相対論的場の理論の続きです。
今日は,多体系の自由度を連続無限に拡張して場の解析力学を展開し,
正準量子化への道筋を付けます。
さて,Ｎ個のHermite演算子:ｑj^(ｔ)(ｊ＝1,2..,Ｎ)(Heisenberg表示)
と,そのＮ個の共役運動量演算子:ｐj^(ｔ)による記述をします。
まず,Ｎ個の１次元調和振動子の集まりとしては,全系のHamiltoniaは
Ｈ^＝(1/2)∑j=1N(ｐj^2＋ω0j2ｑj^2) す。
そして,正準交換関係は［ｐj^(ｔ),ｑk^(ｔ)］＝－iδjk
(ｊ,ｋ＝1,2..,Ｎ)で与えられます。
古典論の運動方程式は,ｄｐj /ｄｔ＝－∂Ｈ/∂ｑj＝[Ｈ,ｐj]P.B,
ｄｑj /ｄｔ＝∂Ｈ/∂ｐj＝[Ｈ,ｑj]P.B (ｊ＝1,2..,Ｎ)です。
初期時刻ｔ＝0 における座標演算子ｐj^,ｑj^の次の正準交換関係
を満たす座標演算子:ｐj^,ｑj^の全ての行列要素を与えたとき,
それらは量子動力学の問題を完全に決定します。
ただし,それらが満足すべき交換関係は,
[ｐj^(0),ｑk^(0)]＝－－iδjk,
[ｐj^(0),ｐk^(0)]＝[ｑj^(0),ｑk^(0)]＝0
(ｊ,ｋ＝1,2..,Ｎ)です。
古典論の運動方程式は,系の運動を完全に決定します。
それを量子化した方程式は,時間ｔを陽に書いて,
ｄｐj^(ｔ)/ｄｔ＝i[Ｈ^,ｐj^(ｔ)],
ｄｑj^(ｔ)(/ｄｔ＝i[Ｈ^,ｑj^(ｔ)
(ｊ＝1,2..,Ｎ)です。
§1.3 Canonical Formalism and Quantization(正準定式化と量子化 )
さらに系の自由度をＮからＮ→∞にすると,謂わゆる場の理論に
なります。
すなわち,Ｎ個の添字ｊを持つ一般化座標ｑj^(ｔ)が,Ｎ→∞で添字
が連続無限個の空間座標ｘの場φ(ｘ,ｔ)に変わります。
これが,空間の各点で与えられた系の互いに独立な一般化座標であるとするのが,場の理論の考え方です。
比較的単純な古典物理学での例としては,弾性運動する弦,膜,流体を構成する各点での平衡位置からのずれの場などが,考えられます。
この場合,場φ(ｘ,ｔ)は(ｘ,ｔ)における平衡位置からのずれを表わし,∂φ(ｘ,ｔ)/∂ｔはその点での局所速度を示します。
これのアナロジーで,φ^(ｘ,ｔ)にｑj^(ｔ)の役目を,∂φ^/∂ｔに
ｑj^d＝ｄｑj^/ｄｔの役目をさせます。
離散ラベルｉが連続座標変数ｘに取って代わられるわけです。
Heisenberg表示なので,場は時空座標:ｘμ＝(ｘ,ｔ)の関数です。
そして,Heisenberg表示では,ｘμ＝(ｘ,ｔ) or,φ^(ｘ,ｔ)の表現は
Lorentz共変性という意味を陽に含んでいます。
つまり,場は４元ベクトルｘμ＝(ｘ,ｔ)の関数ですが,座標の
ｘμ＝(ｘ,ｔ)→ｘ’μ＝(ｘ’,ｔ’)＝ΛμνｘνなるLorentz変換:
に伴って場:φ^がφ→φ’と変換するとき,
φ'(ｘ’,ｔ’)＝φ(ｘ,ｔ)(Lorentz不変なスカラー)や,
Lorents群のベクトル表現やスピノル表現の行列Ｓについて,
φ’r(ｘ’,ｔ’)＝Ｓrsφs(ｘ,ｔ)を満たす４元ベクトル,
スピノルの変換性を持たせて,理論をLorentz不変にする上で,
こうした場の演算子という表現方法は便利です。
通常の量子力学では,特別視された時間座標の空間座標に対する唯一の
優先的な役割の痕跡は,ｔ＝0 における初期条件と交換関係を与えるとき
だけです。
そして,ｔ＝0 という３次元超平面(surface)の選択は,理論における
１つの非共変(non-covarint)な要素ではありますが,
その上で初期条件と交換関係を特定できる空間的３次元超平面
(space-like surface)という概念で置き換えることで,こうした
非共変性も一掃されます。
※(注1)：空間的(space-like)とはｘ2≡ｘμｘμ＝ｔ2－ｘ2≦0 なる点:
ｘμ＝(ｘ,ｔ),または４次元距離を意味します。
ここで用いているｃ＝1という自然単位ではなくて,光速ｃを陽に
書いた表現では,空間的とはｔ≦|ｘ|/ｃ,または|ｘ|≧ｃｔという
意味です。
これは,等号でない場合は,時刻ｔ＝0 に原点ｘ＝0 から出た
光でさえ時刻ｔにｘには到達不可能であるという事象(event)
を示しています。
そして,空間的というのは,どのような慣性座標系を採っても
不変な性質なので,ｔ2－ｘ2≦0 を満たす事象ｘμ＝(ｘ,ｔ)は
慣性座標系の取り方:ｘ’＝Λｘ ｘ’μ＝Λμνｘν)次第では,
ｔ’＝0 となり,ｘ’μ＝(ｘ’,0)なる空間座標のみの点とする
ことが可能であることを意味しています。
一方,時間的(time-like)とは,ｘ2＝ｘμｘμ＝ｔ2－ｘ2≧0 なる
ｘμ＝(ｘ,ｔ),または４次元距離を意味します。
光速ｃを陽に書いた表現では,|ｘ|≦ｃｔ,またはｔ≧|ｘ|/ｃです。
これは,時刻ｔ＝0 に原点ｘ＝0 から出た光が時刻ｔに
ｘまで到達可能であること,を示しています。
時間的という性質も空間的と同様,Lorentz不変な性質です。
ｔ2－ｘ2≧0 なので,ｘμ＝(ｘ,ｔ)を満たす事象ｘμ＝(ｘ,ｔ)
から慣性座標系の取り方 (ｘ’＝Λｘ)第第では,ｘ’＝0 となり,
ｘ’μ＝(0,ｔ’)なる時間座標のみの点とすることが可能です。
なお,ｘ2＝ｔ2－ｘ2＝0 と等号の場合は,空間的かつ時間的ですが,
特に光的(light-like)であるといいます。
これは,|ｘ|＝ｃｔを意味するので光の軌道ですね。
結局,空間的に離れた光的でない２点:ｘとｘ2,つまり
(ｘ1―ｘ2)2＝(ｔ1―ｔ2)2－(ｘ1－ｘ2)2＜0 のケースでは,
|ｘ1－ｘ2|＞ｃ(ｔ1―ｔ2)なので,一方が原因で他方が結果になる
というような因果的意味では,２つの事象ｘ,とｘ2は全く無関係であると
いうことになります。
下図は,現在をｔ＝0 として,今自分のいる場所を原点ｘ＝0
としたとき,過去と未来に自分が存在可能な時間的領域全体と,
その外側の存在不可能な空間的領域を示す
ｃｔ＝±|ｘ|の光円錐(light-cone)です。
(※他のホームペイジからの引用図です。)。
(注終わり※)
空間的な超平面は,Minkowski空間上での３次元平面として一意的に
決まる平面(＝６次元空間)です。
そこで,ｔ＝0 で初期条件を与えるの代わりに,任意に固定された空間的
平面の上で初期条件や交換条件を与えれば十分となります。
(※共変性を明確に表現した理論形式としては,有名な朝永の
「超多時間理論]があります。
結局は,特別な慣性系で時間軸に垂直な３次元空間を想定して
論じるとしても,以上のことに留意すれば一般性を失うことはない,
理論としては共変的であるということですね。※)
空間的な３次元表面σの法線ημは至るところで,時間的:
η2＝ημημ＞0 であるような距離となります。
さらに,η0＞0 であるように向きを選びます。
空間的な３次元表面の４次元法線ベクトルが時間的であるということを
理解するには,座標原点におけるそれを想定すれば十分です。
すなわち,ηｄｘ＝ημｄｘμ＝0,かつｄｘ2＝ｄｘμｄｘμ＜0 なら,
η2＝ημημ＞0 となります。
(※注2):以下,これを証明しておきます。
(証明) ημは原点における任意の空間的表面上のベクトルｄｘμ
に垂直ですから,ｄｘ2＝ｄｘ3＝0 ,つまりｘ2＝ｘ3＝0 の平面内で
の空間的微小ベクトルとも垂直です。
この場合,ημｄｘμ
＝η0ｄｘ0＋η1ｄｘ1＝η0ｄｘ0－η1ｄｘ1＝0
です。
然るに,これは
0＝(η0ｄｘ0＋η1ｄｘ1)2
＝(η0ｄｘ0)2＋(η1ｄｘ1)2＋2η0ｄｘ0η1ｄｘ1
＝{(η0)2－(η1)2}{(ｄｘ0)2－(ｄｘ1)2}＋(η0ｄｘ1＋η1ｄｘ0)2
を意味します。
故に,(η0η0＋η1η1)(ｄｘ0ｄｘ0＋ｄｘ1ｄｘ1)
＝－(η0ｄｘ1＋η1ｄｘ0)2≦0 ですから, ｄｘμが空間的:
ｄｘμｄｘμ＝ｄｘ0ｄｘ0＋ｄｘ1ｄｘ1≦0 なら,
η0η0＋η1η1≧0 です。
ところで,時間軸を固定して空間回転のみを行なえば,ベクトル:
ημの成分η2,η3がゼロになるような座標系が存在するはずで,
η2＝ημημは,こうした空間回転で不変ですから,
結局,任意の空間的ｄｘμに垂直な方向ベクトルημに対して,
ημημ≧0 (時間的)ということがわかりました。(証明終わり)
一般に,物理量を表わす関数が座標のLorentz変換に対し変化しても,その関数によって表わされる物理法則の方程式が変換で形を変えないとき,
あるいは,その示す量が４元スカラー,４元ベクトル成分,４元テンソル
成分として変化するとき,共変的(covariant)であるといいます。
一方,関数形と,その示す量も同一の時空点においてLorentz変換によって変化しないとき,不変(invariant)であるといいます。
さて,古典場の理論を量子化する方法は,まず,場の方程式を求める
ことから始まり,それがわかるとHamiltonの原理からその方程式が
再生されるLagrangian を求めます。
次に,Lagrangianから正準共役運動量が定義できます。
そして,"座標＝場"と,その共役運動量に交換関係を設定することに
よって量子化の手続きを実行することができます。
この手続くによって,場φj^(ｘ,ｔ)とその正準運動量πj^(ｘ,ｔ)はHilbert空間の状態ベクトルΦに作用する演算子(operator:作用素)
となります。
Φは,場の演算子がその上で定義されているような時空点全体で
時空点に無関係に状態を示すHilbert空間のベクトルです。
通常の１粒子量子力学のケースと同じように,Hilbert空間において
状態Φは完全系を形成することを仮定します。
すなわち,Diracのbracket記号で表わすと,∑n|Φn＞＜Φn|＝1,
または,∫|Φ＞ｄΦ＜Φ|＝1と仮定します。
１粒子量子力学からのアナロジ－で,大抵の場合,Heisenberg表示
の状態Φは,場φj^(ｘ)と運動量πj^(ｘ)から形成されるHamiltonian
Ｈ^の固有状態という形で遭遇します。
つまり,Ｈ^(φj^,πj^)Φn＝ＥnΦnという形です。
まず,古典質点系力学の運動方程式からLagrangian Lを構築したことを
思い出し,模倣して場の理論でのLagrangian Lを構築します。
Newton運動の法則:ｍi(ｄ2ｑi/ｄｔ2)＝－(∂/∂ｑi)Ｖ(ｑ1,..,ｑN)
から,∑i=1Nｍi(ｄ2ｑi/ｄｔ2)δｑi＝－∑i=1N(∂Ｖ/∂ｑi)δｑi
＝-δＶです。
次に,粒子軌道として固定した端点を持つ時間区間[ｔ1,,,ｔ2]
にわたって,これを積分します。
固定端点ということは,δｑi(ｔ1)＝δｑi(ｔ2)＝0 を意味します。
∫tit2ｄｔ{－∑i=1N(ｍi(ｄ2ｑi/ｄｔ2)δｑi－δＶ)＝0
(ただしδｑi(ｔ1)＝δｑi(ｔ2)＝0 ) です。
これが,Hamiltonの原理:δ∫tit2ｄｔ{Ｌ(ｑi,ｄｑi/ｄｔ)＝0
に一致するようなＬを求めればいいわけです。
ところで,∫tit2ｄｔ{－∑i=1N(ｍi(ｄ2ｑi/ｄｔ2)δｑi}
＝[－∑i=1N(ｍi(ｄｑi/ｄｔ)δｑi)] tit2＋∫tit2ｄｔ{∑i=1Nｍi(ｄｑi/ｄｔ)(ｄδｑi/ｄｔ)}＝∫tit2ｄｔ{∑i=1Nｍi(ｄｑi/ｄｔ)δ(ｄｑi/ｄｔ)}
です。
したがって,∫tit2ｄｔ{－∑i=1N(ｍi(ｄ2ｑi/ｄｔ2)δｑi－δＶ)
＝∫tit2ｄｔ{∑i=1Nｍi(ｄｑi/ｄｔ)δ(ｄｑi/ｄｔ)－δＶ}＝0
と書けますが,
∑i=1Nｍi(ｄｑi/ｄｔ)δ(ｄｑi/ｄｔ)
＝δ{∑i=1N(1/2)ｍi(ｄｑi/ｄｔ)2}です。
それ故,Ｌ＝∑i=1N(1/2)ｍi(ｄｑi/ｄｔ)2－Ｖとおけば,
δ∫tit2ｄｔ{Ｌ(ｑi,ｄｑi/ｄｔ)＝0 となり,これが作用原理
(Hamiltonの原理)に一致することがわかります。
次に,これと丁度同じ手続きに従う実例として,
自由 Klein-Gordon方程式:(□＋ｍ2)φ＝(∂2/∂ｔ2－∇2＋ｍ2)φ＝0
に従う古典場:φ(ｘ)のケースに.前と同じ手続きを実行します。
(※自由 Klein-Gordon方程式は,Ｅ2＝ｐ2＋ｍ2にＥ＝i(∂/∂ｔ),
ｐ＝－i∇を代入すれば得られます。※)
場φは自由度が無限大の空間座標を添字とするので,座標ｑiに
対する和:∑が３次元の積分:∫ｄ3ｘに置き換わります。
まず,(∂2/∂ｔ2－∇2＋ｍ2)φ＝0 の両辺にｘにおける場の
無限小の変分:δφを掛けます。変分は,δφ＝φ’(ｘ)－φ(ｘ)
です。
そして,全てのｘと時間区間[ｔ1,ｔ2]の上で積分すれば,
∫tit2ｄｔ∫-∞∞ｄ3ｘ(∂2φ/∂ｔ2－∇2φ＋ｍ2φ)δφ＝0
です。
この変分原理でも,φの変分δφはｔ1,ｔ2では消えるよう制限
されるとしています。δφ(ｘ,ｔ1)＝δφ(ｘ,ｔ2)＝0 for ∀ｘ
です。
また,実際には系は遠方ｘ＝±∞からは何の寄与も受けないように,
暗に局在化されていると想定します。
こうした制限の下で,式：
∫tit2ｄｔ∫-∞∞ｄ3ｘ(∂2φ/∂ｔ2－∇2φ＋ｍ2φ)δφ＝0 は,
∫-∞∞ｄ3ｘ∫tit2ｄｔ(∂2φ/∂ｔ2－∇2φ＋ｍ2φ)δφ＝0 です。
∫-∞∞ｄ3ｘ∫tit2ｄｔ(∂2φ/∂ｔ2－∇2φ＋ｍ2φ)δφ
＝∫-∞∞ｄ3ｘ[(∂φ/∂ｔ)δφ]tit2－∫-∞∞ｄ3ｘ∫tit2ｄｔ(∂φ/∂ｔ)
δ(∂φ/∂ｔ)－∫tit2ｄｔ∫-∞∞ｄ2Ｓ(∇φ)δφ
＋∫tit2ｄｔ∫-∞∞ｄ3ｘ{∇φδ(∇φ)＋ｍ2φδφ}
＝－δ∫tit2ｄｔ∫-∞∞ｄ3ｘ{(1/2)(∂φ/∂ｔ)2－(1/2) (∇φ)2
－(1/2)ｍ2φ2}＝0 です。
したがって,Ｌ(φ,∂μφ)≡(1/2)(∂φ/∂ｔ)2－(1/2)(∇φ)2
－(1/2)ｍ2φ2＝(1/2){(∂φ/∂ｘμ)(∂φ/∂ｘμ)－ｍ2φ2}
とおけば,－δ∫tit2∫-∞∞Ｌ(φ,∂μφ)ｄ4ｘ＝0 となります。
ただし,∂μφ＝∂φ/∂ｘμ,∂μφ＝∂φ/∂ｘμです。
Ｌ(φ,∂μφ)は,φとその１次導関数のLorentz不変な関数形を
しています。
これを,Lagrangian密度(Lagrangian density)といいます。
系のLagrangianはＬ＝∫-∞∞ｄ3ｘＬ(φ,∂μφ)で与えられます。
今日はここまでにします。
参考文献:J.D.Bjorken,＆ S.D.Drell "Relativistic QuantumFields"(MacGrawHill)
PS:そうでなくても外出から帰ると同じくらいの時間は休まないと部屋内で動くことも辛いのですが,
今は,寒いので風邪を引かぬように,腹筋などの筋肉を緊張させて耐えている時間が長いいせいか？もっと疲れて,18時前後に帰宅しても,22時近くまで昏睡？してることが多いです。
部屋明るいままで外出着のまま寝てしまったときには,電話がかかってきたくらいでは起きないみたですね。
起きて携帯を見ると,いくつか着信が入ってたりします。
話は変わりますが,昨日,ふとドキュメンタリ－番組を見たら,過去のビキニ環礁での水爆実験で大漁被曝した福竜丸のせっかく獲った被曝マグロが,もったいないので,いくらか市場に出まわったそうな。,
イヤ,チョット通りすがりで,どの程度の放射線被曝か知らないし,その頃の放射能汚染に対する意識がどの程度かも知らない素人の素朴な感想で「風評被害」の当てコスリかも知れないですが。。。
まあ,例え話ですが,いくら見かけは立派な食品で捨てるのがもったいなくて,また,売ればお金になりそうだったにしても,毒入り？の食品とわかっているモノなら,マサカそれを売ったりすることはないと思います。
もちろん,加害者は米国の水爆実験を命令したり実施した当事者であって,日本のマグロ船は被害者には違いないですが。。
無責任な一過性の感想で,これ以上発展させる気はないです。
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