2018年8月19日 (日)

気分転換!!頭の体操

8月16日に4回目の手術:傷の植皮手術が終わり,うまく定着 

すれば、あと半月程度で退院できると読んでいます。
 

入院は完全看護なので楽は楽なのですが糖尿病で3度の 

薄味の病院食とお茶以外は口にできないのはストレスです。
 

退院したらチョコレートやアイス,カツ丼やインスタントの 

焼きそばやヌードルにスシとか,フ健康でも美味なものを

食べたいとか妄想しています。

これらをたまに食べないと元気でないし頭も働きません。
 

あまりにも退屈なのでネットで国際数学]オリンピックの過去 

問題でも解いてみました。気分転換。。頭の体操です。
 

[]正の実数a2,3,..n(n≧3)があってa2,3,..n=1 

が満たされているとき,次の不等式が成立することを証明せよ。

(21)2(3,1)3..(n1)n>nn
 

[解答]有名な「相加平均は相乗平均より大きい」という定理 

を利用します。 

これは「正の実数x1,2,..m(m≧2)があるとき, 

常に(1+x2..+xm)/m≧(12..m)1/mが成立する。 

ただし,等号はx1=x2..mのときに限り成立する」 

というものです。
 

そこで,まず,(21)/2≧√a2=a21/2, 

それ故,(21)2222です。
 

同様に(31)/3(31/21/2)/3(3/4)1/3 

ですから,(31)3(33/22)3です。
 

以下,帰納的に,k=2,3,..nについて, 

(k1)k{k/(k-1)k-1}kを得ます。
 

そこで,これらをすべて左辺は左辺同士,右辺は 

右辺同同士掛け合わせると, 

(21)2(31)3..(n1)n≧nn(23..n) 

が得られます。
 

仮定によりa2,3,..n=1でしたから 

(21)2(31)3..(n1)n>nnが示されました。
 
    何故なら等号は21,31/2,,.n1/nでかつ,

2,3,..n=1の場合ですがこれは不可能です。

(終わり)


   
 他にも問題を解きましたがまだ原稿書きは 

体がきつくいのでここまでです。

「順天堂大学病院」の画像検索結果

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2018年8月 1日 (水)

電気代は一生払わなければならないのか?

電気代は一生払わなければならないのか?イヤ,そんなことはない個人消費なら各家庭で発電すればいいです。 

現在電気代が毎月平均で1万円程度なら100万円の出費は約10年分です。このくらいの初期投資で発電装置を設ければ後はメンテナンスのコストくらいで逆に売るくらいのことも可能です。。 

現在的には「太陽光発電」でしょうか。。,もしもスペースがないなら農閑地などを利用すればいいだろうし送電もごく短くてすみます。

大量に需要が増えれば初期コストも半減するだろうし技術も進むでしょう。 

とりあえず原発は全て廃止。。化石燃料による火力発電も不要で石油,石炭などは発電以外に使えばいいでしょう。

移動手段もソーラーカーと電車など。。クリr-ンエネルギー中心なら災害にも強いし「地球温暖化」も緩和できるかも。。。 

とにかく現在の異常気象など深刻な地球の危機はもはや止まりません。 

覆水の水分子を1個ずつ盆に返すような「マクスウェルの悪魔」に似た努力がなければ,もはや地球は滅びるのみです。

全てが盆に帰る時間逆転の謂わゆる「ポアンカレ周期」は宇宙誕生から今までの宇宙年齢よりはるかに長いです。(不可逆性:熱力学第二法則)「覆水盆に返らず」の画像検索結果

 

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2018年7月31日 (火)

国家権力の正体

安部長期政権のおカゲで,このところのオーム犯人の国家権力による「大量公開処刑」,三権分立とは名だけ司法権力による地域エゴという理由での沖縄をはじめとする国家と地域の裁判における国家の勝利が連続しています

。かつて「成田空港建設」のために国が「地上げ」をやり,,どうしても立ち退かない農民たちかを強制代執行という形で無理やり土地を奪ったり逮捕したりした事件では当時私も尻馬に乗って空港建設反対運動に参加し「三里塚芝山連合空港反対同盟」を支援したのが思い浮かびます。。,

レーニンの「国家と革命」ではないが,まさに国家が人民の生命生活を守るのではなく支配権力として存在する本質を露呈してきています。国家とはだれの利益を代表して守っているのでしょうか。。

ps:病院じゃ書いてる最中にも朝食が運ばれてきて中断。。誤字脱字の編集する意欲消失。。今また編集中に心電図で中断。。

 

私は4回目の手術が10日ころで,うまくいけば6月中に退院できるかも。。という状態です。

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2018年7月24日 (火)

健康第一 東京五輪は秋に延期すべき

御無沙汰です、まだ入院中です。25日に3回目手術予定。。少しブログを書く気力が復活

いや。。それほど危険な真夏は避けて。。まだ2年もあるし昔のように10月にやれば。。

と無責任な発想です。暑さ対策の金も要らないしネ。。。

ところで76歳の兄夫婦のいる倉敷の実家は無事だそうです。

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2018年7月 8日 (日)

訃報! 桂歌丸さん。。

落語家の桂歌丸師匠が去る7月2日に,肺気腫からいわゆるcopdになった末に亡くなられました。享年81歳でした。

朝日新聞デジタル →   落語家の桂歌丸さん死去81歳

「歌丸」の画像検索結果

ご冥福をお祈りします。合掌!!

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2018年6月22日 (金)

素粒子=ソリトン説(1)

※現在,順天堂の形成外科病棟に入院し,5/30 

右足首の腫れた部分を切除して傷の回復を待ってる 

状態です。
 

1回7月初めに傷への植皮手術があって,恐らく 

7月中旬から下旬には退院できそうです。
 

まあ,恐らくは遺稿ということで数年前から考察して 

いた「素粒子=ソリトン説」なるものを少しずつ

アップしようと思います。
 

§1.サイン・ゴルドン方程式とソリトン解 

スピンがゼロで質量がμの自由粒子場φの 

相対論的波動方程式は,Klein-Gordon方程式 

(□+μ2)φ=0 で与えられることが知られて 

います。これは自然単位:h=c=1では 

2φ/∂t2ー∇2φ=-μ2φと書けます。
 

この方程式は量子論のx表示の演算子としては 

=-i,E=H=i/t,より,22=μ2 

というEinsteinのエネルギー等式を意味して

います。
 

しかし,この線形斉次方程式; 

2φ/∂t2-∇2φ=-μ2φを微修正して, 

2φ/∂t2-∇2φ=-μ2sinφとしたもの 

を考察してみます。
 

これは非線形方程式でありSin-Gordon方程式 

と呼ばれています。
 

ここで便宜上,3次元の空間を1次元とみなし, 

φはxとtのみの関数とします。
 

すると,Klein-Gordon方程式は, 

2φ/∂t2-∂2φ/∂x2=-μ2φになります。 


    一方,sin-Gordon方程式は,
 

2φ/∂t2-∂2φ/∂x2=-μ2sinφ 

と簡単化されます。
 

さて,sin-Gordon方程式の方を実際に解いてみます。
 

まず,時間tに依らず,xのみに依存する定常解 

を求めます。
 

これは常微分方程式:2φ/∂x=μ2sinφの解 

です。通常の手法に従って両辺にdφ/dxを掛けると 

(1/2)/dx[(dφ/dx)2]=μ2sinφ(dφ/dx) 

ですから,これを積分して, 

[(dφ/dx)2]02μ2φ0φ2sinφdφ 

2μ2(cosφ0cosφ)を得ます。
 

そこでx=0でdφ/dx=0の解は 

(dφ/dx)22μ2(1cosφ)4μ2sin2(φ/2) 

Or dφ/dx=±2μsin(φ/2)を満たします。
 

よって,x=0でφ=0となる特殊解は 

0φ{1/sin(φ/2)}dφ=±2μxで得られます。
 

ところで,∫du(1/sin)はt=tan(/2)とおくと, 

1/(1+t2)cos2(/2)(1+cos)/2より 

cosu=(1-t2)/(1+t2),sinu=2/(1+t2) 

であり,dt=(1/2)(1+t2)duなので, 

∫du(1/sin)=∫dt/t=log|tan(/2)|+C 

なる公式を得ます。
 

それ故,log|tan(φ/4)|=±μ(x-x0),つまり 

φ()4tan-1[exp{±μ(x-x0)}] なる解 

が得られるわけです。
 

これは,古典的な孤立波を示し,ソリトン解と呼ばれて 

います。
 

この解は時間tに依存しない局所化された波ですが, 

位相速度vで進行する解を求めるには,ξ=x-vt 

として,φ(,)をφ(ξ)と書きます。
 

このとき,2φ/∂t2-∂2φ/∂x2=-μ2sinφ 

,(1-v2)2φ/dξ2=μ2sinφとなりますから, 

E=μ/(1-v2)1/2と置けば,定常解から直ちに 

φ(ξ)4tan-1[exp{±E(ξ-ξ0)}] 

と書けることがわかります。
 

しかし,λ>010-40オーダーのPlanckスケール 

の微小係数として,λ→0の極限で 

2φ/∂t2-∂2φ/∂x2=-μ2φに帰着するような 

非線形モデルを想定するなら, 

2φ/∂t2-∂2φ/∂x2=-m2sin(λφ) 

近似的に∂2φ/∂t2-∂2φ/∂x2 

=-μ2φ(1-λ2φ2/6)になるようなものを考える 

べきでしょう。
 

ただし,このモデルはμ2=m2λを仮定するため,μを 

固定したままλ→0とするとき,m→∞となるので, 

何らかの矛盾が生じてしまいそうです。
 

でも,取りあえず 

2φ/∂t2-∂2φ/∂x2=-m2sin(λφ) 

(μ2=m2λ)の定常d2φ/∂x2=m2sin(λφ) 

解いてみると,=μ/λ1/2であり,(1/2)(dφ/dx)2 

=m2sin(λφ)dφ=(2/λ){1cos(λφ)} 

(22/λ)sin2(λφ/2),

dφ/dx=±(2/λ1/2)sin2(λφ/2) 

定常解は,{1/sin(λφ/2)}dφ=±(2/λ1/2) 

(2μ/λ)xより 

(2/λ)log|tan(λφ/4)|=±(2μ/λ)(x-x0) 

つまり,log|tan(λφ/4)|=±μ(x-x0)
 

そこで. 

φ()(4/λ)tan-1[exp{±μ(x-x0)}] 

と書けます。
 

推論が無矛盾なら,これはλ→0の極限で, 

2φ/∂t2-∇2φ=-μ2φ or定常方程式: 

2φ/dx2=μ2φの特殊解である 

φ()exp{±μ(x-x0)}]に当然,一致する 

はずです。
 

しかし,このφ=(4/λ)tan-1[exp{±μ(x-x0)}] 

の形では極限計算がむずかしいので, 

2φ/∂t2-∂2φ/∂x2=-m2sin(λφ) 

2φ/∂x2(μ2/λ)sin(λφ)を解く途中 

の等式;log|tan(λφ/4)|=μ(x-x0)の時点で 

λ→0とすると,展開;tany=y-y3/3..より 

log|λφ/4|=±μ(x-x0)の近似等式から 

log(λ/4)log|φ|=±μ(x-x0) 

φ()exp{±(μ/λ)(x-x1)}]となって 

0がx1=x0±(1/μ)log(λ/4)にシフトされる 

だけである,という合理的結果を得ます。
 

(※実は(1/μ)log(λ/4)→-∞というのが疑問?)
 

対応して位相速度vで進行する解は,ξ=x-vt 

として,φ(,)=φ(ξ), 

,2φ/∂t2-∂2φ/∂x2=-m2sin(λφ) 

から,(1-v2)2φ/dξ2=m2sin(λφ)となり, 

E=μ/(1-v2)1/2と置けば,上記の定常解から 

φ(ξ)(4/λ)tan-1[exp{±E(ξ-ξ0)}] 

と書けます。
 

しかしながら,これらの解はx,またはξ=x-vtと 

共に単調増加,または減少する実数解を示しており, 

という描像ではないです。
 

そこで今度はxに依存せず,tのみの関数としての 

謂わゆる定点振動解を求めてみます。
 

Klein-Gordon方程式:(□+μ2)φ=0,すなわち 

2φ/∂t2-∂2φ/∂x2=-μ2φは,φがxに依らず, 

∂φ/∂x=0であれば,2φ/dt2=-μ2φとなり, 

これの振動解は複素数表現で規格化の定係数を除いて, 

φ()exp(±iμt)で与えられます。
 

λ→0の極限で,これに帰着するsin-Goedon方程式 

2φ/∂t2-∂2φ/∂x2=-m2sin(λφ), 

(2=μ2/λ),2φ/dt2=-(μ2/λ)sin(λφ) 

であり,これの解は,φ()(4/λ)tan-1{exp{±μt)} 

です。
 

これらは,先に求めた定常解:φ()exp{±μ(x-x0), 

および,φ()(4/λ)tan-1[exp{±μ(x-x0)}] 

において,xをtに,μをiμに置き換えただけです。
 

したがって,位相速度vで等速度運動する波なら 

ξ=x-vtとしてφ(ξ)exp(±iμξ),および, 

φ(ξ)(4/λ)tan-1{exp(±iμξ)}(E=μ/(1-v2)1/2) 

を得ます。
 

ところで,量子論の相対論的波動方程式である 

Klein-Gordon方程式:(□+μ2)φ=0,スピンがゼロ 

の自由粒子場φを記述する方程式であり,運動量が 

粒子が正エネルギー;E=(2+μ2)1/2を持って,速度: 

/Eで等速度運動をするという古典描像に対応する 

無限に拡がった自由平面波の解は,規格化定数を除いて 

φ()exp(ikx),または,μ(0,)(,) 

から,φ(,)exp}i(Et-kx)と表わされること 

が知られています。
 

それ故,λ→0の極限で,これに帰着する 

sin-Goedon方程式: 

2φ/∂t2-∇2φ=-(μ2/λ)sin(λφ) 

の対応する解は, 

φ()(4/λ)tan-1{exp(-ikx)}と修正される 

と考えられます。
 

§2.非線形モデル:φ4 

ここまで述べてきて,sin-Gordon方程式 

2φ/∂t2-∇2φ=-(μ2/λ)sin(λφ)を用いる 

という技巧に頼らなくても,自由Lagrangian 

が次のφ4型の剰余項を持つ単純な非線形モデル: 

(1/2)μφ∂μφ-(1/2)μ2φ2+λ2φ4/4! 

を想定し,これのEuler-Lagrange方程式; 

μ(/μφ)-∂/∂φ=0から得られる 

(□+μ2φ-λ2φ43/3!0,つまり, 

2φ/∂t2-∇2φ=-μ2φ+λ2φ3/3! 

を考察した方がベターかなと思いました。
 

この方程式の右辺は,λ~0で事実上, 

(μ2/λ)sin(λφ)に一致しますが,むしろ,

最初から非線形方程式: 

2φ/∂t2-∇2φ=-μ2φ+λ2φ3/3!の方を 

出発点として考察した方がスッキリすると 

思います。
 

さて,これを解くには,やはり,まず,xを省いた 

2φ/dt2=-μ2φ+λ2φ3/3!を解けばいいです。
 

初期条件の選択は本質的ではないので,t=0 

φ=0,かつ,dφ/dt=0の条件の解を求めると, 

(1/2)(dφ/dt)2=-(1/2)μ2φ2+λ2φ4/4! 

dφ/dt=±iμφ{1(λ2/μ2)φ2/12}1/2 

を満たします。
 

さらに積分して, 

0φdφ[φ-1{1(λ2/μ2)φ2/12}-1/2] 

=±iμtを得ます。
 

ここで,∫dy[-1{(1-a22)-1/2]の計算において, 

積分変数の置換;ay=sin,ady=cosudu 

を行うと,∫dy[-1{(1-a22)-1/2] 

=∫du(1/sin)log||tan(/2)|+C 

なる式を得ます。
 

ay=sinu=tan(/2)sin2(/2)より, 

t=tan(/2)とおけばay=2/(1+t2), 

t=ay±(1-a22)1/2ですから,結局, 

∫dy[-1{(1-a22)-1/2] 

;og||tan{y±(1-a22)1/2}|+Cなる公式 

を得ます。
 

それ故,a=√3λ/(6μ)として 

aφ=sinuとした結果,log||tan(/2)|+C=±iμt 

であり.t=t0でu=π/2,aφ=sinu=1となる 

ものはC=±iμt0で与えられますから, 

log||tan(/2)|=±iμ(t-t0), 

τ=tan(/2)exp{±iμ(t-t0)}とおくと 

aφ=sinu=2τ/(1+τ2)となることから, 

φ=(43μ/λ)exp{±iμ(t-t0)} 

/[1exp{±2iμ(t-t0)}]が得られます。
 

これも,λ→0exp{±iμ(t-t0)}に帰着する 

という期待に反して∞になるという困難を含んで 

います。
 

しかし,0φdφ[φ-1{1(λ2/μ2)φ2/12}-1/2] 

=±iμtで,λ=0ならlogφ-log0=±iμt 

ですからφ=exp(±μt)です。
 

積分定数が∞というのがミソかな?
 

ここでめげずに,左辺の積分の差を考察してみます。 

0φ[{φ-1(1-a2φ2)-1/2}-φ-1]dφ 

=-a-20φ[φ3{(1-a2φ2)1/+φ}]dφです。
 

-a-2[φ3(1-a2φ2)1/2}dφ=-∫sin-4udu 

{cos/(2sin3)}(2sin3u+1) 

=a-3(1-a2φ2)1/2(23φ31)/(2φ3) 

よって,0φ[{φ(1-a2φ2)1/2}-1-φ-1]dφ 

[-3(1-a2φ2)1/2(23φ31)/(2φ3)+a-2/φ]0φ
 

以下,a→0でゼロになるかどうかpending状態の 

ままで一応打ち切り次回に進みます。(つづく)


  ※参考:北里大学PDF
数学と物理学の間

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2018年5月28日 (月)

対称性の自発的破れと南部-Goldostone粒子(20)

※16日から入院中ですが,ネットにアクセスが可能で,この 

項目はこれで終わる予定だったため,予め,病院まで 

持参していた参考ノートから原稿書きをしました。
 

さて,「対称性の自発的破れと南部-Goldostone粒子(19) 

から§6.7 Weinberg-Salam模型の続きです。
 

前回の最後では,小林・益川がクォーク2世代だけでは,模型に 

CPの破れを導入できないことに注目し,Ffが複素数となる 

自由度を得るために第3世代クォークの必要性を指摘した。 

というところで終わりました。
 

一般にクォークがn世代のときはqとq2n個あるため 

n×n複素行列:Ffのn2個の実パラメータ(22からn2個の 

ユニタリ条件:ΣFfFf=δffのn2を引いてn2) 

のうち,(2n-1)(とq2n個から全体の位相1を引く) 

は吸収できて,(22n+1)=(n-1)2個が残ります。
 

一方, n×n行列:Ffが実行列であれば,ユニタリ行列は回転の 

直交行列を意味し,その条件はΣFfFf=δff,これは 

{n+n(n-1)/2}個の独立条件なので,独立パラメータは

(n-1)/2個です。
 

以上から,n×n混合行列行列:Ffはn(n-1)/2の実回転角: 

θi(一般化Cabbibo)(n―1)(n-2)/2個の位相因子:δi 

(小林・益川位相)を含むことがわかります。
 

後者の位相因子:δirxp(iδj)が問題のCPを破る位相因子で, 

果たして,その個数はn=1,2ではゼロでn=33世代で初めて 

1個現われることになります。
 

小林・益川自身はCPの破れの起源として,このn×n混合行列 

の位相以外にも,例えばHiggs2重項を2種以上導入して,その間 

の相互作用項に位相を与える可能性も指摘しています。
 

※アノマリーの相殺

古典論の段階で存在するカレントの保存が量子論(loopグラフ) 

段階で成立しないことがあり,その現象を一般にアノマリー

(anomaly)(量子異常)と呼びます。
 

これは,くり込みなどの項目を論じた後の章で一般論として詳論 

する予定ですが,Weinberg-Salam模型に関わる部分だけを簡単に 

述べます。
 

Fermion場がカイラル(左手型,or 右手型)の場合には 

6.14に示した三角形のloopグラフがカイラルアノマリー 

を引き起こします。
 

ゲージ理論においては,ゲージ場の結合するカレントに,この 

アノマリーが存在すれば,ゲージ対称性,それ故,BRS対称性 

が壊され,S行列のユニタリ性,引いては理論のくり込み可能性 

まで成立しなくなります。
 

Weinberg-Salam模型は,正にカイラルFermionに結合するゲージ 

理論ですから,このアノマリーの危険性を孕んでいますが,実は, 

大変うまい具合にアノマリーへのレプトンの寄与とカラー 

3自由度のクォークの寄与が相殺します。
 

これを以下で説明します。
 

後章で示すように,一般に群Gのゲージ場Aμが表現T

属する左手型Fermion:Lと表現Tに属する右手型Fermin:

とに,int=Aμ(~γμL+R~γμ),結合

しているとき,ゲージ場:μ,ν,ρの3点頂点に対する

6.14のアノマリー,

abc=Tr[{,}]-Tr[{,}] 

=Tr(L-R)[{,}]に比例することがわかります。


 

今のWeinberg-Salam模型の場合,ゲージ場はSU(2)×U(1) 

(μ,μ)であり,AAA,AA,BB,BBBの4つの 

タイプのアノマリーを調べる必要があります。
 

μの結合する行列:は弱アイソスピンで,これは左手型の 

SU(2)-2重項の場合は(τ/2),右手型Fermionではゼロ 

です。また,μが結合するのは,弱超電荷:Yです。
 

そこで,AAAアノマリーはSU(2)×2重項ごとに. 

r[{τi,τ}τ]2δijr(τ)0に比例するので存在 

しません。
 

ABBタイプもTr(τ)0でTrもゼロですから 

r[YYτ]=Y2r(τ)0です。
 

AABアノマリーはTr(L-R)[{,}] 

(1/)r[{τi,τj}](δij/2)r() 

(δij/2)r( (Q-τ/2) (δij/2)r( ()
 

それ故,AABアノマリーは左手型Fermionの電荷の総和に 

比例します。
 

最後のBBBアノマリーは, 

r(L―R)(YYY)=Tr(L―R)[(Q-T)3] 

=Tr(L―R)()(3/4)r(Qττ)に比例します。
 

ところがTr(L―R)()は左手型Fermionと右手型Fermionの差 

,電荷は同じQについて左手型Fermionと右手型Fermion 

必ず,対で存在するので,相殺してゼロです。
 

そこでBBアノマリーもまた左手型Fermionの電荷の総和に 

比例します。
 

ここでレプトンの電荷は各世代ごとに 

(νe)+Q()=Q(νμ)+Q(μ)=Q(ντ)+Q(τ)=-1 

です。
 

一方,カラークォークの電荷は各世代ごとに 

3×{()+Q()}3×{()+Q()}

3×{()+Q()}3×(2/31/3)=+1です。
 

したがって,レプトンとクォークの寄与が相殺して.アノマリーは 

現われないことになります。
 

この相殺のために,クォークとレプトンの対応が常に成立している 

必要があります。発見されていないtクォークはこのためにも存在 

しなければなりません。(※実は,1995年に発見されました。)
 

このクォークとレプトンの対応やアノマリーの相殺は

Weinberg-Salam模型では全く偶然的なことに過ぎませんが,

クォークとレプトンの間により深い関係だあることを示唆

しています。このことがSU(5)SO(10)などのゲージ群

に基づく大統一理論(grand unified theory)への1つの大きな

動機になったのです。
 

※電荷の普遍性
 

Weinberg-Salam模型での電荷の普遍性(charge universality)

の問題に,こで触れておきます。
 

電荷の普遍性とは光子の荷電粒子との質量殻上での合定数が,

厳密に普遍的であるかどうか?いうことです。
 

例えば電子(またはμ粒子)の電荷は陽子の電荷=結合定数と

非常な高精度(逆符号で)一致していることが知られています。
 

この問題はU(1)群に基づくQEDの場合は,ほとんど自明でした。 

(1)群の場合はWT恒等式が非常に簡単で,それから直ちに,

荷電粒子:φiの裸の結合定数:i0(つまり,Lagtrangian

現われる結合定数)観測される質量殻上の結合定数:iとが

比例するという関係が容易に導かれます。
 

先に述べたWT恒等式: 

-<0|[ψi()ψ~j()i()]|0 

=<0|[(i)()()ikψ()ψ~j()~()|0 

+<0|[ψi()igψ()()()j~()|0
 

ここで,(1)ゲージの場合はg=e0,=Qなので, 

[,ψi]=-()ijψ=-qiψi,つまり()ijψ=qiψi
 

そこで,-<0|[ψi()ψ~j()i()]|0 

=-i0i0|[()ψi()ψ~j()~()|0 

i0i0|[ψi()ψ()()~()|0
 

これは,ψi,ψjの同次式ですから,これらは既にくり込まれた 

Heisenberg場としていいです。
 

さらに,BはF.T<0|[()μ()]|0>=kμ/2のみを

ゼロでない連結Green関数として持ち,

μ=Z31/2renμ ⇔ Arenμ=Z1-1/2μ 

より,左辺=(i3-1/2μ/2)i'(p-k)

(iΓrenμi)i'() 

となります。
 

一方,,~QEDでは自由場ですから, 

.T<0|[()~()]|0>=-1/2です。
 

故に,右辺=i0i(-1/2){i'()i'(p-k)}
 

よって, 

3-1/2μΓrenμi=e0i{i'-1()i'-1(p-k)} 

これと,光子の質量殻近傍ではS'-1()-m, 

Γrenμ ~ γμから,i=Z31/20iを得ます。 

(証明終わり)
 

つまり,i=Z31/2i0=Z31/20iです。
 

ここで,3は光子場のくり込み定数で,iは裸の結合定数: 

ei0ei0e0iで与えられる荷電粒子の生成演算子φ 

運ぶ電荷演算子Qの量子数です。 

すなわち,[,φ]=qiφです。
 

3,30は荷電粒子φiと無関係な定数なので 

i=Z31/20iは電荷の普遍性を証明しています。
 

すなわち,質量殻上の結合定数eiは量子数qiに普遍的 

比例定数で比例していること,特に量子数qiの荷電粒子 

は等しい質量殻上の結合定数を持つことを示しています。
 

ところが,Weinberg-Salam模型では,WT恒等式はかなり 

複雑になり,それを直接用いることによって,求めるべき 

比例関係:i(定数)×ei0(定数)×e0iを導く 

のは容易なことではありません。
 

事実,Landauゲージ(α=0)以外では,この方法での証明 

は過去に与えられていないようです。
 

そこで,ここでは"Maxwell方程式"を用いたより強力な 

証明法を紹介します。
 

この方法では,Weinberg-Salam模型のSU(2)×U(1) 

の大局的不変性を尊重する任意の共変的ゲージ: 

GF=-(μ)μ+(1/2)α0の下で 

i(定数)×ei0(定数)×e0iが証明できます。
 

ここで群の添字:aはU(1)に対応する0から, 

SU(2)に対応する1,2,3まで走るものとします。
 

したがって,0μ,Lゲージ場(1/4)(μν-∂νμ)2 

(1/4)(μν-∂νμ)2,μと記したU(1) 

ゲージ場を表わすとします。
 

ここで以前に与えた"Maxwell方程式"により, 

ννμ=gJμ{,μ~}(a=1,2,3) 

ν0νμ=g0μ{,μ~0}です。
 

SU(2)×U(1)対称性はU(1)EMへと自発的に 

破れているので最終的には唯一の電荷演算子, 

つまり電磁的電荷演算子:Qのみが無矛盾となります。
 

量子数の関係式:Q=T3+Y(※これは正確には粒子φiごと 

の量子数間の関係式:qi=τ3+yiであり,場の理論の 

演算子:,3,Yの関係式ではないことに注意,実際, 

自発的対称性の破れのために, 3,やYなどは無矛盾 

な演算子としては存在しないことに注意されたい。)
 

そうして,"Maxwell方程式"のa=3成分と0成分の 

次の線形結合を考えます。 

ννμ=e0(3μ+J0μ){,μ^μ}, 

νμ('3νμ+gF0νμ)/(2+g'2)1/2, 

^μ('μ~3+gDμ~0)/(2+g'2)1/2 

です。
 

ここでe0=gg'/(2+g'2)1/2は先には電磁結合定数: 

eと定義したものと同じですが,に現われる裸の結合定数 

であることを強調するためe0と記しました。
 

この線形結合: 

ννμ=e0(3μ+J0μ){,μ^μ}では 

実際,νμ,場についての線形な部分が, 

丁度,先にZμと同時に与えた電磁場: 

μ(gA3μ+g'0μ)/(2+g'2)1/2 

νA-∂μνに一致しており, (3μ+J0μ)は例えば 

物質場部分の電磁相互作用カレント(leptonμ+jquarkμ) 

に一致しています。
 

すなわち,形式的電荷演算子;∫d3(30+J00) 

正準交換関係を用いて,正しく電磁的電荷量子数:i 

をカウントする[,φ]=qiφを再現します。
 

しかしながら,既に詳述したように(30+J00)には, 

素4重項メンバーβ(a=3,0)のある線形結合βの 

零質量1粒子項:μβの寄与が存在するので,3次元 

積分の収束する無矛盾な電荷演算子Qとしては, 

Q=∫d3[(30+J00)-ω∂kk0] 

∫d3xJEM0としなければなりません。
 

k0はFνμ(,0)成分で,零質量電磁場:Aμを含んで 

いるので∂ννμ,上の零質量素4重項の1粒子状態; 

μβをある重みで含み,係数ωは(30+J00)の含む 

μβを丁度相殺するように選択されます。
 

(※このとき,ννμの含むβが,(30+J00)の含むβ3 

とβ0の線形結合:βと一致していることは,とにかく, 

電磁的量子数qiに対応するU(1)EM対称性が自発的破れ 

を起こさず残っているという仮定:つまり, 

Q=∫d3[(30+J00)-ω∂kk0] ∫d3xJEM0 

の形の(30+J00)を含む電荷が無矛盾なものとして存在 

するという仮定,から従う1つの必要条件です。)
 

ここでQ=∫d3xJEM0で定義されたカレント: 

EMμ(3μ+J0μ)-ω∂ννμを用いればMaxwell 

方程式は次の形になります。
 

すなわち,(1-e0ω)ννμ=e0EMμ|,^μ} 

です。この式を2つの任意の物理的1粒子状態:|i> 

|f>(phys)で挟めば, 

(1-e0ω)<f|ννμ()|i> 

=e0<f|EMμ()|i>を得ます。
 

ただし,|i>,|f>∈phys)より, 

<f||,^μ}|i>=0なることを用いました。
 

(1-e0ω)<f|ννμ()|i> 

=e0J<f|EMμ()|i>の両辺に∫d3exp(ikx) 

を掛けて計算し,μ0の極限を取ることを考えます。
 

NGボソンの低エネルギー定理と同様,μ0の極限で 

残るのはFνμチャネルの零質量1粒子,つまり,光子の 

つくる極部分だけです。
 

Heisenberg:νμ()に含まれる,くり込まれた光子の 

漸近場:asμ()の重みをYとすると,0→±∞で 

νμ()→Y{νasμ()-∂μasν()}.. 

です。ここでは無関係な質量を持つ粒子の漸近場の 

寄与である係数Yは, 

例えば2点関数:0|[νμ()ρσ()]|0>の 

20の留数から読み取れます。
 

νμ()→Y{νasμ()-∂μasν()}. 

,∫d4exp(ikx)0|[νμ()asρ()]|0 

=-Y(νμρ-kμνρ)/2を意味していること 

に注意すれば, 

limk→0∫d4x<f|ννμ()|i>(1-e0ω) 

=Y(1-e0ω)limf→pi(2π)4δ4(f-pi)fi(i+pf)ρ 

なることがわかります。ただし,くり込まれた光子とi, 

3点頂点:Γ(3)μfiが質量殻k20の近傍では, 

ifi(i+pf)μの形を取ることを用いました。

このefi,|i>,|f>が不変規格化された状態のとき, 

質量殻上光子の物理的結合定数です。
 

一方,右辺はμ=0成分を考えると,無矛盾な電荷演算子 

Qが,Q=∫d3[(30+J00)-ω∂kk0] ∫d3xJEM0 

で与えられること,および,Qが電荷量子数qをカウント 

することを用いて次式を導きます。
 

limk→0∫d4exp(i00)exp(ikx)0<f|EM0()|i> 

=∫dx00<f||i> 

=e0iδfilimf→pi (2π)4δ4(f-pi)2i0です。
 

ただし,i|i>の電荷量子数であり,不変規格化条件: 

<f|i>=(2π)32i0δ3(fi) 

(※ただし,∫dx02πδ(f0-pi0))を用いました。
 

limk→0∫d4exp(i00)exp(ikx)0<f|EM0()|i> 

=∫dx00<f||i> 

=e0iδfilimf→pi (2π)4δ4(f-pi)2pi0 

のμ=0成分と比較して,fi{(1-0ω)}-1δfi0i 

を得ます。
 

この式は質量殻上の光子の結合定数efiが荷電粒子の種類 

に関して対角的であると同時にY,ωやe0が明らかにiやf 

に依存しない定数なので,これは, 

求める電荷の普遍性:i(定数)×ei0(定数)×e0i 

証明しています。
 

この証明法のいいところは物理的粒子:|i>,|f>が上でQ 

が消えることを用いたステップです。
 

<f||,^μ}|i>=0は複雑なWT恒等式に埋もれた 

必要な情報を非常に簡潔に取り出していることに相当します。
 

また,QEDの場合でも,もちろん上の証明が成立しています。
 

その場合は,単にSU(2)部分を消去し,(1)部分を残せば 

いいです。(※つまり,g=0,=1,2,3μ0,かつ, 

→e0,0μ→jμ=ψ~γμψとすればいいです。)
 

そうすれば, 

ννμ=e0(3μ+J0μ){,μ^μ},通常の 

QEDMaxwell方程式:ννμ=e0μ+∂μ, 

(νμ=∂νμ-∂μμ,B={,~})となり,この場合, 

上で問題にした零質量粒子βはNL場:Bです。
 

容易にわかるように∂ννμはBをZ3μ,だけ含むため,

 

0μはBを(31)μBだけ含み,したがってからωを 

求めることができます。 

すなわち,QEDの場合,(1-e0ω)31,0ω=1-Z3-1 

です。このQEDの場合には,次の漸近式: 

νμ()→Y{νasμ()-∂μasν()}.. 

において,Y=Z31/2なので, 

fi{(1-0ω)}-1δfi0iはefi=qiδfi31/20 

となるわけです。
 

最後に,上の証明は荷電粒子:|i>,|f>がLagrangian 

に現われる素な場である,ということを全く仮定してない点に

注意します。
 

それ故,|i>や|f>は,クォーク3体結合状態である陽子 

でもよく,その光子結合定数e陽子|電子|と一致すること 

を証明しています。第6章の「対称性の自発的破れ」の項目 

はこれで終わりです。
 

そこで,今回はここまでです。
 

(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論() 

(培風館) 

 

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2018年5月26日 (土)

訃報です。。

※入院中につき,まとレスです。

私は5/30日に右足の指2本切断手術予定で医者に入院2カ月コースと言われました。自宅ではドコモ光で自宅室内のWiFiしか使えないので,入院中のブログは休みにしようと思っていたのですが病室のWiFiが使えたので,とりあえずアクセスしました。

5/16日私が入院したと同時に大物芸能人3人の相次ぐ訃報が入りました。

 西城秀樹さん。星由里子さん。朝丘雪路さんです。

ず,5/16日に西城秀樹さんが急性心不全で亡くなられました。

享年63歳。まだ若いです。

  「西城秀樹」の画像検索結果

いわずと知れた新御三家、、野口五郎,西城秀樹,郷ひろみの一員で1955年生まれ,,1970年代の歌謡曲ブームに新スタイルを導入し,特に「YMCA」は大ヒットでした。

役者としても小林亜星の「寺内寛太郎一家」で樹稀樹林や浅田美代子らと共演、。大立ち回りは毎回楽しみでした。カレーのコマーシャルといい私より5歳若くちょうど東京に就職したころ全盛期で私も応援してました。

 脳梗塞を2003年,2011年の2度発症しても頑張ってる姿はカッコよかったです。結局,血栓性の病気らしく,若いのに脳梗塞に心筋梗塞や不整脈系の心臓病を併発したのは不運でした。

ご冥福をお祈りします。合掌!!

次に若大将=加山雄三の永遠のマドンナ。。女優の星由里子さんが16日に心房細動および肺がんが原因で天に召されました。享年74歳でした、

ニュース → 女優の星由里子さん肺がんで死去 74歳「星由里子」の画像検索結果

長年,私の住んでいた巣鴨1番街でスナック「若大将」を開いていた私より4歳年下の友人がいます。長崎出身の彼は若い時から加山雄三ファンで若大将シリーズが大好きだったので「若大将」をやっていたのでした。残念ながら店は立ち退きで数年前なくなりましたが友人として付き合っています。

昨日お見舞いに来ましたが星由里子さんんの訃報を嘆いていました。

加山雄三,星由里子,田中邦衛の映画、、私の趣味とは少し違いますがファンではありました。

ご冥福をお祈りします。合掌!!

そして昭和の大女優:朝丘雪路さんがアルツハイマー性認知症が原因で4月27日に亡くなられていたことがわかりました。

享年82歳でした。

NHKニュース → 朝丘雪路さん死去

「朝丘 雪路」の画像検索結果

この方も今さらどうこう言わなくてもだれにも愛され,多士済々の宝塚出身のお嬢様女優でした。

 そして,テレビ創世期の11PM(イレブンピーエム)で大橋巨泉の相手役で天然キャラの元祖でした。5歳年下の津川雅彦と結婚45年でした。

 

長門裕之と南田洋子といい,この兄弟は大女優を女房にしてやがて妻が認知症になって先に亡くなることまで共通です。基本的に2人とも奥様の介護ができる優しい旦那様であったのは幸運でした。

「長門 南田」の画像検索結果

ご冥福をお祈りします。合掌!!

そして芸能人でjはないですが毎日新聞編集委員の岸井成格(しげただ)さんが15日未明肺線がんのため亡くなられたそうです。享年73歳でした。。

 

ニュース→ 岸井成格さん死去

「岸井さん」」の画像検索結果

TBS日曜番組の「サンデーモーニング」のコメンテーtクァーとして知ってるだけですがとても共感できる人でした。

 

ご冥福をお祈りします。合掌!!

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