サルにもわかる相対性理論④

　２．もしスピードに限界があったら

　前節では有限のスピードあるいは無限大のスピードで走っているもののスピードを,止まっている人と走っている人がはかったらそれぞれどうなるか？というお話をしました。

　でも無限大のスピードって不自然だとは思いませんか？

　アメリカの西海岸と日本のたとえば東京を結ぶ,非常に硬いがとても軽くて動きやすい棒があったとして,アメリカの西海岸で棒の端を押すと,まったく同時に東京にあるほうの棒の端も押されて動く。

　こんなことが可能なら,これはとても便利な通信方法になりますね。なんせ通信スピードが無限大なんですからね。

　現実には現在もっとも速い通信方法は無線電波をとばして行なうもので,その最大スピードは約秒速30万kmであることが知られています。

　光も電波と同じスピードなので,結局光は電波の一種ではないかという推測がなされ,現在ではその通りであるということがわかっています。

　では,ものが伝わったり運動するスピードには限界があるのでしょうか？

　まあ,いままでの話や常識を考慮するかぎり限界スピードがあるとするほうが自然ですね。

　では,限界スピードがあってそのスピードは秒速30万kmであるとしましょう。これは光のスピードですね。

　もちろん,限界スピードというのは実際に観測者が測ったときの最大値であるという意味ですから,あるスタートラインから同時に反対向きに光が進んだとき１秒後には60万ｋｍはなれている。

　２つの光の先頭が１秒間に60万ｋｍはなれるから,これは秒速60万kmじゃないか,限界を超えているよ。というようなものを否定するわけではありません。

　でもこれは何かが伝わったり,運動したりするスピードですか？

　そうじゃなくて,いわゆる「絵に描いたもち」のようなもので,実際に世の中に存在するものの,伝達スピードや,走るスピードではないですね。

　これこそ算数の上でのスピードでしかありませんから,わたしたちの物理で考える限界スピードが秒速30万kmであるというのとは無関係ですね。。

　そういう頭の中でやる算数のような話とははなれて,実際にものが走るスピードが限界速度に等しいとしたら,どうなるかという話にもどりましょう。

　まず,限界速度というのは先に述べた無限大のスピードとまったく同じ性質を持つものでなければならない,ということがいえます。

　なぜなら,Ｃ君が限界スピード秒速30万kmで走っていて秒速10万kmで走っているB君とすれちがったら,常識ではB君の測るC君のスピードは秒速40万kmになるはずですが,

　これはすでに限界速度である秒速30万kmを超えるスピードになっていますから,秒速30万ｋｍが限界であるということに矛盾しています。

　だから,ここは,常識の方を忘れて,この場合でもB君のはかるC君のスピードは限界の秒速30万kmのままであるとします。

　つまり限界スピードにどんなスピードを足しても限界スピードのままである,という無限大スピードの性質が成り立つと考えるのです。

　さらに拡大解釈して,スピードの引き算についても限界スピードには無限大スピードの性質が成り立つということも仮定することにしましょう。

　でも,これはどういうことでしょうか？

　止まっていたＡ君の時計が1秒きざむうちに,Ｃ君は確かにスタートラインより後ろに30万kmのところに到達しており,同時にB君はスタートラインより前に10万kmのところに到達しているので,A君にとって1秒後に２人は40万kmはなれています。

　なんで,秒速40万kmではなく秒速30万ｋｍなんでしょう？

　ということは,「B君にとっては,２人の距離が40万kmより小さい」のか？,あるいは「B君の時計はＡ君の時計が1秒きざむあいだに,もっと速く進んで１秒より大きかった」のか？　

　実は,どちらでもないということがわかります。

　というのは,Ｂ君は同じようにスタートラインから秒速10万kmで進むとして,C君の方が,こんどはＢ君と同じ向きに限界スピード秒速30万kmで走る場合を考えてみればおかしなことに気がつくからです。

　この場合もＢ君の測るＣ君のスピードは秒速20万ｋｍではなくて,限界速度の足し算,引き算の法則によって限界スピードは変わらない,つまり秒速30万ｋｍでなければなりません。

　限界スピードはだれが測っても同じで,それは走る向きによって変わるようなものであってはいけませんからね。

　おかしいですね。

　Ｂ君の時計が１秒きざむ間にＣ君は確かにＢ君よりちょうど20万km前にいるはずですからね。

　なんで秒速20万kmでなく秒速30万kmなんでしょう？

　それじゃ,こんどはB君にとっては２人の距離が20万kmより大きい」のか？ それとも「A君の時計が１秒きざむうちに,B君の時計はもっと遅れて１秒より小さかった」のか？のどちらかでしょうか？

　ちょっとまてよ,C君がどちら向きに走ったとしても,B君は関係なく同じ向きに同じスピードで走っているのですから,Ａ君の時計が１秒きざむうちに一方では進んで一方では遅れるって,そんなことは絶対にありえませんね。

　では,Ｂ君がC君のスピードを測るというのは実際にはどうするのでしょうか？

　その前に,A君がC君のスピードを測るといっても,実はＡ君は止まっているんだから,１秒後に30万kmはなれたところでストップウォッチを押すのはＡ君じゃなく,Ａ君と同じように止まっているＡ君から30万kmはなれた誰か別のD君が彼の時計でやるんですよね。

　そして,Ｄ君の時計があらかじめA君と同じに合わされてるなら確かにC君のスピードを正確に測ることができるでしょう。

　Ｂ君が測る場合も,時計と距離を同時に見るのはB君ではないですね。

　B君は実は,B君の両側に50万km,長さ100万ｋｍの電車に乗っていて,その電車はＢ君を乗せて秒速10万ｋｍで走っていると考えます。

　この電車の中ではB君はその中央で止まっています。

　でも,A君からはB君が秒速10万kmで走っていると見えます。そしてこの電車にはもちろん窓があって外でC君が走っているのも見えます。

　そして,電車のかべにはB君のいる電車中央からの距離がいたるところ目盛りで書いてあり,また,あらかじめＢ君の時計に合わせた時計を持った人がかべの目盛りごとに張りついて,ずらりと並んで電車に乗っています。

　Ａ君,Ｂ君,Ｃ君がスタートラインに並んだ瞬間を時刻 0 秒とします。

　このときは,Ａ君とB君の時計はともに 0 秒で確かに同時です。

　そしてＡ君の時計が１秒を指した瞬間には,C君と並んだD君(Ａ君から30万kmはなれていて時計は１秒を指している)と,同時に目盛かべに並んでいる電車内のＥ君がC君とも並んでいて距離と時計を同時に見るのです。

　これがB君にとってのＣ君のスピードを正確に測る方法ですね。

　では結果はどうなんでしょうか？

　まず,A君とＤ君にとってはC君は1秒後にＡ君から30万kmのD君のところにいてその速さは秒速30万kmです。

　しかし,B君とＥ君にとっては,結論からいうとつぎのようになります。

　おおよそですが,スタートラインでＢ君とC君が逆向きにすれちがう場合には,B君と同期したＥ君の時計は１秒ではなく1.4秒,電車内の距離は40万ｋｍではなく42万ｋｍを示しています。

　だからB君の測るＣ君のスピードはやはり秒速30万ｋｍなのです。

　また,Ｂ君と同じ向きにＣ君が走ってＢ君(Ｂ君の電車)が追いかける形のときには,Ｅ君の時計は0.7秒を指していて距離は20万ｋｍではなく21万ｋｍを示しており,

　やはりＣ君のスピードは秒速30万ｋｍです。　不思議ですね。

　どういう計算をしたのでしょうか？

　この計算は,実はどんな運動をしていても限界スピードは秒速30万kmが変わらないということをもとにしたら,どうしても測る人によって距離も時間も変わってしまうという「公式＝ローレンツ変換」が出てくるので,

　それにしたがって計算しました。

　この「公式」をみなさんにやさしく説明するのは私の力ではむずかしく,残念ながらいまのところは結果がそうなるということしか述べることができません。

　では,この「公式」にしたがってＢ君の時計はＡ君の１秒後に,何秒を指しているかを計算してみると,0.94秒と遅れていることもわかります。

　いままでのことから,止まっているＡ君とＤ君にとっての１秒後の同時がＢ君の乗っている電車では同時でないことがわかります。

　Ａ君の両側30万ｋｍでの１秒後の同時が実は1.4秒後と0.7秒後という別の時刻に変わってしまいました。B君の時刻も0.94秒と遅れています。

　このことを「同時刻の相対性」といいます。

　時刻というのは場所によってちがうので場所を決めてやらないと時計の進み方も違うということです。

　でも,もちろん,Ａ君とＤ君や,Ｂ君とＥ君のように,同じ電車に乗っている人については１秒は１秒であり,誰にとっても同じです。

　さっきの例で,B君の時計が0.94秒,Ｂ君の時計が1.4秒や0.7秒でちがっていたのはその時刻がB君の乗っている電車の上での同時ではなく,A君の乗っている電車(地球)の上での同時(1秒後)だったからです。

　Ｂ君の電車の中での42万ｋｍがＡ君からみると40万ｋｍにちぢみ,21万ｋｍが20万kｍにちぢんでいることを「運動物体のローレンツ収縮」といいます。

　つまり運動している物体を静止している人がみると実際の長さよりもちぢんでいるのです。

　また,A君の時計が１秒きざむあいだにB君の時計は0.94秒しか進んでいません。これを「運動物体の時間の遅れ」といいます。

　運動している物体では静止しているときよりも時間の進み方が遅いのです。

　でも,これらはB君にはわかりません。

　なぜなら,B君の電車の中の目盛り,ものさしもA君から見て同じようにちぢみ,電車の中の時計も同じように進み方が遅れて自分では気がつかないからですね。

(「サルにもわかる相対性理論⑤」につづく)

※(追記):ここでの記事は,"サル”でもわかる範囲の話が対象で,むずかしい公式などは抜きで,定性的な話題に終始して少しでも興味を持ってもらえたらという入門紹介文を目指したわけです。

　興味がお有りなら,少しだけ先走った記事として,後の2006年10/19の記事「同時刻の相対性」からの抜粋を紹介しておきます。

(※)一定速度で走っている電車のある列車の中央に爆弾があって,爆弾の両側にはある特定波長の光を感知するセンサーがあるとします。

リモコンでテレビのスイッチを入れるような要領で列車の両側から爆弾の方へと特定波長のレーザー光を同時に発射します。

列車中央にある爆弾の両側のセンサーが同時に光が到達したと感知したときに限って爆弾が爆発する,という仮想実験を考えます。

　列車の中で列車の両端から同時に光線を発すれば爆弾は中央にあるのですから,それは確かに爆発します。

これを外の例えばプラットホームに静止している観測者が通過する電車の中の実験として観測したとしても,爆弾が爆発するという同じ事象が観測者によって異なることは有り得ないので,やはり爆弾は爆発すると観測するはずです。

　しかし,静止観測者にとっては光線が到達するまでの間に中央の爆弾も列車と共に前に移動してるのですから,もしも両端からの光の発射時刻が本当に同時なら,前の方からの光が先に届き後ろの方からの光は後から届くことになるので爆弾は爆発しないことになります。

これは何か変ですね。

　理論の帰結としてこういうことが生じるのであれば,これは"パラドックス＝矛盾"であり,理論自体がおかしいという結論になります。

ところが,実は静止観測者からみれば列車両端からのレーザー光の発射は同時でなく,前からのレーザー光発射の方が後ろからの発射よりも後であるというのが正解です。

光はやはり同時に爆弾に届くので矛盾はないことになります。

　これを計算で確かめるため,走っている列車の長さをＬ,列車の速さをｖとし列車の進行方向を静止系Ｓのｘ軸,かつ列車と共にｖで走る慣性系Ｓ'のｘ'軸の共通の正の向きとします。

　　

そして,列車中央の爆弾はＳ'系の原点ｘ'＝0 にあるとします。

また,γ≡1/(1－ｖ²/ｃ²)^1/2と定義しておきます。

　列車内では両側からの光が中央の爆弾に届いて,それが爆発するのは両側から光を発射した同時刻からＬ/(2ｃ)だけ経過した時刻であり,確かに同時刻です。

　しかし,列車内の時刻をｔ',静止観測者の同じ時刻をｔとすると列車内の座標ｘ'ではLorentz変換によってｔ＝γ(ｔ'＋ｘ'ｖ/ｃ²)となります。

そこで,列車内での光の同時発射時刻をt'とすると静止観測者の系での光の発射時刻は前端ではｔ₁＝γ[ｔ'＋Ｌｖ/(2ｃ²)],後端ではｔ₂＝γ[ｔ'－Ｌｖ/(2ｃ²)]となります。

したがって,前端での発射時刻ｔ₁が後端での発射時刻ｔ₂より後になっています。ｔ₁－ｔ₂＝γＬｖ/ｃ²＞0 ですね。

つまり,この列車内での同時刻が静止観測者にとっては同時刻ではないのですね。こうしたことを"同時刻の相対性"といいます。

そして,外の静止観測者にとって光が爆弾まで走る時間をΔｔとすると,その間に爆弾はｖΔｔだけ前に移動しています。

爆弾がｖΔｔだけ移動する前の元の中央の位置に静止していたとして,両側からの光がそこに到達するのに要する時間をΔｔ₀とします。

光の走る距離は,前からの距離が中心よりｖΔｔだけ短く,後ろからの距離がｖΔｔだけ長いので,両側からの光が爆弾まで届く時刻が同時刻になるためにはｔ₁＋Δｔ₀－ｖΔｔ/ｃ＝ｔ₂＋Δｔ₀＋ｖΔｔ/ｃが必要です。

左辺から右辺を引き算してΔｔ₀を消去すると,ｃ(ｔ₁－ｔ₂)＝ 2ｖΔｔとなります。

前に計算したｔ₁,ｔ₂から,ｃ(ｔ₁－ｔ₂)＝γＬｖ/ｃですから

Δｔ＝γＬ/(2ｃ)ですね。

一方列車内では,光が爆弾まで走る時間はΔｔ'＝Ｌ/(2ｃ)ですから,

Δｔ'＝Δｔ/γ＝Δｔ(1－ｖ²/ｃ²)^1/2です。

"外部静止系の経過時間Δｔよりもｖで走る列車内の経過時間Δｔ'の方が遅い"ということで有名な"相対論における時間の遅れ"が存在することを意味しています。

列車の長さについては,静止系でみるとLorentz収縮してＬ/γ＝Ｌ(1－ｖ²/ｃ²)^1/2であるはずなのに,この計算では逆にγＬとなって伸びているように見えて変だと感じるかもしれません。

しかし,そもそもLorentz収縮するのは,両端を静止系の同時刻で見たときの運動系の長さです。

今の場合は,列車の方のＳ'系の時刻が同時刻ｔ'であり列車からみると静止系の方が(－ｖ)で運動しているのですから,

列車のＳ系での長さはγＬなのに,それをＳ'系から見るとγＬ/γ＝ＬにLorentz収縮していると見るのが正しいのです。

　もしも,静止系で列車の両端をその同時刻ｔで見ると,Lorentz変換は座標(ｘ,ｔ)と(ｘ',ｔ')の間で,

　ｘ＝γ(ｘ'＋ｖｔ'),ｔ＝γ(ｔ'＋x'ｖ/ｃ²)　で与えられます。

　前端の座標はｘ₁＝γ(Ｌ/2＋ｖｔ₁'),後端の座標はｘ₂＝γ(－Ｌ/2＋ｖｔ₂')であり,

　また,同時刻ｔはｔ＝γ[ｔ₁'＋Ｌｖ/(2ｃ²)]＝γ[ｔ₂'－Ｌｖ/(2ｃ²)]という変換性を持ちます。

　したがって,静止系で見た列車の長さは,

　ｘ₁－ｘ₂＝γＬ＋γｖ(ｔ₁'－ｔ₂')＝γＬ－γＬｖ²/ｃ²

＝γＬ(1－ｖ²/ｃ²)＝γＬ/γ²＝Ｌ/γ＝Ｌ(1ーｖ²/ｃ²)^1/2

となって,確かにLorentz収縮した長さ:Ｌ/γ＝Ｌ(1ーｖ²/ｃ²)^1/2が実現していることがわかります。(※)

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