タキオンと因果律

相対論ではタキオン(超光速粒子)の存在は否定されません。

これは虚数の質量を持ち光速より遅い速度では走ることができず,

エネルギーを貰えば貰うほど速度が遅くなるという不思議な粒子

です。

これが存在すると,因果律（原因の方が結果より前:という基本法則）

が破られます。

因果律が破られる事実は具体的には次のように示されます。

まず,ある座標系,これを仮に静止系Ｓとします。

この系に対して,ｘ軸の正の向きに相対的に等速度運動している系Ｓ'

を考えます。

それは宇宙船に固定された系であるとしてもかまいません。

ただし,これはタキオンではないのでその速度の大きさｖは

光速ｃより小さいとします。

静止系Ｓと運動系Ｓ'の双方の時刻ゼロ(ｔ＝ｔ'＝0 )に,双方

の座標系の原点が一致する(ｘ＝ｘ'＝0 となる)ように座標系

を取ります。

そして,ｘ 軸の正の向き（＝右向き)に運動する系Ｓ'の原点に

固定されている宇宙船から,時刻ゼロ(ｔ＝ｔ'＝0 )に光速より

速いタキオン信号をこの運動系でのｘ軸であるx'軸の負の向き

に発信します。

この信号を原点よりも左遠方のある位置で受け取った静止Ｓ系

にいる人が,受け取ったと同時に別のタキオン信号をｘ軸の正の

向きに返して,最初から静止Ｓ系の原点にじっとしていた別の人

が受け取るとします。

相対論のLorentz変換を使って,これを計算すると,最後に戻した

信号が静止していた原点にいる人に到達する時刻が静止系で負

になります。

そこで,じっと原点に静止していた観測者が時刻ゼロにすれ違った

宇宙船が信号を発するよりも前に,戻ってきたタキオン信号を受け

取ることになります。
　
　つまり,信号を発する前に信号が返ってくるという不思議なことに

なりますから,これは未来の情報が過去に伝わるという現象の例に

なっています。

これで因果律は破れます。

では具体的な計算を見てみましょう。

宇宙船の速さをｖ＜ｃ,タキオンの速さをｗ＞ｃとして２次元

のLorentz変換で計算します。

一般的に扱うために宇宙船から発射するタキオン信号の速さを

ｗ₁,受け取ってから返すタキオン信号の速さをｗ₂とします。

ただし,ｗ₁,ｗ₂＞ｃです。

最初にタキオンを発信するときの位置は,原点ｘ＝ｘ'＝0 で,

そのときの時刻はｔ＝ｔ'＝0 です。

ただし,前の説明段階でも述べたように,信号を受けて返す人の

慣性系(静止系)をＳ,それに対して速度ｖで運動し宇宙船が静止

して見える慣性系をＳ'として,Ｓ系の２次元座標を(ｘ,ｔ),

Ｓ'系での同じ点の座標を(ｘ',ｔ')としています。

そして,宇宙船から発信された最初の信号が左遠方の別の人に届

くまでの時間(届く時刻)を宇宙船Ｓ'系の時刻でｔ₁'とします。

すると,届いたときの点のｘ'座標は,明らかにｘ₁'＝－ｗ₁ｔ₁'

です。

このとき,静止している観測者の系からみた位置での時刻は,

ｔ₁＝γ(ｔ₁'－ｖｗ₁ｔ₁'/ｃ²)＝γｔ₁'(1－ｖｗ₁/ｃ²) です。

ただし,γ＝{1－(ｖ/ｃ)²}^-1/2です。

そして,観測者の系からみた位置座標は,

ｘ₁＝γ(ｘ₁'＋ｖｔ₁')＝γｔ₁'(ｖ－ｗ₁)

です。

この時刻ｔ₁に,位置ｘ₁から速度ｗ₂で信号を返します。

この信号が原点に静止している別のＳ系の観測者に届く時刻を,

その原点に静止している人の時刻でｔ₂とし,これを求めます。

ｘ₁＋ｗ₂(ｔ₂－ｔ₁)＝0 (原点)ですから,これに,

ｘ₁＝γｔ₁'(ｖ－ｗ₁),ｔ₁＝γｔ₁'(1－ｖｗ₁/ｃ²)を代入

すると,γｔ₁'(ｖ－ｗ₁)＋ｗ₂ｔ₂－γｗ₂ｔ₁'(１－ｖｗ₁/ｃ²)＝0

となります。

これを解けば,ｔ₂＝γｔ₁'{1－ｖｗ₁/ｃ²＋(ｗ₁－ｖ)/ｗ₂}

を得ます。

したがって,例えばｗ₁＞ｃ²/ｖかつｗ₂＞(ｗ₁－ｖ)であれば,

₂＜0 ですから,信号を発信した時刻ｔ＝0 より前に,まだ発信

してもいない信号が返って来ることになり,これは因果律を破

ってしまいます。

もしも,ｗ₁＝ｗ₂＝ｗならｔ₂＝γｔ₁'{2－ｖ(ｗ/ｃ²＋1/ｗ)}

です。

そこで,ｗ＞ｃ²(1＋1/γ)/ｖの条件でｔ₂＜0 になりますから,

発信信号と返信信号のタキオンの速さが全く同じであるとし

ても因果律を破ることが可能です。

ｗ＝ｃの臨界値,つまり信号がタキオンではなくて真空中の光

＝電磁波"なら,受けて返した信号が原点に届く時刻は,

ｔ₂＝2γｔ₁'(１－ｖ/ｃ)であり,このｔ₂はｖ＜ｃなら正,

ｖ＝ｃならゼロです。

この例では,光速を超えるだけでは因果律が破られるとは限らず,

もうちょっと大きい速度のタキオンが必要なようです。

(※これはチョッと計算を間違えたかな？)

しかし,宇宙船の速度ｖも光速に近くなれば信号速度が光速を超

えただけで因果律が成立しないことにはなりますね。

もしも,どこかに計算間違いありましたら,ご指摘ください。

ＰＳ：ここで用いたLorentz変換は光速度不変に基づくもので,

相対論的運動学(幾何学)の式です。

力学(mechanics or dynamics)を導入せず,運動学(kinematics)

だけの話なら,議論に質量は入ってこないので虚数質量という

問題も生じません。

また,Ｓ'系のＳに対する相対速度の大きさｖがｖ＜cを満たす

なら.γ＝{1－(ｖ/ｃ)²}^-1/2も普通の実数です。

この例では,信号速度の大きさｗについてｗ＞ｃであっても,

宇宙船の速度の大きさｖが超光速,つまり,ｖ＞ｃでない限り

はγが虚数になることはないので普通に計算できて因果律の

議論ができるのですね。