2020年3月30日 (月)

訃報!! 志村けんさん。(2割は決して小さくはない。)

昨日23時ころ,タレントの志村けんさんが新型コロナ肺炎のため亡くなられました。

1950年2月20日生まれですから70歳になったばかりでした。

私も1950年2月1日生まれですから,ほぼ同年代です。

これまで結婚歴が無いのも私との共通点です。

イヤ,私と比較ではモッタイナイ,説明の必要ないいい男でした。

しかし,最期がコレではカワイソウです。

ご冥福をお祈りします。合掌!!

 

同じ70年でも,私から見ると志村さんは充実した人生だっただろうと

思います。私のはタダの惰性ですから.まだまだこの世に未練が

ります。だから2014年2月に今晩がヤマだということありました

が意識があって「まだ死にたくない。」と念じててヤマを超えました。

ツマラナイ人生でも死ぬのはイヤだったのです。

生への執着心の差でしょうか。

でも今人工呼吸器が足りないないとしたら他の人にゆずりますよ。

ところで10人中2人しか感染しない。8割の患者をは感染力がないと

われてるのに,なぜこんなに広がっていくのか?とニュース番組

などで疑問を呈されてることあるようですが,2割は決して小さくは

ないです。金利2割の複利で借金すると,お金は指数関数的,ネズミ算的

増加なので,またたくまに借金は何培にも増えます。

話を戻して最初10人感染者がいて潜伏期が10日としても潜伏期中

でさえ2割は感染するという計算では10人全員がそれぞれ1日に1人

接触すれば翌日は10×1.2の12人,その次の日は12×1.2で14.4人,

3日目には17.3人に増えるという具合で.10日後の潜伏期が終わって

発症するころ,患者合計は62人になっている勘定です。

これは10万円を利子が日歩2割で借りると10日後には62万円

になる,という高利貸しの借金に相当します。

ところで,私の収入は年金がメインなので年金を減らされる

ことはあっても,このコロナ感染のせいで仕事できず生活費

に影響受けるのは最もすくない人種ですから特に今援助が

欲しいわけじゃないし,もらえないだろうから他人事なのですが

,お魚券やお肉券?現金?ま,何でもいいからバラまくならスグ

やってほしいね。手遅れになるよ。。

大震災のときも善意の募金がたくさんあっても,それを分配する優先順位

にこだわるあまり善意が届かないこと多々あったとききます。

 薬には副作用があり,何をやっても諸刃の剣でかならず裏があり,

例えば消費税を減らしても増やしてもおかねバラまいても心配は

ツキもので,そのτ対処を考えてるうち何もせず手遅れになるのが常です。

とにかく早くやれよ。このくにでは一家心中した後,倒産,破産した

後に金がとどくんだろうなあ。。 何の心配もないのんきな役人

や金に困ってないヤツらが貧乏人への分配方法を決めて

バラマク仕組みなんだろうから。。

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2020年3月23日 (月)

日本の底力を見せてやろう

 日本人は,いつから自分のことだけ考える薄情なエゴイスト,

自国の利益ばかり追及する民族排外主義者に成り果てたたのだろう。

大震災や大災害のときに,海外から多くの暖かい支援を受けたのをもう忘れたのだろうか?

世界で30万人以上の感染者,1万人以上の死者が出ている未曾有の災害なのに,

何がオリンピックを開催できるかどうかだ?まずは日本だけのことじゃなく,

日本も含め世界の人々の命が第一です。ハヤリの言葉じゃ命ファーストです。

スポーツやイベントなど命あってのことです。。

とはいって地震,天災などのときのようにお金や物資の支援だけではないし

普通の庶民が簡単に援助できる状況じゃないですがね。。

それに一般人は病気を治そうというのは無理なハナシです

でも,こういうときこそノーベル賞で世界を驚かせたような日本の医療技術者

の科学力で底力を発揮するときじゃないでしょうか。

エラソウなこといっても他力本願ですが期待してます。

幸い,どういうわけか?国内は欧州米国に比べまだ余裕があるみたいですからね。

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2020年3月 9日 (月)

くりこみ理論要約(1)

「くりこみ理論(5)(次元正則化)」シリーズは2019年2月の(1)

から2019年7月の(5)をで,アップしたのち後,長い期間が経過

しました。

今回,久しぶりに,続きの(6)をアッたいと思いましたが

中断期間が半年以上と長いので,以前の履歴も薄れており,

その前に過去記事を整理するため,このシリーズ記事の

(1)~(5)を要約しておきます。

PS:Windows10にOS変更を余儀なくされ図など

のコピペアップも今のところうまくできません。

 

※今回は,まず,(1)の要約です。,

※(前書き)これまで「ゲージ場の量子論」の第6章

までを記事としてアップしました。

しかし,ここからは,第7章「くりこみ」の項目に

ついて,勉強した履歴の過去ノートから,回顧として

の記事を開始します。

このノートでの第7章の開始日は1997年3月20日

(47歳当時)となっています。

本文です。これまでは量子補正,すなわち,loopグラフ

の計算には踏み込まず,形式的に理論が整合的に存在する

ものとして,量子場の理論を相互作用項を摂動としてtree

グラフだけの計算で.議論を進めてきました。

しかし,具体的にloopグラフを計算すると,とたんに

紫外発散(ultraviolet-divergence)という問題が

生じます。つまり,loop運動量の大きいところでの積分

が発散するという困難に遭遇します。

 

この問題を処理するには,まず”無限大”というモノ

は直接扱うことができないので,正則化(regularization)

という手続きで,とにかくFeynmanグラフの積分が収束

して,理論がwell-defined(無矛盾)になるように工夫

します。その次には,諸量を物理的粒子の質量や結合定数

で書き直すという操作=くりこみ(renormarization)を

行ない,くりこんだ後の量が,初めの正則化という手段を

はずした極限でも,有限かつ無矛盾な量に留まることを

証明します。

 

まず,正則化の手続きとしては,歴史的にはQEDに

おいて「Paulli-Vllrasの正則化」と呼ばれる,大きい

運動量の切断(cut-off)の手法が導入されました。

これは被積分関数中の伝播関数を次のように置換する

ものです。

すなわち,質量がmのBose場(運動量はk)については,

伝播関数は,運動量表示では,i/(k2-m2+iε)で与えら

れますが,これを,i/(k2-m2+iε)-i/(k2-Λ2+iε)

=i(m2-Λ2)/{(k2-m2+iε)(k2-Λ2+iε)}に

置き換えます。ただし,Λ2は十分大きい実数です。

これを行なうと伝播関数は,k2>>Λ2では,1/k4

のように挙動し,元の 挙動:~1/k2よりも急激に

落ちるので,d4kのloop積分を実行した結果の収束性

が良くなります。

この,質量がΛで,負計量の寄与をする仮想的粒子の

伝播関数の意味を持つモノのをregulatorと呼びます。

この引き算操作でも,収束性が足りないときは,さらに

regulatorを入れて,k2→∞でもっと急激に落ちるように

します。BosonでなくFermionの粒子場の伝播関数に

ついても,切断質量Λの負軽量の関数を引いて,同様に

します。最後にΛ→∞の極限をとって正則化の痕跡

を消しても,理論が生き残ればこの手法は成功です。

これがPaulli-Vollers正則化ですがGuptaは,

これを改良して可換ゲージ理論の場合にも適用可能

にしました。

「Pauli-Viller-Gupta正則化」は,直観的で計算も

簡単でいいのですが,最大の難点は,一般の非可換ゲージ

理論でベクトル場に適用したとき,それがゲージ不変性

を壊すことにあります。

それでも最終的計算結果にゲージ不変の整合性が

有りさえすれば,計算途中で対称性が壊れていても

いいのですが,ここでは途中段階でもゲージ不変性の

保持が明確な,’tHooftとVolteraによって提案された

「次元正則化」という正則化を採用し説明することに

します。

次元正則化は,実際には4次元のこの時空の次元を

nと仮定し,解析接続によってnを複素数に拡張して

計算します。この正則化の最大の利点はゲージ不変性

が次元に依らず成立するため,ゲージ不変性を壊さない

ことです。しかも,被積分関数における伝播関数の数

を増やさず,一般的な積分公式が得られるので,具体的

計算法としても有用なものです。

 

さて,一般にFeynmanグラフの任意のloop積分は,

通常の相互作用の場合,loopで頂点(vertex)と伝播関数

の数は同じで,それぞれ,-(±i)とiが因子なので

(±1)が掛かりさらにFermionループなら全体と

して(-1)が掛かり,結局Feynmanパラメータ公式

を適用すれば,全て,∫dnk(2π)-n

[(kμ,kμν,..)/(k2-2kp-m2+iε)α]

(α>0)という形のモノに帰着させることができます。

 

そこで,まず,最も簡単な式である

I=∫dnk(2π)-n[1/k2-m2+iε)α]を評価する

ことから始めます。

まず,ガンマ関数の定義.

Γ(α)=∫0exp(-t)tα-1dt(Reα>0)から,1つ

の積分表示:Γ(α)s-α

=∫0exp(-st)tα-1dt(0<Reα<1)が得られ,

これは,さらに変形して,s-α

={iα/Γ(α)}∫0exp(-ist)tα-1dtと

書き直せます。この表式はIms<0,Reα>0の領域で

妥当な式となります。

そこでs=m2-k2-iεとおけば,Ims=-ε<0 の

条件が満たされるので,

I=∫dnk(2π)-n[1/(k2-m2+iε)α]

=∫dnk(2π)-n(-s)-α

={(-i)α/Γ(α)}∫0dt

[tα-1∫dnk(2π)-nexp{-i(m22-iε)t}]

なる表式を得ます。

経路積分の項で用いたGaiss-Fresnelの積分公式:

-∞dxexp(-iax2/2)={2π/(ia)}1/2から,

∫dk0exp(itk02)={π/(it)}1/2 ={π/(-it)}1/2

なので,∫dnk(2π)-nexp(itk2)

=(-1)1/2-n/2(4πi)-n/2です。

故に,I={(-i)α(-1)1/2(4πi)-n/2/Γ(α)}

×∫dt[t(α-n/2-1)exp{-i(m2-iε)}より,

結局,I={(-i)α+1/2(4π)-n/2Γ(α-n/2)/Γ(α)}

×(m2-iε)-(α-n/2)なる式を得ます。

ただし,収束にはRe(α-n/2)>0が必要です。

しかし,一旦この表式が得られれば,これはnについて

の解析関数なので,任意の複素数次元nに拡張できる形

です。このとき元の運動量積分が発散していたという

事情が.この解析接続においては,次元nに関する極と

して表現されます。これが次元正則化の特徴です。

 

つまり,ガンマ関数:Γ(z)はz=0,-1,-2,..

に極を持ち,Γ(z)=Γ(z+1)/zを満たしますから,

γをEuler定数:γ~Γ0.5772..としてΓ(ε)

=1/ε-γ+O(ε)なる評価式が得られます。

例えば,I=∫dnk(2π)-n[1/k2-m2+iε)α]

が,α=2のときn=4の次元では対数発散するという

事情に対しては,

α=2なのですが時空の次元は,n=4-2δ,

δ=α-n/2>0である,と仮定すれば,

I={(-i)α+1/2(4π)-n/2Γ(α-n/2)/Γ(α)}

×(m2-iε)-(α-n/2) において,

Γ(α)=Γ(2)=1であり,Γ(α-n/2)=Γ(δ)

=1/δ-γ+O(δ)=2/(4-n) -γ+O(4-n)

ですから,Γ(α-n/2)/Γ(α)=2/(4-n)-γ

+O(4-n)です。さらに,xε=exp(εlnx)

=1+εlnx+O(ε2)より,(m2-iε)-(α-n/2)

=(m2-iε)-δ=1+{(4-n)/2}ln(m2-iε)+O(δ2)

(4π)-n/2=(4π)-2(4π)-δ

=(4π)-2[1-{(4-n)/2}ln(4π)+O(δ2)}

と書けます。

それ故,これは

I=(-i)α+1/2(4π)-2{1/δ-γ+O(δ)}

{1-δln(4π)+O(δ2)}{1-δln(m2-iε)+O(δ2)

=(-i)α+1/2(4π)-2

×{1/δ-γ+ln(4π)-ln(m2-iε)+O(δ)}

を意味します。

結局,時空の次元がnで,α=2の場合には,

I=(-i)α+1/2(4π)-2

{2/(4-n)-γ+ln(4π)-ln(m2-ε)+O(n-4)}

なる評価式が得られました。

これは,I(n,α)が,n=4=2αに1/(4-n)の型の

極を持つことを示していますが,γやln(4π)の定数は

常に.この極の部分に付随して現われるため,

ε~-12/(4-n)-γ+ln(4π)と定義として,右辺

全体を「無限大部分」とみなすのが便利です。

以上はα=2を例として計算しただけの結果ですが,

くりこみ可能な積分式はゲージ対称性などを考慮する

と,結局,発散が高々対数発散である場合であることが

わかっているため,次元正則化で現われるおける無限大

は,全てこの形で出現します。

 

さて,I=∫dnk(2π)-n[1/(k2-m2+iε)α]

={(-i)α+1/2(4π)-n/2Γ(α-n/2)/Γ(α)}

×(m2-iε)-(α-n/2) なる表式において,

積分変数kを(k-p)に置換し,かつ,m2

(p2+m2)に変更すると,(k2-m2+iε)が,

{(k-p)2-(p2+m2)+iε}

=(k2-2kp+m2+iε)になります。

したがって,伝播関数分母の無限小虚部

iεを略して

∫dnk(2π)-n[1/(k2-2kp-m2+iε)α]

={(-i)α+1/2(4π)-n/2Γ(α-n/2)/Γ(α)}

(p2+m2)-(α-n/2)という,より一般的式が

得られます。

さらに,この両辺を,(∂/∂pμ)微分すること

により,∫dnk(2π)-n[(kμ,kμν,..)

/(k2-2kp-m2+iε)α]なる形の積分の公式

を全て得ることができます。

ここまでが(1)の内容の要約です。

※参考文献:

九後汰一郎著「ゲージ場の量子論Ⅱ」(培風館)

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2020年2月13日 (木)

光の量子論16

※「光の量子論15」からの続きで,第3章

に入ります。

(※余談)この「光の量子論」シリーズを書き始めた動機

は,昨年秋頃,そもそも.意外と知らずに使っている身の

まわりの電気製品のメカニズムを自分の認識能力内で

簡単カツ明瞭に書いてみたい,という欲望が起きたこと

からです。

まずは,熱交換機,冷媒,ペルチエ効果で冷暖房用の

エアコン(ヒートポンプ)や冷蔵庫,冷温蔵庫などの

説明を書き,次に,電灯の話に移り,白熱電球,蛍光灯,LED

の説明に移り,電球の話で,つい,20世紀末の昔,物理

フォーラムで,サブシスをていた時代に,話題となった

電流理論,電気回路理論に深入りし。高校でも習うオーム

の法則や,ジュール熱に,その熱エネルギーが,どうして光

に変わるのか?ということで,固体内電子のバンド理論

からフォノンの話まで.どんどん脱線しました。

とりあえず,蛍光灯の話に移り.水銀蒸気に陰極からの

熱電子が衝突して発生した紫外線が蛍光管壁の物質に

衝突して発生する蛍光を利用するという程度で,次のLED

に進めばいいのに,生来の偏執質な性格で,蛍光は誘導放出

じゃなく自然放出だったよな?とか燐光との違いは?とか

気になり,これもウィキの解説程度でお茶濁しておけばいい

のに,そういえば10年くらい前に光学と量子論など詳しく

勉強したことを思い出したのがウンノツキて,1から記憶を

取り戻す気になったのがこのシリーズのきっかけでした。

しかし,蛍光灯の話なら,第2章までで十分で,ここで

このテーマのブログを中断して,元の蛍光灯システムの

具体的説明に移ろうかな?と一瞬思いました。

ですが,第3章の「カオス光のゆらぎの性質」

なども,確かに,昔,コヒーレンズ(可干渉性)が気になり,

位相が無相関の相関係数ゼロに近い普通の部屋の中を

照らしているようなカオス光じゃ,現実に反して部屋の

中が真っ暗になってしまう。などと,いうようなバカな

誤解釈をワザワザ,掲示板に投稿して失笑を買ったこと

もあります、イヤ,真っ暗になるのは相関係数がゼロの

ときじゃなく,丁度,-1の逆相関の干渉性によるのが

真実である。と自分で訂正したというエピソードも,

思い出したのでした。

というわけで,一旦始めたシリーズは,白熱灯に続き,

蛍光灯の仕組みを簡単に説明したいだけ,という元の

動機も忘れて,もう少し惰性的に続けよう,と保守的で

安易な選択をする気になりました。(余談終わり※)

さて,本題に戻ります。

第3章 カオス光のゆらぎの性質

※参照ノートの第3章開始の日付は第2章終了と同日の

2006年の8/9となっています。

本章では励起原子の放射遷移により発生した放出光の

特性を考察します。この特性は,原理的に2種類の異なる

実験によって測定できます。

まず,通常の分光法では,光の周波数分布が測定され,

2章で略述した理論によって,これから光源の線幅を広げる

過程の性質と強度に関する情報が得られます。

 本章での主な関心事は第2の種類の実験であり,その

実験では,光ビームの振幅,i.e,強度の時間依存性を測定

します。光源の線幅を広げる過程はまた,ビームの電場と

強度に,その周波数の広がりに反比例する時間スケールで

平均値のまわりのゆらぎを引き起こすことが示されます。

 これらの時間的ゆらぎと周波数の広がりとは,光源を構成

する放射原子が持つ同じ物理的性質の現われですが,光学

実験の全領域を説明するには,どちらの側面も欠かせません。

光源には2つの型があり,それらを区別することが大切です。

普通の分光器は,光源は気体放電ランプであり,そこでは個々

の原子が放電によって励起され,相互に無関係に光を放射して

います。発光線の形は,原子の速度の統計的広がりと不規則に

起こる衝突によって決定されます。広く用いられている,この

種の光源を「カオス光源」と呼びます。

熱空洞とフィラメントランプは,他のカオス光源の例です。

如何なる種類のカオス光源から出た光ビームでも,同じ

ような統計的特徴を持っていて,ただ,統計的分布のパラメータ

だけが,カオス光ビームごとに異なっています。

第2の型の光源は「レーザー光」であり,これは全く別の

統計的性質を持っています。

レーザー光の性質は,本章では,ごく簡単に述べるに

留め,詳しい議論は,後の第7章まで保留することに

します。以下で行う計算では,光ビームの古典的記述を

用います。古典的モデルは,ゆらぎの効果の本質を正しく

認識するのに役立つばかりでなく,6章で示すように

カオス光に関しては,古典論も量子論も同じ予測を与える

ことがわかります。

2つの理論が異なる可能性のある,他の種類の光に

関しては,量子論予測の重要性は,それに対応した

古典論を背景にしたとき,一層,明快に理解できるはず

です。

 

  • 3.1 ゆらぎのある光ビームのスペクトル

光ビームが通過する固定した観測点で,その電場の時間

依存性を測定する実験を考えます。

 本章では主として,光源の性質からビームの電場と強度

のゆらぎの性質が決定される過程を扱います。

観測点での光の周波数ウペクトルは,

(ω)=(2π)-1-∞(t)exp(iωt)dt.(3.1)

で定義される電場のFourier成分によって決まります。

周波数がωの光のサイクル平均強度は.

|(ω)|2=(4π2)-1-∞dt∫-∞dt’

[(t)E(t’)exp{iω(t-t’)}

=(4π2)-1-∞dt∫-∞dτ

[(t)E(t+τ)exp(iωτ)}.(3.2),

ただし,τ=t’-t.(3.3)で与えられます。

  • 3.4で示す予定ですが,ある種の光学干渉実験

で,(3.2)の右辺のtについての積分が必然的に実行

されているものがあります。積分がカバーする時間

は,現実の実験では,当然,無限大では有り得ません

から,大きいが有限な時間Tを∞に置き換える,こと

にします。

そして,1次の電場相関関数を,

(t)(t+τ)>

=(1/T)∫[(t)E(t+τ)]dt.(3.4)

で定義します。これは,時刻tの電場がt+τで取り

得る種々の値の確率に影響する様子を記述します。

 その形は,光源の作り出したゆらぎの種類によって

決まります。 

光源の性質が「定常的」,つまり,ゆらぎの統計を

支配する要因が時間的に不変であれば,Tが,ゆらぎ

の特性時間スケールと比べて大きい場合に限って,

(3.4)の平均値は,特定の出発時刻に無関係になります。

このとき,(3.4)の平均値は時間平均操作によって,

光源の統計的性質が許容する,あらゆる電場の値を,

それぞれ,適当な相対確率で標本抽出できます。

そして,その結果はTの大きさに依存しません。

,例えば,実験的に相関係数を決定するには,(3.4)の

右辺のような時間平均を取ればいいのに対し,この関数

は,tとt+τにおける場のあらゆる値にわたる統計平均

を取ることによって計算されます。

そうして,この結果はもちろんtに依存しません。

すなわち,相関はτだけの関数で,こうした平均化の

処理は§1.4で触れた「エルゴード定理」に合致して

います。このとき,周波数ωでの強度のサイクル平均:

(3.2)の|(ω)|2=(4π2)-1-∞dt∫-∞dτ

[(t)E(t+τ)exp(iωτ)},は,

|(ω)|2={T/(4π2)}

-∞[<(t)E(t+τ)>exp(iωτ)]dτ.(3.5)

となります。

ここで,(2.64)のデルタ関数の公式:δ(ω0-ω)

=(2π)-1-∞exp{i(ω0-ω)t}dtより,

-∞exp{i(iωτ)dω=(2π)δ(τ)を用いれば.

-∞|(ω)|2dω={T/(2π)}<(t)E(t)>

(3.6)です。

そこで,規格化された光スペクトル分布関数Fを,

F(ω)=|(ω)|2/∫-∞|(ω)|2dωと定義して,

F(ω)=(2π)-1-∞(1)(τ)exp(iωτ)dτ,(3.7)

の形に書き,g(1)(τ)なる量を導入すれば,

このg(1)(τ)は,g(1)(τ)==<(t)E(t+τ)>

/<(t)E(t)>.(3.8)で与えられ,規格化された

1次相関関数と呼ばれます。

この量はまた,「光の1次時間コヒーレンス度」と

呼ばれています。光スペクトルと1次相関関数を結ぶ

(3.7)は,「Wiener-Khintchin(ウィーナー・ヒンチン)

の定理」の1つの形です。

(※つまり,ω空間の統計分布に時間空間のそれを対応

させるエルゴード性の表現の1つ.と考えられます。) 

これは,分布実験の結果と,時間に依存する光のゆらぎ

の測定結果の間の形式的関係を与えています。

この関係は正のτのみの積分に直すことができます。

すなわち,(3.7)は,F(ω)

=(2π)-1-∞(1)(τ)exp(iωτ)dτですから,

F(ω)=(2π)-10(1)(τ)exp(iωτ)dτ

+(2π)-1-∞(1)(-τ)exp(-iωτ)dτ.(3.9)

と書けますが,相関関数の定義(3.4)の:

(t)(t+τ)>

=(1/T)∫[(t)E(t+τ)]dtにより,

1次相関関数g(1)(τ)=<(t)(t+τ)>

/<(t)E(t)>も,時刻tに依存しないので,

(1)(-τ)=<(t)(t-τ)>

/<(t)E(t)>

=<(t+τ)(t)>

/<(t)E(t)>=g(1)*(τ)(3.10)

です。こうして,結局,

F(ω)=π-1Re∫0(1)(τ)exp(iωτ)dτ

(3.11)を得ます。

 

  • 3.2 衝突広がりのある原子のモデル

ゆらぎの一般論は,衝突広がりが優先する光源

から出た光にも容易に適用できます。

放射広がりとドプラー広がりを無視し,衝突は

原子状態を変えない弾性的位相中断型であると

します。そして,周波数ω0の光を放射する特定の

励起原子を考えます。

原子が衝突するまでの間,原子から定常的に

放射される電磁放射の波列を想定します。

衝突している間,光を放射する原子のエネルギー

準位は,衝突する2つの原子間相互作用の力によって

ずれます。

したがって,放射される波列は,衝突の間,中断する

ことになります。衝突後,再び,周波数ω0の波列を

取り戻すと,その特性は波の位相が衝突前の位相と

無関係になっている以外は,衝突前に持っていた

特性と同一です。

 衝突の間,放出される放射については,周波数が

ω0からずれていますが,衝突時間が十分短かければ

その放射は無視できます。そのときは,衝突広がりの

効果は,各励起原子は常に周波数ω0で放射しますが,

放射された波の位相は衝突が起こる度に不規則に変わる

という模型(モデル)で表わすことができます。

放出光の周波数に見かけの幅が現われるのは,波が

有限の切片で分断されるので,Fourier成分がω0以外の

周波数を含むことが原因です。

 τ0を(2.131)の,自由飛行平均時間とすると,その

代表的な値として,(2.141)のτ0 ~ 3×10-11sと,(1.65)

の周波数:ω~ 3×1015Hzの可視光周波数をω0に取ると,

ω0τ0~ 9×104.(3.12)が得られます。

これらの数値を使うと,1個の原子から放射された波列

は引き続く2回の衝突の間に平均で約15000周期の振動を

することになります。

こうした波の場の振幅は振動形で,

(t)=0exp{-iω0t+iφ(t)}.(3.13)と書いてよい

と考えられます。この位相:φ(t)は自由飛行時間中は一定

に保たれ,衝突のたびに突然変化します。

一方,ω0はどの期間でも同じです。

衝突広がりのある光源から出た波全体は各放射原子

において,1つずつある(3.13)の項の和で表わされます。

そうした原子がν個あるとすると,電場の全振幅は,

(t)=1(t)+2(t)+..+ν(t)..

0exp(-iω0t)

[exp{iφ1(t)}+exp{iφ2(t)}+。。+exp{iφν(t)}

0exp(-iω0t)a(t) exp{iψ(t)}.(3.14)

となります。

以下,簡単のため観測する光は一定の偏り(偏光)を

持っているとします。

すると,個々を代数的に加えることができます。

(t)=0exp(-iω0t)a(t) exp{iψ(t)}

から得られる電場は,不規則な振幅変調と位相

変調を受けた周波数ω0の搬送波より成り立って

います。

搬送波の周波数で起きているE(t)の振動を

Fourier分解することは,実際上不可能です。実験的

に,うまく分解できる時間は約10 -9s程度であり,

これは(1.65)の,ω ~3×1015Hzの振動を検出する

には6桁ほど長過ぎます。

したがって,実験と比較するには,理論の結果を

搬送波の振動のサイクルについて平均するのが適切

です。(t)=0exp(-iω0t)a(t) exp{iψ(t)}

から実電場ではω0のサイクルについて平均すると

ゼロとなります。

しかし,ここで,過去記事;「光の量子論3」を参照

すると,を光(電磁波)の強度として=E×B/μ0

定義すると,光ビーム強度のサイクル平均は,(1.89)式

の<>=(1/2)ε0cη|(r,t)|2で与えられます・,

 これによると,誘電体のない自由空間でのビーム強度

のサイクル平均は,η=1により,

(t)>=(1/2)ε0c|(r,t)|2

=(1/2)ε002{a(t)}2 (3.15)です。

左辺が時間平均なのに時間tの関数なのは

平均強度が,不規則な振幅変調a(t)のために,

なお,時間tに依存する因子を含んでいるからです。

各原子の位相の変動は,τからτ+dτの間で

衝突を受けない確率p(τ)dτが,(2.131)式の,指数

分布:p(τ)dτ=(1/τ0)exp(-τ/τ0)dτなる確率

法則に従う自由飛行時間τ0を有します。

(t)>,ψ(t)の時間スケールはτ0だけで

決まります。

時間τ0の間には,強度と位相に,かなりの変化が

生じることもありますが,Δt<<τ0のΔt内では,

これらの量は,ほぼ一定と見てよいことがわかります。

 

放射広がりとゴプラー広がりを含めると,上述の論旨

は,細かい点では修正されるでしょうが,しかし,強度と

ゆらぎは衝突広がりのみのものと同様です。

線幅を広げる,どのような機構の組み合わせにも衝突

広がりのτ0に類似した不規則なゆらぎの時間スケール

を決める,ある特有の時間が存在します。一般に,この

特有な時間スケールを光ビームのコヒーレンス時間と

いい,これをτcと表わします。この大きさは周波数の

広がりの逆数の程度です。

今後の全ての理論では,周波数の広がり:Δω~1/τ

が,ω0に比べて小さい,つまり,ω0τc ~(ω/Δω)が1

よりはるかに大きい光ビームに言及を限ることにします。

明らかなように,空洞の熱励起によって発生した光

(黒体輻射)は,平均周波数にほぼ等しい周波数の広がり

を持っているので,この範疇には入りません。

コヒーレント時間に関連する径路の長さλc=cτc.

(3.16)をコヒーレンス長といいます。

今考えてぃる光ビームでは,コヒーレンス長は,光の波長

よりずっと長いです。

 

  • 3.3 1次コヒーレンスと周波数スペクトル

衝突広がりを持つ光源についてのモデルを用いて,光の

1次電場相関関数,1次コヒーレンス度,および,周波数

スペクトルが計算できます。

まず,(3.4)の,<(t)(t+τ)>

=(1/T)∫[(t)E(t+τ)]dtに,時間平均として

栄議した,種々の時刻tにおける電場の相関関数を考えます。

E(t)は,コヒーレンス時間よりずっと短かい期間では,

その変化はわずかですが,コヒーレンス時間よりはるかに

長い期間には大きな変化を生じます。

そのような長い期間を隔てた2つの時刻での電場間には

事実上,相関はないはずです。

サンプリング時間Tが多数のコヒーレンス時間に

またがっている場合,(3.4)は光の性質だけに依存し,

Tには依存しません。

検知器の分解時間はτcよりずっと短かく,またビーム

方向の寸法λcよりずっと小さくなければなりません。

これらは,(3.4)の相関関数の計算に「エルゴード定理」

が使えるための条件です。こうして,< >は統計平均とも

解釈され,求める相関関数は,

(3.14)の,(t)=0exp(-iω0t)

[exp{iφ1(t)}+exp{iφ2(t)}+..+exp{iφν(t)}]

なる表現を利用して,

(t)(t+τ)>=02exp(-iω0t)

×<[exp{-iφ1(t)}+..+exp{-iφν(t)}]

×[exp{iφ1(t+τ)}+..+exp{iφν(t+τ)}]>.

(3.17)と書けます。

2つの大括弧[ ]をはずすと,別の原子から出た波列

の位相角は,それぞれ,ばらばらの値を取るので,交差項

の寄与は,平均を取ると消えてしまいます。

そして,放射原子は全て等価ですから残った項から,

(t)(t+τ)>=02exp(-iω0t)

Σi=1ν<exp{i{φi(t+τ)-φi(t)}>

=ν<i(t)i(t+τ)>.(3.18)を得ます。

このようにして,全体としての光ビームに対する相関

関数は.単一の原子の寄与によって決まります。

ところで,各波列の位相角は,その原子が衝突した後は,

勝手な値に跳ぶので,その次に平均を取ると寄与はゼロ

となります。

こうして,<(t)(t+τ)>=02exp(-iω0t)

Σi=1ν<exp{i{φi(t+τ)-φi(t)}>

=ν<i(t)i(t+τ)>.の右辺の単一の原子の

相関関数は,その原子がτより長い自由飛行時間を持つ

確率に比例します。

τからτ+dτの間に衝突を受けない確率p(τ)dτ

が,p(τ)dτ=(1/τ0)exp(-τ/τ0)dτである

という,(2.131)を用いると,

i(t)i(t+τ)>=02exp(-iω0t)

<exp{i{φi(t+τ)-φi(t)}>­

02exp(-iω0τ)∫τp(τ)dτ

02exp{-iω0τ-(τ/τ0)}.(3.19)

と置くことができます。

それ故,(3.18)は,

<E(t)E(t+τ)>

=ν02exp{-iω0τ-(τ/τ0)}.(3.20)と

なります。よって,規格化された相関関数,つまり,

1次コヒーレンス度:(3.8)のg(1)(τ)

=<(t)E(t+τ)>/<(t)E(t)>は,

(1)(τ)=exp{-iω0τ-(τ/τ0)}.(3.21)と

表わされます。

衝突広がりのある光のスペクトルは,(3.11)

のF(ω)=π-1Re∫0(1)(τ)exp(iωτ)dτ

に従って積分計算すれば得られ,

F(ω)=(πτ0)-1/{(ω0-ω)2+(1/τ0)2}.(3.22)

となります。

これは.(2.112)と同様な規格化Lorentz曲線形です。

放射広がり:γを無視すると,(2.133)で説明無しに

仮定したように,γcoll=1/τ0.(3.23)であれば,線幅:

(2/τ0)は,(2.140)の2γ^=2γ+2γcollと一致すること

を示しています。

それ故,1次コヒーレンス度は,

(1)(τ)=exp(-iω0τ-γcollτ).(3.24)と書けます。

衝突広がりと放射広がりが共存するときは,

1次コヒーレンス度とスペクトルは,光源のモデルを

一般化すれば計算できます。

その結果は,上記のγcollが,これに放射減衰γを加えた

(2.135)の全減衰:γ^=γ+γcollになるように拡張すれば

いいです。

こうして,相関関数と1次コヒーレンス度)は,

(t)(t+τ)>=νE02exp(-iω0τ-γ^τ).(3.25)

および,g(1)(τ)=exp(-iω0τ-γ^τ).(3.26)と一般化

されます。

スペクトルは半値幅が,2γ^=2γ+2γcollのLorentz型

ビームで,コヒーレンス時間は,τc=1/γ^.(2.137)です。

ドプラー広がりがコヒーレンス度に及ぼす効果については

後の§3.5で考察予定です。

如何なる種類nカオス光でもτがτcよりずっと長く

なれば相関が無くなります。

また,<(t)>=0.(3.28)により,1次コヒーレンス度

は,τ>>τcなら,g(1)(τ)=0.(3.29)という極限値を持つ

ことを注意して終わります。

 

今回は,ここまでにします。(つづく)

 

(参考文献):Rodney Loudon 著

(小島忠宣・小島和子 共訳)

「光の量子論第2版」(内田老鶴舗)

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2020年2月 6日 (木)

最近の体調不良の原因が判明?

 今日,何気に「食事後,大量の痰で苦しい」という題目

でネット検索。。予想はしていましたがやはり嚥下障害の

ようです。1昨年の2018年は5月中旬から8月末まで,

文京区の順天堂の形成外科に,これまでで最長の3ヶ月

半の入院,そして11月中旬に発熱で左足親指腫れて,

足の指の最後の1本を失って,1ヶ月入院,延べ4ヶ月

半も入院しましたが,幸い,それ以後入院はありません。

しかし,2018年5月に緊急入院したときは最初,形成

外科病棟に空き室がなくてHCU(High care unit?)という

ところの,めっちゃ低反発で身体が沈みこんで寝返りも

ままならない高度障害者用ベッドに縛り付けられ,夜も

全室のナースコールが聞こえて全然寝付けない地獄の

ような3日間の後,通常病棟に移ったので,その日の22

時頃までパニック障害で身体の痙攣が止まらないという

経験をしました。

それから,数日して,特に夜寝付けないときに,過呼吸

のように急にセキが始まってなかなか止まらず呼吸困難

や嘔吐したりで死ぬカモ思ってるとやっと止まるという

ことの繰り返しの毎日でした。

主治医に相談すると呼吸器内科で検査ということに

なりました。折りしも長年の喫煙のせいでCOPDとなって

落語家の桂歌丸さんが亡くなった頃でしたが,私は正直

2006年暮れに心臓障害になって2007年4月には心臓

バイパス手術して8月から障碍者に認定された頃には

喫煙は止めて10年以上も経過してるし,COPDでも喘息

でもなく呼吸器に異常なしという結果でした。

自覚症状はあるけど,検査では異常なしで原因不明という

のがイチバン困るのです。次に自己診断で入院ストレスで

自律神経異常を疑って精神科に言ったりしましたが,結局

睡眠薬を処方してもらっただけです。まあ,実際退院すると

発作回数が減ったので入院ストレスも原因の1つでしょう。

ということはセキがひどくて呼吸困難になっても救急車

を呼んで入院すると余計にヒドくなるだろうから,このため

の入院は逆効果でできないなと思ってました。実際2018年

の2回目の暮れの入院時も同じ症状だったので次は耳鼻

を予約していたのですが,sの前に形成は退院となりました。

それから自分で逆流食道炎を疑い,胃酸を押させるクスリ

を飲み始めました。少しは改善があって今も継続して服用

中です。

1つにはWcupのラグビーを見たり,ゲームで興奮したとき

セキが始まって止まらず,もう一つはモチがノどにつ詰

まったり,声がオカシクなるのは無いけど,嚙むと粉々の

粉末状になったり,消化の悪そうな固目の食物を食べると

セキが出て,食後もムカムカして小1時間も無色の痰が

出続けるし.仰向けに寝るとセキが出て眠れないとか

で最大の原因は嚥下障害と確信するようになりました。

高齢もありますが,長期入院を繰り返して,めったに

出歩かないようになったので,足の傷が悪化して発熱

から敗血症になっ足り転倒する危険性は少なくなった

けれど絶対的体力が,どんどん落ちて,特に肺,食道,舌

に関連する筋肉,筋力が弱小化して,これが体内時計逆転

の睡眠障害,自律神経異常のストレス障害と合併したと

いう結論に達し、これを今日確信するに到りました。

治療薬は無いと思いますが,とりあえずネットで見つけた

腹式呼吸法や首や肩を回すなどのリハビリをやってみます。

後は糖尿には良くないカモしれないが葛根湯とか八味地黄丸

とか.タウリンとか栄養をつけることです。昔の労骸に高麗

ニンジンとかと同じ発想です。

ただ,私,昔から長続きしないのですね。

見た目からは,何でも計画して目標に向かって予定を

立ててストイックに努力するタイプと最初は誤解されますが,

実は正反対です。チャランポランで行き当たりばったり,

衝動買いタイプ,オッチョコチョイです。ただ飽きっぽいので

何にも,はまることなく,大火傷する前に止める小心者です。

未だにはまってるのは,このブログと理論物理くらいです。

実験物理は見るのは好きですが,自分で実験やるのは好き

じゃないです。

でも,若いときに,精神病になったのはこうした部分的な

偏執質と完全主義いう矛盾した性格からでしょうが。。

というわけで,お金がかかるのは困るけどPTでも付けて

もらって,計画的リハビリでもしないと,スグやめてしまい

そうです。しかし,まあ,生死がかかってるからネェ。。

睡眠薬もベルソムラ「にしました。

 

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2020年2月 1日 (土)

今日は誕生日です。70歳になりました。

 今日,2月1日は私の70回目の誕生日です。

もはや誕生日がメデタイとは思いません。ただムダに

惰性で生きてるだけですから。。

まさか70歳まで生きるとは?神に愛されなかったと

いうことでしょうね。

「神々の愛でにし者は夭折す。」と,20歳で女性をめぐる

決闘で死んだ数学の天才・エヴァリスト・ガロアの伝記,

L・インフェルトの「ガロアの生涯」の副題にあります。

20代初期の学生時代。。「キルケゴ-ルもゲバラも40歳

になる前に死んだという例から40まで生きてたら凡才

だね。。お前も俺も40までには死ぬと,天才を気取ってい

ましたが,結局,共にまだ生きてます、。

まあ,ガウスやオイラーは長生きでしたから,一概に天才

は夭折するとは限らないようです。

関西の大学院生の頃は,1年後輩から博学なウンチクを語る

私に「物知りの量子数を持ったイヤミオン」と命名されました。

専門バカ的なのが天才の証で,何でも博学なのはセイゼイ秀才

であって理論物理学の研究者としては大成しない凡才だという

ワケです。物知りだけなら機械・コンピュータのほうが上だと

いわれました。

昨今はTVでクイズ王などという番組もあって,記憶だけで

なく,頓知や絶対音感など右脳を働かせないと解けないモノを

瞬時に解く方々もいるので単純ではないですが。。。

そういえば1977年に上京して入社した,大型コンピュータで

プログラムを作って科学計算をする会社いた頃にも,先輩

から,「チミは,Waking-dictionaryではなく,ワーニング・

プロチョン(Warnigとprogramチョンボの塊り)とか,

アカデミック(実は垢だらけで不潔)だね。」とか揶揄されて

ました。まあニックネームが付くほどイジられたのは,愛されて

いたと解釈しておきます。

日本の平均寿命が長くなったので,人間五十年といってた頃と

違って70歳でもハナタレ小僧です。

しかし57歳で心臓手術受けた頃は,まあ,あと10年だろうとか,

最近も余命1年とか半年とか,医者の言うこと信じてたらもう

4回は死んでいる勘定です。

医者が患者を余命でイジルのはやめてね。

東京オリンピック開催までは生きていそうです。

憎まれっこ,夜にハバカリですネ。

 

PS:今,夜中の2時8分地震がありましたが,おさまりました。

震源茨城で東京23区は震度3らしいです。

 

 

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2020年1月23日 (木)

雑感。。無理が通れば道理が引っ込む

 無理が通れば道理が引っ込む。

将棋を指していて,最近は手筋だけの直感指しで,相手が

無理筋だと,私,素人なのに,これは無理のはずだから,

とがめなくちゃと肩に力入って結果,墓穴を掘ります。

大阪なおみちゃん,ではないが,勝負には冷静さがイチバンですね。

政治の世界では,「汚職関係の追及ばかりせずに,予算編成とか

建設的議論をしろ。」とかいう人たちもいますが。。。

時代劇だと悪代官などが,どんな悪事で私腹を肥やそうと,

関係なく,追及は後回しにして,ちゃんと民のための統治をしろ。

とはなりません。

ヒトラーやオウム,あるいは盗人,殺人鬼が,たまたま統治者

でも,とりあえず緊急時だからと善政を期待しますか?

どう考えても,悪事やウソの追及のほうが先でしょう。

イヤそこまで悪くはない。ですか。

無理やウソを言っても,裁判のように有罪無罪を最終判定

して懲罰を課したりできる人がいません。

もちろん物的証拠が無ければ裁判でも水掛け論ですが,

状況証拠だけでも判事は最終判断します。

それで冤罪も多いのも事実ですが。。

被告に無罪の証明をする必要はなく断罪するほうが有罪

を証明できなければ無罪。とううのが推定無罪ですが

実は,民主主義社会では政治における判事は国民のはず

ですが,世論が批判的でも支持率はむしろ上がるのじゃ。。

しょうがない。まあ,自分で政治に関わるのじゃなく他人

まかせだから,代替がもっとロクなモノじゃないし。。

選挙の投票しか意思表示方法がない。

次のイベントを待っているだけ。。それでも飢え死にや,

難民で逃げなきゃならないほど切羽つまってない。。のんきな

国になっています。韓国や香港の百万人デモのほうが,健全

と感じます。選挙以外の方法のほうが有効なのに。。。

追及されなきゃカエルの面にションベンとなるのか。

昔の切腹文化や武士道を奨励するわけじゃないが,

そういう卑怯でも何でも責任はとらないとというのは、

ヤマトの伝統文化じゃない。恥ずべきです。

まあ,ほぼ寝たきりの無責任な死に損ないジジイの感想

ですが。。

PS:ところで,不思議なことにOSを代えるため,来月中古PC

買い替える予定に際して,私,エロジジイの集めたAV動画

を分類していると,つい煩悩が寝たコを起こして62~63歳

ころからの糖尿性EDから回復して,ヒトリエッチで昨夜,

7年ぶりに,先っちょから白い液体が出ました。

バンザイ。。イツモ,抜けないので煩悩が続くのでした。

 でも,煩悩があるからこそ人間。。そのために私長い

ウツ病で死にたいと思った時期もあったけど。。煩悩,欲望

は生きるためのリビドー,モチベーションの源,

煩悩が消えた色即是空の仙人,「賢者タイム」の男は

ぬけがら。。。神は,われわれに遺伝子を残せ。という

本能を与えた。これは,所詮生きものの宿命。神には

抵抗できない。。

 しかし,ヒトラーの「夜と霧作戦」や相模原の大量殺傷者

ような価値観もあるだろうが,生産性の無い生きものに

生きる価値が無い。。という価値観には共感できない。

A.Iは,いかに優秀でも行動の動機は何だろうか?

 いかに複雑にプログラムされ学習機能を与えられて学習

させて所詮人間の命令,コマンドしかモチベーションに

ならないだろうコンピュータです。。

 そういえば,これまでの長期入院中にも世間話さえ通じない

けれど,仕事は優秀なロボナースがたくさんいましたネ。。

「幻魔大戦」の途中から抹香臭くなり幻滅した平井和正の

初期SFの「アンドロイドお雪」のような人間そっくりの

ダッチワイフ,3次元プリンターやホログラフィでのそっくりな

存在にも心を感じて愛せるだろうか?

最近の紅白の美空ひばりや,既に死んだ親族の複製を本物の

ように愛せるだろうか?クローンならどうか??

 ともあれ,オレはこの調子でガンでも消えるという自然治癒力

で視力や歩く力も回復するぞ。。 歯,眼,マラ,もはや手遅れで

今から春がクルことはないのですが。。

 

 

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2020年1月17日 (金)

光の量子論15

※「光の量子論14」からの続きです。

(※余談)阪神大震災から25年です。

1995年1月16日は私,まだ45歳で夜,新宿三丁目

でニフティのパソコン通信,の将棋フォーラムの新年会

に出ていました。元のゲームフォーラムが麻雀,囲碁,将棋

に分裂してできたのですがそのときは囲碁フォーラムと

合同の新年会でした。当時のニフエィ将棋名人の筆無精さん

に初めて会い,1992年11月にバブル崩壊の頃クビになって

いた就職2つ目の小さな会社の同僚1人と遭遇しました。

(この会社は阪大囲碁部出身の社員が多かった。)

ほぼ朝帰りで帰宅し,TV見たら,既に何千人も死亡とか。

「ナンジャこれは?」となり,まだ携帯無くて西宮在住の

姉に電話しても通じないので,岡山の母に電話すると西宮

の姉も大阪生野区の次兄も無事とのことで,ひとまず安堵

したのを覚えています。私は1985年に35歳で江東区木場

の運河沿いの10階立ての10階に25年ローンで3DKの

分譲マンションを購入(一応先にハコを用意して普通に結婚

できるかもと,。。他人には隠していたが23歳からの精神病

の負い目がなければ。。)その後,40歳で1つ目の会社を辞め,

43歳直前に2つ目の会社をクビになって,約半年間失業保険

で暮らし,それからオイルショックで不況な上40歳を超え

た独身であるためか仕事を選ばないのに,就職試験落ちまく

って,予備校,専門学校の非常勤講師などで食いつなぎ,1994

年には約2000万円で買って9年住んでいたマンションを約

3500万円で売り,差額で巣鴨の1200万円のワンルームを

買って移った頃です。家賃は管理費修繕積立金の他はない

ですが細々と暮らして,パソコン通信のほうがメインの生活

であった頃です。

将棋フォーラムでのリアル対局,兼チャットと,サイエンス

フォーラムから独立した物理フォーラムなどの掲示板で議論

していた頃です。

当時.OSがMS-DOSのPCを1991年から計算機だけでなく

通信手段として使用したのは,後Windows95からインターネット

文化が広がり,携帯,スマホの時代へと進んでいったことを

考えると,ヒョットして先見の明があったのかも知れないです

が,楽天,ライブドアなど商売道具に利用することまでは考えて

いませんでしたね。

今もユーチュ-バー・バブルなどあるカモですが,宝クジ

同様,やる気なしです。私は,このブログ発信程度です。

ユメはお金持ちになることじゃなく,衣食住が足りれば十分

ですから。というわけで,2月1日で70歳ですが,未だ,お金

にはならないであろうけれど,大きなユメの途中です。

イヤ,棺桶も近いけど。。

1999年49歳のクリスマスの頃,派遣会社から常駐仕事に

就けるまではフリーターでした。イヤ,生活レベル下げたく

なかったので,この夜勤の仕事以外にも複数のアルバイトも

していました。37歳頃から糖尿病でしたが,この病気は重病

化しないなら普通に働けます。そして7年後に急に心臓病で

倒れることになったのですね。(余談終わり※)

さて本題です。

前回は第2章 原子・放射相互作用の量子力学の

  • 2.13(合成吸収線の形状)の項を記述しました。

今回は,その続きで次の節からです。

 

  • 2.14 Bloch方程式とレート方程式

光学Bloch方程式と,それより簡単な原子占位数に

対するレート方程式の関係をより詳しく論じます。

第1章で論じた2準位原子の基礎となるレート

方程式は,(1.45)の,dN1/dt=-dN2/dt

=N221-N112W(ω)+N221W(ω) です。

一方,本章で導出した光学Bloch方程式は,

(2.114),(2.115)の,

dρ22/dt=(-iΩ/2)exp{i(ω0-ω)t}ρ12

+(iΩ/2)exp{-i(ω0-ω)t}ρ21-2γρ22,

および,dρ12/dt=(iΩ/2)exp{-i(ω0-ω)t}

11-ρ22)-γρ12の後者を,(2.134)の,

dρ12/dt=(iΩ/2)exp{-i(ω0-ω)t}(ρ11-ρ22)

-γ^ρ12.,(γ^=γ+γcoll)と修正した式において,

(2.116)と同様,ρ~12=exp{i(ω0-ω)t}ρ12,

ρ~21=]exp{-i(ω0-ω)t}ρ21.(2.160)として振動因子

を消した方程式(2.161)の,dρ22/dt=(-iΩ/2)ρ~12

+(iΩ/2)ρ~21-2γρ22.,および,(2.162)のdρ~12/dt

=(iΩ/2) (ρ11-ρ22)+{i(ω0-ω)-γ^}ρ~12 が最も

一般的なモノです。ここで,γは放射減衰速度,γ^は放射

減衰速度:γと,衝突減衰速度γcollの和:γ^=γ+γcoll

示される減衰定数です。

磁場内のスピンに対するBloch方程式のアナロジーで,

減衰定数を2γ=1/T1,γ^=1/T2.(2.163)と表わす

こともあります。T1,および,T2.は,それぞれ,縦,および,

横の緩和時間と呼ばれています。

レート方程式と光学Bloch方程式の関係を調べるのには,

|Ω|がγやγ^よりはるかに小さい,つまりビーム強度の

弱い極限が最も簡単です。

 のときは,前に仮定したのと同じ初期条件:ρ22=ρ12=0

の場合,|Ω|の低次の(2.161),(2.162)の解を求めます。

以前,「光の量子論12」では,|Ω|<<γの極限での|Ω|

について最低次のρ22の解は,初期条件ρ22=ρ12=0の下で,

ρ22(t)=[(|Ω|2/4)/{(ω0-ω)2+γ2}]

×[1+exp(-2γt)-2cos{(ω0-ω)t}exp(-γt)]

(2.128)となります。と書きました。

今のケースでのより一般的な解は,

ρ22(t)={(|Ω|2/4)

[(γ^/γ)/{(ω0-ω)2+γ^2}

+{(2γ-γ^)/γ}/{(ω0-ω)2+(2γ-γ^)2}]

exp(-2γt)

-[2{(ω0-ω)2+γ^(2γ-γ^)}cos{(ω0-ω)t}

+4(ω0-ω)(γ^-γ)sin{(ω0-ω)t}]exp(-γ^t)

/[{(ω0-ω)2+γ^2}{(ω0-ω)2+(2γ-γ^)2}].(2.164)

で与えられることがわかります。

※(注15-1):以下では今回の方程式の解:(2.164)を証明

するため,前に「光の量子論12」の(注12-2)で,(2.128)を

求めるために実施したのと同じ手順を修正して繰り返します。

[証明]:まず,ρ~12=exp{i(ω0-ω)t}ρ12,

ρ~21=exp{-i(ω0-ω)t}ρ21,とおくと,基本方程式は,

dρ22/dt=(-iΩ/2)ρ~12+(iΩ/2)ρ~21-2γρ22.

dρ~12/dt=(iΩ/2)(1-2ρ22)-γ^ρ~12

-i(ω0-ω)ρ~12となります。

dρ~21/dtは,これの複素共役で与えられ,

dρ~21/dt=(-iΩ/2)(1-2ρ22)-γ^ρ~21

+i(ω0-ω)ρ~21となります。

そこで,x=ρ22,y=(-iΩ/2)ρ~12,y=(iΩ/2)ρ~21

と置くと,これらは,dx/dt=y+y-2γx,

dy/dt=(|Ω|2/4)(1-2x)+{-γ^+i(ω0-ω)}y

dy/dt=(|Ω|2/4)(1-2x)+{-γ^-i(ω0-ω)}y

と書けます。

整理すると,dx/dt=-2γx+y+y,

dy/dt=-(|Ω|2/2)x+{-γ^+i(ω0-ω)}y+|Ω|2/4,

dy/dt=-(|Ω|2/2)x+{-γ^-i(ω0-ω)}y+|Ω|2/4

です。そこで,これを3次元の列ベクトル:=[x,y,y]

に対する線形非同次の行列方程式の形で3×3係数行列を^

として,d/dt=^,と書きます。

ただし,定数項=[0,|Ω|2/4.|Ω|2/4]です。

これの初期条件がt=0で0の解は,既に何度か示した

ように,(t)={exp(^t)-1}^-1で与えられます。

A^の逆行列:A^-1は,その要素が,

(det^)(^-1)11=γ^2+(ω0-ω)2

(det^)(^-1)12=-{-γ^-i(ω0-ω)},

(det^)(^-1)13=-{-γ^+i(ω0-ω)}

(det^)(^-1)21=-(|Ω|2/2),

(det^)(^-1)22=-2γ{-γ^-i(ω0-ω)}+|Ω|2/2,

(det^)(^-1)23=-(|Ω|2/2),

(det^)(^-1)31=(|Ω|2/2){-γ^-i(ω0-ω)},

(det^)(^-1)32=-|Ω|2/2,

(det^)(^-1)33=―2γ{-γ^+i(ω0-ω)}+|Ω|2/2,

で与えられます。

ただし,det^=-2γ{γ^2+(ω0-ω)2}

-(|Ω|2/2){-γ^+i(ω0-ω)}

-(|Ω|2/2){γ^-i(ω0-ω)}

=-2γ{γ^2+i(ω0-ω)2+|Ω|2/2}です。

また,^=α(0)を満たす固有値αを求める

方程式は,det(^-α^)=0ですが,これは,

(-2γ-α){(-γ^-α)2+(ω0-ω)2}

-(|Ω|2/2){(-γ^-α)-i(ω0-ω)}

-(|Ω|2/2){(-γ^-α)+i(ω0-ω)}=0となります。

つまり,(-2γ-α){(-γ^-α)2+(ω0-ω)2}

-|Ω|2{(-γ^-α)=0です。

さらに,書き下すと,

α3+{γ^2+(ω0-ω)2-|Ω|2}α+2γ{γ^2+(ω0-ω)2

+(|Ω|2/2)}=0 です。

しかし,今は|Ω|の最低次近似を求めればいいので,

因子:|Ω|2を含む項を無視する近似では,

固有値方程式は,(α+2γ){(α+γ^)2+(ω0-ω)2}=0

となり,異なる3つの固有値として,α0=-2γ,

α±=-γ^±i(ω0-ω)(複号同順)なる近似値を得ます。

それ故,特に,α+α=-2γ^,および,

αα=γ^2+(ω0-ω)2なる関係が成立します。

そして,この近似でα0に属する固有

ベクトルを,それぞれ,Y0,Yと書けば,定数倍

の任意性を除いて,

0=[1,0,0],Y=[-(α0-α)-1,1,0],

=[-(α0-α )-1,0,1]と書けること

がわかります。

何故なら,この近似で係数行列^は第1行が[α0,1,1],

第2行が[0,α,0].第3行が[0,0,α]であるからです。

これら,0,,を3列に並べた行列を

^=(0,,)と書いて定義し,その逆行列^-1を,

^-1=(0,,)と表わすと,

det(^)=1なので,Z0=[1,0,0],Z=[(α0-α)-1,1,0],

=[(α0-α)-1,0,1]となります。

こうすると,対角要素が固有値:α0の対角行列

Λ^は,Λ^=P^-1^^で与えられます。

そこで,exp(Λ^t)=P^-1exp(A^t)^が成立します。

それ故,前に与えた初期値が0のd/dt=A^X

の解:(t)={exp(^t)-1}^-1において,|Ω|の最低

次近似の解としての(t)は,左からP^-1を掛けて,

P^-1(t)={exp(Λ^t)-1}P^-1^-1bを満たします。

これから,結局.X(t)=P^{exp(Λ^t)-1}P^-1^-1

が得られます。

ところで,A^の逆行列^-1の要素の近似を書き下すと,

1行目は変更無しで,(det^)(^-1)11=αα,

(det^)(^-1)12=-α,(det^)(^-1)13=-αです。

また,2行目の近似は,(^-1)21=(^-1)23=0,および,

(det^)(^-1)22=-2γ{-γ^-i(ω0-ω)}=α0αです。

3行目は,(^-1)31=(^-1)32=0,(det^)(^-1)33

=-2γ{-γ+i(ω0-ω)} =α0αとなります。

さらに,det^=-2γ{γ^2+(ω0-ω)2}=α0αα

と書けます。

つまり,^-1は1行目が[α0-1,-α0-1α-1,-α0-1α-1 ],

2行目が[0,α-1,0 ],3行目が[0,0,α-1 ]の行列です。

それ故,==(|Ω|2/4)[0,1,1]に対して.

^-1={|Ω|2/(4αα)}

[-(α+α)/α0]です。

( ※については,|Ω|2を無視するとゼロとなって

無意味なので,|Ω|2を無視せず,因子として残します。)

さらに,左から^-1=(0,,),Z0=[1,0,0],

=[(α0-α)-1,1,0],=[(α0-α)-1,0,1],

を掛けます。

つまり,1行目が,[1,(α0-α)-1,(α0-α)-1]

2行目が[0,1,0],3行目が[0,0,1]の行列を掛けます。

それ故,P^-1^-1={|Ω|2/(4αα)}

[-(α+α)/α0+α/(α0-α)+α/(α0-α)

]です。

故に,P^-1(t)={exp(Λ^t)-1}^-1^-1

={|Ω|2/(4αα)}

[{-(α+α)/α0+α/(α0-α)+α/(α0-α)}

{exp(α0t)-1},α{exp(αt)―1},α{exp(αt)―1}]

となります。

最後に,両辺の左からP^=(Y0,Y,),0=[1,0,0],

=[-(α0-α)-1,1,0],Y=[-(α0-α)-1,0,1]

つまり,1行目が,[1,-(α0-α)-1,-(α0-α)-1],

2行目が[0,1,0],3行目が[0,0,1]の行列^を掛けて,

近似解:X(t)=[(t),y(t),y(t)]の成分を

求めます。

第1成分x(t)は,

x(t)={|Ω|2/(4αα)}[{-(α+α)/α0

+α/(α0-α)+α/(α0-α)}exp(α0t)

-{α/(α0-α)}exp(αt)

-{α/(α0-α)}exp(αt)

-(α+α)/α0 -α/(α0-α)-α/(α0-α)}

+α/(α0-α)+α/(α0-α) です。

故に,{|Ω|2/(4αα)}exp(α0t)

={|Ω|2/(4αα)}exp(-2γt)の係数は,

-(α+α)/α0+α/(α0-α)+α/(α0-α)

となります。

ところで,α/(α0-α)+α/(α0-α)

=[α0+α)-(α2+α2)}

/{(α0-α)(α0-α)}

=(α+α)

×{α02-α0+α)+2α0α)/(α+α)}

/{α00-α)(α0-α)}

=(α+α)/α0+{2α0-(α+α)}(αα)}

/{α00-α)(α0-α)}

=(αα)[(γ^/γ)/{(ω0-ω)2+γ^2}

+2{(2γ-γ^)/γ}/{(ω0-ω)2+(2γ-γ^)2}です。

他方,α/(α0-α)-α/(α0-α)

=α0-α)-(α2-α2)}

/{(α0-α)(α0-α)}

=(α-α){α02-α0+α)}

/{α00-α)(α0-α)}

=(α-α)/α0

-{(α-α)(αα)}/{α00-α)(α0-α)}

=(αα)[{i(ω0-ω)/γ}/{(ω0-ω)2+γ^2}

-{i(ω0-ω)/γ}/{(ω0-ω)2+(2γ-γ^)2}です。

したがって,exp(α0t)=exp(-2γt)の項は,,

(|Ω|2/4)[{(2γ-γ^)/γ}/{(ω0-ω)2+(2γ-γ^)2}]

exp(-2γt) と書けます。

定数項は,{|Ω|2/(4αα)}(α+α)/α0

=(|Ω|2/4)(γ^/γ)/{(ω0-ω)2+γ^2}です。

そこで,ρ22の非振動項は,

(|Ω|2/4)×[(γ^/γ)/{(ω0-ω)2+γ^2}

+{(2γ-γ^)/γ}/{(ω0-ω)2+(2γ-γ^)2}

exp(-2γt)]となります。

また,振動項は,

-{|Ω|2/(4αα)}[{α/(α0-α)}exp(αt)

+{α/(α0-α)}exp(αt)

=-{|Ω|2/(4αα)}

[{α/(α0-α)}exp(-γt)exp{-i(ω0-ω)t}

+{α/(α0-α)}exp(-γt)exp{i(ω0-ω)t}]

ですが,exp{±i(ω0-ω)t}

=cos{(ω0-ω)t}±isin{(ω0-ω)t}です。

そこで,このexp(-γt)に比例する項は,

-(|Ω|2/4) exp(-γt)

[(γ^/γ)/{(ω0-ω)2+γ^2}

+2{(2γ-γ^)/γ}/{(ω0-ω)2+(2γ-γ^)2}

cos{(ω0-ω)t}

-[{(ω0-ω)/γ}/{(ω0-ω)2+γ^2}

+{(ω0-ω)/γ}/{(ω0-ω)2+(2γ-γ^)2}}

sin{(ω0-ω)t}

=-(|Ω|2/4)

×[2{(ω0-ω)2+γ^(2γ-γ^)}cos{(ω0-ω)t}

+{4(ω0-ω)(γ^-γ)sin{(ω0-ω)t}}exp(-γt)

/[{(ω0-ω)2+γ^2}{(ω0-ω)2+(2γ-γ^)2}]

となります。

以上から,ρ22(t)=x(t)=(|Ω|2/4)

×[(γ^/γ)/{(ω0-ω)2+γ^2}

+{(2γ-γ^)/γ}/{(ω0-ω)2+(2γ-γ^)2}

exp(-2γt)]-[2{(ω0-ω)2+γ^(2γ-γ^)}

cos{(ω0-ω)t}

+{4(ω0-ω)(γ^-γ)sin{(ω0-ω)t}}

×exp(-γt)

/[{(ω0-ω)2+γ^2}{(ω0-ω)2+(2γ-γ^)2}]

の(2.164)の表式が得られました。[証明終わり] 

ちなみに,第2成分y(t)は,

y(t)=(-iΩ/2)ρ~12(t)

={|Ω|2/(4αα)}{α{exp(αt)―1}

=[(|Ω|2/4)/{(ω0-ω)2+γ^2}]

{{-γ^-i(ω0-ω)}{exp(-γ^t+i(ω0-ω)t}

―1]となるので,ρ~12(t)

=exp{i(ω0-ω)t}ρ12(t)

=[(Ω/2)/{(ω0-ω)2+γ^2}]

[{(ω0-ω)-iγ^}{exp[{-γ^t+i(ω0-ω)t}-1]

です。

結局,ρ12(t)=(Ω/2)[exp(-γ^t)-exp{-i(ω0-ω)t}]

/{(ω0-ω)+iγ^}を得ます。 (注15-1終わり※)

 さて,(2.164)は,衝突広がりγcollがないγ^=γの場合は,

前に得た(2.128)のρ22(t)=[(|Ω|2/4)/{(ω0-ω)2+γ2}]

×[1+exp(-2γt)-2cos{(ω0-ω)t}exp(-γt)]

に帰着します。

 

今の議論では,非対角行列要素ρ12は必要ないですが,

後の第8章での使用のために,初期条件の制限を多少緩

めてt=0でρ22(はゼロですが,ρ12は任意の初期値ρ12(0)

を持つときの|Ω|について最低次の解として,

ρ12(t)=[(iΩ/2)/{i(ω0-ω)-iγ^}]

×{exp(-γ^t)-exp{-i(ω0-ω)t}

+ρ12(0)exp(-γ^t).(2.165)

を与えておきます。

※(注15-2):上記を証明します。

(注15-1)では,d/dt=^,

=[0,|Ω|2/4.|Ω|2/4]ですの初期条件が

(0)=0の解は,

(t)={exp(^t)-1}^-1で与えられる,

と書きましたが.(0)がゼロとは限らず,任意の

ベクトルの場合の解は,明らかに,

(t)={exp(^t)-1}^-1b+exp(^t)(0)

となります。

ここで,P^-1^^=Λ^(対角行列)を満たす^を

用いれば,(t)=^{exp(Λ^t)-1}^-1^-1

exp(Λ^t)(0)です。

そこで(0)=[0,y(0),0]の場合の第2成分は,

y(t)=(-iΩ/2)ρ~12(t)

={|Ω|2/(4αα)}{α{exp(αt)―1}

+y(0)exp(αt)=(|Ω|2/4)/{(ω0-ω)2+γ^2}]

[{{-γ^-i(ω0-ω)}exp{-γ^t+i(ω0-ω)t}―1]

+y(0)exp{-γ^t+i(ω0-ω)t}です。

したがって,結局,ρ12(t)=[(iΩ/2)/{i(ω0-ω)-iγ^}]

×{exp(-γ^t)-exp{-i(ω0-ω)t}+ρ12(0)exp(-γ^t)

が得られます。(注15-2終わり※)

 

さて,レート方程式から求めた励起状態の占位数の時間

依存性は,(1.70)の,

2={NBW/(A+2BW)}[1-exp{-(A+2BW)t}]

から,入射ビームWが弱い場合には,

2=(NBW/A){1-exp{-(At)}.(2.166)が得られます。

対角解(2.164)がこれと同等な時間依存性を持つ2通りの

異なる状況が存在します。第1の状況は周波数の広がりが

原子遷移の線幅2γ^より大きい広帯域入射光のある場合です。

(2.164)の複素周回積分を利用して,γ^が2γより大きくても,

小さくても,∫-∞ρ22dω={π|Ω|2/(4γ)}{1-exp(-2γt)}

(2.167)を示すことができます。

※(注15-3):上記を証明します。

[証明] まず,∫-∞dω[(γ^/γ)/{(ω0-ω)2+γ^2}]=π/γ,

かつ,∫-∞dω[{(2γ―γ^/γ)}/{(ω0-ω)2+(2γ-γ^)2}]

=π/γです。

それ故,∫-∞dω(|Ω|2/4)[(γ^/γ)/{(ω0-ω)2+γ^2}

+{(2γ-γ^)/γ}/{(ω0-ω)2+(2γ-γ^)2}

exp(-2γt)]={π|Ω|2/(4γ)}{1-exp(-2γt)}です。

一方,∫-∞dω[2{(ω0-ω)2+γ^(2γ-γ^)}

cos{(ω0-ω)t}+{4(ω0-ω)(γ^-γ)sin{(ω0-ω)t}}

exp(-γ^t)/[{(ω0-ω)2+γ^2}{(ω0-ω)2+(2γ-γ^)2}]

を計算するために,まず,ν=ω-ω0と変数置換します。

ω0-ω=-νでdω=dνですから,

-∞dν [2{ν2+γ^(2γ-γ^)}cos(νt)

-{4ν(γ^-γ)sin(νt)}exp(-γt)

exp(-γ^t)/[(ν2+γ^2){ν2+(2γ-γ^)2}]です。

ここで,cos(νt)=(1/2){exp(iνt)+exp(-iνt)}

sin(νt)=(-i/2){exp(iνt)-exp(-iνt)} を

代入すれば,

-∞dν[{ν2+γ^(2γ-γ^)}cos(νt)

exp(-γ^t)/[(ν2+γ^2){ν2+(2γ-γ^)2}]

=∫-∞dν[{ν2+γ^(2γ-γ ^)}

{exp(iνt) +exp(-iνt)}]

exp(-γ^t)/[(ν2+γ^2){ν2+(2γ-γ^)2}]

であり,

-∫-∞dν{4ν(γ^-γ)sin(νt)}

exp(-γ^t)/[(ν2+γ^2){ν2+(2γ-γ^)2}]

=-∫-∞dν{-2iν(γ^-γ)}

{exp(iνt)-exp(-iνt)}

exp(-γ^t)/[(ν2+γ^2){ν2+(2γ-γ^)2}]

です。つまり,与式

=∫-∞dν[{ν2+γ^(2γ-γ ^)+2iν(γ^-γ)}

exp(iνt)exp(-γ^t)]/[(ν2+γ^2){ν2+(2γ-γ^)2}]

-∫-∞dν{{ν2+γ^(2γ-γ ^)-2iν(γ^-γ)}

exp(-iνt)exp(-γ^t)]

/[(ν2+γ^2){ν2+(2γ-γ^)2}]

   =∫-∞dν [exp(iνt)/[(ν+iγ^){ν-i(2γ-γ^)2}]

-∫-∞dν  [exp(-iνt)}/[(ν-iγ){ν+i(2γ-γ^)2}]

です。

これを求めるために,νを複素数として,複素平面上の実軸

に,半径が+∞の半円周を加えた閉路上の同じ被積分関数の

周回積分を考えます。

exp(iνt)に比例する項では,実軸に虚部が正の上半円

の周を加えた反時計周り(正)の外周C1を採用し,

exp(-iνt)に比例する項では,実軸に虚部が負の下半円

の周を加えた時計周り(負)の外周C2を採用すれば,共に,

元の実軸上の実積分に一致します。

1上の積分では,これの内部の1位の極は2γ<γ^

なら,ν=-i(2γ-γ^)で,2γ>γ^ならなしです。|

そこで,Cauchyの留数定理から積分値は,2γ>γ^なら

ゼロですが,2γ<γ^,

なら(2πi)(-2iγ)-1exp{-(2γ-γ^)t})exp(-γ^t)

=-(π/γ)exp(-(2γt)となります。

一方,C2上の積分ではこれの内部の1位の極は2γ<γ^

ならν=i(2γ-γ^)で,2γ>γ^ならなしです。

そこで積分値は, 2γ>γ^ならゼロですが,2γ<γ^

なら-(-2πi)(2iγ)-1exp{-(2γ-γ^)t})

exp(-γ^t)=(π/γ)exp(-(2γt)です。

したがって,2γ<γ^でも2γ>γ^でも,これらの

積分の寄与の総和はゼロで,結局,∫-∞ρ22dω

={π|Ω|2/(4γ)}{1-exp(-2γt)}と結論されます。

(注15-3終わり※)

 

さて,第2の状況は,γ^>>2γと,衝突広がりが大きい

場合です。このとき,時間tが1/γと同程度であれば,

t>>1/γ^が成立するので,下に再掲載する(2.164)式の

ρ22(t)=(|Ω|2/4)×[(γ^/γ)/{(ω0-ω)2+γ^2}

+{(2γ-γ^)/γ}/{(ω0-ω)2+(2γ-γ^)2}exp(-2γt)]

-[2{(ω0-ω)2+γ^(2γ-γ^)}cos{(ω0-ω)t}

+{4(ω0-ω)(γ^-γ)sin{(ω0-ω)t}}exp(-γt)

/[{(ω0-ω)2+γ^2}{(ω0-ω)2+(2γ-γ^)2}]

は,ρ22(t)={|Ω|2γ^/(4γ)}/{(ω0-ω)2+γ^2}

×{1-exp(-2γt)}.(2.168)に帰着します。

(※ 何故なら,(2γ-γ^)~(-γ^)より,

ρ22(t)~{|Ω|2γ^/(4γ)}

×[{1-exp(-2γt)}+exp(-γ^t){exp{i(ω0-ω)t}

+exp{-i(ω0-ω)t}]/{(ω0-ω)2+γ^2}ですが,

γ^t>>1より,exp(-γ^t)~ 0で最後の振動項は無視

できます。)

 ここで,R=(|Ω|2γ^/2)/{(ω0-ω)2+γ^2}(2.169)

と定義すれば,

レート方程式:dρ22/dt=R-2γρ22 (2.170)の

解は,ρ22(t)={R/(2γ)}{1-exp(-2γt)}.(2.171)

となり,(2.168)に一致します。

これらの(2.168),(2.171)は基礎的レート方程式の解

2=(NBW/A){1-exp{-(At)}.(2.166)と同一です。

γ^>>γの極限で光学Bloch方程式のと等価な(2.170)

のdρ22/dt=R-2γρ22,は,励起状態の占位数が,

励起速度Rと放射減衰速度A=2γとの競合によって

決まることを示しています。

R=(|Ω|2γ^/2)/{(ω0-ω)2+γ^2}により,励起速度

の入射周波数ωへの依存性は衝突によって広がった原子

遷移のLorentz型曲線形に従っています。

励起速度Rは§1.12のレーザー理論での準位3から

準位2へのポンピング速度と同様の意味を持ちます。

レート方程式が成り立つのは「(ⅰ)入射光のバンド幅

が原子遷移の線幅より広い。」か「(ⅱ)(衝突幅)+

(Doppler幅)を組み合わせた線幅が.遷移放射による線幅

よりずっと広い。」かのいずれか.の場合です。

 

今回は,ここで第2章が終わるので,ここまでにします

参照過去ノートの本章終了の日付けは,2006年8/9(木)

で長年の糖尿病の放置が原因で年末に心臓疾患になり,4月

に手術を受け,再びプータローになり,かつ,障害者になる

ことなどは予想もしていない56歳半ばの頃です。

 

(参考文献):Rodney Loudon 著

(小島忠宣・小島和子 共訳)

「光の量子論第2版」(内田老鶴舗)

 

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