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2006年6月 5日 (月)

正則関数(解答)

数日前(5月30日(火))に出題した問題の解答をしておきます。

その問題は,

"ある点Pの座標がわかっていて,ある閉じた図形(たとえば四角形ABCD)の頂点の座標が全てわかっているとき,問題の点Pがその図形の内部にあるか,それとも外側にあるか?を計算によって判断するにはどうすればいいでしょうか?"

というものでした。

答は,

"問題としている点Pを原点として,閉じた図形の境界曲線上の点に向かうベクトルが,その閉じた境界の閉曲線Cを1回転したとき,回転偏角の総計が 2πであれば点Pは閉曲線Cの内部にあり,1回転の偏角合計がゼロであれば点Pは閉曲線Cの外にある。"

というものです。

ただし,点Pがちょうど閉曲線Cの上にあるときは偏角合計はゼロや 2πも含め色々な値を取る可能性があって不定ですから,この方法では判定できません。

その場合は特別な方法を考える必要がありますが,今の問題では,このケースは例外としています。

これは(複素)関数論でコーシー(Cauchy)の積分定理により,

"閉曲線C上の積分∫dz{1/(z-a)}はa が閉曲線Cの外にあればゼロとなり,さもなければ 2πi になる。"

ということをそのまま言い換えたに過ぎません。

つまり,閉曲線C上の積分∫dz{1/(z-a)}は,極形式で,(z-a)=ρexp(iθ)と積分変数をzからθに置換すれば,∫dz{1/(z-a)}=i∫dθとなることから,上述の判定方法が得られるわけです。

これを,コンピュータで計算して判定するには,例えばFortranであれば逆正接関数:ATAN2という関数ルーチンを用いれば可能です。

これは,ある点の座標が(x,y)=x+iyなら,その点の偏角が一般角としてθ=ATAN2(y,x)で与えられるというものです。ただし,これで得られる角度の値は主値で,-πとπの間の値に限られます。

もしも,図形の境界線が四角形ABCDなら,点P=aを原点:(0,0)として,その4つの頂点A,B,C,Dを左まわりに順に( x, y1,( x2, y2,( x3, y3,( x4, y4と置いて,θ=ATAN2( yi+1-y , xi+1-x) ( i=1,2,3,4 )によって回転角θ を求め,和∑θ を取ればいいことになります。ただし,(x5, y5)≡( x, y1) とします。

ここで注意しなければならないのは,ATAN2は-πとπの間の角に限られているということです。

そこで,予め4つの頂点の偏角をφ=ATAN2( y ,x ) ( i=1,2,3,4 )と求めておいて,その差であるところの(φi+1-φi)を計算して後から全部を加えるという方法では.点P= a が図形の内部にあろうが外部にあろうが合計は常にゼロにしかならないということです。

それは,偏角がπを超えるところでは正の回転であるにもかかわらず,突然-π前後の負の偏角の領域に入るからです。

したがって,回転偏角としてθATAN2( yi+1-y , xi+1-xi )という角度で対応し,これらがπを超えるような場合の偏角についてはその都度,正回転か負回転かを注意して考慮する必要があります。

これは一般角をどのように捉えるかということに関して,コンピュータで計算する際に注意すべきことです。人間の頭で考えるだけなら,偏角が正か負かについては疑問の余地はないのですがね。。。

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー)                                                  TOSHI

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コメント

 ども、nashさん、TOSHIです。

 ご指摘ありがとうございます。さっそくおくればせながら直しておきます。別に隠すつもりはないのでSというのは静岡です。工学部志望なら横国に行ったと思います。

 以後よろしく。。。

TOSHI

投稿: TOSHI | 2006年6月13日 (火) 18時27分

答えは、問題としている点を原点として、閉じた図形の境界曲線上の点に向かうベクトルの偏角が、その閉じた境界という閉曲線を1回転したときに合計として 2π(360°)であればその点は閉曲線の上にあり、(←その点は閉曲線の中にありですね!)1回転の偏角の合計が 0 であればその点は閉曲線の外にあるというものです。  

はじめまして。挨拶代わりに間違いを指摘させてもらいます。TOSHIさんに関わりのあるS大学はどの辺にありますか?毎日が登山でしたか?私は毎日登山です。

投稿: nash | 2006年6月13日 (火) 01時44分

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