2021年11月22日 (月)

ガロア理論の復習(5)

※2021年11月14日(日)開始→11月22日(月)

※(余談) やっと代数方程式の本題に入れる段階に

なりました。

19世紀のアーベリやガロアによる「5次以上の

代数方程式のベキ根による一般解法の不可能性」

については.物理学のアインシュタインらによる

「相対性理論」同様,高校時代に,そうしたトピック

があるのを知ってから,淡い興味を抱いてました。

40歳くらいまでの真面目な?サラリーマンの頃は

生活に追われ,毎日アルコール依存症のように飲酒を

続け,将棋や,少し余分な収入があるとオーディオや

PCなど受動的な趣味で,ストレス解消してました。

酒のセイか?39歳で糖尿病になり,42歳後半に厄年

でバブルが終わる頃,フリーター?(プータロー)となり

金無しヒマ有り,の状況になった機会に,お金が不要な

趣味の1つとして,学生時代研究者になる道もめざして

いた理論物理学や数学の専門書,啓蒙書の読書三昧を

再開したのでした。そうして,約25年以上前の昔その

課題を思い出して独学し,そのエッセンスを15年前

に本ヌログ開始の2006年に「ガロア理論」のシリ-ズ

記事として書きました。

老化もあり,どの記憶も時と共に薄れていくものです

が,他のトピックと異なり理解したツモリになってても

本当には体得してはいない曖昧な理解だったセイか?

2006年から15年の今,記憶をたどっても,結局,最初の

用語の定義からコツコツとたどるしか理解の道はない

ようです。幸い,何とか判読可能な大きさの文字の自作

ノートがあったのでね。(※ルーペでやっとわかる程度)

まあ,余談以外の内容は,死ぬ前の独居老人の自己満足

の勉強履歴.自己確認に過ぎませんが,食う寝る以外の

生きろモチベーションの1つにはなります。(余談終わり)

※さて,本題の続きです。

※第5章 体の拡大

[定義5-1](部分体,拡大体,中間体)

体Eが体Fを含むとき,つまり,集合としてF⊂E

であり,FがEで定義された2項演算(加法,乗法)で

体をなすとき,Fは「Eの部分体」であるといい,

逆に,Eは「Fの拡大体」であるという。

このとき,F⊂B⊂Eの関係にある体Bがあれば.

Bを「E/Fの中間体」という。

 F⊂Eのとき,E,および,E/Fの中間体は全てF上

のベクトル空間となる。Eがn次元空間のとき,Eは

F上有限次拡大,特にn次拡大という。

このnをEのF上の次数といい,これを記号(E/F)

で表記する。つまり,(E/F)=nと書く。

[例5-1]:mが,1より大きい整数で平方数の倍数

ではないとする。Qを有理数体(有理数集合の体)

とし,E={a+b√m:a,b∈Q}とすると,E

はQ上2次の拡大体である。

(証明)√m∈Qと仮定すると,√m=p/q(既約分数)

と書けるので.q2=mp2です。

そこで,mが,m=p1j12j2・・prjr;ただし,1≦j≦r

のjについてpは素数,と素因数分解できたとすると

2=mp2により,q2もpjを素因数に含みますが,これは

q自身がpjを素因数とすることを意味するので,結果,p2

もpj2を因数に含むため,あるpj≧2はp,qの公約数となり

p/qが既約分数であるという仮定に矛盾します。

故に,√mはQの元(有理数)では有り得ないです。

それ故,1と√mはQ上で1次独立です。つまり,

a+b√m=0ならa=b=0です。

ただし,b=0なら(a+b√m)∈Qですから,

Q⊂Eですが,a+b√mは.1と√mを基底として

Qの上で2次元のベクトル空間をなすため,EはQ

の2次の拡大体です。Eは,1と√mで生成される体

である,といわれ,(E/Q)=2です。(終わり)

[定義5-2](整域)

零因子0を持ち,自明なもの:{0}以外の可換環を

整域という。これは,整数環Zの拡張である。

[定義5-3](単項式,多項式と整式,多項式環)

不定元(文字):x,y,.のべき乗の積と係数の積で

得られる単一の文字式を「単項式」といい,単項式の

2つ以上の代数和で与えられる式を「多項式」という。

そして,単項式と多項式を総称して「整式」という。

不定元がxのみの多項式f(x)は,その有限個の係数:

0,a1,..anが,全て体Kの元である場合,具体的には,

f(x)=a0n+a1n-1..+an,という形になる。

f(x)が恒等的にはゼロではなく,最高次xnの係数が

0≠0なら,f(x)はn次多項式であるといい,f(x)の

次元はnである,あるいは,degf=nであるという。

これらf(x)全体の集合は通常の加法,乗法で可換環

をなす。これを体K上の1変数の「多項式環」と呼び,

K[x]と表記する。f(x)∈K[x]である。

特に,最高次の係数が1の1変数の多項式,つまり,

f(x)=x n+c1n-1..+cn,をモニック(monic),

または,モニック多項式という。

多項式f(x)=a0n+a1n-1..+anは,a0≠0

なら,cj=aj/a0(1≦j≦n)としてf(x)=a00(x)

0(x)=xn+c1n-1..+cnのように,モニックf0(x)

のa0倍で表わすことができる。

[定義5-5](単項イデアル整域)

Rを環,AをRの部分集合とするとき,Aを含む最小の

イデアルIを,Aで生成されるイデアルという。

生成元の集合Aの位数が有限で,A={a1,..am}と書ける

とき,Iは有限生成のイデアルであるという。

そこで,IがAによる有限生成の左イデアルなら,

I={x11+..+xmm:xj∈R}と表わすことができる。

特にイデアルIの生成元が単一のa∈Rの場合,Iが

左イデアルなら,I={xa:x∈R},Iが右イデアルなら.

I={ax:x∈R}である。

生成元がaのみのイデアルIが両側イデアルの場合には.

これを単項イデアル(主イデアル)といい,I=(a)と表わす。

Rが可換環なら,Rのイデルは,常に両側イデアルである。

可換環:Rが零因子を持ちR≠{0}のとき,Rは整域と

いわれるが,Rのイデアルが全て単項イデアルなら,Rは,

「単項イデアル整域」である,という。あるいは,

Principal Ideal Domain,である。略してPIDである,

という。

[例5-2]:Zを整数環とするとき,a,b∈Zに対して

I={ax+by:x,y∈Z}は.a,bで生成される

Zのイデアルですが,以前の章で示したようにa,b

の最大公約数をd∈Z,つまり,d=(a,b)とすると

Iの元は全てdの倍数ですから,Iは単項イデアルで

あり,I=(d)です。特にa,bが互いに素でd=1

ならば,I=Zです。

これを拡張して,I={x11+..+xmm:xj∈Z}を

考えると,これはd=(a1,..am)(最大公約数)とすると,

単項イデアルであり,I=(d)です。(終わり)

[定理5-2]:体K上の多項式環K[x]はPIDである。

(証明)IをK[x]の{0}でない任意のイデアルとする。

すると恒等的にはゼロでないIの元f(x)が存在します。

このうち,degfが最小のf(x)∈Iをp(x)とします。

このとき,∀f(x)∈Iは多項式式の除法の公式により,

f(x)=p(x)q(x)+r(x)(degr<degr)と表わす

ことができます。

以下,簡単のため,変数xを省略します。

するとf=pq+rとなりますが,f,p∈Iでq∈K

であり,IはKのイデアルなのでr=(f-pq)∈Iです。

故に,r≠0ならr∈Iがdegr<degpのゼロでない

Iの多項式となり矛盾を生じるため,r≡0です。

それ故,f=pqです。

したがって,IはI=(p)の単項イデアルです。

変数xを復活させると,I=(p(x))であり,Iは単項

イデアルですが,IはK[x]の{0}でない任意のイデアル

であったので,xの多項式環:K[x]はPIDです。

つまり,単項イデア整域です。(証明終わり)

[定義5-6](体の代数的拡大)

体Fのゼロでない1変数xの多項式f(x)を

f(x)=a0n+a1n-1..+an,とする。

これは,係数:a0,a1,..anが全て体Fの元の恒等的

にはゼロでない多項式である。

このf(x)に対して,Fの拡大体E⊃Fの1つの元α

が,f(α)=0を満たすとき, すなわち,α∈Eが,

f(α)=a0αn+a1αn-1..+an=0を満たすとき,

αはf(x)=0の根(root)であるという。

そして,こもときαは「F上代数的」である。という。

Eの全ての元がF上代数的であるとき;EはF上,

「代数的(拡大体)」であるという。

[定理5-3];EがF上,有限次なら.EはF上代数的である。

(証明)(E/F)=nとすると,EはF上n次のベクトル

空間なので,∀α∈Eのベキで構成される.Eの(n+1)

個の元:αnn-1,..,α,1は1次従属です。

故に,少なくとも1つはゼロでないFの(n+1)個の

元:a0.a1,..anを用いて,a0αn+a1αn-1..+an=0

なる自明でない1次関係式が成立します。

それ故,f(x)=a0n+a1n-1+..+an,とおけば,

f(x)は恒等的にゼロではないFの整式で,f(α)=0

なので,αは(x)=0の根となるため,αはF上代数的です。

0≠0の場合はf(x)はn次の多項式です。(証明終わり)

[定理5-4]:BがE/Fの中間体でF上有限次,EはB上

有限次のとき,EはF上有限次である。

特(に(E/F)=(B/F)(E/B)である。

(証明)(B/F)=m,(E/B)=nとします。

BはF上でm個の基底:α1,.,αmを持ち,EはB上で

n個の基底:β1,.,βnを持ちます。

このとき,i=1,m,および,j=1,.nに対する

異なる(mn)個の元;αiβjについて考察します。

ij∈F(i=1,,m,j=1,.,n)とし,関係式

Σi,j(cijαiβj)=0を考えます。

これは変形すると,Σj=1n{(Σi=1mijαij}=0

となりますが,(Σi=1mijαi)∈Bであり,β1,.,βn

はB上1次独立ですからΣi=1mijαi=0(j=1,.n)

です。すると,cij∈Fでα1,.αmはF上1次独立

なので,全てのi,jについてcij=0を得ます。

それ故,αiβj(i=1,..m,j=1,..n)はF上で,

1次独立です。

そして∀ω∈Eについて,ω=Σj=1njβj(x∈B),

,と表わすことができて,xj=Σi=1mijαi(cij∈F)

と表わせるので,結局,ω=Σi,j(cijαiβj)と書けます。

よって,mn個の独立な(αiβj)がEのF上の基底

となるため,(E/F)=mn=(E/B)(B/F)です。

(証明終わり)

[定理5-5]:EがFの有限次拡大体で,Bが中間体の

とき,EはB上,BはF上,有限次である。

(証明)EのF上の基底をγ1,..γnとすると,γ1,.,γ

はBの生成元です。何故なら,∀ω∈Eをω=Σjjγj

と展開したとき,係数cj∈F,および,基底γj∈Fは,

B⊃Fより,全てBの元でもありますから,{γj}j=1n

中で,Bにおいて1次独立な最大の部分集合は,Eの

Bにおける有限個の基底をなすからです。

それ以外のFの基底によるcijγjの各項はBに

おいては,1次従属ですから,今採用したB上の基底

の1次結合で表わせます。・

それ故,EはB上でも有限次ベクトル空間です。

また,B上の基底は,F上の基底の部分集合ですから,

ベクトル空間として,BはEの部分空間です。

(証明終わり)

[定義5-4](既約多項式,モニック)

体Kの上の多項式f(x1,.xm)が;定数ではない変数

の1次以上のKの多項式g(x1,.xm)とh(x1,.xm)の

積でf=ghと因数分解できるときfは可約であると

いい,そうでないうきは既約であるという。

そして,fが既約なら.これを「既約多項式」という。

[定理5-6]:体Fの拡大体Eの元αが,F上代数的で

あるとき,J={f(x)∈F[x];f(α)=0}は可換環

(多項式環):F[x]の{0}でないイデアルである。

J=(p(x))とすると,多項式p(x)はF上既約である。

(証明)まず,f(x)∈J,g(x)∈F[x]とすると,

g(α)f(α)=0より,g(x)f(x)∈Jですから,Jは

F[x]のイデアルです。そして,αはF上代数的なので,

恒等的には0でないf(x)∈Jが存在するためJ≠{0}

です。

次に,p(x)=p1(x)p2(x),p1(x),p2(x)∈F[x],

と因数分解できるなら,degp=degp1+degp2ですから,

1,p2が共に定数でないとき,0<degp1<degpであり,

かつ,0<degp2<degpです。

ところが,p(α)=p1(α)p2α)=0よりp1(α)=0

または,p2(α)=0です。そこでp1(x)∈J,または,

2(x)∈Jです。しかし,J=(p(x))ですから,

これはdegp1≧degp,または,degp2≧degpを意味し,

矛盾です。したがって,このような因数分解は不可能

でaありp(x)は既約です。

かくして,E⊃Fの元αが,体F上の多項式環F[x]

の根となるイデアル:J={f(x)∈F[x]:f(α)=0}

は,F上で既約な多項式p(x)で生成され,J=(p(x))

と書けるとわかりましたが,p(x)の最高次の係数がa

でa≠0なら,(p(x))=(a-1p(x))であり,a-1p(x)

は既約なモニックです。そこで,このモニックを改めて

p(x)と定義すれば,Jはモニックで生成されるイデアル

ということになります。。

以下,一般性を失うことなくJはに常にモニックで生成

されるイデアルであると見なせます。(証明終わり)

[系]:[定理5-5]のαに対するJ=(p(x))の生成モニック

p(x)は,αに対して一意的に定まる。

(証明)f(x)∈J=(p(x))ならf(x)=p(x)q(x)と

なるので,degp≦degfでありp(x)∈F[x]は,p(α)=0

を満たす既約な最低次数のモニックでですから,これが一意的

であるのは自明です。これを最小多項式ともいいます。

(証明終わり)

[定義5-7]; E⊃Fの元αが,体F上の多項式環F[x]

の根となるイデアル:J={f(x)∈F[x]:f(α)=0}

は,αに対し一意に定まるF上で既約なモニックp(x)

で生成され,J=(p(x))となるが,このp(x)の次数

がnなら,αはF上n次である,または,nはαのF上の

次数である,という。

[定理5-6]:体Fの拡大体Eの元αがF上n次のとき,

n個の元;1,α,..αn-1がF上で張る,ベクトル空間:

F(α)={c0+c1α+..+cn-1αn-1:cj∈F}は,Fの

n次の代数的拡大体である。

(証明)まず,c0+c1α+..+cn-1αn-1=0でF上の係数:

0,c1..cn-1の少なくとも1つがゼロでない場合には,,

f(x)=c0+c1x+..+cn-1n-1:とおけば.これは次数

が(n-1)以下のゼロでない多項式でf(α)=0となり,

p(α)=0を満たす最低次の多項式がp(x)でdegp=n

であることに矛盾します。

それ故,1,α,..αn-1は,F上で1次独立です。

次に,∀f(x)∈F[x]はf(x)=p(x)q(x)+r(x),

ただし,degr(x)<degp(x)=n.と表わせます。

すると,p(α)=0なのでf(α)=r(α)となります。

ところがdegr(x)≦(n-1)なので,r(x)∈F[x]は,

r(x)=c0+c1x+..+cn-1n-1,のように(n-1)次以下

の多項式で表わされます。ただし,j=1,.,(n-1)について

係数;c∈Fの少なくとも1つはゼロでないです。

それ故,結局,f(α)=r(α)=c0+c1α+..+cn-1αn-1

と書けるため,任意のf(x)に対して,f(α)∈F(α)が

成立します。そこで,F[x]からF(α)への写像Φを,

Φ{f(x)}=f(α)で定義すると,これはF[x]からF(α)

の上への準同型写像です。

そして,f(α)=0ならr(α)=0 ⇒c0=c1=..=cn-1=0

なので,多項式としてr(x)≡0より,これはf(x)がp(x)

で割り切れて,f(x)=p(x)q(x)(q(x)∈F[x])となる

ことを意味します。

そこでΦ{f(x)}=f(α)=0は,f(x)∈(p(x))と同値

です。故に,Φの核:kerΦ={f()∈F[x]:φ{f(x)}=0}

が,イデアルI=(p(x))に等しくなります。

したがって,準同型定理により,Φから誘導される

{F[x]/(p(x))}からF(α)の上への同型写像;Φ~が存在

します。つまり,Φ~{C(f)}=Φ{f(x)}=f(α)∈F(α)

で定義されるΦ~はF(α)の上への同型です。

多項式環F[x]のイデアルI=(p(x))による剰余類を

C(f)と書けば,C(0)=C(p)=(p()x))が剰余類零元で

あり,C(f)≠C(0)なら,p(x)が既約故,f(x)とp(x)は

互いに素です。

よって,f(x)q(x)+p(x)r(x)=1を満たす

q(x),r(x)∈F[x]が存在してC(fq)=1であり

C(f)C(q)=1より,C(q)が,C(f)の乗法の逆元

{C(f)}-1です。F[x]/(p(x))-{C(0)}が単位元と

逆元を持ち,乗法群をなすため,F[x]/(p(x))は,

体をなすとわかります。

よって,これに同型なF(α)も体をなし.これはn個の

独立な元で張られるベクトル空間ですから,結局,F(α)

はFのn次の代数的拡大体です。(証明終わり)

[定理5-7]:F上のn次の多項式はFの拡大体Eにおいて,

高々n個の根を持つ。

(証明)f(x)∈F[x]が(n+1)個の根α12,..αnn+1

を持つとすると,f(x)は,(x-αj)(1≦j≦(n+1))

なる因数を持つxのn次式なので.1≦j≦nの因数を

採用してf(x)=a(x-α1)(x-α2)・・(x-αn)

とすると,これは,さらにf(αn1)=0を満足します。

すなわち,a(αn+1-α1)(αn+1-α2)・・(αn+1-αn)=0

です。そこで.もしもαn+1≠αj(1≦j≦n)ならa=0

が必要条件で,f()≡0となりf(x)がn次でsるという

仮定に矛盾します。

それ故,(n+1)個のα12,.αnn+1の全てが異なる

わけではないので,異なる根の数はn以下です。

(※体Fが複素数体Cなら代数学の基本定理から少なくとも

1つの根α∈Cが存在して(x-α)という因数を持つこと

から,帰納的に,n次多項式がCにn個以下の根を持つのは

自明なのですが,抽象的な体Fの上では.事情が違います。)

(証明終わり)

[例5-3]:Qを有理数体とするとき,(Q(3√2)/Q)=3である、

(証明)(3√2)はQ上で既約な3次多項式(x6-2)の根です

から,(Q(3√2))/Q)=3であり,Q(3√2)の,Q上の基底は,

1,3√2,,3√22の3つです。(終わり)

[定義5-7](添加された拡大体)

F(α)を体Fにαを添加した体という。

F上代数的な有限個の元:α12,..αmがあるとき.

Fに.順に,これらの元を添加した体の拡大列として,

F(α1)⊂F(α12)⊂…⊂F(α12,..αm)を

得ることができる。

[定理5-8]:F(α12,..αm)は,F上代数的拡大体

である。すなわち,この体の元はF上のある代数方程式

の根である。

(証明)まず,F(α)はn個の基底:1,α,α2,.,αn-1

張られるn次元ベクトル空間で,しかもFの拡大体です。

そこで,[定理5-3]でEが(E/F)=nのFの拡大体

なら,α∈Eのとき(n+1)個の元:1,α,α2,.,αn-1n

は1次従属なので,f(x)=c0+c1x+..+cnnは,

f(α)=c0+c1α+..+cnαn=0という自明でない

関係式を満たすため,αは恒等的にはゼロでないn次

以下の多項式f(x)の根となるという証明をしたもと

同様に,F(α)はF上のn次元ベクトル空間であり,

γ∈⊂F(α)なら,F(α)も体なので,1,γ,..γn-1n

も全てF(α)の元であり.1次従属なのでg(γ)=0を

満たすn次以下のg(x)∈F[x]が存在してγはF上

代数的であり,故に,F(α)はFの代数的拡大体です。

そこでまず,F(α1)はF上有限次で代数的です。

同様にF(α12)はF(α1)上有限次代数拡大です。

{F(α12)/F}={F(α12)/F(α1)}{F(α1)/F}

より,結局,F(α12)はF上でも有限次拡大です。

後は,これを繰り返せば,帰納的にF(α1α,α2,..α)

はF上の有限次代数的拡大体であることがわかります。

(証明終わり)

[例5-4]:ωを1の立方根とすれば,Q(3√2,ω)を考える。

[例5-3]で見たように{Q(3√2)/Q}=3です。

また,ωはQ上x2+x+1=0も根ですからQ上2次で

Q(3√2)上でも高々2次です。

実際にはx2-x+1は,Q(3√2)上でも2次ですから

{Q(3√2,ω)/Q(3√2)}=2なので,{Q(3√2,ω)/Q}=6

と結論されます。(終わり)

[定理5-8]:体Fの多項式;f(x)∈F[x]に対して,

f(x)=a(x-α1)(x-α2)・・(x-αn)(αj∈E)

のように,f(x)のxの1次式の積への分解が可能になる

Fの拡大体Eが存在する。

(証明)f(x)の既約因子p(x)をとる。

変数tの多項式環F[t]のp(tによる剰余体Kを

K=F[t]/(p(t))で定義しgます。

Kにおいて,F[t]の元g(t)の剰余類を{g(t) mod p(t)}

と表わすことにします。

a∈Fのとき,aに{a mod p(t)}∈Kを対応させると

体Fから体Kの中への写像で同型対応が得られます。

a∈Fを{a mod p(t)}∈Kと同一視するとF⊂Kです。

そして,F上の多項式はKの部分体と考えたFの多項式と

考えられます。特に,Kの元{t mod p(t)}をα1と表記

すればKの元としてp(α1)=0となります。

つまり,p(α1)={p(t) mod p(t)}=0です。

それ故,K内の既約多項式として,p(x)=(x-α1)

×p1(x)と書けます。

p(x)はf(x)の既約因子であったので,f(x)は,

f(x)=(x-α1)f1(x)(f1(x)∈K[x])となり

1(x)の既約因子は,また,Kの適当な拡大体をとると

1(x)=(x-α2)f2(x)となり.帰納的に,Fの拡大体

Eが存在して,f(x)=a(x-α1)(x-α2)..(x-αn),

a∈Fa≠0;αj∈E(1≦j≦n)とできます。(証明終わり)

[定義5-8](分解体)

上記[定理5-8]の,f(x)の全ての根を含む拡大体:

E=F(α12,..,αn)をf(x)の分解体」という。

※途中ですがキリもいいし今回は,ここで終わります。

(つづく)

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2021年11月13日 (土)

ガロア理論の復習(4)

※2021年11月4日(木)開始→11月13日(土)

※(余談)最近,日コロナ感染者数が日本だけ,急減

しました。何ら,行政の特別な施策もなく自然消滅

も疑問ですが,専門家の一部たるマスコミ医者,御用

医者も,明確な原因解明ができず,またもや日本人

特有のファクターXとか,危機は最悪を想定して

煽る方が安全とはいえ.根拠不明なのにインフル

が大流行するとか,飲み屋の議論や井戸端会議の

レベルの話を,占い師,予言者のように,偉そうに

TVなどでコメントしてると感じてます。

選挙も終わり,札束で頬をたたくとか.動物

の調教のように,エサで釣ってマイナンバー

カード申請を促すというような人をバカにした

政策も進んでいるようです。どうせ財源は国債

か税金ですから,ツケはどこに行くのかな?

そもそも,カードなどなくてもマイナンバー

という国民背番号は,既に全員に賦与されてます

から,重要な個人情報をデータベースでホスト

のコンピュータ(+バックアップ)にでも蓄積して

おき,それが必要な時と場所で,顔や指紋などで

認証すれば,間違うことなく彼,彼女の番号と

データをオンラインで自動照合できるはずです。

人口14億の中国のように,上海.北京のような

大都市を中心にキャッシュレスで企業の購買情報

も本人認証データも国家政府に把握され.監視カメラ

も4億以上設置されて屋外の個人行動は丸裸にされ,

危険人物,団体と見られると口座をロックされたり

投獄されたりする監視社会がすでに実現している

らしいです。

情報を握っている権力が独裁的強権的なら警察

監視社会の危険性が常にあります。

DNAを登録して認証できれば本人認証の誤認は

ないでしょうが.顔.指紋,DNを全員把握されれば

例えば犯罪を捜査する警察が自由に無断で活用

できるなら.大喜びでしょう。

というわけで,セキュリティ意識が甘くデータ

漏洩が頻繁で,平気で汚職したり証拠隠蔽する

「白アリ」とも称される日本の公務員にどこまで

の個人情報を委ねられるか?使用も監査できるか

疑問です。

問題がクリアされず,信用を得られてないの

に一時のエサにかかる人どれだけいるのかな?

エサでももらえれば,それなりですが。。

(余談終わり)

※本題の続きです。

※第3章 環とイデアル

[加群の定義]:体Kの上での(左)加群Gとは,Gが加法

と見なせる演算で可換群をなし,さらに∀g∈Gに対し

Kの元:cによる(左)スカラー倍:(cg)が定義されて

(cg)∈Gを満たす(右加群なら(gc)∈Gを満たす)

場合に,Gを「(左)加群」という。また,Gの部分群で,

スカラー倍でも閉じているものを部分加群という。

(↑※K上の加群とはK上のベクトル空間(線形空間)

のようなものである。)

[イデアルの定義]:環Rの部分環I⊂Rで.その元の

加法については,IはRの部分加群をなし,∀x∈Iに

対して∀a∈Rの左からの積がIに属する:ax∈I

を満たすものをRの「左イデアル(left ideal)」他方,

右からの積がIに属する:xa∈Iを満たすものをR

の「右イデアル(right ideal)」という。

Rが可換環であれば.Rの左右の両イデアルは一致

するので,単に「イデアル」という。

このとき,a,b∈Rがa~bなる関係にあること,この

関係:~を(a-b)∈Iとなることと定義すると,これは

1つ同値関係です。この関係による同値類の集合は.

剰余環(商環)と呼ばれる環を形成し,これを(R/I)と

表記する。

[定理3-1]:L(n.F)={n次行列:A=(aij)|aij∈F}

(Fはある体)は,環をなすが,これには真の両側イデアル

は存在しない。(※Rの真のイデアルとはI=RとI={0}

という自明なイデアル以外のイデアルIを指す。)

(証明)L(n,F)が数体Fの上で環であることは行列の

和と積(加法と乗法)の定義から自明です。

L(n,F)の両側イデアルが存在するとして.その任意

のイデアルをIとし,I≠{0}であると仮定します、

このとき,Iのゼロでない元をA=(aij)とします。

ただし,このAでは,特定の行iと列jの要素;(i,j)

=(l,m)成分の要素については,aij=alm=0である,

と仮定します。

次に,行列Elmを,(l,m)要素成分だけが1で残りの

全ての要素がゼロのn次行列とします。

つまり,(Elm)ij=δilδjm(i,j=1,..n)とします。

このとき,(EllAEmm)ij=Σλσδilδλlλσδσmδjm

=almδilδjmです。

故に,alm≠0とすると,alm-1(EllAEmm)=Elmです。

ところが,仮定により,Iは両側イデアルなのでAの

左右からのn次行列の積のスカラー(alm^-1)倍もIの元

です。したがって,alm≠0なる∀l,mに対してElm∈I

となります。すなわち,∀i,jについてEij∈Iです。

∀A∈L(n,F)に対してA=Σijijijと書ける

のでA∈Iです。

何故ならイデアルIは,F上の加群でもあるため,

右辺のEij∈IのFの元による線形和もまたIの元

です。

結局,A∈IよりL(n,F)⊂IですからI=L(nF)

であり,Iは環全体に一致し,また,I≠{0}なのでIは

真イデアルではないことがわかります。(証明終わり)

※[定理3-2]:φが環Rから環R~の中への準同型写像

であるとき,Rの部分環Sの像:φ(S)={φ(x):x∈S}

はR~の部分環である。

また,φがR~の上への準同型写像のとき,Rのイデアル

Iの像:φ(I)={φ(x):x∈I}は.R~のイデアルである。

(証明)φは加群としても準同型ですから.φ(S)も加群

としてR~の部分群であるのは自明です。

そして.∀x,y∈Sに対してφ(x)φ(y)=φ(xy)

∈φ(S)(準同型)なので,φ(S)は乗法についても閉じて

います。

次に,IがRの(左)イデアルで,s∈Iでφ(s)∈φ(I)

とします。このとき.φがR~の上への写像なら,∀r~∈R~

に対してr∈Rが存在してr^=φ(r)となるため,写像φ

の準同型性から,r~φ(s)=φ(r)φ(s)=φ(rs)です

が.Iは(左)イデアルなので,(rs)∈Iにより,

φ(rs)∈φ(I)です。それ故.∀s∈Iに対し,∀r~∈R~

でr~φ(s)∈φ(I)が成立するため,φ(I)はR~の

(左)イデアルです。(証明終わり)

[定理3-3](環の準同型定理)

 φが環Rから環R^の上への準同型写像のとき,

I={z∈R:φ(z)=0~}(~0はR~の単位元)はR

の両側イデアルである。そして.剰余環(商環)(R/I)

の元C(x)に対して,φ~(C(x))=φ(x)とする写像

をφ~とすると,φ~は(R/I)からR~の上への同型写像

である。ただし,Iはφの核と呼ばれるイデアルであり,.

I=kerφと表わされる。

(証明)まず,I=kerφは,Rの部分加群です。

何故なら,∀x,y∈Iに対して,φ(x-y)

=φ(x)-φ(y)=0~により,(x-y)∈Iであり,

また,x∈I,r∈Rに対し,φ(rx)=rφ(x)=0~

より,(rx)∈Iであるからです。

さらに,x,y∈Iに対してφ(xy)=φ(x)φ(v)

=0~なので,(xy)∈Iですから,Iは乗法についても

閉じています。それ故,IはRの部分環でもあります。

そしてz∈I,x∈Rならφ(xz)=φ(x)φ(z)=0~

により,(xz)∈Iであり,同様に(zx)∈Iなので.I

はRの両側イデアルです。

IはRの部分加群ですから,群の準同型定理によれば,

φ~は商群(R/I)によって,φから誘導される写像です。

故に,これは(R/I)から加群R~の上への同型写像です。

何故なら,Rを加法群とみたとき,群は可換群なので

部分群は常に.その正規部分群であるからです。

乗法では.φ~{C(x)C(y)}=φ~{C(xy)}=φ(xv)

=φ(x)φ(v)=φ~{C(x)}φ~{C(y)}で,積の準同型性

が保持されます。さらにRが乗法の単位元1を持つ場合は,

φ~{C(1)}=φ(1)=1~(R~の乗法の単位元)です。

以上から,φ~は加法,乗法で共に(R/I)からR~の上

への同型写像です。(R/I)~R~(同型)と表わされます。

(証明終わり)

[R加群の定義]:Rを乗法に関する単位元:1を持つ可換環

とする。このとき,加群MがR上の加群であることを,Mは

R加群である。という。

いい換えると,MがR加群であるとは∀x∈Rと

∀a∈Mに対し,xa∈Mであり,次の3条件を満たす

ことである。すなわち,∀x,y∈R,∀a,b∈Mに対し,

(1)x(ya)=(xy)a(結合則)

(2)(x+v)a=xa+va(分配則1)

(3)x(a+b)=xa+xb(分配則2)の3条件です。

[定理3-4]:加群Mに対して,MからMの中への準同型写像

の全体をEnd(M)とするとき,f,g∈End(M)に対して

(f+g),fgを,次のように定義する。

すなわち,∀a∈Mに対し(f+g)(a)=f(a)+g(a),

(fg)(a)=f[g(a)](合成写像)と定める。

このとき,R=End(M)は,単位元を持つ可換環であり,

Mは,R加群である。

(証明)f,g∈R,a,b∈Mに対して,(f+g)(a+b)

=f(a+b)+g(a+b)={f(a)+g(a)}

+{f(b)+g(b)}=(f+g)(a)+(f+g)(b)で,,

(fg)(a+b)=f[g(a+b)}=f[g(a)+g(b)]

=f[g(a)]+f[g(b)]=(fg)(a)+(fg)(b)

ですから(f+g),fgも準同型であり(f+g)∈R,

かつ,fg∈Rです。また,(f-g)∈Rも同様です。

eを恒等写像:e(a)=aとすれば,eがRの乗法の

単位元となることは自明です。

さらに加法,乗法の結合則,分配則も成立し,加群と

しての単位元である零元:0∈R.および,fの逆元:

(-f)∈Rも存在するため,R=EndM)は乗法の単位元

を持つ環です。そこで∀a∈Mに対してf∈Rとの積

をaf=f(a)∈Mと定義すれば,MはR加群の条件を

満たしています。(証明終わり)

[定理3-5]:MをR加群とするとき,x∈Rに対してMの元

(xa)を対応させると,MからMの中への準同型写像として

xを得る。これは,a∈Mに対しf(a)=xa∈Mとする

写像である。そこで,Φをx∈Rをfxに対応させる写像と

すると,これはRからEnd(M)の中への準同型写像である。

このとき.Φの核をI=kerΦ={Φ(x)=0 }とする。

ただし,φ(x)=0の0は,xa=0 (for ∀a∈M)なる写像

であり,End(M)の元fx=xa=0なる零写像を意味する。

すると(R/I)は,End(M)の部分環:Φ(M)に同型である

ことがわかる。すなわち,Φから誘導される(R/I)からΦ(M)

への写像Φ~は,Φ~(xI)=Φ(x)=fで与えられ,これは

(R/I)からEnd(M)の部分環;Φ(M)の上への同型である。

そこで,これをΦ(M)~(R/I)(同型)と書く。

a∈Mなら,x∈Rに対し(xI)を同値類記号C(x)で

表わせば,写像としてΦ~{C(x)a}=f(a)である。

つまり,C(x)a=xaと定めることにより.R加群M

が,(R/I)加群であるとも考えられる。

(証明)これは群Gと部分群Nによる商群,環RとイデアルI

による商環についての準同型定理と同様な命題であり,証明

はそれらと同じなので.ここでは割愛します。(終わり)

※R加群;Mは実質的には上記定理のような加群です。

[R部分加群の定義]:R加群Mの部分群Sが,またR加群

であるとき,SをR加群の「R部分加群」である,という。

1,a2,..an∈Mのとき,係数x1,x2,.xn∈Rを持つ

線型関係:(x11+x22+..+xnn)の元の全体集合は

R部分加群である。

※これをa1,a2,..anの生成するR部分加群という。

[定理3-6];MをR加群,SをそのR部分加群とする。

このとき,剰余加群(M/S)もR加群と見なせる。

(証明)r∈Rであり,m∈MでC(m)∈(M/S)のとき,

rC(m)=C(rm)と定義すると,Sは加群なので

C(m~)=C(m)は(m~-m)∈Sを意味するため

r(m~-m)=(rm~-rm)∈Sです。

つまり,C(rm~)=C(rm)となり,C(m)∈(M/S)

なら,rC(m)∈(M/S)なので,(M/S)もR加群です。

(証明終わり)

[定理3-7](R加群の準同型定理)

φをR加群MからR加群M~の上へのR準同型写像φと

する。つまり,通常の準同型@φ(x+y)=φ(x)+φ(y),

および,φ(xy)=φ(x)φ(y)(x,y∈M)なるち性質に

加えて,r∈Rに対してφ(rx)=rφ(x)を満たす写像

とする。φをMからM~への加群としての準同型と見たとき

の核を,I=kerφ={z∈M:φ(z)=0~}とすると,核Iは.

R部分加群であり,φはR加群(M/I)からR加群M~の

上へのR準同型写像;φ~を誘導する。

(証明)∀z1,z2∈I,に対して,φの準同型性によって,.

φ(z1―z2)=φ(z1)-φ(z2)=0~より(z1-z2)∈I

なので,IはMの部分加群です。

次に,z∈I,a∈Rとするとφ(az)=aφ(z)=0~

より,(az)∈Iなので,IはMのR部分加群です。

剰余群(M/I)の元C(a)=aI(a∈M)に対して

φ~{C(a)}=φ(a)とすると.φ~は加群(M/I)から

加群M~の上への同型写像です。(群の準同型定理)

さらにx∈Rとするとφ~{xC(a)}=φ~{C(xa)}

=φ(xa)=xφ(a)=xφ{C(a)}­が成立するので,

φ~はR同型写像です。(証明終わり)

[Hom(MM)の定義]:Hom(M,M~)をR加群MからR加群M~

へのR準同型写像の全体集合とする。

φ12∈Hom(M,M~)に対してa∈Mのとき,加法と乗法

を(φ1+φ2)(a)=φ1(a)+φ2(a),および,(φ1φ2)(a)

=φ1(a)φ2(a)で.それぞれ,(φ1+φ2),および,(φ1φ2)を

定義する。

※Hom(M,M~)がR加群となることは,証明するまでもなく

明らかなことです。

[G加群の定義]:Mが群G上の加群であるとき,MをG加群

という。すなわち,∀g∈G,∀a∈Mに対して(ga)∈M

であり,a∈M,g,h∈Gに対しg(ha)=(gh)aが成立,

し,eをGの単位元とするとea=aとなるとき,MはG加群

である。

 

第4章 体とベクトル空間(線形空間)

[体の定義]:これについては,本シリーズ記事(1)の第0章で

記述したものを再掲します。

集合Kの上で乗法(・)と加法(+)という2種の2項演算

が定義されており,加法では(K,+)が可換群をなし,その

単位元を0(ゼロ)と書き零元と呼ぶ。また,この0を除く集合

×=K-{0}は,乗法について群をなし,この乗法群の単位元

eは1と書くこともある。このとき,任意のKの元:a,b,c

について,分配則:a・(b+c)=a・b+a・cが成立する

なら,(K,・,+)の組を「体(field)」という。特に乗法

についても可換なら,Kを「可換体」という。

[K加群の定義]:Mが体K上の加群なら,MをK加群という。

Mが加法について可換群をなし,Kの元によるスカラー倍

が定義されて閉じたK上の線形空間となるものをK(左)加群

というのである。K加群はK上のベクトル空間と同義です。

[ベクトル空間の定義]:これは省略して既知とします

(↑※詳細は線型代数学のテキストを参照されたい。)。

[定理4-1]:体K上のm個(m≦n)の同次連立方程式:

i=Σj=1nij)=0(i=1,..m)(1)の解;(xj)

の全体は,K加群:Knの中で,部分空間Sをつくる。

※Knは,体K上のn次元ベクトル空間全体を意味し,

Sは.そのm次元の線形部分空間であるという意味

です。さらに,非同次方程式Li=Σj=1nij=bi.(2)

(i=4,..,m)が解を持てば,解(yj)の全体はKのSに

よる1つの剰余類をつくる。

(証明)Sは(1)の解集合ですからx,x~∈Sとすると,

Σj=1nij(x-x~j)=0 (i=1,..m)が成立するので,

(xj-x~j)∈Sです。さらにλ∈KならΣj=1nij(λx)

=0(i=1,..m)により,(λxj)∈Sです。SはLK群:

nの部分集合ですから,これらにより,SはKnの線形

部分空間です。

次に,(2)の解全体の集合をMとして,y,y~∈M

とすれば,Σj=1nij(y-y~j)=0(i=1,..m)が

成立します。そこで(yj-y~j)が(1)の解となるため,

(yj-y~j)∈Sです。

これは,Mが(M/S)の剰余加群の1つの同値類である

ことを意味します。(証明終わり)

[定理4-2]:体F上のベクトル空間:Vの部分空間をWと

する。剰余加群(V/W)の元C(v)とx∈Fに対して,

C(xv)=xC(v)と定めると,(V/W)は,体F上の

ベクトル空間となり,dim(V/W)=dimV-dimWを

満たす。※このとき,(V/W)をVの剰余空間という。

(証明)C(v~)=C(v)のとき.(v~-v∈Wですから,

x∈Fなら{x(v~-v)}∈Wです。

故にC{x(v~-v)}=0なのでC(xv~)=C(xv)

です。

それ故,C(xv)=xC(v)という定義は一意的です。

ここで,dimW=m,dim(V/W)=rとして,Wのm個,

および,(V/W)のr個の基底をそれぞれ,w1,..,wm,

および,C(v1),..C(vr)とします。

Vの元がv=x11+..+xmm+y11+..+yrr

と表わせるとすると,w∈Wを含む加群(V/W)の元,,

つまり,同値類はC(0)=0+Wで,加群(VW)の零元です。

つまり:C(w)=C(0)=0ですから,j=1,..mの全て

において,C(wj)=0です。よって,上記のvの同値類は

C(v)=y1C(v1)+..+yrC(vr)と,r個の(V/W)の

基底の線型結合で表わされます。

それ故,v=0なら.C(v)=0なのでy1=..=yr=0であり

,故にx1=..=xm=0が従います;

以上から,w1,..wm,v1,..vrは全て独立であり,Vの

基底となり得ます。何故なら,∀v∈Vについて同値類は,

C(v)=y11+..+yrC(vr)と書けるので,wを

w=v-(y1(v1+..+yrr)と定義すれば,C(w)=0

により,w∈Wです。

w=x11+..+xmmと表わせるため,∀v∀Vが,

常に,v=(x11+..+xmm)+(y11+..+yrr)の形

に表わせるからです:

したがって,dimV=(m+r),つまり,r=dim(V/W)

=dimV-dimWを得ます。(証明終わり)

[定理4-3]:V,Wを体F上のベクトル空間とする。

そしてφをVからWへの準同型写像する。

このとき,V0={v∈V:φ(v)=0}とすると,(V/V0)

はVの部分空間であり,V0による剰余空間(V/V0)からW

の上への同型写像φ~が誘導される。

そして,dimV=dimW+dim(V/V0)である。

(証明)v1,v2∈V0のとき,φ(v1+v2)=φ(v1)+φ(v2)

=0より,(v1+v2)∈V0,また,v∈V0,x∈Fなら,φ(xv)

=xφ(v)=0なので,(xv)∈V0,よってV0はVの部分空間

です。V0はφの核kerφですから,すぐ前に示したF加群の

準同型定理により,(V/V0)からWの上への同型写像φ~を,

φ~{C(v)}=φ(v)で,φから誘導される写像として与える

ことができます。そして,,dimV=dimW+dim(V/V0)です。

(証明終わり)

[定理4-4]:Lを非可換環Rの左イデアルとする。

このときI={x∈R:xL=0}はRの両側イデアルである。

(証明)z∈L,a,b∈Iなら(a±b)z=az±bz=0

,それ故,(a±b)∈Iです。また,(ab)z=0から

(ab)∈,Iです。,故にIは環Rの部分環です。

次に,∀z∈Lに対してLはRの左イデアルですから

x∈Rに対して(xz)∈Lです。

一方,a∈Iなら.任意のLの元zについて(az)=0

です。故にa(xz)=0です。

以上から(xa)z=0,かつ.(ax)z=0なので

(xa)∈I,かつ.(ax)∈Iとなり,Iは両側イデアル

です。(証明終わり)

[定理4-5]:体Kから環Rへの準同型写像は零写像か,

または,同型写像でぁる。

(証明)φを,体Kから環Rへの(環)準同型写像とします。

φの核:I=kerφ={a∈K:φ(a)=0}はKのイデアル

です。何故なら,a∈I,x∈Kなら(φ(xa)=xφ(a)

=0により(xa)∈Iであるからです。

ところが,体Kのイデアルは,K自身か,{0}です。

何故なら,a∈Iならaa≠0の場合は逆元.a-1

が存在して 1=(a-1a)∈Iですから.∀x∈K

に対して,x=(x・1)∈Iですが,0∈Iですから

K⊂Iです。他方,a≠0のa∈Iが存在しない

ならI={0}です。

そこで,K⊂Iの場合は.I=kerφ=Kで,φ(K)

={0}なので,φは零写像であり.他方,I=kerφ={0}

の場合は.K=(K/I)~Rで,φは,Rの上への同型写像

です。(証明終わり)

[定理4-6]:非可換環Rの有限個の両側イデアを.

1,I2,..Imとする。R=I1+I2+..+Im

のとき.i≠jなら(Iij)=0である。

(証明)あるi,j(i≠j)についてα≠0,かつ,

α∈(Ii∩Ij)とすると,0∈Rは,0=0+0+.+0,

または,0=0+..+α+0+..+(-α)+.++0と

なり,,直和分割が一意的でないという矛盾です。

それ故,i≠jなら(Ii∩Ij)={0}です。

そして,Ii,Ijは両側イデアルなので(IiIi)⊂Ij,

かつ,(Iij)⊂Iiですから,(Iil)=0です。

(証明終わり)

[定理4-7];φを環Rから環R~の中への準同型写像

とする。I~をR~の両側側イデアルとするとφ-1(I~)

はRの両側イデアルである。

(証明)まず,I=φ-1(I~)とおきます。.

そこで,a∈I,x∈Rなら,φ(a)∈I~であり,,

φ(xa)=φ(x)φ(a)ですが.φ(x)∈R~であり

I~はR~の両側イデアルですからφ(xa)∈I~と

なるため.(xa)∈Iです。

同様に,φ(ax)=φ(x)φ(a)∈I~より,

(ax)∈Iです。したがって,IもRの両側イデアル

です。(証明終わり),(

※途中ですが,今日はここで終わります。(つづく)

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2021年11月 3日 (水)

ガロア理論の復習(3)

※2021年10月25日(月)開始→11月3日(水)

※(余談):何かコロナウイルス自滅仮設が現実に

なったかのようです。私は数万人に1人くらいの

特異体質を自認していて医師の余命宣告も不発です

から.如何なるワクチンも拒否していますがそれでも

何とか生きています。

今は大谷翔平君,大坂なおみちゃん,渋野日向子

ちゃんのニュースのみ期待してます。選挙結果

もほぼ予想通りでした。投票に行く人が保守的な

日本人的な人達です。アウトサイダーには競馬

予想のような興味だけです。(余談終わり※)

※さて本論の続きです。

※Gが可換群なら乗法でなく加法で置き換えても

議論は「同じです。その場合,単位元は0で巡回群

は,<a>={0,a,2a,.}であり,位数がqの有限

巡回群ではa≠0なら,qをqa=0を満たす最小

の自然数として<a>={0,a,..(q-1)a}です。

(※例えばmod qの整数,つまりqで割った剰余の集合

をGとすると,G={0,1,.,(q-1)}であり,これは

加法群としては,巡回群<1>であり,q・1=q=0です。)

また,Gが部分群:H1,..,Hmの直積で表わせる場合も

Gが可換群なら乗法の積を加法の和に置き換えが可能で

直積;G=H1×H2×,,×Hmは,直和G=H1+..+Hm

=Σi=1miと,解釈できます。

[定理2-5];(基本定理):任意の有限生成の可換群Gは

巡回部分群:H1,..Hmの直積で書ける。ただし,mは

ある極小な生成系の元の個数である。

(証明)まず,1個の生成元のm=1ならG=H1=<h1

であり,定理の成立は自明です。

そこで,(m-1)個の生成系では定理が成立すると

仮定します。

極小な生成系の全ての自明でない1次関係で

係数に最小の正数が現われるものを,

11+..+xmm=0..I1)とします。

ただし,hi∈G.xi∈Z(i=1,2,..m)です。

一般性を失うことなく,xj(1≦j≦m)のうちで,

1が最小の正の数であるとすることができます。

他方,任意の関係式y11+..+ymm=0,(2)

i∈Z(1≦i≦m)をとると,x1/y1,つまり,x1

1の約数です。

何故なら,y1=qx1+r(0≦r<x1)なら,(2)から

(1)×qを,辺々引くと,rh1+..+(ym-qxm)hm=0

となり,もしもr>0ならrが最小の正整数x1よりも

も小さい正整数となり矛盾が生じるので,r=0でしか

あり得ないからです。

また,(1)において,x1/xj(2≦j≦m)でもあります

何故なら,例えばx2=qx1+r(0≦r<x1)ならm個

の生成系を(h1+qh2),h2,..hに変えれば,(1)式は,

1(h1+qh2)+rh2+..+xmm=0と書き直せます。

それ故,左辺のh2の係数rが正ならx1の最小性に矛盾

するため,やはり.r=0です。

したがって,x2=q21,..xm=qm1と書けるので

(1)はx1(h1+q22+...+qmm)=0を意味します。

 そこで,h~1=h1+q22+..+qmmとおけば,h~1

も極小生成系の1つであり,x1h~1=0なのでx1が最小

の正整数であることから,これは位数がx1の巡回部分群

<h~1>を構成することに同義です。

ここで,z1h~1+z22+..+zmm=0(z∈Z)

(j=2,..m)を.生成系:h~1,h2,..hmの間の任意の関係

とすると,前のx1/y1を導いたのと同様にして,x1/z1

得ます。それ故,x1h~1=0からz1h~1=0となります

から,先の任意の関係式がz22+..+zmm=0に帰着

します。

そこで,(m-1)個のh2.,..hmによって生成される

Gの部分群をG2とし,一方.巡回部分群<h~1>をG1

と書けば,群Gは,G=G1+G2(G1∩G2={0})と直和

で表わせます。

ところが,帰納法の仮定によりG2は(m-1)個の

巡回部分群の直積(直和)ですから,これとG1

合わせたG=G1+G2は.m個の巡回部分群の直積

(直和)です。(証明終わり)

[定理2-6]:単位元以外の元の位数が2の群は可換群

である。

(証明)定理に仮定された群をGとします。

∀σ,τ∈G(σ≠e,τ≠e)に対して.σ2=τ2=e,

かつ,(στ)2=στστ=eです。

最後の式στστ=eの両辺に左からσ,右からτ

を掛けると,τσ=στを得るのでGは可換群です。

(証明終わり)

[定理2-7]:巡回群Gでは,部分群H,および,商群

(G/H)も巡回群である。

.(証明)H={e}=<e>ならHは位数1の巡回群で,

G/H=G/{e}={a{e}:a∈G}={a∈G}=G

なので,商群(G/H)にも定理の成立は明らかです。

また,H=GならH=Gは巡回群であり,商群は

G/H=G/G={aG:a∈G}={G}で,これは単位元

G=Hのみが元の,位数1の巡回群です。

次にHがG=<a>(a≠e)の自明でない部分群

なら,Hの元は全てam(m∈Z)の形です.a≠eより,

d∈Hとなる最小の正整数dをとりm=qd+r

(0≦r<d)とすると,ar=a(m-qd)=(am)(ad)-1∈H

となるため,r>0であるとdの最小性に反するので

r=0です。それ故,m=qdですから,常にam=(ad)

となり,Hは巡回群<ad>であることがわかります。

そして,(G/H)の元はanH(n∈Z)で,これは(aH)n

に等しいので,(商ふんもG/H)=<aH>の巡回群です。

(証明終わり)

[定理2-8]:p.qを相異なる素数とする。

G={pmn;m,n∈Z}なる可換群は巡回群ではない。

(証明)p=p10,q=p01よりp.q∈Gです。

[定理2-7]より可換群Gは巡回部分群の直積で

書けますが,Gの生成元はp,qであり明らかに

G=<p><q>です。

<p>も<q>もGの部分群ですが,前定理

から,Gが巡回群<a>なら部分群はH=<ad

となりますが,a=pnに対し,ad=(pmn)d

=p(d>0)となるのはmd=1,n=0のみであり,

d=(pmn)d=qとなるのはnd=1,m=0のみ

です。これは,素数p,qでは不可能ですからGは

巡回群ではあり得ません。(証明終わり)

(系)有理数体Qの乗法群:Q×=Q-{0}は巡回群

ではない。

(証明)有理数体の集合Qは,整数Zとの直和

で,Q=Z+{pq1:p,qは素数}と表わせて.

×=Q-{0}は,乗法について可換群をなします。

そこで,G={pmn;m,n∈Z}は,Q×の1つの

部分群です。もしもQ×が巡回群ならその部分群

Gも巡回群ですが.定理によってGは巡回群では

ないのでQ×も巡回群ではないです。(証明終わり)

[定理2-9]:Hを群Gの部分群とし,x∈Gとする

とき,(x-1Hx)もGの部分群である。

※(x-1Hx)をHに供役な部分群といいます。

(証明)∀x-11x,x-12x∈(x-1Hx)に対して

(x-11x)(x-12x)-1=x-1(h12-1)xですが

1,h2∈HでHがGの部分群なのでh12-1∈∈H

ですから,(x-11x)(x-12x)-1∈(x-1Hx)です。

したがって.x-1HxもGの部分群です。

(証明終わり)

[定理2-10]:可換群Gにおいて,有限位数の元全体は

Gの部分群をつくる。

(証明)Gの有限位数の元全体の集合Hは,.

H={a∈G|ad=e.for some d∈(N+{0})}と

表わされます。(Nは自然数の集合です。)

そして,a1,a2∈Hなら,a1d1=e,a2d2=eを満たす

非負の整数d1,d2が存在します。

このとき,(a12-1)d1d2=eを得るので(a12-1)∈H

です。それ故,HはGの部分群です。(証明終わり)

[例2-1];位数が12の巡回群<a>の生成元とは?

(解)G=<a>(a12=e)の元bがGを生成するため

の必要十分条件は|G|=12と互いに素なkが存在して

=b,となることです。

 何故なら,kが12の1でない約数なら,kd=12と

なる正整数:d<12が存在してbd=(ak)d=a12=eと

なるため,G=<a>=<b>で,|G|=d<12という

矛盾が生じるからです。故に,k=1,5,7,11であり生成元

はa,a5,a7,a11のいずれかです。(q.e.d).

[例2-2]:無限巡回群<a>の生成元とは?

)解)G=<a>=<b>すると,b=a,かつ,

a=blを満たす正整数k.lが存在するはずです。

するとa=aklなので.a(kl-1)=eです。

しかし,G=<a>の位数は∞なので(kl-1)

がゼロでない場合は有り得ません。

故にkl=1ですから,k=l=±1(複号同順)でa

とa-1のみがGの生成元となり得ます。(q.e.d)

[定理2-11]:位数が素数:pである群は巡回群である。

(証明){G{=p(素数)とします。a∈Gでa≠e

とすると,<a>はGの巡回部分群で,位数はpの約数

ですが,<a>≠<e>により,これは1ではないので,

,|<a>|=p=|G|です。

それ故,G=<a>となるので,Gは巡回群です。

(証明終わり)

[定理2-12]:Nが群Gの部分群で指数が|G:N|=2

なら,NはGの正規部分群である。

(証明)仮定から,a,b∈(G-N)について

G=N+aNであり,また,G=N+Nbです。

それ故,Na=bNです。

しかし,指数が2なので,右剰余類で考えると,

aN=bNです。

故にaN=Na=(G-N)となりますから,

N=aNa-1です。これはNがGの正規部分群で

あることを意味します。(証明終わり)

[定理2-13]:g∈Gに対して,φa(g)=a-1ga∈G

を対応させる写像φa:G→Gは自己同型写像である。

つまり,GからG自身への準同型全単射(bijebtion)

である。

そしてAut(G)={σ:G→G:σは自己同型}とすると,

これは群で,Inn(G)={φa:G→G}は,その正規部分群

である。
(証明)∀g1,g2∈Gについて,φa(g12)=a-1(g12)a

=(a-11a)(a-12a)=φa(g1a(g2)が成立するので,

∀a∈Gに対してφaは準同型写像です。

そしてg∈Gならg~=aga-1とおくと,φa(g~)=g

となるので,φaは全射(Gの上への写像;surjection)であり,

φa(g1)=φa(g2)ならa-11a=a-12aより,g1=g2,

(言い換えるとg1≠g2ならφa(g1)≠φa(g2))ですから,

φaは単射(1対1写像;injection)でもあります。

以上から,φaは群Gの自己準同型写像です。

次に,Aut(G)が閉じていて群をなすのは自明です。

そして,Φab∈Inn(G)なら,φaφb-1(g)

=φab-1(g))=a-1(bgb-1)a=(b-1a)-1g(b-1a)

=φb-1a(g)なので,φaφb-1=φb-1a∈Inn(G)より,

Inn(G)はAut(G)の部分群です。

さらに,∀Φa∈Inn(G)は,∀σ∈Aut(G)に対して,

(σφσ-1)(g)=σ[a-1-1(g)}a]

=a-1[σ{σ-1(g)}]a=a-1ga=φa(g)を満たす。

つまり,σφσ-1=φ∈Inn(G)ですからInn(G)は

Aut(G)の正規部分群です。(証明終わり)

[例2-3]:位数が6の群Gの構造

σ∈Gならσの位数は6の約数です。

σ≠eなら位数は2,3,6です。

(1)σの位数が6ならGは巡回群でG=<σ>

(2)e以外の元の位数が全て2なら,Gは可換群です。

そこでσ≠eとすると,σ2=eで<σ>は巡回部分群

であり,(G/<σ>)の位数は3の素数ですから巡回群

です。しかし,τ∈<σ>とすると,τ2=eで{τ<σ>}2

=<σ>,つまり,τ<σ>の位数は2で3ではないので

矛盾です。ですから,この場合は有り得ません。

(3)位数が3の元σが存在する。このとき,σ≠e,σ3=e

で,(G/<σ>)の位数は2,指数|G:<σ>|=2を意味

するので<σ>はGの正規部分群です。

それ故,τ∈<σ>とすると,τ-1στ∈<σ>ですが,

τ-1στ=σなら,στ=τσ,σ3=e,で{τ<σ>}2=<σ>,

τ2=eで,τ-1στ­=σ2なら,στ=σ2τ,τ2=eです。

[定理2-14]:Gを群,Aを加法群とする。

Hom(G,A)={f:G→A:準同型写像}とすると,x∈G,

f,g∈Hom(G,A)に対し,(f+g)(x)=f(x)+g(x)

なる演算(加法)で群をなす。

特に,G,Aが共にn次の巡回群ならHom(G,A)もn次の

巡回群である。

(証明)f,g∈Hom(G,A)とすると,f,gはGの上で準同型

なので,∀x1,x2∈Gに対して,加法の定義により,

(f+g)(x12)=f(x12)+g(x12)={f(x1)+f(x2)}

+{g(x1)+g(x2)}=(f+g)(x1)+(f+g)(x2)ですから,

和:(f+g)もGの上で準同型,(f+g)∈Hom(G,A)です。

そして,加法は可換演算なのでf+g=g+fです。

次に,f,g,h∈Hom(G,A)ならf+(g+h)

=(f+g)+hの結合則の成立は,自明です。

∀x∈Gに対して0(x)=0なる写像:0は明らかに

Hom(G,A)の単位元となります。

そこで,f∈Hom(G,A)に対して(-f)(x)=-f(x)

で定義される写像(-f):G→Aは,写像fの逆元となって,

f+(-f)=0,(-f)+f=0を満たします。

以上から,Hom(G,A)は1つの可換群です。

特に,G,Aが共に巡回群でG=<x0>,A=<a>の場合

f∈Hom(G,A)でf(x0)=aとなるfとx0∈Gが存在します。

fは準同型ですからf(x0k)=ka(k∈Z)となります。

この写像f;G→Aについてx=x0k,y=x0l∈G(k,l∈Z)

なら,f(xy)=f(x0k0l)=ka+la=f(x)+f(y)であり,

確かにfは準同型です。

そこで,aの位数がn,つまり,n=|<a>|のn次巡回群の

場合:na=0なので,Gの任意の元:x=x0(k∈Z)に対し,

nf(x)=f(x0k)=nka=0 です。

xはGの任意の元なので準同型写像として恒等的にnf≡0

であることを意味すます。

nはna=0となる最小の正整数で,ma=0ならn/m

です。故に,mf≡0ならmf(x0)=ma=0より,n/mです。

つまり,n≦mですからfの位数もnです。

他方,g∈Hom(G,A)ならg(x0)=ra∈Aとなるr∈Z

が存在しますから,g(x0)=rf(x0)です。

そこで,∀x=x0k;∈Gについてもg(x)=rf(x)となり

写像としてg≡rf,つまりg∈<f>(加法巡回群)です。

以上から,Hom(G,A)=<f>で,Hom(G,A)も位数がn

のn次巡回群です。(証明終わり)

[定理2-15];Gを可換群とし,Nをその部分群とする。

Gが無限巡回群ならG~N×(G/N)(両辺は同型)である。

(証明)Gは可換群でNをその部分群とします。

まず,無限巡回群は加群Z(整数)と同型です。

何故なら,<a>が無限巡回群ならan~nは明らかに同型対応

ですから<a>~Z(同型)と書けます。

さて,[定理2-7]からGが巡回群なら,Nも商群(G/N)も巡回群

です。Gが無限巡回群ならNも(G/N)もそうです。

商群は(G/N)={C(a):a∈G}です。ただし,C(a)

=aN=Naです。

商群も無限巡回群なので(G/N)=<C(a)>と書けます。

一方,K=<a>とし,a≠eならa∈GよりKも無限巡回群

です。ar∈K(r∈Z)でC(ar)=arNなのでC(ar)∈KN

ですが,C(ar)=srN=(aN)r=C(a)∈(G/N)でも

あります。それ故,KN=(G/N)でG=N×KNでます。

無限巡回群は全て加群Zと同型ですから,結局のところ,

G~N×(G/N)~N×(KN)~Zです。(証明終わり)

※<a>が無限巡回群であるとは,ar=eがr=0を意味する

巡回群のことです。

[定理2-16]:位数が素数pの2乗;p2である群は可換群である。

(↑※後記:この定理は間違いで成立しない。?)

証明)まず,Gを位数がp2の群とすると,|G|=p2なので,

その任意の元の位数はp2の約数であり1,p,p2のいずれか

です。しかし,Gの位数は1より大なのでa≠eのa∈Gが

必ず存在して,その位数は,pまたは,p2です。

そこで.a≠eでa∈Gならap=eまたは(ap)p=e

です。|<a>|=|<ap>|=pで<a>も<ap>もG

の巡回部分群です。

それ故,もしもap=eなら巡回部分群<a>をKとおけば.

|K|=pで.商群(G/K)の位数はpです

(G/K)={eK,x1K,..xp-1K}と書けば,j=,1..,p-1

についてxj∈(G-K)ですが.この商群も位数が素数pです

から.巡回群です。したがって,(G:/K)=<bK>,

b∈(G-K)と書けます。その元は(bK)r=br­K(r∈Z)

です。巡回群なので元は可換ですから,∀x,y∈Gに対して

(xK)(yK)=(yK)(xK)です。

よってxy=yx(可換)です、

(↑※後記:ここは疑問です?mod Kでxy~yxに過ぎない

と思います。そこで,位数がpの巡回群(可換群)の直積で。

G=<b>×<a>と書けても,一般に直和てはないので.

<a>×<b>に一致するとは限りません。)

故に,Gは可換群です。(??)

他方(ap)p=eで,|<a>|=p2なら|G|=|<a>|

なので,G=<a>でGは巡回群なので可換群です。

(証明終わり)(つぐく)

※PS:今年も2006年1月に知り合った巣鴨一番街の

3年くらい前に立ち退きでなくなった小さなスナック

バーの,長崎出身のマスターで15年来の親友が10/28

に亡くなったという訃報が10/31に他の知り合いから

の連絡でわかりました。

コウちゃん,トシちゃんと呼ぶ間柄でした。彼は

1953年7月生まれのはずですから,まだ68歳です。

半年くらい前にガンが転移して再発したかもという

連絡がありましたが,私も介護,看護を受けてる身で何も

できません。最近は,ガンでもいずれは良くなるだろう

と放置していましたから,寝耳に水です。、

毎年のように71歳の私と同年代の長い付き合いの友達

が亡くなったという連絡がありますが.ほぼ全員死因はガン

のようです。

私のような慢性の糖尿病から心臓病,腎臓病の方長生きして

います。もはや,ほぼ動けない身体の私はどうしようもなく

自宅で勝手に焼酎でも飲んで一人通夜をするだけです。

慢性病持ちの私の方が先に逝くはずでしたがシブトイ

憎まれっ子のようです。夜にハバカリかい!!

  合掌!

 

 

 

 

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2021年10月24日 (日)

ガロア理論の復習(;2)

※2021年10月8日(金)開始→10月24日(日)

※(余談):私は,1浪して19歳で大学の理学部の

物理学科に入学しました。15歳(中3)のとき父

が病死,兄2人,姉1人の末っ子で,急に母子家庭

の貧乏になり中高一貫の私立校だったので,高校

は父の退職金や特別奨学金で普通に卒業したの

ですが,遠くの国立大学に入ったので下宿して,

ほぼ,奨学金とアルバイトで生計を賄ってました。

それでも3年生で,必須の「統計力学Ⅰ」と

「物理実験学」の2科目合計4単位?を落とし

留年して「.その1年は奨学金もストップで,もう

1年3年生をやりました。

蛇足ですが3年になる前の2年生の春にも教養

の「憲法」を落とし再試験のときは成田(三里塚

芝山町)で空港建設反対で1カ月程常駐して援農

やすわり込み,デモなどをしていたので落第の

ままで大学では教員免許取れませんでした。

しかし,私,昔から転んでもタダでは起きない

性格で,2度目の3年生では物理講義は,たった

2科目で暇だったので,1年後輩の数学科の3年

の教室にもぐりこみ数学の講義を受けました。

大学での物理学の講義は,高校物理とはあまり

にも違う内容で,未知の事柄の話をいきなりされ

ノートを取るのがやっとでチンプンカンプンで,

理解するには自分で本で独習するしかなかったの

に比べ,数学科の数学の講義は定義,定理,証明と,

何も知らない状態から丁寧で,高校時代と同じく

出席して講義を聞いてるだけで独習しなくても

自然に頭に入ってきて,ある意味で「これが大学

の講義なんだ。」と衝撃を受けました。

翌5年目は,奨学金復活し普通に物理学科4年

の講義を受けたため,数学科の4年の講義は受ける

暇はなかったのですが,集合・位相や群・環・体の

代数学,数論,解析学,関数論などの必要で基礎的な

知見は3年生の専門科目で十分で,主にこの頃に

入手したモノが.現在の頭に残っています。

さて,最近,Amazonで「博士ルーペ」という商品

らしいがTVショップより安いモノがあったので

注文して届き,掛けてみました。

あくまで1個人の感想ですが,昔,まだ,初期の有名

でなかった頃にハズキルーペを買って,すぐフレーム

が壊れ,結局,使えなかったのと比べて,私のような

弱視でも書に近づくと見えます。

まあ,ルーペですからね。(余談終わり※)

 

※さて本論の続きです。

[定理8](準同型定理):群GとG~があってφ:G→G~

がG~の上への準同型写像であるとき,集合N=kerφ

={x∈G}φ(x)=e~}(ただしe~はG~の単位元)

をφの核(kernel)と定義すると)(G/N)からG~への

写像:φ~:gN→φ(g)は商群(剰余群):(G/N)から

ら群G~の上への同型写像である。

このφ~を「φから誘導される写像」という。

(証明)(φ~の一意性):φ~(g1N)=φ~(g2N),

つまり,φ(g1)=φ(g2)なら,φの準同型性から

φ(g1)・[φ(g2)]-1=e~であって同じく準同型

なのでφ(g12-1)=e~です。

これは,12-1∈kerφ=Nを意味します。

故に,g1∈g2Nですからg1N=g2Nと結論されます。

(φ~の準同型性):次に,φ~(g12N)=φ(g12)

=φ(g1)φ(g2)=φ~(g1N)φ~(g2N)より,

φ~が準同型であることは自明です。

(φ~の全射性):最後に,φはG~の上への写像です

から,∀g~∈G~に対しφ(g)=g~となるg∈G

が存在します。

それ故,gN∈(G/N)でありφ~(gN)=g~となる

ため,φ~もG~の上への写像であることになります。

(証明終わり)

[定義]:NをGの正規部分群とするとき.∀g∈Gに

対し,κ(g)=gNとする写像:κ:g→gNをGから

(G/N)への「自然な準同型写像」という。

これが上への写像であることは明らかです。

[定理9]:φをGからG~の上への準同型写像,N~

をG~の正規部分群とする。

Nをφの原像:N=φ-1(N~)={g∈G:φ(g)∈N~}

とすると,φ~(gN)=φ(g)N~によって商群(G/N)

から商群(G~/N~)の上への同型写像が得られる。

(証明)写像:ψ:G~→(G~/N~)を∀g~∈G~に対し

ψ(g~)=g~N~なる写像として与えます。

すると,合成写像:(ψ・φ)(g)=ψ{φ(g)}

=φ(g)N~は,Gから(G~/N~)の上への準同型

写像です。何故なら,φがGからG~の上への準同型

であり,ψもG~から(G~/N~)の上への準同型である

からです。

さて,N=φ-1(N~)なので∀g1,g2∈Nに対して,

φ(g1)∈N~,かつ,φ(g2)∈N~です。故に,φの

準同型性から,φ(g12-1)=φ(g1){φ(g2)}-1∈N~

であり,それ故,g12-1∈N=φ-1(N~)となります。

そこで,まずNはGの部分群であることがわかります。

次に,φが準同型なので,∀h∈Nと∀g∈G

に対して,φ(g-1hg)={φ(g)}-1φ(h)φ(g)

ですが,φ(g)∈G~,φ(h)∈N~で,N~がG^の

正規部分群なので,結局,φ(g-1hg)∈N~です。

よって,g-1hg∈Nであり,故にNはGの

正規部分群であることが示されました。

そして,κ=(ψ・φ)とおくとき,κ(g)

=ψ{φ(g)}=φ(g)N~=N~=e~N~は,

φ(g)∈N~と同値であり,これは,g∈N

=φ-1(N~)と同値です。

それ故,N=ker(κ)が成立するので[定理8]

により.κから誘導される写像:κ~は(G/N)から

(G~/N~)の上への同型写像です。(証明終わり)

[定理10]:群GにおいてH⊂GをGの部分群とし,

N⊂GをGの正規部分群とするとき,

  • HN={hn:h∈H,n∈N}はGの部分群

であり,NはHNの正規部分群である、

  • (H∩N)はHの正規部分群である。
  • 商群:H/(H∩N)の元:h(H∩N)を商群:

(H/N)の元hNに対応させる写像:

φ~:H/(H∩N)→H/Nは上への同型写像である。

(証明)(1)∀h11,h22∈HNに対して

11(h22)-1=h112-12-1

=h12-1(h212-12-1)ですが,HはGの部分群

なのでh12-1∈Hであり,NはGの正規部分群

ですから.h2(n12-1)h2-1∈Nです。

それ故,h11(h22)-1∈HNとなるため.

HN⊂GはGの部分群です。

次に,∀h11∈HNと∀n∈Nに対して,

NがGの正規部分群なのでn1nn1-1∈Nです。

故に,(h11)n(h11)-1

=h1(n1nn1-1)h1-1∈Nですから.NはHN

の正規部分群です。

(2)∀a,b∈H∩Nについてab-1∈H,

かつ,ab-1∈Nです。

よって,ab-1∈H∩NよりH∩NはGの部分群

です。さらに∀h∈H,∀a∈H∩Nに対して,

hah-1∈H,かつ,hah-1∈Nです。

故に,hah-1∈H∩NですからH∩NはH

の正規部分群です。

  • H⊂HNよりh∈Hならh∈HNですから写像

φ:H→(HN/N)を∀h∈Hに対しφ(h)=hN

によって,定義すると,これは明らかに準同型です。

しかも,g∈HNなら,h∈H,n∈Nが存在して

g=hnを満たしますが,g∈hNですからgN

=hN=φ(h)なのでφは(HN/N)の上への写像

です。そしてkerφ={h∈H:φ(h)=N}ですが,

φ(h)=hN=Nは,h∈Nを意味するので,

h∈kerφは,h∈H∩Nと同値ですから,結局,

kerφ=H∩Nが成立します。 

故に[定理8](群の準同型定理)によって,φから

誘導される写像:φ~[h(H∩N)]=φ(h)Nは,

[H/(H∩N)]から[HN/N]の上への同型写像です。

(証明終わり)

[定義];群Gの元:x,yによるxyx-1-1∈G

を交換子と呼ぶ。C(G)={xyx-1-1:x,y∈G}

で定義されるGの部分集合(交換子全体)は,一般に

Gの積演算で閉じていないので,Gの部分群ではない。

しかし,交換子によって生成される部分群,

つまり,交換子とその積から得られる元を含む最小

の群をG~と書いて,これを交換子群と呼ぶ。

(※例えば2つの交換子:c,d∈G~による交換子

cdc-1-1∈Gも群G~の元です。)

[定理11]:(1)Gの交換子群:G~はGの正規部分群

である。(2)Gの正規部分群Nに対し商群G/Nは

可換群であるなら,N⊃G^である。

(証明)(1)∀c=xyx-1-1∈G~,(x,y∈G)

をとると,Gは群ですからc∈Gであり,G~⊂Gです。

そこで∀g∈Gに対してgxg-1,gyg-1∈Gで,

gx-1-1=(gxg)-1,gy-1-1=(gyg-1)-1であり,

これらは全てGの元です。それ故,gcg-1

=(gxg-1)(gyg-1)(gx-1-1)(gy-1-1)ですが,

これはGの1つの交換子なのでG~の元です。

したがってG~はGの正規部分群です。

(2)∀a,b∈Gに対して,aNbN=abN

bNaN=baNです。これが可換ならabN

=baNですが,これはab∈baN,つまり,

aba-1-1∈Nなることを意味します。

よってG~∈Nです。(証明終わり)

※N=G~⊂Gは,Gの商群:(G/N)が可換群となる

最小の正規部分群です。

[系]:Gが可換群である。⇔ G~={e}である。

(証明)∀x,y∈Gについて,xy=yxであるのは,

xy(yx)-1=xyx-1-1=eと同値です。

故にGが可換群であるのは,G~={e}と同値です。

(証明終わり)

(※これ,別に[定理11]の系ではないような?)

第2章 可解群

※可解群というのは代数方程式がベキ根で可解と

なる条件と関連して,名称がつけられました。

体の拡大列に自己同型群の縮小する正規列が

対応し,それが方程式の係数を置換する対称群に

関わるという,随分と先のトピックであり,環や体

の説明の後に記述するのが理論構成の本来の順序

であると今では思いますが,,一応,群についての全て

の話だけを,予めまとめて書いたらしい私の過去ノート

に従うことにします。

※[可解群の定義]:群Gが与えられたとき,まずG0

をG0=Gとおいて,k=0,1,2,,に対し,Gk+1をGk

の正規部分群とする縮小する列として

G=G0⊃G1⊃..⊃G⊃Gk+1⊃...をつくるとき,

商群:(Gk/Gk+1)が全て可換群(アーベル群)となる

正規列が,有限のm個でGm={e}となって終わるなら,

群Gを「可解群」という。

※交換子群を用いてGk+1=G~と選択することも

できますから,どんな群Gでも,正規列を作ることは

可能ですが,それが有限個で{e},または{1}に収束

するかどうか?はわかりません。{e}に収束しない

群Gは「非可解群」と呼ばれます。

※縮小正規列の途中でGが可換群(アーベル群)と

なるなら,G~k={e}なので,Gk+1={e}と置けば

その時点で可解群であることが判明します。

※[部分群の指数]:群Gの部分群Hの指数とは,H

による(左右)剰余類の個数のことです。

これを|G:H|と表記します。

※[定理2-1](ラグランジュの定理):

Gが有限群で,Hがその部分群であれば,指数:|G:H|

=|G|/|H|である。

(証明)前に記述したように,Hによる左剰余類の場合

なら,G=ΣaHのように,Gは互いに素な剰余類の

直和で表わせます。

そして,剰余類(aH)の元の個数は全てHの位数

|H|に等しいため,|G|=|G:H|・|H|です。

故に|G:H|=|G|/|H|を得ます。(証明終わり)

※[対称群(置換群)の定義]:

n個の整数の列{1,2..n}の順序を交換する写像,

σ:{1,2,..n}→{p1,p2,..pn}(順列)を,n次の置換

と呼び,Snを全てのn次の置換を元とする集合とすれば

置換の積について群をなし,これを対称群(置換群)という。

※ただし,置換の積とは,合成写像を意味します。

つまり,σ:{1,2..n}→{p1,p2,..pn}と,τ:{1,2,..n}

→{q1,q2,..qn}なる元(写像):σ,τ∈Snの積は,写像

σ:i→pi=σ(i)と,写像τ:i→qi­=τ(i)を,この順に

適用して合成すると,合成写像:(τσ)(i)=τ(σ(i))

=τ(pi)となりますが,線形代数学では,これを

置換σと置換τの積:στと定義するのが慣例です。

置換操作は可換ではないので,定義での操作順序

の規約は,参考書によっては演算の順序が逆のモノ

もあり,誤解すると混乱の種になるので注意が必要

です。

そして,実際,この積演算はSnの中で閉じており

整数列の順序を全く変化させない写像:e(i)=i,

つまり,e:{1,2..n}→{1,2,..n}を恒等置換と呼べば

これが積演算の単位元となります。

そして,σの逆元σ-1は,これを逆写像:σ-1:p→i,

つまり,σ-1:{p1,p2,..pn}→{12..n}で与えれば,

σσ-1=σ-1σ=eとなるので,その存在は明らかです。

また,群であるために必要な積演算の結合則は,積演算

が合成写像ですから,結合則の成立も自明で,Snは確かに

有限群をなすことがわかります。

※[互換の定義]:特にn個の列{1,2..n}のうち.成分

iだけを,j≠iなるjと交換して,それ以外の成分

は不変のままの置換を,(i,j)と書いて互換と呼び

ます。このとき互換も1つの置換ですから,もちろん

∀(i,j)∈Snです。

※線形代数学によれば,任意の置換σ∈Snは有限個

の互換の積で表わすことができます。

そうして,その因子分解は,個々のσに対し一意には

決まらないのですが.1つの置換の因子分解の因子の

総数が奇数であるか,偶数であるか?は一意的です。

そこで,奇数個の互換の積で表わせる置換を奇置換と呼び

偶数個の互換の積で表わせる置換を偶置換と呼びます。

nの置換の総数,つまり,位数|Sn|は,順列の総数に

等しいので|Sn|=nn=n!ですが,奇置換に左からでも

右からでも,互換を1つ掛けると偶置換になり,逆に,

偶置換に互換を1つ掛けると奇置換になるので1対1

の対応があり,結局,奇置換と偶置換の個数は同じです。

故に,それぞれ(n!/2)個ずつ,あるはずです。

しかし,積演算の単位元である恒等置換eは,偶置換

ですから,それを含む偶置換の集合だけがSnの部分群

をなし,ます。これをn次の交代群と呼び,Anと表記

します。

[定理]2-2]:交代群AnはSnの交換子群:S~nであり,

それ故,Snの正規部分群である。

(証明)σ,τ⊂∈Sのとき.交換子:στσ-1τ-1

つくると,σが奇置換ならσ-1も奇置換,σが偶置換

ならσ-1も偶置換で,τとτ-1についても同様です。

それ故,交換子:στσ-1τ-1は常に偶置換です。

故に交換子で生成される交換子群:S~nは交代群

nに一致しており,既述の定理によって正規部分群

です。(証明終わり)

[定理2-3]:対称群S2,S3,S4は可解群でありn≧5

の対称群Snは可解群ではない。(非可解である。)

(証明)S2は恒等置換:eと互換:(1,2)のみが元で,

積は常に可換なので可換群ですから,その交換子群

は,S~2={e}でこれは正規部分群なのでS2⊃{e}

が正規列となり.明らかに可解群です。

次に,交代群Anは,Snの指数が2の正規部分群

ですが,n=3のA3は,それ自身可換群です。

何故なら,S3の位数は6,A3の位数は3で,その

元は恒等置換:e={1,2,3}とσ={2,3,1},および,

σ-1=={3,1,2}だけですから明らかに可換群であり,

正規列:S3⊃A3⊃{e}を得るので可解です。

n=4のS4についてはσ={i,j,kl}∈S4

は,物理で用いるLevi-Civitaテンソルの非ゼロ

成分のεijklが+1のとき偶置換で,σ∈A4です、,

他方,εijklが(-1)のとき.σは奇置換です。

しかも,σ∈A4のとき.(1,2)σは奇置換であり

σ,τ∈A4でσ≠τなら,(1,2)σ≠(1,2)τとなり

1対1に対応します。

それ故,S4/A4={A4,(1,2)A4}です。この商群

は単位元A4の他には元が1個なので可換群です。

そもそも指数が2なら.商群の位数は2で,常に可換群

です。そしてVをV={e,(i,j)(k,l)}(ただし,

i,j,k,lは1~4の異なる数)とおくと,|V|

=1+42/2=4です。Vの元である互換の積の積

は,異なる4つの互換の積:(i1.j1)(k1,l1)

×(i2,j2)(k2,l2)ですが,これは互換の順序に

依らないので可換です。

そして,|A4|=12より,|A4/V|=3で(A4/V)

={V,(1,2,3)V.(2,3,4)V}と書けますが,そもそも

位数が3の部分群は,単位元と,それ以外の1つの元

とその逆元だけが全ての元なので,明らかに可換群です。

以上から,S4⊃A4⊃V⊃{e}という正規列が得られ,,

4が可解群であることが示されました。

次に,n≧5のSnを考えます。Snの部分群で長さ

が3の巡回置換を全て含むものをGとします。

このときNがGの正規部分群ならNもまた,

長さ3の巡回置換を全て含むことを示します。

n≧5なので,i,j,k,r,sを1からnまでの

うちの相異なる5文字とします。

そして,σ=(i,j,s),τ=(k,r,s)とすると

仮定により,σ,τ∈Gです。このとき,その交換子

は,στσ-1τ-1=(i,j,s)(k,r,s)(s,j,i)

×(s,r,k)=(r,j,s)となります。

何故なら,(i,j,s)(s,k,r)=(i,j,k,r,s)

で,(j.i,s)(r,k,s)=(j,i,r,k.s)です

から,積はi→i,j→s,k→k,r→j,s→r

となるため,(r,j,s)と書けて,これは長さ3の

巡回置換です。交換子群は.最小の正規部分群です

から,NがGの正規部分群なら(r,j,s)∈Nですが

r,i,sは任意なのでNも全ての長さ3の巡回置換

を含むことがわかりました。

それ故.もしもSnが可解群であるなら,

n⊃S(1)⊃..⊃S(r)={e}となる正規列がある

はずですが,そうすると最後の正規部分群:|e}も

長さ3の巡回置換を全て含むべきなので,これは

矛盾です。したがって,n≧5のSnは非可解群です。

(証明終わり)

※関係g1~g2を,g2=x-11xとなるx∈Gが存在

することで定義すると,これは同値関係で,これに

よる同値類をM(a)={x-1ax|x∈G}と書けば,

Gの同値類別はG=M(a)∪M(b)∪..となります。

また,H(a)={x∈G|ax=xa}とおくと,

これはGの部分群です。何故ならx,y∈H(a)なら

ay=yaより,ay-1=y-1aですから.a(xy-1)

=xay-1=(xy-1)aとなるのでxy-1∈H(a)が

成立するからです。

,このとき,m=x-1ax,n=y-1ayなら,

m.n∈M(a)ですが,=nは,(yx-1)=a(yx-1)

を意味るため,(yx-1)∈H(a),つまり,y∈H(a)x

と同値です。よって,H(a)による右剰余類とM(a)の

元は1対1に対応するので{M(a)=|G:H(a)|です。

そこで特に|M(a)|=1はG=H(a)と同値です。

※[群Gの中心]:C={a∈G|ax=xa for ∀x∈G}

をGの中心という。

この中心CはGの正規部分群です。何故なら,a,b∈C

のとき,∀x∈Gに対し(ab-1)x=axb-1=x(ab-1)

よりab-1∈Cであり,x-1ax=aなので正規部分群です。

また,a∈Cなら|M(a)|=1でG=H(a)です。

何故なら,b∈M(a)ならb=x-1axですが,a∈Cなら

-1ax=aより,b=a,故に|M(a)|=1です。;

※[巡回群の定義]:群Gがあるとする。∀g∈Gに対して

g=aとなるa∈Gとn∈Zが存在するとき,Gをaで,

生成される巡回群といい,G=<a>と書く。a0=eで

<a>={e,a,a2.,,}です。

※Gが有限群で,|G|=nのとき,∀a∈Gに対してa=e

となるk∈Zが存在します。さもないと<a>が無限巡回群

となり有限群に矛盾します。このとき.aq=eとなる最小

の非負整数:qを元aの位数(order)と呼びます。

<a>={e,a,::aq-1}で.これは明らかにGの部分群

であり巡回部分群といわれます。

|<a>|=qで,この群の位数はaの位数に一致します。

しかもGの部分群ですからq=|<a>|は.n=|G|の

約数です。故にq≦nですが,もしもq=nならG=<a>

です。特にn=|G|が素数pであるなら.Gの部分群は.

e以外の元a∈GについてG=<a>={e,a,..aq-1}

と{e}の自明な部分群のみです。何故なら,Gの任意の元

は,n­=pの約数1かpを位数qとする巡回部分群を生成

するかしかないからです。そして|<a>|=p=|G|なら

<a>=Gであるからです。

※[p群の定義].群Gの任意の元の位数が素数pのベキ乗

であるとき,Gをp群という。

Gが有限p群ならGの位数もpのベキ乗です。

※[定理2-4]:p群は可解群である。

(証明)まず,|G|=p0=1ならGは単位群{e}なので

可解群です。

数学的帰納法を用います。|G|=p(m<n)の群G

は可解群である.と仮定します。

そして,次に|G|=pnとします。Gの中心Cの位数は

CがGの部分群なのでpnの約数ですからpのベキ乗

です。ただし,Gが可換群なら,C=GなのでG=C⊃{e}

が正規列であり,明らかに」可解ですから,CはGの真部分群

であるとすると,|C|=pr<pと書けます。,

中心Cはそれ自身可換群ですが,それによる商群の

(G/C)={gC:g∈G}も明らかに可換群です。

そして|G/C|=pn-r(r≧1)で,これもp群です。

そこで帰納法の仮定により,

(G/C)=G^00⊃G^1⊃…⊃G^m={e}となる正規列

存在します。

ここでGから(G/C)の上への自然な準同型;κ(g)

=gCの,G^kの原像κ-1(G^)をGkと定義すれば

k+1はGの正規部分群で(Gk/Gk+1)が可換群

正規列:G=G0⊃G1⊃…⊃Gm={e}を得るので,

Gも可解群であることがわかります。

(※細かい証明説明は略) (証明終わり)

長くなったので,途中ですが終わります。(つづく)

 

 

 

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2021年10月 8日 (金)

ノーべル物理学賞

本年度のノーべル物理学賞受賞の真鍋先生おめでとう 

ございます。といっても私は存じ上げていませんでした、

今でこそ,科学分野での日本人のノーベル賞受賞者多勢

おられますが,私の学生の頃は素粒子論の湯川先生と

朝永先生くらいでした。

結局,このお2人に影響されて浅学非才な私も理論物理学

に魅力を感じたのが,71歳の今でも興味を持ち続けている

キッカケであったと思います。

 気象力学や地震物理学なども地球物理学に属しますが

高校では「地学」という範疇で,私も物理学には違いない

と思っているのにノーベル物理学賞にはこれまで無縁でした。

 私はコンピューターで環境アセスメントを仕事とする会社

に入社して13年在職していたので,気象も地震も事に必要

知識だったのでしたが,学生時代は基礎物理に属するもの

しかやらなかったので,流体力学から始めて後に水理学とか

気象力学地震学なども「門前の小僧」で知識が増えて

いきました。

 そして当時のNECや富士通の大型コンピューターを使って

Fortrranのプログラムで差分法や有限要素法で数値モデル

を立てて計算することもやりっましたが,当時のスパコン

でさえ,今のPCよりはるかに遅くて,使用データも1600

フィート?(6000だったかな)のテープ5本などを回して

何日もかけて連続計算していました。

(おかげで計算が終わるのを待ってるだけで,ときどき,

テープ交換するだけの徹夜か泊まりというような,

ある意味で楽な(無駄な)残業もよくありました。)

 今の気象庁の気象予測計算などは,もし数日かかると

したら無意味なので,あの頃から大した進歩だと思います

 眞鍋先生は90歳ということで,私より19歳も年上なので

当時コンピュータでの数値計算は大変だったろうと想像

します。 日本はコンピュータI産業の保護で国産機械

しか使えませんでしたがア,メリカだともっと進んでいた

のでしょうね。。

 私,1989年糖尿病で教育入院したのをキッカケに1990年

(平成2年)の3月に40歳で13年勤務した会社をやめたのですが,

そのころ会社で「地球温暖化」の計算プロジェクトをやると

いう計画がありました。眞鍋さんのではない研究者の英語の

論文など読みましたが,球体の地球全体は地図を作成するのでも

「メルカトール法」とか「モルワイデ法」とか,困難がある

ように,地球全体を差分メッシュに分解する座標系の取り方か

らかなり難しく,当時,ゴア副大統領著の「不都合な真実」が

出て注目された課題でも研究所でもない民間の1営利企業が

取り組む問題じゃないというわけか?消滅したようです。

 当時,フロン(塩素,フッ素)やPAN(ポリアセチルナイトレート)

の増加によって,光吸収による酸素からのオゾン生成と光放出に

よるオゾンの分解の平衡が損なわれてオゾン層が破れ光化学

スモッグ(光化学オキヂダント)の発生,太陽からの紫外線やX線

による皮膚ガン被害などの原因の化学反応も問題となりこれら

は,単純に物理だけの問題じゃないのですがく温暖化やそれに

伴う気象変動があることは事実でしょうが,二酸化炭素が

その主な犯人であるかどうか?は疑問視されていました。

 そういう計算結果があっても,数値計算法の信憑性

疑われた時代でしたしね。

 私自身も地球の最大の温室効果ガスは水(水蒸気や雲)で

人間や動物の活動が異常気象の原因だとは思っていても

高々2パーセント程度のCO2よりも,森林伐採による密林

の砂漠化,雨が降らないなどの方が異常気象の主犯だと

思ってました。いまも世間の常識とは違う見方も多い

です。例えば,ニュートリノ振動やニュートリノの

有質量も,まだ本当かな?と疑問視しています。

 さて1990年に退職金でPCを買い,ベンチャー会社の

嘱託しながら大学受験塾を始めましたがバブルが終焉

を迎えた1993年ころ,結局,プータローになりました。

オイルショックもある不景気な世の中,40歳を過ぎた

冴えないオヤジが約7年間,起業するでもなく職を選

ばない就職試験も落ち続けましたが,食べていくため

最初は交通ガードマンから始めて,予備校講師,専門

学校講師のバイトで食いつなぎ.2000年の50歳の直前

199年12月で採用されたのは正社員でなく派遣会社.

それも大会社の孫請けで隔日夜勤11.5時間(20時から

翌7時半)の拘束で10時間労働.時給1500円でした。

それから7年,心臓病で倒れるまではっここの派遣社員

でした。その間,平成13年12月,11年ぶりで最初正社員

だった会社に隔日アルバイト,時給2500~2200円で

朝9時から17時半までが通常勤務の会社に勤務しました

科学計算する仕事は同じですが大型コンピュータじゃ

なくPCでの仕事でした。

つまり,夜勤10時間は,月水金と火木土の週交代でしたが

たとえば月が夜勤日なら,朝から神保町の会社で18時半

まで1時間残業で.夕食後は永代橋そばの会社で20時から

7時半の夜勤です。ときには(水t曜日)夜勤明けの朝から

池袋で朝食後,専門学校講師で昼過ぎに帰宅という生活

が結局4年も続きました。

平成17年(2005年)には,津軽湾の地球温暖化による海流

の時間変化を計算する,というのが最後の仕事で,計算困難

で解決できないまま,11月に55歳でクビとなりました。

そのころは3つの仕事掛け持ちででも最初の正社員時代

より収入はガタ落ちでした。

 心臓病になったのは夜勤だけになり仕事時間も収入も

半分以下になった2006年の12月のことです。2007年

4月の心臓手術で夜勤もクビになりました。

 意外と,温暖化やその数値モデルと個人的に縁が

あったな,ということを連想したという,ノーベル賞に

無理にコジつけたツマラナイ個人のお話です。

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2021年10月 7日 (木)

ガロア理論の復習(1)

※2021年9月23日(木)開始→10月7日(木)

※久しぶりです。TOSHIです。

未だ終活などトンデモナイと,この世に未練タップリ

という感がありますが,何か難しい考え事でもしてないと

生きてくハリというか?モチベーションがなくなり無為

に時が過ぎるばかりで,むなしいです。

食って出して寝る,日々生きていく糧があり暑さ寒さ雨露

をしのぐ衣服と部屋があるのはとてもシアワセなことです

が「家畜と同じ生なら別に生きていてもしょうがない。」

と思うゼイタクでエゴイストのバチアタリジジイですから。。

今年の7月ころには「遺構」と称して2018年にブログ

にアップした2つの科学記事「素粒子ソリトン説(1),(2)」

という,主要項に比べて10-40のオーダー程度の極く小さい

非線型付加項があって特殊相対論をも破る自由粒子という

仮説モデルについて論じたものを書きましが,これは遅々と

して進まず,そこで最近は素粒子理論ばかりではなく気分

転換に自分の残っている蔵書の中から19世紀の数学の

ルフィニとアーベルによる「5次以上の代数方程式の

ベキ根による解法の不可能の証明」の歴史についての本

を読んだりしていましたが,目が悪くてなかなか進みません。

老眼鏡でも文字が薄くて判読ができず,紙面を懐中電灯で

照らすと少し読めるようなので老眼というより弱視かも

しれず,眼科では2011,2012年に手術した両眼の硝子体

が濁っているらしいのですが,糖尿病だと硝子体交換手術

は難しいそうです。でも本当は手術を受けたいです。

今は読書も困難なので,かつてバブルも終わり求職活動

をしながらもフリーターで暮らすしかなくなり,暇な時間

に物理や数学の勉強を再開いていた40歳代前半の頃に

勉強した.アーベルよりも先に進んだガロアによる

「代数方程式のベキ根による解が存在するための必要

十分条件」(これは過去のブログ記事でも紹介済み)に

ついての覚え書きノートをもう1度復習し要約する

ところからやってみたいと思います。(自分の書いた

ノートなら,かろうじて読めますから。。)

※さて,以下は本題です

第0章:準備(必要な予備知識)

§1.群,環,体

(Ⅰ)[群の定義]:集合Gの上にある2項演算(・)が定義

され,,任意のa,b,c∈Gに対して次の3つの条件を

満たすとき,(G.・)の組を群(group)という。

この3条件は,

(1)∀a,b∈Gに対しte,結合則:a・(b・c)

=(a・b)・cが成立する。

(2)∀a∈Gに対してe・a=a・e=aを満たす

単位元eが存在する。

(3)∀a∈Gについてa-1a=aa-1=eを満たす逆元

-1が存在する。 の3つです。

 さらに∀a,b∈Gが交換則:a・b=b・aを満たす

場合は.(G,・)は可換群(アーベル群)であるといいます。

そして,特にGが可換群の場合,可換演算・を+と書いて

+を加法,(G,+)を加法群と呼ぶことがあり加法群の場合,

単位元を0(ゼロ)と書いて零元と呼びます:

※[半群の定義]:集合Sの上に,ある2項演算・が定義され,

結合則を満たすとき,(S,・)の組を「半群」という。

群とは異なり,単位元の存在,逆元の存在は必ずしも

仮定されない集合です。

(Ⅱ)[環の定義] 集合Rの上で乗法(・)と加法(+)という

2種の2項演算が定義されており,以下の条件を満たすとき

(R,・,+)の組を「環(ring)」という。

(1)加法について,(R,+)は可換群をなす。このとき,

その単位元を0(ゼロ)と書き零元と呼ぶ。

(2)(R,・)の乗法については結合則が成立する。

すなわちa・(b・c)=(a・b)・cである。

(3)乗法の単位元eが存在する。すなわち,e・a

=a・e=aが成立する。ただしeはゼロとは異なる

元である

(4)加法と乗法について分配則が成り立つ。すなわち.

a・(b+c)=a・b+a・cである。

特に,Rが乗法についても交換則を満たすときは,これ

を「可換環」という。

(Ⅲ)[体の定義]:集合Kの上で乗法(・)と加法(+)という

2種の2項演算が定義されており,加法では(K,+)が

可換群をなし,その単位元を0(ゼロ)と書き,零元と呼ぶ。

また,この0を除く集合:K-{0}は乗法について群を

なし,この乗法群の単位元eは1と書くことがある。

このとき,任意のKの元:a,b,c∈Kについて分配則

a・(b+c)=a・b+a・cが成立するなら,(K,・,+)

の組を「体(field)」という。特に乗法についても可換なら

Kを「可換体」という。

※以下,乗法については演算記号・を省略します。

※群Gの部分集合Hが同じ演算で群をなすなら,これを

Gの「部分群」という。H⊂GがGの部分群となるため

の必要十分条件は,∀a,b∈Hがa-1b∈G,あるいは

ab-1∈Gを満たすことです。

環Rの「部分環」,体Kの「部分体」についての定義も

部分群と同様です。

※(例):有理数集合Q,実数集合や複素数集合Cは通常

の演算で体をなします。整数集合Zや多項式の集合は

環をなします。

※[体Kの性質1]任意のa∈Kについて0=0a=0

が成り立つ

(証明)aの他にb∈Kを任意に取ると,ab=a(0+b)

=a0+abです。abはKの任意の元なので,これは

a0=0であることを意味します。他方,0a=0も同様

に示すことができます。(証明終わり)。

※[有限体の定義]:

群,環,体の元の個数を「位数」という。体の場合.位数が

有限の体を「有限体」と呼ぶ。また,位数が有限ではない体

を「無限体」という。有限群,有限環についても同様です。

※[有限体の性質]:有限体Kがあって,その位数がqである

とき,xがKの任意の元ならx=xが成立する。

(証明)x=0なら自明なのでx≠0とします。

K-{0}は,位数が(q-1)の乗法群をなします。

その任意の元xによる巡回集合:<x>={1,x,x2,…}

は有限群の部分集合なのでx=1となる最小の自然数k

が存在するはずです。これを元xの位数と呼べば,<x>

はkを位数とする巡回群をなします。これは特に乗法群:

K-{0}の部分群となるのは明らかです。,それ故,部分群:

<x>の位数kは.元の乗法群の位数(qー1)の約数と

なります。なぜなら,部分群の元の個数はkですが,それ

と同じ個数kの元を持つ剰余類の総和が乗法群:K-{0}

に一致するため,(剰余類の個数)とkの積か(q-1)に

等しいことになるからです。したがってx(q-1)=1であり

=xが成立します。(証明終わり)

※[代数系のその他の必要知識]

群Gの部分群をHとするとき,任意のa∈Gに対して

集合:aH={ah∈G:h∈H}をHによる左剰余類.

と呼び,集合:Ha={ha∈G:h∈H}を右剰余類

と呼ぶ。H=eHを含む全ての剰余類の集合系の総和

は集合Gに一致します。左剰余類aHとbHの積演算

を,(aH)(bH)={xy∈G:x∈aH,y∈bH}で定義

すると,明らかに(aH)(bH)=abHであり,故に,

これもHについての左剰余類に属します。

そこで,a∈GをaHに対応させる自然な写像:

a→aHは1つの「準同型写像」です、

そして剰余類の系:{aH⊂G:a∈G}は,この元の

積演算で単位元をH=eHとする群をなすことに

なります。この群を「剰余類群」とも呼びます。

右剰余類:Haについても全く同様な議論ができます。

特にaH=HaなるときHを「正規部分群」と呼び,

記号Nで表わすことが多いです。Nが正規部分群なら

N=a-1Naなので「∀h∈Nが∀a∊Gに対して

-1ha∈Nを満たすことと,Nが正規部分群なること

は同値」です。

 そして,部分群Hによる左剰余類群,右剰余類群を

総称して単に「剰余類群」または「商群」,「因子群」

とも呼び,これらの集合系の群ををG/Hで記述します

※[同値関係と同値類]:

集合Aの2つの元に,関係:~が定義され,Aの任意

a,b,c∈Aに対して次の3つ条件(同値律)を

満たすとき,関係:~を同値関係という。すなわち,

1.反射律:a~a

2.対称律:a~bならb~a

3.推移律:a~b,かつ.b~cならa~c

の3条件が同値律です。

さらに.任意のa∈Aについて,集合C(a)を

C(a)={x∈A:x~a}によって定義し,これ同値

関係:~に基づいてaを代表元とする「同値類」という。

すると,Aはその同値類の総和に一致します。すなわち

A=∪a∈AC(a)です。

 そして,a~bなることと,集合としてC(a)=C(b)

なることは同値であることがわかります。

よってa~bでないなら,C(a)∩C(b)=φ(空集合)

であり,A=∪a∈AC(a)の右辺は直和となります。

つまり,A=Σa∈AC(a)と書くことができます。

このように,集合Aを同値類の総和に分解することを

「同値類別」といいます。

※[剰余類としての同値類]:整数a.b∈Zの整数mを法

とする合同関係a≡b(mod m)は,1つの同値関係a~b

です。これによる同値類(合同類)は,mで割ったときの

剰余:0,1,2...(m-1)が,それぞれ同一であることを

意味するので,これも「剰余類」と呼びます。mを法と

する場合.異なるものはm個あります。特にaがmと

互いに素:(a,m)=1の剰余類:C(a)を「既約剰余類」と

いいます。

この剰余類:C(a)は先に群Gの部分群Hによる剰余類

をaHやHaと記して説明したものと同様,C(a)と

C(b)の積を定義すると(aH)(bH)=abHと同じく,

C(a)C(b)=C(ab)であり,その全体集合は剰余類群

をなします。

※さて,私の1993年9月に始まる参照ノートは,いきなり

この次に書く項目から始まっていたのでて,それ以前の

記述のあるノートがあるかも,と思って探してみました

ありませんでした。

そのころの40歳代頃の私の頭では.今,準備で書いた

ようなことは常識で説明不要の用語だったので,中途

半端なところから開始したのかもしれませんが,

読み返すと老化や却のせいか,1つ1つ意味不明の事柄

が多く,そこで定義を中心に整理したのが以上です。

※というわけで改めて本論開始です。

第1章:導入(introduction)

※[定理1]:Zを整数の集合とする。∀a,m∈Zに

ついてaとmが互いに素,つまり.a,bの最大公約数

がd=(a,m)­=1であるとき,x∈Zについて

ax≡0(mod m)ならx≡0(mod m)である。

(証明)(a,m)=1により,あるp,q∈Zが存在して.

ap+mq=1とできます。そこで∀x∈Zに対し,

axp+mxq=xが成立します。

それ故,ax≡0(mod m),つまり,m/(ax)なら,

m/x.つまり,x≡0(mod m)です。(証明終わり)

※[系]C(a)がmを法とする既約剰余類:のとき,

C(a)C(x)=C(1),となるC(x)は,C(a)に対して

一意的(unique)である。

(証明)C(a)C(x)=C(1),かつ,C(a)C(y)=C(1)

とすると.ax≡1(mod m),かつay≡1 (mod m)です。

故に,a(x-y)≡0,です。したがって定理1によって

(x-y)≡0,つまり,x≡y(mod m)ですが,これは

C(x)=C(y)を意味します。(証明終わり)

※[定理2]:可換環Rの部分環Sは可換環である。

(証明)a,b,c∊Sとする。部分環であるための

条件はa-b∈Sです。a,b.cが加法,乗法に

ついて結合則,分配則を満たすのは定義から自明。

そして,a+(-a)=0∈Sより0∈Sであり,それ故,

(-a)=0-aから,(-a)∈Sです。

Rと同じ乗法で交換則も成立しその単位元eも

RとSで共通です。(証明終わり)

※[定理3]:0でない整数a,b∈Zの最大公約数を

d=(a,b)とすると,ax+by=dなるx,y∈Z

が存在する。

(証明)整数Zの部分集合:I={ax+by:x,y∈Z}

は上下に有界なので最小の正の数が存在します。

それをc∈Zとしax1+by1=cであるとします。

ところが仮定によりdはa,bの最大公約数ですから,

d/(ax1+by1)です。つまり,d/cです。

故に,dはcの約数なのでd≦cです。

他方ax=by=pc+q;ただし0≦q≦(c-1)

と書けば.a(x-px1)+b(y-py1)=qですが

cが集合Iの最小の正整数でしたから,上式右辺では

qはq=0でしかあり得ません。

よって任意のax+byがcで割り切れるので.c/a.

かつ,c/bであり,cはa,bの1つの公約数です。

故にc≦dもいえます。以上からc=dと結論

されます。(証明終わり)

※[系]a,bが互いに素:(a,b)=1ならax+by=1

となるx,y∈Zが存在する。

これの証明は1が最大条約数dなので自明です。

前後しますが,これは既に[定理1]の証明に用いました。

※[定理4]:半群Sにおいて,∀a∊Sに対してae=a

を満たす右単位元e∈Sが存在し,ax=eを満たす

右逆元x=a-1∈Sが存在するとき,eはea=aを

満たす左単位元で,a-1はa-1a=eを満たす左逆元

でもある。

(証明)まず,a-1a=(a-1a)e=a-1a{(a-1)(a-1)-1}

=a-1(aa-1)(a-1)-1=a-1e(a-1)-1

=a-1(a-1)-1=eよりa-1a=eが得られます。

故に,ea=((aa-1)a=a(aa-1)=ae=a

も成立します。(証明終わり)

※[定理5]:半群Gにおいて∀a,b∈Gに対して

常に,x,y∈Gが存在して,ax=bかつ,yb=a

なるとき,Gは群である。

(証明)bx=bを満たすx∈Gをとります。また

yb=aとなるy∈Gをとります。このときax

=(yb)x=yb=aです。したがって,このxは

∀a∈Gに対してax=aを満たします。

同様にby1=a,x1b=bなら.x1a=x1(by1)

=by1=aです。よって,∀a∈Gに対しx1a=a

が成立します。

それ故,x1x=x1=xとなり,これはGの単位元

とみなせるのでeと表わすことにします。

次に,∀a∈Gに対しax=e,ya=eとなるx,y∈G

が存在します。すると,yax­=ex=x,yax=ye

=yです。故にx=yですから,これはaの逆元a-1

他なりません。(証明終わり)

※[定理6]:有限半群Gが,

(簡約律):ax=ay⇒x=y:xa=ya⇒x=y

Gを満たすならGは群である。

(証明)G={g1,g2,..gn}とします。∀g∈Gに

対し,簡約律からggi=ggjならgi=gjです。

それ故,gi≠gjならggi≠ggjですからG

はG={gg1,gg2,..ggn}とも書けます。

したがって,∀b∈Gに対してb=ggとなる

が存在します。

以上から結局,∀g,h∈Gについてgx­=h

となるx∈Gが存在します。同様にして,yg=hを

満たすy∈Gの存在もいえます。よって[定理4]から

Gは群(有限群)です。(証明終わり)

※[定理7]:群Gと,その部分群Hがある。g1,g2∈G

について左剰余類:g1H,g2Hをつくると,

1H∩g2H=φ,またはg1H=g2Hのいずれか

である。

(証明)これについては既に準備で説明済みです。

※(左)剰余類は同値律をみたすので同値類の1種です。

※目が見えぬのも含め,ブログを書く情熱も15年前に

56歳で始めたころより明らかに鈍化して惰性に近く

わずかの草稿書きも2週間もかかりました。

 認知症にもならず記憶は鮮明故,50年くらい前の

無用なトラウマ(PTSD?)だけが,過呼吸に似た原因

不明の発作で,ときどき自分んにワルサをするの

煩わしい限りです。

 本論の種本は1つじゃなく既に古書店から食料

消えたらしく見つかりません。主な参考文献は

おそらく,「代数系入門か代数系の基礎」という

題名の薄い本でしたね。(つづく)

 

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2021年9月22日 (水)

コロナウィルスの自滅仮設

お久しぶり TOSHIです。

私,東京都豊島区在住の71歳ですが,5年前から右足のひざ

から下を切断しろとか,人工透析しろとかも拒否し形成

外科医ら数回もあと1年とか半年とか余命宣告されても

しぶとく足もあって筋肉が衰えてほ自宅にほぼ寝たきり

ですが生きてはいます。糖尿病でときどき足の傷が腫れて

高熱になると敗血症防止のための抗生物質点滴を受けます。

それでもアレルギー的副作用でリンパか晴れるか何か激痛

で苦しむくらいなのでそれほど現代医学も妄信していない

こともあり豊島区のかかりつけの医者のワクチンも拒否して

いますが,嚥下障害か?喘息のせいで肺炎まではいかない

までもセキやたんが出てときどき嘔吐もし呼吸苦しくても

発熱はしませんからコロナの症状ではないです。

自宅での酸素吸入も昨年から都合4回やりました

回復し日常的な看護介護サービスを受けてでしぶとく

自宅で生きています。

ただ食べて寝てそれだけだと家畜とかわりありません。

生きるためには人間的なモチベーションがないと孤独は

嫌いではないが精神的に衰弱していきくそうです。

※ところで,最近コロナ感染者数が激減しているようです。

私はシロートですが本ブログではヵ過去の記事で

「人口増加とロジスティック曲線」を書いて生物は

増え過ぎると頭打ちになるという「自然の摂理」について

述べました。

レミングなどは増え過ぎると「集団自殺をする」という

のは迷信でしょうが,増え過ぎるとおそらく捕食する食料

が不足するため急減少するというのが真実でしょう。

コロナウイルスについては捕食対象が人体ですから何の

根拠もないけれど,単にアナロジーで何らかの自滅か

変容が起きたと仮設を立ててみました

緊急事態とか人流で減少を説明できるレベルではない

考えられるのでね。

※話は変わりますが,買い物難民なので介護保険で下手な

ヘルパーの料理よりも安い弁当など食料料補助もして

もらえたらありがたいと感じています。

また私見ですがオリパラも終わったことだし選手村や武道館など

入院待機者の野戦病院にすればいいと思うのは私だけかな?

 

PS;党内では人気ないが総裁は野田聖子さん推薦です。

なんで自民党にいるのでしょう。

ではまた;;9月22日早朝

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2021年6月28日 (月)

まだ生きてるよ!!

2月1日71歳の誕生日の記事を最後にご無沙汰です。

TOSHIはまだしぶとく生きています。

ただ目が悪く足の筋肉も数々の長期入院で衰えて,介護ヘルパー

訪問看護師の世話になりながらほぼネタキリに近いです。

買い物もアマゾン,そしてそのネットスーパーに依存し,

月1~2回の外来通院も介護タクシー無料サービスという具合です。

3月には腎臓の透析準備ということで順天堂の腎臓内科に入院,

事前にコロナのPCR検査で陰性だったので一般病棟入院でした。

結局,大したことはないと判断して透析は拒否しましたから4日で

退院しました。

その後今の6月には足の傷で発熱,これも自宅で1週間の抗生物質の

点滴で乗り切りましたがなぜか副作用で体中が痛くなり錠剤に切り

替えました。もちろんコロナワクチンも拒否してます。

現在はなぜか自覚症状はないが血中酸素濃度が低いので酸素吸入

を自宅でやってます。

齢を取るというのは体が不自由だとやっかいなものです。

元々,もっと若いころから「明日死ぬかも」と思いながら生きてるので

今日やれることは無理してもやっておこうという刹那的生き方の,

「ゆきあたりばったり」で計画性がないですが

常にお金がないし思い切ったギャンブル的なことはできない性分

なので何とか生き永らえていますが。。。

スナック通いなどもできず,TVを見て寝ているダケのツマラナイ

生活で生きてるだけの毎日です。

イヤ,でも「衣食足りて礼節を知る」というか?仕事もせず介護受けて

冷暖房も効く部屋にいて,シアワセすぎてホームレスや私より不幸な

境遇の方々のことを思うと申し訳ないです。

私家族もない?けど孤独はむしろ好きです。

原因不明の」セキで呼吸困難や糖尿病のためか?痛みかゆみなどで

死にたいほどのこともあります。

低血糖もありますから食欲がなくても若いころのように1日2日は飯

を抜いて水だけで爆睡という無理もききません。

私の命は独裁者の家に爆弾でも抱いて自爆テロで死ぬtぴうくらいの

価値しかないですね。

ブログを書くモチベーションがあまり湧かないのでお休み中ですが

まだ書く気はあります。ではまた。。。TOSHI

 

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