黒体輻射（空洞輻射）と空洞の形状

今日は,空洞輻射の波数の分布が空洞の形状に依らないことを証明してみようと思います。

しかし,この説明だけでは私が何を目論んでいるかがわからないかも知れません。そこで,記事の動機を下により詳しく述べてみます。

通常,黒体輻射(黒体放射)の実験に使用する空洞の形は,別に立方体,直方体,または球など幾何学的に簡単な形状とは限りません。

しかし,この実験結果を説明する量子論では対象となる空洞の形を立方体や直方体と仮定して計算し,それで問題ないとしています。

それ故,計算の際は波が境界で接線成分がゼロという境界条件は非常に簡単化され,許容される波数ｋの個数分布の計算は容易になります。

しかし,現実の実験では空洞の形は一般にそれらとは違うし,見かけ上はそうした単純な形の場合でも実際の壁は完全に滑らかというわけではなくフラクタル的に凹凸で満たされていたりします。

そうした凹凸壁の上では乱反射,乱回折があると予想されて境界条件は複雑であり,事はそれほど単純ではないのではないか？というむしろ常識的な？疑問が生じます。

そこで,空洞の形,壁がどうあろうと空洞が立方体と同じ容積Ｖを持ってトポロジー的に同じ形である限り,ｋ空間の半径がｋ＝|ｋ|とｋ＋ｄｋの間にある波の個数が(8πｋ²ｄｋ)(Ｖ/π³)であることを明確にすればこの種の疑問が払拭されるのでは？と考えた次第です。

さて,一般に自由電磁波の電場Ｅに着目するとそれは横波であり真空中のマクスウェル方程式(Maxwell equation)を満足します。

そして,まずは空洞を導体と考えてその形は一辺がＬの立方体であると理想化しておきます。

その自由電磁波の電場の境界条件として境界での接線成分がゼロであるということが必要ですから,電場Ｅはsinやcos関数を用いてＥ_x＝Ｅ(ｔ)cos(ｋ_xＸ)sin(ｋ_yＸ)sin(ｋ_zＺ)etc.と表わされ,ｋ_x＝ｍπ/Ｌ,ｋ_y＝ｎπ/Ｌ,ｋ_z＝ｐπ/Ｌ(ｍ,ｎ,ｐ＝0,1,2,.)となります。

つまり,波数ベクトルｋは(π/Ｌ)を格子定数とする格子点のみを許容値とするので,ｋの個数分布は負でない整数ｍ,ｎ,ｐのみをとる８分球を仮想します。

横波の２つの自由度を考慮すると,波数ベクトルｋが連続的な値を取るとし,その半径がｋ＝|ｋ|とｋ＋ｄｋの間にある波の個数として(1/8)×{(4πｋ²ｄｋ)/(π/Ｌ)³}×2＝(πｋ²ｄｋ)(Ｖ/π³)となります。

そして,この最終形では立方体であったという仮定はもはや消えていて容積Ｖが決まっていて有限でありさえすれば,波数ベクトルの個数分布には空洞の形状などはもはや関係ないという形になっています。

簡単のために２次元の空洞なるものを仮定し,立方体を正方形に変更するとｋ_x＝ｍπ/Ｌ,ｋ_y＝ｎπ/Ｌ(ｍ,ｎ＝0,1,2,.)であり,半径がｋとｋ＋ｄｋの間にある波の個数は(1/4)×{(2πｋｄｋ)/(π/Ｌ)²}×2＝(πｋｄｋ)(Ｓ/π²)となって体積Ｖの代わりに面積Ｓで表わした形になります。

そこで正方形ではなくて,一般の単連結な閉曲線で囲まれた任意の領域を空洞と考え,その面積をＳとしても波数ｋの波の個数分布が,やはり(πｋｄｋ)(Ｓ/π²)となることを証明したいと思ったわけです。

まず,この閉曲線を(ｆ(t),ｇ(t))(0≦ｔ≦1),(ｆ(0),ｇ(0))＝(ｆ(1),ｇ(1)))で定義します。

ｆ,ｇは微分可能であって,ｔによる微分係数をｆ'＝ｄｆ/ｄｔ,ｇ'＝ｄｇ/ｄｔとし,これらはｔの連続関数であるとします。

この閉曲線を一辺がＬの正方形を反時計回りに１回転する閉曲線に変換する写像を汎関数(＝関数の関数):Ｆ,Ｇによって(ｕ,ｖ)＝(Ｆ(ｆ,ｇ),Ｇ(ｆ,ｇ))とします。

微小変換は線形変換であり,Ｆ,Ｇのヤコービ行列をＪ＝(∂(Ｆ,Ｇ)/∂(ｆ,ｇ))とすると,変換は ^t(ｄｕ,ｄｖ)＝Ｊ^t(ｄｆ,ｄｇ)となります。

そして,微小面積要素を外微分形式を使って表わせば,

ｄＳ＝ｄｆ∧ｄｇ＝|Ｊ|^-1ｄｕ∧ｄｖとなります。

ここで,|Ｊ|はＪの行列式:detＪです。

電場の波数ベクトルｋの境界条件は,ｋ_xｄｘ＋ｋ_yｄｇ＝0 ,

つまり,(ｋ_x,ｋ_y)^t(ｄｆ,ｄｇ)＝0 です。

したがって,(ｋ_x,ｋ_y)Ｊ^-1ｔ(ｄｕ,ｄｖ)＝0 であることから,ベクトルｋ'を成分(ｋ_x',ｋ_y')≡(ｋ_x,ｋ_y)Ｊ^-1で定義すれば,これは一辺Ｌの正方形の(ｕ,ｖ)空間に対応する波数ベクトルｋ'の分布となります。

そこで,先の考察によりｋ'についてｄｋ_x'∧ｄｋ_y'＝(π/Ｌ)²ｄｍ∧ｄｎの分布形となるはずです。

ｄｍ,ｄｎは個数空間の微分ｄｍ∧ｄｎを１つの格子,つまり１と同一視できます。そして,ｄｋ_x∧ｄｋ_ｙ＝|Ｊ|ｄｋ_x'∧ｄｋ_ｙ'＝|Ｊ|(π/Ｌ)²ｄｍ∧ｄｎです。

(ｋ_x',ｋ_ｙ')の空間は格子間隔が(π/Ｌ)であり,(ｕ,ｖ)空間の逆格子空間＝フーリエ(Fourier)変換でいう座標空間と双対な運動量空間としていいわけです。

ｄｋ_x∧ｄｋ_ｙ＝|Ｊ|(π/Ｌ)²ｄｍ∧ｄｎは(ｋ_x,ｋ_ｙ)の空間が(ｆ,ｇ)空間の逆格子空間であって,その格子定数の平方が(π/Ｌ)²|Ｊ|＝π²/(Ｌ²|Ｊ|^-1)であると考えるべきことを示しています。

ところで,Ｌ²＝∫ｄｕ∧ｄｖであり,∫|Ｊ|^-1ｄｕ∧ｄｖ＝∫ｄｆ∧ｄｇ＝Ｓですから,Ｌの値の任意性を考慮してｄｋ_x∧ｄｋ_y＝(π²/Ｓ)ｄｍ∧ｄｎと結論していいことになります。

すなわち２次元空洞の自由電磁波の波数ベクトルｋの半径がｋとｋ＋ｄｋの間にある波の個数は(πｋｄｋ)(Ｓ/π²)となって面積Ｓだけに依存しており空洞の形状には依らないことが示されたと考えます。

このように,黒体輻射,あるいは空洞輻射は空洞の壁面の形状の多様性や面の乱雑さなどがあれば無限に多様でランダムな乱反射のモードあるいは分布を持つであろう,という予測は誤りであって,そのモードの個数分布は空洞の体積のみで決まります。

そしてモードが連続的でなく離散的であるのは"大きさ＝体積"が有限であるためである,と云えると思います。