2022年ノーベル物理学賞 アスぺの実験

※2022年10月６日(木)→10月7日(金)

※余談:お久しぶり,TOSHIです。最近2016年以来５回目の

余命宣告を受けましたが,私はまだ,しぶとく生きています。

※さて,１昨日の10月5日に,本年の「ノーベル物理学賞」

の受賞者が発表され,量子論の解釈について貢献した

フランスのアスペ(aspect)以下３名に決まったらしい

です。

古い業績でもあり,余り注目されてないようですが

「アスペの実験」については内容は結果が,むしろ

哲学的問題で最近のノーベル賞の主流の最先端の

テクノロジーとしては,それを応用した実用化が

困難な.量子コンピュータや量子通信など,いわゆる

「量子のもつれ(＝エンタングルメンentanglement)」

に関わる話題であって素人には議論しにくいモノ

であるからかもしれません。

　そこで,2006年３月に開始のこの私のブログで:その

５月頃に書いた量子暗号と量子コンピューターや量子通信

の記事に続いて,2007年の２月にアップした「ベル(Bell)

の不等式」と粒子（量子）の実在についての過去記事を

再掲載して再検討してみることにします。

　1900年代の初めにPlanckの黒体輻射の研究に端を

発して従来の古典物理学と呼ばれるニュートン以来の

物理学が,新しい解釈の革命を起こしたとされる量子力学

(quantum　Mechanics)の確率解釈に対し,当時から

相対性理論で有名だったＡ．アインシュタイン{Einstein)

らが「神はサイコロ遊びをなさらない」と称して.決して

新しい物理学ではない。という内容の主張をして有名な

「アインシュタインとボーア(Bohr)の論争」というもの

がありました。

　例えば,空気などの気体や水などの液体は,有限体積に

アボガドロ数と呼ばれる莫大な個数の分子集団があり,

そうした莫大な個数の微小粒子については個々の粒子

の正確な軌道を観測して追跡するのが不可能で.統計的

で確率的な平均量が観測されるにすぎないが故に,正確

な情報量の欠如が.革命的で確率的な存在に見える根拠

であるとされて成功している統計力学があります。

そして,後には量子(Quanta)と呼ばれた微小粒子の観測

もまた完全で不正確にならざるを得ないが故に,統計物理

と同じく,軌道を持たない,確率的で特異な存在と見える

けれども,それはやがり情報の欠如や観測精度の問題に

過ぎないというのが,当時の守旧派のアインシュタインら

の主張であったと思います。

　しかし,Ｎ．ボーアは光や電子というのは,観測精度の

ためではなく,粒子であると同時に重ね合わされると干渉

効果で増幅も減衰もする波の性質をも持ち.その絶対値の

二乗がその存在確率に比例した量を与えるという新しい

存在の「量子(Quantum)」であるのが本質的である。

と主張して対立したのです。

そして,この議論の正否を検証する仮想実験として,

ももアインシュタインらの主張が正しいなら,記号論理学

において当然成立すべき「ベルの不等式」というものが成立

するはずである。と提案されました。

ところが,当時の実験技術や精度などの困難から現実に異論

のない実験が実施されるまでに約半世紀を要して1960年代

に初めてアスペを中心としたグループによって結局は

「ベルの不等式」が成立しない新しい量子論るに従うことが

立証されてボーアの勝利と決まったわけです。

これは天才アインシュタインの生涯最大代の過ちと言われて

います。

これ.私が学生時代にも既に有名だった実験で今さらの感

がありますね。

※以下は2007年の本ブログ記事の再掲載記事です。

さて,今日は「量子論と実在」の問題で「ＥＰＲのパラドクス」

と関わってアスペらの実験によって量子論ではそれが成立しない

ことが実証された「ベル(Bell)の不等式」とはどういう内容なのか？

ということについてデスパニヤの「量子論と実在」というレポート

に基づいて説明したいと思います。

　仮想的な思考実験として、いくつかの陽子対についてその

スピンを測定する装置があるとします。初めに２つの陽子はごく

接近した位置にあるとし,その後は２つの陽子が運動して互いに

ある巨視的な距離程度に離れたときテストを行なうものとします。

量子力学によれば,陽子のようなスピン1/2の１つの粒子のある

任意の軸方向の成分は、アップとダウンの２つの値しかとらない

ことがわかっているので、この２つの値を以下では＋(プラス)と

－(マイナス)で表わすことにします。

そして,それぞれの対の２個の陽子は一緒になってシングレット

(一重項)状態と呼ばれる量子力学的配置をとっているとすると。

それらは確実に負の相関を持ち両方の粒子について同じスピン

成分を同時に測定すると,１つの陽子が＋なら必ず他方の,陽子

はマイナスであり.逆の場合はその逆として観測さ,れるとします。

そして運動の初期の状態で,多くの陽子対についてこの相関は

十分に確立されているとします。

　立えば,どんな装置があろうと,１度に２つ以上のスピン成分

は測れませんが,１つの装置で任意に選ばれた３つの軸のどの

１つの向きのスピン成分でも測れるように調節可能なものを

作ることはできます。

以下では,これらの軸をＡ,Ｂ,Ｃで示し,実験結果を次のよう

に書くことにします。

　すなわち,Ａ軸方向のスピン成分が＋であればＡ+と表示し、

Ｂ軸方向のスピン成分が－であれば結果はＢ-で与えられる。

等々です。

多くのシングレット状態にある陽子対を用意し,これらの対

の両方の陽子について,そのスピンのＡ成分を測る場合,

ある対のうちの１つの陽子ではＡ+であり,他の対の１つは

Ａ-であるということが認められるけれども,１つの対の

１つのメンバーがＡ+であるときには、いつでももう一方

のメンバーはＡ-であるということになります。

もしも,それとは別にＢ成分を測れば.１つの陽子がＢ+なら

それとシングレットを組んでいる相手はＢ-であり,同様に

１つのＣ+陽子は必ず１つのＣ-陽子を伴なっています。

そして以上の結果は軸Ａ,Ｂ,Ｃの空間内での向きに無関係

に成立します。

「局所的実在論的理論」では量子論では否定され現実には

あり得ないとされる.単一の粒子のスピンの２つの成分を

同時に測定する手段が何か存在すると仮定してもよいこと

になります。

そうした装置で１つの陽子がＡ+とＢ-を持つと認められた

陽子の個数をＮ(Ａ+Ｂ-)とすると、通常の論理では仮に、

Ａ,Ｂ,Ｃについてのスピン成分が確定している陽子がある

として.その個数をＮ(Ａ-Ｂ+Ｃ-)etc.と表記すれば.

Ｎ(Ａ+Ｂ-)＝Ｎ(Ａ+Ｂ-Ｃ+)＋Ｎ(Ａ+Ｂ-Ｃ-)とならねば

ならないのは明らかです。

同様にＮ(Ａ+Ｃ-)＝Ｎ(Ａ+Ｂ+Ｃ-)＋Ｎ(Ａ+Ｂ-Ｃ-),かつ,

Ｎ(Ｂ-Ｃ+)＝Ｎ(Ａ+Ｂ-Ｃ+)＋Ｎ(Ａ-Ｂ-Ｃ+)も成立する

はずです。

　それ故.Ｎ(Ａ+Ｃ-)≧Ｎ(Ａ+Ｂ-Ｃ-),Ｎ(Ｂ-Ｃ+)

≧Ｎ(Ａ+Ｂ-Ｃ+).かつ,Ｎ(Ａ+Ｂ-)＝Ｎ(Ａ+Ｂ-Ｃ+)

＋Ｎ(Ａ+Ｂ-Ｃ-)ですから辺々加えて

Ｎ(Ａ+Ｂ-)≦{Ｎ(Ａ+Ｃ-)＋Ｎ(Ｂ-Ｃ+)}という不等式

が得られます。

この不等式は以上のように全く形式的に導き出されては

いますが,ある単独の陽子の２つの成分を独立に測定できる

装置が存在しない以上,そのままでは実験によってそれを

テストすることは不可能です。

しかし、個々の陽子ではなく相関を持つたくさんの陽子対

に対して測定を行なう実験では,そうした不可能な測定を

する必要はありません。

すなわち.ＡかＢかＣかのたった１つのスピン成分について

それぞれの陽子をテストするという実験を行なうと,偶然の

一致によって１つの対の中の両方の陽子に対して同一の成分

を測ることがときどき起こることになるだろうと考えられます

が,この種の結果は新しい知識を提供しないので無視しておく

と,残った対はＡＢ,ＡＣ,ＢＣで表示される軸のスピンを測った

陽子対となると考えられます。

　こうした対の個数をｎ(Ａ+Ｂ+)と表わすことにします。

Ｎ(Ａ+Ｂ+)とｎ(Ａ+Ｂ+)との違いは,Ｎ(Ａ+Ｂ+)が単独の

陽子の２つのスピン成分を持つ陽子の個数を示すのに対し.

ｎ(Ａ+Ｂ+)は２つの陽子の一方がＡ+,他方がＢ+の陽子対

の個数を示すことです。

Ｎ(Ａ+Ｂ-)というのは,ある１つの陽子が確実にＡ+かつＢ-

を持つとされる陽子の個数なので,それと対をなす相手の

メンバーの陽子は確実にＡ-かつＢ+を持つと考えられます

から,それの個数は.Ｎ(Ａ-Ｂ+)＝Ｎ(Ａ+Ｂ-)でもあり.

ｎ(Ａ+Ｂ+)はＮ(Ａ+Ｂ-)に比例すると考えてよいこと

になります。

同様にしてｎ(Ａ+Ｃ+)はＮ(Ａ+Ｃ-)に,ｎ(Ｂ+Ｃ+)は

Ｎ(Ｂ-Ｃ+)に比例していて,これらの比例係数は一致して

いると予想されます。

したがって,不等式Ｎ(Ａ+Ｂ-)≦{Ｎ(Ａ+Ｃ-)＋Ｎ(Ｂ-Ｃ+)}

は不等式:ｎ(Ａ+Ｂ+)≦{ｎ(Ａ+Ｃ+)＋ｎ(Ｂ+Ｃ+)}と

変換されることになります。

これが「ベル(Bell)の不等式」の１つの形式であり,これ

なら現実の実施可能な実験によってテストすることが可能

なわけです。

そうして,この不等式の成立が「アスペの実験」などで

否定的な結果を得たため、アインシュタインらの「実在論者」

は敗北し,「量子論の非局所性」が示されるきっかけとなった

のでした。

※(参考文献):Ｂ・デスパーニヤ(Bernard D’espagnat)

量子論と実在」(The Quantum Theory and Reality)

※以上,再掲記事終了です。

※ＰＳ：これにより宇宙の始まりからあらゆる構成粒子の運命

は宿命として初期状態からほぼ一意的な軌道が発展方程式で

決まってしなっており人間の左右選択の意志も変えること

はできないというj人の運命は自由意志では避けられない

という運命論,宿命論のいわゆる「ラプラスの悪魔」は

否定され,宿命に逆らう人の意志も可能な要素となり

偶然の確率的な意味を持つという.哲学が勝利したの

でした。(終わり)

エレクトロニクス覚書き(2の2)(電気伝導２)

※2022年8月11日(木)

TOSHIです。余談は抜きで続きをアップします。

,以下,本題です。再掲記事の続きです。

(※再掲記事３)

電気伝導(つづき２)(衝突の正体)(2006年６/19アップ修正)

＠nify物理フォーラムで私と一緒にサブシスをやっている

高校の先生で友人と思っている,かんねんさんから,次のような質問

を受けました。

「電子が金属の原子から抵抗を受ける(＝衝突する)ことが抵抗

の正体である。と本には書いてありますが.この陽イオンと電子

の衝突って,どんな感じなのでしょうか？というのは,衝突による

斥力的イメージではなく,異符号ゆ故の引力的な力を想像して

しまいます。これをどう理解したらいいのでしょうか？」という

質問ですが,それに対する私の回答があまりにも不親切だたので,

そのフォーラムでの回答の内容を大幅に修正したものを以下に記述

します。

まず,量子論で電場などの外力がない場合に,固体の中の電子は

自由電子近似をするとしても.実は弱いイオンの引力によって,体積

Ｖの中に閉じ込められており,Ｖが有限であるために１つの電子の

運動量(故に速度)は,どんな値でも取れるわけではなく,ある離散的

な値しか取れません。

そして,これら1つ1つの準位にPauliの原理とスピン自由度

によって下から２つずつ電子を詰めてゆき,丁度,その固体中の電子

が全て収まったときの,最大のエネルギーをFermiエネルギーと呼び

この最高準位をFermi準位と呼びます。

そうして,この電子準位の全体を運動量ベクトル,または,それを

Plank定数ｈで割った波数ベクトルの集まった３次元空間で考えると

１つの球になりますが,これをFermi球と呼びます。

そして,球ですから球対称であるが故に,電場のない状態では平均

の運動量はゼロです。つまり,電場がなければ自由電子の平均速度ｖ

もゼロなので電流もゼロだということができます。

しかしながら,固体の中の電子を自由電子で近似するのには無理

があり,格子構造を持った束縛電子で遮蔽された周期的な陽イオン

の引力ポテンシャルを受ける電子波であるのを考慮する必要が

あります。

周期的引力ポテンシャルの摂動を受けるため,電子が取る

エネルギー準位は,その値を取ることができる許容帯と呼ばれる

ネルギ－バンド領域と,その値を取ることは不可能な禁止帯と

呼ばれる小さなギャップ領域の繰り返し,という形態を取ること

になります。

そうした自由電子に代わる固体の結晶格子中の電子を,それ

を発見した人の名を取ってBloch(ブロッホ)電子と呼び,上述

の理論を「バンド理論」といいます。

固体中のBloch電子を下の準位から順にFermi準位に達する

まで許容帯の中に詰めてゆきます。

そうすると１つのケースとしては,幾つかのエネルギーバンドは

完全に占有され,他の全ては空になるような形になることがあります。

このとき,許容帯のうち全てが占有されたバンドを充満帯,または

価電子帯と呼びます。そして,この全充満帯の頂点と,電子が全く空

の非占有許容バンドまでの禁止帯領域の幅をエネルギーのバンド

ギャップと呼びます。

このギャップが絶対温度TにBoltzmann係数ｋ_Ｂを掛けた値(ｋ_ＢＴ)

に比べて大きい場合には,Fermi準位付近の電子のエネルギー値が

(ｋ_ＢＴ)程度なので,すぐ上の空の許容帯である占有可能な空きの

ある許容帯(伝導帯)までジャンプすることはできませんから,

この固体は「絶縁体」となります。

一方,バンドギャップが小さい場合,ある温度では充満帯から空

の許容帯へとジャンプして,その電子は伝導可能となり,他方,

充満帯の方ではジャンプして欠けた電子の穴が「正孔」という

正電荷のキャリアとなる,などのために,この固体は(真性)半導体

となります。

もう１つのケースは,Fermi準位が許容帯の途中になる場合

で,このときは,その許容帯の中の全部の準位が占有されて

いるわけではなく,部分的に占有されていることになります。

そこで,その中では,その準位付近の電子は自由に動けるので

「電気伝導」というモノが可能になります。

このとき,部分的に占有されている許容帯を伝導体と呼びます。

そして,こうしたケースの固体を「導体」と呼びます。金属は

これに属しています。

バンド理論によると,電子の占有を許された準位の数は,どの

許容帯でも同一で,(固体中の格子の総数)＝(構成原子の全個数)

をＮとすると,スピンの２つの自由度のため,結局,１許容帯当り

で占有可能な準位数は2Ｎという偶数になります。

一方,１個の原子当りの価電子の個数が偶数の元素では,それ

を2ｎとすると,価電子の数は全体で2ｎＮとなり,この総電子数

を許容帯の占有可能な準位数2Ｎで割り算すると商がｎとなって

余りがゼロですから,許容帯には電子が充満し充満帯となり,空き

準位がないため身動きできません。

しかも,その上には禁止帯というエネルギーギャップがある

ので,絶縁体になるか,半導体になるかのいずれかで,これらの

固体は非金属です。

　しかし,奇数の価電子を持つ元素の場合,これは一般に金属です

が,この場合は総電子数を2Ｎで割ったとき余りがあり一番上の

エネルギーではバンドが充満しないで，ほぼ半数の空き準位がある

という部分的占有状態の伝導帯となり,自由に動けるBloch伝導

電子となって金属導体になるわけです。

このとき,エネルギー領域のバンド化による自由電子

からBloch電子への変化は，一見したところ,電子の質量がｍから

有効質量と呼ばれるｍ^＊に変わる効果だけで表現可能で,実は周期的

Cohlombポテンシャルが全く規則的に並んでいて,しかも止まって

いるだけという状況ですが,,これでは散乱や衝突などは全く起き

ないと考えられます。

つまり,それだけでは依然として緩和時間が∞のままなので,素朴な

古典論で考えたような電子がイオン芯と衝突して散乱されるという

描像は量子論的には誤りなのです。

すなわち,あるエネルギーを持ったBloch電子というのは,自由電子

とは異なり運動量固有状態ではありませんから空間的には一定速度

で運動しているわけではありませんが,とにかく定常状態であると

いうことが重要です。

それ故,古典的に意味のある運動量や速度の期待値は時間的には

一定である,というわけです。つまり,自由電子と同じように,古典

的描像ではBloch電子も一定速度で運動しているわけですから,

古典的Drudeの理論のように,イオンまたは,その引力ポテンシャル

で散乱されるわけではない,ということになるのです。

そして電子質量をｍとするとき,自由電子ではエネルギーが

Ｅ＝ｐ²/(2ｍ)なので,これを運動量ｐで２回偏微分すると(1/ｍ)

になりますが,Bloch電子でも(本当は自由粒子でないのですが),

そのエネルギーを運動量ｐで２回偏微分したものを(1/ｍ^＊)

として ｍ^＊を有効質量と定義します。

すると,電場Ｅがあるときの運動方程式は散乱がないなら

ｄ(ｍ^＊ｖ)/ｄｔ＝ｅＥとなり,有効質量は”電子の慣性質量”

と同じ役割を果たすという意味があります。

したがって,例えば電気伝導度＝抵抗率の逆数が自由電子

近似の古典的理論値:σ＝ｎｅ²τ/ｍからσ＝ｎｅ²τ/ｍ^＊に

変更を受けるという意味があります。

電場Ｅがかかると,Fermi球の原点がずれて,波数ｋについて

球対称でなくなるので,電流がゼロでなくなりますが,それは

電子の電荷をｅとするとΔｔの後に運動量としてｅＥΔｔだけ

ずれる,という意味です。ｅは負ですからＥと反対向きにずれる

のですが,それだけでは時間ｔと共に電子の速度は増加ｓますから

一様速度にはならず,次第に加速されます。

やはり,一様速度になるためには何らかの衝突,散乱が必要です。

衝突が起こるというのは,量子論では電子は波であり電子波束

が一方向に進行している状態ではなくなって,の方向に影響を

こうむることを意味します。

これは,「並んでいる陽イオンが熱などにより振動する。

つまり,格子振動する。(逆に振動こそが熱かも)」,あるいは

「格子欠陥がある＝不純物効果がある。」というような不規則な

変化がある場合で,これがないとBloch電子が散乱されて一様速度

の方向が変わるようなことはありません。

量子論的には,電子波が主に「陽イオンの格子振動＝フォノン

(phonon;音子)と衝突するのが散乱の原因でとされます。結局,

結晶格子にある陽イオンが単に並んで止まってるだけでなく時間的

に変動することによりイオンの位置が規則的配列からずれて,その

振動により電子がその進路を曲げられると見るわけです。

　だし,その効果が質問にあった,引力のためであるか？それとも

斥力のためであるか？については私にも確かなところは不明です。

ただ,電気的に中性のフォトン(光子;photon)と電子が衝突する

Compton効果のアナロジーで,電磁場を調和振動子の集まりとして

量子化したフォトン(光子)と同様に, 固体内の格子振動と呼ばれる

陽イオンの振動(波動)を量子化したフォノン(音子)が,電子と衝突

する散乱というくらいの参考書で見たのか,誰かに教わったかの

漠然としたイメージしかありません。

(※もっともフォノンとの衝突はCompton散乱のような弾性散乱

ではなくエネルギー・運動量が保存されない非弾性散乱のはず

ですが。。)

例えば極低温で電子と電子が引付けあってCooper対という

対を作り,結果,電子対共鳴としてスピンが整数のBose粒子と

なり「Bose-Einstein凝縮」を起こして超伝導体を構成する

というＢＣＳ理論というのがありますが,元々,電子間には

Coulomb斥力が働くはずですから引力で対を作るというのは

不思議です：

　一方,現在では電気力:Coulomb相互作用は量子論的には

荷電粒子間で仮想フォトン(スカラー光子)を交換する結果

で生じる.というのが量子電磁力学の理論からの帰結ですが,

これのアナロジーで.固体の結晶格子内の電子間の引力,斥力

はフォノンの交換により生じるとされています。

特に,固体内で低温ではフォトン交換による電気的なCoulomb

斥力を,フォノン交換による引力が上回るようになり,Cooper対

という電子対ができると考えられています。

いいかえるとCoulombポテンシャルが格子フォノンによって

遮蔽されて斥力から引力に変わるという帰結です。

このようにフォノン(格子振動波)をフォトン(電磁波)のように

粒子性を持った量子として吸収,,放出したり散乱するもとして

扱うのです。

　こうし,とにかく電子の衝突,散乱があれば,古典論のDrude

理論のイオン芯との衝突でなくても有限な緩和時間τを与える

ことができますね。

実際にはこの緩和時間は運動量や温度の関数であり,詳しくは

「Boltzmannの輸送方程式」という偏微分方程式の１つの項で,

緩和時間という量を挿入定義することに従って決まります。

私も,まだアシュクロフト・マーミン著(吉岡書店)

「固体物理学の基礎」の全４巻のうちの２巻目の途中

まで読んだところで中断していて,把握できてない知見

が多々あり今はこの程度の説明が限界です。

　ここで終わり,次回は固体結晶のフォノンについての過去記事

に続きます。

エレクｔロニクス覚書き(2の1)(電池,電気伝導1)

※2022年７月21日(木)→８月10日

※(余談):TOSHIです。江戸では暑い日が続いています。

MLBの大谷君やダルビッシュ,プロゴルフの松山選手や渋野

ら若手女子ゴルファーの活躍,テニスの大阪なおみちゃんや

世界陸上などスポーツイベントのＴＶ観戦をするくらいの

楽しみしかなく,最大の趣味であった読書が弱視？でできなく

なりました。

　私は世の中では,反社ではなく非社会的アウトサイダーで

熱中症にもならず,コロナにも罹患しませんが気候の不安定の

せいか？心臓と肺.気管支,さらに食道から消化器の調子もよく

ないです。そろそろお迎えかな？(余談終わり※)

※さて,以下,本題の続きです。

※まず化学電池の原理について復習

中学校の理科や高校の化学で習った,化学エネルギーを電気

にする液体電池の典型例は,希塩酸中に亜鉛(Ｚn),および,銅

(Ｃu)という２枚の金属板を入れて,Ｚnを負極にＣuを正極に

して導線でつなぐとき,電子の流れで起電力が生じるのでした。

(ダニエル電池？)

　塩酸(ＨＣl)は,ＨＣl⇔Ｈ+＋Ｃlと電離平衡にあり希塩酸は,

その薄い水溶液です。溶液中でのＺn,Ｃuの外殻の価電子の電離

平衡は,それぞれＺn⇔Ｚｎ⁺²＋2e^-,Ｃu⇔Ｃu⁺²⁺＋2ｅ^-です。

金属のイオン化(電離)に必要なエネルギーは.定圧辺変化なので

エンタルピー変化:ΔＨで表現されます。これが小さい方ほど,

金属原子の結合が不安定で.イオン化しやすいです。

これがいわゆるイオン化傾向とｙｐばれているモノで,これに

より,平衡反応の矢印の向きが決まってＺnからｅ^-を得て,それ

がＣu²⁺に流れて金属Ｃuか析出することで起電力が得られる

のが液体電池です。

私は弱視で本が読めないので.ネットのホームページで文字

拡大で参照すると,電圧降下:ΔＶでの表現として実験値はＺn

が1.56Ｖ.Ｃuは0.45Ｖであり,相対的にＺn板の電位よりもＣu

板の電位が1.11Ｖだけ高いので,Ｚnに残された電子ｅが回路

を通ってＣu板に流れてＣu板に金属Ｃuが析出する。

というわけです。

電池は放電あるいは回路電流によって電子が全て消費されると

寿命を迎えますが,逆向きの起電力をつないで放電すると元に

戻るなら.これが充電です。充電可能な電池としてはニッケル・

水素電池があり,電解質にはＫＯＨを用いているらしいでます。

ノーベル賞受賞の吉野博士によるリチウムイオン電池は負極に

Ｌiを用いることに成功して汎用化されｔいる優秀な液体電池

ですが,現在,理想的な電池としては電解質に液体でなく固体を

用いる全固体電池が開発中で今後のＥＶ車などへの使用が期待

されています。

私は,充電スタンドなど別に発電された電気を利用するのではなく,

太陽光をそのまま使うソーラー光電池を搭載して,夜間は電電池

で賄うソーラーカーであれば,電気を不断に供給されながら稿走行

できるのでとてもよい方法と思いますが,現状は,通常ＥＶ車の10倍

以上のコストが必要で効率を上げる技術も未熟,かつ経済的にもで

実用に不向きであるらしいです。常温の超伝導物質があればなあ。

と思います。

ソーラー発電なら我が国には,輸入するしかない石炭。石油,LNG

は不要で,ＣＯ₂発生も少なく,気象や地震などの天災にも強いと

思いますし,遊ばせている広大な農閑地にソーラーパネルを配置

すれば電力会社が独占している送電線も大して必要ないし環境

破壊,光害の問題さえクリアできれば現,実には将来的に発電所

よりもコストは安く,売電のためでなく自己に必要だけな電気供給

を考えるなら一時的に国家予算で補助しても,結局,年に何度かの

メンテナンス程度の費用で償却され電気代不要なクリーンなで

電力源となるのですがね。

既得の電力利権などに拘泥せず,こうした開発に国家が投資

すれば優秀な技術立国で,これまでも新技術を開発している

我が国だと可能な気がするのは私だけの浅知恵なのでしょうか？

※さて,次に,固体結晶のバンド構造を復讐するため2006年

当時の過去記事から，いくつかを再掲します。

(※再掲記事1)電気伝導(オームの法則(2006年６/15)

@niftyの物理フォーラム,と化学の広場の専用会議室:

「中高生の理科質問箱」で電気伝導について泥試合的

な論争が続いているのを傍観していますが,そもそも

初学的知識の子供に解説するだけなら,以下の程度の

説明で十分かな。。と思います。

まず,電流の定義ですが,電流とは電荷を運ぶキャリア

(Career)という実体(電子とか,正孔とかイオンとか)の

如何によらず,単位時間に断面積を通過する電荷量のこと

です。そして,通常,その単位はＡ(アンペア)＝Ｃ/sec

(クーロン/秒)で与えられます。

普通の家庭で流れている電流は数アンペア程度で,この

とき,電荷の平均の移動速さは数mm/ｓ程度に過ぎません。

それなのに,遠くでスイッチを入れても,すぐ近くで電灯

が点くのは,要するにトコロテン式で.遠くの端で電荷が

押されると次から次へと”押しくら饅頭”のように押

されて,近くでもすぐに遠くの端と同じ速さで電荷が

移動するようになるからですね。

電池などの起電力を持ったポンプを閉じた回路につなぐ

と金属でできた導線の中にも電場Ｅが生じます。電場Ｅが

あるとき,大きさｅの電荷があると力:Ｆ＝ｅＥを受けること

になります。それ故,質量ｍの電荷が速度ｖで運動するとき,

その運動は,それが電場Ｅの他に何の力も受けていなければ,

Newtonの運動方程式:ｄ(ｍｖ)/ｄｔ＝ｅＥを満足することに

なるはずです。(相対論効果は無視しています。)

ところが,普通,金属の内部を移動する電荷というのは,金属

原子からの束縛をはずれたと見なしてよい自由電子です。

電子の電荷ｅは負の数で,,金属の中では自由電子という

名は付いていますが,実はそれほど自由というわけではなく.

金属原子の格子振動(量子論的にはフォノン(音子)と呼ばれる

量子=波動性と粒子性共有のモノ)や,不純物によって散乱を

受けます。

素朴な古典論でのドゥルーデ(Drude)のモデルでは。この

散乱はイオン芯(原子から自由電子を差し引いた残り)との衝突

を意味します。もちろん,電子同士の衝突などは無視できます。,

これら散乱を受ける電子の平均の衝突までの時間＝緩和時間

をτ(sec)とおくと,これは１個の電子が単位時間(1秒間)に衝突

する確率が,(1/τ)であることを意味します。

　１個の電子が散乱を受けると,それはどの方向に散乱を受ける

確率もほぼ同じなので,ある向きに進んでいた１個の電子に着目

すると,その向きに走る電子に関しては急に消えたのと同じに

なります。

故に,現在の時刻をｔとして時(刻(ｔ+Δｔ)に消えずに残って

いる確率は,(1－Δｔ/τ)です。そこで電子の速度をｖ(ｔ)と

すると,先のNewtonの運動法則は次のように変更しなければ

なりません。つまり,ｍｖ(ｔ＋Δｔ)＝(1－Δｔ/τ){ｍｖ(t)

＋ｅＥΔｔ＋Ｏ(Δｔ²)}です。

そして,この両辺をΔｔで割ってΔｔ→0の極限を取ると.

上式右辺のΔｔの２次以上の項は消えて,ｄ(ｍｖ)/ｄｔ

＝ｅＥ－ｍｖ/τと書いてよい,ことになります。

そして,十分長い時間の後には(といっても実はすぐですが)

平衡に達して左辺の加速度項はゼロとしてよく,速度は一定に

なるはずです。

このときの多くの電子の平均の速度もやはり,ｖと書くこと

にします。そうすると,0＝ｅＥ－ｍｖ/τ⇒ｅＥ＝ｍｖ/τ

により,ｖ＝ｅＥτ/ｍと書けます。

単位体積当りの自由電子の個数をｎとすると,電流密度

(＝単位時間当りに単位断面積を通過する電荷量):Ｊは,

Ｊ＝ｎｅｖで与えられますから,結局,Ｊ＝(ｎｅ²τ/ｍ)Ｅと

なり,電流密度は電場Ｅに比例し,その向きも電場Ｅと同じ,

ということになります。

　この関係式:Ｊ＝σＥ;ただし,σ＝ｎｅ²τ/ｍは,電気伝導度

という形でのオームの法則(Ohm‘s law)ですが,より身近な形

に直しておきましょう。

電荷が流れている場所の金属線(抵抗)の断面積をＳ,長さを

Ｌとします。そして正電荷ｑが一様電場Ｅに抵抗して距離Ｌ

だけ,反対向きに移動するのに要する仕事＝位置エネルギーは

ｑＥＬとなりますが,これをｅＶ＝ｑＥＬと書いて,Ｖ＝ＥＬ

のことを電圧,または電位差と呼びます。この電圧の単位は,

Ｖ(ボルト)＝Ｊ/Ｃ(ジュール/クーロン)です。

電流Ｉは電流密度×断面積;Ｉ＝ＪＳですから,先のＪ＝σＥ

という形の式は.Ｉ＝σＥＳ＝(σＳ/Ｌ)Ｖ,あるいは,逆に

Ｖ＝Ｉ{Ｌ/(σＳ)}という形になります。

そこで,抵抗Ｒを,Ｒ＝Ｌ/(σＳ)と定義すれば,よく知られた

形のオームの法則:Ｖ＝ＩＲとなります。

(参考文献):アシュクロフト・マーミン著「固体物理学の基礎」

(吉岡書店)

(※再掲記事２)電気伝導(つづき１)(ジュール熱)(2006年６/17)

　オーム@の法則について述べたついでに,電気が熱に変わる

のは何故か？というジュール熱の問題も微視的に考察してみます。

　１つの電荷ｅに対する運動方程式を与えるため,位置ｘに

おける電位をＶ(ｘ)とすると,これは単位電荷当りの

ポテンシャルを意味しています。

一様電場Ｅの向きをｘ軸に取って,問題を１次元化,つまり,

ｘ座標だけで考えると,ＥとＶの関係はＥ＝－ｄＶ/ｄｘと

なります。

したがって,電場Ｅがあって何の抵抗もないときには,

運動方程式は電荷の質量をｍ,速度をｖとすると,

ｄ(ｍｖ)/ｄｔ＝―ｅ(ｄＶ/ｄｘ)となります。つまり,抵抗が

ないと電流を与える電荷の速度は一定ではなく加速されるの

ですね。そして,この運動方程式の両辺にｖ＝ｄｘ/ｄｔを

掛けて得られるｖ(ｄｖ/ｄｔ)＝ｄ(ｖ²/2)/ｄｔ，および,

恒等式;ｖ(ｄＶ/ｄｘ)＝(ｄｘ/ｄｔ)(ｄＶ/ｄｘ)＝ｄＶ/ｄｔ

を用いると,ｄ(ｍｖ²/2)/ｄｔ＝－ｅｄＶ/ｄｔとなります。

つまり,(ｄ/ｄｔ){(1/2)ｍｖ²/2)＋ｅＶ}＝0となって,

保存力場に対する,通常の力学的エネルギー保存則を得ます。

左辺の(ｄ/ｄｔ){(1/2)ｍｖ²/2)＋ｅＶ}は,もちろん,

力学的エネルギーの単位時間当りの増加分ですが,これがゼロ

ということは,抵抗がないときには,熱などの形でのエネルギー

の散逸(ロス)が全く無いことを意味していると考えられます。

しかし,実際には,前記事で書いたように金属線にはゼロでない

抵抗があり,自由電子の衝突の緩和時間をτ(sec)として,運動

方程式は,ｄ(ｍｖ)/ｄｔ＝ｅＥ－ｍｖ/τとなることを

見ました。すなわち,より正しい運動方程式は,

ｄ(ｍｖ)/ｄｔ＝―ｅ(ｄＶ/ｄｘ)－ｍｖ/τです。

働く力を表わす右辺は,位置ｘで決まるだけでなく速度ｖに比例

するマイナスの項,いわゆる抵抗力の項を含んでいます。

力学的エネルギーの変化率の方は,やはり両辺にｖ＝(ｄｘ/ｄｔ)

を掛けて求めるわけですが,今度は,(ｄ/ｄｔ){(1/2)ｍｖ²＋ｅＶ}

＝－ｍｖ²/τとなりますから,平衡状態,つまり.加速度がゼロで

ｄｖ/ｄｔ＝0の電荷速度ｖが一定,または電流が一定の状態に

なると,ｄ(ｅＶ)/ｄｔ＝－ｍｖ²/τとなるはずです。

結局,回路に電流スイッチが入ってから十分な時間が経過した

後にｖが一定で,ｖ{ｄ(ｍｖ)/ｄｔ＝ｄ(ｍｖ²/2)/ｄｔ＝0 より,

運動エネルギーが一定に保たれる平衡状態になっても,位置

エネルギーは,右辺の(－ｍｖ²/τ)のような形で散逸して(逃げて)

いきます。これがいわゆる熱というわけです。

つまり,緩和時間τで特徴付けられる材質の抵抗があれば,それ

を流れる電流を構成する電子が受ける外力は保存力どころか位置

だけの関数でさえなくて,何らかの原因で自由電子はデタラメな

方向へ散乱され,散乱された電子の運動エネルギーの総和という形

で,力学的エネルギーが損失を蒙ることになります。

　このエネルギー損失は,速度に比例する抵抗という形で表現され,

これが巨視的には「ジュール熱」と呼ばれるモノとして現われると

いうわけです。

そこで,力学的エネルギーの他に,「熱エネルギー」という形

のエネルギーの存在も考慮するならば,先の方程式:すなわち,

抵抗がないときには,(ｄ/ｄｔ){(ｍｖ²/2)＋ｅＶ}＝0に

よって,エネルギーの保存を示し,一方,抵抗があるときには,

(ｄ/ｄｔ){(ｍｖ²/2)＋ｅＶ}＝－ｍｖ²/τの形の発展方程式

となり,結局,「単位時間当りの力学的エネルギーの減少分

(増加分(減少分)が熱エネルギーの増加分(減少分)に等しい．］

という「全エネルギーの保存法則(熱力学第一法則)」を表現

しています。

具体的には,Ｅが一定のときの電位はＶ(ｘ)＝－Ｅｘ＋(定数)

と書くことができて,ｄ(ｅＶ)/ｄｔ＝－ｅＥｖと書けます。

したがって,大きさがｅの１つの電荷の単位時間当りの

エネルギー損失の式:ｄ(ｅＶ)/ｄｔ＝－ｍｖ²/τは,－ｅＥｖ

＝－ｍｖ²/τとなります。

一方,抵抗物体の単位体積当りの電荷ｅの個数をｎとすると,

電流密度はＪ＝ｎｅｖです。

それ故,単位時間,単位体積当りの損失は,ｎｍｖ²/τ

＝ｎｅＥｖ＝ＪＥとなり,断面積がＳ,長さがＬの抵抗ならその

体積:ＳＬを掛けて,ＪＳＬＥ＝ｎＳＬｍｖ²/τですが,電流の

定義:Ｉ＝ＪＳと電圧の定義:Ｖ＝ＥＬを用いると,これは,ＩＶ

＝Ｎｍｖ²/τという表式を得ます。ただし,ＮはＮ＝ｎＳＬで抵抗

中の電荷ｅの総数です。

そこで,抵抗内の全電荷:Ｑ＝Ｎｅを用いると,全体積中のＮ個

の電荷による単位時間あたりの全エネルギー損失:＝ジュール熱:

ＩＶ＝Ｎｍｖ²/τとして与えられる「ジュール熱,または消費電力

はＩＶ＝Ｑｍｖ²/(ｅτ)なる式で表現されます。両辺の単位は

ワット(Ｗ)＝J/secです。

(参考文献):アシュクロフト・マーミン著「固体物理学の基礎」

(吉岡書店)

長くなったので次は,次回にまわします。

エレクトロニクス覚書き(1)(太陽光発電補遺)

※2022年７月７日(金)→7月20日(水)

※(余談):２月の誕生日以来の久しぶりTOSHIです

私は,コロナじゃなくワクチンも1度も受けていませんが

ときどき,血中酸素濃度が落ちて酸素吸入をしています。

先週(７/７頃,)酸素値は96以上に回復しましたが虚血性

心不全での肺水腫で利尿剤で水を排出して何とかまだ生きて

います。自分のまわりでは毎年のように同年代の友人がポツポツ

と鬼籍に入ってゆき,さびしい限りです。元々私が一番アブナイ

と言われていましたが,私は意外とシブトイ憎まれっこのようです、

まあ,棺桶片足ですがね。。(余談終わり※)

※さて,以下,本題です。

元々,地球のエネルギーは,全て太陽由来ですから,最近の再生

可能な発電として太陽光発電と蓄電に関心があり,関連項目を

調べています。

まずエレクトロニクスの知見からおさらいします。

エレクトロにクスというのは,電子(electron)の挙動とそれを

利用した電気機器の応用などを扱う学問と理解しています,

§1．交流電流の直流化

　電気の発生源が主として電気以外の水力とか,火力による

ボイラーの加熱などにより,磁極の中でコイルを回転させると

いうモーターとは逆の操作で,熱などのエネルギーを電気に変換

するという発電機に頼るため.発生されるのが周期的に正負の向き

が変わる交流電流が主流ですが,アメリカの発電機が60Hz,

ドイツのそれが50Hzだったかな？の理由で明治時代？での

導入先の違いから西日本と東日本で交流周波数が異なって

います。これはは不便なことですが,もはや双方が巨大化して

いて統一にはコストがかかりすぎるためか,現在もそのままです。

こうした発電機は古いママチャリなどで,人力でペダルをこぐこと

で前方のライトを灯すという人力発電を思い起こせば,それの大がかり

なモノが,火力などの交流発電機であろうと想像できます。

今は,送電も交流は交流のままで行なわれています。

加熱や照明など交流のままでよい機器も多いですし,近年は周波

数がどちらでも対応できる機器の開発等もされています。

それでも,ラジオ,オーディオなど直流に変換しないと使用

できない電気機器も多数あります。これは,通常,整流回路を

用いて直流化します。これには電子が陰極から陽極に向かう

電流のみを通し逆向き電流は遮断して通さない素子＝整流器

を回路に挿入します。整流素子1個では半周期のみの電流で

残る半周期は空白です。そこで,２個の素子を並列に挿入した全波

(両波)整流回路を用いて残る半波空白部分をも向きをそろえて加え

るようにします。

これで,例えばＩ₀sinωｔの交流電流なら,Ｉ₀｜sinωt｜のように

方向は直流化されますが,直流と呼ぶには波型のデコボコ(リップル)

が大きくて不安定な流れです。それ故,コンデンサを挿入してきるだけ

平滑化して自然な直流を求めます。

§2.整流素子:２極真空管とダイオード(diode)

エジソンによる電球は,真空,または希ガスを封入したガラス管で.

内部にフィラメントと呼ばれるタングステンなどの特殊金属導線

部分を作り,それが電流の増加と共に熱線と同時に光線を放射する

モノです。特に金属が熱せられると境界壁の仕事関数と呼ばれる

障壁ポテンシャルより大きい熱エネルギーを持てば自由電子が

放出される現象があり,これを熱電子といいます。

２枚の金属プレートの一方を陽極,他方を陰極と定め,陰極のみ

をフィラメントで熱を与えます。熱電子は負の電荷ｅを持つので

陰極から飛び出した熱電子は陽極に引かれます、そこで陽極を正

とする電圧に対しては,陽極と定めたプレートに熱電子が到達

しますが,逆の負電圧なら熱電子は陽極プレートと呼んでいても

実は陽極ではなく陰極となるために電子が到達しません。

したがって,交流電圧をかけた場合,正電圧のときのみ真空中

を熱電子の電流が流れることになり.負電圧部分では空白となる

ため,２極真空管は半波整流素子に成り得ます。これの並列＋

平滑回路で全波整流平滑化可能です。

§3。固体体結晶中の電子エネルギーのバンド理論

真空中の自由電子であれば,それらは連続的な運動量(波数)を

持つ自由平面波で表わされ,そのエネルギー＝運動エネルギーに

上限はありません。また,単独原子,分子であっても束縛される電子

のエネルギーは離散的ではありますが上限はないはずです。

しかし,有限な境界を持つ固体結晶内では電子が占有可能な準位

の数は限られていてPauliリの排他原理から.1準位に２個ずつの

電子を詰めていくことができます。

構成元素の内殻電子が原子核＝正イオンに束縛されているのに対し

外殻電子は,周囲の他の原子との共有結合も可能て,価電子と呼ばれ

近似的に自由電子としてBlochの周期的電子となります。

この価電子をエネルギー準位の下方から順に詰めていくとある

レべルが上限となって,満杯の身動きできない充填帯と,その上に電子が

占有不可能な禁止帯と呼ばれるエネルギー帯(エネルギーバンド)構造

になります。

例えば原子番号14のシリコンＳi(珪素)は価電子は4と偶数ですが,

結晶を構成する原子の価電子がｍでその原子の個数がＮなら占有される

準位の総数はｍＮです。一方,結晶格子構造の周期性から,この周期性

を持つ正イオンによる周期的ポテンシャルに従う電子のエネルギー

について,Bloch電子という近似的に自由な独立電子として周期的

境界条件を適用することで,占有可能な許容帯と,不可能な禁止帯

が交互に繰り返されます。

総数ｍＮ個の価電子を詰めて許容帯を下から充填帯にしていくと,

最後に充填していない疎らな許容帯＝伝導帯が出現することがあり

ます。各原子での許容帯に入り得る価電子の個数は決まっていて同じ

個数ですが,スピン上下の２個ずつ入るので.それは偶数です。

そして,絶対温度Ｔのとき,準位が最上位電子はｋ_ＢＴのオーダー

の運動エネルギーで熱振動しています。(ｋ_ＢはBoltzmann定数)　

ですから,もしも完全に電子順位が満杯で充填されたバンドの上の

禁止帯のエネルギーギャップの幅がｋ_ＢＴよりも,はるかに大きい

なら,この固体は絶縁体ですが,この禁止帯のギャップの幅がｋ_ＢＴ

に比べて小さいなら,その1つ上の許容帯にまで電子が励起遷移される

ことがあり,この場合,この充填されていなかったバンドは伝導帯と

呼ばれて,電子が負のキャリアとして自由に動けます。同時に元の励起

前の満杯に電子で充填されていた許容帯には電荷ｅの電子が失われて,

相対的に電荷が(－ｅ)＞0の正孔が出現して,いわゆるドナーと呼ばれる

正のキャリアの半導体(Ｐ型半導体)になります。

逆に,満杯でなかったバンド帯に励起されて電子が加わった部分は,

負電荷過剰となり,アクセプターと呼ばれて.負のキャリアである電子

を持つ半導体(Ｎ型半導体)となります。

価電子が偶数4の元素Ｓi(シリコン)のＮ個の原子の結晶では,価電子

総数は4Ｎ個であり,全ての許容帯バンドの電子許容準位数も偶数

なので,完全に電子が充填されて余りがなくなりますが,絶縁体では

なくて禁制帯のギャップが.約1.12eＶと小さいことで,不純物がない

なら真性半導体と呼ばれる半導体となります。

他方,価電子が奇数の物質では,最上位のバンドが充填されず.約半分

の準位が空きで,自由に移動できる伝導電子があるため.通常は金属

導体となります。

そして.半導体のＰ型とＮ型を接着させたＰＮ接合は２極真空管と

同じく陽極と陰極で.Ｎ→Ｐの電子流が一方通行なので整流素子と

なり得ます。これは半導体ダイオードと呼ばれています。

真空管に比べて,半導体によるダイオ－ドはるかに小さいモノなので

デジタル機器の直流回路で重宝されています。

§3。増幅器（アンプ）,３極真空管とトランジスタ

交流電流をそのまま増幅するには変圧器があり,これは電流が

流れる部分の同じ長さ当たりのコイルの巻き数に電流量が比例

するのを利用した交流の相互誘導を用います。

しかし,直流化して増幅する増幅回路の素子としては,３極真空管

があります。これは２極黒真空管の陽極と陰極の間に,もう1枚

可動な金属板(網)を入れて,これをグリッドと呼びます。この真空管

では陰極はカソード,陽極はアノードと呼ばれています。

カソードからアノードへの熱電子流量はカソードを熱する陰極

の電流量に,ほぼ比例した特性を持ち,グリッドを移動させて飛距離

を変えることで電子流量も相応して変化させることができます。

そこで,電子流の量の過多を調節することで,元のカソード上の電流

を,増幅させる効果を持つ増幅器とみなせます。

一方,半導体によるトランジスタは,３極管のカソード,グリッド

アノードを,それぞれ,ＮＰＰなどの型の半導体接合で行なう増幅器

です。これもダイオードと同様,真空管よりはるかに小さいので

便利です。

§4.ソ－ラー電池(太陽電池)

光電効果を利用すると.Ｓi(シリコン)やGaＡs(ガリウム-ヒ素)

などの半導体表面にエネルギー:ｈνの光子が衝突して光電子流が

発生する光電効果を利用した起電力を光電池(ソーラー・バッテリー)

といいます。

水力エネルギーを電力に変える発電効率が.80％にも達するのに

対して,太陽光によ発電効率は現状のメーカーのソーラーパネルの

場合,高々20％程度で,80％の太陽エネルギーは無駄に空気中に

捨てていることになります。これを捨てずに蓄電できればいいの

ですがね。

ところで,熱力学第２法則によれば絶対温度Ｔ₁とＴ₂の２物体が

あるとき,熱は高温から低温にしかひとりでには移動できないと

いう第２法則があるため,熱エネルギー:Ｑを電気も含めた力学的

エネルギ－:Ｗに変化させる最大効率は,Ｔ₁＞Ｔ₂なら,η＝Ｗ/Ｑ

＝1－(Ｔ_２/Ｔ₁)＝(Ｔ₁－Ｔ₂)/Ｔ₁で与えられることはわかって

おり,周囲に変化を生じさせず,この熱から仕事に変えることを

繰り返す機関(サイクル)の最高効率の理想的なモノはカルノー

(Carnot)サイクルと呼ばれます。現実の実用的には,より効率

の低いガソリンサイクルやディーゼルサイクルが車のエンジン

に用いられています。

というわけで,蒸気機関車のようにボイラーの蒸気で発電機を

回して発電を行なう火力発電も.100％の効率は不可能です。

しかし,逆に電気を熱に変えることは100％可能なのですがね。

太陽光でも捨てている太陽光を蓄えて使用できればいいのですが,

効率20％で得た電気も全部使わなければ熱として消えるだけで

蓄えられません。ジュール熱という損失(ロス)がゼロなのは

超伝導体だけです。

単純には電気は大量に蓄えることができないのです、

もしもし摂氏15度から30度程度の常温,かつ1気圧の状態で

超伝導体が存在すれば,送電線などもそれで作成しロスなく電気

を蓄えることができて、それは画期的なことで電力不足を解消

できるのですが。。。

現状では約170万気圧のような高圧での水素化合物などがある

だけで,通常気圧では,極低温の物体でし超伝導体は存在せず冷却

コストのため.ＭＲＩやマイスナー効果を利用したモノレールなど

にしか使用されていません。今日はここまでです。(つづく)

ガロア理論補遺(今日は誕生日)

※2022年1月21日(金)開始→2022年２月１日(火)

※(余談):投稿を迷ってるうちに,２月に入ってしまいました

今日:２/１は私の72回目の誕生日です。1950年生まれの年男

なのですが,古希も超えた死に損ないジジイには「めでたくもアリ,

めでたくもナシ,誕生日も冥途の旅の一里塚。」です。

昔は,行きつけの飲み屋のカラオケ伴奏で,毎年恒例のように,

「Happy  Birthdaty to Me」を唄ってアピールしたものでした。

常連だったんだから,誰か覚えていろよな。ホントに。。。

(※今朝はネットバンクをチェックしたら,何か10万円が一括入金

されてました。住民税非課税家庭への給付金でしょうね？

意外と早いね。ラッキー。誕生日プレゼントかな？？？)

さて,大抵の病気はグッスリと良い睡眠を散れば治るという

のが昔からの持論で,風邪でもひくと最安のユンケルと睡眠薬

で2日以内には回復してました。その他には度な「百薬の長」

でもあればなおイイいかも？と思っています。

私,30歳代の終わり頃からの慢性糖尿病が原因で,心不全であり

腎臓も透析はしてないが悪化中なので,不眠は体に負担が大きく

逆に睡眠はとてもいい薬です。なぜか？年末くらいから食欲も

なく,不眠続きで体力が低下して寝たキリに近くなっています。

かろうじて首から上だけ元気です。入院が多くてもう足の筋肉が

立ってるだじぇで辛いのでね。23歳から57歳まで長年のウツ病

で向精神薬には慣れているせいか,少々の精神安定剤は単なる睡眠

剤よりの不眠にもこよく効くので,訪問医に処方してもらって昼も

夜も飲んでいると,少しは楽になってきました。ただ,相変わらず1

分間に４リットルの酸素優吸入をしいます。食が細いのに体重が

減らないのは,きっと心臓が弱って肺に水が溜まっているようです。

利尿剤も飲んでますが,糖尿病なのに糞尿じゃなく出が悪いです。

イヤ,先は長くないですね。コロナには無関係ですが。

(余談終わり※)

※以下,本題です。ガロア理論の復習のシリーズの補足として,

記事:(1)～(9)の意味などを代数方程式解法の歴史とも関連

づけて,自己確認も兼ねて考察し要約してみました。

※古代ギリシャのユークリッド以来,,幾何学全盛の時代にも

,ディオファントスや,アルキメデス,ピタゴラスなど,必ずしも

図形とは関わらない,数字の数学を研究する学者もいました。

しかし,近代西洋代数学が発展したのは,ｘやｙという文字を

変数として,例えばｘ^４－6ｘ²＋3ｘ＋5のように.数式を表現する

方法を発明したフランスの有名な哲学者デカルト(Descartes)の

功績が非常に大きかったのでは？と思います。和算など漢数字に

よる難解と見える東洋数学の表現に比べ,数式を記号表現に簡素化

したのは,非常に明快であり,大きな意味があったと思います。

さて,まず,２次代数方程式,いわゅる２次方程式の根を求める公式

については,昔,高校で習いました。

すなわち,基本式はｆ(ｘ)＝ａｘ²＋ｎｘ＋ｃ＝0(ａ≠0)ですが,

これをａ{ｘ＋ｂ/(2ａ)}²－ｂ²/(4ａ)＋ｃ＝0と変形すると,

{ｘ＋ｂ/(2ａ)}²＝(ｂ²－4ａｃ)/(4ａ²)となりますから,

ルートの中が正か負か？を判別する判別式をＤ＝ｂ²―4ａｃと

おけば,この方程式の２根はｘ＝(―ｂ±√Ｄ)/(2ａ)　です。

次に,３次方程式ｆｒすが.これは16世紀にイタリアの学者

Tatyagliai(タルタリア)が発見したモノを,Cardano(カルダノ)

が無断で盗んだとか？金を払って買ったとか？で,今日では

「Cardano(カルダノ)の公式」と呼ばれています。

まず,基本式はｆ(ｘ)＝ａｘ³＋ｂｘ²＋ｃｘ＋ｄ＝0(ａ≠0)です。

これは,ａ{ｘ＋ｂ/(3ａ)}³－{ｂ²/(3ａ)}ｘ＋ｃｘ－ｂ³/(27ａ²)

＋ｄ＝0。と変形できます。

それ故,ｙ＝ｘ＋ｂ/(3ａ)とおき,ｘ＝ｙ－ｂ/(3ａ)を代入すれば,

ａｙ³＋{ｃ－ｂ²/(3ａ)}ｙ＋{ｄ＋2ｂ³/(27ａ²)}＝0∔となります。

これを,ｙ³＋Ａｙ＋Ｂ＝0と書けば,２次項が消え簡単になります。

ただし,Ａ＝－(ｂ²－3ａｃ)/(3ａ²),Ｂ＝(27ａ²ｄ＋2ｂ³)/(27ａ³)

です。さらに,ｙ＝ｕ＋ｖとおくと,(ｕ＋ｖ)³＋Ａ(ｕ＋ｖ)＋Ｂ＝0.

,つまり,ｕ³＋ｖ³＋(3ｕｖ＋Ａ)(ｕ＋ｖ)＋Ｂ＝0 となります。

そこで,ｕｖ＝－Ａ/3とおけば,ｕ³＋ｖ³＝－Ｂ, かつ,

ｕ³ｖ³＝－Ａ³/27となりますから,ｕ³,ｖ³は,ｔの２次方程式

ｔ²＋Ｂｔ－Ａ³／/27＝0 の未知変数ｔの２根になります。

そこで,Ｄ＝Ｂ²＋4Ａ³/27とおけば,ｕ³＝(－Ｂ＋√Ｄ)/2，

かつ,ｖ³＝(－Ｂ－√Ｄ)/2と書くことができます。

ｕ＝{(－Ｂ＋√Ｄ)/2}^1/3,ｖ＝{(－Ｂ－√Ｄ)/2}^1/3とおき,

１の３乗根を1,ω,ω²と書けば,0 ω²＋ω＋1が成立して,＝

ｙの３次方程式の３根は,ｙ＝ｕ＋ｖ.u＋ωｖ,u＋ω²ｖ です。

(※ｙ＝ｕ＋ｖ.ωｕ＋ω2ｖ,ω2u＋ωｖという等価な表現も

ありますがね。)

４次方程式の解法は,18世紀にイタリアのFerrari(フェラーリ)

により,発見されました。(彼はカルダノの弟子？らしい。)

基本式はｆ(ｘ)＝ａｘ⁴＋ｂｘ³＋ｃｘ²＋ｄｘ＋ｅ＝0(ａ≠0)

です。これもｙ＝x+＋ｂ/(4ａ)として,ｘ＝ｙ－ｂ/(4ａ)を代入

すれば,３次項が消え,ｙ⁴＋Ａｙ²＋Ｂｙ＋Ｃ＝0と少し簡単に

なります。この両辺に,(2λｙ²＋λ²)を加えると,(ｙ²＋λ)²

＝(2λ－Ａ)ｙ²－Ｂｙ＋(λ²－Ｃ)＝0となることを利用します。

もしも,この右辺も(Ｅｙ＋Ｆ)²のような完全平方式なら,

(ｙ²＋λ)²＝(Ｅｙ＋Ｆ)²となるので,ｙ²＋λ＝±Ｅｙ±Ｆと

なって＋,－の２つのｙの２次方程式を解けばｙが得られます。

そして,ｘ＝ｙ－ｂ/(4ａ)から,ｘの根を得ることができます。

とことが,(2λ－Ａ)ｙ²－Ｂｙ＋(λ²－Ｃ)＝(Ｅｙ＋Ｆ)²と

なるためには,(2λ－Ａ)＝Ｅ²,かつ,左辺の判別式:Ｄがゼロに

なることが必要十分です。

すなわち,Ｄ＝Ｂ²－4(2λ－Ａ)(λ²－Ｃ)＝0であるべきですが

これは.λ³－4Ａλ²－(Ｂ²－4ＡＣ)＝0なる３次方程式です。

これを解いて,λの根が得られれば,それを先の２次方程式の係数

に代入して,その方程式を解くことにより,元の４次方程式の解が

得られます。

この解を元の基本方程式の係数:ａ,ｂ,ｃ,ｄ,ｅの式に書き下す

のは,とても煩雑で面倒な作業ですから.ここではワザワザやり

ませんが,時間さえかければ可能です。

一方,方程式の係数の具体的数値が既知である場合なら.

上記の解を求める手順を追うアルゴリズムを,その通りに

プログラム化すれば,容易に解の数値を得ることができます。

とにかく,４次方程式を解く問題は３次方程式,２次方程式

を解く問題に帰着されました。数値計算の実用などには問題

なしです。

しかし,５次以上の代数方程式については,結局,根を求める

一般的解法,公式は見出せないことが,わかってぃます。

ここでは,試みは失敗に終わったけれど,魅力的なフランスの

Lagrange(ラグランジュ)の方法を見てみます。

この項は,私,眼が悪くなって手持ちの本も読めない状況ので,

主に画面を拡大して,ホームページの「ラグランジュの試み」

を参照させて頂きました。

さて,解くべきｎ次代数方程式ｆ(ｘ)＝0については,それを

解くための方法の存在はともかく「複素数体Ｃの中に必ず根を

持つ。」というGaussの「代数学の基本定理」があります。

その１根をαとすれば,ｆ(ｘ)＝(ｘ－α)ｆ₁(ｘ)と因数分解され,

さらに(ｎ－1)次方程式ｆ₁(ｘ)＝0も根を持つため,ｎ次方程式

ｆ(ｘ)＝0は,Ｃの中にｎ個の根:α₁,α₂,..,α_nを持つことになり,

結局,多項式ｆ(ｘ)は,ｆ(ｘ)＝ａ(ｘ－α₁)(ｘ－α₂)・・・(ｘ－α_n)

(ａ≠0)と表わすことができます。

方程式に,解,または根があること＝解が存在するということと,

それを求める解法が存在するということは,全くの別問題です。

さて,以下,Lagrange(ラグランジュ)の手法を解説します。

まず１のｎ乗根を,ζ₁,ζ₂,..ζ_nとします。

そして,順列(1,2,.ｎ)の置換を,σとすると,これは1対1,かつ,

上への写像であり,σ:(1,2,..ｎ)→(σ(1),σ(2),..σ(ｎ))と

表現されます。σ全体の集合は,対称群(置換群)と呼ばれる有限群

をなし,これをＳ_nと表記すれるのが慣例です。

∀σ∈Ｓ_nに対し,Π_σという(α₁,α₂,.,α_n)を置換する写像:

Π_σ:(α₁,α₂,..,α_n)→(α_σ(1),α_σ(2),.α_σ(n))を定義して,σに

Π_σを対応させる写像を考えると,これも全単射であり,この写像

Π_σの集合:Ｇ＝{Π_σ:σ∈Ｓ_ｎも,合成写像を群の積演算として群を

なします。このＧは,前述のように,対称群Ｓ_nと全く同型です。

ここで,ｕ_σ＝α_σ(1)ζ₁＋ασ₍₂₎ζ₂＋..＋α_σ(n)ζ_nとおきます。

Ｇの元:Π_σの個数は,Ｓ_nの位数,つまり順列の総数:ｎ!に等しい

ので,Π_σの個数,従ってｕ_σの個数もｎ!個です。

そこで,Ｓ_nの元σに番号をつけて,σ₁,σ₂,..σ_k...σ_n!とし,

先のｕ_σkをｕ_kと定義し直すことにします。ただし,σ₁は恒等置換

ｅ.または１であるとします。

ところが,ｕ_σのｎ乗:ｕ_σⁿを取るとｕ_σ＝α_σ(1)ζ₁＋..＋α_σ(n)ζ_n

に,1のｎ乗根ζ_k(ｋ＝1,2,..,ｎ)を掛けた(ζ_kｎ_σ)も(ζ_kｎ_σ)ⁿ

＝ｕ_σⁿを満たすので,あるτ∈Ｓ_nに対して(ζ_jｎ_σ)＝ｎ_τであり

ｕ_σⁿ＝ｕ_τⁿとなる,σとｎ個のτの対対応があります。

よって,これらの相異なるｎ_σⁿの個数は,(ｎ－1)個の順列

の個数と同じ(ｎ－1)！です。

したがって,ｎ次方程式の根を求める方法が。(ｎ－1)次方程式

の根を求める方法に帰着することが,期待されます。

実際,２次方程式ｆ(ｘ)＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝0(ａ≠0)では２根

をα,βとすると,1の平方根はζ₁＝1,ζ₂＝－1ですから,

ｕ₁＝α＋(－1)β,ｕ₂＝(－1)α＋βとして,ｕ₁²＝(α－β)²＝ｕ₂²

です。対称式には.根と係数の関係があってα＋β＝－ｂ/ａ,αβ

＝ｃ/ａですから(α－β)²＝(α＋β)²－4αβ＝(ｂ/ａ)²－4ｃ/ａ

＝(ｂ²－4ac)/ａ²なので,Ｄ＝ｂ²－4acとおけば,α－β＝±√Ｄ/ａ

です。これとα＋β＝－ｂ/ａから,α＝(－ｂ＊√Ｄ)/(2ａ),かつ,

β＝(－ｓ－√Ｄ)/(2ａ)が得られました。

３次方程式:ｆ(ｘ)＝ａｘ³＋ｂｘ²＋ｃｘ＋ｄ＝0(ａ≠0)では,

３根をα,β,γ,１の２乗根をζ₁＝1,ζ₂＝ω,ζ₃＝ω²とします。

このとき,ω²＋ω＋1＝0です。

そして,(α,β,γ)の偶置換からｕ₁＝α＋βω＋γω²,

ｕ₂＝γ＋αω＋βω²＝ωｕ₁,ｕ₃＝β＋γω＋αω²＝ωｕ₂,

奇置換からｖ₁＝β＋αω＋γω²,ｖ₂＝γ＋βω＋αω²

＝ωｖ₁,ｖ₃＝α＋γω＋βω²＝ωｖ₂の6＝3!個が得られます

しかし,ｕ₁³＝ｕ₂³＝ｕ₃³,ｖ₁³＝ｖ₂³＝ｖ₃³＝なので3!＝6個

のうち,相異なるのは,2!＝2個だけになります。

ただしｕ₁³＝ｖ₁³の場合もあるようです。

便宜上,ｕ＝ｕ₁,＝α＋βω＋γω²,ｖ＝ｖ₁＝β＋αω＋γω²

とおきます。ｕ³＋ｖ³＝(ｕ＋ｖ)³－3ｕｖ(ｕ＋ｖ)ですが,

まず,ｕ＋ｖ＝(α＋β)(ω＋1)＋2γω²です。

さらに,方程式が,ｙを変数とする簡易型のｙ³＋Ａｙ＋Ｂ＝0

であるとします。すると,α＋β＋γ＝0ですからα＋β＝－γ

より,ｕ＋ｖ＝3γω²を得ます。

また,ｕｖ＝(α＋βω＋γω²)(β＋αω＋γω²)

＝(α²＋β²)ω＋αβ(ω²＋1)＋(α＋β)γω²＋(α＋β)γω³

＋γ²ω⁴＝(α²＋β²＋γ²)ω+(αβ＋αγ＋βγ)(ω²＋1)

＝(αβ＋αγ＋βγ)(ω²－2ω＋1)＝－3Ａωを得ます。

結局,ｕ＋ｖ＝3γω²,かつ,ｕｖ＝－3Ａωです。また,

γは,ｙ³＋Ａｙ＋Ｂ＝0の１根ですからγ³＋Ａγ＋Ｂ＝0

より,γ³＝－Ａγ－Ｂです。

それ故,(ｕ＋ｖ)³＝27γ³＝－27(Ａγ＋Ｂ)であり,

ｕ³＋ｖ³＝＝－27(Ａγ＋Ｂ)＋27Ａγ＝－27Ｂを得ました。

他方,ｕ³ｖ³＝－27Ａ³です。

故に,ｕ³,ｖ³は,ｔの２次方程式:ｔ²＋27Ｂｔ－27Ａ³＝0

の２根ｔ＝(－27Ｂ±√Ｄ)/2,ただし,Ｄ＝27²(Ｂ²＋4Ａ³/27)

です。こうして,ｕ³,ｖ³＝(27/2){―Ｂ±(Ｂ²＋4Ａ³/27ｕ)^1/2

が得られました。後はCardanoの公式での導出と同じです。

４次方程式:ｆ(ｘ)＝ａｘ⁴＋ｂｘ³＋ｃｘ²＋ｄｘ＋ｅ＝0

(ａ≠0),あるいは,簡略化したｙ⁴＋Ａｙ²＋Ｂｙ＋Ｃ＝0でも

４根をα,β,γ,δとし,1の4乗根:１,－１,ｉ，－ｉを

用いた積和でｕ_k(ｋ＝1,2,..24)をつくり,ｕ_k⁴が3！＝6個に

なって,３次方程式と２次方程式に帰着するというFerrariに

類似した方法で根の公式が得られるのですが,この面倒な作業

は省略します。昔の学者は根気よくやって成功したらしいです。

ところが,これを５次方程式で実行すると失敗します。

これらの方法では,係数が根の対称式であり,これが対称群Ｓ_n

の元に対しては不変という変換性に着目したのが重要です。

結局,Ｓ₂,Ｓ₃,Ｓ₄と,Ｓ₅の違いが決定的なことでした。

Ｓ₅だけは,他のＳ₂,Ｓ₃,Ｓ₄と異なり,正規部分群(交換子群)

を取っていっても,可換群(アーベリ群に帰着せず,途中でこれ

以上小さくできない。という困難に遭遇します。

Ｑの元:有理数を係数とするｎ次多項式は分母の公倍数を

掛ければ整数係数になります。(※有理係数の方程式と整数

係数の方程式とは同値です。)

有理係数のモニック多項式をｆ(ｘ)＝ｘⁿ＋ａ₁ｘ^n-1＋..＋ａ_n,

と書き,ｆ(ｘ)＝0のｎ根をα₁,α₂,..α_nであるとします。

とりあえず,ｆ(ｘ)は,既約多項式とすれば重根は存在せず,

ｆ(ｘ)は,Ｑでは因数分解できず,既約であるのにも関わらず,,

ｆ(ｘ)＝(ｘ－α₁)(ｘ－α₂)・・・(ｘ－α_n)と完全な因数分解

が可能な,Ｑの拡大体Ｅ＝Ｑ(α₁,α₂,..,α_n)が存在します。

この体Ｅをｆ(ｘ)の分解体といいます。

方程式ｆ(ｘ)＝0が「ベキ根で解けるとは.全てのｎ根の

α₁,α₂,..,α_nが,１の幾つかのベキ乗根ζと,幾つかの有理

係数:ａ₁,ａ₂,..,ａ_nのベキ乗根の四則演算式,つまり,有理式

で表わされることを意味すると考えられます。

ところで,ｆ(ｘ)の有理係数:ａ₁,ａ₂,..,ａ_nは,それぞれ,

ａ₁＝－(α₁＋α₂,＋..,＋α_n),ａ₂＝α₁α₂,＋..,＋α_n-1α_n,・

・・・・・・,ａ_n＝(－1)ⁿ(α₁α₂・・α_n-1α_n)と,全て根の

対称式で与えられるので.α₁,α₂,..α_nの,群Ｇの任意の元

の置換写像:Π_σに対して常に不変のままです。

このｎ次対称群Ｓ_nに同型な群Ｇは,Ｅ=Ｑ(α₁,α₂,..,α_n)

内の自己同型写像の群で,ＱはＧの不変体と見なせます。

(※ＧはＱからＥへのガロア拡大に対応するガロア群です。)

有理Ｇ数体Ｑに,まず,ζを,そして係数ａ_j(ｊ＝1,2,..ｎ)の

ベキ根:^ｎ√ａ_j＝(ａj)^1/ｎを１つずつ添加して単純拡大をつくる

のを繰り返して,Ｆ₁⊂Ｆ₂⊂Ｆ₃…と拡大体をつくっていくとき,

これをベキ根による拡大といいます。

これが,有限回の拡大で分解体Ｅ＝Ｑ(α₁,α₂,..,α_n))を

含んでしまえば,ｎ根:α₁,α₂,..,α_nは,ζたちや(ａj)^1/ｎたち

の幾つかの四則演算式＝有理式(根の公式)で表わされるので

,これを「ｆ(ｘ)＝0がベキ根で解ける」と解釈したのがアーベル

やガロアの代数方程式についての着想であったろうと想像します。

そして,ＱからＥへの拡大の.いわゆるガロア群は対称群Ｓ_nと

同型な自己同型群Ｇですが,Ｅ/Ｑの各中間体Ｂのそれぞれに,

Ｇの正規部分群が１対１に対応するという基本定理があります。

Ｑ＝Ｆ₀⊂Ｆ₁⊂Ｆ₂⊂..⊂Ｆ_rで,最後にF_ｒ⊃Ｅなら,ベキ根で

解けるというわけですが.これに群の縮小正規列Ｇ＝Ｇ₀⊃Ｇ₁

⊃Ｇ₂⊃..⊃Ｇrが対応して,最後にＧ_r＝{ｅ}となる場合,これ

が,拡大体ではＦ_r＝Ｅに対応するので,群Ｇを「可解群」と呼ぶ

のでした。

Ｇ_ｋ＋1=Ｇ~_k(＝Ｄ(Ｇ_k):Ｇ_kの交換子群)という選択が常に可能

ですから,この縮小正規列は必ず存在しますが,このとき剰余群

(Ｇ_k/Ｇ_ｋ＋1)が体Ｆ_kを不変体とするＦ_k+1への拡大のガロア群

であり,これらは全て可換群(アーベル群)なる必要があります。

群の縮小正規列が有限のｒ個でＧ_r＝{ｅ}まで収縮して終わる

なら,対応する拡大体がＦ_r＝Ｅとなり,ベキ根による解が可能

なので,Ｇを可解群と呼ぶわけです。

ところで可換群の交換子群は,{ｅ}ですから,途中Ｇ_r-1が可換群

となるなら,元のＧは可解群です。

ここらあたりの詳細はシリーズ記事(6)にあります。証明抜き

で定理を羅列しておきます。

※(再掲載);まず,[定理6-4]から,(基本定理)です。

ＥをＦのガロア拡大体とし,その自己同型群をＧ,つまり,

自己同型写像全体のつくる群をＧとする。

Ｅ/Ｆの中間体:Ｂに対してＢを不変にするＧの元の全体

のつくる部分群をＵとすると,Ｕの不変体はＢである。

そして,ＢにＵを対応させる対応は,Ｅ/Ｆの中間体と,Ｇの

部分群との間の1対１対応である。

[基本定理の系]::中間体ＢからＥへのＦ上の同型写像は,

群Ｇの部分群Ｕによる剰余類から誘導されるものだけである。

また,ＢはＦのガロア拡大体である。

(※[基本定理]における対応は,Ｇの部分群に,その不変体を

対応させるものです。Ｇには,体Ｆ,Ｕには,体Ｂ，単位群{ｅ}

には,体Ｅが対応します。)

※ＥはＢのガロア拡大体ですが,ＢはＦのガロア拡大体とは

限りません。以下では,ＵがＧの正規部分群で(σＵσ^-1)＝Ｕ

であることが,ＵがＦを不変体とするＢのガロア群であるため

の必要十分条件であることがわかります。

[定理6-5]:体Ｅは体Ｆのガロア拡大体あり,Ｇはガロア群

であるとする。そして,中間体Ｂに対応するＧの部分群を

Ｕとする。∀σ∈Ｇに対して(σＢ)もＥ/Ｆの中間体であり,

対応するＧの分群は(σＵσ^-1)である。

さらに,体Ｂが体Ｆのガロア拡大体であるための必要十分

条件は,ＵがＧの正規部分群となることである。

このとき,そのガロア群は.(Ｇ/Ｕ)に同型である。

(再掲載終了※)

※さて,対称群Ｓ₂,Ｓ₃,Ｓ₄は可解群でありｎ≧5の対称群Ｓ_n

は可解群ではないことを示します。

(証明)まず,Ｓ₂は恒等置換ｅと互換:(1,2)のみが元で,

元の積は常に可換なので可換群ですから,その交換子群

は,Ｓ~₂＝{ｅ}でこれは正規部分群なのでＳ₂⊃{ｅ}が

正規列となり.明らかにＳ₂は可解群です。

次に,交代群Ａ_nは,Ｓ_nの指数２の正規部分群であり,

交換子群Ｓ~_nに等しいのですが,ｎ＝3の交代群Ａ₃は,

それ自身可換群です。何故なら,Ｓ₃の位数は６,Ａ₃の

位数は３ですじから,その元は恒等置換:ｅ＝{1,2,3}と

σ＝{2,3,1},および,σ^-1=={3,1,2}だけですから明らかに

可換群で,これも正規列:Ｓ₃⊃Ａ₃⊃{ｅ}を得るので可解群

です。また,ｎ＝4のＳ₄についての置換:σ＝{ｉ,ｊ,ｋｌ}

∈Ｓ₄は,物理学で用いるLevi-Civita(レヴィーチヴィタ)

のテンソル:ε_ijklの非ゼロ成分が,＋1のときは偶置換で,

σ∈Ａ₄です。他方,ε_ijklが(－1)のとき.σは奇置換です。

しかも,σ∈Ａ₄のとき.(1,2)σは奇置換であり,

σ,τ∈Ａ₄でσ≠τなら,(1,2)σ≠(1,2)τとなりＡ₄の

元の偶置換と1対1に対応します。

それ故,Ｓ₄/Ａ₄＝{Ａ₄,(1，2)Ａ₄}です。この商群は.

単位元Ａ₄の他には,元が１個なので可換群です。

そもそも,指数が２なら.商群の位数は２で,常に可換群

です。そして,部分群ＶをＶ＝{ｅ,(ｉ,ｊ)(ｋ,ｌ)}(ただし,

ｉ,ｊ,ｋ,ｌは１～4の異なる数)とおくと,|Ｖ|＝1＋₄Ｃ₂/2＝4

です。Ｖの元である互換の積の積は,異なる４つの互換の積:

(ｉ₁.ｊ₁)(ｋ₁,ｌ₁)×(ｉ₂,ｊ₂)(ｋ₂,ｌ₂)ですが,これは互換の

順序に依存しないので可換です。

そして,|Ａ₄|＝12より,|Ａ₄/Ｖ|＝３で(Ａ₄/Ｖ)

＝{Ｖ,(1,2,3)Ｖ.(2,3,4)Ｖ}と書けますが,そもそも位数が

３の部分群は,既述したように単位元と,それ以外の１元と

その逆元だけが全ての元なので,明らかに可換群です。

以上から,対称群Ｓ₂,Ｓ₃,Ｓ₄は可解群でありｎ≧5

の対称群Ｓ_nは可解群ではありません。

((↑※これらはガロア理論の復習(2)から抜粋しました。)

以上でｎ≦4のｎ次代数方程式はベキ根で解けて,ｎ≧5

のｎ次代数方程式はベキ根では解けないことが証明された

ことになります。　　要するにある正規部分群から先は,

どうあがいても堂々巡りで,対応する体に係数のベキ根を

添加しても.こ,れ以上は拡大できない壁があって分解体E

まで到達できない。というのが,5次以上の代数方程式

を低次の方程式に帰着できない限界なのでした。(終わり)

※※ガロア理論は,代数方程式の可解性がきっかけで展開された

理論ですが,それ以外にも,大きな応用や体系的理論があるようです。

　例えば,1969年,一浪して私が19歳で大学に入った頃久賀道郎著

(日本評論社)「ガロアの夢」という本を興味本位で購入しました。

しかし高校の受験数学しか知らなかった自分には「猫に小判」で

長い間眺めているだけでした。

随分後の2007年心臓手術を受けた頃,斎藤利弥 著

「線形微分方程式とフックス関数I(ポアンカレを読む)」

(河合文化教育研究所)という書物に遭遇し,フックス(Fuchs)関数

フックス群,確定特異点を持つフックス型線型乗微分方程式など

についても本ブログで書きました。

※最後に付録で作図不能問題に言及して終わります。

[定義1]:作図が定規とコンパスによって得られるとは,

次のような処置の有限回の繰り返しによって得られることを

いう。(1)それまでに得られた点の中から２点を取り,それら

を結ぶ直線をつくる。(2)それまでに得られた点の中から２点

を取り,その１点を中心とし,他の１点を通る円をつくる。

(3)それまでに得られた２直線,直線と円,２円の交点をつくる。

※平面上に,直交座標軸とｘ軸上の単位点Ｅを定めておき,次に

与えられた幾何図形を表わす線分が,１端を原点Ｏとして正の

ｘ軸上に取られているとする。それらの線分の端点の座標を,

ａ₁,ａ₂,..ａ_nとする。その上で,Ｆ＝Ｑ(ａ₁,ａ₂,..ａ_n)とする。

座標が体Ｆの元であるような点は,全て作図可能です。

[定理1]:座標が体Ｆの元であるような点から(1)～(3)の

ような作図を進めて到達できる点の座標は,Ｆの２^p次拡大体

の元である。（※２^ρとは,単に２のベキ乗を意味します。）

(証明)座標がＦの元である２点Ｐ₁,Ｐ₂を通る直線の方程式を

つくる。また,そのような点Ｃ,Ｐを取り,Ｃを中心とするＰを

通る円の方程式をつくる。それを,それぞれａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝0,

ｘ²＋ｙ²＋ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ＝0とすると,これらの方程式の係数

は体Ｆの元です。そして,これらの図形の交点は次の性質を

持ちます。ア)２直線の交点の座標は,やはり,体Ｆの元です。

(※２直線の方程式の係数(Ｆの元)の四則演算(有利式)で

表わされるので体Ｆの元です。)

イ)直線と円の交点の座標は.体Ｆの元か,または,Ｆ上２次の

拡大体の元です。(※高々２次方程式の根です。)

円と円の交点ぼ座標は円と直線の交点に帰着できます。

(※円と円の２交点を結ぶ直線,あるいは２円から(ｘ²＋y²)

の項を消去した直線と1円の交点に帰着)

すなわち,(1)～(3)のような作図を有限回行なって到達

できる点の座標は体Fの高々２次拡大体の有限回連続なので

２のベキ乗,つまり,２^p次拡大体の元です。(証明終わり)

[例題1]:(角の３等;分の不可能性)

任意の角:αが与えられた場合,ａ＝cosαが与えられたのと

同値です。α＝3βならβを作図でつくるのはｂ­＝cosβを作図

するのと同値です。三角関数の３倍角の公式によれば,cosα

＝cos(3β)＝4cos³β－３cosβです。

つまり,ｂ＝cosβは３次方程式4ｘ³－3ｘ－ａ＝0の根です。

例えば,α＝π/3ならｂ＝cosβ＝cos(π/9)ですが,このとき,

ａ＝coｓ(π/3)＝1/2より，ｂは,4ｘ³－3ｘ－1/2＝0 または,

8ｘ³－6ｘ＋1＝0の根です。これはＦ上,つまりＱ上では因数分解

不可能な既約多項式ですから,ｂを根とする上記多項式の分解体

がＦ(ｂ)＝Ｑ(ｂ)を含む場合,これは,Ｆ＝Ｑの３次の拡大体です。

そこで,ｂはＱの,２のベキ乗の拡大体に含まれないので作図は

不可能です。(終わり)

[例題2]:(立体倍積問題)

　長さ１の線分から体積が２の立方体の１辺を作図することは

できない。(証明)この立方体の１辺の長さはｘ³―2＝0の根

³√2でありこれをＱに添加した体Ｑ(^３√2)は.Ｑ上３次拡大体

です。よって作図不可能です。(終わり),

[例題3]:(正ｐ多角形の作図)

(解)ｐを素数とします。長さ１の線分から正ｐ角形の１辺の長さ

を作図することが必要です。複素ｚ平面の適当な原点Ｏを中心

とする,中心Ｏからの長さ1の正ｐ角形のｐ個の頂点は,角度2π

をｐ等分する点,すなわち,ｚ＝exp(2ｋπi/ｐ)(ｋ＝0、1,2,..

(ｐ＾1)で与えられ,その実部がｘ座標で虚部がｙ座標です。

これらの頂点ｚ＝ｘ＋ｙiは,ｘのｐ次方程;ｘ^p－1＝0の根

ｘ＝ｚです。つまり,ζを1のｐ乗根とするとｚ＝ζです。

特に,ｚ＝ζが１の原始ｐ乗根であるとします。

頂点の座標は,Ｑの拡大体；Ｑ(ζ,i)の元です。

この体はＱ(cos(2π/ｐ),sin(2π/ｐ),ｉ)とも書けます。

cos(2π/ｐ),sin(2π/ｐ)が作図できるためにはＱ(ζ,ｉ),

従って,作図できるには,Ｑ(ζ)がＱ上２のベキ乗次の

拡大体に含まれる必要があります。

ところが.ζの既約多項式は.ｘ^p-1＋ｘ^p-2＋．．＋ｘ＋1の

(ｐ－1)次の円周等分多項式ですから,Ｑ(ζ)はＱ上(ｐ－1)次

拡大体です。したがって,ｐ－1＝2^ρ or ｐ=＝2^ρ＋1となる場合,

つまり,Mersene(メルセンヌ)数:(２^ρ－1)に２を加えた数に

等しい場合のみです。

結局,ｐ=＝2^ρ＋1であることが,正ｐ角形を定規とコンパス

で作図可能なための条件です。それ以外のｐでは正ｐ角形の

作図は不可能です。ｐ＝3,5,17,47,6537,..のときのみに

作図可能です。(終わり)　

ではまたいずれ。。。生きていれば。

ガロア理論の復習(9)終わり)

※2022年1月16日(日)開始→2022年１月20日(木)

※(余談) 東京大学付近で刺傷事件があったそうです。

不幸な事件ですね。本当のことは本人しか,わからない

ことでしょうから憶測,邪推ですが,人生は受験勉強だけ

じゃない。とよく言われます。

かく云う私も,第２志望とスベリ止めばかりの人生です。

医者になりたい？東大に入りたい？親がすすめる？本当に

自分の意志,希望ですか？　人に限らず生き物は,それぞれ

親からの遺伝子のせいで,能力に個体差があるのは仕方ない

ことです。さらに育った環境にも左右されます

大抵は努力すれば,時間かかってもよいなら集中すれば,

ある程度希望はかなうかもしれません。でも若いときは２度

と戻りませんから,今しかないと悲観するのもアリでしょう。

でも健康に生きてれば,捨てたもんじゃないです。寝たきり

の71歳で,酸素吸入中のいつお迎えが来てもオカしくない

老齢の私には,健康で若いだけでもうやましい。

人生をアキラめずに,,ゆっくりと落ち着いて考えて,もう少し

ガンバってみよう。どこかのにいちゃん。

さて,,もはや弱毒だが感染力だけは強いオミクロン株.必要以上

に怖がって鼻水くらいでも隔離や入院で,施設も人員もパンク

しそうです。そもそも重い病気で苦しみ死ぬのはまずいと誰しも

思うだろうけど.とにかく感染が増えるのはマズイから阻止しよう

という前提を疑えば,今が大変かどうか？は押してしるべしです。

何をやっても,結局,ウイルスの方が人知より上手だから,感染を

阻止しる努力は,無理,で無駄.だろうが,政治的にアリバイ工作だけ

は必要だというわけせすね。感染すると自分だけじゃなく家族を

含む他人に病気を移すからダメなんだと常識的なふとが述べて

います。1億人以上の日本人全員,イヤ75億の地球人全員が2～3

日ずつ風邪になったとしたら,そんなに人類の危機なんですか？

私のように風邪でも死亡率3割といわれていう病人には。どんな

病気でも,ワクチンの副作用でも命が危険ですがネ。

外国を見れば,もうスグ,ピークから集団免疫で自然に終息しそう

です。ずっと,飲酒を悪物扱いして,また飲食店イジメの連続です。

,流行が下火になってから,テキトーな対策をする。そして,選挙,。

うまくできてるもんだネ。

評論家の三浦瑠璃氏,私嫌いな人なんですが、ｓmanewsの

コロナの券件だけは賛同しています。(余談終わり※)

※さて,ガロア理論本題の続きです。

第９章 不可能の証明(代数方程式の根の公式)

[定義9-1]:(アーベル拡大体の定義)

ガロア群が可換群であるようなガロア拡大体を

「アーベル拡大体」という。

[定理9-1];Ｆを体(複素数体Ｃの部分体)とする。

ζを１の原始ｎ乗根とし,Ｋ＝Ｆ(ζ)とすると,Ｋは

Ｆのアーベル拡大体である。

(証明)Ｋは原始ｎ乗根ζを含むので,ｘⁿ－1の根を全て

含みます。何故なら,ζの位数はｎでζⁿ­＝1であり,定義

により,Ｋ＝Ｆ(ζ)は1,ζ,ζ²..ζ^n-1が張るＦ上のｎ次元

ベクトル空間です。ζⁿ＝1より,ζを根とする,ＫのＦ上の

既約多項式:ｐ(ｘ)は,ｐ(ｘ)＝ｘ^n-1＋ｘ^n-2＋..＋1です。

故に,ｘⁿ－1＝(ｘ－1)ｐ(ｘ)の根は.全てＫに含まれます。

(ｘⁿ－1)のｎ個の根は全て相異なりＫは(ｘⁿ－１)の分解体

であるため,ＫはＦ上のガロア拡大体です。

σを,ＫのＦ上のガロア群:Ｇの元の自己同型写像とすると,

(σζ)ⁿ＝σ(ζⁿ)＝σ(1)＝1ですから(σζ)もまた１の

ｎ乗根です。ζは原始ｎ乗根なのでσζ＝ζ^k(σ)となるｋ(σ)

が存在します。ここで,τをσとは別のＧの自己同型とすると.

τζ＝ζ^k(τ)であり,(στ)(ζ)＝σ(ζ^k(τ))＝(σζ)^k(τ)

＝ζ^k(σ)k(τ)＝ζ^k(τ)k(σ)＝(τσ)(ζ)です。(στ).(τσ)は,

共にＧの自己同型写像であり.Ｋ＝Ｆ(ζ)なので,∀α∈Ｋに

対して,(στ)(α)＝(τσ)(α)が成立します。

つまり,Ｋの上で,恒等的にστ＝τσ(可換)です。

したがって,ＫのＦ上のガロア群Ｇが可換群となるため,

Ｋはアーベル拡大体です。(証明終わり)

[注意1]:特に,素数ｐについては,１の原始ｐ乗根をζと

すると,1≦ｋ≦(ｏ－1)のときに.ｋはｐと互いに素なので

ζ^kは全て１の原始ｐ乗根です。

ｘ^p－1＝(ｘ－1)(ｘ^p-1＋ｘ^p-2＋..＋1)であり.この第２の

因数のｘ^p-1＋ｘ^p-2＋..＋1は体Ｑ上の既約多項式です。

これがζの既約多項式なので,Ｑ(ζ)は,Ｑの(ｐ－1)次

拡大体です。素数ｐでなく,一般の自然数ｎでは,1の原始

ｎ乗根ζの既約多項式は,Euler関数をΦ(ｎ)として,φ(ｎ)

次多項式であり,{Ｑ(ζ)/Ｑ}＝φ(ｎ)です。

この一般の既約多項式:ｘ^n-1＋ｘ^n-2＋..＋1を,

「円周等分多項式」といい,Ｑ(ζ)を「円分体」といいます。

[注意2]:円分体の部分体を「円体」といいます。

円体は有理数体:Ｑのアーベル拡大体です。

(クロネッカー・フェーバーの定理)

[定理9-2]:ｎを自然数とする。体Ｆは１のｎ乗根を全て含む

とする。ａ∈Ｆとし,ｘⁿ＝ａの１根αをＦに添加した体をＫ

とする。α＝ⁿ√ａと表わすと,Ｋ＝Ｆ(α)＝Ｆ(ⁿ√ａ)である。

このとき,ＫはＦのアーベル拡大体である。

(証明)(ｘⁿ－ａ)の分解体をＥとします。(ｘⁿ－ａ)は明らかに

分離的です。すなわち，(ｘⁿ－ａ)の２根をα,α~とすると

α≠α~です。このとき,αⁿ＝ａ,かつα~ⁿ＝ａより,(α~/α)ⁿ

＝1であり,ω＝(α^/α)は１のｎ乗根の１つです。

仮定により,ω∈Ｆで,α~＝ωαよりα~∈Ｆ(α)です。

よって.Ｋ＝Ｆ(α)が(ｘⁿ－ａ)の分解体Ｅであり,ＫはＦ

のガロア拡大体です。

ＫのＦ上のガロア群をＧとするとき.σ∈Ｇなら(ｘⁿ－ａ)

の根αに対して,(σα)ⁿ＝σ(αⁿ)＝σａ＝ａですから,

(σα)も,αと同様(ｘⁿ－ａ)の根です。。

そこで,ζを１の原始ｎ乗根とすると,ζ∈Ｆであり,

(σα)＝ζ^m(σ)α(0≦ｍ(σ)≦(ｎ－1))と書けます。

τ∈Ｇについては(τα)＝ζ^m(τ)αです。

これから,前定理の証明と同様に,στ＝τσ(可換)を

得ます。故にＧは可換群で,Ｋ＝Ｆ(α)はアーベル拡大体

です。(証明終わり)

[系]:ζ∈Ｆ,ａ∈Ｆのとき,Ｆ(ⁿ√ａ)/Ｆのガロア群は

巡回群である。

証明)α＝ⁿ√ａとおくとαⁿ＝ａです。

Ｆのガロア群をＧとし,σ∈Ｇとすると(σα)ⁿ＝ａなので,

σα＝ζ^m(σ)αなる整数でｍ(α)はｎを法として一意的に

定まるので,σ→ｍ(σ)という写像を考えると,これはＧ

から,{Ｚ/(ｎ)}の上への１対１写像で,Ｇは{Ｚ/(ｎ)}に

同型です。したがって,Ｇは位数がｎの巡回群です。

(証明終わり)

[定義9-1](巡回拡大体)

ガロア群が巡回群であるガロア拡大体を「巡回拡大体」

という。

※ベキ根による可解性について

[定義9-2]:(ベキ根による拡大体)

体Ｆの拡大体:ＫがＦのガロア拡大体であり.体の列:

Ｆ＝Ｆ₀⊂Ｆ₁⊂Ｆ₂⊂..⊂Ｆ_r＝Ｋが存在して次の条件が

成立するとき,Ｋを「ベキ根による拡大体」という。

• Ｆ₁＝Ｆ₀(ζ)である。ただし,ζは１の原始ｎ乗根で

ある。(2)∀ｉ(1≦ｉ≦(ｒ－1))に対して,Ｆ_i+1＝Ｆ_i(α_i)

と書ける。ただし,α_iはｘ^ｎi－ａ_i＝0のような方程式の根

である。ここで,ａ_i∈Ｆ,ｎ_i|ｎである。

そして上の体の列を,「ベキ根による拡大列」という。

※Ｆには,１の原始ｎ乗根が含まれているので,Ｆ_iには１

の原始ｎ_i乗根が含まれています。よって,Ｆ_i+1はＦ_iの

アーベル拡大体です。

そこで,Ｋ/Ｆのガロア群をＧとし,Ｆ_iに対応する部分群

をＧ_iとすると,Ｇ＝Ｇ₀⊃Ｇ₁⊃Ｇ₂⊃..⊃Ｇ_r＝1のような

部分群の列が得られます。

Ｆ_i+1がＦ_iのガロア拡大体であるための条件は,Ｇ_i+1が

Ｇ_iの正規部分群であって(Ｇ_i/Ｇ_i+1)はＦ_i+1/Ｆ_iのガロア群

に同型です。Ｆ_i+1はＦ_iのアーベル拡大体ですからガロア群

(Ｇ_i/Ｇ_i+1)は)可換群です。よってＧは可解群です。

[定義9-3]:ｆ(ｘ)をＦの１次以上の多項式とする。

ｆ(ｘ)が「ベキ根で解ける」とは,ｆ(ｘ)の分解体ＥがＦの

ベキ根による拡大体に含まれることをいう。

[定理9-2]:Ｆ上の１次以上の多項式ｆ(ｘ)がベキ根で解ける

ならば,ｆ(ｘ)の分解体:ＥのＦ上のガロア群は可解群である。

(証明)ＥがＦ上の多項式:ｆ(ｘ)の分解体であるとします。

ｆ(ｘ)＝(ｘ－α₁)・・・ｘ－α_n)(分離的);α_i∈Ｅであって,

Ｅ＝Ｆ(α₁,..,α_n)であるとします。

[定義9-3]から 体Ｆの拡大体:ＥがＦのガロア拡大体であり,

体の列:Ｆ＝Ｆ₀⊂Ｆ₁⊂Ｆ₂⊂..⊂Ｆ_r＝Ｋが存在して,次の条件

が成立するとき,Ｅを「ベキ根による拡大体」といいます。

そして,[定義8-7]から,ｆ(ｘ)をＦの１次以上の多項式とする

とき,ｆ(ｘ)が「ベキ根で解ける」とは,ｆ(ｘ)の分解体ＥがＦ

のベキ根による拡大体に含まれること,をいいます。

そして,Ｅ/Ｆのガロア群をＧとして,ＧG=Ｇ₀とおき,体Ｆの

Ｅ＝Ｆ_rまでの拡大中間体体列の,Ｆ_iに対応する部分群をＧ_iと

すると,Ｇ＝Ｇ₀⊃Ｇ₁⊃Ｇ₂⊃..⊃Ｇ_r＝1のような部分群の縮小

する列が得られますが,Ｆ_i+1がＦ_iのガロア拡大体であるための

条件は,Ｇ_i+1がＧ_iの正規部分群であって,(Ｇ_i/Ｇ_i+1)がＦ_i+1/Ｆ_i

のガロア群に同型である可換群であるときで,このＧを「可解群」

と呼ぶことは既に定義として述べました。

したがって,ｆ(ｘ)がべき根で解けるなら分解体Ｅに対する

ガロア群Ｇは可解群です。(証明終わり)

[定理9-3]:Ｆの多項式ｆ(ｘ)の分解体Ｅは,Ｆのガロア拡大体

であり,Ｇをそのガロア群とするとき,Ｅ/Ｆの中間体Ｋに対応

するＧの部分群をＮとすると,ＫはＦのガロア拡大体なので,

ＮはＧの正規部分群であり,Ｋ/Ｆのガロア群は.(Ｇ/Ｎ)に同型

です。そうして,(Ｇ/Ｎ)も,可解群です。

(証明)このシリーズ「ガロア理論の復習(6)」の[定理6-5]に,

よれば,「体Ｅが体Ｆのガロア拡大体でＧはガロア群であると

し,Ｅ/Ｆの中間体Ｂに対応するＧの部分群をＵとするとき.

∀σ∈Ｇに対して(σＢ)もＥ/Ｆの中間体であり,対応するＧ

の部分群は(σＵσ^-1)である。さらに,体Ｂが体Ｆのガロア

拡大体であるための必要十分条件はＵがＧの正規部分となる

ことである。このとき,Ｂ/Ｆのガロア群は(Ｇ/Ｕ)に同型で

ある。」とあります。このことは,既に証明済みです。

Ｇ→(Ｇ/Ｎ)の自然な準同型:ｇ→ｇＮを考えると,

(Ｇ/Ｎ)も可解群です。つまり,Ｆの拡大列に対応するＧの

縮小列:Ｇ＝Ｇ₀⊃Ｇ₁⊃Ｇ₂⊃..⊃Ｇ_r＝1に対応して,(Ｇ/Ｎ)

＝(Ｇ₀/Ｎ)⊃(Ｇ₁/Ｎ)⊃(Ｇ₂/Ｎ)⊃..⊃(Ｇ_//Ｎ)＝Ｎが

対応します。,これをＧ~_i＝(Ｇ_i/Ｎ),(Ｇ/Ｎ)

＝Ｇ~₀⊃Ｇ~₁⊃Ｇ~₂⊃..⊃Ｇ~_r＝Ｎと書くと,Ｇ~_i+1はＧ~

_iの正規部分群で(Ｇ~_i/Ｇ~_i+1)は可換群です。

何故ならｇ_i∈Ｇ_i,ｇ_i+1∈Ｇ_iとするとｇ_i^-1ｇ_i+1ｇ_i∈Ｇ_i+1

なので,(ｇiＮ)^-1(ｇ_i+1Ｎ)(ｇ_iＮ)＝{(ｇ_i^-1ｇ_i+1ｇ_i)Ｎ}

∈Ｇ_i+1Ｎであり,(Ｇ_i+1/Ｎ)は(Ｇ_i/Ｎ)の正規部分群です。

そして,Ｇ_i,Ｇ~_i＝(Ｇ_i/Ｎ)は可換群ですから,

∀σ,τ∈Ｇ_iに対して,(σＮ)(τＮ)＝(στ)Ｎ=(τσ)Ｎ

＝(τＮ)(σＮ)です。故に,(σＮ)Ｇ~_i+1＝(σＮ){(Ｇ_i+1/Ｎ)}

ですが,結局,στ＝τσであって可換なら,それらの同値類も

全て可換です。それ故,(Ｇ~_i/Ｇ~_l+1)も可換群です。

以上から,Ｇ~＝(Ｇ/Ｎ)も可解群です。(証明終わり)

[注意3]:ｎ個の変数ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_nの,有理数体Ｑ上

の有理関数体:Ｑ(ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_n)をＫとする。

Ｋにおいて,ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_nの基本対称式は,次のように

書けます。(※対称式とは変数の如何なる置換によって

も不変な整式であり,それらは基本的な基本対称式と

いう対称式の関数で表わすことができます。)

ｓ₁＝ｘ₁＋ｘ₂.＋..＋ｘ_n,

ｓ₂＝ｘ₁ｘ₂＋ｘ₁ｘ₃＋..＋ｘ_n-1ｘ_n,

・・・・・・・・・・・・・,

ｓ_n＝ｘ₁ｘ₂・・・ｘ_n-1ｘ_nです。

Ｆ＝Ｑ(ｓ₁,ｓ₂..,ｓ_n)とすると.Ｆ内の多項式

ｆ(ｘ)＝(ｘ－ｘ₁)(ｘ－ｘ₂)・・・・(ｘ―ｘ_n)

＝ｘⁿ－ｓ₁ｘ^n-1＋ｓ₂ｘ^n-2＋..＋(－1)ⁿｓ_nの分解体

が,Ｋ=Ｑ(ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_n)です。

(※(ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_nは全て相異なりｆ(ｘ)は分離的

であるとしています。)

このとき,Ｋ/Ｆは,明らかにガロア拡大体です。

[定理9-4]:ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_nを相異なる根とするＱ上

の多項式:ｆ(ｘ)の分解体Ｋ＝Ｑ(ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_n)の,

体:Ｆ＝Ｑ(ｓ₁,ｓｘ₂..,ｓ_n)上のガロア群は,ｎ次の

対称群Ｓ_nに同型である。

(証明)順列:{1,2,..,ｎ}の任意の置換をσとします。

これは{1,2,.,ｎ}→{σ(i),σ()..σ(ｎ)}なる写像

であり,ｉ≠ｊなら,σ(ｉ)≠σ(ｊ)の全単射です。

Ｋ＝Ｑ(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)の元はｘ₁,ｘ₂,..ｘ_nの有理関数

ですが,これに対して写像Π_σを次のように定義します。

すなわち,α∈Ｋがｘ₁,ｘ₂,..ｘ_nの有理関数であって,

α(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)なる関数で与えられるとき,これに

対して,Π_σ(α)＝α(ｘ_σ(1),ｘ_σ(2),..ｘ_σ(n))と定義します。

明らかに,Π_σ(α)＝α(ｘ_σ(1),ｘ_σ(2),..ｘ_σ(n))も,

(ｘ₁,ｘ₂,..ｘ_n)のＱの元を係数とする有理関数であり,

Π_σ(α)∈Ｋ＝Ｆ(ｘ₁,ｘ₂,..ｘ_n)です。

次に,Π_σがＫの自己同型写像であることを示します。

まず,∀α,β∈Ｋひ対して,(α±β)(ｘ₁,ｘ₂,..ｘ_n)

＝α(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)±β(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)ですから,

Π_σ(α±β)＝(α±β)(ｘ_σ(1),ｘ_σ(2),..ｘ_σ(n))

＝α(ｘ_σ(1),ｘ_σ(2),..ｘ_σ(n))±β(ｘ_σ(1),ｘ_σ(2),.,ｘ_σ(n))

＝Π_σ(α)±Π_σ(β)です。

また,(αβ)(ｘ₁,ｘ₂,..ｘ_n)＝α(ｘ₁,ｘ₂,..ｘ_n)

β(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)より,Π_σ(αβ)＝Π_σ(α)Π_σ(β)の成立

も自明です。故に,Π_σは,環準同型(加法,乗法で準同型)です。

しかも,σ,τ∈Ｓ_nに対して,σ≠τならΠ_σ≠Π_τ,であり

Ｇ＝{Π_σ:σ∈Ｓ_n}では,∀Π_σ∈Ｇに対して必ず,対応する

σ∈Ｓ_nが存在するのでＳ_nからＧへの写像:σ→Π_σは全単射

ですから,ＧとＳ_nは同型:Ｇ～Ｓ_nです。そして,このときＫの

自己同型群Ｇの不変体は,Ｆ＝Ｑ(ｓ₁,ｓ₂,..,ｓ_n)であることが

わかります。

何故なら,まず対称式ｓ₁,ｓ₂,..,ｓ_nは明らかに任意のＧの元

Π_σで不変です。そこで.体ＦはＧで不変ですから,Ｇの不変体

をF~とすると,Ｆ~⊃Ｆです。

それ故,(Ｋ/Ｆ)≧(Ｋ/Ｆ~)＝|Ｇ|＝|Ｓ_n|＝ｎ!です。

ところが,ＫはＦのｎ次多項式の分解体ですから,

(Ｋ/Ｆ)＝ｎ!です。

何故なら,ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_nがｆ(ｘ)のｎ個の根であるとき

Ｆ_n＝Ｆ,Ｆ_i=Ｆ(ｘ_i+1,ｘ_i+2..,ｘ_n)＝Ｆ_i+1(ｘ_i+1)とおけば,

Ｆ＝Ｆ_n⊂Ｆ_n-1⊂...⊂Ｆ₁⊂Ｆ₀＝Ｋです。

そこで,(Ｆ_i-1/Ｆ_i)≦ｉならば,(Ｋ/Ｆ)＝(Ｆ₀/Ｆ₁)(Ｆ₁/Ｆ₂)

・・・(Ｆ_n-1/Ｆ_n)≦ｎ!です。

そのためには,Ｆ_i-1はＦ_iにｘiを添加して得られる拡大体

なので,体Ｆiに係数を持ち.次数が高々ｉのｘiを根とする

(既約)多項式を見出せばよいことになります。

そこで,ｆi(ｘ)＝(ｘ－ｘ₁)(ｘ－ｘ₂)..(ｘ－ｘ_i),..,

ｆ_n(ｘ)＝ｆ(ｘ)とおけば,ｆ_i(ｘ)はｘのi次の多項式で最高次

の係数は１であり,他の係数は,Ｆ＝Ｑ(ｓ₁,s₂..,ｓ_n )の元である

:ｓ₁,ｓ₂..,ｓ_nと,Ｆ_i＝Ｆ(ｘ_i+1,ｘ_i+2..,ｘ_n)の元:ｘ_i+1,ｘ_i+2..,ｘ_n

のみの関数で与えられます。例えば,ｆ_i(ｘ)のｘの係数は,

－(ｘ₁＋ｘ₂＋..＋ｘ_i)＝－ｓ₁＋(ｘ_i+1＋ｘ_i+2＋..＋ｘ_n)です。

ｘ²の係数は,(ｘ₁ｘ₂＋..ｘ_i-1ｘ_i)ですが,これもＦの元ｓ₂と

Ｆ_i＝Ｆ(ｘ_i+1,ｘ_i+2..,ｘ_n)の元:ｘ_i+1,ｘ_i+2..,ｘ_nで表わされる

はずです。しかも,明らかにｆ_i(ｘ_i)＝0です。

故に,確かに(Ｆ_i-1/Ｆ_i)≦ｉが成立します。

したがって,(Ｋ/Ｆ)＝(Ｋ/Ｆ~)＝ｎ!となるため,Ｆ~＝Ｆ

です。つまり,ＦがＧの不変体で,Ｋ/Ｆのガロア群は対称群

Ｓ_nに同型です。(証明終わり)

[基本定理]:n≧5のｎ次多項式は,べき根で解けない。

(証明)Ｆ＝Ｑ(ｓ₁,ｓ₂..,ｓ_n)上の多項式ｆ(ｘ)がベキ根で解ける

ならｆ(ｘ)の分解体Ｅ＝Ｆ(ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_n)のガロア群Ｇに同型な

対称群Ｓ_nが可解群であることが必要です。

ところがＳ_nはｎ≧5のときは可解群でないので５次以上の

代数方程式はベキ根では解けません。

※これの詳細証明については「ガロア理論の復習(2)」で群論

のトピックとして,特に代数方程式の可解性を意識することなく,

既に,可解群や対称群について詳細に論じることでて証明されて

います。そこで必要部分を再掲載して以下の証明に代えます。

(※再掲記事:抜粋開始):第２章 可解群

体の拡大列に自己同型群の縮小する正規列が対応し,それが

代数方程式の係数を置換する対称群に関わるというのは,,随分

と先のトピックであり,環や体の説明の後に記述するのが理論

構成の本来の順序であると思いますが,,一応,群についての全て

の話だけを,予めまとめて書いたらしい私の過去ノートに従う

ことにします。

[定義2-1]:(可解群の定義):群Ｇが与えられたとき,まずＧ₀を

Ｇ₀＝Ｇとおいて,ｋ＝0,1,2,,に対し,Ｇ_ｋ＋1をＧ_kの正規部分群

とする縮小する列として,Ｇ＝Ｇ₀⊃Ｇ₁⊃..⊃Ｇ_ｋ⊃Ｇ_ｋ＋1⊃．..

をつくるとき,商群(Ｇ_k/Ｇ_ｋ＋1）が全て可換群(アーベル群)となる

正規列が,有限のｍ個でＧ_m＝{ｅ}となって終わるなら,自己同型群

Ｇを「可解群」という。

※交換子群を用いてＧ_ｋ＋1＝Ｇ~_ｋとすることもできます。

(ただし,交換子群:Ｇ~はＤ(Ｇ)とも書かれ,∀ｘ,ｙ∈Ｇに対し.

その交換子:(ｘｙｘ^-1ｙ^-1)を含む最小の正規部分群のことです。)

それ故,どんな群Ｇでも正規列を作ることは可能ですが,それ

が有限個で{ｅ},または{1}に収束するかどうか？は定かでは

ないです。{ｅ}に収束しない群Ｇを「非可解群」という。

(※縮小正規列の途中でＧ_ｋが可換群(アーベル群)となるなら,

Ｇ~_k＝{ｅ}なので,Ｇ_ｋ+1＝{ｅ}と置けば,その時点で可解群

であることが判明します。)

[定義2-2]:(部分群の指数の定義)

群Ｇの部分群Ｈの指数とは,Ｈによる(左右)剰余類の個数の

ことです。これを|Ｇ：Ｈ|と表記します。

[定理2-1](ラグランジュ(Lagrange)の定理)：

Ｇが有限群で,Ｈがその部分群であれば,指数:|Ｇ:Ｈ|

＝|Ｇ|/|Ｈ|である。

(証明)前に記述したように,Ｈによる左剰余類の場合

なら,Ｇ＝ΣａＨのように,Ｇは互いに素な剰余類の

直和で表わせます。

そして,剰余類(ａＨ)の元の個数は全てＨの位数

|Ｈ|に等しいため,|Ｇ|＝|Ｇ：Ｈ|・|Ｈ|です。

故に|Ｇ：Ｈ｜＝|Ｇ|/|Ｈ|を得ます。(証明終わり)

[定義2－3]:(対称群(置換群)の定義):

ｎ個の整数の列{1,2..ｎ}の順序を交換する写像,

σ:{1,2,..ｎ}→{ｐ₁,ｐ₂,..ｐ_n}(順列)を,ｎ次の置換

と呼び,Ｓ_nを全てのｎ次の置換を元とする集合とすれば

これは置換の積について群をなし,これを対称群(置換群)

という。※ただし,置換の積とは,合成写像を意味します。

つまり,σ:{1,2..ｎ}→{ｐ₁,ｐ₂,..ｐ_n}と,τ:{1,,2，.ｎ}

→{ｑ₁,ｑ₂,..ｑ_n}なる元(写像):σ,τ∈Ｓ_nの積は,写像

σ:ｉ→ｐ_i＝σ(i)と,写像τ:i→ｑ_i­＝τ(i)を,この順に

適用して合成すると,合成写像:(τσ)(ｉ)＝τ(σ(i))

＝τ(ｐ_i)となりますが,線形代数学では,これを

置換σと置換τの積:(στ)と定義するのが慣例です。

置換操作は可換ではないので,定義での操作順序

の規約は,参考書によっては演算の順序が逆のモノ

もあり,誤解すると混乱の種になるので注意が必要

です。

そして,実際,この積演算はＳ_nの中で閉じており

整数列の順序を全く変化させない写像:ｅ(ｉ)＝ｉ,

つまり,ｅ:{1,2..ｎ}→{1,2,ｎ}を恒等置換と呼べば

これが積演算の単位元となります。

そして,σの逆元σ^-1は,これを逆写像:σ^-1:ｐ_ｉ→ｉ,

つまり,σ^-1:{ｐ₁,ｐ₂,..ｐ_n}→{1,2..ｎ}で与えれば,

(σσ^-1)＝(σ^-1σ)＝ｅとなるので,その存在は明らかです。

また,群であるために必要な積演算の結合則は,積演算

が合成写像ですから,結合則の成立も自明でＳ_nは確かに

有限群をなすことがわかります。

[定義2-4]:(互換の定義):特にｎ個の列{1,2..ｎ}のうち.

成分ｉだけを,ｊ≠iなるｊと交換して,それ以外の成分

は不変のままの置換を,(ｉ,ｊ)と書いて「互換」と呼び

ます。このとき,互換も１つの置換ですから,もちろん

∀(ｉ,ｊ)∈Ｓ_nです。

※線形代数学によれば,任意の置換σ∈Ｓ_nは有限個の

互換の積で表わすことができます。

そうして,その因子分解は,個々のσに対し一意には

決まらないのですが.1つの置換の因子分解の因子の総数

が奇数であるか,偶数であるか？は,一意的に決まります。

そこで,奇数個の互換の積で表わせる置換を奇置換と

いい,偶数個の互換の積で表わせる置換を偶置換といいます。

Ｓ_nの置換の総数,つまり,位数|Ｓ_n|は,順列の総数に

等しいので|Ｓ_n|＝_nＰ_n＝ｎ!ですが,奇置換に左からでも

右からでも互換を１つ掛けると偶置換になり,逆に,

偶置換に互換を１つ掛けると奇置換になるので１対1

の対応があり,結局,奇置換と偶置換の個数は同じです。

故に,それぞれ,(ｎ!/2)個ずつ,あるはずです。

しかし,積演算の単位元である恒等置換ｅは,偶置換

ですから,それを含む偶置換の集合だけがＳ_nの部分群

をなし,ます。これをｎ次の交代群と呼び,Ａ_nと表記

します。

[定理2-2]:交代群Ａ_nはＳ_nの交換子群:Ｓ~_nであり,

それ故,Ｓ_nの正規部分群である。

(証明)σ,τ⊂∈Ｓ_ｎのとき.交換子:στσ^-1τ^-1を

つくると,σが奇置換ならσ^-1も奇置換,σが偶置換

ならσ^-1も偶置換で,τとτ^-1についても同様です。

それ故,交換子:στσ^-1τ^-1は常に偶置換です。

故に交換子で生成される交換子群:Ｓ~_nは交代群

Ａ_nに一致しており,既述の定理によって正規部分群

です。(証明終わり)

[定理2-3]:対称群Ｓ₂,Ｓ₃,Ｓ₄は可解群でありｎ≧5

の対称群Ｓ_nは可解群ではない。(非可解群である。)

(証明)Ｓ₂は恒等置換:ｅと互換:(1,2)のみが元で,

積は常に可換なので可換群ですから,その交換子群

は,Ｓ~₂＝{ｅ}でこれは正規部分群なのでＳ₂⊃{ｅ}

が正規列となり.明らかに可解群です。

次に,交代群Ａ_nは,Ｓ_nの指数が２の正規部分群

ですが,ｎ＝3のＡ₃は,それ自身可換群です。

何故なら,Ｓ₃の位数は６,Ａ₃の位数は３で,その

元は恒等置換:ｅ＝{1,2,3}とσ＝{2,3,1},および,

σ^-1=={3,1,2}だけですから明らかに可換群であり,

正規列:Ｓ₃⊃Ａ₃⊃{ｅ}を得るので可解です。

ｎ＝4のＳ₄についてはσ＝{ｉ,ｊ,ｋｌ}∈Ｓ₄

は,物理で用いるLevi-Civitaテンソルの非ゼロ

成分のε_ijklが＋1のとき偶置換で,σ∈Ａ₄です、,

他方,ε_ijklが(－1)のとき.σは奇置換です。

しかも,σ∈Ａ₄のとき.(1,2)σは奇置換であり

σ,τ∈Ａ₄でσ≠τなら,(1,2)σ≠(1,2)τとなり

1対1に対応します。

それ故,Ｓ₄/Ａ₄＝{Ａ₄,(1，2)Ａ₄}です。この商群

は単位元Ａ₄の他には元が１個なので可換群です。

そもそも指数が２なら.商群の位数は２で,常に可換群

です。そしてＶをＶ＝{ｅ,(ｉ,ｊ)(ｋ,ｌ)}(ただし,

ｉ,ｊ,ｋ,ｌは１～4の異なる数)とおくと,|Ｖ|

＝1＋₄Ｃ₂/2＝4です。Ｖの元である互換の積の積

は,異なる４つの互換の積:(ｉ₁.ｊ₁)(ｋ₁,ｌ₁)

×(ｉ₂,ｊ₂)(ｋ₂,ｌ₂)ですが,これは互換の順序に

依らないので可換です。

そして,|Ａ₄|＝12より,|Ａ₄/Ｖ|＝3で(Ａ₄/Ｖ)

＝{Ｖ,(1,2,3)Ｖ.(2,3,4)Ｖ}と書けますが,そもそも

位数が３の部分群は,単位元と,それ以外の１つの元

とその逆元だけが全ての元なので,明らかに可換群です。

以上から,Ｓ₄⊃Ａ₄⊃Ｖ⊃{ｅ}という正規列が得られ,,

Ｓ₄が可解群であることが示されました。

次に,ｎ≧5のＳ_nを考えます。Ｓ_nの部分群で長さ

が３の巡回置換を全て含むものをＧとします。

このときＮがＧの正規部分群ならＮもまた,

長さ３の巡回置換を全て含むことを示します。

ｎ≧5なので,ｉ,ｊ,ｋ,ｒ,ｓを1からｎまでの

うちの相異なる５文字とします。

そして,σ=(ｉ,ｊ,ｓ),τ＝(ｋ,ｒ,ｓ)とすると

仮定により,σ,τ∈Ｇです。このとき,その交換子

は,στσ^-1τ^-1＝(ｉ,ｊ,ｓ)(ｋ,ｒ,ｓ)(ｓ,ｊ,ｉ)

×(ｓ,ｒ,ｋ)＝(ｒ,ｊ,ｓ)となります。

何故なら,(ｉ,ｊ,ｓ)(ｓ,ｋ,ｒ)＝(ｉ,ｊ,ｋ,ｒ,ｓ)

で,(ｊ.ｉ,ｓ)(ｒ,ｋ,ｓ)＝(ｊ,ｉ,ｒ,ｋ.ｓ)です

から,積はｉ→ｉ,ｊ→ｓ,ｋ→ｋ,ｒ→ｊ,ｓ→ｒ

となるため,(ｒ,ｊ,ｓ)と書けて,これは長さ３の

巡回置換です。交換子群は.最小の正規部分群です

から,ＮがＧの正規部分群なら(ｒ,ｊ,ｓ)∈Ｎですが

ｒ,ｉ,ｓは任意なのでＮも全ての長さ３の巡回置換

を含むことがわかりました。

それ故.もしもＳ_nが可解群であるなら,

Ｓ_n⊃Ｓ_ｎ⁽¹⁾⊃..⊃Ｓ_ｎ^(ｒ)＝{ｅ}となる正規列がある

はずですが,そうすると最後の正規部分群:|ｅ}も

長さ３の巡回置換を全て含むべきなので,これは矛盾

です。したがって,ｎ≧5のＳ_nは非可解群です。

(証明終わり)(※再掲載記事終了)

以上でｎ≦4のｎ次代数方程式はベキ根で解けて,

ｎ≧5のｎ次代数方程式はベキ根では解けないことが

証明されました。

※一応,1994年の私のノートから初期の目的は終わりました。

このシリーズは終わりです。しかし,書き残したことで続く

かもしれません。

ガロア理論の復習(8)

※2021年12月13日(月)開始→2022年１月16日(日)

遅ればせながら,明けおめ,ことよろ。。

来月の２月１日には,生きていれば72歳になる予定です・

※(余談) 12月13日月曜夕方から,何故か血中酸素濃度

が90以下まで下がり,酸素吸入のお世話になっています。

飲食物,薬はお金さえあれば何とかなるけれど酸素不足

は自分の力じゃどうしようもないです。酸素業者のお世話

になっています。4.0リットル/分の吸入で何とかなってます。

最近.流行のオミクロンでは酸素吸入(中等症)も肺炎も少ない

ようなので,私のはコロナじゃないだろうし.弱毒化した

ウィルスの感染に,政府,自治体,マスコミ,御用学者は過剰

防衛と思えるピントハズレな対策が続いていると見えます

ね。有害でない大腸菌のようなもものの感染ならいくら

体内に増加しても大丈夫ですね

さて酸素吸入器が取れないまま,年が明けてしまいました。

新年の挨拶も余裕なく,よく呼吸困難になりますが発熱も

肺炎もなくブログもたまに書くと疲れます。少しずつ

起きて書いても,すぐ疲れてキリがなく,この話題は何とか

終わりそうなのですが長いので分割します。(余談終わり※)

※ガロア理論の本題の続きです。

第８章 有限体について

※1のｎ乗根について

[補助定理1]:可換群Ｇにおいて,ａ,ｂ∈Ｇの位数がｍ,ｎ

のとき,ｍ,ｎの最小公倍数をｋとすると,Ｇの中には位数

がｋの元:ｃ∈Ｇが存在する。

(証明)(ｍ,ｎ)＝1なら,ｋ＝ｍｎであり,ｃ＝ａｂと

すれば,このｃが求める位数がｋのＧの元です。

何故なら,ｃ^k＝ａ^ｋｂ^k＝1は明らかでありｌがｃの位数

であるとすると,ｌはｃ^l＝1となる最小の正整数です。

もしも,ｌ＜ｋならｋ＝ｌｑ＋ｒ(0≦ｒ＜ｌ)で,ｃ^ｋ＝1.

ｃ^lq＝1ですから,ｃ^r＝1によりｒ＝0が必要です。よって

ｋ＝ｌｑであり,ｌはｋ＝ｍｎの約数です。

ａ^lｂ^l＝1よりａ^l＝ｂ^-lですが,(ｂ^－l)ⁿ­＝(1/ｂⁿ)^l＝1

なので,ａ^ln＝1です。ｍがａ^ｍ＝1となる最小の正整数

であったので,ｍ/(ｌｎ)であり.ｍ/l,またはｍ/ｎです

が,これらは(ｍ,ｎ)＝1に矛盾します。故に,ｃ＝ａｂの

位数は,ｌ＝ｋ＝ｍｎです。

一般の場合,ｍ,ｎを素因数分解してｍ＝ｐ₁^e1ｐ₂^e2・・・

ｐ_s^es,かつ,ｎ＝ｐ₁^f1ｐ₂^eｆ2・・・ｐ_s^fsとします。

このとき,位数が,ｐ_i^ei,ｐ_i^fi(ｉ＝1,2,..ｓ)の元が存在します。

何故なら,ｍ＝ｐｑと因数分解できるとき,ａ^ｍ＝1ですから

(ａ^ｑ)^p＝1となり,(ａ^ｑ)は位数がｐの元となるからです。

ａ＝ｐｑと同様,ｂ＝ｐｑの場合も同様です。

そこで,ｇ_i＝(ｅ_i,ｆ_i)としてｄ_i＝ｐ_i^gi(ｉ＝1,2,..s)と

おけば,ｋ＝ｄ₁ｄ₂..ｄ_sは,ｍ,ｎの最小公倍数です。

そして,位数がｄ_i＝ｐ_i^gi(ｉ＝1,2,..s)の元が存在します。

ａ_iを位数がｄ_iの元として,ｃ＝ａ₁ａ₂・・ａ_sとすれば,

ｃがｋを位数とするＧの元です。(証明終わり)

[補助定理2]:有限可換群Ｇにおいて,元の位数の最大値を

ｋとすると,任意の元の位数はｋの約数である。

(証明)群Ｇの元の位数の最大値をｋとします。

ａ∈Ｇの位数ｍがｋの約数でないなら,ｋとｍの最小公倍数は

ｋより大きく,[補助定理1]より,これを位数とする元が存在

しますが,これはｋがＧの元の位数の最大値であるという仮定

に反します。故にｍはｋの約数です。(証明終わり)

[定理8-1](可換)体Ｆの乗法群Ｆ^×の有限部分群Ｓは巡回群

である。

(証明)|Ｓ|＝ｎとし,Ｓの任意元の位数の最大値をｒとすると,

∀ｘ∈Ｓは,ｘ^r－1＝0を満たします。

しかし,この方程式はＦの中でｒ個より多くの解を持つこと

ができないので,ｎ≦ｒです。

一方,ｒはｎの約数なのでｒ≦ｎですから,結局ｒ＝ｎです。

つまり,Ｓは位数がｎの巡回群です。(証明終わり)

[定義8-1]:(１のｎ乗根)

ｎを正の整数とする。体Ｆの元αがαⁿ＝1を満たすとき,

αを「１のｎ乗根」という。

体Ｆの有限乗法部分群Ｓの位数がｎのとき,Ｓの元は全て１

のｎ乗根である。巡回群Ｓの生成要素の数は,Eulerの関数

Φ(ｎ)で与えられるが,これら生成元を「１の原始ｎ乗根」

という。

※位数が,丁度ｎである,Ｓ＝＜ε＞＝{1,ε,ε²,..,ε^n-1}の元

が存在して,ε^kが１の原始ｎ乗根であるためには,(ｋ,ｎ)＝1

なることが必要十分です。

何故なら,εⁿ＝1より,(ε^k)ⁿ＝1ですが,もしも(ε^k)^q＝1なら,

ｎ|(ｋｑ)であり,(ｋ,ｎ)＝1の場合,ｎ|ｑより,ｑ≧ｎです。

そこで,ｎがｑの最小正整数なので,これがε^kの位数です。

逆に,(ｋ,ｎ)＝ｄ＞1なら,ｋ＝ｋ₁ｄ,ｎ＝ｎ₁ｄと書けて,

ε^k＝(ε^k1)^d＝1より,(ε^k)ⁿ¹＝1でｎ₁＜ｎですから,位数は

ｎより,小さいことになるから矛盾です。

ｎが素数ｐのとき,φ(ｐ)＝ｐ－1です。

何故なら,ｎ＝ｐ(素数)なら,「Fermatの小定理」によって,

ε^p-1＝1であり,ｋが(ｐ－1)と互いに素であるＳの元ε^kは,

ｋ＝0,1,2,ｐ－2に対応する(ｐ－1)個であるからです。

[定義8-2]:(有限体の定義)

体Ｆの元が有限個数のとき,Ｆを有限体という。

[定理8-2]:Ｆの乗法群としての単位元を1とする。このとき

Ｆを加法群として見たときの1の位数をｐとするとｐは素数

である。

(証明)ｐ＝ｑｒと因数分解できてｑ＞1,ｒ＞1とすると,ｑ＜ｐ,

ｒ＜ｐです。ところが,ｐ・1＝(ｑｒ)・1＝(ｑ・1)(ｒ・1)＝0

なので(ｑ・1)＝0,または,(ｒ・1)＝0です。

これは,1の位数がｐであるという仮定に矛盾します。

故にｐは素数です。(証明終わり)

[定義8-3]:(標数の定義)

有限体Ｆの乗法の単位元1の位数である素数ｐを「体Ｆの標数」

という。

[定理8-4]ｎ∈Ｚに,(ｎ・1)∈Ｆを対応させるとＺからＦの中

への環準同型写像が得られ,標数がｐなので,核はイデアル(ｐ)

である。よって準同型定理から,Ｆは体Ｚ/(ｐ)に同型な部分体Ｆ_p

を持つ。このＦ_pをＦの「素体」という。

Ｆの元１＋１を２,１＋１＋..＋１(ｎ個)をｎと表わすことに

すると,ｐ＝0であり.Ｆ_p＝{0,1,2,..ｐ－1}である。(証明略)

[系1]:標数がｐの有限体Ｆでは∀ａ∈Ｆに対してｐａ＝0である。

(証明)ｐａ＝ａ＋ａ＋..＋ａ＝１・ａ＋1・ａ＋..＋1・ａ

＝(１＋1＋..＋1)・ａ＝(ｐ１)・ａ＝0　(終わり)

[系2];Ｆを標数がｐの有限体とする。∀ａ,ｂ∈Ｆに対して

(1)(ａ＋ｂ)^p＝ａ^p＋ｂ^p.(2)ａ^p＝ｂ^p⇔ａ＝ｂ(証明略)

[定理8-5]有限体Ｆの標数をｐ,Ｆ_p上の次数をｆとすると,

Ｆの大きさはｑ＝ｐ^fである。さらに,Ｆの乗法群Ｆ^×は,

位数:(q－1)=(ｐ^f－1)の巡回群である。

(証明)ＦはＦ_p上ｆ次元なので,Ｆの元ω₁.ω₂...ω_fが

存在して,∀α∈Ｆは,α＝ｘ₁ω₁＋ｘ₂ω₂＋..＋ｘ_fω_f

(ｘ_i∈Ｆ_p)と一意的に表わされます。

そしてｘ_iの取り方はｐ通りあるので,αの取り方,つまり,

Ｆの大きさはｑ＝ｐfです。

Ｆ^×はＦの中で有限可換群ですから[補助定理1]により巡回群

であり,位数は(ｑ－1)＝(ｐ^f－1)です。(証明終わり)

※有限体Ｆの元は0,1,ζ,ζ²,..ζ^q-2です。（ζ^q-1＝1）

[例8-1]ｐ＝2のときＦはＦ₂の２次拡大体で,Ｆ^×は位数が３

の巡回群です。Ｆ^×＝の元はｘ＝ζ,ζ²,1であって,ｘ³＝1を

満足します。ｘ³－1＝(ｘ－1)(ｘ²＋ｘ＋1)より,ζ,ζ²は，

ｘ²＋ｘ＋1＝0の根で,Ｆ＝{0,1,ζ,ζ²}です。（終わり）

※有限体の拡大体

[定理8-6]:有限体Ｅが部分体Ｆのｎ次の拡大のとき,Ｆの

大きさをｑとすると,Ｅの大きさはｑⁿである。Ｅの乗法群

Ｅ^×は位数が(ｑⁿ－1)の巡回群である。

(証明)ＥのＦ上の基底をω₁,ω₂,..ω_nとします。

すると,∀α∈Ｅは,α＝ｘ₁ω₁＋ｘ₂ω₂＋..＋ｘ_nω_n

(ｘ_i∈Ｆ)と表わされます。|Ｆ|＝ｑよりｘ_iの取り方

はｑ通りあるため,Ｅの大きさ|Ｅ|はｑⁿです。

Ｅ^×は体Ｅの中の有限群なので,巡回群であり,位数は

(ｑⁿ―1)です。()証明終わり)

[系]:有限体Ｅは,その部分体Ｆ上,Ｅ＝Ｆ(ζ)のように,

Ｆにただ１つの元ζを添加して得られる。よって有限体の

場合も,有限次拡大体は単純拡大体である。

(証明)巡回群Ｅ^×の生成元をζとすれば,ｑ＝|Ｅ|のとき

ｒ＝0,1,2,..ｑ-2に対して,ζ^r∈Ｆ(ζ)なのでＥ×⊂Ｆ(ζ)

であり,0∈Ｆ(ζ)よりＥ⊂Ｆ(ζ)です。

一方,0.1.ζ,ζ²,..,ζ^q-1のつくる体はＦ(ζ)を含むので

Ｅ＝Ｆ(ζ)です。(証明終わり)

[定理8-7]:有限体ＥがＦのｎ次の拡大のとき，ＥはＦの

ガロア拡大体(正規拡大体)である。

Ｆの大きさをｑとするとき,σ:α→α^q(α∈Ｅ)は,Ｅの

Ｆ上の自己同型写像であり,ＥのＦ上のガロア群Ｇは,

Ｇ＝{ε,σ,σ²,．.,σ^n-1}(εは恒等写像)であり,σを生成元

とする巡回群である。

(証明)Ｅ(したがってＦ)の標数をｐとすると,ｑ＝ｐⁿです

から,∀α,β∈Ｅに対して,(α±β)^ｑ＝α^q±β^qです。

何故なら,(α±β)^p2＝{(α±β)^p}^p etc.です。

同様に,(αβ)^q＝α^qβ^qです。

したがって,σ(α±β)＝σα±σβ,σ(αβ)

＝(σα)(σβ)であり,σは自己同型写像です。

また,ａ∈Ｅに対して.σａ＝ａ,つまり.ａ^q＝ａとなる

のは,ａがｘ^q＝ｘ,つまりx(ｘ^q-1－1)＝0を満たすことを

意味します。こうしたＥの元:ｘ＝ａの個数は高々ｑ個です。

ところが,Ｆの元はｑ個あって,Ｆ^×は位数(q－1)の巡回群

ですから,∀ｘ∈Ｆ^×はｘ^q-1＝1を満たし,ｘ＝0もｘ^q＝ｘを

満たすため,ａ^q＝ａを満たす元ａ∈Ｅは.Ｆのｑ個の元に一致

します。したがって,巡回群:＜σ＞の不変体がＦです。

さらに,σの位数をｍとするとき,σ^m＝εですから.Ｅ^×の

生成元をζとすると,σ^mζ＝εζ＝ζ，つまり,ζ^qm＝ζ,or

ζ^qm-1＝１ですが,ＥはＦのｎ次拡大体なので,Ｅの大きさは

ｑⁿでＥ^×は位数が(ｑⁿ－1)の巡回群ですから,ζの位数は

(ｑⁿ－1)です。よって(ｑⁿ－1)≦(ｑ^m－1)より,ｎ≦ｍです。

一方,＜σ＞＝{ε,σ,σ²,..σ^m-1}の不変体がＦなので,

ｍ=|＜σ＞|＝(Ｅ/Ｆ)ですから,結局,ｍ＝ｎです。

以上から,Ｅは位数がｎの巡回群Ｇ＝＜σ＞を,Ｆ上の

ガロア群とする,Ｆのガロア拡大体となります。(証明終わり)

[定理8-8]:与有限体Ｆと,与自然数ｎに対して,Ｆ上ｎ次の

拡大体が存在する。

(証明)Ｆの大きさをｑとするとき,Ｆ上の多項式(ｘ^qn―ｘ)の

分解体をＥとして(Ｅ/Ｆ)＝ｎを示します。(Ｅ/Ｆ)≠ｎならＥ

の大きさがｑⁿではないので,Ｅの大きさがｑⁿなら(Ｅ/Ｆ)＝ｎ

です。ところが,αがｘ^qn―ｘ＝0の根ならα^qn＝αなので,

ｘ^qn―ｘ＝(ｘ^qn－α^qn)―(ｘ－α)

＝(ｘ－α)|(ｘ^qn-1＋ｘ^qn-2α＋..＋ｘα^qn-2＋α^qn-1)-1}ですが

ｘ＝αを最右辺の第２因数に代入,すると,ｑⁿα^qn-1－1となり

ｑは標数ｐのベキですから,これは(－1)となりゼロでないです。

よって,(ｘ^qn－ｘ)は重根を持たず,根の数はｑⁿです。この根

の全体集合をＥ~とします。

α,β∈Ｅ~とするとα^qn＝α,β^qn＝βより(α±β)^qn

＝α^qn±β^qn＝α±β,かつ,(αβ)^qn＝αβなので(α±β)⊂Ｅ~,

つ,αβ∈Ｅ~であり,さらに,α≠0のとき,(α^-1)^qn＝(α^qn)^-1＝α^-1

より,α^-1∈Ｅ~です。したがって,Ｅ~は体(Ｅの部分体)をなします。

ところで.Ｆの元ａはａ^q＝ａを満たすので,(ａ^q)^q＝ａを満たし,

ａ^qn＝ａです。故に,Ｆ⊂Ｅ~⊂Ｅです。すなわち,Ｅ~はＥ/Ｆの

中間体です。一方,Ｅは,Ｅ~とＦを含む最小の体ですから

Ｅ⊂Ｅ~です。以上からＥ~＝ＥでＥの大きさはｑⁿです。

故に,(Ｅ/Ｆ)＝ｎです。(証明終わり)

[系]:ｐを素数とする。任意の自然数ｆに対して大きさが

ｐ^fの有限体が存在する。

(証明)体:Ｚ/(ｐ)のｆ次の拡大体をつくればいいです。

(※Ｚ/(ｐ)は標数ｐの有限体です・)(証明終わり)

途中ですが,長いのでもう少しですが,ここで中断して

残念ながら先送りします。(つづく)

ガロア理論の復習(7)

※2021年12月３日(金)開始→12月13日(月)

※(余談)1941年(昭和16年)12脱8日は,日本軍

のハワイ真珠湾の奇襲攻撃で,アメリカとの戦争

が始まった日でした。もう80年も前ですか?風化

はしないんだろうなぁ。昔,DVDで「トラトラトラ」

という日米合作映画を見たら,アメリカの情報部は

全て知っていて放置したらしいです。

2001年９月11日のニューヨーク貿易センター

ビルへのテロ事件も「華氏911」という映画では,

政府上層部は,事前にわかっていて防ぐことを

しなかったたらしいし,戦争したい米上層部とか

死の商人たちは,その正当防衛とか報復とかの

口実ためには,多数の国民の命の犠牲など,何

とも思ってないらしい。と感じました。

映画はフォクションかもしれないですけどね。

まあ,火のないところに煙は立たず,とも言います。

さて,9月末頃には日本での「コロナ自然消滅仮設」

の記事をブログに書きました。ネットにはフ,ェイク

やデマが氾濫していて,取捨選択せずに鵜呑みにする

と危険なことは承知なのですが,楽観的見方として,

「オミクロン＝Ｘマスプレゼント説」というものが

ありました。コロナ変種のオミクロン株は,あまり

にも大きい突然変異,言い換えると,大きなコピー

ミスの結果であり,不安定で感染力はデルタより

はるかに強いけれど,今のところデータでは症状

は無症状か軽症で,高々風邪の発熱やセキと同じ

程度で酸素吸入も不要で重症化率もごく低いと

いうので,この「善玉ウイルス」が「悪玉デルタ株」

を駆逐し去って,コロナも終焉を迎えるのでは？

と,無責任なアウトアサイダーの私は,淡い期待を

抱いています。(※オミクロン無害説)

何でもかんでも感染したら入院だと,ただの風邪

でも医療はパンクするのでしょうがね。

さて,命の残り時間が少ない私は,何事にもアセリを

感じています。所詮,無駄な抵抗ですが。。。

今日(12/12)は,何故か頭痛,と消化不良か？嘔吐,下痢

の連続で本稿アップも日を超えてしまいました。もう

長くはないなぁ。。(余談終わり※)

※さて,ガロア理論の本題の続きです。

第７章 複素数体Ｃの部分体

※本章ではすべての体は,複素数体Ｃの部分体と

します。何故,複素数体の部分体に限定するか？

というと,今の古典的なガロアの代数方程式の

可解性の理論では重要とは思われない？体の

「標数」という概念があるからです。標数は後述

の有限体に対して定義される素数であり,複素数体

のような無限体では,標数はゼロと規定されています

が,標数がゼロでない場合,以下の,体に対する定理が

成立しないこともあります。

※既約多項式の分離性

[定義7-1](導関数の定義)

体Ｆ上のｎ次多項式:

ｆ(ｘ)＝ａ_nｘⁿ＋ａ_n-1ｘ^n-1＋...＋ａ₀

(0≦ｊ≦ｎのｊについてａ_j∈Ｆ,かつ,ａ_n≠0)

の導関数:ｆ’(ｘ)を次のように定義する。

ｆ’(ｘ)＝ｎａ_nｘ^n-1＋(ｎ－１)ａ_n-1ｘ^n-2＋..＋ａ₁

[定理7-1]:ｆ(ｘ),ｇ(ｘ)をＦ上の多項式とすると,

その和:(ｆＬｇ)(ｘ),積:(ｆｇ)(ｘ)＝ｆ(ｘ)ｇ（ｘ）

の導関数は次の性質を有する。

すなわち,

(1){ｆ（ｘ）＋ｇ(ｘ)}’＝ｆ’(ｘ)＋ｇ’(ｘ),

(2){ｆ(ｘ)ｇ(ｘ)}’＝ｆ’(ｘ)ｇ(ｘ)＋ｆ(ｘ)ｇ’(ｘ)

である。

(証明)この命題の成立は,明らかで証明は簡単なので,

省略します。(終わり)

[定理7-2]:ｆ(ｘ)が体Ｆ上の1次以上の多項式である

場合,代数数方程式:ｆ(ｘ)＝0が重根を持つための必要

十分条件はｆ(ｘ)とｆ’(ｘ)の最大公約数(最大公約式)

が1次以上の多項式になることである。

(証明)体Ｆに対して,ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]とする。

ｆ(ｘ)＝0が根(解)を持つとき,体Ｋ＝Ｆ(α)の上では,

ｆ(ｘ)＝(ｘ－α)^kｇ(ｘ)(ｋ≧1,ｇ(α)≠0)と書けます。

これを,Ｋ[ｘ]の多項式(係数にαを含む多項式)と

して,その導関数をとると,

ｆ’(ｘ)＝ｋ(ｘ－α)^k-1ｇ(ｘ)＋(ｘ－α)^kｇ’(ｘ)

となります。

故に,αがｆ(ｘ)＝0の重根で,ｋ≧2であるためには,

ｆ’(ｘ)が(ｘ－α)の1次以上の因数を持つことが必要

十分条件です。つまり,ｆ(ｘ)とｆ’(ｘ)がＫ＝Ｆ(α)

において.1次以上の公約数として(ｘ－α)を持つこと

が,ｆ(ｘ)＝0が重根αを持つために必要,かつ,十分な

条件です。(証明終わり)

[系]:ｆ(ｘ)∈Ｆ(ｘ)がＦで既約な多項式であるときは,

ｆ(ｘ)＝0は重根を持たない。

(証明)ｆ(ｘ)が体Ｆの上で既約多項式であるのに重根:

αを持つと仮定します。[定理7-1]によれば,ｆ(ｘ)＝0

が重根αを持てばｆ(ｘ)とｆ’(ｘ)がある共通根αを持ち,

ｆ(ｘ)は既約なので,体Ｆでは因数を持やないが,体Ｆ(α)

では1次因子(ｘ－α)を持ち,これは.ｆ’(ｘ)と共通の

因子となります。

ここでdegｆ(ｘ)＝ｎとするとdegｆ’(ｘ)＝(ｎ－1)＜ｎ

ですから,Ｆ内でｆ(ｘ)をｆ‘(ｘ)で割って商をｑ(ｘ),余り

をｒ(ｘ)とすると,ｆ(ｘ)＝ｆ’(ｘ)ｑ(ｘ)＋ｒ(ｘ)；

ただし,degｒ(ｘ)≦(ｎ-2),と表わすことができます。

このとき,もしもｒ(ｘ)≡0ならｆ(ｘ)＝ｆ’(ｘ)ｑ(ｘ)

となって,「(ｘ)はＦ上で可約となり,Ｆで既約という仮定

に反します。故に,剰余;ｒ(ｘ)は(ｎ-2)次以下の恒等的には

ゼロでない多項式ですがｆ(α)＝ｆ’(α)＝0なのでｒ(α)＝0

であり,ｒ(ｘ)も,Ｆ(α)において１次因子(ｘ－α)を持ちます。

さらに,ｆ’(ｘ)をｒ(ｘ)で除してｆ’(ｘ)＝ｒ(ｘ)ｑ₁(ｘ)

＋ｒ₁(ｘ)(degｒ₁(ｘ)≦(ｎ－3)）と,剰余:ｒ₁(ｘ)を求め,次に,

ｒ(ｘ)＝ｒ₁(ｘ)ｑ₂(ｘ)＋ｒ₂(ｘ)..と除法の操作を繰り返す

「ユークリッドの互除法」でｒ(ｘ),ｒ₁(ｘ),ｒ₂(ｘ)…と剰余

の次数を1ずつ下げていく列をつくると,結局最後はに剰余が

がゼロとなる場合もありこのときはｆ(ｘ)のＦでの既約性に

反します。一方,もしも剰余がゼロにならない場合,最後には

剰余はｘの1次式となり,それがｆ(ｘ),ｆ’(ｘ)の最大公約数

であり,(ｘ－α)の定数倍に一致するはずですが,剰余の列：

ｒ(ｘ),ｒ₁(ｘ),ｒ₂(ｘ),..は,全てＦ[ｘ]の元なので,最後

の(ｘ－α)の定数倍もＦの多項式となり,やはり,ｆ(ｘ)が

Ｆ上で既約多項式であるという仮定に矛盾します。

したがって,ｆ(ｘ)がＦ上で既約多項式ならｆ(ｘ)＝0

は重根を持たない,ことが示されました。(証明終わり)

※ガロア拡大体の条件

[定理7-2]:体Ｅを体Ｆのガロア拡大体とする。α∈Ｅ

のＦ上の既約多項式は,Ｅにおいて１次因数の積に分解

される。

(証明)αにガロア群Ｇの元(自己同型)を施して得られる

像のうち,異なるものの全体を,α₁,α₂,..,α_r,(α₁＝α)

とし,ｐ(ｘ)＝(ｘ－α₁)(ｘ－α₂)・・(ｘ－α_r)とします。

このとき,∀σ∈Ｇに対し,σ(α₁),σ(α₂),//σ(α_r)は

全て相異なります。ｒ=|Ｇ|です。

何故なら,σ(α_i)＝σ(α_j)であれば,両辺にσ^-1を施すと,

α_i＝α_jを得るからです。

しかも,これらはＧの元によるαの像ですから,最大ｒ個

から成るα₁,…α_rの１つの順列(置換)を与えます。

一方,ｐ(ｘ)はｐ(α)＝0を満たすＦの多項式なので,その

係数は,Ｇの不変体Ｆの元であり,σを施しても不変です。

そして,ｐ(α）＝0ですからｐ(ｘ)＝0はαを根に持ちます。

ここで,ｆ(ｘ)をｆ(α)＝0を満たす任意のＦ内の多項式と

すると,∀σ∈Ｇに対し,σ{ｆ(α)}＝ｆ{σ(α)}＝0です。

つまり。σ(α)もｆ（ｘ）＝0の根となります。

各々のσ∈Ｇに対してσ(α)は,相異なるｐ(ｘ)＝0のｒ個

の根:α₁,α₂,..,α_r,のどれかに一致するため,ｆ(ｘ)はｐ(ｘ)

の根を全て含むことになります。

それ故,ｆ(ｘ)はｐ(ｘ)を因数として持ち,ｆ(ｘ)∈(ｐ(ｘ))

です。つまり,Ｊ＝{ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ];ｆ(α)＝0}｝とするとき,

Ｊは,ｐ(ｘ)を最大公約数とするイデアルで,J＝(＠(ｘ))です。

何故ならｆ(ｘ)が可約でｆ(ｚ)＝ｐ₁(ｘ)ｐ₂(ｘ)とＦの多項式

の積に因数分解できるとき,αがｆ,（ｘ）＝0のの根でｆ(α)＝0

となるのは,ｐ₁(α)＝0でｐ₁(ｘ)∈(ｐ(ｘ))であるか,ｐ₂(α)＝0

でｐ₂(ｘ)∈(ｐ(ｘ))のいずれか,または両方であることを

意味し,ｐ(ｘ)は既約なので最大公約因子です。

つまり,ｆ(ｘ)∈(ｐ(ｘ))です。

ｐ(ｘ)はＦ上既約多項式なので重根を持たず,単根として

α₁,α₂,..α_rを持ち,しかも,これら以外には根を持ちません。

したがって,ｐ(ｘ)＝ａ_n(ｘ－α₁)(ｘ－α₂)・・(ｘ－α_r),

(ａ_n∈Ｆ,ａ_n≠0)と書けます。(証明終わり)

[定義7-2](分解体):体Ｆ上の多項式ｆ(ｘ)が,拡大体Ｋ上

の１次因子の積に分解されるとする。

すなわち,ｆ(ｘ)＝ａ_n(ｘ－α₁)(ｘ－α₂)・・(ｘ－α_N)

とする。このとき,Ｆの拡大体:Ｆ(α₁,α₂,..,α_n)をｆ(ｘ)

の「分解体」という。,

[定理7-3];ＥがＦのガロア拡大体ならば,ＥはＦ内のある

多項式の分解体となる。逆に,体Ｆ上の多項式のＦ上の

分解体はＦのガロア拡大体である。

(証明)ＥをＦのガロア拡大体とし,Ｇをガロア群とします。

,そして,(Ｅ/Ｆ)＝|Ｇ|＝ｎとし,Ｆのベクトル空間として

のＥの生成元(基底)をω₁,ω₂,..,ω_nとします。

前定理により,ω_ｊのＦ上の既約多項式をそれぞれ,ｐ_j(ｘ)

とすると,ｐ_j(ｘ)はＥにおいて1次因子の積に分解されます。

それ故,任意の多項式ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]の因数分解を

ｆ(ｘ)＝ａｐ₁(ｘ)ｐ₂(ｘ)・・ｐ_n(ｘ)(ａ≠0,ｐ_j(ｘ)は

規約モニック)とおくと,ｆ(ｘ)はＥ上で1次因子の積に

分解されます。

(※このとき,ｆ(ｘ)は「分離的」である,といいます。),

※ここで,少しくどいとも思える説明を加えます。

例えば,σ_i(ω₁)＝σ_j(ω₂)なら,ω₂＝σ_j^-1σ_i(ω₁);

(σ_i,σ_j∈Ｇ)ですから,σ_ｋ＝σ_j^-1σ_i∈Ｇのような,

あるＧの元σ_ｋが存在してω₂＝σ_k(ω₁)となります。

ｐ₁(ｘ)＝0の根ω₁と,ｐ₂(x)＝0の根ω₂がＧの自己同型

写像:σ_kで互いに写像される関係なので,既約多項式モニック

として,ｐ₁(ｘ)とｐ₂(ｘ)は同じものです。

そこで,こうしたダブルカウントのｐ₂(ｘ)を因数から除く

必要があります。

実際には,集合Ｓ={σ_i(ω_j):ｉ,ｊ＝1,2,..,ｎ},;

ただし,σ_i∈Ｇ(1≦ｉ≦ｎ)の元のうち,相異なるもの

の全体を{α₁,α₂,..,α_n}とすると,∀σ_ｋ∈Ｇに対して,

σ_k(α₁),σ_k(α₂),..σ_k(α_n)もまた,Ｓの元であり,

しかも,全て相異なるので,Ｅの元の集合として

{α₁,α₂,..,α_n}＝{σ_k(α₁),σ_ｋ(α₂),..,σ_k(α_n)}です；

任意のｆ(ｘ)でｆ(ｘ)＝ａ(x－α₁)(ｘ－α₂)・(ｘ－α_n)

＝ａ{x－σ_l(α₁)}{ｘ－σ_k(α₂)}・・｛ｘ－σ_k(α_n)｝なる

等式が∀σ_k∈Ｇに対して成立することになります。

そして,α_i∈Ｓ(1≦i≦ｎ)はある(ｋ,ｊ)で,α_i＝σ_ｋ(ω_j)

であることを意味しますから,ω₁,ω₂,..,ω_nは全てｆ(ｘ)＝0

の根に含まれます。つまり,{ω₁,ω₂,..,ω_n}⊂{α₁,α₂,.,α_n}

となります。(蛇足的な説明終わり)※

ｆ(ｘ)の(最小)分解体はＦ(α₁,α₂,..,α_n)ですが,結局,

Ｅ＝Ｆ(ω₁,ω₂,..,ω_n)⊂Ｆ(α₁,α₂,..,α_n)⊂Ｅです。

したがって,Ｆのガロア拡大体Ｅは,あるｆ(ｘ)の分解体

つまり,Ｆにｆ(ｘ)＝0の根を全て添加した体となります。

逆に,Ｅがｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]の分解体であるとします。

そして,Ｆの元を不変にするＥの自己同型写像のつくる群

をＧとします。

ここで,Ｆから分解体Ｅ＝Ｆ(α₁,α₂,..α_n)までの間の

中間体の列を想定します。Ｆ＝Ｅ₀⊂Ｅ₁⊂..⊂Ｅ_n＝Ｅ,

Ｅ_i＝Ｆ(α₁,α₂,..α_i)＝Ｅ_i-1(α_i)(1≦i≦ｎ)でます。

ところが,ｆ(α_i)＝0でありｆ(ｘ)は,体Ｅ_i-1の多項式

ですから,α_iはＥ_i-1で代数的です。故に,(Ｅ_i/Ｅ_i-1)は有限

です。そこで,|Ｇ|=(Ｅ/Ｆ)=Π_i=1ⁿ(Ｅ_i/Ｅ_i-1)より,群Ｇは

有限群です。

次に,Ｇの不変体がFであることを示します

多項式ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]のｆ(ｘ)＝0の根が全てＦに属する

なら,Ｅ＝Ｆであり,Ｇの任意の元はＦの任意の元を不変に

します。そのようなαの全体はＦから出ることはないので

Ｅ＝Ｆが,Ｇの不変体であることは明らかです。

このときは,(Ｅ/Ｆ）＝1であり,Ｇの元は単位元(恒等写像)

のみです。次に,ｆ(ｘ)＝0の根のうち,ｎ個(ｎ≧1)が,体Ｆ

に含まれていないとします。,

さらに帰納法の仮定としてＦに含まれない根の個数がｎより

小さいときには,定理が成立する,つまり,ＦがＧの不変体である

とします。

ここで,αをＦに含まれないｆ(ｘ)＝0の根としｔてｆ(ｘ)

を体Ｆ(α)の多項式と見たときも,Ｅはｆ(ｘ)の分解体です。

このとき,ｆ(ｘ)＝0のの根のうち,Ｆ(α)に含まれないもの

の個数はｎより小さいので,帰納法の仮定により,Ｅの自己同型群

はＦ(α)を不変にします。このＦ(α)を不変にするＥの自己同型

写像の群をＵとすると,ＵはＦ(α)を不変体とし,それ故,もちろん

Ｆを不変にしますから,Ｕ⊂Ｇです。

θを群Ｇの不変体の元とします。

θは,Ｕの全ての元で不変ですから,θ∈Ｆ(α)です。

αのF上の既約多項式ｐ(ｘ)の次数をｓとすると,θ

は.θ＝ｃ₀＋ｃ₁α＋ｃ₂α²＋..＋ｃ_a-1α^s-1,(ただし,

ｃ_j∈Ｆ,0≦ｊ≦(ｓ－1))と表わされます。

ｐ(ｘ)＝0は重根を持たないのでｐ(ｘ)の根をα₁,.α_s

とすると,αをα_jに写すＦ(α)からＦ(α)への同型写像:

σが存在します。同型写像の延長を繰り返して,σをＥから

Ｅの上への同型写像,つまりＧの元:τへと延長できます。

このτ∈Ｇをθに作用させると,τ(θ)＝ｃ₀＋ｃ₁α_i

＋ｃ₂α_i²＋..＋ｃ_s-1α_i^s-1.(ｉ＝1,2,.ｓ)となります。

故に方程式ｃ_s-1ｘ^s-1＋ｃ_s-2ｘ^s-2＋..＋ｃ₁ｘ＋(ｃ₀－θ)

＝0は,ｓ個の相異なる根:α₁,α₂,..,α_ｓを持ちますが,

これは,根の個数ｓが方程式の次数(ｓ－1)より多いので

方程式ではなく恒等式であることを意味するため,全て

の係数はゼロです。

特に,ｃ₀＝θですから,τ(θ)＝θ∈Ｆです。θはＧ

の不変体の任意の元でしたから,ＦがＧの不変体です。

以上から,ＧはＦを不変体とするガロア群で,Ｅは

ガロア拡大体,であることが示されました。(証明終わり)

[定理7-4]:体Ｆの２次の拡大体Ｅはガロア拡大体

である。

(証明)(Ｅ/Ｆ)＝2とすると,Ｆに含まれないω∈Ｅが存在

します。このとき,1,ω,ω²は１次従属です。

故にａ₀＋ａ₁ω＋ａ₂ω²＝0という自明でない関係式

が成立し,ωはｆ(ｘ)＝ａ₂ｘ²＋ａ₁ｘ＋ａ₀∈Ｆ[ｘ]の根

です。もしも,ａ₂＝0ならａ₀＋ａ₁ω＝0となり

ａ₀＝ａ₁＝0で自明な式となるため,ａ₂≠0です。

ｆ(ｘ)＝0の他の根は,{－(ａ₁/ａ₂^-)－ω}∈Ｅですから

Ｅはｆ(ｘ)の分解体です。そしておmrががFの元

でないので,{－(ａ₁/ａ₂^-)－ω}もFの元ではないため

ｆ（ｘ）はＦ上既約な多項式ですからＥは分離的

分解体です。よってＥ/Ｆはガロア拡大です。。

(証明終わり)

[定義7-3](単純(単)拡大の定義)

体Ｆの拡大体ＫがＦにαを添加した体で,Ｋ＝Ｆ(α)

と表わされるようなαが存在するとき,この拡大を単純

(単)拡大といい,体Ｋを単純(単)拡大体という。

※複素数体Ｃ内では「ガウスによる代数学の基本定理」

を仮定すると,体Ｆ上の∀ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]は複素数体Ｃ

の中で１次因数の積に分解します。その根を全てＦに

添加した体Ｅをつくると,Ｅはｆ(ｘ)の分解体です。

つまり,複素数体の部分体Ｆ上の多項式は複素数体の

中に必ず,分解体を持ちます。

[定理7-5](原始元定理)

体Ｆの有限次拡大体Ｋには,Ｋ＝Ｆ(γ)のようなγが

存在する。つまり有限次拡大体ＫはＦの単純拡大体である。)

(証明)ＫがＦ上有限次なら,ＫのＦ上の基底をα₁,α₂,.,.α_n

とすると,Ｋ＝Ｆ(α₁,α₂,.,.α_n)です。

帰納法を用いて証明できますが,結局,ｎ＝2も場合

に定理の成立を示せば十分であるとわかります。

何故なら,Ｆ＝Ｅ₀⊂Ｅ₁⊂Ｅ₂⊂...⊂Ｅ_n＝Ｋなる拡大

する体の列を.Ｅ_i＝Ｅ_i-1(α_i),,.,Ｅ_n＝Ｆ(α₁,α₂,.,.α_n-1)(α_n)

によって,つくると.もしもＥ₂＝Ｆ(α₁,α₂)＝Ｆ(γ)とできる

ことが示せたなら,Ｅ₃＝Ｆ(α₁,α₂,α₃)＝F(γ,α₃)＝Ｆ(γ₂)

も成立することがわかる,からです。

そこで,ｎ＝2の場合として,Ｋ＝Ｆ(α,β)とします。

α,βを根とするＦ上の既約多項式をそれぞれ,ｇ(ｘ),

ｈ(ｘ)とします。ｇ(ｘ)≠ｈ(ｘ)の場合,ｆ(ｘ)＝ｇ(ｘ)ｈ(ｘ)

の分解体をＥとするとｇ(ｘ),ｈ(ｘ)がＦで既約なのでｆ(ｘ)

は分離的です。(※ｆ(ｘ)はＥ上単根の1次因子の積に分解

されます。)

ところで,前の[定理7-2]により,分解体ＥはＦのガロア拡大体

です。そしてＫはＥ/Ｆの中間体です。ガロア拡大体の中間体

はＥのガロア群Ｇの部分群と１対１に対応るので中間体の個数

は有限です。つまり,(Ｅ/Ｆ)＝|Ｇ|が有限なので,中間体の個数も

有限です。

そこで,∀ｃ∈Ｆに対してγ_ｃ＝α＋ｃβとおいて,体K_ｃを

Ｋ_ｃ＝Ｆ(γ_c)で定義すると.これらはＥ/Ｆの中間体ですが,Ｃ

の部分体であるＦは無限体なので,ｃ∈Ｆの取り方は無数に

あります。しかし,中間体Ｋ_cの個数は有限ですからＫ_d＝Ｋ_ｃ

を満たすＦの元ｄで,ｄ≠ｃであるものが存在します。

するとＫ_ｄ＝Ｆ(γ_ｄ)＝Ｋ_ｃ＝Ｆ(γ_c)でγ_ｄ＝α＋ｄβです

から,γ_c,γ_d∈Ｋ_cであり,故に(ｃ－ｄ)β=(γc－γ_ｄ)∈Ｋ_ｃで

(ｇ－ｄ)≠0ですから,β∈Ｋcです。

そこで,α＝(γ_c―ｃβ)∈Ｋ_cも成立します。

それ故,Ｋ＝Ｆ(α,β)⊂Ｋ_cですが,γ_ｃ＝(α＋ｃβ)がＦ(α,β)

＝Ｋの元であることは,明らですからＫ_c＝Ｆ(γ_c)⊂Ｋであり

結局,Ｋ_c＝Ｋです。

したがって,γ＝γ_ｃとおけばＫ＝Ｆ(γ)と表わせることになり

,ＫがＦのの単純拡大体であることが示されました。

(証明終わり)

[系]:複素数体の中ではＦの有限次拡大体は単純拡大体

である。(これは自明です。)

[定理7-5]:ＥがＦのガロアｱ拡大体であることは,Ｆの複素数体

内へのＦ上の同型写像が,全てＥの自己同型写像であることに

同値である。

(証明まず,Ｆ上の同型写像とは,Ｆの元を不変に保つ同型写像

のことです。そして,ＥにおけるＦ上の同型写像の数をｍと

すると,,ｍ≦(Ｅ/Ｆ)＝ｎ＝|G|です。(※ＥはＦの有限次(ｎ次)

拡大体とします。)

故に,全ての同型写像はＥの自己同型写像でＧに含まれます

何故なら,GはＦを不変体とするＥの自己同型写像の全体

であり,そのｎ個の元はｍ個の中に含まれているので,,自己同型

写像でないＦ上の同型写像があるとｍ＞ｎとなって矛盾する

からです。

逆に,Ｆ上の同型写像が全てＥの自己同型写像とします。

ＥはＦの有限次拡大体ですからＥ＝Ｆ(γ)と書けます。

γのＦ上の既約多項式をｐ(ｘ)とします。このとき.ｐは２次

以上でｐ(ｘ)＝0の２根をγ,δとすると,γをδに対応させる

Ｆ(γ)からＦ(δ)への同型写像が存在します。

これが,Ｅの自己同型写像ですから,δ∈Ｅ＝Ｆ(γ)です。

つまり,Ｆ上の既約多項式ｐ(ｘ)の根が全てＥに含まれる

のでＥはｐ(ｘ)の分解体であり,よってＥ/Ｆはガロア拡大

です。(証明終わり

[例7-1]:次のα,βに対してＱ(α,β)＝Ｑ(γ)となるγを

求めます。Qは有理数体で,α＝√5ｉ,β＝√2,です。

(解)γ＝√5ｉ－√2とすると,(γ－√2)²＝―5,

γ²－2√2γ＋7＝0,故に,β＝√2＝{(γ²＋7)/(2γ)}∈Ｑ(γ)

よって,α＝√5ｉ＝(γ－β)∈Ｑ(γ),です。()終わり

[例7-2]:(ｘ⁴－2)は,有理数体Ｑ上の既約多項式です。

その分躯体は,Ｅ＝Ｑ(2^1/4,2,－2^1/4,2^1/4ｉ,－2^1/4ｉ)

ですが,これは明らかにＱ(2^1/4,ｉ)に等しいです。

そして{Ｑ(2^1/4)/Ｑ}＝4,{Ｑ(2^1/4,i)/Ｑ(2^1/4)}＝2

より,(ＥＱ)＝{Ｑ(2^1/4,ｉ)/Ｑ}＝8です。

ＥはＱ上8次のガロア拡大体です。

Ｅ内のＱを不変体とする自己同型写像は

2^1/4を±2^1/4,±2^1/4ｉに,写す４通り,,ｉを

±ｉに写す２通りの,σ:σ(21^/4)＝ｉ2^1/4,σ(ｉ)＝ｉ

と,τ:τ(2^1/4)＝－2^1/4,τ(ｉ)＝－ｉの２種から

Ｇ＝{1,σ,σ²,σ³,τ,στ,σ²τ,σ³τ}です。

※途中ですが,今回はここで終わります。(つづく)