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2006年7月24日 (月)

ポジトロニウムの安定性

 2007年の3月31日でもって,1987年にDOS全盛時代のパソコン通信として始まったniftyのフォーラムが全廃されると決まりました。

 物理フォーラムやサイエンスフォーラムは@nifty以外のところで存続させる企画もあるようですが,とりあえず過去ログで私が関わったもののうち,私が重要と考えるものをより整理した形で,このブログで残そうとしています。

 そういうわけで,このところそうした話題をとりあげています。

 今日は水素原子とほぼ同じ構造を持つポジトロニウム(positronium)(電子と,その反粒子=陽電子でつくった原子のような2体系)の安定性に関する話題です。

 陽子と電子の系=水素原子は安定なのに,なぜ陽電子と電子の系=ポジトロニウムは不安定ですぐに対消滅してしまうのでしょうか?
 
 換算質量が違うだけで,同じシュレーディンガー方程式にしたがうはずなのにどうして違いがあるのでしょうか?という「甘泉法師」さんからの質問があり,それに対する私の回答は次のとおりでした。
 

 一般に,水素原子は電子が陽子と衝突した場合に陽子に捕捉されて束縛状態になったものである,と考えられます。

 電子が原子核,特に陽子と衝突して散乱される問題であれば,それはクーロン電気力によるクーロン散乱とも呼ばれる弾性散乱であるところの,いわゆるラザフォード散乱がメインであり,

 もちろん,陽子と電子は粒子と反粒子の対であるわけではないので,散乱過程を示すファインマン・ダイアグラム(Feynman diagram)の中に対消滅するという図は存在しないので,その消滅の確率はゼロです。

 ところが陽電子と電子の場合,それらは粒子と反粒子の対なので接近衝突すると非弾性散乱であるところの,対消滅して2つの光子になるというファインマン・ダイアグラムがあり,そのダイアグラムの確率が非常に大きくてメインとなります。

 ところで
,このポジトロニウムでは電子の換算質量が電子自身の質量の約半分なので,ボーア半径が水素原子の場合の約2倍になるだけですから,基底状態の波動関数をψ(r)とすると,これは水素原子のそれと形は全く同じです。

 自由な電子と陽電子対が対消滅して崩壊する確率をWとするとき,ポジトロニウムの基底状態の波動関数をψ(r)とすると, P=W |ψ(0)|2のオーダーの確率 P で対消滅し,粒子の寿命はその逆数ですから非常に短いと思います。

  つまり,違いは"粒子-反粒子対"であることで素朴な量子力学のクーロン相互作用だけでは説明できない非弾性散乱振幅を伴うことにあります。

 こうしたことはフェルミオン(Fermion)のパウリ(Pauli)の排他原理などにもあることで,同種粒子でなければ成立しないような原理と同じく,粒子-反粒子のみに成立する性質があるということですね。

 具体的な対消滅のファインマン・グラフでいうと,

 電子-電子散乱での過去から未来への2つの軌道の間に仮想光子が交換されているものから,

 それを真横にひっくり返して,交換光子を2本にして,交換光子の真ん中をぶった切ると,"電子が過去に向かうことは陽電子が未来に向かうことになる"というディラック(Dirac)の空孔理論に基づく解釈が成立して,

 こうしたグラフが存在するということが理解されるわけです。

 粒子-反粒子の関係でないと,こうしたグラフは有り得ないので電子と陽子の水素原子の系は消滅することなく安定なのです。

 つまり,「水素原子が安定なのは,陽子と電子が接近しても消滅する道筋がないからである。

 ポジトロニウムが不安定なのは陽電子と電子が接近すると消滅する道筋があるからである。

 原子の安定性をいうのに電子の不確定性(狭いところに閉じ込めるとエネルギーが上がる)ことは十分条件でなく,さらにそのような高エネルギーを補償するような道筋(チャネル)が存在しないという条件が必要である。」と理解されました。

 すなわち,原子の安定性は電荷と質量をパラメターとするシュレーディンガー方程式だけでなく,粒子(陽子,電子,陽電子)の電荷,質量以外の性質を加味しないと説明できない。ということになります。

  電子と陽電子には粒子と反粒子の交換に対する対称性,つまり,電荷を持ったフェルミオンの"荷電共役変換対称性= CPT"のうちのCの対称性,があるということです。

 もちろん,クーロン(Coulomb)相互作用だけでなく,核力の弱い相互作用も考慮すれば,"ベータ崩壊の逆反応=陽子がニュートリノの力を借りて電子を捕獲して中性子となる"確率も,

小さいとはいえ,全く ゼロであるというわけではないので,陽子と電子の系=水素原子も100%安定というわけではないですが,ポジトロニウムの不安定性の比ではありません。

 まあ,このように粒子と反粒子が出会うと対消滅して,"その両者の質量和に光速の2乗を掛けたもの,プラス運動エネルギー"に相当するエネルギーを持った最低2つの光子が対生成します。

 なぜ,2つ以上の光子か?というと,光子1つではその質量がゼロなのでどのようにしても粒子と反粒子2体系と生成光子に関してエネルギー,かつ運動量が対消滅の前後で保存しないからです。

  もちろん,反陽子と陽電子の系=反水素原子は反粒子と反粒子の系なのでそれだけなら安定ですが,一般にこの世界では陽子や電子がいっぱい存在しているので,そうしたものはすぐに消滅するため,まず存在できません。

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー)                                       TOSHI 

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コメント

ああ、やっぱりニュートリノの運動エネルギーに依存した話でしたか。

>レプトン数
たしかに、2個では保存しませんね。
n → p^+ でπ^- が出て、π^- → μ^- で反ν_μが出て、μ^- → e^- で反ν_e が出る・・・などと考えて間違えてしまいました。(μの崩壊ではν_μも出ないとμ粒子数が合わなかった。反ν_μとν_μは外に出てくる必要もないけど)

投稿: hirota | 2007年6月28日 (木) 15時36分

こんにちは。。。hirotaさん、TOSHIです。コメントありがとうございます。

 弱い相互作用の最低次の反応になぜニュートリノが2個必要なのかわかりません。電子対消滅とか生成では光子が2個以上でないと4元運動量の保存則が破れますが。。。

 釈迦に説法かもしれませんが、「ベータ崩壊」だと中性子が陽子と電子と反ニュートリノそれぞれ1個づつに崩壊し、レプトン数は電子の+1と反ニュートリノの-1を加えて0になって保存するわけです。まあ、こまかいことはどうでもいいので2個でもかまいませんけど。。。

 中性子のほうが陽子より重いので「ベータ崩壊」の逆反応である「陽子の電子捕獲」は重いニュートリノつまり大きい運動エネルギーを持ったものと衝突しないといけないので非常に確率が小さく、常温の状態では陽子や水素原子は非常に安定で陽子や水素の寿命は宇宙年齢よりはるかに長いくらいに安定であることはよく知られています。

 しかし「中性子星」の存在でも明らかなように、電子の縮退圧でも支えられないくらいに重力が大きくなった状態の星では、ニュートリノの運動エネルギーはとても大きくて、むしろ陽子が中性子になる状態のほうが安定になります。

 くわしくはプラズマ物理や中性子星関係について書いた記事も後ろのほうにあるので参照してください。

 とにかくコメントありがとうございました。

           TOSHI

投稿: TOSHI | 2007年6月26日 (火) 20時14分

「水素原子が中性子になる確率が 0 でない」と書いてますが、自由な陽子+電子よりエネルギーの小さい水素原子では「中性子+2個のニュートリノ」の方がエネルギーが大きくなってしまうんじゃないですか?(中性子が陽子+電子+2個のニュートリノに崩壊した場合は水素原子にならず全部飛んで行ってしまう)
それとも「ニュートリノの力を借りる」というのは、水素原子に偶然2個のニュートリノが衝突して中性子になるという意味?(それは「水素原子も安定でない」とは言わない)

投稿: hirota | 2007年6月26日 (火) 17時21分

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