宇宙の果て

　数学の用語で「コホモロジー(cohomology)」というのがあります。

　これは,微分形式の言葉では「完全形式は閉形式である。」,つまり,「微分形式の外微分はゼロである。」という「ポアンカレの補題(Poincare’ｓ　Lemma)」を意味します。

　実際には,「可縮な領域では閉形式は完全形式である。」というこれの逆命題（これも「ポアンカレの補題」です。）の方が,物理学でなじみが深い命題でしょう。

　これは,「エントロピーの存在」や「保存力場である,または"渦無し＝非回転的:回転(rot) or 循環がゼロ"なら,スカラーポテンシャルが存在する。」とか,「湧き出しや吸い込みが無い,または発散(div)がゼロなら,ベクトルポテンシャルが存在する。」というベクトル解析で重要な命題と同等です。

　これと「ストークス(Stokes)の定理」を組み合わせると,微分形式の法則を積分形式に置き換えることもできます。

　このコホモロジーを局所的構造とすると,これと双対（そうつい:dual）な概念として大域的な「ホモロジー(homology)」という構造があります。

　すなわち,コホモロジーでの「微分形式ωの外微分ｄωはゼロである。」というポアンカレの補題に双対なホモロジーの命題は「閉領域の境界の境界は空集合である。」,or 「閉領域の境界には境界がない。」というトポロジーの命題です。

(ただし,トポロジー(toplogy)というのはオイラー(Euler)の一筆書きの法則に始まる位相幾何学のことです。)

　例えば,三角形の境界であるつながった３辺には境界となる点はありません。

　また,地球のような閉じた球の境界である球の表面には,もちろん境界はありませんね。

　同様に,「４次元擬リーマン多様体(semi-Riemannian manifold)（特にローレンツ多様体(Lorenｔz manifold)）」である宇宙という時空多様体の境界はある３次元超曲面ですが,これにも境界がないだろうと類推されます。

　これらのことから,風船の表面には境界がないという意味で,宇宙空間という３次元空間は有限だが境界はない,というような説明がよくなされます。

　しかし,"宇宙には果てがない" or "境界がない"ということは,こういう描像を思い浮かべることで説明が可能なのでしょうか？

　４次元時空多様体の時刻 ｔ を固定した３次元超曲面を考えると,これは例えば時空が正定値計量のリーマン多様体,特に４次元球なら,その４番目の座標を固定した"３次元球＝普通の球"には,明らかに２次元球面という境界があります。

　これは,ｘｙｚ３次元空間の球: ｘ²＋ｙ²＋ｚ²＝Ｒ²でｚをｚ＝ａ(≦Ｒ)と固定すると,円: ｘ²＋ｙ²＝ｒ² (ｒ≡(Ｒ²－ａ²)になるという描像で次元を１つだけ上げただけです。

　"円＝１次元球面"にももちろん円周という境界があります。

　では,ローレンツ多様体なので計量が正定値ではない,ということに論及する必要があるのでしょうか？

　一方, そうした描像とは別に謂わゆる「宇宙原理」を採用して,空間の一様性,等方性を要求し,共動座標系を用いて空間に共通な宇宙時間 ｔ を導入すると,「ロバートソン・ウォーカーの計量（Roberｔson-Waker metric）」が得られます。

　「宇宙原理」というのは,そもそも,「宇宙はどの点から見ても同じように見える。」という原理ですが,これを採用することは,既に「宇宙には"端＝境界"がない。」ことを最初から認めたことになるとも考えられます。

　「ロバートソン・ウォーカーの計量」とは,ｄｓ²＝ｃ²ｄｔ²－ａ(t)²{ｄｒ²/(1－ｋｒ²)＋ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)}で与えられる計量です。

　ここでａ(t)は膨張因子とか空間の径という長さの次元を持つ量で,他方ｒの方は座標を示す無次元のパラメータです。

　さらに宇宙の空間曲率が,正,負,ゼロに応じて,それぞれ,パラメータｋを,ｋ＝1,0,－1とします。

　これを見ると,例えばｋ＝0 のときのｄｔ＝0 (ｔ＝一定)の３次元空間は,正にユークリッド空間になることが自明です。

　しかも,ｋやａ(ｔ)の値とは無関係にｒは 0 から∞ までの任意の値を取ることが許されているし,正の数ｒが決まれば,どこが中心でどこが端ということもないですから,境界とか端がないという意味はわかる気がします。

　この計量を「アインシュタイン(Einstein)の重力場の方程式」に代入すると,ａ(ｔ)が従う２つの独立な常微分方程式が得られます。

　これらに,さらに状態方程式を追加し,宇宙項をゼロと仮定します。

　すると,ｄ²ａ/ｄｔ²＜0 が得られますから,ｄａ/ｄｔは単調に減少していて,ａ＝ａ(ｔ)のａ－ｔ曲線は上に凸です。

　これに,現在の時刻の観測では宇宙空間は膨張している,つまりｄａ/ｄｔ＞ 0 なることを考慮すると,時間を過去に遡ると必ずａ＝0 となる瞬間があることになるため,この時刻をｔ＝0 とします。

　そして,これより以前には宇宙は存在しないと仮定します。

　このとき,"ハブル定数(Hubble's constant)＝膨張係数"を,Ｈ≡(dａ/dｔ)/ａで定義します。

　現在の時刻をｔ₀ とし,現在のハブル定数をＨ₀＝(ｄａ/ｄｔ)₀/ａ(t₀)とすれば,t₀＜1/Ｈ₀となります。

　これはｔ＝0 でａ＝0 の上に凸なａ－ｔ曲線を書けば,図から明らかなのですが,敢えて計算に頼ります。

　すなわち,ｔ＝0 から現在までの時刻:0≦ｔ＜ｔ₀では常にｄａ/ｄｔ＞(ｄａ/ｄｔ)₀＝Ｈ₀ａ(t₀)ですから,ａ(t₀)＝∫₀^t0(ｄａ/ｄｔ)ｄｔ＞∫₀^t0(ｄａ/ｄｔ)₀ｄｔです。

　そこでａ(t₀)＞∫₀^t0Ｈ₀ａ(t₀)ｄｔ＝Ｈ₀ａ(t₀)t₀ですから,t₀＜1/Ｈ₀となることがわかります。

　また,ｋ＝0 または－1のときは永久に膨張を続け,ｋ＝1のときは圧力Ｐが正である限りいつかは収縮に転じます。

　これら宇宙原理や重力場の方程式が正しいとして,現在の観測での曲率がゼロに近いということが正しいなら,宇宙は平坦であり,ｋ＝0 のユークリッド空間となって永久に膨張を続けることになります。

　私の宇宙や星に関する他の疑問の１つは,ブラックホールの形成に要する重力崩壊の局所座標時間が無限大であることと,ブラックホールが存在していることが矛盾してるのではないか？ということかな？

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                                  TOSHI

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