2) なる表式を得ました。

 

この被積分関数において,p→ (yp~),

2 → y{m2-q2x(1-x)}-y(1-y)p~2

+μ2(1-y) という置き換えを実行すれば,

2-2(pk)-m2=(k-p)2-(p2+m2)が

(k-2yp~)2-[y2p~2-y{m2-q2x(1-x)}

+y(1-y)p~2+μ2(1-y)]

=(k-yp~)2-D(x,y) 

に置き換わまりす。ただし,Dは前に与えた関数

でD(x,y)=(1-y)μ2+y{m2-q2(1-x)}

-y(1-y)p~2 です。

 

それ故,∫dk(2π)-n

{(k-p)2-(p2+m2)+iε}-α

={(-1)α+1/2(4π)-n/2Γ(α-n/2)/Γ(α)} 

×(p2+m2)-(α-n/2) という表式から,

∫dk(2π)-n[k2-2y{(1-x)(p1k)

+x(p2k)}+y{(1-x)p12+xp22}

-m2y-μ2(1-y)]-α

=∫dk(2π)-n{(k-yp~)2-D(x,y)]-α

={(-1)1/2(4π)-n/2Γ(α-n/2)/Γ(α)}

D(xy)-(α-n/2) を得ます。

 

これを(∂/∂p~μ)で微分すると

∫dk(2π)-n){(2kμ-2yp~μ)(-α)}

{(k-yp~)2-D(x,y)]-(α+1)

=(-1)1/2(4π)-n/2{Γ(α+1-n/2)/Γ(α)}

(-2y(1-y)p~μ)D(xy)-(α+1-n/2) です。

それ故,∫dk(2π)-n

[kμ{(k-yp~)2-D(x,y)}-(α+1)]

=-(-1)1/2(4π)-n/

{Γ(α+1-n/2)/Γ(α+1)}

yp~μD(xy)-(α+1-n/2)  です。

 

これを,さらに,(∂/∂p~ν)で微分すると.

-∫dk(2π)-n)

{kμ(2kν-2ypν)(α+1)}

{(k-yp~)2-D(x,y)]-(α+2)

=(-1)1/2(4π)-n/2Γ(α+2-n/2)/Γ(α)}

(-yp~μ2y(1-y)p~ν)D(x,y)-(α+1-n/2)

-(-1)1/2(4π)-n/2Γ(α+1-n/2)/Γ(α)}

ygμνD(xy)-(α+1-n/2) なので,

 

∫dk(2π)-n

[(kμν){(k-yp~)2-D(x,y)}-(α-2)]

=(-1)1/2(4π)-n/2Γ(α+2-n/2)/Γ(α+2)}

(y2p~μp~ν)D(x,y)-(α+2-n/2)

-(-1)1/2(4π)-n/2Γ(α+1-n/2)/Γ(α+2)}

ygμνD(x.y)-(α+1-n/2)  です。

 

したがって,iΓjψ~ψφ(1-loop)(p2.p1)

=-∫01dx∫01dy∫dnk(2π)-n

(2yg2(gτj){(2)+m}{(1)+m}

{(k-yp~)2-D(x,y)] -3 

の右辺を,次のように書き下します。

,

まず.-∫01dx∫01dy{2yg2(gτj)}

∫dnk(2π)-n{(2+m)(1+m)}

{(k-yp~)2-D(x,y)] -3

=-∫01dx∫01dy{2yg2(gτj)}

(2+m)(1+m)(-1)1/2(4π)-n/2

{Γ(3-n/2)/Γ(3)}D(xy)-(3-n/2)

 

次に,+∫01dx∫01dy{2yg2(gτj)}

∫dnk(2π)-n((1+m)(2+m))

{(k-yp~)2-D(x,y)] -3

=∫01dx∫01dy{2yg2(gτj)}

{yp~(1+m)+(2+m)yp~}(-1)1/2(4π)-n/2

{Γ(3-n/2)/Γ(2)}D(x,y)-(3-n/2) 

 

さらに,∫01dx∫01dy{2yg2(gτj)}

-∫dnk(2π)-n2{(k-yp~)2-D(x,y)] -3

=-∫01dx∫01dy{2yg2(gτj)}

(-1)1/2(4π)-n/2{[Γ(3-n/2)y2p~2D(xy)-(3-n/2) 

-Γ(2-n/2) (n/2)yD(xy)-(2-n/2)]

と書けるからです。

ここでΓ(3)=2,Γ(2)=Γ(1)=1.を用いました。

(注5-4終わり※)

 

3点頂点関数を発散部分と有限部分の和で表わした

再表示(31)式:Γjψ~ψφ(1-loop)(p2.p1)

=-gτi{g2/(16π2)}

[-ε~-1+1/2+2∫01dx∫01ydylnD(x,y)

+∫01dx∫01dy

{(p2+m-yp~)(p1+m-yp~)D(x,y)-1} 

は今の場合,

Γjψ~ψφ(1-loop)(p2.p1)

=∫dnk(2π)-n[(-igτj)i{(2)-m}-1

(-igτi)i{(1)-m}-1

(-igτj)i(k2-μ2)-1]

のdk(n~4)積分をする被積分関数がkの(-4)

次なので対数発散であり,外線運動量p1かp2で微分

すると収束するので,発散はこれらに依存しない定数

項にのみ現われています。

 

一般に3点頂点関数の量子補正項:

Γψ~ψφ(補正)(p2.p1)を,関与する3粒子の質量殻:

12=m,q2=(p2-p1)2=μ2のまわりで,展開

したとき,Γψ~ψφ(補正)(p2.p1)

=τ[c+O(1-m,2-m,q2-μ2)]

の形をとります。

初項の定数項cがゼロでない値を取ったとすると,

これからΓψ~ψφ,~ -(g-c)τとなるため,

物理的な質量殻上のFermionとBosonの湯川結合定数

が量子補正で,gから(g-c)に変化することを意味

します。

 

物理的に観測される湯川結合定数はgでなく(g-c)

というのが真なのです。湯川結合定数に限らず,φ4

頂点の結合定数λなど,一般に結合定数は質量や場

の規格化定数と同様,相互作用の影響でずれます。

 

途中ですが長くなったので今回はここで終わります。

 

※参考文献:

九後汰一郎著「ゲージ場の量子論Ⅱ」(培風館)

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2019年4月14日 (日)

くりこみ理論(次元正則化(4))

「くりこみ理論(次元正則化)」の続きです。

 

※Bosonの自己エネルギー

前回はFermionの自己エネルギー:Σ(p))を考察しました。

Bosonφの自己エネルギーをΠ(p2)とすると2点関数は,

Fij(p2)=iδij{p2-μ2-Π(p2)}-1

=i[Γφ(2)(p2)]-1..(22)

 

※(注4-1):Fermionの場合の1粒子既約な自己エネルギー

部分:-iΣ(p)と同じくBosonのそれを-iΠ(p2)と

書くと,iΔF’(p2)は初項がa=i(p2-μ2)-1,公比が

r=(p2-μ2)-1Π(p2)の等比級数なので和として,

F’(p2)=a/(1-r)=i{p2-μ2-Π(p2)}-1

を得ます。  (注4-1終わり※)

 

これに効く1PIグラフは図7.4の(a),(b),および,Lcountfree

の相殺項からの寄与です。

したがって,最低次のオーダーで.

Π(1)(p2)=Π(-loop1)(p2)+-Πcount(1)(p2..)

ただし,

-iδijΠ(-loop1)(p2)

=∫dnk(2π)-4(-)Tr[(―igτi)i(-m)-1

(-igτj)i{(k-)-m{-1]  …(23-a)

+∫dnk(2π)-4(-iλ/8)4×3+8)δiji/(k2-μ2)(23-b)

-iΠcount(1)(p2)=i{Z3(1)(p2-μ2)+δμ2(1)} ..(23-c)

 

※(注4-2):(23-b)は,項:λφ4/8のtadpoleの寄与ですが,

φ2=(φ12+φ22+φ32) より

φ4=φ14+φ24+φ34+2φ12φ22+2φ22φ32+2φ32φ12

となります。

アイソスピンの保存によりこのtadpoleに入って出て行く

2本の内線i,jではi=jでなければなりません。

仮にi=j=1なら寄与するのはφ14, 2φ12φ22,2φ32φ12

のみです。

φ14については統計因子(対称性因子)は42=4×3です。

残る2つについては因子は2ですから合計8です。

(注4-2終わり※)

 

Tr(τiτj)=2δij,Tr[(+m){()+m}]

=4k(k-p)+4m2 より,式(23)の

-iδijΠ(-loop1)(p2)

=∫dnk(2π)-4(-)Tr[(―igτi)i(-m)-1

(-igτj)i{(k-)-m{-1] 

+∫dnk(2π)-4(-iλ/8)4×3+8)δiji/(k2-μ2)

において,

第1項=∫01dx∫dnk(2π)-4(-)2・4g2δij

[{k(k-p)+m2}/{k2-2x(pk)-x22+m2)}2]

=(-i)2・4g2δij(4π)-n/2

01dx[{Γ(2-n/2)|(x2-x)p2+m2}

/{m2-x(1-x)p2}(2-n/2)-Γ(1-n/2)(1/2)gμμ}

/{m2-x(1-x)p2}(1-n/2)]

 

=(-i)2・4g2δij(4π)-n/201dx

[{Γ(2-n/2)-Γ(1-n/2)(n/2)}

/{m2-x(1-x)p2}(1-n/2)] です。

 

そして,,Γ(2-n/2)=Γ(ε)=1/ε-γ+O(ε)

Γ(1-n/2)=Γ(ε-1)=Γ(ε)/(ε-1)

=-Γ(ε){1-ε+O(ε2)}

=-1/ε-γ-1+O(ε).:ただし,ε=(4-n)/2

故に,Γ(2-n/2)-Γ(1-n/2)(n/2)

=3(1/ε-γ)+1+O(ε) です。

 

他方,{1/m2-x(1-x)p2}(1-n/2)

={m2-x(1-x)p2}-(ε-1)

={m2-x(1-x)p2}{m2-x(1-x)p2}-ε

={m2-x(1-x)p21}[1-εln{m2-x(1-x)p2}]

01{m2-x(1-x)p21}dx=m2-p2/6

 

よって,与式={(-i)2・4g2/(16π2)}

[(3ε~-1+1)(m2-p2/6)

-3∫01dx{m2-x(1-x)p21}ln{m2-x(1-x)p2}],

また,∫dnk(2π)-n(k2-μ2)-1

=-i(4π)-n/2Γ(1-n/2)μ-(1-n/2)

=-i(4π)-n/2(-ε-1+γ-1)(1-εlnμ22

={-iμ2/(16π2)}(-ε~-1-1+lnμ2) です。

ただし,ε~-1=ε-1-γ+ln(4π) です。

 

それ故,

-iΠ(1-loop)(p2)={(-i)2・4g2/(16π2)}

×[(3ε~-1+1)(m2-p2/6)-3∫01dx

{m2-x(1-x)p21}ln{m2-x(1-x)p2}]

+{-5λ/(32π2)}μ2(-ε~-1-1+lnμ2)..(24)

を得ます。

 

ここでも,次元正則化の代わりにPaulli^Villers正則化

を用いるとどうなるか?を見ておきます。

 

この場合,図7-4(a)の寄与をg(m2)と書くとき,これに

1回引き算をしてg(m2)-g(Λ2)としたものは,まだ

有限にはなりません。そこで,さらに引き算して,

{g(m2)-g(Λ2)}-{g(Λ2+m2)-g(2Λ2)}

とします。

 

同様に,図7-4(b)の寄与:f(μ2)に対しても,

{f(μ2)-f(Λ2)}-{f(Λ2+μ2)-f(2Λ2)}

とします。

 

次元正則化の上の式(24)の結果:

-iΠ(1-loop)(p2)={(-i)2・4g2/(16π2)}

×[(3ε~-1+1)(m2-p2/6)-3∫01dx

{m2-x(1-x)p21}ln{m2-x(1-x)p2}]

+{-5λ/(32π2)}μ2(-ε~-1-1+lnμ2)

において,この引き算の操作を行えば,

 

消える項を除いて,Π(1-loop)(p2)

={3g2/(2π2)}[{-(2ln2)Λ2+m2(lnΛ2+1)

-(p2/6)(lnΛ2-ln2)}

-∫01dx{m2-x(1-x)p21}ln{m2-x(1-x)p2}]

+{5λ/(32π2)}(2ln2)Λ2-μ2(lnΛ2+1-lnμ2)}.(25)

を得ます。

(※↑詳細なチェックは省略して結果を信用します。)

この形には明らかに,Λ2に比例するΛの2次発散の項と

(m22,p2)×lnΛ2に比例する対数発散の項があること

がわかります。

 

この場合,これは自己エネルギー部分の式(23)

の再掲(ただし,n=4):-iδijΠ(-loop1)(p2)

=∫d4k(2π)-4(-)Tr[(―igτi)i(-m)-1

(-igτj)i{(k-)-m{-1]

+∫d4k(2π)-4(-iλ/8)4×3+8)δiji/(k2-μ2)

において,

被積分関数がkの(-2)次で,積分が∫d4kの4次である

こと,および, (m22,p2)の次元2を持った量で展開

すると,発散の次数が2ずつ下がることから理解できます。

 

いずれにしても, Π(-loop1)(p2)は外線運動量:p2の関数

として,p2の0次と1次の項しか含まず,それ故,丁度,

相殺項(23-c):-iΠcount(1)(p2)

=i{Z3(1)(p2-μ2)+δμ2(1)}で相殺できる形です。

 

特に, δμ2(1)=Π(-loop1)(p2=μ2)

=Λ2{5λ/(16π2)-3g22}ln2

+[{3g2/(2π2)}(m2-μ2/6)-5λμ2/(32π2)]

×(ε~-1 or lnΛ2)+(有限定数)//(26),

3(1)=[∂Π(-loop1)/∂p2]p2=μ2

={g2/(4π2)}×(ε~-1 or lnΛ2)+(有限定数).(27)

とおけばΠ(-loop1)+Πcount(1)は有限で,(p2-μ2)

の2次以上の項は無くなり,伝播関数は,p2=μ2

近傍で,iΔFij(p2)=iδij/(p2-μ2)..(28) の形

を物理的質量である,という要請が確かに満たされる

ことになります。

 

途中ですが,今回はこれで終わります。

次回は3点頂点関数から記述する予定です。

 

※参考文献:九後汰一郎著「ゲージ場の量子論Ⅱ」(培風館)

 

 

 

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2019年3月27日 (水)

ブログ開始から13周年

早いもので2006年3月20日(当時56歳)に

「TOSHIの宇宙」最初の「自己紹介」という記事

をアップしてから丸13年が経ちました。

当初は短いながらも張り切って1日に2個も3個もアップした

こともあり,ノルマのように感じていました。

今はノンビリしたもので1ヶ月でも2ヶ月でも平気で放置、

何も思いつかなければ無理に更新しません。

自己顕示欲だけは,未だにあるようですが,そもそも

お金になるわけでもないのに,何のための自己顕示

なんだか?? 。。。

もっとも,私のブログを閲覧する人は1日に100人

くらいが現状でしょうからテレビや新聞じゃあるまいし

自己顕示といっても単なる自己満足のたぐいです。

まあ,昔はテレビや新聞など一方的に情報を受ける

のみで,偶に新聞などに投稿しても,まず採用される

ことはないため,自分から情報発信するには出版

など面倒な手続きが必要でした。

しかし今は幸か不幸か?You-tubeや,SNSを含めた

さまざまな自己表現を双方向発信できるツールがあります。

これらが,なかったなら,自己満足的なものでさえ意見等を

発信して,一応の自己顕示をする方法もなかったわけです

から,ある意味では幸せな時代ですね。

もっとも,こういう文明の利器は全て諸刃の剣で,便利な

ものは命取りの危険なモノという意味も含んでますが。。。

私,最近は桜を見て坂口安吾を連想したり「砂の器」が

リメーク放送されるというのを見て「亀嵩の算盤」を連想

してソロバンでもやろうかな?とか。。。

また,同じく最近,TVで見た,お湯をかけるだけで,立派な

カツカレーなどができるとかのアマノフーズを食べてみたい

と思ってネットで検索してみると,何と,本部が岡山県浅口郡

里庄町と書いてあります。イヤ.今は浅口市のはずですが

なつかしいです。

もう60年くらい昔ですが,私は小学校が岡山県の玉島市立

長尾小学校で,中高は私立の金光学園に電化されたばかり

の山陽線の電車で通っていました。学校は浅口郡金光町に

ありましたが駅で言うと確か玉島で乗って次が西阿知,その次

の金光で降りて10分くらい徒歩でしたが駅は金光教本部の

ある金光の次が鴨方,さらに次が里庄駅でしたね。

当時は知りませんでしたが,里庄町は世が世で軍が十分

予算を与えたならアメリカより先に原爆を創ったかも

しれない仁科芳雄博士の故郷で,行ったことないけど

今は仁科会館があるはずです。

昭和42年(1967年17歳)の岡山国体があった年に合併

で玉島市は無くなり母校は倉敷市立玉島長尾小学校に

なり,玉島駅は今は新倉敷駅で私の実家は,この駅から

1kmのところにあり8つ年上の兄夫婦が住んでいます。

昨年入院中の7月に洪水などを心配して電話してみたら

大丈夫だったようです。

浅口郡も浅口市になったし吉備郡真備町も倉敷市真備町

と報道されてました。。

今日は囲碁のプロになった女の子のニュースがありました。

将棋と違って囲碁は齧った程度ですが,考えたら今の自宅

には無いので,ソロバンもそうですが碁盤と碁石も安ければ

買っておこうかな?

囲碁はルールだけでもトポロジーとして興味深いです。

バックギャモン.チェス,オセロ,トランプ,花札,麻雀,シャンチー(象棋),

チャンギ,どうぶつ将棋などテーブルゲームは浅いけど,ほとんど

遊んだ記憶,経験があります。今は全てやろうと思えばアプリとして

マウスかペンタッチでできるけど,現物の盤や駒,石,札,牌,サイコロ

などを集めておいて偶に触わるのも一興ですね。。

 

ハヤリの終活とか。。無神論者の私には,お墓や棺桶まで心配する

ことも無く,単なる先の無いヒマジンそのものですから何でもアリです。

人並みにこの世に未練あって死ぬのはコワくて覚悟もできてませんが。。

そんなの関係なく突然石と化すんだろうなあ。誰にも見取られず。。

音がないとさびしいので60年前の小学校低学年まで,やってた

ハーモニカを思いつきでアマゾンで買って吹いてみると,結構スラスラ

思い出して相対音感いうのでしょうか?メロディがわかれば音符無し

吹けるようです。ただしテンポが速いのは練習しないと難しいですが。。。

(目標はモーツァルトのトルコ行進曲です。)。。 

心残りは。知人からの借金くらいは返しておきたい。。

ではまた。。。生きてれば続きがあるでしょう。。

 

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2019年3月13日 (水)

アブナイジイさんのハコブネを開きたい。!

子供の虐待やイジメ?自殺が相ついでいる。 

自分の子供はいないが歳のせいか?他人の子でも外国人の子でも,とにかく孫のような子供が,いとしくてしょうがない。 かつて行徳で数日だけ不登校児とふれあったことがある。かつては学校から逃げるという手段があった。 

しかしネットやSNSの誹謗・・中傷。フェイクなどからは,不登校でも.それを覘くという中毒性の強迫観念から解放だれない限り逃げられない。ネットはシロウトが下手に対応すると命取りになるとても危険なモノです。 

イジメから逃げる.こと保護を求めることは決して卑怯なことではない。集団で個人を攻撃することのほうが,よっぽど卑怯です。 

親や親族による児童虐待も含め.公共機関が頼りに成らないなら「駆け込み寺」のような逃げ場所が必要だろう。 

できることなら,私自身がかつての1千石さんの「イエスのハコブネ」のような,逃げ込み場所の託児所:「TOSHI(=アブナイジイさん)のハコブネ」を無認可,非営利で開きたいくらいです。 

でも,もはやた余命が無く資金も自分が食べてくので,せいいっぱいなのですが。。。ユニセフ的スポンサー・協力者があれば?(例えば貴の花さん)。。

自分の世話ができないから他人の世話をする。。「ナサケはヒトのタメならず。」。

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2019年3月11日 (月)

記事リバイバル「2012年の東北ボランテイアの思い出」

※今日は東北大震災8周年なので私が2012年62歳のときの4/7の過去記事「会津若松の仮設住宅集会所で唄ってきました。」という大熊町仮設訪問記を再掲載して当時を思い出したいと思います。

※以下 再掲載丸写しです。

表題の通り,4月5日8時半頃に,JR巣鴨駅から鈍行電車で会津若松まで,16時10分頃着きました。              

(※今回カメラ撮影しなかったので,以下ホームページの画像から流用)

 そして,駅前のビジネスホテル(駅前フジグランドホテル)に一泊後,

 6日の午前10時過ぎから11時半頃まで福島第一原子力発電所近くの大熊町(おおくままち)から,避難されてきて会津若松駅付近の仮設住宅におられる方々の集会所で,ヘタな唄を披露しました。,

 ※下は福島県の地図概略です。

 (HPからペイントでトリミング。。寝ぼけてたのでいいカゲンです。。)

 東北地方大地震によって事故を起こした福島第一原発は福島県浜通りの双葉郡大熊町・双葉町にあります。

 今回は,その事故で放射能汚染された双葉郡大熊町より,原発から離れた福島県内陸部の会津若松市の仮設住宅に避難・移動してきた方たちを訪問することが第一の目的でした。※ 

 その後は,ミスター・ドーナッツで軽食の後,空腹感がないので本格的昼食はとらず,午後に少しだけ,市内観光に行って,酒造りを見学した後,一人で15時06分の会津若松発磐越西線の郡山行きに乗りました。

 郡山からは東北本線上り普通で幾つかの乗り換えの後,21時過ぎに巣鴨駅に帰り着きました。

 交通費として,行きは,当初予定していたJRバスの予約無効のため,巣鴨駅で障がい者槍引で通常乗車運賃の半額の2470円也で,東京都区内から会津若松駅までのJR片道切符を買いました。

 ,そし,て,帰りは喜多方に二泊していた相棒女性が予定変更で,もう一泊することになったため,

 彼女が既に4月6日にも喜多方から会津若松駅まで来るのに使用していて,その後は不要になったという最後の5日目の4/6のハンコが押してあり,もう6日しか使えないという青春18切符貰ってそれで1人で帰ったのでタダでした。

(※帰りも2470円と思っていたので,そのお金でおみやげを買ってしまいましたが,よく考えるとタダでは悪いので,後で東京で会って金があったら1000円くらいは払おうかな?と思っていますが。。。)

 行きは途中赤羽だけに停まる湘南新宿ラインで,池袋駅から大宮駅まで行きました。

 それから東北本線で小金井,宇都宮,黒磯と乗り換えて最後に郡山,そこからは磐越西線で14ji51分発,会津若松駅に16時08分着に乗り,さらに3分遅れで終点会津若松駅に着きました。

 予定外に,巣鴨から都合7時間半もかかったのは乗り換え駅での接続が悪かったからです

 宇都宮駅11時12分発で12時丁度くらいに黒磯に着いたのですがそこから郡山行きが12時34分発で,郡山に着いたときはもう13時40分頃でした。

 会津若松で携帯電話を持たない相方との待ち合わせ予定時間の12時~13時は既に過ぎていていて,郡山では少しあわてて,うっかりすぐ向かいのホームで出るばかりだった福島行きに乗ったのですが,

 スグ間違いに気づきました。東北本線で乗るべきは磐越西線です。

 次の駅で折り返そうと思いましたが,なかなか着かず,一駅がずいぶん長いな?と感じました。

 5分余りで次の無人駅の日和田(ひわだ)という駅に着き,そこで降りて反対側の改札口があるホームに移動しました。

 無人駅は初めてだったので,これもいい経験でした。

 そこから,結局,下りに乗っての郡山駅へ帰ったのですが,日和田駅では1時間に1~2本しか電車がなくて,その駅に来てから,やっと14時13分出る電車に乗って帰った郡山では,次の会津若松行きは14時51分ということで,またまた,30分くらい待ちでした。

 最後に16時08分の予定着時刻に3分遅れで,16時10分過ぎに目的地に到着して,それから20分後くらいして,やっと相棒に会えたのでした。

 出発時は東京は朝でも晴れで暖かかったのに,会津は雪まじりの冷たい雨が降っていて,16時~17時頃でもかなり寒かったです。

 駅のまわりにはカプセルでもネット喫茶でも何でもあって,テキトーに安く泊まれるだろうという都会的な安易な考えは通用しないことがスグ見てとれたので,取りあえず,今夜の宿を確保することにしました。

 こんな冷たい雨の中,今から遠くまで行こうという気にもなれず,「駅前フジグランドホテル」というビジネスホテルで朝飯つき4500円という格安シングルを予約した後,そのホテル内の喫茶店で1時間ほどお茶をしながら翌日の打ち合わせをして,別れました。

 何だか,旅先でのデートのようにも見えるけれど,お互いビンボーだし,年の差が30くらいの「美女とクソジジイ」では,ロマンなど有り得ませんね、

(※昔,30代の頃には,仕事でちょくちょく荒川沖駅から,つくばの気象研究所に行って,そこは近いけど不便な場所だったので,日帰りは無理なことが多く,現地の,ビジネスホテルによく泊まっていたのを思い出しました。

 ビジホに泊まるのは,それ以来かなあ?

 そういえば,当時,気象研では,東海村などで放射能漏れなどの事故が起きた万一のケースを想定して,放射能拡散の数値予測モデル(計算シミュレーションを用いて,放射性物質の5パーセント濃度コンターを描くetc. 今のIAEAの先駆け??)を作成する手伝いをしていましたね。※)

 喜多方と会津若松は磐越西線の電車で20分くらいなのですが,上りも下りも1時間に1本しかないので,彼女が泊まっている喜多方の旅館で夕食を取る時間までに戻るには,17時22分の電車に乗る,という選択しかなかったのでした。

 さて,翌日朝会津若松駅で待ち合わせをして,赤十字の支援者の車で仮設住宅の集会所に行き,そこで私たちが演奏して唄った歌というのは,メインでは沖縄の「安里屋ユンタ」と「十九の春」の2つだけです。

 前者は「マタハーリヌ,チ(ツ)ンダラカヌシャマヨ(死んだら神さまよ?)」という掛け声が有名ですし,後者は田端義夫(通称:バタやん)のヒット曲ですから,年配というか,お年寄りならよくご存知のはずです。

 私の方は,大抵の歌は歌詞さえあればアカペラでも,大体大丈夫ですが,メインの売りモノは,女性が伴奏の三線の方で,こちらの方は,先の2曲の他には,まだ練習中というのが,「ハイサイオジサン」と「涙そうそう」で,後は,もっと拙ないらしい,「てぃんさぐの花」があるくらいです。

 (※ ↓下の写真は,上が我々が持参して演奏した手作りのカンカラ三線で,下は蛇の皮を使用している本格的な沖縄の三線です。)

         

     

 東北の会津まで来て,我々2人も別に沖縄人ではないし,沖縄の歌ばかりでもないだろうと思い,伴奏抜きで会津地方にまつわる歌でも歌おうかな?と私が提案しました。

 カラオケで「会津の小鉄」という演歌も少し知ってましたが,歌詞も覚えてないし用意もしていません。

 ,無難なところで,「小原ショウスケさん。ナンデシンショウツブシタ」という部分が有名で福島県の人なら恐らく誰でも知っている「会津磐梯山」なら,1番の歌詞だけ知ってるので,それをアカペラでやりました。

 これは合いの手のカケ声も入り,ちょっと盛り上がりましたが,よく考えてみると,今いる場所は会津でも,集まっておられる方の地元故郷はここではない,ということに気付きました。

 そうこうしているうちに,「まあプロでもないし練習中でもなんでもやっちゃえ」。ということで「ハイサイオジサン」をやりました。

 そして,「涙そうそう」の方は,その場のみんなもよく知っているというので,全員で合唱となりました。

 それから恐らく私より10歳以上年上の女性に「相馬ナントカ唄」という本格的な民謡をよく通る声で披露して頂きました。

 そして,私も引いたことのない三線を1本持参していましたが,相棒も自分用の他に2本用意していたので,それらを記念にさし上げることにして,三線を一緒に練習してもらいました。

 最後に持ち歌の2曲を再び,今度は全員で演奏したり歌ったりして,お開きになりました。

 ここには,ホワイトボードがあったので,昔,西巣鴨で1年間だけ自営していた「理進ゼミ」という塾や,ほんの短期間ですが竹の塚駅付近や行徳駅付近の塾て小中学生,不登校児,大検受験生相手にこれを使っていたのを思い出し,

 つい,「三線とは?沖縄音階とは?沖縄人は長寿でその沖縄の風を伝えて癒す」とか付け焼刃の薀蓄などを,このホワイトボード使って講義?したり,

 また,イツモの飲み屋のノリで「刷毛(ハケ)に毛がありハゲに毛が無し」という自虐ネタなど,酔っ払っていると誤解されそうなテンションでダジャレなどを連発しましたが,少しはみんなの気晴らし癒しになったのでは?と思いました。

 しょせん,生活の苦労がないからこそ,自腹を切ってまで,こういうところに来てボランティアのマネゴトができるゼイタクな身の上です。

 自分ながら,「ヒマ人が人助けをした。。という自己満足感が得られるのためにヤッテキタのか?」という感もありましたが,そこまでヒネて曲解しなくても,お互いその場が楽しければ,それでいいだろう。というコトです。

 下は,送り迎えしてもらった支援の「日本赤十字社」の方に駅までの帰りの車の中で渡して頂いた「つながっぺおおくま」と書かれた大熊町のバッジです。

(※帰宅した後,カメラを見つけて自宅ベッドのオレンジ色シーツの上で撮影。)

   

 PS:6日の夜,帰宅してみる,どうも,5日がNTTの支払期限で,先月分の代金を払ってなくてネットが不通になっていました。

 そして,平日に連休したので土日は出勤です。

 7日(土)の今朝もメールも読めない状態でしたが,今日午前の出勤途中に,コンビニで支払って夜に帰宅するとネットができるようになってました。

(※ 生活費もギリギリなのに,ボランティア?これって結構金かかりますネ。

 ネットは,生活必需じゃないですが,'。。。

 13年間の最初の大型コンピュータ技術者(=こちらは仕事)を辞め,40歳(1990年,イヤ41歳かな?)で,パソコン通信を始めてハマリ以来,今の62歳まで22年間(=こちらは趣味・遊び),ほとんど中毒の私に限って,PCのネットは生きていく大きな糧の一つです。

 ,まだ見た目,新本でウン十年も積ん読で,いずれは読むぞと思いながら,買ったときに前書きと目次だけ見てその後,手をつけてない,"Peskin。。。",や定価が12000円の「リー群論」など,数冊を泣く泣く手放しました。

(※本は,それが絶版でなければ,いずれ金に余裕が有るとき,本当に読みたくなったらまた買い戻せます。(縮小再生産ですが。。)

 ですから,今はそれらが私の胃袋に入っても仕方ないでしょうね。

 それにいくら大切でも棺桶の中まで持っていくわけじゃないしネ。。。

 しかし,昔のコトですから,手書きでコツコツ書いていて,恐らく300冊以上もある自作ノート。。

 これが少しでも火事や災害などでなくなったとしたら,恐らくオイオイ泣いちゃうでしょうネ ※)

 読まなくてゴミになるだけなのに付き合いだけで取っている新聞。。

 ネットプロバイダ契約はしてないし,テレビだけの契約で月に番組を10時間程度しか見ないケーブルテレビ(3980円/月)など,

 こういう無駄なものは,そろそろ辞退しなければ。。。

 キレイゴトと揶揄されながら,詐欺師にまで奉仕する自分の行動原理。

 やや,自分自身でも自己分析が不可能になっています。。

 高々100年の人生で残りはわずか。。

 計画はなく行き当たりバッタリ,思ったらまず行動し,後でその行為が失敗,アダ花とわかっても,それほど後悔も反省も無し。。

 でも他人に迷惑であったなら,その部分はイササカ反省.謝罪です。

 後付けで思ったのですが,今は「敵は本能寺!にアリ」 じやなくって,「今やるべきは東北にアリ」でしょうか。。

  詳細は後ということで。。。 取りあえずは報告まで..

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