基礎物理学講義④（力と運動２）

②重力と万有引力

（ⅰ)運動方程式　

　加速度を質量と力で表わした式を運動方程式という。つまり,ｍａ＝Ｆである。

(ⅱ)万有引力の法則　

　あらゆる物体間には,その互いの質量の積に比例し,その間の距離の２乗に反比例する引力が働く。

　これをニュートンの発見した万有引力の法則という。

　接触していない２つの物体の間に力が働くというのは驚くべきことである。

　電気力や磁気力なども万有引力よりはるかに大きい力としてこうした遠隔作用をおよぼす。

　これらの力の原因は,現時点では,もう少し常識的に理解しやすい近接作用と解釈されている。

　万有引力の法則を式であらわすと,Ｆ＝ＧＭｍ/ｒ²である。

　ただし,ｍ,Ｍは２つの物体の質量(ｋｇ),ｒはその距離(ｍ),Ｇはその比例定数で万有引力定数と呼ばれる。

　Ｇは,およそ6.673×10^-11Ｎｍ²/ｋｇ²である。

(ⅲ)重力とは？

　地球の半径をＲ(ｍ)とする。

　地上付近の物体は,まるで地球の全質量がその中心の一点に集まったかのような引力を中心に向かって受ける。

　この地上付近の物体が受ける万有引力を重力という。地上の場合,この力は地球の中心に向かっている。

　力の大きさは,Ｆ＝ＧＭｍ/Ｒ²だから運動方程式は,ｍａ＝ＧＭｍ/Ｒ²でありＧＭ/Ｒ²をｇとおくと,落下の加速度ａが,ａ＝ｇとなるので,この加速度 ｇ(ｍ/ｓ²)を重力の加速度という。

　地球が平らに思えるほど地球半径Ｒに比べて低い高さの地上付近では,重力落下の加速度ｇはほとんど一定と近似してよく,だいたい9,8ｍ/ｓ²である。

③ばねの力

　ばねを引っ張って伸ばすと,その力に比例してばねが伸びる。

　一方が固定されたばねを押すと,その力に比例してばねがちぢむ。

　このとき,ばねが手を引いたり押したりする力をＦとすると,それは手がばねに加える力と向きが反対である。つまり手の作用に対する反作用である。

　そこで,ばねの伸びる向きを伸びｘの正の向きにとると,ばねが手におよぼす力Ｆの向きはｘとは逆向きである。

　それ故,比例定数をｋとして Ｆ＝－ｋｘと書ける。これをフック(Hook)の法則という。

　ｋをばね定数,または,ばねの力が弾性力であることから弾性定数という。

④運動方程式の解としての直線運動

（ⅰ）運動方程式とは？

　既に述べたように質量がｍの質点の運動方程式はａ＝Ｆ／ｍ　または,ｍａ＝Ｆである。

　あるいは微小時間Δｔの間の速度の微小変化をΔｖとするとΔｖ/Δｔ＝Ｆ/ｍ,これが運動方程式である。

(ⅱ）地球重力と落体の運動

　ア)自由落下運動

　ｍａ＝ｍｇより,ａ＝ｇである。

　ｔ＝0で,初速度ｖが ｖ＝ｖ₀＝0で,初期の鉛直下向きの位置座標がｚ＝0 であったとすると,時刻 ｔ では,ｖ＝ｇｔ ,ｚ＝(1/2)ｇｔ² ,ｖ²＝2ｇｚ となる。イ)真上への投げ上げ運動　ｍａ＝－ｍｇ　ｔ＝0 ,で地面ｚ＝0から初速ｖ＝ｖ₀で真上に投げ上げたときの運動　ｖ＝ｖ₀－ｇｔ,ｚ＝ｖ₀ｔ－(1/2)ｇｔ²である。

(ⅲ）摩擦(まさつ)と運動

　ア）静止摩擦力　

　物体が水平な机上に静かにおかれているとき,物体は静止しつづける。

　物体には重力と"机からの反作用＝垂直抗力"Ｎが働いてつりあっている。

　これに水平な(横向きの)力 ｆ を加えてみる。

　それでも物体が動かない場合これには机から物体に逆向きの水平な打ち消す力：Ｆ＝－ ｆ が働いているにちがいない。この力Ｆを静止摩擦力という。

　 ｆ を次第に大きくしていっても摩擦力Ｆの大きさは決して ｆ より大きくなることはなくいつも ｆ と同じ大きさである。これが摩擦力の特徴である。

　しかし ｆ がある値を越えると急に物体は動き出す。このときの ｆ の大きさをＦ₀と書く。この摩擦力を最大静止摩擦力という。

　Ｆ₀は机に押しつける力の大きさ,つまり,"机から受ける力＝垂直抗力"Ｎに比例する。これの比例定数をμと書き静止摩擦係数という。

　これには単位はない。比の値だからである。そして,Ｆ₀＝μＮである。

イ) 動摩擦力(運動摩擦力)

　運動しているときにも,物体にはほぼ一定の摩擦力Ｆ’が働く。これを動摩擦力という。

　Ｆ’も垂直抗力Ｎに比例し,その比例定数μ’は動摩擦係数とよばれる。Ｆ’＝μ’Ｎである。

　常にμ’＜μである。逆ならおかしな矛盾がおきます。考えてみてください。

⑤運動量

(ⅰ）力積と運動量

　ニュートン（Newton）の運動の第２法則:ｍａ＝Ｆを書き下すと,Δｔ のあいだに力Ｆが働いて速度が ｖ₁からｖ₂になった場合は,ｍ(ｖ₂－ｖ₁)/Δｔ＝Ｆ と近似的に書き表わせる。つまり,ｍｖ₂－ｍｖ₁＝ＦΔｔ である。

　質量と速度ベクトルの積 ｍｖ をその物質の持つ運動量という。

　運動量は観測者によって,いろいろと異なる量である。

　たとえば旅客機の中で歩いている人の運動量は旅客機の中の人が観測すると小さいが,地上の人が観測すると非常に大きい。これは後に説明するエネルギーについても同じである。

　ある時刻からある時刻までの間の力Ｆは,その間に時刻ごとに変わる。

　時刻を ｔ として力はＦ( ｔ )という関数として書いてよい。

　このとき,力積とはその時間の力と時刻の積和である。すなわち,力積＝ΣＦ( ｔ )Δｔ,つまり,厳密には積分∫Ｆ( ｔ )ｄ ｔ のことを力積というのである。

　先の運動の第２法則を書きなおすと,ｍ₂ｖ₂－ｍ₁ｖ₁＝ΣＦΔｔとなる。ここでは,質量も時刻と共にｍ₁からｍ₂に変化すると想定している。(これが正しい第２法則である。)

　そして,(運動量の増加分)＝(その間に受けた力積)である。特に力Ｆが時刻 ｔ₁から ｔ₂の間一定ならば,(受けた力積)＝Ｆ(ｔ₂－ｔ₁)となる。

（ⅱ）運動量保存の法則

　ニュートンの運動の第３法則(作用・反作用の法則)によると,衝突した２つの物体は衝突しているごく短い時間ではあるが,互いに働く力は大きさ等しく向きが反対である。

　２つの物体１と２が衝突するとする。その質量を,それぞれｍ₁,ｍ₂とし,衝突前の速度を ｖ₁,ｖ₂, 衝突後の速度をｖ₁’,ｖ₂’とする。

　衝突時間をΔｔ とし,その間に１が２におよぼす力をＦ₁₂,２が１におよぼす力をＦ₂₁とする。作用反作用の法則によって,Ｆ₂₁＝－Ｆ₁₂である。

　一方,１,２のそれぞれについてｍ₁ｖ₁’－ｍ₁ｖ₁＝Ｆ₂₁Δｔ , ｍ₂ｖ₂’－ｍ₂ｖ₂＝Ｆ₁₂Δｔ である。Ｆ₂₁Δｔ＋Ｆ₁₂Δｔ＝0 なので両方の式を加えるとｍ₁ｖ₁’－ｍ₁ｖ₁＋ｍ₂ｖ₂’－ｍ₂ｖ₂＝0 となる。

　移項すると,結局,ｍ₁ｖ₁＋ｍ₂ｖ₂＝ｍ₁ｖ₁’＋ｍ₂ｖ₂’が得られる。

　これが運動量保存の法則である。

⑥力学的エネルギーとその保存法則

(ⅰ）仕事　

　物体に一定の力Ｆを加えて,そのＦのかかる向きに距離ｘだけ移動させたとき,この力は物体にＷ＝Ｆｘ だけの仕事(力学的仕事)をしたという。

　１Ｎの力で１ｍ移動したとき１Ｊ(１ジュール)の仕事をしたという。つまりＪ＝Ｎｍである。

　Ｆの力を加えても移動方向ｘがＦの向きとθだけの角度をなすときは,仕事はＷ＝Ｆｘcosθとなる。摩擦力は必ず負の仕事をする。それはなぜか？

（ⅱ）仕事率　単位時間(1秒間)にする仕事の割合を仕事率という。

（ⅲ）運動エネルギー　

　止まっていた物体が速度ｖになったとき,摩擦などの抵抗がないなら,それまでにされた総仕事量を物体が今持っている運動エネルギーであるという。

　つまり,加速度が ａ になるように Ｆ＝ｍａ の力を受けながら距離 ｘ を運動しその間に速度が 0 から ｖ まで変化したとすると,ｖ²－0＝2ａｘ であるから,(1/2)ｍｖ²＝ｍａｘ＝Ｆｘ である。

　よって速度 ｖ ,質量ｍの物体の持つ運動エネルギーは(1/2)ｍｖ² である。

　定義から, (運動エネルギーの増加分)＝(加えられた仕事量)が成り立つ。

つまり,座標ｘ₁からｘ₂まで移動する間に力 Ｆ＝ｍａ を受けて速度が ｖ₁から ｖ₂ に変化したとすると ｖ₂²－ｖ₁²＝2ａ (ｘ₂－ｘ₁)であるから (1/2) ｍｖ₂²－(1/2) ｍｖ₁²＝Ｆ(ｘ₂－ｘ₁)が成立する。

（ⅳ）位置エネルギーと力学的エネルギーの保存法則

　ある物体を,ある特定の固定した位置 ｘ_０からある位置 ｘ まで(速度ゼロのままでゆっくりと)持ってこようとしたとき,そのために必要な仕事をその物体の ｘ における位置エネルギーという。

　この物体を速度ゼロで ｘ₀から ｘ までもってくるとき加えるべき力を(－Ｆ)とすると,その位置エネルギーはＦが一定なら,(－Ｆ) (ｘ－ｘ₀) である。

　なぜ,Ｆでなく(－Ｆ)かというと,Ｆはほっておいても自然に物体にかかる力で,(－Ｆ)は,それの速度ゼロにしておこうとする力だからである。

　位置エネルギーは,Ｕ(ｘ)＝(－Ｆ)(ｘ－ｘ₀)と表されるから,(1/2)ｍｖ₂²－(1/2)ｍｖ₁²＝Ｕ(ｘ₁)－Ｕ(ｘ₂),つまり,(1/2)ｍｖ₁²＋Ｕ(ｘ₁)＝(1/2)ｍｖ₂²＋Ｕ(ｘ₂)である。

　言い換えると,(運動エネルギー)＋(位置エネルギー)＝(常に一定)となる。

（ⅴ）力学的エネルギーが保存しない場合

　基準点,ＯからＰまで物体を自然に働く力に抵抗してゆっくりと運んだときに,ＯＱＰという道筋とＯＱ’Ｐという異なる道筋で必要な仕事が異なる場合には点Ｐの位置エネルギーがＰの位置だけで決まらず道筋で変わることになるので,位置エネルギーというものが存在できない。

　このような場合には,もちろん力学的エネルギーは保存しない。

　つまり,ＯＱＰＱＯと１回転して元のＯに戻ったときに要した仕事量がゼロでない場合は位置エネルギーは定義できないし,力学的エネルギーは保存しない。

　たとえば道筋のどこかで摩擦力が働く場所が少しでもあれば摩擦力は必ず運動の向きと逆向きに働くから,負の仕事しかしないのでどちら向きに回転しても仕事はゼロにはならず,この場合力学的エネルギーは保存しない。

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                                  TOSHI

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