とりあえず日記.

　11月19,20,21日と特養でのヘルパー２級実習です。

　16日の訪問介護と異なり,外でのきつい自転車が無いので天国です。

　排泄介助(オムツ交換),入浴補助(着脱,洗面,洗髪,整髪程度),食事補助(口内洗浄)など現場介護にほんの少しだけ参加させてもらって少し腰が痛かったりもしましたが充実していて,暖房完備の室内で移動無しですし,母親以上の高齢の利用者様とのお話もとても楽しいし(短期だけの実習で本質的に責任がないこともあるのでしょうが)。。天国です。(「カッコーの巣」を連想しながら。。)

　あと１日の21日のデイ・サービスが残っていますが名残り惜しいです。

　今夜中の３時半です。寝坊だけが心配。。。

PS:今,午後９時です。家でくつろいでいます。デイ・サービス一般的に考えると昨日,一昨日よりも楽なはずでした。もう１人の相棒の韓国青年は今日の方が楽との感想でした。

　しかし,私は前２日は自分の他にも数人の実習生がいたのに,今日は午前,午後とも実習生は１名だけで他は本職だったので比較的緊張が多かったと思います。

　実習自身は実質的にはゲームや歌や踊り,散歩とか談笑ばかりでキツイことは何もなく,またしても普段一人で遊んでいるより楽しかったのですが。。

　何事もなければ後は24日の卒業式を待つだけです。。

本当にやりたいことと資本主義

　「本当にやりたいことであればお金を払ってでもやりたい。」＝「それに費用がかかるならお金を払う。」というのと,「やりがいのある仕事をしてお金をもらう。」というのが矛盾することがあるのが資本主義社会の一面だと思います。

　,絵を描くのが好きだ。歌を唄うのが好きだ。野球,サッカー,相撲,ゴルフetcが好きだ。じゃあ,お金払ってもやりたい？もちろん, アマチュアのままでいるのなら別に,問題や矛盾はないでしょう。

　しかし,本当に「好き＝生きがい」で努力してプロになった方,またはプロを目指す方が存在します。プロスポーツであれば,「土俵,イヤ野球場にはお金が落ちている。」という人々についてはどうでしょう。

　46歳にして現役選手を続けたいという「工藤投手」,彼の場合,「自由契約＝クビ」でもプロとしてであるなら,「お金を払ってでもやりたい。」のではないか？と想像しますが,現実には選手としてそうした身分は許されないでしょうね。

　プロというのはお金をもらうこと,あるいは金が取れることをも意味します。プロスポーツがある場合には,その選手であればプロであることがアマよりも技術,またはパフォーマンスとして上であることを意味するからです。そもそも下手であれば何でお金がもらえるの？とかです。。

　スポーツには限りませんが,これが資本主義社会でしょうね。

　(「俺の芸,俺の技術は売り物じゃねえや」という考え方もあるでしょうが。。)　

　命や心を救うであろう医師や医療技術者,または,まさに看護や介護に従事する人々,そして他人に教える仕事である教師とか,直接,他人を助ける支援する仕事をお金を払ってでもやりたいという方もいるでしょう。

　実際,「ボランティア＝無償奉仕？」で人助けをやっておられる人もいるでしょうが,資本主義社会では,逆に「お金をもらわないでやる＝プロではない」ということは,彼,彼女には「責任がない(無責任)」＝「お金もらってないのだから失敗しても責めるられるいわれがない。」という意味もあります。

　例えば,臨床,医師の資格のない人が,相手を助けたい一心で無料で医療行為を行いたいと言っても良心,やさしい心であっても受け入れられるものではありませんね。好意であっても犯罪行為です。

　それに,無料奉仕では別に生活の糧を得る手段を持っていなければなりません。生きていくのがギリギリの社会ではそもそも「本当に好きなこと」を趣味嗜好でやっている奴なんて「鼻持ちならない奴」ということもあるでしょうね。

　(これは自分の存在自体が他の存在の排斥を意味する「原罪」のようなものでしょうか？ 「カルネアデスの舟板」 http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2009/05/post-d798.html　でも書いたように生産性が足りていれば「原罪」に縛られることはないのでしょうが。。

　必ずしも生活の糧の話だけではなく「ナンバー・ワンにならなくてもいい,元々特別なオンリー・ワン」(←盗作)という意味で自分の存在が他の存在の排斥を意味もありますが。。。)

　過去に教師であっても,引退した後はお金を払っても教える対象がいないこともあるでしょう。教えるという行為はそれ自身相手に対してある程度の優越感を感じたり,相手が知識,知恵を得ることで感謝されれば自分も嬉しいというようなお金ではない報酬が得られます。

　上記の人助けに属する仕事は,もしも資格不要で給料も不要な金持ちの道楽であれば,感謝されて嬉しいという報酬＝これもエゴが満足されるでしょう。

　私自身が持っている実存と社会性という矛盾＝二枚舌を正当化するために現在が理想社会ではないからという意味で社会背景や経済構造を持ってくるのは大げさで僭越だとは思いつつ。。。今日の雑感です。。

　(↑ むずかしげに見えることを書いて気取ってみても,自分が単にエロが好きでスケベな変態ジジィであることを肯定してるだけじゃん。。。)

PS：そうそう,大事な例外？を忘れていました。お金を得ること,あるいは金持ちになること自体が「本当にやりたいこと」であるという場合もありましたね。

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定量的地震学５

　１月以上の間があきましたが地震学の続きです。 

　前回は曲線座標変換というやや幾何学的な話に寄り道しましたが,今日は第３章の地震源(震源)の表示に入ります。

　固体地球外部の地震源の例を上げると,風,大洋波浪,隕石衝突,ロケットの打ち上げ,大気中の爆発などがあります。その他,人々の歩行によってさえ地震が生じます。

こうした外部の地震源については,通常単純な地球表面に加えられた時刻変動応力の解析の枠組みの中で処理できます。

　また,多くの実用的目的を有する現象に起因するものや,その他にも火山の噴火,ガス漏れなど比較的規模の大きい爆発,粉砕などもありますが,これも外部ソースであり上記に含まれるでしょう。

　一方,一般的な地震や地下爆発など地球内部のソースに対しては,解析の枠組みはよりむずかしい展開を必要とします。

なぜなら,これまで論じてきた弾性運動を支配する方程式が固体地球内部の到るところで有効というわけではないからです。

この章では内部ソースについてのみ論じます。これは断層源と体源の２つのカテゴリーに分けられます。 

断層源は破砕された平面を通っての"断層＝地滑り"のような内部面と関連した事象です。一方,体源は体積的なソース領域における爆発的膨張のような内部体積に関わる事象です。

内部ソースの数学的記述は古典的には異なる２つのラインに沿って追跡されてきました。

１つはソースを含む媒質のある要素へ加わる体積力によるライン,もう１つは変位,または歪みの幾つかの不連続性(すなわち,断裂する断層面や体源の表面を通るそれ)によるラインです。

しかし,２番目のアプローチは有効的に１番目のそれに組み込むことが可能です。すなわち,断層面を横切る単純な剪断作用については体積力の等価物が存在します。

以下では,こうした体積力の等価物について理論を幾分詳細に展開し,根本的に異なる力の系が正確に同じ変位の不連続性に同等であることを示すことから解析を始めます。 

それから後に,BarridgeとKnopoff(1964)に従って断層源の一般理論を展開し,最後に体源に関する理論を概説する予定です。

一般に,震動図に記載された運動は地震源の効果と伝播の効果の両方の結果です。

震動図を理解することを追求してきた主な理由の１つは地震運動から伝播の効果を分離することです。というのは地震源の効果は地球の内部構造に関する情報を携帯しているからです。

最近では,地殻プレートの運動を図示して地震源のプレートがどのように動かされるかを学ぶという目的のために,次震源(震源)のメカニズムが研究されているようです。

現在では,近くの断層の性質と局地的応力の分布に関する地質学的,地球物理学的データに基づいて工学用途の敷地における地震危害の予測を行なうという観点から,こうしたソース(source;震源)の理論が広く展開されているようです。

さて,初めに述べた通り,[内部面における表示定理]＝"応力と変位における不連続性に対する体積力(実体力)の恒等式(等価物)"を与えるという主題に移ります。

第２章で与えられた表示定理は,表面Ｓを体積Ｖ内部の隣り合う面に選べば震源において強力な助けに成り得ます。

ここでの考察の動機は,H.F.Reidの仕事に起因するものです。

彼の1906年のSan Francisco地震前後のSan-Andreas断層の研究は,地震運動が活性化した地質学的断層上の自然発生的地滑りにより放射された波動によるという一般的認識に導きました。

我々は,こうしたソースのメカニズムをすぐ後により詳細に論じる予定です。他方,動力学的過程や他のソースのメカニズムについてはずっと後の第15章で述べる予定です。

現在の関心としては,埋没した地滑りのプロセスとそれから放射された波が,既に得られた表示定理からどのようにして自然に解析され得るかということです。 

既に述べたように,表示定理は次の３つの異なる表現を有します。 

ｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_i(ξ,τ)Ｇ_in(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)]ｄＶ_ξ＋∫_-∞^∞ｄτ∫_S[{Ｇ_in(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)Ｔ_i(ｕ(ξ,τ),ｎ)－ｕ_i(ξ,τ)Ｃ_ijkl(ξ)ｎ_j{∂Ｇ_kn(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ^l}}ｄＳ_ξ..(1)

ｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_i(ξ,τ)Ｇ^rig_in(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)]ｄＶ_ξ－∫_-∞^∞ｄτ∫_S[ｕ_i(ξ,τ)Ｃ_ijkl(ξ)ｎ_j{∂Ｇ^rig_kn(ｘ,τ－ｔ;ξ,0)/∂ξ_l}]ｄＳ_ξ..(2)

ｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_i(ξ,τ)Ｇ^free_in(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)]ｄＶ_ξ＋∫_-∞^∞ｄτ∫_S{Ｇ^free_in(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)Ｔ_i(ｕ(ξ,τ),ｎ)}ｄＳ_ξ..(3)　です。

そこで述べたように,これらは変位ベクトルｕ(ｘ,ｔ)がＳ上の変位に依存するのか →(2),それとも応力に依存するのか →(3),または両方に依存するのか →(1)という疑問への矛盾を示しているように見えます。

しかし,弾性媒質上では応力と変位が独立というわけではないので矛盾はありません。

さて,この表示定理における表面ＳがＶの外部境界面だけでなく埋没した断層の相対する面であるような隣り合う内部面をも含むとする視点は地震源の理論にとって中心的な論点です。

すなわち,Ｓ≡Ｓ_ext＋Σに取ってみます。ただし,Ｓ_extはＶの外部表面でありΣ≡Σ⁺＋Σ^-はＶ内部の１つの断層の相対する面です。

まず,表示定理で最も一般的な式(1)をｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_p(ξ,τ)Ｇ_np(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)]ｄＶ_ξ－∫_-∞^∞ｄτ∫_S[ｕ_i(ξ,τ)Ｃ_ijpq(ξ)ｎ_q{∂Ｇ_np(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_q}－{Ｇ_np(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ｎ)}]ｄＳ_ξと書き直します。

　Ｓ_extは地球全体の表面としてもいいのでそう考えます。

　グリーン関数ＧがＳ_ext上で斉次境界条件Ａ_i＋γ_jＡ_i,_j＝0,Ｂ_i＋γ_jＢ_i,_j＝0 を満足していると考えられます。ただし,Ａ_i(ｘ,ｔ)≡Ｇ_im(ｘ,ｔ;ξ₁,τ₁),Ｂ_i(ｘ,ｔ)≡Ｇ_in(ｘ,ｔ;ξ₂,－τ₂)です。

こうすれば,右辺のＳ＝Ｓ_ext＋Σにおける表面積分のうち,外部地球の表面Ｓ_extの寄与は無視できます。 

そして,Σ^-の外向き法線単位ベクトルをｎ＝νとします。するとΣ⁺の外向き法線単位ベクトルは明らかにｎ＝－νです。 

また,Ｖの内部での一般座標をηとし,ξは表面(断面)Σの上の一般座標のみを表わすとします。

さらに,鍵括弧[ ]の中の量はΣ⁺とΣ^-の差を示すとします。例えば,[ｕ(ξ,τ)]≡ｕ(ξ,τ)|_Σ+－ｕ(ξ,τ)|_Σ-と定義されます。

すると,表示定理はｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_p(η,τ)Ｇ_np(ｘ,ｔ－τ;η,0)]ｄＶ_η＋∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ[ｕ_i(ξ,τ)Ｃ_ijpq(ξ)ν_q{∂Ｇ_np(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_q}－{Ｇ_np(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)}]ｄΣ となります。

これが実際的な計算において意味を持つためには,Σ上で何らかの境界条件を与える必要があります。

境界条件のｕに対する選択は破裂する断層面を横切る応力と変位の現実の性質に従わせる必要がありますが,Ｇに対する選択は有益な形になるように自由に選ぶことが可能です。

変位ｕについては,両断層面の上でゼロではないスリップ[ｕ]が存在するはずですが,応力については連続性から[Ｔ(ｕ,ν)]＝0 と考えられます。

また,Σ上でのＧの性質の定義を確立する最も簡単で最も共通に用いられている方法は,Σを横切ってＧとその空間微分係数が連続であるように設定することです。 

これは体積Ｖに対して計算するには最も容易なグリーン関数です。

もしも,このｕに対して体積力ｆがないときにはｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ([ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_q{∂Ｇ_np(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_q})ｄΣ となります。

　この表現式は断層上での変位があらゆる場所における変位を決めるのに十分であることを示していますが,これは「定量的地震学２」で述べた"一意性定理"から予測できることです。

(↑ 複素関数論のコーシーの積分定理にも似てますね。)

※注:"一意性定理"の内容を再掲します。

[一意性定理]:表面境界Ｓを持つ体積Ｖの弾性体内の到るところで,与えられた時刻ｔ₀における変位と粒子速度の値,およびｔ＞ｔ₀における(ⅰ)体積力ｆと供給される熱Ｌ,(ⅱ)表面Ｓ＝Ｓ₁＋Ｓ₂の一方の部分Ｓ₁上での応力Π,(ⅲ)残りの部分Ｓ₂上での変位が既知なら,時刻ｔ₀より後の時刻ｔおける変位ｕ＝ｕ(ｘ,ｔ)は一意的に決まる。

(注終わり※)

しかし,一見したところこの表現式においてソースの伝播を記述するグリーン関数についてΣにおける境界条件が与えられていないことは驚くべきことです。

断層上で生じた運動は,それ自身が断層面によってある形式で回折される波を作り上げると予測されますが,この相互作用はスリップ関数[ｕ(ξ,τ)]の決定を複雑にはするけれどグリーン関数の決定には入り込まないからですね。

こうして,多くの地震学者はある仮定されたスリップ関数によって作り上げられた運動を記述するために,この公式:ｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ([ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_q{∂Ｇ_np(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_q})ｄΣを用いてきました。

以下では,たった今記述した直接には如何なる体積力も含んでない地震源の表現の体積力の等価物を求めることを試みます。

ｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ([ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_q{∂Ｇ_np(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_q})ｄΣは,各々が体積力によって作り上げられたグリーン関数にわたって積分することにより,(ｘ,ｔ)における変位を与えることを示していると見ることもできます。

こうした見方によれば,活断層も体積力の面的寄与と見なせるような意味があるに違いないと確信されます。

この方法で予測されるような体積力の等価物を決定するため,再び元の一般的な表示定理の式(1)の表現から始めます。

すなわち,再掲するとｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_p(η,τ)Ｇ_np(ｘ,ｔ－τ;η,0)]ｄＶ_η＋∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ[ｕ_i(ξ,τ)Ｃ_ijpq(ξ)ν_q{∂Ｇ_np(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_q}－{Ｇ_np(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)}]ｄΣです。

ただし,ＧはΣに対してなお透明,つまりΣを横切ってＧもその空間微分係数も連続とする仮定を採用します。

ここで,Σを横切る[ｕ],[Ｔ(ｕ,ν)]については,先の境界条件[Ｔ(ｕ,ν)]＝0 のような条件を全く仮定せず,応力の不連続性も存在するようなより一般的な状況とします。

するとｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_p(η,τ)Ｇ_np(ｘ,ｔ－τ;η,0)]ｄＶ_η＋∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ([ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_q{∂Ｇ_np(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_q}－[Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)]Ｇ_np(ξ,ｔ－τ;ｘ,0))ｄΣと書けます。

ここで,デルタ関数δ³(η－ξ)を用いればΣにおける不連続性はＶの中に局在化できることを利用します。

例えばΣにおける(応力×面積＝力):[Ｔ]ｄΣは,体積力としての寄与∫_VｄＶ{[Ｔ]δ³(η－ξ)ｄΣ}を与えます。

したがって,応力の不連続性[Ｔ]がゼロでない場合,その寄与－∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ[Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)]Ｇ_np(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)}ｄΣは－∫_-∞^∞ｄτ∫_V(∫_Σ{[Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)]δ³(η－ξ)ｄΣ}Ｇ_np(ξ,ｔ－τ;ｘ,0))ｄＶで表現できます。

それ故,Σ上の応力不連続性の体積力の等価物はｆ^[T](η,τ)≡－∫_Σ{[Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)]δ³(η－ξ)ｄΣで与えられます。

変位の不連続性は応力よりも物理的解釈が困難なのですが,数学的に考えて∂Ｇ_np(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_q＝－∫_V{∂δ³(η－ξ)/∂η_q}Ｇ_np(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)ｄＶなる恒等式を用いれば応力不連続性に等価式に同等な表現を得ます。

すなわち,変位の不連続性による寄与∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ([ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_q{∂Ｇ_np(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_q}は,－∫_-∞^∞ｄτ∫_V(∫_Σ{([ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_q{∂δ³(η－ξ)/∂η_q}ｄΣ)Ｇ_np(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)}ｄＶと表現されます。

そこで,Σ上の変位不連続性の体積力の等価物はｆ^[ｕ](η,τ)≡－∫_Σ{[([ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_q{∂δ³(η－ξ)/∂η_q}ｄΣで与えられることがわかります。

今日はここで終わります。 

参考文献:K.Aki,& P.G.Richards「Quantitative Seismology(Theory and Method)」

ＰＳ：昨日はヘルパーの現場実習の初日として赤羽の訪問介護施設の現役のヘルパーさんに同行して自宅訪問の実習を受けてきました。

　実は,実際の利用者様に迷惑をかけてはいけない実習なので,ほとんど見学同然と思ってはいましたが,当初から最も危惧していたのがこの同行訪問実習でした。

　というのも,この訪問介護実習で不可避な自転車での移動というのは「糖尿病＋心不全＋足の動脈硬化」である私にとって可能かどうか？という体力的に最も不安な材料だったからです。

　実際,その通りでしたね。

　北区の赤羽付近は坂が多く"心臓破りの坂"もあって,心臓＋足が動かず,平気を装ってはいましたが一瞬死ぬかとも思うこともありました。

　楽な下りがあるということは,帰りは上りですから,動かなくなってしまったら同行者の方に迷惑だと思いましたが,降りて歩いて押していくしかありません。(逆に１人だったら少しは楽だったかも。。。)

　利用者様の自宅までの往復と買い物支援,さらに終わって最後に事務所に帰る際,はぐれて道に迷ったのも含め,約２時間も自転車に乗ったのは過去の健康時代を考えても,めったにないことでした。

　ともあれ,雨も降らず鬼門の同行訪問実習は無事終了しました。移動以外の実習は体力的には休息時間でしたが,問題ないと思います。

(例によって,何事があっても常にニコニコ笑顔だった(ツモリな)のは,八方美人の性分ですね。)

　後の施設実習でも体力は必要でしょうが,まだ給金を頂いて責任を取ることを余儀なくされる本格的な仕事ではなく,学生としての実習だろうし私の最も得意な？他人とのコミュニケーション(＝おしゃべり？)の方が主体ではないかとも思い,とにかく少なくとも自転車での移動がないであろうことを考えて楽観しています。

　本日は寝て曜日で完全休養日にしよう。アレ?岡山のおフクロの89歳の誕生日は今日17日か21日かどっちだったかな？

(↑ イキアタリバッタリで脳天気だなあ。。ウーン,キム・ヨナはいいなあ。。。忘れてた。今日(11/17)は「将棋の日」でもありました。)

　(実は,昨日朝は訪問介護事務所の付近まで最近懇意にして頂いている自宅の隣人のＭさんに車で送って頂いたのです。Ｍさんどうもありがとうございました。

　しかし,住所だけを頼りにして到着したためか,頂いた矢印付きの地図と写真の通りに徒歩で行けば自然にわかったらしい事務所の入口を間違えてしまって指定時間通りには入ることができず最初から躓きました。

　実は私はかなりヒドイ方向音痴です。事務所の担当の方とスクールで対応して頂いた方,ゴメンナサイ。

　16年くらい昔は住所だけを頼りに当日自分が交通ガードマンとして立つべき場所を探していたのですから,まるっきりの方向音痴でもないでしょうが。。)

　オマケに昼休み近くのコンビニまで往復の際,靴の左側を間違えて履いていって帰ってから気付いて皆様に笑われましたが,靴を間違えてご迷惑かけてゴメンナサイ。

　こういうことで笑いを取ってはいけませんね。^^;)

PS2:市橋事件について,何日も食事を取っていないなどの報道はどこまで真実なのでしょうか?　取り調べ段階での官憲の守秘義務とマスコミリークとの関係等々についてはよく知りませんが。。。

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私の近況

　渡辺明竜王に森内俊之九段(18世名人)が挑戦している将棋竜王戦第３局は11/10,11に京都「東本願寺 渉成園」で行われ後手角換りで渡辺竜王の３連勝でした。第４局は11/25,26下呂「水明館」で行われる予定です。

　これって,まるで単なる将棋ニュースみたいですが,昨日はこれに注目していました。

　世間では市橋容疑者の逮捕とか森繁さんが亡くなった話題などで盛り上がっているようですが,私自身は何故か生活が荒れていて身体,精神共に不安定で,そうした他人のことまで考える余裕はあまりないです。

　市橋氏の逃亡生活はまるで刑務所で禁固刑を受けているようです。この生活を時効まで10年以上続けるとしたら刑務所で服役しているのと比べて,刑死を免れる以外にはほとんどメリットがないように見えます。

　という意味では私には彼が何を拠り所にして逃げていたのか？素朴な疑問を感じます。まあ,逃げている当事者の心理は,冷静客観的ではないのかもしれませんが。。。

　(予めフェリーの出港時間を調べておいて出港直前に姿を現わせばいいことを考えれば,彼はもう逃亡に疲れ切って逮捕されたかったのかも。。。)

　また,今のところ容疑は死体遺棄です。

　実際には殺人事件であって彼が外国人女性を殺害したとしても,それが残虐な意図の事件であったのか,それとも男女関係のもつれでケンカでもして打ち所が悪くて亡くなったかとかの交通事故の過失致死に近いものなのか？もまだ不明なので評価する材料がありません。

（不謹慎だとは思いますがSMプレイで首が絞まって死ぬこもあるらしいです。私などは心臓病持ちなので簡単に腹上(腹下)死？。。。)

　(生い立ちとか何とか話題性があるためか？先走って色々マスコミが騒いでいますが,私は警察の失態のため？に彼が長期逃亡したということを別にすれば,２年７ヶ月前の出来事自体については相手が外国人女性であるということくらいで普通の事故,事件と比較して何ら特殊性を感じませんね。)

　昔のアメリカのTVドラマシリーズで日本でも人気があった「逃亡者」では,主人公は既に死刑が確定していて,真犯人を見つける以外に命が助かる道がないということだったので,拠り所というのははっきりしていましたが。。。

　まあ,対岸の火事はともあれ,私はといえば2006年3/20から2009年11/7までの合計741記事の投稿日時,記事題名とカテゴリー,およびURLのエクセルへの全入力が昨日終わりました。

　そして,まずは別ファイルにコピーしてバックアップを取りました。

　そして,このブログの目次を作成して検索しやすいように,まずは別々の項目でソートをかけて分類したファイルを作ったり,URLと題名を重ねたりして,整理する作業など,昔どこかの会社していた仕事に似たようなことをしています。

　季節の変わり目と不安定な天気のせいか,偏頭痛などもあって,結構不定愁訴がありますね。(パーキンソン病かなあ？)

　ゼイタクなことですが,普通にサラリーマン的生活をしていた時代の方が少なくとも精神的には安定していました。

　まあ,気分屋だし週末になるとどうせ脳天気になるでしょうが。。

PS：巣鴨は今日は一の酉ですね。明日は13日の金曜日。。。19時頃一人で巣鴨大鳥神社境内に並んでお神酒を一杯頂きましたが寒かったですね。

PS2:激しい反撃によって自身曲げられたり復元したりしながらも,新しい政権がこれまでの政権がずっと敗北してきた歪曲官僚との戦争を必死に闘っているように見えます。。

　当面は野党も含め,暖かくかつ厳しくこの闘いを見守り応援してはいかがでしょうか？。。。結局は,またしても敗北に終わるのかもしれませんが。。。。

　人のエゴ,欲望には限りはなく,"権力を握れば,必ず腐敗する。"としても。。

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光(電磁波)の散乱(4)

　さて,途中になっている電磁波の散乱振幅の計算の続きです。

前回はｒ＝ａで磁場の垂直成分Ｂ_rがゼロであるという境界条件:ｋ²Π^E＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ^E)/∂²ｒ}＝0 から磁気的波ＴＥ波の散乱波のポテンシャルΠ_sc^Eが,入射平面波のそれ:Π_in^Eと同じＰ_l¹(cosθ)sinφの形の項しか持たないという結論を得ました。

今日は他のｒ＝ａでの境界条件(1/ｒ){∂²(ｒΠ^M)/∂ｒ∂θ}＋(iω/sinθ)(∂Π^E/∂φ)＝0,および{1/(ｒsinθ)}{∂²(ｒΠ^M)/∂ｒ∂φ}(1/ｒ)－iω∂Π^E/∂θ＝0 に着目します。

これらの条件とΠ^Eがsinφに比例するということから,電気的波ＴＭ波の方のポテンシャルΠ^Mはcosφに比例することがわかります。

そこで,Π^M＝Π_in^M＋Π_sc^Mなる分解をすれば,散乱ＴＥ波のΠ_sc^EがＰ_l¹(cosθ)sinφの項しか持たないのと同様に,散乱ＴＭ波のポテンシャルΠ_sc^MはＰ_l¹(cosθ)cosφの形の項しか持たないことがわかります。

そこで,Π_sc^M,およびΠ_sc^Eの展開式はそれぞれΠ_sc^M(ｒ,θ,φ)≡(1/ｋ)Σ_l=1^∞{Ａ^M_lj_l(ｋｒ)＋Ｂ^M_lｎ_l(ｋｒ)}Ｐ_l¹(cosθ)cosφ,およびΠ_sc^E(ｒ,θ,φ)≡{1/(ｃｋ)}Σ_l=1^∞{Ａ^E_lj_l(ｋｒ)＋Ｂ^E_lｎ_l(ｋｒ)}Ｐ_l¹(cosθ)sinφと書くことができます。

ここで,後の便宜上,Π_sc^Mの展開係数Ａ^M,Ｂ^Mに対応するΠ_sc^Eの展開係数はＡ^E/ｃ,Ｂ^E/ｃであるとしています。

また,ｒ→ ∞における散乱境界条件は,Π^M(ｒ,θ,φ)→Π_in^M(ｒ,θ,φ)＋ｆ₁(θ)exp(iｋｒ)cosφ/ｒ,およびΠ^E(ｒ,θ,φ)→ Π_in^E(ｒ,θ,φ)＋ｆ₂(θ)exp(iｋｒ)sinφ/ｒと書けます。

ところで,球面ベッセル(Bessel)関数の漸近近似:j_l(ｘ)→ sin(ｘ－ｌπ/2)/ｘ(ｘ→∞)です。

そこで,ｒ→∞ではΠ_in^M(ｒ,θ,φ)＝(1/ｋ)Σ_l=1^∞[i^l-1(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}j_l(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)cosφ]→ (1/ｋ)Σ_l=1^∞[i^l-1(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}{1/(ｋｒ)}sin(ｋｒ－ｌπ/2)Ｐ_l¹(cosθ)cosφ]です。

つまり,Π_in^M(ｒ,θ,φ)→－{1/(2ｋ²)}Σ_l=1^∞[(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}{exp(iｋｒ)－(－1)^lexp(－iｋｒ)}Ｐ_l¹(cosθ)cosφ/ｒ]です。

そこで,ｆ₁(θ)＝－{1/(2ｋ²)}Σ_l=1^∞[(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}ａ_lＰ_l¹(cosθ)]と置けば,Π^M(ｒ,θ,φ)→－{1/(2ｋ²)}Σ_l=1^∞[(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}{(1＋ａ_l)exp(iｋｒ)－(－1)^lexp(－iｋｒ)}Ｐ_l¹(cosθ)cosφ/ｒ]と書けます。

一方,ｘ→∞での球面ノイマン(Neumann)関数の漸近近似はｎ_l(ｘ)→－cos(ｘ－ｌπ/2)/ｘです。

そこで,Π_sc^M(ｒ,θ,φ)＝(1/ｋ)Σ_l=1^∞{Ａ^M_lj_l(ｋｒ)＋Ｂ^M_lｎ_l(ｋｒ)}Ｐ_l¹(cosθ)cosφ→ｆ₁(θ)exp(iｋｒ)cosφ/ｒにおける因子:{Ａ^M_lj_l(ｋｒ)＋Ｂ^M_lｎ_l(ｋｒ)}は,ｒ→∞ではＡ^M_lj_l(ｋｒ)＋Ｂ^M_lｎ_l(ｋｒ)→{Ａ^M_lsin(ｋｒ－ｌπ/2)－Ｂ^M_lcos(ｋｒ－ｌπ/2)}/(ｋｒ)＝{1/(2iｋｒ)}(－i)^l{(Ａ^M_l－iＢ^M_l)exp(iｋｒ)－(－1)^l{(Ａ^M_l＋iＢ^M_l)exp(－iｋｒ)}なる形で漸近的に挙動します。

しかし,ｒ→ ∞では内向き球面波exp(－iｋｒ)/ｒは存在せず,その係数はゼロであるはずですからＡ^M_l＋iＢ^M_l＝0,つまりＢ^M_l＝iＡ^M_lです。

それ故,Ａ^M_lj_l(ｋｒ)＋Ｂ^M_lｎ_l(ｋｒ)＝Ａ^M_l{ j_l(ｋｒ)＋iｎ_l(ｋｒ)}＝Ａ^M_lｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)と書けます。ただしｈ_l⁽¹⁾は球面ハンケル(Hankel)関数の１方です。

以上から,Π_sc^M(ｒ,θ,φ)＝(1/ｋ)Σ_l=1^∞{Ａ^M_lｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)cosφ}と書くことができます。

同様にして,Π_sc^E(ｒ,θ,φ)＝{1/(ｃｋ)Σ_l=1^∞{Ａ^E_lｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)sinφ}と書けることもわかります。

ところで,入射平面波については,既に見たように電場はＥ_rⁱⁿ＝exp(iｋｒcosθ)sinθcosφ＝ｋ²Π_in^M＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ_in^M)/∂²ｒ}＝{1/(ｋｒ)}Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1j_l(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)cosφです。

そして,Π_in^M(ｒ,θ,φ)＝(1/ｋ)Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1/{ｌ(ｌ＋1)}j_l(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)cosφ,Π_in^E(ｒ,θ,φ)＝{1/(ｃｋ)}Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1/{ｌ(ｌ＋1)}j_l(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)sinφです。

そこで,Ｅ_θⁱⁿ＝(1/ｒ)∂Π_in^M/∂θ＋∂²Π_in^M/∂ｒ∂θ＋(iω/sinθ)(∂Π_in^E/∂φ)＝exp(iｋｒcosθ)sinθsinφ＝(cosφ/ｋ)Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1/{ｌ(ｌ＋1)}[{j_l(ｋｒ)/ｒ＋ｋj_l'(ｋｒ)}τ_l(cosθ)＋iｋj_l(ｋｒ)π_l(cosθ)]です。

ただし,τ_l(cosθ)≡ｄＰ_l¹(cosθ)/ｄθ＝－sinθｄＰ_l¹(cosθ)/ｄ(cosθ),π_l(cosθ)≡Ｐ_l¹(cosθ)/sinθと置きました。

また,Ｅ_φⁱⁿ＝{1/(ｒsinθ)}(∂Π_in^M/∂φ)＋(1/sinθ)(∂²Π_in^M/∂ｒ∂φ)－iω∂Π_in^E/∂θ＝－¹exp(iｋｒcosθ)sinφ＝－(sinφ/ｋ)Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1/{ｌ(ｌ＋1)}[{j_l(ｋｒ)/ｒ＋ｋj_l'(ｋｒ)}π_l(cosθ)＋iｋj_l(ｋｒ)τ_l(cosθ)]です。

さらに,磁場はＢ_rⁱⁿ＝ｃ^-1exp(iｋｒcosθ)sinθsinφ＝ｋ²Π_in^E＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ_in^E)/∂²ｒ}＝{1/(ｃｋｒ)}Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1j_l(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)sinφです。

また,Ｂ_θⁱⁿ＝{－iω/(ｃ²sinθ)}(∂Π_in^M/∂φ)＋(1/ｒ)(∂Π_in^M/∂θ)＋∂²Π_in^M/∂ｒ∂θ＝{sinφ/(ｃｋ)}Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1/{ｌ(ｌ＋1)}[iｋj_l(ｋｒ)π_l(cosθ)]＋{j_l(ｋｒ)/ｒ＋ｋj_l'(ｋｒ)}τ_l(cosθ)]です。

そして,Ｂ_φⁱⁿ＝(iω/ｃ²)(∂Π_in^M/∂θ)＋{1/(ｒsinθ)}(∂Π_in^E/∂φ)＋(1/sinθ)(∂²Π_in^E/∂ｒ∂φ)＝{cosφ/(ｃｋ)}Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1/{ｌ(ｌ＋1)}[iｋj_l(ｋｒ)τ_l(cosθ)＋{j_l(ｋｒ)/ｒ＋ｋj_l'(ｋｒ)}π_l(cosθ)]となります。

そして,散乱波も同じ方法で計算できてＥ_r^sc＝ｋ²Π_sc^M＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ_sc^M)/∂²ｒ}＝{1/(ｋｒ)}Σ_l=1^∞[ｌ(ｌ＋1)Ａ^M_lｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)cosφ]です。

また,Ｅ_θ^sc＝(1/ｒ)∂Π_sc^M/∂θ＋∂²Π_sc^M/∂ｒ∂θ＋(iω/sinθ)(∂Π_ic^E/∂φ)＝(cosφ/ｋ)Σ_l=1^∞[Ａ^M_l{ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)/ｒ＋ｋｈ_l⁽¹⁾'(ｋｒ)}τ_l(cosθ)＋iｋＡ^E_lｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)π_l(cosθ)]です。

同じく,Ｅ_φ^sc＝{1/(ｒsinθ)}(∂Π_sc^M/∂φ)＋(1/sinθ)(∂²Π_sc^M/∂ｒ∂φ)－iω∂Π_sc^E/∂θ＝＝－(sinφ/ｋ)Σ_l=1^∞[Ａ^M_l{ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)/ｒ＋ｋｈ_l⁽¹⁾'(ｋｒ)}π_l(cosθ)＋iｋＡ^E_lｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)τ_l(cosθ)]です。

同様にして,Ｂ_r^sc＝{1/(ｃｋｒ)}Σ_l=1^∞[ｌ(ｌ＋1)Ａ^E_lｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)sinφ],Ｂ_θ^sc＝{sinφ/(ｃｋ)}Σ_l=1^∞[iｋＡ^M_lｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)π_l(cosθ)＋Ａ^E_l{ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)/ｒ＋ｋｈ_l⁽¹⁾'(ｋｒ)}τ_l(cosθ)＋],Ｂ_φ^sc＝{cosφ/(ｃｋ)}Σ_l=1^∞[iｋＡ^M_lｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)τ_l(cosθ)＋Ａ^E_l{ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)/ｒ＋ｋｈ_l⁽¹⁾'(ｋｒ)}π_l(cosθ)]です。

ここで,η_l(ｋｒ)≡(ｋｒ)ｊ_l(ｋｒ),ξ_l(ｋｒ)≡(ｋｒ)ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)と置いて得られた全ての式を整理します。

まず,電場の動径成分については,Ｅ_rⁱⁿ＝{1/(ｋ²ｒ²)}Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1η_l(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)cosφです。

また,Ｅ_θⁱⁿ＝{cosφ/(ｋｒ)}Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1/{ｌ(ｌ＋1)}[η_l'(ｋｒ)τ_l(cosθ)＋iη_l(ｋｒ)π_l(cosθ)],Ｅ_φⁱⁿ＝－{sinφ/(ｋｒ)}Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1/{ｌ(ｌ＋1)}[η_l'(ｋｒ)π_l(cosθ)＋iη_l(ｋｒ)τ_l(cosθ)]とやや簡単な表現になります。

さらに磁場については,まずＢ_rⁱⁿ＝{1/(ｃｋ²ｒ²)}Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1η_l(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)sinφです。

次に,Ｂ_θⁱⁿ＝{sinφ/(ｃｋｒ)}Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1/{ｌ(ｌ＋1)}[ iη_l(ｋｒ)π_l(cosθ)]＋η_l'(ｋｒ)τ_l(cosθ)],およびＢ_φⁱⁿ＝{cosφ/(ｃｋｒ)}Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1/{ｌ(ｌ＋1)}[iη_l(ｋｒ)τ_l(cosθ)＋η_l'(ｋｒ)]π_l(cosθ)]となります。

散乱波についても全く同様ですが煩雑なので結果だけ列挙します。

まず,電場はＥ_r^sc＝{1/(ｋ²ｒ²)}Σ_l=1^∞[ｌ(ｌ＋1)Ａ^M_lξ_l(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)cosφ],Ｅ_θ^sc＝{cosφ/(ｋｒ)Σ_l=1^∞[Ａ^M_lξ_l'(ｋｒ)]τ_l(cosθ)＋iＡ^E_lξ_l(ｋｒ)π_l(cosθ)},Ｅ_φ^sc＝－{sinφ/(ｋｒ)}Σ_l=1^∞[Ａ^M_lξ_l'(ｋｒ)π_l(cosθ)＋iＡ^E_lξ_l(ｋｒ)τ_l(cosθ)]です。

同様に,磁場はＢ_r^sc＝{1/(ｃｋ²ｒ²)}Σ_l=1^∞[ｌ(ｌ＋1)Ａ^E_lξ_l(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)cosφ],Ｂ_θ^sc＝{sinφ/(ｃｋｒ)}Σ_l=1^∞[iＡ^M_lξ_l(ｋｒ)π_l(cosθ)＋Ａ^E_lξ_l'(ｋｒ)τ_l(cosθ)],Ｂ_φ^sc＝{cosφ/(ｃｋｒ)}Σ_l=1^∞[iＡ^M_lξ_l(ｋｒ)τ_l(cosθ)＋Ａ^E_lξ_l'(ｋｒ)]π_l(cosθ)]と書けます。

これに,境界条件:[Ｅ_θⁱⁿ＋Ｅ_θ^sc]_r=a＝0,[Ｅ_φⁱⁿ＋Ｅ_φ^sc]_r=a＝0,[Ｂ_rⁱⁿ＋Ｂ_r^sc]_r=a＝0 を当てはめると,(2ｌ＋1)i^l-1η_l'(ｋａ)＋ｌ(ｌ＋1)Ａ^M_lξ_l'(ｋａ)＝0,(2ｌ＋1)i^l-1η_l(ｋａ)＋ｌ(ｌ＋1)Ａ^E_lξ_l(ｋａ)＝0 を得ます。

故に,未知係数は全て陽に決まりＡ^M_l＝i^l-1(2ｌ＋1)η_l'(ｋａ)/{ｌ(ｌ＋1)ξ_l'(ｋａ)},Ａ^E_l＝i^l-1(2ｌ＋1)η_l(ｋａ)/{ｌ(ｌ＋1)ξ_l(ｋａ)}となって解が完全に得られます。

ところで,ｒ→ ∞ のときにはＥ_r^sc,Ｂ_r^sc ∝ξ_l/ｒ² →Ｏ(1/ｒ²),Ｅ_θ^sc,Ｅ_φ^sc,Ｂ_θ^sc,Ｂ_φ^sc ∝ξ_l/ｒ →Ｏ(1/ｒ)です。

それ故,ｒ→ ∞では散乱波の散乱体球の動径成分(球面波の縦波成分)Ｅ_r^sc,Ｂ_r^scは,球の接線成分(球面波の横波成分)Ｅ_θ^sc,Ｅ_φ^sc,Ｂ_θ^sc,Ｂ_φ^scに比べて無視してよいと考えられます。

つまり,ｒ→ ∞での散乱波も入射波と同じく,その球面波の進行方向に垂直な偏光成分だけを持つ横波となることがわかります。

また,ｒ→∞ではξ_l(ｋｒ)＝(ｋｒ)ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)→(－i)^l+1exp(iｋｒ),ξ_l'(ｋｒ)→iｋ(－i)^l+1exp(iｋｒ)です。

そこでξ_l(ｋｒ)ξ_m'(ｋｒ)＝ξ_m'(ｋｒ)ξ_l(ｋｒ) →－iｋ(－i)^l+mexp(2iｋｒ)よりｒ→∞でＥ_θ^scＢ_θ^sc＋Ｅ_φ^scＢ_φ^sc＝0 であり,Ｅ^scＢ^sc＝0 です。

つまり散乱電磁波も電場と磁場が直交して進む横波です。

そして,散乱振幅とそれに基づいた散乱の断面積を計算するためにｒ→∞での平均エネルギー密度に関係する量を計算することを考えます。

まず,ｒ→∞では|Ｅ_θ^sc|²＋|Ｅ_φ^sc|²＝ｃ²(|Ｂ_θ^sc|²＋|Ｂ_φ^sc|²)＝{1/(ｋ²ｒ²)}(cos²φ|Ｓ_θ|²＋sin²φ|Ｓ_φ|²)と書けます。ただしＳ_θとＳ_φは次式で定義される量です。

すなわち,Ｓ_θ≡Σ_l=1^∞(－i)^l+1i[Ａ^M_lτ_l＋Ａ^E_lπ_l],Ｓ_φ≡Σ_l=1^∞(－i)^l+1i[Ａ^M_lπ_l＋Ａ^E_lτ_l]とします。

さて,既に以前計算しましたが入射電磁波の平均エネルギー密度は,複素電磁場の表現では真空中のポインテイングベクトルの時間平均値として＜|Ｓⁱⁿ|＞＝|Ｅⁱⁿ×Ｂ^in*|/(2μ₀)＝1/(2ｃμ₀)で与えられます。

一方,散乱波のそれは,＜|Ｓ^sc|＞²＝|Ｅ^sc×Ｂ^sc*|²/(4μ₀²)＝(ε_ijkＥ_jＢ_k^*ε_ilmＥ_l^*Ｂ_m)/(4μ₀²)＝{|Ｅ^sc|²|Ｂ^sc|²－|(Ｅ^scＢ^sc)|²}/(4μ₀²)→(|Ｅ^sc|²|Ｂ^sc|²)/(4μ₀²)です。

それ故,ｒ→ ∞では＜|Ｓ^sc|＞＝|Ｅ^sc|²|Ｂ^sc|/(2μ₀)＝(|Ｅ_θ^sc|²＋|Ｅ_φ^sc|²)/(2ｃμ₀)＝{1/(2ｃμ₀ｋ²ｒ²)}(cos²φ|Ｓ_θ|²＋sin²φ|Ｓ_φ|²)と書けます。

したがって,微小立体角ｄΩ＝ｄ(cosθ)ｄφへの散乱の微分断面積ｄσは,ｄσ＝(＜|Ｓ^sc|＞/＜|Ｓⁱⁿ|＞)ｒ²ｄΩなる定義によってｄσ/ｄΩ＝(1/ｋ²)(cos²φ|Ｓ_θ|²＋sin²φ|Ｓ_φ|²)となります。

ここで,Ｓ_θ≡Σ_l=1^∞(－i)^l+1i[Ａ^M_lτ_l＋Ａ^E_lπ_l],Ｓ_φ≡Σ_l=1^∞(－i)^l+1i[Ａ^M_lπ_l＋Ａ^E_lτ_l]は,今の場合の係数Ａの陽な表現では－iＳ_θ＝Σ_l=1^∞＝(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}[{η_l'(ｋａ)/ξ_l'(ｋａ)}τ_l(cosθ)＋{η_l(ｋａ)/ξ_l(ｋａ)}π_l(cosθ)],－iＳ_φ＝Σ_l=1^∞＝(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}[{η_l'(ｋａ)/ξ_l'(ｋａ)}π_l(cosθ)＋{η_l(ｋａ)/ξ_l(ｋａ)}τ_l(cosθ)]です。

そして,時間平均として,＜cos²φ＞＝＜sin²φ＞＝[∫₀^2πcos²φｄφ]/(2π)＝[∫₀^2πsin²φｄφ]/(2π)＝1/2であることを用いると,実際の観測にかかる微分断面積はｄσ/ｄΩ＝{1/(2ｋ²)}(|Ｓ_θ|²＋|Ｓ_φ|²)で与えられると結論されます。

さて,ｘ→0 ではη_l(ｘ)＝ｘｊ_l(ｘ)～ｘ^l+1/(2ｌ＋1)!!,η_l'(ｘ)～(ｌ＋1)ｘ^l/(2ｌ＋1)!!です。また,ξ_l(ｘ)＝ｘｈ_l⁽¹⁾(ｘ)～－i(2ｌ－1)!!/ｘ^l,ξ_l'(ｘ)～iｌ(2ｌ－1)!!/ｘ^l＋1です。

それ故,η_l'(ｋａ)/ξ_l'(ｋａ)～－i(ｌ＋1)(ｋａ)^2l+1/[ｌ(2ｌ＋1){(2ｌ－1)!!}²],η_l(ｋａ)/ξ_l(ｋａ)～－i(ｋａ)^2l+1/[(2ｌ＋1){(2ｌ－1)!!}²]です。

そこで,以前にも概算したｋａ→0,あるいはｋａ＜＜1,つまりａ＜＜λのレイリー(Raileigh)散乱では,上記－iＳ_θと－iＳ_φの右辺の展開においてｌ＝1の項だけが効いてきます。

そしてｌ＝1ではτ_l(cosθ)＝ｄＰ₁¹(cosθ)/ｄθ＝cosθ,π₁(cosθ)＝Ｐ₁¹(cosθ)＝1でありη₁'(ｋａ)/ξ₁'(ｋａ)～－2i(ｋａ)³/3,η_l(ｋａ)/ξ_l(ｋａ)～－i(ｋａ)³/3です。

Ｓ_θ～(ｋａ)³(2cosθ－1)/2,Ｓ_φ～(ｋａ)³(2－cosθ)/2)より,|Ｓ_θ|²＋|Ｓ_φ|²～(ｋａ)⁶(5cos²θ－8cosθ＋5)/4です。

そこで,ｄσ/ｄΩ＝{1/(2ｋ²)}(|Ｓ_θ|²＋|Ｓ_φ|²)～ｋ⁴ａ⁶(5－8cosθ＋5cos²θ)/8∝ｋ⁴ａ⁶～ａ⁶/λ⁴,σ＝2π∫(ｄσ/ｄΩ)ｄ(cosθ)＝10πｋ⁴ａ⁶/3＝160π⁵ａ⁶/(3λ⁴)です。

したがって,ｋａ＜＜1,つまりａ＜＜λのレイリー散乱では微分断面積ｄσ/ｄΩ,全断面積σは共にｋ⁴に比例しています。あるいは波長λの４乗に反比例しています。

一方,ｋａ～1,つまりａ～λでは,Ｓ_θ,Ｓ_φにおける各項のη_l'(ｋａ),ξ_l'(ｋａ),η_l(ｋａ),ξ_l(ｋａ)等のｌ＝1の先頭項だけではなく,全てのｌの項が効いてきます。そして,ａ～λの太陽からの可視光線の空気中の水滴やエアロゾルなどによる散乱に相当していて,これをミイ(Mie)散乱と呼びます。

しかし,これまでの議論では散乱体は電気伝導率σ＝∞の完全導体球であると仮定して球体の半径ｒ＝ａの表面上でＥ_θ＝Ｅ_φ＝0,Ｂ_r＝0 である,という境界条件を用いました。

ここで,より現実的に考えて,散乱体が球であるという仮定はそのままでもいいですが,散乱体は完全導体から成るのではなく,任意の有限な電気伝導率σから成る物体であるとします。

また,その散乱体球の内部の透磁率は真空と同じくほぼμ₀ですが,誘電率の方は一般の値εであるとします。空気分子,水滴などによる光の散乱ではこちらの誘電体というモデルの方がふさわしいと思います。

すると,この誘電体球の内部での電磁場の運動方程式は,∇×Ｅ＝－∂Ｂ/∂ｔは真空中と同じですが,∇×Ｈ＝∂Ｄ/∂ｔ(i.e.∇×Ｂ＝(1/ｃ²)∂Ｅ/∂ｔ)の方は,∇×Ｈ＝∂Ｄ/∂ｔ＋ｉ＝∂Ｄ/∂ｔ＋σＥ,すなわち∇×Ｂ＝μ₀ε∂Ｅ/∂ｔ＋μ₀σＥとすべきです。

そこで,誘電体内部でも外部と同じくＥ,Ｂがexp(－iωｔ)という定在波としての時間依存因子を持つ波とすれば,これは∇×Ｂ＝－iμ₀(εω＋iσ)Ｅとなります。

前の,散乱体が完全導体のときには内部には如何なる電流ｉも存在できず,元々電流のない球体外部と同様に内部でも∇×Ｂ＝(1/ｃ²)∂Ｅ/∂ｔで∇×Ｂ＝－i(ω/ｃ²)Ｅでした。

そして,ＴＭ波,ＴＥ波に対するポテンシャルは散乱体の外部ではもちろん,Π^M,Π^Eですが,内部ではχ^M,χ^Eであるとします。

すると,誘電体外部ではＥ^M_φ＝{1/(ｒsinθ)}{∂²(ｒΠ^M)/∂ｒ∂φ},Ｅ^M_θ＝(1/ｒ){∂²(ｒΠ^M)/∂ｒ∂θ}でしたが,内部でも単にＥ^M_φ＝{1/(ｒsinθ)}{∂²(ｒχ^M)/∂ｒ∂φ},Ｅ^M_θ＝(1/ｒ){∂²(ｒχ^M)/∂ｒ∂θ}となります。

しかし,磁場の方は外部での表現:Ｂ^M_φ＝(iω/ｃ²)(∂Π^M/∂θ),Ｂ^M_θ＝－{iω/(ｃ²sinθ)}{∂(∂Π^M/∂φ)における係数ω/ｃ²＝μ₀ε₀ωがμ₀(εω＋iσ)＝(εω/ε₀＋iσ/ε₀)/ｃ²に変わるので,誘電体内部ではＢ^M_φ＝(iω_a/ｃ²)(∂χ^M/∂θ),Ｂ^M_θ＝－{iω_a/(ｃ²sinθ)}{∂(∂χ^M/∂φ)と書けます。

ここで,広義の複素振動数ω_aを導入してω_a≡εω/ε₀＋iσ/ε₀と定義しました。

さて,球体の外部の真空中ではポテンシャルΠが従う方程式は,波動方程式(△－ｃ^-2∂²/∂ｔ²)Π^M＝[△－μ₀ε₀∂²/∂ｔ²]Π^M＝0 において波数ｋ＝2π/λがｋ²≡ω²/ｃ²＝μ₀ε₀ω²と表現されるヘルムホルツ方程式:(△＋ｋ²)Π^M＝0 でした。

しかし,誘電体中では波動方程式は[△－μ₀(ε＋iσ/ω)∂²/∂ｔ²]χ^M＝0 となるので,これはｋ_a²≡μ₀(ε＋iσ/ω)ω²として(△＋ｋ_a²)χ^M＝0 となります。複素係数:ε＋iσ/ω＝(ω_a/ω)ε₀はωに依存する複素誘電率と解釈されます。

そこで,ｋ_a²＝μ₀(εω＋iσ)ω＝ωω_a/ｃ²であってＥ^M_r＝ｋ_a²χ^M＋(1/ｒ){∂²(ｒχ^M)/∂²ｒ},Ｂ^M_r＝0 です。ｋ_a＝2π/λ_aです。 

同様に,Ｅ^E_r＝0,Ｅ^E_θ＝(iω_a/sinθ)(∂χ^E/∂φ),Ｅ^E_φ＝－iω_a∂χ^E/∂θ,Ｂ^E_r＝ｋ_a²χ^E＋(1/ｒ){∂²(ｒχ^E)/∂²ｒ},Ｂ^E_θ＝(1/ｒ){∂²(ｒχ^E)/∂ｒ∂θ},Ｂ^E_φ＝{1/(ｒsinθ)}{∂²(ｒχ^E)/∂ｒ∂φ}です。そして,(△＋ｋ_a²)χ^E＝0 ですね。

これらヘルムホルツの方程式の解としての誘電体内部のＴＭ波,ＴＥ波を与えるポテンシャルχ^M,χ^Eは,ｒ＝0 の中心で有限であって,やはりｓ波(ｌ＝0 の波)はないと考えられます。

それ故,χ^M(ｒ,θ,φ)≡(1/ｋ_a)Σ_l=1^∞Ｃ^M_lj_l(ｋ_aｒ)Ｐ_l¹(cosθ)cosφ,χ^E(ｒ,θ,φ)≡{1/(ｃｋ_a)}Σ_l=1^∞Ｃ^E_lj_l(ｋ_aｒ)Ｐ_l¹(cosθ)sinφと表現することができます。

この場合の境界条件は,全く普通でｒ＝ａの球表面において接線成分Ｅ_θ,Ｅ_φ,Ｈ_θ,Ｈ_φが連続,そこでμ＝μ₀＝(一定)よりＢ_θ,Ｂ_φが連続であり,法線成分Ｂ_rとＤ_r＝εＥ_ｒも連続という条件となります。

ただ,今のケースでは電束密度Ｄと電場Ｅの現象論的関係は単純な実定数誘電率によるＤ＝εＥではなく,Ｄ(ω)＝(ε＋iσ/ω)Ｅ(ω)＝(ω_a/ω)ε₀Ｅ(ω)＝(ｋ_a²/ｋ²)ε₀Ｅ(ω)なる関係と考えられます。

そこで,Ｄ_rの連続性については球の外部のＥと内部の(ｋ_a²/ｋ²)Ｅの連続性を問題にする必要があります。

故に,この条件からは(1/ｋ²)[(2ｌ＋1)i^l-1η_l(ｋａ)＋ｌ(ｌ＋1)Ａ^M_lξ_l(ｋａ)]＝(ｋ_a²/ｋ²)(1/ｋ_a²)ｌ(ｌ＋1)Ｃ^M_lη_l(ｋ_aａ)です。

同様にＢ_rの連続性からは{1/(ｃｋ²)}[(2ｌ＋1)i^l-1η_l(ｋａ)＋ｌ(ｌ＋1)Ａ^E_lξ_l(ｋａ)]＝{1/(ｃｋ_a²)}ｌ(ｌ＋1)Ｃ^E_lη_l(ｋ_aａ)です。

また,Ｅ_θ,Ｅ_φ,Ｂ_θ,Ｂ_φの連続性からは(1/ｋ)[(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}i^l-1η_l'(ｋａ)＋Ａ^M_lξ_l'(ｋａ)]＝(1/ｋ_a)Ｃ^M_lη_l'(ｋ_aａ),および(1/ｋ)[(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}i^l-1η_l'(ｋａ)＋Ａ^E_lξ_l'(ｋａ)]＝(1/ｋ_a)Ｃ^E_lη_l'(ｋ_aａ)です。

これらの式からＣ^M_l,Ｃ^E_lを消去すると,Ａ^M_l＝i^l+1(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}{ｋ_aη_l'(ｋａ)η_l(ｋ_aａ)－ｋη_l'(ｋ_aａ)η_l(ｋａ)}/{ｋ_aξ_l'(ｋａ)η_l(ｋ_aａ)－ｋη_l'(ｋ_aａ)ξ_l(ｋａ)},

および,Ａ^E_l＝i^l+1(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}{ｋ_aη_l(ｋａ)η_l'(ｋ_aａ)－ｋη_l'(ｋａ)η_l(ｋ_aａ)}/{ｋ_aξ_l(ｋａ)η_l'(ｋ_aａ)－ｋξ_l'(ｋａ)η_l(ｋ_aａ)}が得られます。

ここで,後の便宜のために散乱体を構成する誘電体の複素屈折率をｎ^≡λ/λ_a＝ｋ_a/ｋ＝(ε＋iσ/ω)/ε₀)^1/2で定義しておきます。

例えば,ｋａ＜＜1, or ａ＜＜λの場合なら,Ａ^M_l～i^l+1(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}(ｌ＋1)ｋ_a^l+2ｋ^l－ｋ_a^lｋ^l+2)ａ^2l+1/{(2ｌ＋1)!!}²,÷[i(ｌｋ_a^l+2ｋ^-(l+1)＋(ｌ＋1)ｋ_a^lｋ^-(l-1))/(2ｌ＋1)]～[i^l/{ｌ(2ｌ＋1)!!}²][(ｎ^²－1)/{ｎ^²＋(l＋1)/ｌ}](ｋａ)^2l+1です。

同様に,Ａ^E_l～[i^l/{ｌ(ｌ＋1)(2ｌ＋1)(2ｌ＋3)]/{(2ｌ＋1)!!}²(ｎ^²－1)(ｋａ)^2l+3です。

それ故,ｋａ～ 0 での通常の弾性散乱では,ＴＭ波のｌ＋1の項の寄与とＴＥ波のｌ波の寄与が同じオーダーになります。

そこでｋａ＜＜1のレイリー散乱の場合に実際に効くｌ＝1の最初の項だけに着目すると,ＴＭ波では(ｋａ)³,ＴＥ波ではｋａ)⁵に比例するため,ＴＭ波のみが効くと見ていいでしょう。

そして,ｌ＝1では,Ａ^M₁～i(ｋａ)³(ｎ^²－1)/(ｎ^²＋2)です。

これから,前のように完全導体の場合ならｎ^→∞のため,Ａ^M₁～i(ｋａ)³となることも確認されます。

τ₁(cosθ)＝cosθ,π₁(cosθ)＝1により,Ｓ_θ～(ｋａ)³cosθ,Ｓ_φ～(ｋａ)³cosθです。

そこで,ｄσ/ｄΩ＝{1/(2ｋ²)}(|Ｓ_θ|²＋|Ｓ_φ|²)～ｋ⁴ａ⁶(1＋cos²θ)/4∝ｋ⁴ａ⁶～ａ⁶/λ⁴,σ＝2π∫(ｄσ/ｄΩ)ｄ(cosθ)＝8πｋ⁴ａ⁶/3＝128π⁵ａ⁶/(3λ⁴)となります。(レーリー散乱の場合)

これは,先の初めから完全導体球を仮定してその境界条件から求めたレーリー散乱の断面積の計算結果,ｄσ/ｄΩ＝{1/(2ｋ²)}(|Ｓ_θ|²＋|Ｓ_φ|²)～ｋ⁴ａ⁶(5－8cosθ＋5cos²θ)/8∝ｋ⁴ａ⁶～ａ⁶/λ⁴,σ＝2π∫(ｄσ/ｄΩ)ｄ(cosθ)＝10πｋ⁴ａ⁶/3＝160π⁵ａ⁶/(3λ⁴)と僅かながら係数が異なっています。

これは,Ｓ_θ≡Σ_l=1^∞(－i)^l+1i[Ａ^M_lτ_l＋Ａ^E_lπ_l],Ｓ_φ≡Σ_l=1^∞(－i)^l+1i[Ａ^M_lπ_l＋Ａ^E_lτ_l]のｌ＝1の項で,τ₁＝cosθ,π₁＝1,Ａ^M_l～i(ｋａ)³は同じですが,完全導体境界条件でＡ^E_l～(－i/2)(ｋａ)³であるのに対して誘電体境界条件ではＡ^E_l～ 0 であるからです。

大気中の空気分子による散乱では,後者の誘電体境界条件を採用するべきと思われます。

そもそも,完全導体球を仮定してＡ^M₁～i(ｋａ)³(ｎ^²－1)/(ｎ^²＋2)において複素屈折率をｎ^＝∞としたのですが,空気分子ではｎ^は有限ですから係数(ｎ^²－1)/(ｎ^²＋2)をも考慮する必要がありますね。

今日はここまでにします。

参考文献：砂川重信著「理論電磁気学」第２版(紀伊国屋書店),M.Born,E.Wolf著(草川徹 訳)「光学の原理(3)」(東海大学出版会)

ＰＳ：ノリピーの裁判。。判決には依存ないけど。。。例によって不可解なことばかり。。

罪というのは薬物に関する法律の違反でしょう？誰と結婚しようが離婚しようが個人的な問題とは刑法は関係ないじゃん。。。

マスコミが騒いだせいで世間への影響が大きい割りに刑が軽い？。。

表向きは職業に貴賎なし。。全ての人間は性別,その生業に関わらず法の下には平等だろう。利権にからんだ周囲の大騒ぎ,ほとんどは本人の責任じゃない部分を責めてどうするんだ？。。

問題にすべきは,犯罪当時の被告の責任能力の有無(たとえば幼児であるとか認知症であるとかなら刑は軽くすべきとか。)のような問題だろうにね。。。。

まあ,普通の日本の刑事裁判(検事と弁護士の両方がいても公平であるべき判事が最初から検事９割,弁護士１割程度の予断と偏見を持っていて,本来５分５分の情況証拠なら"疑わしきは被告の利益に(＝推定無罪)"の原則のはずなのに実際には真反対で,しかも世論になびく傾向大)だから,しょうがないか。。

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本田美奈子さんの命日です。

　今日11月６日は生きていれば42歳のはずの「本田美奈子．」さん(本名：工藤美奈子さん)が,白血病のために38歳で亡くなった命日ですね。。。

　生きているうちに,彼女の演じるミュージカル:「ミス・サイゴン」を見たかったし,聴きたかったなあ。。

　(映画やTV番組だったら今でも鑑賞できるのにね。)

　最後に彼女がよく歌っていたらしい「Amaging Grace」は.私も好きだったこともあり,この賛美歌の英語歌詞をほぼ直訳して拙い訳詞を創ってみたこともありました。　http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2006/05/post_10d5.html (2006年５/14の記事)

　カラオケで１番だけはこの日本語で唄うこともよくありますが語呂は合っているようです。。

http://www.youtube.com/watch?v=cRbP2sPKUL4&feature=player_embedded#

光(電磁波)の散乱(3)

主としてミイ(Mie)散乱を対象と考えて計算した過去のノ－トを見つけたので,改めてその計算をチェックしながら一般的なレイリー(Rayleigh)散乱とミイ散乱の古典電磁波の散乱としての扱いを詳細に記述してみます。

散乱体を完全導体球としたときの正しい境界条件は入射平面波と散乱波を重ね合わせた全電磁波の電場Ｅ,磁場Ｂが球の表面上ｒ＝ａでｎＢ＝0,ｔＥ＝0 を満たすことです。

これは極座標では,ｒ＝ａでＢ_r＝Ｂ_xsinθcosφ＋Ｂ_ysinθ＋Ｂ_zcosθ＝0,かつＥ_θ＝Ｅ_xcosθcosφ＋Ｅ_ycosθsinφ＋Ｅ_zsinθ＝0,Ｅ_φ＝－Ｅ_xsinφ＋Ｅ_ycosφ＝0 なることを意味します。

今のケースでは入射波はｚ方向に進む角振動数がωの単色平面波でＥはｘ方向,Ｂはｙ方向に線偏光していると仮定しています。

これまで説明してきたように,散乱を１枚の全体写真として記述するため,電磁場の１成分をΦ(ｘ,ｔ)＝exp(－iωｔ)ψ(ｘ)として時間部分を分離した定在波表現を用います。

この表現では,入射波Φⁱⁿ(ｘ,ｔ)＝exp(－iωｔ)ψⁱⁿ(ｘ)の空間成分はψⁱⁿ(ｘ)＝exp(iｋｚ)＝exp(iｋｒcosθ)ですが,これはＥⁱⁿ＝(ψⁱⁿ,0,0),ｃＢⁱⁿ＝(0,ψⁱⁿ,0,0),あるいはＥⁱⁿ_x＝ｃＢⁱⁿ_y＝exp(iｋｚ),Ｅⁱⁿ_y＝Ｅⁱⁿ_z＝Ｂⁱⁿ_x＝Ｂⁱⁿ_z＝0 を意味します。

そして,真空中でのヘルムホルツ(Helmholtz)方程式よりも基本的なマクスウェル(Maxwell)の方程式:Ｄ＝ε₀Ｅ,Ｂ＝μ₀Ｈ,ｃ²＝ε₀μ₀∇,および∇×Ｅ＝－∂Ｂ/∂ｔ,∇×Ｈ＝∂Ｄ/∂ｔから出発してＤとＨを消去すると,∇×Ｅ＝iωＢ,∇×Ｂ＝－(iω/ｃ²)Ｅを得ます。

これを,極座標で書くと－(iω/ｃ²)Ｅ_r＝{1/(ｒ²sinθ)}{∂(ｒsinθＢ_φ)/∂θ－∂(ｒＢ_θ)/∂φ},－(iω/ｃ²)Ｅ_θ＝{1/(ｒsinθ)}{∂Ｂ_r/∂φ－∂(ｒsinθＢ_φ)/∂ｒ},－(iω/ｃ²)Ｅ_φ＝(1/ｒ){∂(ｒＢ_θ)/∂ｒ－∂Ｂ_r/∂θ},

および,iωＢ_r＝{1/(ｒ²sinθ)}{∂(ｒsinθＥ_φ)/∂θ－∂(ｒＥ_θ)/∂φ},iωＢ_θ＝{1/(ｒsinθ)}{∂Ｅ_r/∂φ－∂(ｒsinθＥ_φ)/∂ｒ},iωＢ_φ＝(1/ｒ){∂(ｒＥ_θ)/∂ｒ－∂Ｅ_r/∂θ}です。

方程式は線型なので,任意の解Ｅ,Ｂは電気的波(ＴＭ波;transverse magnetic wave)と磁気的波(ＴＥ波;transverse electric wave)に分解できます。

すなわち,Ｅ＝Ｅ^M＋Ｅ^E,Ｂ＝Ｂ^M＋Ｂ^E,(ⅰ)Ｅ^M_r＝Ｅ_r,Ｂ^M_r＝0 (ＴＭ波),(ⅱ)Ｅ^E_r＝0,Ｂ^E_r＝Ｂ_r (ＴＥ波)と分解されます。

これら電気的波:Ｅ^M,Ｂ^M,および磁気的波:Ｅ^E,Ｂ^Eは,それぞれ同じ波動方程式を満足するスカラーポテンシャルΠ^M,およびΠ^Eから導出できることがわかります。以下,これを示します。

(ⅰ)Ｅ^M_r＝Ｅ_r,Ｂ^M_r＝0 (ＴＭ波＝電気的波)の場合:

　－iωｒ²sinθＢ^M_r＝∂(ｒsinθＥ^M_φ)/∂θ－∂(ｒＥ^M_θ)/∂φ＝0ですから,ｒsinθＥ^M_φ≡∂Ｕ/∂φ,ｒＥ^M_θ≡∂Ｕ/∂θ,Ｕ≡∂(ｒΠ^M)/∂ｒと置くことができます。

すなわち,Ｅ^M_φ≡{1/(ｒsinθ)}{∂²(ｒΠ^M)/∂ｒ∂φ},Ｅ^M_θ≡(1/ｒ){∂²(ｒΠ^M)/∂ｒ∂θ}と書けます。

そこで,－(iω/ｃ²)Ｅ_θ＝{1/(ｒsinθ)}{∂Ｂ_r/∂φ－∂(ｒsinθＢ_φ)/∂ｒ}でＥ,ＢをＥ^M,Ｂ^Mに置き換えてＢ^M_r＝0 とした式:－(iω/ｃ²)Ｅ^M_θ＝{1/(ｒsinθ)}{－∂(ｒsinθＢ^M_φ)/∂ｒ}は,(iω/ｃ²)(1/ｒ){∂²(ｒΠ^M)/∂ｒ∂θ}＝(1/ｒ){∂(ｒＢ^M_φ)/∂ｒ}を意味します。

また,－(iω/ｃ²)Ｅ^M_φ＝(1/ｒ){∂(ｒＢ^M_θ)/∂ｒ－∂Ｂ^M_r/∂θ}＝(1/ｒ){∂(ｒＢ^M_θ)/∂ｒ}は－(iω/ｃ²){1/(ｒsinθ)}{∂²(ｒΠ^M)/∂ｒ∂φ}＝(1/ｒ){∂(ｒＢ^M_θ)/∂ｒ}です。

よって,無関係の定数を除いて,Ｂ^M_φ＝{iω/(ｃ²ｒ)}{∂(ｒΠ^M)/∂θ}＝(iω/ｃ²)(∂Π^M/∂θ),Ｂ^M_θ＝－{iω/(ｃ²ｒsinθ)}{∂(ｒΠ^M)/∂φ}と書けます。

さらに,これらを－(iω/ｃ²)Ｅ^M_r＝{1/(ｒ²sinθ)}{∂(ｒsinθ∂Ｂ^M_φ)/∂θ－∂(ｒＢ^M_θ)/∂φ}に代入するとＥ^M_r＝－{1/(ｒsinθ)}[∂{sinθ(∂Π^M/∂θ)/∂θ}＋(1/sinθ)(∂²Π^M/∂φ²)]を得ます。

そして,得られた結果をiωＢ^M_θ＝{1/(ｒsinθ)}{∂Ｅ^M_r/∂φ－∂(ｒsinθＥ^M_φ)/∂ｒ}に代入すると(ω²/ｃ²sinθ)(∂Π^M/∂φ)＝{1/(ｒsinθ)}(∂/∂φ){－1/(ｒsinθ)}(∂/∂θ){sinθ(∂Π^M/∂θ)}＋(1/sinθ)(∂²Π^M/∂φ²)}－{∂²(ｒΠ^M)/∂²ｒ}]です。

ｋ＝ω/ｃより,これは(∂/∂φ)[ｋ²Π^M＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ^M)/∂²ｒ}＋{1/(ｒ²sinθ)}(∂/∂θ){sinθ(∂Π^M/∂θ)}＋(1/sinθ)(∂²Π^M/∂φ²)]＝0です。

また,－iωＢ^M_φ＝(1/ｒ){∂(ｒＥ^M_θ)/∂ｒ－∂Ｅ^M_r/∂θ}に代入すると－(ω²ｒ/ｃ²) (∂Π^M/∂θ)＝∂³(ｒΠ^M)/∂ｒ²∂θ}＋(1/ｒ²)(∂/∂θ)[(1/sinθ)(∂/∂θ){sinθ(∂Π^M/∂θ)/∂θ}＋(1/sinθ)(∂²Π^M/∂φ²)]です。

これから(∂/∂θ)[ｋ²Π^M＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ^M)/∂²ｒ}＋{1/(ｒ²sinθ)}(∂/∂θ){sinθ(∂Π^M/∂θ)}＋(1/sinθ)(∂²Π^M/∂φ²)]＝0を得ます。

以上のことからスカラーポテンシャルΠ^Mをヘルムホルツ方程式:(△＋ｋ²)Π^M＝0 を満たすように選んでよいことがわかります。

そこで,Ｅ^M_r＝－{1/(ｒsinθ)}[∂{sinθ(∂Π^M/∂θ)/∂θ}＋(1/sinθ)(∂²Π^M/∂φ²)]＝－△Π^M＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ^M)/∂²ｒ}によってＥ^M_r＝ｋ²Π^M＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ^M)/∂²ｒ}が得られます。

要約すると,Ｅ^M_r＝ｋ²Π^M＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ^M)/∂²ｒ},Ｅ^M_θ＝(1/ｒ){∂²(ｒΠ^M)/∂ｒ∂θ},Ｅ^M_φ＝{1/(ｒsinθ)}{∂²(ｒΠ^M)/∂ｒ∂φ},Ｂ^M_r＝0,Ｂ^M_θ＝－{iω/(ｃ²ｒsinθ)}{∂(ｒΠ^M)/∂φ},Ｂ^M_φ＝{iω/(ｃ²ｒ)}{∂(ｒΠ^M)/∂θ}＝(iω/ｃ²)(∂Π^M/∂θ)です。

そして,(△＋ｋ²)Π^M＝0 です。

(ⅱ)Ｅ^E_r＝0,Ｂ^E_r＝Ｂ_r(ＴＥ波＝磁気的波)の場合:

　－(iωｒ²sinθ/ｃ²)Ｅ^E_r＝∂(ｒsinθＢ^E_φ)/∂θ－∂(ｒＢ^E_θ)/∂φ＝0ですから,ｒsinθＢ^E_φ≡∂Ｖ/∂φ,ｒＢ^E_θ≡∂Ｖ/∂θ,Ｖ≡∂(ｒΠ^E)/∂ｒと置きます。

すなわち,Ｂ^E_φ＝{1/(ｒsinθ)}{∂²(ｒΠ^E)/∂ｒ∂φ},Ｂ^E_θ＝(1/ｒ){∂²(ｒΠ^E)/∂ｒ∂θ}です。

Ｅ^E_r＝0 よりiωＢ^E_φ＝(1/ｒ){∂(ｒＥ^E_θ)/∂ｒ}ですから,∂(ｒＥ^E_θ)/∂ｒ＝(iω/sinθ){∂²(ｒΠ^E)/∂ｒ∂φ}です。

そこで,定数項を無視してＥ^E_θ＝{iω/(ｒsinθ)}{∂(ｒΠ^E)/∂φ}＝(iω/sinθ)(∂Π^E/∂φ)と置くことができます。

同様に,iωＢ^E_θ＝{－1/(ｒsinθ)}{∂(ｒsinθＥ^E_φ)/∂ｒ}より{∂(ｒＥ^E_φ)/∂ｒ}＝－iω∂²(ｒΠ^E)/∂ｒ∂θ}なので,Ｅ^E_φ＝－iω∂Π^E/∂θと書けます。

これらのポテンシャルによる表現をiωＢ^E_r＝{1/(ｒ²sinθ)}{∂(ｒsinθＥ^E_φ)/∂θ－∂(ｒＥ^E_θ)/∂φ}に代入すると,Ｂ^E_r＝{－1/(ｒsinθ)}{∂(sinθ∂Π^E/∂θ)/∂θ}を得ます。

得られた全てのポテンシャルによる表現を－(iω/ｃ²)Ｅ^E_θ＝{1/(ｒsinθ)}{∂Ｂ^E_r/∂φ－∂(ｒsinθＢ^E_φ)/∂ｒ},および－(iω/ｃ²)Ｅ^E_φ＝(1/ｒ){∂(ｒＢ^E_θ)/∂ｒ－∂Ｂ^E_r/∂θ}に代入すれば,(∂/∂φ){(△＋ｋ²)Π^E}＝0,かつ(∂/∂θ){(△＋ｋ²)Π^E}＝0 が得られます。

そこで,(△＋ｋ²)Π^E＝0となるようにΠ^Eを選びます。このときＢ^E_r＝ｋ²Π^E＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ^E)/∂²ｒ}と表わせます。

以上を要約すると,Ｅ^E_r＝0,Ｅ^E_θ＝(iω/sinθ)(∂Π^E/∂φ),Ｅ^E_φ＝－iω∂Π^E/∂θ,Ｂ^E_r＝ｋ²Π^E＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ^E)/∂²ｒ},Ｂ^E_θ＝(1/ｒ){∂²(ｒΠ^E)/∂ｒ∂θ},Ｂ^E_φ＝{1/(ｒsinθ)}{∂²(ｒΠ^E)/∂ｒ∂φ}です。そして(△＋ｋ²)Π^E＝0 です。

(ⅰ),(ⅱ)をまとめると,電場についてはＥ_r＝Ｅ^M_r＋Ｅ^E_r＝ｋ²Π^M＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ^M)/∂²ｒ},Ｅ_θ＝Ｅ^M_θ＋Ｅ^E_θ＝(1/ｒ){∂²(ｒΠ^M)/∂ｒ∂θ}＋(iω/sinθ)(∂Π^E/∂φ),Ｅ_φ＝Ｅ^M_φ＋Ｅ^E_φ＝{1/(ｒsinθ)}{∂²(ｒΠ^M)/∂ｒ∂φ}(1/ｒ)－iω∂Π^E/∂θとなり,

磁場についてはＢ_r＝Ｂ^M_r＋Ｂ^E_r＝ｋ²Π^E＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ^E)/∂²ｒ},Ｂ_θ＝Ｂ^M_θ＋Ｂ^E_θ＝{－iω/(ｃ²ｒsinθ)}{∂(ｒΠ^M)/∂φ}＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ^M)/∂ｒ∂θ},Ｂ_φ＝Ｂ^M_φ＋Ｂ^E_φ＝(iω/ｃ²)(∂Π^M/∂θ){1/(ｒsinθ)}＋{1/(ｒsinθ)}{∂²(ｒΠ^E)/∂ｒ∂φ}となります。

ここでΠ^M,Π^Eは(△＋ｋ²)Π＝0 の未知関数Πに対する解です。

解ΠをΠ(ｒ,θ,φ)≡Ｒ(ｒ)Θ(θ)Φ(φ)と変数分離形に書くと,Ｒ(ｒ)に対する独立解の組は方程式{ｄ²/ｄｒ²＋(2/ｒ)ｄ/ｄｒ＋ｋ²－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}Ｒ_l(ｒ)＝0 を満たすＲ_l(ｒ)＝{π/(2ｋｒ)}^1/2Ｊ_l+1/2(ｋｒ)＝ｊ_l(ｋｒ),{π/(2ｋｒ)}^1/2Ｎ_l+1/2(ｋｒ)＝ｎ_l(ｋｒ)(ｌ＝0,1,2,..)で与えられます。(Ｊ,Ｎはベッセル(Bessel)関数)

このとき,同じｌに対応するΘ(θ)Φ(φ)の独立解はＰ_l^m(cosθ){ａ_mcos(ｍφ)＋ｂ_msin(ｍφ)}(－ｌ≦ｍ≦ｌ)です。(Ｐ_l^mはルジャンドル(Legendre)の陪多項式)

それ故,Πの一般解はΠ(ｒ,θ,φ)＝Σ_l=0^∞Σ_m=-l^l{ｃ_lｊ_l(ｋｒ)＋ｄ_lｎ_l(ｋｒ)}Ｐ_l^m(cosθ){ａ_mcos(ｍφ)＋ｂ_msin(ｍφ)}です。

ところで,電場Ｅ,磁場Ｂのデカルト座標の成分と極座標の成分の関係はＥ_r＝Ｅ_xsinθcosφ＋Ｅ_ysinθ＋Ｅ_zcosθ,Ｅ_θ＝Ｅ_xcosθcosφ＋Ｅ_ycosθsinφ＋Ｅ_zsinθ,Ｅ_φ＝－Ｅ_xsinφ＋Ｅ_ycosφ,およびＢ_r＝Ｂ_xsinθcosφ＋Ｂ_ysinθ＋Ｂ_zcosθ,Ｂ_θ＝Ｂ_xcosθcosφ＋Ｂ_ycosθsinφ＋Ｂ_zsinθ,Ｂ_φ＝－Ｂ_xsinφ＋Ｂ_ycosφで与えられます。

ここで,入射波の電場Ｅ＝Ｅⁱⁿと磁場Ｂ＝Ｂⁱⁿは,Ｅⁱⁿ_x＝ｃＢⁱⁿ_y＝exp(iｋｚ),Ｅⁱⁿ_y＝Ｅⁱⁿ_z＝Ｂⁱⁿ_x＝Ｂⁱⁿ_z＝0 であると仮定されていたことを思い出します。

したがって,入射波の極座標成分はＥⁱⁿ_r＝exp(iｋｒcosθ)sinθcosφ,Ｅⁱⁿ_θ＝exp(iｋｒcosθ)cosθcosφ,Ｅⁱⁿ_φ＝－exp(iｋｒcosθ)sinφ,Ｂⁱⁿ_r＝ｃ^-1exp(iｋｒcosθ)sinθsinφ,Ｂⁱⁿ_θ＝exp(iｋｒcosθ)cosθsinφ,Ｂ_φ＝exp(iｋｒcosθ)cosφです。

これを用いて入射波に対するポテンシャルΠ^M＝Π_in^M,Π^E＝Π_in^Eを求めます。そのために先のＥ_r,Ｅ_θ,Ｅ_φ,Ｂ_r,Ｂ_θ,Ｂ_φに対するポテンシャルΠ^M,Π^Eによる表現を利用します。

式はたくさんありますが,その中の１つの式:Ｅ_r＝Ｅ^M_r＋Ｅ^E_r＝ｋ²Π^M＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ^M)/∂²ｒ}だけを考えれば十分です。このポテンシャルは合理的に定められているため後の式は自然に満たされます。

採用した式は,exp(iｋｒcosθ)sinθcosφ＝ｋ²Π_in^M＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ_in^M)/∂²ｒ}です。

一方,exp(iｋｒcosθ)の展開はレーリー(Rayleigh)の公式:exp(iｋｒcosθ)＝Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)i^lj_l(ｋｒ)Ｐ_l(cosθ)で与えられることを知っています。

この両辺をθで微分します。左辺では∂{exp(iｋｒcosθ)}/∂θ＝－iｋｒexp(iｋｒcosθ)sinθです。右辺では∂Ｐ_l(cosθ)/∂θ＝－Ｐ_l¹(cosθ)(ｌ＝1),∂Ｐ_l(cosθ)/∂θ＝0 (ｌ≠1)です。

これから直ちに入射波にはｌ＝0 のｓ波が無いことがわかります。これの理由は明らかに電磁波の表わす場がベクトルであってスカラーではないことです。

レーリーの公式の両辺のθ微分にcosφを掛けて－iｋｒで割るとexp(iｋｒcosθ)sinθcosφ＝(1/ｋｒ)Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1j_l(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)cosφ＝ｋ²Π_in^M＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ_in^M)/∂²ｒ}を得ます。

ここでΠ_in^Mの展開式をΠ_in^M(ｒ,θ,φ)≡(1/ｋ)Σ_l=1^∞α_lj_l(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)cosφと定義すれば,∂²(ｒΠ_in^M)/∂²ｒ＋ｋ²ｒΠ_in^M＝ｒ[∂²Π_in^M/∂²ｒ＋(2/ｒ)∂Π_in^M/∂ｒ＋ｋ²Π_in^M]から,α_l{ｄ²j_l(ｋｒ)/ｄｒ²＋(2/ｒ)ｄ¹j_l(ｋｒ)/ｄｒ＋ｋ²j_l(ｋｒ)}＝i^l-1(2ｌ＋1)ｊ_l(ｋｒ)/ｒ²なる等式を得ます。

そこで,α_l＝i^l-1(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}となることがわかります。

よって,陽な展開表現:Π_in^M(ｒ,θ,φ)＝(1/ｋ)Σ_l=1^∞[i^l-1(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}j_l(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)cosφ]が得られました。

同様にして,Π_in^E(ｒ,θ,φ)＝(1/ｋ)Σ_l=1^∞[i^l-1(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}j_l(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)sinφ]も得られます。

ここでｒ＝ａにおける正しい境界条件:Ｂ_r＝0,かつＥ_θ＝Ｅ_φ＝0 を考慮します。

これはｒ＝ａでｋ²Π^E＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ^E)/∂²ｒ}＝0,かつ(1/ｒ){∂²(ｒΠ^M)/∂ｒ∂θ}＋(iω/sinθ)(∂Π^E/∂φ)＝{1/(ｒsinθ)}{∂²(ｒΠ^M)/∂ｒ∂φ}(1/ｒ)－iω∂Π^E/∂θ＝0 を意味します。

１番目の条件:ｋ²Π^E＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ^E)/∂²ｒ}＝0 (ｒ＝ａ)は,ｒ＝ａで∂²(ｒΠ^E)/∂²ｒ＋ｋ²ｒΠ^E＝ｒ[∂²Π^E/∂²ｒ＋(2/ｒ)∂Π^E/∂ｒ＋ｋ²Π^E]＝0 です。

Π^Eの展開式をΠ^E(ｒ,θ,φ)≡Σ_l=0^∞Σ_ｍ=-l^l{ｃ_lｊ_l(ｋｒ)＋ｄ_lｎ_l(ｋｒ)}Ｐ_l^m(cosθ){ａ_mcos(ｍφ)＋ｂ_msin(ｍφ)}と定義すると,これはΣ_l=0^∞Σ_ｍ=-l^lｌ(ｌ＋1)ａ^-2{ｃ_lｊ_l(ｋａ)＋ｄ_lｎ_l(ｋａ)}Ｐ_l^m(cosθ){ａ_mcos(ｍφ)＋ｂ_msin(ｍφ)}＝0 を意味します。

そこで,ＴＥ波のポテンシャルΠ^Eは恒等的にゼロである,あるいは全ての展開係数はゼロであることがわかります。

Π^E＝Π_in^E＋Π_sc^Eと書けば,左辺の展開係数が全てゼロなので,Π_in^Eがｍ＝1のＰ_l¹(cosθ)sinφの項しか持たないことから,Π_sc^Eもｍ＝1のＰ_l¹(cosθ)sinφの形の項しか持たないことがわかります。

途中ですが,計算に疲れたので今日はここまでにします。

参考文献:砂川重信 著「理論電磁気学(第２版)」(紀伊国屋書店),M.Born,E.Wolf 著(草川徹 翻訳)「光学の原理(3)」(東海大学出版会)

ＰＳ:先日,池袋に大きいヤマダ電機がオープンしたのでこれを見に行った機会に秋葉原まで足をのばして,中古専門のソフマップに行きＰＣを中心に色々と見てきました。

　そして有名メーカーではなく自作に近くて昔ツクモや石丸で安売りしていた中古のデスクトップマシン:2004年製のemachinesのJ4320(CPUがPentium4:3GHz,HDD:200GB,WindowsXP(Home)入り,ただしメモリーが512MBから1024MBに増設されているもの)が11300円と意外に安く売られていたのでつい衝動買いしてしまいました。

　ここ数日間は今まで使っていたデスクトップと入れ替えるためのセッティングに夢中になっていました。

　今年６月に2004年製のHPパソコンのマザーボードが壊れたため,これまでは所蔵休眠していた2002年製で富士通のときどき動かなくなる中古パソコンをだましだましして使っていました。http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2009/06/pc-179a.html

　新ＰＣは,今のところ重いソフトを使用中に若干音がうるさいのが気になる程度で他に不満はなく,前の富士通の中古よりも快適,快調です。

　見かけはほぼ新品で(アウトレット？),モニター無し,マウス,キーボードが無く,付属ソフトもOS(Windows)とウィルスソフト以外には無かったのですが,DVD±R(さらにRAM？)ドライブと全カードリ－ダー付き(FDDは無し)で,HDDも200GB実装ですから,コアがDuoではないけれどスペックとしては十分です。

　付属品が何も付いてなくても,これらは全て前のマシンから引き継げたので私的には全く問題無しです。

　日本製の有名メーカー品とはいっても他のはるかにスペックが低く,どこかに「難あり品」なのにこの品よりもかなり高価な中古品に比べ私自身は今のところ掘り出し物だと思っています。

　結局,後で失敗だとわかったにしても11300円なら１～２回の飲み代程度ですから気になりませんね。(さらに送料も値切りました。)

　ところで今年は何故か将棋の谷川浩司九段(17世名人)の調子がいいみたいで嬉しいです。

　谷川さんには久しぶりにタイトルを取ってもらいたいですね。特に順位戦では今のところ全勝でトップです。名人復位を期待しています。

　北島忠雄六段(現在順位戦はＣ１で３勝２敗)もカゲながら応援しています。頑張ってください。下は７月の将棋オフ http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2009/07/post-29b5.html で私が取った写真です。(肖像権無視して載せていいのかな？クレイムあれば即削除します。)

　　

　ＰＳ２:西田房生(フサフサ生える？)さん。。連絡を待つ。この記事にメアド入りでコメントを入れてください。すぐに返信後,コメントおよびこのＰＳ２は削除します。

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(続)ヘルパー・スクールへの通学が終わりました。

　今日11月１日の日曜日,とりあえず,１日分だけ残っていた振り替え講義を受けて本当に現場実習以外の課程を終了して先ほど帰宅しました。

　不謹慎なことに授業中隣の初めて会った女性とコソコソしゃべっていたのは,以前から思っていたのですが,講義をされているM先生が何回目かの「暴れん坊将軍」シリーズでめ組の組頭をしていた長次郎(山本譲二)の姉で産婆のおりん役の松金よね子によく似てるなぁ。。ということでした。

(声も演技？の芸風さえよく似ています。)　　

　　　　　　　

　それにしても,私の自己紹介は「よろしくお願いします。」で終わればいいのに,いつもいくらでも言いたいことがあって,言い足りなくてまだ続きをしゃべろうかどうか迷っているうち,「ま,いっか」で頭をかきつつ「終わります。」というパターンが多いですね。。。困ったもんだ。。。