2016年9月25日 (日)

科学記事投稿など。。雑感

 昔から,今のように金無しでヒマありなら,科学の理論を考察する

 には 最適でブログ書きの作業などもはかどりますネ。

 私,今から24年前の42歳(1992年)の11月に,バブル終わり

 かけた頃2つめの会社をやめて,プータローとなり半年くらい

 は,仕事は探してましたが見つからず,アルバイトするでもなく

 失業保険だけで暮らしていました。

 
それでも今より,はるかに月収多かったのですが,そうした

 余裕のない一時の金で飲みにいくとか,夜遊びするとかが

 できる性格ではなかったので,古書店で専門書でも買う

 くらいで,常連だった飲み屋も月イチかゼロ,金にもならない

 けどワークという名のライフワーク?
,
 
中年で始めた過去に不十分だった専門の再勉強が大いに

はかどって,現在に至ってもヤボな趣味となっていわけ

です。

 それから保険も切れた1993年夏に,まずは花火や工事現場

の夜勤交通ガードマンから,塾,専門学校,予備校講師と本来

ャイで,ためにウツ病が長いのに食うため,慣れない非常勤

講師などやって食いつないでいた頃は,本当に金無し,ヒマ

ありで「閑居して不善をなす」元気もなく中年の手習いが

続きました。

 
44歳春には,最初は陸の孤島のようだった江東区豊洲付近

1985寝(35歳)に衝動買いで購入して,さびしく一人で9年間

住んでいた,一応3DKの10階建て10階のマンションの部屋

のローンを払うのが困難となり,これを売った差額で豊島区

巣鴨駅付近に中古のワンルーム購入して,

 なお自転車操業の生活を
しながら仕事を探しているうち, 

 2000年(50歳)になる寸前の12月末にやっと派遣社員に

就職。。それから7年後には心臓手術でクビになって現在です。
 

 途中,この夜勤の20時から朝7時までの永代橋付近での仕事
 とは別に,,昼間は昔,
東京に出て最初の正社員だった,

環境アセスメントの計算をする会社に,1990年3月の辞職以来,

12年?ぶりにアルバイトで,ほぼ4年間は,1日おきの昼夜兼務

しましたが,

 これが祟ったのか?2006年12月,急に持病の慢性
糖尿病が

原因らしい心臓病。。心不全の症状が来て、翌年4月に順天堂

で今では有名な名医と呼ばれる医師に心臓バイパス手術を受

けました。。。

 それで仕事をなくして,いろいろと病気入院の明け暮れになって

いったのでした。

 その間,2006年3月下旬,まだ元気なころ ブログ
を書く趣味が

できました。

 今,66歳となっては,先も短かいし家族もないし働いて
得た

ではない余裕のない微々たる収入しかなくても,偶には遊び

たいですね。

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場の量子論第Ⅱ部(7)

  場の量子論第Ⅱ部の続きです。
 

 前回は,Dirac:ψ^とと光子場(電磁場):^が共存して

 相互作用する系を考えたとき.それらの場を正準定式化した理論

 が.座標系のLorentz変換に対して不変という,対称性を持つこと,

 の証明を試みました。

 
 まず,一般の粒子場:{φr^}r=1,.Nから成る系で.理論がLorentz

 変換対称性を持つには、Noether保存量として角運動量演算子:

 μν^が存在して, 

 i[μν^,φr^(,)](μν-xνμ)φr^(,) 

iΞμνrsφs^(,) なる交換関係を満たすことが必要である

ことがわかりました。

 
(※ただし,前回記事同様,添字:μ,νだけでなくr,sについても,

総和記号:Σを省略する記法を用いました。)
 

粒子場:{φr^}r=1,.N,

具体的なDirac:ψ^[ψα^]α=1,2,3,4光子場(電磁場):

^[k] k=1,2,3 であり,Lagrabgian密度:^. 

 L^ψ~^{iγμμ-e0γμμ^-m0}ψ^

 (1/4)μν^μν^ で与えられる電磁相互作用系では,
 

 相対論的不変性のために満たされるべき,上記交換関係は, 

 i[μν^,ψ^()]=xμνψ^-xνμψ^ 

 +(i/2)[γμ,γν]ψ^(), および, 

 i[μν^,r^()]=xμνr^-xνμr^ 

 +(μνs-gνμs)s^()  

 なる条件式を意味します。.
 

 そして,結局,演算子:μν^,

μν^=∫d30μν^(), 

0μν^()= μ0ν-xν0μ(i/2)[γμ,γν]ψ^() 

(μνs-gνμs)s^() と表わされるため,

 
すぐ前に,成立することを確認した平行移動対称性に関する

関係:i[μ^,ψ^()]=∫d3[0μ^ (),ψ^ ()]

=∂μψ^ ,および,

i[μ^,^()]=∫d3[0μ(),^ ()]=∂μ^ 

を用いると,チェックすべき角運動量の交換関係については,

再び詳細な具体的で冗長な計算をすること無しに,ほぼ自動的

に成立することがわかる. と述べました。

  
しかし,実はこれには落とし穴がありました。

それは光子場(電磁場)^のゲージ条件に関わる問題です。

 特に,ここで理論定式化のためにに採用したCoulombゲージ:

^0 ,明らかにLorentz変換に対して不変ではなく,
 座標変換すると,この場が横波であるべき.という条件は満た

されなくなります。

  
この問題には,自由光子場の項でも遭遇したことを

思い出しました。というところで、前記事は終わりました。

 
さて,今回,その続きですが,ψについては,先述の論議手順

問題無しで,また,電磁場の空間ベクトル成分:^ or r^

(r=1,2.3)について,もしもLorentz変換を3次元の空間回転

限定するなら,∇A^0 は空間回転不変な性質なので問題無い

はずです。

 
しかし,そもそも独立なAr^(r=1,2.3)だけでなく,0^=Φ^

含めて4元ベクトルをなすことが,相対性理論と上記の交換関係

にとって必要ですから,光子場については修正を余儀なくされます。

 ここで,まず,以前,自由光子場で,この同じ問題に遭遇したとき,

どのように処理したかを見るため, 201211/2612/05アップ

した場の量子論第Ⅰ部の過去記事:

相対論的場の量子論(正準定式化)(34),(34-2)の必要部分

以下に再掲載したいと思います。

 
※余談ですが,これらの記事をアップしたのは,丁度,

帝京大学病院に右眼の手術のため入院した前後でした。

 
2011年春,東北大地震の後に,帝京大学病院で左眼の

糖尿性網膜症(眼底出血),,白内障の手術を受けたのに

続いて.2012年春,福島会津若松にボランティアに行った直後

今度は右眼も同じ手術を受けました。

 
それにも関わらず,秋になって再び,右眼の眼底出血を起こして,

11月末に同じ帝京大学病院眼科に入院することになったのでした。

 
しかし,眼科は手術が終われば,すぐに退院なので,12月初めには

もう退院していました。この頃は,足ではなく眼の疾患で入院を

繰り返していましたね。
 

その後,インスリン投与のため,高血糖で眼底出血するより,低血糖

での脳からの血液の網膜の酸素欠乏で,一時的に眼が見えなくなる

方が多くなり,最近では眼の外科治療は受けていません。

  今は,足と心臓の治療で,もっぱらお茶の水の順天堂大学付属医院

でお世話になっています。※
 

さて,光子の場:A^Dirac:ψ^と共存して,電磁相互作用する

場合,電磁場単独の自由光子場の論議との唯一の違いは,

∇E^=-∇2Φ^0 ではなく,∇E^=-∇2Φ^=ρ^

=e0ψ^ψ^0 なので,0^=Φ^=0 とすることはできない

ことです。


 
Coulombゲージ:^0 は,そのままですが. 

Φ^(,){0/(4π)}∫d3

[ψ^(,)ψ^(,)/|y-x|]であり, ^0 ,

かつ,A0^=Φ^=0,の輻射ゲージではなくなるのが,

大きな違いです。

  
しかしながら,0^=Φ^は相変わらず,光子場:^

とは常に交換するため,光子場の観点から見ると,単なる

-数と見なせて,やはり,,[μν^,0^()]0

成立します。
 

 その他には,当然;□Aμ^=jμ=eψμψ^とか,

運動方程式が場のそれ:;□Aμ^=0 とは異なるのは,

もちろんですが,過去の記事でかなり詳細に論じられている

ので,まず,それを見て,こうした違いの部分だけを注意して

修正すれば,いいと思ったわけです。

 
(※ ↓ 以下は,再掲載記事です。)

 「
相対論的場の量子論(正準定式化)(34)」(201211/26)
 

 まず,前回,(33)の最後の部分を補足しながら再掲します。
 

μ^()が4元ベクトルの変換性を持つと仮定したとき, 

相対的に運動している2つの慣性座標系間の変換の生成子: 

0k^=-0k^, 0k^

∫d3:πr^(0k-xk0)^+Ξ0krsπr^s^+xk^ 

∫d3:πr^(0k-xk0)^(δ0δsk-δrkδs0)πr^s

^+xk^で与えられます。
 

※※(34-1):場のLorentz変換の生成子:μν^, 

μν^∫d3 0μν^ ; 

0μν^=∑r{πr^(μν-xνμ)φr^} 

(μη0ν-νη0μ)^r,s Ξμνrsπr^φs^ なる表式で

与えられます。

 
このφr^(x)が電磁場μ^(),これが4元ベクトルとして

変換する場合には,上式でφr^λ^に変えると, 

0μν^=πλ^(μν-xνμ)λ^+Ξμνλρπλ^ρ^ 

(μη0ν-νη0μ)^  と書けます。 

(※ただし,ημν,空間が平坦なMinkowski空間の場合の

Riemann計量テンソル成分:μνを意味します。)

 
この場合,Ξμνλσ=δλμδσν-δλνδσμ なので, 

μν^∫d3[πλ^(μν-xνμ)λ^+Ξμνλρπλ^ρ^] 

-∫d3{(μη0ν-xνη0μ)^} となります。

 
これに,今の輻射ゲージ:∇A=0,0^=π0^=A0^0  

も成立すると仮定して正規順序を取れば,上記表現: 

0k^

∫d3:πr^(0k-xk0)^+Ξ0krsπr^s^+xk^ 

∫d3:πr^(0k-xk0)^(δ0δsk-δrkδs0)πr^s^

+xk^: が確かに得られます。

 
※添字の上げ下げが気になるかもしれませんが,相対論では時空

座標をμ(0,1,2,3)(,)としたとき,共変(covariant)

ベクトルとは,座標系の変換に対して,その成分が時空座標による

微分係数:μ(0,1,2,3,)(/∂x0,/∂x1,/∂x2, /∂x0,)(/∂t,) の成分と同じように変換されるベクトル

のことです。

 
これに対して元の時空座標と同じ変換性のベクトルを反変ベクトル 

と呼びます。

  反変ベクトルは上添字,共変ベクトルは下添字で表わし,

ギリシャ文字μ,ν,λ、・・は4元ベクトル添字の0,1,2,3,;

ラテン文字ijklm,;;p,q,r,sは,空間ベクトル添字

の1,2,3を表わすのが慣例です。

 
そこで,πλ^≡∂^/(∂Aλ^/∂t)のように,スカラーを 

反変ベクトルで微分したものは共変ベクトルとなって,添字

が上下逆転します。

 
今の場合は,空間成分は,単にπr^=-πr^(r=1,2,3)

なので,0k^

=-∫d3:πr^(0k-xk0)^+Ξ0krsπr^s^+xk^ 

=-∫d3:πr^(0k-xk0)^

(δ0δsk-δrkδs0)πr^s^-xk^と書けます。

この表現なら角運動量として違和感はないでしょう。

 
さらに余談を続けると.同じ量;Aの反変ベクトルとしての

成分:μと共変ベクトルとしての成分Aμ,Riemann

metric tensor(計量テンソル):μνによって,

μ=gμννなる関係式で結び付けられています。

 
座標変換の不変量=スカラーを与えるベクトルの内積は見掛け

の上で反変ベクトルと共変ベクトルの積の形:(,)≡Aμμ

=gμνμμで定義されます。

 
そして,特に行列(μν)の逆行列:(μν)-1(μ,ν)成分を

μνと書きます。すると,μ=gμνν(,)=Aμμ

=gμνμν とも書けます。

 
しかし,特殊相対論の慣性系の間の座標変換であるLorentz変換

を問題とするケースでは,時空は曲がったRiemann空間ではなく,

計量は平坦なMinkowski-metricであってgμν=ημνなので,

反変,共変の区別や添字の上げ下げは煩雑なだけ,添字の上下

も符号が変わるだけで,さほど重要な意味はありません。

 
事実,Landauや西島などは,謂わゆるPaulimetric:つまり

反変,共変を区別せず,時空座標はxμ(1,2,3,4)

(,i)であるとして時間変数のみを純虚数とし,一般の

4元ベクトルでも第4変数は純虚数として,

  
内積も
普通に(,)≡Aμμと定義して,Euclid空間

のような扱いをしています。

  
しかし,基礎物理学や光速cが効くようなスケール,または

時空の性質がオ-ダー的に影響し得る分野の多くのテキスト

では,理論が,いずれは特殊相対論から一般相対論の定式化へ

と発展するであろうという認識から共変と反変を区別し,添字

の上げ下げが用いられているようです。 

 
(34-1終わり※※)

 
さて,自由電磁場のLagrangian密度の陽な形は. 

^=-(1/4):Fμν^μν^:=(1/2)2^2

ですが,

 
π^^=-∂^/∂t=-d^.or πr^=-πr^rd^,

^=∇×^を代入すれば, ^(1/2){d^2(∇×^^)2}

(1/2){π^2(∇×^^)2} と書けます。

 
したがって,Lorentz回転の生成子:0k^=-0k^ 

0k^∫d3:x0r d^kr^-xkd^2

(1/2)k{d^2(∇×^)2}

∫d3:x0r d^kr^(1/2)k{d^2(∇×^^)2} 

=-∫d3:x0πr ^kr^(1/2)k{π^2(∇×^)2} 

とも表現されます。

 
しかし,現実には,Lorentz変換の下で,μ^は単純に4元ベクトル 

としては変換せず,追加のゲージ変換をも受けるとして,

新座標系でも輻射ゲージが保持されるように補償されなければ,

新しく変換された座標系で同じ電磁場の量子論を展開すること

ができません。

 
実際,0^(,)輻射ゲージでは恒等的にゼロなので,

明らかに恒等的に,i[0k^,0^(,)]0 ですが,上記の

4元ベクトルを仮定した定義から,

 
μν
^生成子なら,

i[μν^,λ^()](μν-xνμ)λ^()

+Ξij λρρ^()となるべきですから, 

特にi[0k^,0^(,)](0k-xk0)0^(,) 

(δ00δsk-δ0kδs0)s^(,)k^(,)

となるべきです。

 
しかしながら,i[0k^,0^(,)]0 ,かつ, 

i[0k^,0^(,)= Ak^(,) 0 となることはない

ので,これは,既に矛盾です。

 
前回(33)の最後はここまででした。※
 

既に上では,前回の補足のため,()を1つ入れましたが,今日

の記事は,さらに上記の最後の式を裏付けるための次の()

から入ります。

 
※※(34-2):まず,0^(,)0ですから,明らかに 

 i[0k^,0^(,)]0 というのは問題ないです。
 

一方,:φr^()に対するLorentz変換の生成子:μν^

満たすべき式は,

i[μν^,φr^()]=xμ(∂φr^/∂xν)

-xν(∂φr^/∂xμ)+Ξμν rsφs^() です。

  
よって,仮に,μ^(,)が4元ベクトルとして変換される

なら,それから構成される生成子 Mμν^Boost部分 M0^

とA0^(,)の交換関係は,

i[0^,0^(,)](0k-xν0)0^(,)

(δ00δrk-δ0kδr0)r^(,)

満たすはずです。

 
そして,(δ00δrk-δ0kδr0)(,)s^(,)k^(,)

ですから,上記の満たすべき交換関係式の右辺に,

0^(,)0 を代入すると,これは,

i[0,0^(,)]=Ak^(,) となります。

 
(34-2終わり※※)

 
また,同じく,0k^∫d3:x0r d^kr^-xkd^2

(1/2)k{d^2(∇×^)2} 

=-∫d3:x0πr ^kr^(1/2)k{π^2(∇×^)2} 

を実際に,j^(,)との交換関係:i[0k^,j^(,)]

代入すれば,

[πr ^(,),j^(,)]iδtrrj()により, 

i[0k^,j^(,)](0k-xk0)j^(,) 

+∫d∫d(2π)-3[{ d^(,)qqr/2}

×ykexp{i()}] となります。
 

※※(34-3):何故なら, 

まず,交換関係:i[0k^,j^(,)],

0k^∫d3:y0r d^(,)ykr^(,) 

(1/2)k{d^2(,)(y×^(,))2} 

=-∫d3:y0πr ^(,)ykr^(,) 

(1/2)k[π^2(,){y×^(,)}2] 

を代入します。
 

これについて,唯一ゼロでない修正された正準交換関係 

[πr ^(,),j^(,)]iδtrrj()を考慮します。
 

ただし,δtrrj()≡∫d3^(2π)-3 

{δrj(rj/2)} exp{i()} 

=δ3()∫d3^(2π)-3(rj/2) exp{i()} 

です。

 
故に,同時刻:0=x0=tを想定して, 

i[0k^,j^(,)] 

=∫d3[0δtrrj()ykr^(,)

kδtrrj()πr^(,)

=x0kj^(,)+xkπj^(,)

-t∫d3∫d3^(2π)-3{yk^(,)j/2}}

exp{i()}

-∫d3∫d3^(2π)-3{kπ^(,)j/2}

exp{i()} となります。

ところが,前に見たように,^(,)が∇y^(,)0

を満たすなら

∫d3∫d3(2π)-3[y,k^(,)j exp{i()}/2]

0 ですから,π^=∂0^-∂^/∂t=d^を考慮すると,
 

i[0k^,j^(,)](0k-xk0)j^(,) 

  +∫d3∫d3^(2π)-3{kd^(,)j/2}

 exp{i()} が得られます。 

 (34-3終わり※※)

 
さて,「相対論的量子論(正準量子)(9)」で見たように, 

座標変換:~=ax+b or ~μ=aμνν+bμ

に対して,古典的には,場が,φ~r(~)=Srs()φs()

と変換される場合,

 
量子論では,ユニタリ演算子:^(,)が存在して, 

^(,)φr^()^(,)-1=S-1rs()φs^(~)

となります。

 
無限小Lorents変換:~μ=xμ+εμνν; ενμ=-εμν

では,^(1+ε,0),^(ε)=U^(εμν)

1(i/2)εμν(μν^ (μν^Hermite演算子)と書き,

μν^Lie代数とか,変換の生成子(generator)と呼びます。

 
すると,φr^()がベクトル:λ^()のときには, 

μ^(~)=Aμ^()+εμνν^(),なので, 

-1rs(1+ε)φs^(~),μ^(~)-εμνν^(), 

or μ^(~)-εμνν^() となります。

 
故に, φr^() → Aλ^(),

^(1+ε,0) → U^(εμν) 1(i/2)εμνμν^について,

^(1+ε,0)φr^()^(1+ε,0)-1=S-1rs(1+ε)φs^(~)

,^(ε)μ^()^-1(ε)

=Aμ^()(i/2)εμν[μν^,λ^()]

=Aμ^(~)-εμρρ^(~)  を意味します。

 
特に,ε0=-ε0のみゼロでない回転を伴わな慣性系間

Boost変換でのA0^()の変換では,

^(ε)0^()^-1(ε) 

=A0^()(i/2)ε0k[0k^,0^()]

(i/2)ε0k[k0^,0^()]

=A0^()iε0k[0k^,0^()]

0^(~)-ε0kk^(~) のはずです。

 
しかし,0^()0 の輻射ゲ^ジを変換後も保持する

には,^(ε)0^(~)^-1(ε)=A0^()0であるべき

なので,実際の変換性は,

^(ε)0^(~)^-1(ε)=A0^() 

{0^(~)-ε0kk^(~)}+ε0kk^(~)

となります。,

 
また,同じBoost変換に対してAj^()の変換は 

^(ε)j^(~)^-1(ε) 

=Aj^()(i/2)ε0k[0k^,j^()]

(i/2)εk0[0k0^,j^()]

=Aj^()iε0k[0k^,j^()]

=Aj^(~)-εj00^(~)=Aj^(~)

のはずです。

 
しかし,実際は,

i[0k^,j^(,)]=-i[k0^,j^(,)] 

(0k-xk0)j^(,) 

+∫d3∫d3^(2π)-3{kd^(,)j/2}

exp{i()} なので,

 
^(ε)j^(~)^-1(ε)=Aj^()iε0k[0k^,j^()] 

=Aj^()+ε0k(0k-xk0)j^(,) 

-ε0k∫d3∫d3^(2π)-3{kd^(,)j/2}

exp{i()} 

=Aj^(~) -ε0k∫d3∫d3^(2π)-3

{kd^(,)j/2}exp{i()} です。

 
ここで, 1/(4π||)

=∫3^(2π)-3(1/2)exp{i()} なる公式から,

kd^(,)/(4π||) 

∫d3(2π)-3{kd^(,)/2}exp{i()}

です。

 
しかし,Coulombゲージ条件:∇A^0 から, 

0=∫d3y{kd^(,)/(4π||)} 

∫d3∫d3(2π)-3{ikd^(,)/2}exp{i()} 

jδjk∫d3∫d3(2π)-3{d^(,)/2}exp{i()} 

∫d3∫d3{yd^(,)/2}exp{i()} なので,
 

i∫d3∫d3(2π)-3{kd^(,)/2}exp{i()} 

∫d3∫d3(2π)-3{k d^(,)/2}exp{i()}

0 であり,
 

故に,∫d3∫d3(2π)-3

{kd^(,)j/2}exp{i()}

=-i(/∂xj)∫d3∫d3(2π)-3

{kd^(,)j/2}exp{i()} 

(/∂xj)∫d3∫d3(2π)-3

{k d^(,)/2}exp{i()} 

=-(/∂xj)∫d3{k d^(,)/(4π||)}

です。

よって,^(ε)j^(~)^-1(ε) 

=Aj^(~)-εj00^(~)} 

-εk0j[∫d3{k d^(,)/(4π||)}] 

が得られます。
 

一方,Gaussの積分定理から, 

k^(,)=-∫d3{y2k^(,) }/(4π||))

 であり,□Ak^(2-∂2/∂t2)k^0 より,

 2k^=∂2k^/∂t2なので,
 

k^(,)

=-(/∂t)∫d3{y2k d^(,) }/(4π||)) 

です。

 
よって,^(ε)0^(~)^-1(ε) 

{0^(~)-ε0kk^(~)}+ε0kk^(~) 

{0^(~)-ε0kk^(~)} 

-ε0k0[∫d3{y2k d^(,) }/(4π||)]]  

を得ます。

  
以上から,

Λ^(,ε)=∫d3{y2k d^(,) }/(4π||)) 

とおけば,^(ε)λ^()^-1(ε)

=Aλ^()(i/2)εμν[μν^,λ^(,)] 

=Aλ^(~)-ελρρ^()-ελρρΛ^ (,ε)

が得られます。

 
ただし,ελρが空間回転:εijのみの場合,Λ(,ε)はゼロ.

または定数であり,ρΛ^ (,ε)0 です。

 
したがって,このΛ^(,ε),この変換に伴うゲージ変換の

ゲージ関数を与えることがわかります。

 
入院のための準備もあるので,ここで終わります。
 

(参考文献):J.D.Bjorken S.D.Drell  

Relativistic Quantum Fields” (McGrawHill)

 
2012年11月26日アップの記事の再掲載はここで終わり,

 ここからは,次の記事である, 

「相対論的場の量子論(正準量子化)(342)(34の補遺) 

に続くのですが,

長くなるので,ここで一旦切って2つ
 に分けることにします

(つづく)


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2016年9月22日 (木)

場の量子論(第Ⅱ部)(6)

 場の量子論第Ⅱ部の続きです。
 

Lorentz不変性(Lorentz Invariance)の論議に向かいます。
 

すぐ前の場の量子論第Ⅰ部の関連部分をまとめた記事: 

「場の量子論第Ⅱ部(4)」によれば,
 

N個の独立な古典的場:φr()(r=1,2,)がある系のケース

では,座標系の無限小変換;μ → x~μに対して,これらの場が, 

φr() → φ~r(~)と変換されるとすれば,

系のLagrangian密度:[φr(),μφr()],

~[φ~r(~),μφ~r(~)]に変換されるのですが,
 

もしも,このx → x~,φr() → φ~r(~)に対して,

理論が不変,場の従う基本方程式(Euler-Lagrabge方程式)

の形が不変という対称性がある場合,Lagrangian密度の関数形

も不変(~=L)と仮定しtて, 

[φ~r(~),μφ~r(~)][φr(),μφr()]

とします。

 (
※ このLagrangian密度不変は,必要条件ではなく,単に

十分条件過ぎませんが,Noetherの処方は,こう仮定して

保存量を導きます。)

このとき,

δ[φr(~),μφr(~)](φr(),μφr()) 

とおけば,

δ[φr(~),μφr(~)][φ~r(~),μφ~r(~)] 

でもあります。
 

よって,,δ,同じx~における関数の差(変分):

δφr=φr(~)-φ~r(~) に対する,の変分です。
 

平行移動;μ → x~μ=xμ+εμのときは,

φ~r(~)=φr()なので,

δφr=φr(~)-φr()=εμ(μφr) でした。
 

一方,無限小LorentzZ変換:μ → x~μ=xμ+εμνν; 

ενμ=-εμνに対して,Lagrangian密度が不変のときは, 

 → x~,に対してφr() → φ~r(~)=Srsφs()

と変換されるとすると,逆に,φr()=S-1rsφ~s(~)

です。
 

そこで, Lagrangian密度のLoentz不変性の要求: 

[φr(),μφr()][φ~r(~),μφ~r(~)] 

,[S-1rsφ~s(~),~μ-1rsφ~s(~)]

[φ~r(~),~μφ~r(~)] を意味します。
 

この場合,δφr=φr(~)-φ~r(~)

=φr(~)-Srsφs()=-{φ~r()-φr()}

=-{φ~r()-S-1rsφ~s()} ですが,
 

無限小変換なので,rs=Srs(ε)と書くと, 

rs(ε)=δrs(1/2)Ξμν rsεμνと表現され,  

逆に,-1rs(ε)=δrs(1/2)Ξμν rsεμν 

となります。
 

したがって,

δφr=φr(~)(δrs(1/2)Ξμν rsεμν)φs() 

=φr(~)-φr()(1/2)Ξμν rsεμνφs() であり,

 
結局,δφr=εμνν(∂φr/∂xμ)

(1/2)Ξμν rsεμνφs() です。
 

このLorentz不変性からNoetherの処方により,連続の方程式: 

μνλ/∂xμ0 を満たす,角運動量密度テンソル: 

μνλ{(/μφr)(νλφr-xλνφr+Ξνλrsφs)} 

(νμλ-λμν)L が導かれます。
 

これにより Mνλ=∫0νλ()3と定義すると, 

このMνλ,dMνλ/dt=0 を満たす運動の常数となり, 

これは,古典的な角運動量と同定されます。
 

これを,対応原理に基づき量子化された演算子として 

演算子記号:^を付加すると,νλ^=∫0νλ^()3  

であり,μνλ^

{(^/μφr^)(νλφr^-xλνφr^+Ξνλrsφs^)} 

(νμλ-λμν)^  です。
 

 ただし,添字:μ,νだけでなくr,sについても総和記号: 

Σを省略しました。
 

(6-1);ここで,「場の量子論第Ⅱ部)(4)」にまとめた

2012年の場の量子論第Ⅰ部の過去記事:

相対論的場の量子論(正準定式化)(6),(7),(8) 

を参照するだけでは,以下の論議には足りないので,

 それらに続く,20123/23
記事: 

「相対論的場の量子論(正準定式化)(9)」をも以下

に再掲載します。
 

(※※ ↓ 以下,再掲載記事です。)
 

前記事では,Poicare'群に属する座標変換:

x'μ=aμνν+bμよって関係付けられる別のLorentz

座標系S(の観測者にとっては,
 

あるユニタリ(unitary)演算子;^(,)が存在して, 

2つのLorentz系で対応する状態ベクトルの間に. 

|Φ'α>=U^(,)|Φα>なるユニタリ変換が

なされることで望ましい変換が得られると仮定しました。
 

これを期待値について古典論との対応原理を示す式: 

<Φ'α|φ^r(x')|Φ'β>=Srs()<Φα|φ^s()|Φβ 

に代入すると, 

<Φ'α|-1rs()φ^s(x')|Φ'β>=<Φα|Uφ^r() -1|Φβ 

です、
 

これから,^(,)φ^r() ^(,)-1

=S-1rs()φ^s(x') が得られます。
 

前回は,この後.特にa=1の平行移動:x'μ=xμ+bμ

という,回転もBoostも全く無い,rs()=Srs(1)=δrs

場合を考えて,対称性に伴なう保存量(演算子)として.

エネルギー・運動量4元ベクトル:μ^(^,^)を得ました。
 

今回は,a=1ではない一般のLentz回転:x'μ=aμνν

を考えます。
 

無限小平行移動:x'μ=xμ+εμに対する, 

^(1,ε)exp(iεμμ^)1iεμμ^のアナロジー

,無限小Lorentz変換:x'μ=xμ+εμνν(ενμx=-εμν)

に対応するユニタリ演算子を,Hermite演算子:μν^を生成子

(Lie代数)とする形で,^(1+ε,0)1(i/2)εμνμν^

表わします。
 

(※※ ↑ 平行移動の変換では,^(1,ε)exp(iεμμ^)

1iεμμ^としたのに,上の定義では,

^ (1+ε,0)1(i/2)εμνμν^,両者で生成子に

ついての符号や係数が異なるのが気になります。
 

そこで,以下に,この理由を述べておきます。
 

すなわち,上の定義では,無限小平行移動のユニタリ変換

,^(1,ε)exp(iεμμ^)1iεμμ^

1iε0^iε^exp(iε0^)×exp(iε^)

と書き下すことができ,
 

 一方,原点を固定した無限小Lorentz変換に対する

 ユニタリ変換,^(1+ε,0)exp(iεμν μν^/2)

 1(i/2)εμνμν^と書けます。
 

  これを見ると,後者はz軸(3)のまわりの無限小回転角:

 δφの空間回転の場合なら.

 ^(1+ε,0)1-iδφ 3^1(i/2)(ε12 12^+ε21 21^) 

となります。(※※ 何故なら,この回転では,ゼロでない無限小

パラメータは,ε12=-ε21=δφ のみであり, 12^=- 21^

3^であるからです。※)
 

  それ故,平行移動:1iε0^などの時間軸という特別

 な軸を除いた空間部分だけで両者の表現を比較し.

 (1/2)( 12^ 21^) 3^と書けば,実は両者の符号

 も係数も同じである,ことがわかり,違和感は解消される

 と思います。※※)
 

さて,上述のように,μν^,ユニタリ演算子:

^=U^(1+ε,0),exp{(i/2)εμνμν^}

1(i/2)εμνμν^と表現する独立な6個のHermite

演算子ですが,

  
この形式と,場の行列要素不変の条件
 

^φ^r()^-1=S-1rs(ε)φ^s(x’);  

ただし,rs(ε)=δrs(1/2)Ξμν rsεμν)
 により,

 

無限小変換での場の演算子の変換は, 

{1(i/2)εμνμν^}φ^r() {1(i/2)εμνμν^} 

=S-1rs(ε)φ^s(x+εx) を満たすべきであるため,
 

i[μν^,φ^r()]

=xμ(∂φ^r/∂xν)-xν(∂φ^r/∂xμ)

+Ξμν rsεμνφ^s() なる交換関係を得ます。
 

※※(9-1): 何故なら,まず, 

{1(i/2)εμνμν^}φ^r(){1(i/2)εμνμν^} 

Iδrs(i/2)Ξμν rsεμν)}φ^s(x+εx) から,
 

iεμν[μν,φ^r()]

2φ^r(μ+εμνν)2φ^r()-Ξμν rsεμνφ^s()

2(∂φ^r/∂xμ)εμνν-Ξμν rsεμνφ^s() 

ですが,無限小Lorentz変換でなので,ενμ=-εμν です。
 

そして,最右辺の最後の項は,2(∂φ^r/∂xμ)εμνν 

(∂φ^r/∂xμ)εμνν(∂φ^r/∂xν)ενμμ 

=-εμν{μ(∂φ^r/∂xν)-xν(∂φ^r/∂xμ)}  

と書けます。
 

故に, iεμν[μν,φ^r()]

=εμν{μ(∂φ^r/∂xν)-xν(∂φ^r/∂xμ) 

+Ξμν rsφ^s()} となります。
 

ところが,εμνは任意の無限小の反対称テンソルですから, 

結局,i[μν^,φ^r()]=xμ(∂φ^r/∂xν)-xν(∂φ^r/∂xμ)

+Ξμν rsεμνφ^s() が得られるわけです。
 

(※※ ↑ 元ネタのノ-トには,当時,初学者の私らしくこれの

証明も細かく書いてありますが,冗長な割に直線的で簡単なので

ここではブログの意図には反しますが,省略します。)

(9-1終わり※※)
 

そして,前の平行移動と運動量の対応のケースと同様,

Lorentz変換を起こす生成子(generator)であるMμν^,

古典的な角運動量テンソル:μν=∫d30μν

=∫d3(μ0ν-ν0μ+∑rπrΞμνrsφs)

に同一視します。
 

すなわち,μν^を角運動量テンソル演算子として,

μν^ ~ M^μνなる同一視関係を考えると,古典的な

非相対論量子力学での対応原理により,

i[μν^,φ^r()]

=xμ(∂φ^r/∂xν)-xν(∂φ^r/∂xμ)

+Ξμν rsεμνφ^s() となることがわかります。
 

 そして,これの3次元空間成分Mij^に対する関係式

を見ると,よく知られた3次元回転:を生じさせる

角運動量演算子:^[1^,2^,3^]

^[23^,31^,12^]と書いたときに満たされる

交換関係に一致することがわかります。
 

※※(9-2):ψ()を非相対論的量子力学の定常状態の

波動関数とするとき,系の空間的な回転に対して理論が

不変な場合には,

  
座標軸の回転に対するの変換を,x'=R

表わして,それに対する波動関数の変換を,ψ →ψ’=PR^ψ

とすると,ψ'(x')=ψ'()=ψ() により,

ψ'()=ψ(-1) or PR^ψ()=ψ(-1) です。
 

この回転Rを極座標で(,θ,φ),x' (,θ,φ+ω)

とした場合:(これは,座標系が,3軸の周りに-ωの回転です。

そこで,PR^ψ(,θ,φ)=ψ(-1)=ψ(,θ,φ-ω)

です。
 

ところが,ψ(,θ,φ-ω)

=∑ν=0{(-ω)ν/ν!}(νψ/νφ) 

 =exp{-ω(/νφ)}ψ(,θ,φ)と表現することが

できますから,R^exp{-ω(/νφ)}exp(iωL3^)

と書けます。
 

何故なら,3^=-i(/∂φ)であるからです。


 
そこで,このケースでは,2^が状態の波動関数を3軸

(z軸)の周りにωだけ回転させる生成子となっています。
 

一方,δωを無限小とすると, 無限小Lorentz変換:

x'μ=xμ+εμνν.それに伴なう^(1+ε,0)

exp{(i/2)εμνμν^}1(i/2)εμνμν^なる

変換の表現を考えたとき,3の周りの回転角がδωの

純粋回転は:

x'1=x1cos(δω)-x2sin(δω)=x1-x2δω, 

 x'2=x1sin(δω)+x2cos(δω)=x1δω+x2 

 と陽に表わせます。
 

すなわち,この無限小回転は,ε12=-δω,ε21=δω:

つまり,ε12=-ε21=δωで,それ以外のεμνは全てゼロ

の無限小Lorentz変換を意味するので,

対応するユニタリ変換

,(δω)=U(1+ε,0)1(i/2)δω(12^-M121^)

1iδωL3^ と書けます。
 

  これはL3^(1/2)(12^-M21^)=M12^,状態:ψ()

 .回転R:すなわち,x'=R,(,θ,φ),

 X'(,θ,φ+ω)なる変換に対して理論が不変になる

   ように,波動関数の変換:ψ'()=U(δω)ψ()

  (U=1)を生じさせる生成子に3^を対応させることを

  意味します。
 

  上で,特別な回転軸として考えた3軸(z軸),通常の開放

    された等方的空間では,回転軸を座標軸も含めて自由に選択

    できるので,

 一般のケースにはδωを回転軸の向きを持ち,大きさが

  δωの無限小回転角ベクトルとして.ユニタリ変換

    を,U(δω)1iδωL^ と書くことができます。
 

  ここで,Heisenberg表示の任意の3次元の場の演算子を

^(,)と書くと,座標系の回転R:’=Rに対して

状態ネクトル:|ψ>が,|ψ'>=U^(δω)|ψ>なる変換

を受けるとすると,

  
行列要素の不変性
から,

 <ψ|^(,)|ψ>=<ψ'|^(x',)|ψ'>

であるべきです。
 

 波動関数に対するユニタリ変換:

ψ'()=U(δω)ψ(),状態に対する変換:

|ψ'>=U^(δω)|ψ> に起因するとすれば,


  
ψ'()=<|ψ'>=<|^|ψ>

=∫d3|^|><|ψ>

=∫d3|^|>ψ()= U(δω)|ψ>

と書けます。
 

それ故,波動関数のユニタリ変換の微分演算子:(δω)

,^(δω)座標表示で対角化したときの対角成分と

考えられます。

  
つまり.|^|>=U(δω)δ3(-y)なる対応

が明らかです。
 

故に,期待値の不変性の要請: 

<ψ|^(,)|ψ>=<ψ'|^(',)|ψ'> 

=<ψ|^^(',)^|ψ> から, 

^(,)=U^^(',)^,または, 

^(',)=U^^(,)^+ を得ます。
 

  そして,U^=U(δω)1iδωL^と書けるので, 

^(',)-O^(,)=-iδω[^,^(,)]

です。
 

特にδωが3軸(z軸)のまわりの回転パラメータとなる

場合には,この右辺は,iδω[3^,^(,)]であり,


  このとき:
x'1=x1-x2δω,x'2=x1δω+x2,

ですから,^(x',)-O^(,)

{1(/∂x2)-x2(/∂x1)}δω です。
 

 以上から,i[3^,^]=-x1(/∂x2)+x2(/∂x1)]

 を得ます。
 

同様な式が,1^,2^,についても成立することがわかり, 

 結局,i[k^,^]=-εkljl(/∂xj)=εkljl(/∂xj)

 または,i[lj^,^]=xl(/∂xm)-xj(/∂xl)

 が得られます。   (9-2終わり※※)
 

以上から,μν^,μνを量子化した演算子に同等

,しかもMij^は角運動量テンソルに等しいという

同一視によるこうした交換関係の妥当性は,今のケース

では,空間回転だけでなく,Lorentz変換(Boost変換の下

での理論の不変性に対する追加の要請をも満たすことを

意味します。
 

これらのLorentz不変な量子論が満たすべき交換関係の

成立は,平行移動の生成子:μ^における場合に満たされる

べき交換関係と同じく,個々の系について直接,陽にチェック

することができます。
 

こうして,大部分の物理学で現在論じられている場の理論

ではLagrabgianによるアプローチとNoetherの定理が,何の

困難もなく,直接に量子的領域にも適用されています。
 

さて,一方,時空座標系とは無関係な内部対称性

(Internal Symmetry)変換:

φr^ → φr'^=φr^iελrsφsに対する量子論での不変性

のケースには,<Φα|φr^()|Φβ

=<Φ'α|φr^()iελrsφs()|Φ'β

=<Φα|^(ε){φr^()iελrsφs()}^(ε)|Φβ

より,φr^()=U^(ε){φr^()iελrsφs()}^(ε)|,
 

 つまり,

  U^(ε)φr^()^(ε) |=φr^()iελrsφs() 

 です。

 このことから,^(ε)1iεQ^とおけるような

Hermite演算子:^存在すれば,

iε[^,φr^()]=-iελrsφs() となり, 

εの任意性から,[^,φr^()] =-λrsφs()なる

交換関係が得られます。
 

(※※↑ 以上,再掲載終了)   (6-1終わり※)
 

一般の量子場成分:{φr^()}r=1,..,N)が共存する

系の角運動量演算子:μν^が満たすべき条件,

i[μν^,φ^r()]

=xμ(∂φ^r/∂xν)-xν(∂φ^r/∂xμ)

+Ξμν rsεμνφ^s() であることを見ましたが 。。

 

粒子場:{φr^}r=1,.N,具体的なDirac電子場:

ψ^[ψα^]α=1,2,3,4 と光子場(電磁場):^[k] k=1,2,3 

であるような系では,

  
まず,Lagrabgian密度は.

^ψ~^{iγμμ-e0γμμ^-m0}ψ^

(1/4)μν^μν^ で与えられます。
 

そして,満たされるべきLorentz不変の条件,

ψ^対しては,

^(ε)ψα^()^(ε) |αβ-1(ε)ψβ^(), 

 Sαβ-1(ε)=δαβ(i/2)Ξμναβεμν, 

 Ξμναβ(i/2)[γμ,γν]-αβ であり,
 

他方,^に対しては, 

^(ε)r^()^(ε) |rs-1(ε)s^(), 

rs-1(ε)=δrs(i/2)Ξμνrsεμν, 

Ξμνrsμνs-gνμs です。
 

これは,i[μν^,ψ^()]

=xμψ^/∂xν-xνψ^/∂xμ

(i/2)[γμ,γν]ψ^(),および,
 

i[μν^,r^()]=xμ∂Ar^/∂xν-xν∂Ar^/∂xμ 

(μνs-gνμs)s^() 

なる交換関係が満たされることと同値です。
 

一般的粒子場についての表現式:

νλ^=∫0νλ^()3 , 

μνλ^=∑r{(^/μφr^)(νλφr^-xλνφr^

+Ξνλrsφs^)}(νμλ-λμν)^ から.
 

0νλ^{πr^(νλφr^-xλνφr^+Ξνλrsφs^)} 

(ν0λ-λ0ν)^ ですから,
 

0νλ^=xν0λ-xλ0ν+Ξνλrsπr^φs^

と書けます。
 

ところが,前の平行移動についての交換関係を証明する過程

,{φr^}がψα^,r^の場合には, 

[0λ^(,),φr^(,)]

=-iλφr^(,)δ3() 

が確かに満たされることを見ました。 


 また,同時刻の正準交換関係:

[πs^(,),φr^(,)]=-iδsrδ() より 

[Ξλrsπr^(,)φs^(,),φr^(,)] 

=-iΞνλrsφs^(,)δ() です。
 

これから,運動量;Pμ^についての平行移動不変性の

交換関係:[μ^,φr^(x)]=-i∂μφr^(x)]が満足される

ことがチェックされたら,

 自動的に.角運動量;Mμν^
についてのLorentz不変性

の交換関係:[νλ^,φr^(,)]

=-i(νλ-xλν)φr^(,)

+Ξνλrsφs^(,) の成立する保証も得られることが

わかります。

かつて,学生時代には,,ψ^や^A^について運動量

の場合と同じく,再び,コツコツと具体的に苦労して証明

したものがノートには長々と記されていて,それをブログ

に転記してもよかったのですが,

  
昨日今日のブログ原稿書
きの最中のほんの思い付きで,

運動量において証明できた,すぐ前の結果を利用すれば,

ザワザ,具体計算をしなくてもチェック,証明ができると

わかり,ある意味で拍子抜けです。
 

しかし,終わりじゃなく落とし穴がありました。


 それは光子場(電磁場):^のゲージ条件です。
 

 特に今採用しているCoulombゲージ:∇^0

明らかにLorentz共変ではないので,

 そもそも光子場A^の
変換性を与える行列rsが上述の

ように単純に共変形で与えられるというのは,真では

ないと考えられるからです。
 
 
この問題については,自由光子場でも遭遇したことを

思い出しました。

 その部分の過去記事もチェックしてみます。
 

しかし,記事が長くなり過ぎたと思うので今日はここで

終わります。
 

 (参考文献):J.D Bjorken S.D Drell  

 "Relativistic Quantum Fiels" (MacGrawHill)

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2016年9月20日 (火)

場の量子論(第Ⅱ部)(5)

 馬の量子論第Ⅱ部の続きです。
 

前回は過去記事の再掲載だけでした。
 

今回はそれらの知見を踏まえて,相互作用する場の次の節に 

入ります。
 

§15-3 Lorentz不変性と平行移動不変性 

(Lorentz and Displacement Invariance)
 

前節では,正準手法によって,エネルギー演算子としての 

Hamiltonian:^=∫^3=P0^. 

^00

(^/∂ψαd^)ψαd^(^/∂Akd^)d^^ 

ψ~^(iα∇+βm0)ψ^(^2^2)/2∇Φ^ 

+e0ψ~^γμψ^μ^  を得ました。
 

ただし,ψαd^=∂ψα^/∂t. kd^=∂A^/∂tです。
 

 同じ方法で,運動量演算子が次のようになることが

わかります。 

 P^=∫d3(iψ^∇ψ^^×^), 

 or Pk^=∫d30k,

0k^=(iψ^∇ψ^ ^×^)k です。

 これは,自由場の運動量演算子の和に一致しますが,

それは相互作用が導関数項を全く含まないためです。
 

(注5-1):k^=∫d30k^(k=123)における

運動量密度:0kの上の表現の証明です。

 
ここで,μν^,系のエネルギー・運動量密度テンソル

であり,今のDIrac電子場:ψ^と光子場:^のが共存して

相互作用をしている場合,

 
それは,
μν^{∂L^/(μψα^)}(νψα^)

+∂L^/(μk^)}(νk^)-gμν^

で与えられます。
 

 これは,20122/20の,場の量子論第Ⅰ部の過去記事

相対論的場の量子論(正準定式化(6)」と,それに続く

2/27.3/11の同じシリーズ記事(7)(8)をまとめて,

再掲載したすぐ前の記事:「場の量子論第Ⅱ部(4)」

によるものです,
 

これによれば,独立なN個の量子場成分:φr^()

(r=1,2..,N)が共存する 系の4元運動量演算子:Pν^

は,Noetherの定理と,その量子論での対応原理から,

平行移動(Displacement)対称性変換生成子として,
 

 Pν^=∫d30ν^

 =∫d3[rπr^(∂φr^/∂xν)-g0ν^] 

 Tμν^=∑r{^/(μφr^)}(∂φr^/∂xν)-gμν^ 

 

 で与えられることがわかります。
 

ここで,πr^(),πr^^/∂φrd^,(φrd^,=∂φr^/∂t

=∂0φr^)で定義される:φr^()正準共役運動量演算子

です。
 

そこで,エネルギーは,

0^=∫d300^,00^=∑r πr^φrd^^  

ですから,

^=∫d3=P0^,00^=∑r πr^φrd^^ 

です。
 

そして,粒子場:{φr^}r=1,.N,Dirac電子場:

ψ^[ψα^]α=1,2,3,4と光子場(電磁場):^[k] k=1,2,3

(ただし,ゲージっ条件:0より真の自由度は2)である

今の系では,Lagrabgian密度が
 

^ψ~^{iγμμ-e0γμμ^-m0}ψ^

(1/4)μν^μν^ であり,

 このLagrangian密度から「場の量子論第Ⅱ部(2)」では

,Dirac電子場の共役運動量は,πα^(^/∂ψαd^)

iψα^であり,
 

また,電磁場の共役運動量をπA^とすると, 

πAj^=∂^/∂Ajd^=Akd^-∂kΦ^=-El^=Ej^ 

であること。。
 

そして,Coulombゲージの条件;0 の下では,系の

Hamiltonian ,^=∫^3: 

^=πα^ψαd^+πAj^ d^^ 

ψ~^(iα∇+βm0)ψ^(^2^2)/2∇Φ^ 

+e0ψ~^γμψ^μ^ で与えられるという結果を得ました。
 

一方,場の運動量は,粒子場:{φr^}r=1,.Nの一般式では, 

^=∫d30k^=∫d3[rπr^(kφr^)]  

で与えられます。
 

{φr^}r=1,.N,Dirac電子場:ψ^[ψα^]α=1,2,3,4, 

光子場:^[k] k=1,2,3の場合に,Dirac電子場:ψ^

だけの0k^成分への寄与は,

rπr^(kφr^)πα^(kψα^)iψα^(kψα^)

(iψ^ψ^)k です。
 

一方,電磁場A^だけの0k^成分への寄与は, 

rπr^(kφr^)πAj^(kj^)=Ej^(kj^) 

=Ej^(kj^-∂jk^)+Ej^(jk^)―∂jΦ^(kj^) 

となります。
 

ただし,電場:^^と分解し,

^d^=∂A^/∂t,^=―∇Φ^を用いました。
 

さらに,(^×^)k=εkiji^j^

{^×(∇×^)}k=εkijεjlmilm^

(δilδkm-δimδkl)i^lm^ 

=Ei^(jk^-∂kj^)ですから,


 
結局,πAj^(kj^)(^×^)k+Ej^(jk^)
 

-∂jΦ^(kj^) となります。
 

そして,右辺の最後の2項は,

j^(jk^)-∂jΦ^(kj^)

=∂j{-Ej^k^-Φ^(kj^)}

(^)k^+Φ^(k^)となりますが,

^0 であり,^d^=∂A^/∂t=より, 

^0 なので,


   
結局,この項は,j{-Ej^k^-Φ^(kj^)}
 

に等しいです。
 

しかし,これは,全空間で体積積分:∫d3を実行すると

全体には寄与せず,消える項です。
 

すなわち,Gaussの積分定理から,この体積積分は,無限遠

での{-Ej^k^-Φ^(kj^)}の表面積分に帰着し,,

無限遠では,全ての電磁場成分が表面積の無限大への増加

よりも急減少してゼロになるため,それらの積としては

消えるのという,いつもの論理から消えます。
 

故に,電磁場の運動量密度成分は,自由電磁場のそれと

同じく,πAj^(kj^)(^×^)kと書けます。
 

右辺は古典電磁気学でも場の運動量と同定される,横波

の電磁波Poyntingベクトルの成分が,量子化された

演算子です。
 

結局,系全体のトータルでは,単に単独の自由場の演算子

の和として,

0k^rπr^(kφr^)(iψ^ψ^^×^)k

 と表現され,よって,運動量演算子は, 

 P^=∫d3(iψ^∇ψ^^×^) と書けます。
 

これで証明は完了しました。  (注5-1終わり※)
 

さて,Heisenbergの関係:i[μ^,ψ^()]=∂ψ^/∂xμ,

および,i[μ^,^()]=∂A^/∂xμの成立が理論が

平行移動不変であるための条件として要求されますが,

これは次の場の交換関係,および,場の方程式を用いて証明

できます。
 

まず,全ての場の交換関係を再掲すると,交換子:[ , ]

と反交換子:{ , }により,
 

{ψα^(,),ψβ^(,)}=δαβδ3(), 

{ψα^(,),ψβ^(,)}=0,

{ψα^(,),ψβ^(,)}0, 

[id^(,),j^(,)]=-iδtrij()(ij=1,2,3) 

[i^(,),j^(,)]=0,

[id^ (,),j^d(,)] 0
 

および,[ψα^(,),j^(,)]0 ,かつ, 

[ψα^(,),jd^(,)] 0  です。
 

また,場の方程式は, 

(i-m0)ψ^=e0^ψ^ (=γμμ,^=γμμ^),

および,ννμ=e0ψ~γμψ (Fνμ=∂μν-∂νμ

です。
 

(5-2): 平行移動不変性の条件:

i[μ^,ψ^()]=∂ψ^/∂xμ,および,i[μ^,^()]

=∂A^/∂xμ の成立を証明します。
 

まず, 0^=H^=∫^3とスピノル場の成分:

ψβ^(,)の交換関係を評価します。
 

0^^=∫^()3と書けば,  

[0^,ψ^()] [^,ψ^()]

=∫d3[^(),ψ^()] - です。
 

そして,P0^^=は時間tに依存しない保存量ですから, 

[^(),ψ^()]を同時刻交換関係:[^(.),ψ^(,)] 

に置き換えることができます。
 

^の具体形を再掲すると, 

^=πα^ψαd^+πAk^ kd^^ 

ψ~^(α∇+βm0)ψ^(^2^2)/2∇Φ^ 

+e0ψ~^γμψ^μ^ です。
 

この右辺の電磁場の項は,^^^,^d^, 

^=-∇Φ,=∇×^ を代入すると,

(^2^2)/2^∇Φ^(^^)2/2^2/2

(^^)^(^2^2)/2

(1/2){d^2(∇×^)2} とA^だけを含む項に

書き直すことができます。
 

それ故,

^ψ~^(iα∇+βm0)ψ^(1/2){d^2(∇×^)2}

+e0ψ~^γμψ^μ^ です。
 

また,運動方程式;(iγμμ-m0)ψ^=e0γμμ^ψ^, 

つまり,(iγ∇+m0)ψ^=-e0γμμ^ψ^iγ00ψ^, 

or (iα∇+βm0)ψ^i0ψ-e0γ0γμμ^ψ^ 

を考慮し,この両辺に左からψ^を掛けたものを

^の右辺に代入すると,
 

結局,^iψ^0ψ^ (1/2){d^2(∇×^)2} 

と,やや簡明な形に書けます。
 

そして.,,Cを線型演算子とすると, 

 [AB,]=ABC-CAB

 =ABC+ACB-ACB-CAB

 =A{,}{,}B なる公式が

 成立します。
 

 H^iψ^0ψ^ (1/2){d^2(∇×^)2}に引数;

 (,)を与えたものと,ψ^(,)の成分:ψβ^(,)

 の交換関係:[^(,),ψβ^(,)] においては,

 ^(,)のうち,ψβ^(,)と交換,または反交換する

 因子のみの積から成る項はψβ^(,)と交換するので

 ゼロとなってこの交換子に寄与しません。
 

 ψβ^(,)と交換しない項は,

 iψ^0ψ^iψα^0ψα^ のみですが.

 上に示した公式:[AB,]==A{,}{,}B  

 から,[ψα^(,)0ψβ^(,t),ψβ^(,)] 

 =-δαβ0ψβ^(,)δ3() を得ます。
 

 故に,

 [^(,),ψ^(,)] =-i0ψ^(,)δ3() 

 です。
 

 したがって,両辺に∫d3を実行すると 

 [0^,ψ^(,)][^,ψ(,)] 

 =-i0ψ^(,),

  or i[0^,ψ^(,)]=∂ψ^/∂x0  

 が得られます。
 

 また,k^=∫d30k^

 ∫d3(iψ^∇ψ^^×^)k
 

 T0k^(iψ^∇ψ^^×^)k

 {iψ^∇ψ^d^×(∇×^)}kであり,

 [0k^(,),ψ^(,)] ikψ^(,)δ3() 

 =-ikψ^(,)δ3() ですから,
 

 [k^,ψ^(,)]=-i0ψ^(,), 

 or i[k^,ψ^(,)]=∂ψ^/∂xk を得ます。
 

次に, [μ^,^(,)]ですが,まず,

[0^,^(,)]の評価からです。
 

0^=H^=∫d3^(,)において,再び,^(,) 

,00­^^iψ^0ψ^ (1/2){d^2(∇×^)2} 

に引数:(,)を与えたものです。
 

この^(,)のうち,^(,)と交換しない項は, 

(1/2)d^2に引数:(,)を与えたものだけです。

 [id^(,),j^(,)]=-iδtrij()

(ij=1,2,3)  δtrij()

≡∫d3(2π)-3 exp{i()}{δij(ij)/2} 

により,

[id^2(,)/2,j^(,)]

=-ijd^(,)δtrij() なので, 

[id^2(,)/2,j^(,)]=-ijd^(,)δ3() 

=-i0j^(,)δ3() です。
 

(※ 何故なら,Coulombゲージ条件:yd^(,)0,より,

d^Fourier-成分:

d^()=∫d3d^(,) exp(iky)については, 

kAd^()=kjjd^()0 が成立します。
 

故に,

jd^(,)∫d3(2π)-3 exp{i()}{(ij)/2} 

に∫d3を実行すると,これの寄与はゼロです。※)
 

以上から,[^(,),j^(,)]

=-i0j^(,)δ3()であり,

[0^,^(,)][^,^(,)]=-i0^(,) 

or i[0^,ψ^(,)]=∂^/∂x0 を得ます。
 

一方,Pk^=∫d30k^ 

0k^(iψ^∇ψ^^×^)k

{iψ^∇ψ^d^×(∇×^)}k です。
 

先に,{^×(∇×^)}k=Ei^(jk^-∂kj^)

を得ましたが,0k^の右辺の{d^×(∇×^)}k,

これと全く同じ式です。
 

よって,{d^×(∇×^)}k=Aid^(ik^-∂ki^)

ですが,実質的には, 前と同じく積分で消える項を除いて 

{d^×(∇×^)}k,πAj^(kj^)=Ej^(kj^) 

=Aid^(kj^ ) に一致します。
 

そして,[id^ (,),j^(,)]=-iδtrij()

なので,

[0k^(,),j^(,)]

=-i(ki^)(,)δijδ3() 

=-i(ki^)(,)δ3() です。
 

以上から,[^,^(,)]=-i^(,)

or i[k^,ψ^(,)]=∂^/∂xk も得られました。

 (5-2 終わり※)

  交換関係と場の方程式は理論を基礎づける無矛盾な方程式

のセットを形成していると考えられます。
 

今回はここで終わりますが,次回は残るLorentz不変性を

証明するため,Noetherの処方から得られる角運動量

テンソルの考察に向かいます。

  今日の本文はほんの少しで,ほとんどが注釈でした。

 

式としては重要ですが, 既に成立することを先人の多く

が認めていて間違いはないであろうものを,ワザワザ長い

文章と労力で証明する必要はないのかも知れません。
 

しかし,これまでも本ブログで既知のトピックについて

科学記事を書く意図を何度か述べましたが,証明をスキップ

するのでは市販のテキストを通読するのと同じで,この私的

ブログを著わす意味が無いです。
 

これを最初にチェックしたウン十年前には,この証明はかなり

厄介と感じた記憶があるので,私的にはこうして計算履歴を

ガイドとして消えない記録に残すのには意味があると思い

ました。(※ まあ, イツモの自己満足です。。。)

 

(参考文献):J.D Bjorken S.D Drell  

“Relativistic Quantum Fiels” (MacGrawHill)

PS:今日9/20は,8/30以来,3週間ぶりで順天堂の形成外科

外来にかかる予定の日です。

 前回も丁度,台風の真っただ中で,外来診察
はガラガラで,

スグに終わったのは幸いでしたが,偶々,電車の中と病院に

いたときには雨が上がってたのに,

 行きと帰りだけ
ドシャ降りで.特に自宅アパート付近は

ヒドイ降りになり,2階の自室に続く屋根無し外階段上り

下りは,手すりに,つかまり傘はさせないので,行きも帰りも

階段だけでも,ずぶ濡れでした。

 (※ 妖怪:アメフラシを連れて歩いてる??)

 今もまた,台風がきてるらしいけど,今のところ,外の雨音

は消えてます。


 雨オトコなので,足が
悪くて偶にしか遠出の外出はしない

のに,遠出せざるを得ないときは,ほとんど雨か,雪ですね

 
よほど,日頃の行ないがイイ?せいか。。。

PS2:連休明けと台風の影響で込み具合ほどほど。。

外食の金ないので昼食抜き。。何とか低血糖にならず

16時40分頃帰宅。。17時過ぎ,空腹血糖値 109でまずまず。

行きは小ぶりでしたが,帰りはやはり階段上るとき

びしょ濡れでした。ヤレヤレ。台風男。。

最近病院の行き返りが雨じゃなかったトキの記憶無し。。

 イヤ。。湿っぽいのはダメ。。楽しくなければ。。

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2016年9月17日 (土)

場の量子論(第Ⅱ部)(4)

 場の量子論第Ⅱ部の続きです。
 

※(閑話休題) ここで,第Ⅰ部から相当時間が経過していて,

これ以上の論議を続けるに当たって,自由場に限らず,一般的に

重要なことを既に述べていても,読者も含めて忘却したという

可能性もあるので,今回は確認の意味も込めて,関連する過去

記事から必要な項目を再掲載したいと思います。
 

:場の量子論第Ⅰ部の2012年の過去記事で,2/20に

アップした「相対論的場の量子論(正準定式化(6)

と,それに続く2/27.3/11の同じシリーズ記事(7)(8)

から,これらは短かい記事なので場合によっては修正

加えて,余談を除く,ほぼ全文を再掲載します。
 

※まず,(6)の再掲載からです。
 

§11.4 Symmetry and Conservation Law(対称性と保存則)
 

Lagrangian定式化は古典場の理論によって正準方程式

(運動方程式)を引き出して,それらを量子場に同定する

便利で系統的な方法を与えてくれます。
 

1つのLagrangianからスタートすれば,場のLagrangian密度 

と運動方程式(Euler-Lagrange)の形を不変に保つ各無限小

対称性変換に対し保存則が存在して,運動の定数(保存量)

が伴なうことが示されます。
 

 これはNoether(ネーター)の定理として知られています。
 

この定理は自然において観測される選択則が直接

呈する対称性の要求によって記述されることを許すもの

であり,新しい理論を展開していくような際には,相互作用

の項を導入するガイドとして,とても有用なものです。
 

1. 平行移動不変性:
 

平行移動(Displacement or Translation),制限された, 

Poincare'群に属する1つの変換です。
 

系のLagrangian密度[φr(),μφr()],制限された

(回転やBoostの無い)Poincare'群である平行移動の下では,

スカラー量(不変量)です。
 

すなわち,まず,~をxから平行移動された位置座標とし,

φ~r変換された座標系から見た場φrの振幅と考えたとき,

平行移動:x→x~ により φr()φ~r(~)であり,

(φr(),μφr()) から変化したLagrangian密度

を,~(φ~r(~),μφ~r(~)) と書けば,
 

~(φ~r(~),~μφ~r(~))(φr(),μφr()) 

が成立します。
 

 次に,理論の不変性:運動方程式の2階上微分方程式の陽な形

 の表現が変換された系の観測者に対しても全く同じである

 という条件から, 

~(φ~r(~),μφ~r(~))(φ~r(~),~μφ~r(~)) 

であると考えます。

(※ 何故なら,両方の座標系で方程式の形が同じになることは,, 

Lagrangian密度の関数形が同じなら満たされます。(十分条件))
 

以上から,[φ~r(~),~μφ~r(~)][φr(),μφr()]

なるLagrabgian密度不変の条件が得られます。
 

それ故,無限小平行移動:μ→x~μ=xμ+εμに対して, 

δ[φr(~),μφr(~)][φr(),μφr()] 

=εμ(/∂xμ) ですが,
 

これは,[φr(~),μφr(~)][φ~r(~),~μφ~r(~)] 

=-[φ~r(~),~μφ~r(~)][φr(~),μφr(~)] 

に等しく,

 
したがって,
εμ(/∂xμ)=δ 

=∑r[(/∂φr)δφr{(/μφr)δ(μφr)}] 

です。
 

ただし,δφr≡φr(~)-φ~r(~)=φr(x+ε)-φr() 

=εμ(∂φr/∂xμ) です。
 

(6-1):座標系の平行移動:μ→x~μ=xμ+εμに対しては, 

φ~r(~)=φ~r(x+ε)=φr()です。(注5-1終わり※)
 

同様に, δ(μφr)≡∂~μφr(~)-∂~μφ~r(~) 

=∂μφr(x+ε)-∂μφr()=εν(νμφr) 

です。
 

 以上から,

εμ(/∂xμ)=∑r[(/∂φr)εμ(∂φr/∂xμ)

{(/μφr)εννμφr)}] を得ます。
 

ここで,Euer-Lagrange方程式: 

(/∂φr)(/∂xμ){/(∂φr/∂xμ)}0

より,/∂φr=∂μ{/(μφr)}となるので,

これを上式に代入すると,εμ(/∂xμ)

=∂μr{/(μφr)}εμ(∂φr/∂xν)} となります。
 

それ故, 

[(/∂xμ)r {/(μφr)}(∂φr/∂xν)

-gμν(/∂xμ)]εν] 0 ですが,

ενは全く任意なので,

(/∂xμ)r{/(μφr)}(∂φr/∂xν)-gμν]

0 が成立します。
 

以上から,

μν≡∑r {/(μφr)}(∂φr/∂xν)-gμν 

と定義すれば,μν/∂xμ)0 が成立します。
 

 したがって,μνを1つのエネルギー・運動量密度テンソル

と定義し,

ν≡∫d30ν=∫d3[rπr(∂φr/∂xν)-g0ν]

とおけば,dν/dt=0 となって運動の常数

(時間的に保存する量)としての,4元共変ベクトル量:Pν

(ν=0,1,2,3)を見出します。
 

共編ベクトル:νの代わりに,

反変ベクトルPν=P0,) で表現するなら,

ν=∫d30ν=∫d3[rπr(∂φr/∂xν)-g0ν]

であり,保存則は,dPν/dt=0 と書けます。
 

そうして,00=∑rπrφrd は系のHamiltonian密度:

に一致しています。


そこで,特に,0=∫d300は系のHamiltonian:Hです。

故に,dP0/dt=0はdH/dt=0 を意味します。
 

こうして時間の一様性=時間の平行移動対称性から,

系のエネルギー(場のエネルギー):Hに対する保存則

を得ました。
 

同様に,空間ベクトル:(1,2,3)については, 

=∫d30=-∫d3[rπr(∂φr/∂xk)]

(k=1,2,3)ですが,こちらの方は場の運動量の空間成分

と同定されます。
 

そこで,dPk/dt=0 は運動量の保存:/dt=0

を意味しますが,これは空間の一様性の反映です。
 

※ここからは,次の(7)の再掲載です。
 

2. Lorentz変換(空間回転含む)に対する不変性から角運動量

が運動の常数(保存量)であることを導きます.
 

無限小のLorentzZ変換:μ → x~μ=xμ+εμνν;

ενμ=-εμνを考えます。
 

 ※(7-1):μ → x~μLorentzZ変換であるための

 必要十分条件は,~μ~μ=xμμ です。
 

これは,~μ~μ(μ+εμλλ)(μ+εμνν) 

=xμμ+εμλλμ+εμνμν=xμμ

ですから,εμλλμ+εμνμν0 を意味します。
 

 つまり,εμννμ+εμνμν

 =(ενμ+εμν)μν0 ですが,μは任意の時空点の

座標ですから,このことは,ενμ+εμν0,

 つまりενμ=-εμν を意味します。
 

何故なら,例えば,μ(1,0,0,0)=δμ0なら,

μν=δμ0δν0なので,(ενμ+εμν)μν0 ,

ε00+ε000 となりε00 0 です。
 

同様に,μ=δμρならερρ0 となるのでεμνの対角成分

は全てゼロとなることがわかります。
 

次にxμ(1,1,0,0)=δμ0+δμ1としてみると,

(ενμ+εμν)μν0 から,εμνの対角成分がゼロである

ことも考慮して,ε10+ε01=0:ε10=-ε01 を得ます。

(7-1終わり※)
 

 Lorentz不変性の実際的なテストは,運動方程式のφr()部分

にS-1rsφ~s(~)を代入して. φ~r(~)に対する方程式が元の系

での運動方程式の形と同じであるかどうか?を見ることです。

スカラー場の場合はSrs=δrsとおけばいいです。

 

Dirac方程式におけるspinorの変換係数Srs(ε)については,

既に,相対論的量子力学での考察から,これは,

rs(ε) =δrs(1/8)[γμ,γν] rsεμν+O(ε2)

与えられることが,わかっています。
 

 実際,に,この無限小Lorentz変換をLagrangian密度において

 実行します。
 

 Lagrangian密度のLoentz不変性を要求すれば,
 

 L[φr(),μφr())(φ~r(~),~μφ~r(~)] 

 において,φ~r(~)=Srsφs()より, 

 φr(),=S-1rssφ~s(~) なので,これは,

 [1rsφ~s(~),~μ-1rsφ~s(~)]

 [φ~r(~),~μφ~r(~)] と表されます。
 

 この等式は作用原理において導出される運動方程式が変換

の前後で形を変えないことを保証します。
 

 平行移動の場合と同様に, 

 δ[φ~r(),~μφ~r())(φr(),μφr()] 

 =[φ~r(~),~μφ~r(~))(φ~r(~),~μφ~r(~)] 

 ですが,


 
rs(ε)≡=δrs(1/2)Ξμν rsεμνと定義できる場合,  

 S-1rs(ε)≡=δrs(1/2)Ξμν rsεμν なので, 

δ(~)()=εμνν(/∂xμ) 

=∑r[(/∂φr)δφr{(/μφr) δ(μφr)}] 

が成立します。
 

Euer-Lagrange方程式: 

(/∂φr)(/∂xμ){/(∂φr/∂xμ)}0

より, /∂φr=∂μ{/(μφr)}を上式に代入

すると,

εμνν(/∂xμ)(/∂xμ)r{(/μφr)δφr}} 

です。
 

そして,δφr≡φr(~)-φ~r(~)=φr(~)-Srsφs()

=-{φ~r()-φr()}

=φr(~)(δrs(1/2)Ξμν rsεμν)φs() 

=φr(~)-φr()(1/2)Ξμν rsεμνφs() 

=εμνν(∂φr/∂xμ)(1/2)Ξμν rsεμνφs()

です。
 

(※ δφrは,謂わゆる Lie微分:δφr≡φr(~)-φ~r(~)

=-{φ~r()-φr()} です。※)
 

故に,εμνν(/∂xμ)(/∂xμ)

r[(/μφr){ελνν(∂φr/∂xλ)(1/2)Ξλν rsελνφs}

です。
 

同様に,ενμν(/∂xν) (/∂xμ)

r[(/μφr){ενλλ(∂φr/∂xν)(1/2)Ξλν rsελνφs}

です。
 

これらをの両辺を辺々加えると,ενμ=-εμν,ενλ -ελν

ですから.εμν{ν(/∂xμ)-xν(/∂xν)} 

=ελν(/∂xμ)[r[(/μφr){ν(∂φr/∂xλ)

 -xλ(∂φr/∂xν)-Ξλνrsελνφs}] 

を得ます。 
 

  左辺=εμν{ν(/∂xμ)-xν(/∂xν)} 

 =εμν{ (ν)/∂xμ-∂(μ)/∂xν} 

 =ενλ{ (λ)/∂xν-∂(ν)/∂xλ} 

 =ελν(/∂xμ){(νμλ-xλμν)} です。
 

 一方,

 右辺 =ελν(/∂xμ)[r[(/μφr){ν(∂φr/∂xλ)

 -xλ(∂φr/∂xν)+Ξνλrsφs] です。
 

 したがって,ελν,ελνての反対称性からゼロでない無限小

 の独立成分が6個だけであることを考慮すれば, 

 Mμνλ≡∑r{(/μφr)(νλφr-xλνφr+Ξνλrsφs)} 

 -(νμλ-λμν)と定義して,μνλ/∂xμ0

 を得ます。
 

ところで,先に平行移動対称性による保存量として得た

エネルギー・運動量密度共変テンソルは,

μν=∑r{/(μφr)}νφr-gμνL です。
 

それ故,0λ=∑rπrλφr-g0λなので.

0νλ=x0λ=xν0λ-λ0μ+∑rπrΞνλrsφs です。


 そこで,νλ≡∫d30νλ

 =∫d3(ν0λ-λ0μ+∑rπrΞνλrsφs)

と定義すれば,d,νλ/dt=0 が成立します。
 

特に,場:φrDiracのスピノル:Ψt(ψ1,ψ2,ψ3,ψ4)

の場合は,rs(ε)=δrs(1/2)Ξμνrsεμν

=δrs(1/8)[γμ,γν] rsεμν なので,
 

Ξμν(1/4)[γμ,γν](i/2)σμν です。

ただし,σμν(i/2)[γμ,γν] です。
 

そこで,Dirac場なら,νλ=∫d30νλ 

≡∫d3[ν0λ-λ0μ(i/2)πσνλΨ]

です。
 

そして,例えば,空間の角運動量:の第3軸成分なら,

3=M12=∫d3012

=∫d3[102-201(i/2)πσi12Ψ]

となります。
 

※最後に(8)の再掲載です。
 

3. Lagrangianが時空の対称性でなく内部対称性

(internal symmetry)を持っている場合に得られる保存則

を導きます。
 

すなわち,無限小変換:φr() → φ~r()

=φr()iε∑sλrsφr()の下で,Lagrangian密度: 

の不変性を要求する場合を考えます。
 

φ~r()=φr()iε∑sλrsφr()において,λrs時空点:

μには依存しない定数係数であり,εも定数の無限小

パラメータです。
 

行列:λの離散成分は単なる場の位相変化に対応するのみです

,他の成分において対称的に現われる異なる場の振幅を

混合します。
 

以下では添え字r,sについてもEinsteinぼ総和規約を拡張

して,2回現われる添え字については和記号:∑を省略する

ことにします。
 

そこで,無限小変換:

φr() → φ~r()=φr()iε∑sλrsφr()は, 

単に,φr() → φ~r()=φr()iελrsφr()

と書きます。
 

すると,この変換:

φr() → φ~r()=φr()iελrsφr()の下で

Lagrangian密度:が不変であることから,
 

0=δ[φ~r(),μφ~r())(φr(),μφr()] 

[φr()iελrsφr(),μ(φr()iελrsφr()] 

  -[φ~r(~),~μφ~r(~))]

(/∂φr)δφr{/(μφr)}δ(μφr) 

=-iε(/∂φr)λrsφr() {/(μφr)}μ{λrsφs()} 

です。
 

Euler-Lagrange方程式より,

/∂φr=∂μ{/(μφr)}ですから,これを代入すると, 

iε∂μ[{/(μφr)}λrsφs()]0  です。
 

かくして,1つの保存方程式(連続の方程式): 

μ[{/(μφr)}λrsφs()]0 が得られました。
 

 こうして,内部変換:

φr() → φ~r()=φr()iελrsφs()の下で

Lagrangian密度が不変であるという対称性から,様々

な保存カレント:μ(;λ)が導き出されます。
 

 すなわち,μ(;λ)≡-i{/(μφr)}λrsφs()

 と定義すれば,∂Jμ(;λ)/∂xμ0 です。
 

 このJμ(;λ)をカレント(current)と呼ぶわけは,

 J0(;λ)を電荷密度:ρ(,)として,μ(ρ,)

 とすると,∂ρ/∂t+div0 という,よく知られた

 電荷密度ρと電流の満たす電荷保存の連続の方程式

 に一致するからです。
 

 4元カレントJμ(;λ){/(μφr)}λrsφs()

 に付随するカレントに対するChage(電荷)は,

 (λ)≡∫d30(;λ)=-i∫d3πr()λrsφs() 

で定義され,dQ/dt=-∫d3div=-∫Jn0 

 が満たされします。
 

 場の量子論の定式化においては,のスカラー性は,相対論的

 相互作用を保証するには十分ではなく,がこうした演算子

 としての要請に従うことを確かめる必要があります。
 

 こうした要請が如何にして生じるかを見るために,2つの状態

 の間に場の演算子:φ^r()|を挟んだ行列要素を1つの物理的

 観測量として取ってみます。
 

 すなわち,<Φα|φ^r()|Φβ>を考察します。
 

 α,βなる添字を付けられた任意の状態について,この量子論

 における,こうした振幅の完全セットが,古典論における場の

 振幅:φr()に,とって代わります。
 

 Schroedingerの量子力学での,これに類似した役割は座標:

 ()の行列要素によって果たされます。
 

 ※(8-1):自由度が1の座標:()は古典的にはその値自身

 で示されますが,それは Schroedingerの量子力学では,任意の

 状態:|Φ>におけるその系での座標演算子:^()の期待値:

 <Φ|^()|Φ> に対応します。
 

 そして,任意の状態|Φ>は,量子数α{α1,α2..}を持つ状態

 {|Φα>}α の線型結合(重ね合わせ)として|Φ>=∑αα|Φα>

 と展開できるため,座標:^()に関わる全ての情報は

 <Φα|^()|Φβ>の完全なセット(集合)に帰着します。


 (8-1終わり※)

 

 Lorentz変換に平行移動をも含めた合同変換の全体である

 Poicare'群に属する座標変換x'μ=aμνν+bμ

 ( or '=ax+b)によって関係付けられる別のLorentz

 座標系をS'とすると,
 

 S系で観測される点xでの場:φrの振幅:<Φα|φ^r()|Φβ

 は,S'系の観測者にとっては,<Φ'α|φ^r(x')|Φ'β>という

 振幅になるはずです。
 

 ここで,|Φ'α,|Φ'β>は,S'系における観測者にとって

S系での状態:|Φα,|Φβ>と同じ量子数α,βを持つ物理

状態を示しており,φ^r(x')は,変換された座標:x'における

同じ場の演算子です。
 

上記の<Φ'α|φ^r(x')|Φ'β>なる振幅は,

古典場における φ'r(x')=Srsφs()の対応する

量子論での表現になっています。
 

それ故,古典論での変換則:φ'r(x')=Srsφr(),

x'=ax+bLorentz変換の係数行列:aを陽に書いて

rsをSrs()と表記すれば, 

<Φ(α|φ^r(x')|Φ'β>=Srs()<Φα|φ^s()|Φβ 

で示されます。

(※↑これは対応原理ですね。)
 

以下,2つのLorentz系の観測者の間の交換関係の数学的法則

を与えます。
 

あるユニタリ演算子(unitary operator);^(,)が存在

して2つのLorentz系で対応する状態ベクトルの間に.

|Φ'α>=U^(,)|Φαなるユニタリ変換がなされる

ことにより,望ましい変換が得られると仮定します。
 

(8-2):^=U^(,)|,^^=U^^1を満たす

unitary演算子でなければならない,という条件は, 

<Φ'α|Φ'β>=<Φα|^(,)^(,)|Φβ

=<Φα|Φβを要求することから得られます。
 

しかし,観測される振幅の大きさが等しい:つまり, 

|<Φ'α|Φ'β|2|<Φα|Φβ|2という,より弱い要請に

留めるなら,時間反転対対称におけるような反ユニタリ演算子

の変換も許されます。
 

実際に,検知可能な観測事実としては,後者の弱い条件で十分

なのですが,全く変換しない恒等変換:^1から無限小変換

の連続で到達できるような分岐を含む連続変換では,^

前者のunitary変換の条件を満たすべきであることがわかり

ます。 (8-2終わり※)
 

<Φ'α|φ^r(x')|Φ'β>=Srs()<Φα|φ^s()|Φβ 

.|Φα>=U^(,)|Φ'α>を,代入すると,
 

<Φ’α|-1rs()φ^s(x')|Φ'β

=<Φα|^φ^r()^-1|Φβ> ですから,

^(,)φ^r()^(,)-1=S-1rs()φ^s(x') 

を得ます。
 

特にa=1のとき,すなわち平行移動

(translation or displacement):x'μ=xμ+bμ

( or x'=x+b)については,Lorentz回転を伴わないので

rs()=Srs(1)=δrs です。
 

このときは,-1rs(1) =δrsでもありますから,不変性

の条件は,^(1,)φ^r()^(1,)-1=φ^r(x+b)

です。
 

無限小平行移動:x'μ=xμ+εμ=に対して, 

^(1,ε)exp(iεμμ^)1iεμμ^と書けば,

 μ^は,Hermite演算子です。 

※(注8-3):U(1,ε)exp(iεμμ^)1iεμμ^により, 

^(1,ε)exp(iεμμ^)1iεμμ^であり,

これが.1=U^(1,ε)^(1,ε)1i(μ^-Pμ^) 

を満たすので,μ^=-Pμ^です。(注8-3終わり※)
 

^(1,ε)exp(iεμμ)1iεμμ^,および, 

^(1,ε)-1=U^(1,ε)exp(iεμμ^)1iεμμ^ 

,^(1,ε)φ^r()^(1,ε)-1=φ^r(x+ε)

に代入すると,
 

(1iεμμ^)φ^r()( 1iεμμ^)=φ^r(x+ε)

ですから,iεμ[μ^,φ^r()]=φ^r(x+ε)-φ^r()

=εμ{∂φ^r()/∂xμ}=εμ{∂φ^r/∂xμ} です。
 

εμは任意の無限小のc-数ですから, 

i[μ^,φ^r()]=∂φ~r/∂xμ が得られます。


 
( i[μ^,φ^r()]=∂φ^r/∂xμ から逆に, 

^(1,ε)exp(iεμμ^)1iεμμ^; 

^(1,)φ^r()^(1,)-1=φ^r(x+b) 

を導くこともできます。※)
 

  物理量Oに対する古典論の正準力学の運動方程式:

 dO(){. ()}]P.Bと,量子論の運動方程式:

 dOH(),i[^.H()]との間に見られるような

 非相対論的なSchroedinger理論とHeisenbergの量子論との
 

 対応は,^(1,ε)exp(iεμμ^)1iεμμ^, 

 i[μ^,φ^r()]=∂φ^r/∂xμにおける変換の生成子

 (generator) or Lie代数:μ^が,

  古典論でのエネルギ-・運動量4元ベクトル;Pμと同一視

  できること:つまり,μ^~ Pμなる同値関係の存在を示唆

  しています。

 

(※ 例えば,^=P0^とすることでHeisenbergの運動方程式: 

dOH(),i[^.H()],

∂φ^r/∂t=i[0^,φ^r()] という形に書くことができます。)
 

古典論のPμ については,既に,ν=∫d30ν

=∫d3[rπr(∂φr/∂xν)-g0ν]として, 

その陽な形が導出されているので,この正準量子化の手続き

において課される交換関係から,上述の同一視:μ^ ~ Pμ

が出来るか否か?を陽にチェックすることができます。
 

こうして,交換関係から直接,^(1,)exp(iμμ^)

が演算子の恒等式のままで残っているか否か?を,

^(1^,2^,3^),^=P0^と交換する:つまり,

[^,^]0であり,故に,^運動の常数(保存量)のままである

か否か?を計算で確かめることができます。
 

i[μ^,φ^r()]=∂φ^r/∂xμ, [^,^]0  

(ただし,μ^(0^,1^,2^,3^)(^,^)),

交換関係と矛盾しないなら,この量子論は平行移動不変

理論です。
 

もし,そうでなければ,i[μ^,φ^r()]=∂φ^r/∂xμ

[^,^]0 を満たすPμ^は何か別々の方法で,または

修正された交換関係で見出されなければならないか,それとも

理論を捨ててしまうかのいずれかの道をとらざるを得ません。
 

しかしながら,考えている当面の理論においては,Noetherの定理

によって見出される形のPμ,角運動量:μνが正準交換関係と

矛盾なく演算子として,それぞれ,μ^,μν^に同定されること

が以下の論議で自然に示されます。
 

以上,結局,全体では,かなり長くなりましたが,今日は全て再掲載

のみでお茶を濁しました。


 しかしながら,今回確認した論議は私自身が,量子
場の理論に

初めて接した学生時代から,敷居が高いと感じながら折に

触れて反芻してきて,結構,受認しにくい,しかし,本質的と

思われる部分です。終わり。。
 

(参考文献):J.D.Bjorken S.D.Drell  

"Relativistic Quantum Fields" (McGrawHill)

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2016年9月14日 (水)

非線型自由粒子構想(2)(遺構)

こういうモノって(つづく)と書いていても続きが無かったり,

(1)書いていても,(2)は永久に無い。。とかいうジンクス

めいたものがあるらしいので,取りあえず,つなぎで続きを

アップしておきます。
 

§3。λφ4以外の非線型項の模索
 

4元運動量がkの中間子線上の1個の点zに,2本の中間子

内線(または外線)が接続する形は.必然的に1つのループに

ならざるを得ず,計4個の線が,ただ1個の点zにつながる

ものはTad-poleと呼ばれるグラフになります。


 

この寄与を真面目に摂動論のFeynmanルールに従って計算

しようとすれば,これには,伝播関数:Δ(z-z)=ΔF(0)

を付与することになります。
 

 しかしながら,普通の自由粒子Feynman伝播関数は, 

ΔF()=∫d4(2π)-4 exp(ikx)/(2-μ2iε) 

ですから,このループを回る運動量(=単なる積分変数)

をlとすると,ΔF(0)=∫d4(2π)-4{1/(l2-μ2iε)}

となりますが,これは計算すると明らかに発散します。
 

ΔF(0)の代わりに.ΔFλ(0)としても,

ΔFλ()=∫d4(2π)-4exp{ikx-λ(2)2}

/(2-μ2iε)により,

ΔFλ(0)=∫d4(2π)-4{ exp{-λ(2)2}/(l2-μ2iε) 

2πexp(-λμ4)0dl[2/(2+μ2)1/2]

となるため,やはり発散します。
 

最初の思いつきのアイディアの,普通の伝播関数に因子:

exp{-λ(2)2}を加える修正では,2=k022より,

2-μ2=k022-μ2

{0(2+μ2)1/2}{0(2+μ2)1/2}なので,

∫d4kのうち∫dk0を実行すると,留数の関係から,

exp{-λ(2)2}因子が単にexp(-λμ4)となってkを

含まなくなります。
 

そこで,,残りの3次元空間積分∫d3kでは,この因子には

全く,紫外切断の減衰効果がありません。
 

それ故,exp{-λ(2)2}の代わりに,例えば空間ベクトル

だけの因子:exp (-λ2)で置き換えれば,これは∫dk0

には無関係なので,この場合には積分結果は確かに有限には

なりますが, Lorentz共変では無いのが気になります。

(※ちょっと見の思いつきですからねえ。。)
 

いずれにしろ,こうしたTad-poleでは,

たとえ発散せずに収束して有限な寄与:σになったとしても,

運動量空間において4元運動量:kで伝播する中間子線との

エネルギー・運動量の保存を考慮したとき,

  
ループの運ぶ運動量:lがkとは無関係なので,寄与σは

量子電磁力学のくり込みこみにおける電子の自己質量:

Σ()や光子の真空偏極のΠ(2)とは異なってkを含まず

単なる定数になります。

(※↓2011年4/27の過去記事

「量子電磁力学の輻射補正(5)(電子自己質量-1)」から)


 

(※↓2011年4/13の過去記事

「量子電磁力学の輻射補正(3)(真空偏極-2)」から)

 

ところで,伝播関数の減衰因子のアイディアと直接には

無関係な問題なのですが。。。

自己相互作用のλφ4模型では,z頂点にφ()4が付与

され,これとxからyへと進む運動量kの中間子線が入るのと

出るのとで2本;結局,zには計6本が接続する6重点となり

Tad-poleとしてはループが2個になります。



 このグラフのTad-poleループの寄与は単純に2乗になります。
 

こうした寄与が連結した外線の運動量kに無関係なら,伝播関数

への寄与と真空泡:0||0>への寄与が一致し,Sの再規格化:

/0||0>においては,分子と分母でこの因子は相殺して,

結局,無意味かもしれません。


 

したがって,有意なモデルとするには,Tad-Pole以外の,

少なくとも2端点を持つ非線型自己相互作用を考えるか?

あるいは,そもそも非線型ですから「重ね合わせの原理」

とか級数和に展開できるとかの線形性は成立せず,そうした

操作に頼る摂動論以外の方策を考えるべきとも思われます。
 

今のところ,このアイディアのメリットとして身のありそう

なものは,「非線型自由粒子=ソリトン」の構想以外には何

もありませんが。。。後は構想倒れ。。
 

σ(,)をk→∞と共に∞に増大する何らかのkとxの関数

として一般化て自由伝播関数の模型を, 

ΔFλ()=∫d4(2π)-4exp{ikx -λσ(,)}

/(2-μ2iε)と書けば,

(□+μ2)ΔFλ()

=-∫d4(2π)-4exp{ikx -λσ(,)}です。

ただし,ΔFλ()=<0|[φ()φ(0)]|0>です。
 

これを満たすような,非線型方程式:

(□+μ2)φ=f(λ,φ)の形を模索して得た解について

楕円積分の可能性を考察.そのλ→0での具体的計算を 

追求したりしているノートなどもあるのですが,整理

ができず,

 
また
引っ越しなど身のまわりが忙しくなってきたので,

Pendingです。(つづく)。。。。
 

続かないかも。。。。



PS:引っ越しのときはいつも手伝ってくれてた音信不通

 のN目クンがなつかしい。。

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2016年9月13日 (火)

場の量子論(第Ⅱ部)(3)

場の量子論第Ⅱ部の続きです。

 

前記事の最後では節が変わると勘違いしてましたが,§15.2の中の補足

項目として.荷電Dirac粒子からKlein-Gordon粒子の項目に移るだけ

でした。

 

 荷電Klein-Gordon場と電磁場の相互作用

荷電Klein-Gordon場と結合電磁場の量子論を確立する際に直面する

問題は本章の光子と電子のそれで既に遭遇したのと同様です。

 

そこで,ここでは同じ部分については繰り返すことはしません。

 

Klein-Gordon粒子においても,相互作用は,電子に対するのと同じく

電磁結合の処方:μ→ pμ-e0μでによって行いますが,これが

微分係数を含む相互作用の項を導入するため,その反動として特別な

問題が出現します。

 

自由場の荷電Klein-Gordon場のLagrangian密度は,

free^=∂μφ^μφ^-μ2φ^φ^ です。

また,電磁場単独でのLagrangian密度は,

el^= -(1/4)μν^μν^-(1/2)(^2^2)です。

 

これから,極小変換:μ→ pμ-e0μ^,or,iμ iμ-e0μ^

により,μφ^ (μi0μ^)φ^,および,これの複素共役:

μφ^ (μi0μ)φ^ によって,電磁場:μ^がある場合

の系のLagrangian密度は,トータルで

^(μi0μ^)φ^(μi0μ^)φ^-μ2φ^φ^

(1/4)μν^μν^ となります。

 

少し書き直して,(自由場項)(相互作用項)という形に整理すると,

^=∂μφ^μφ^-μ2φ^φ^(1/4)μν^μν^

i0{φ^μφ^(μφ^)φ^}μ^+e02φ^φ^μ^μ^

となります。

 

ただし,上の最後の変形では,前と同様,Coulombゲージで,演算子

φ^やφ^,0^=Φ^と交換しないことを無視しました。

(正規順序なら正しいはずです。)

 

この^(μi0μ^)φ^(μi0μ^)φ^-μ2φ^φ^

(1/4)μν^μν^ にに対するEuler-Lagrange方程式の1つ:

^/∂φ^-∂μ{^/(μφ^)}0 から,

i0μ^(μi0μ^)φ^-μ2φ^-∂μ(μi0μ^)φ^0,

つまり,(μi0μ^)(μi0μ^)φ^-μ2φ^0を得ます。

 

一方,別の方程式:^/∂φ^-∂μ{^/(μφ^)}0 からは,

同様にして,(μi0μ^)(μi0μ^)φ^-μ2φ^0

得ますが,これはすぐ前に得た方程式の複素共役を取れば得られる

式なので方程式として独立ではありません。

 

基本方程式としては,

(μi0μ^)(μi0μ^)φ^-μ2φ^0

のみで十分です。

 

これは,確かに自由場のKlein=godon方程式:(□+μ2)φ^0.

(μμ+μ2)φ^0,または,(^2-μ2)φ^(μμ-μ2)φ^0

,iμ iμ-e0μ^,または,μ→ pμ-e0μ^なる極小変換

を施した式になっています。

 

そして,^(μi0μ^)φ^(μi0μ^)φ^-μ2φ^φ^

(1/4)μν^μν^ の相互作用項が場の微分係数を含むため,

φ^,φ^の正準共役運動量は自由場のときと異なり:

電磁ポテンシャルとの混合形になります。

 

π^=∂^/∂φd^=φd^i00^φ^,および,

π^=∂^/∂φd^=φd^i00^φ^ です。

 

(3-1;)テキスト参照はここまでで詳細は文献を見よ。との

ことで文献が紹介がしてありましたが,この文献はあいにく

入手できず,しかし,これだけでは不完全燃焼なので自分で決着

を付けます。

 

まず,電磁相互作用項のうちのAμ^の1次の項:

i0{φ^μφ^(μφ^)φ^}μ^,Dirac

と同じく,-jμ^μ^と表現できます。

 

ただし,今の場合,μ^i0{φ^μφ^(μφ^)φ^}

 です。これは,荷電スカラー粒子の電磁カレントと見なせます。

 

特に,電荷密度は,ρ^=j0^i0(φ^φ^-φd^φ^) です。

 

そして,前のDirac粒子の定式化での電磁場と同じく,

^=ρ^,^d^-∇Φ^であって,^0ですから,

Φ^=A0^Poisson方程式:2Φ^=-ρ^の解です。

 

これを無限遠でゼロ,球対称という境界条件で解けば.,

Φ^(,)=A0^(,){1/(4π)}∫d3{ρ^(,)/|y-x|},

ρ^(,)i0{φ^(,)φd^(,)-φd^(,)φ^(,)}

なる解を得ます。

 

自由場のときに述べたように,荷電π中間子を示す複素スカラー場:

φ^,φ^(φ1^iφ2^)/2,および,φ*^(φ1^iφ2^)/2,

,独立な2つの実スカラー場φ1^,および,φ2^の異なる線形結合

で表現することができて,φ^とφ*^は複素共役の関係にあります

,これらは異なる2つの粒子場を示しています。

 

自由場のみであろうと,電磁相互作用を含む系であろうと,

正準定式化で満たされるべき同時刻正準交換関係は,まず,

[π^(,),φ^(,)]=-iδ3(),

[φ^(,),φ^(,)][φ^(,),φ^(,)]

です。

 

これらの複素共役を取ると,

[π^(,),φ^(,)]iδ3(),

[φ^(,),φ^(,)]{π^(,),π^(,)]0

ですが,これが複素場の満たす交換関係と考えられます。

 

さらにφ^とφ^が独立なことを意味する交換関係は,

[π^(,),φ^(,)][π^(,),φ^(,)]0

[φ^(,),φ^(,)]{π^(,),π^(,)]0

です。