集合の濃度（可算,非可算）

　今日はカントール(Georg Cantor)が創設した集合論において,集合の元(要素)の個数＝濃度(cardinal number)というものが数学にとってどんな意味を持つのかについて若干の考察をしてみたいと思います。

　有限集合の濃度というのはまさに元の個数のことですから実際に数えればそれはわかります。

　一方,集合が無限集合,すなわち元の個数が有限でない集合の場合には,その元の個数＝濃度を決めるには,濃度が既知の集合の元との１対１対応や上への写像の存在などを調べるという方法を取ります。

　もしも,自然数の集合 N＝｛1, 2, 3, 4, ．．．｝と 集合Ａの元との間に全単射の対応がある場合にはＡは可算集合（数えられる集合)である,といわれ,その濃度は （アレフ・ゼロ)で表わされます。

　一方,実数の集合のように数えられない集合のことを非可算集合と言います。ただし（アレフ)という記号はヘブライ語の文字であり,ギリシャ語のα（アルファ＝最初という意味）と同じ意味です。

　無限集合とは不思議なもので,例えば整数の集合Ｚ＝｛．．．-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ．．｝はN を含む集合なのに,その濃度はN と同じなんですね。

　これは数えるときに 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ．．と数えていけば,Nの 1, 2, 3, 4, 5 ．．と1対1の対応ができるからなんです。

　また,正の偶数の集合はＺ に含まれる部分集合なのですが｛ 2, 4, 6, 8, ．．｝は,もちろん｛ 1, 2, 3, 4, ．．｝に対応つけられますから 濃度はN と同じでです。奇数の集合も同じですね。

　だから,は何倍してもだし,それどころか×もまたなんですね。これはたとえば有理数集合Ｑの濃度もであることを意味します。

　これはＱの元を1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4 ,2/3, 3/2, 4/1, ．．というように分母と分子を足した数が同じである順番に数えていってダブルカウントやトリプルカウントした数などを全て間引きすれば数えられる,という意味ですね。

　これの濃度が ×と同じことは自明ですから,上述のことは×＝を意味しています。

　上のことから帰納すると,一般にｎ次元の座標で成分が整数だけから成るもの ( ｋ₁, ｋ₂, ｋ₃, ．．ｋ_n )；ｋ_i∈Ｚの全体も可算無限集合ですから のｎ乗も であるということになります。

　ところが集合Ａの濃度がのとき,そのベキ集合の濃度,つまり集合Ａの空集合φを含む全ての部分集合の個数はより"大きい"のです。

　一般に有限集合Ｐの元の個数をｎとするとその部分集合の個数は各部分集合がＰのｎ個のそれぞれの元についてそれを含むか含まないかの２通りしかないので２ⁿ個であるということになります。

　このことからのアナロジーで,可算無限集合Ａのベキ集合の濃度をも２の乗であるといいます。これとは別により"大きい"濃度が存在するとしたときにの次に"大きい"濃度を₁(アレフ１)と定義します。

　そして以下同様に,₂,₃,．．．etc.をも定義していくするわけです。

　そしてカントールは実際に２の乗がよりも"大きい"ことを証明しましたから,より"大きい"濃度は確かに存在します。

　２の乗がより"大きい"ことを証明したカントールの方法は対角線論法と言われます。これはゲーデル(Gödel)の不完全性定理の証明にも利用され方法ですが,私もこの手法を使った証明を追体験してやってみます。

　Ａのベキ集合の濃度,つまり,べき集合の元の個数は２の乗ですが,これは１と２だけで作った小数 0.121121222112．．の全ての個数と同じであることは明らかですね。

　仮に,こうした小数の総個数がであるとすると,これらを1から順番に並べることが可能です。

　そこでこうした小数から次のような小数を１つ作ります。小数第１位は１番目の小数の第１位が１だったら２に,２だったら１にします。小数第２位は２番目の小数の第２位が１だったら２に２だったら１にします。

　これを繰り返して"最後までいく"ことができるとするとそのときできた小数は並べてある全ての小数と異なりますから,これは１と２だけで作ったすべての小数が順番に並べられるという仮定と矛盾します。そこで２の乗がより大きいことが証明された。ということなんですね。

　でも,なんだかいかがわしいですね。私は未だに受け入れられないという気分も少しあります。"最後までいく"というあたりですね。

　まあ,ともかく証明はできました。そして閉区間[ 0 ,1]の間の全ての小数は,２進法で0 と１の２つの数の小数だけで表わすことが可能ですから,結局上の証明で小数を構成していた１と２を 0 と１ に変えるだけで閉区間[ 0 ,1]に属する全ての実数の濃度も２の乗に等しいということができます。

　そして,関数 ｙ＝ｔａｎ（πｘ/2 ）,ｘ＝(2/π）arcｔａｎ（ｙ）,（ｘ ∈[ 0 ,1], y∈ (－∞, ∞)) でのｘとｙの対応関係によって,全ての実数の集合Rは閉区間[ 0 ,1] と全単射の対応をつけることが可能です。

　そこで,実数全体Rの濃度も２の乗であり,しかも先にのときに述べたように,Rで作ったｎ次元の座標もRと同じ濃度ですから,ｎ次元ユークリッド空間Ｒ^ｎの濃度も２の乗ですね。

　２の乗はデデキント(Dedekind)が切断という有理数の集合である,として定義した連続な実数＝実数連続体の濃度ですから連続無限個,あるいは連続濃度と呼ぶこともあります。

　そして,の次の濃度の₁についても２の₁乗は₁より"大きい"はずなのでこの論法を繰り返し適用していくことにより,濃度には上に限りがない。ということもできます。

　これらをどのように数学の諸分野に適用するかについては,いろいろと考えることができます。

　まず,ヒルベルト(Hilbert)が問題として呈示した仮説である「連続体仮設(連続体仮説)＝と２の乗の間には濃度は存在しない。つまり２の乗こそがのすぐ次の濃度₁である。」という命題については,コーエン（Cohen）とゲーデルによって「現在の公理系からは証明することが不可能である。」と否定的に解決されています。

　そこで,公理論的集合論＝ＺＦ集合論（Zeｒmelo-Fraenkel）を構成する際に,これを公理として採用するかどうかで数学そのものが変わってしまうということがあります。

　幾何学の第５公準＝平行線公理を採用するかどうかでユークリッド幾何学になるかそうでないか,というようなものである,という意味ですね。

　しかし,まあ,一般的な話としては「ルベーグ測度＝長さ,面積・・・」を考える際には濃度が可算か非可算かで大きな差があります。

　例えば閉区間[ 0 , 1]の長さは１ですが有理数＝有理点の個数は可算,つまり個なので長さはゼロです。したがって,連続無限個２の乗個の無理数＝無理点のみの長さは差し引き１ですね。

　これの証明は各有理点の長さはどんな小さな正の数εよりも短いのでそれらを全部（つまり個＝可算個）加えてもε＋ε/2＋ε/2²＋ε/2³＋・・・＝2εよりも短いので合計でゼロである,ということでなされます。

　つまり,無限小を可算個集めても無限小のままですが,非可算個集めると有限な大きさになることもある,というわけですね。

　２次元の面積や３次元の体積でも同じような話ができます。

  その他には,コンピュータはどうしてもアナログでなくディジタルであるということですが,コンピュータの２進桁数をいくら増やしても,現実的にはチューリングマシンであること,

　つまり,連続的な実数の演算をしているように見えても,それは仮想であってやはり高々可算個の離散的な演算で近似しているだけで,そこには大きな違いがあるだろうということとか。。。

　また,集合論と同じく数学の無矛盾性と関わるゲーデルの完全性定理や不完全性定理に関するものもあります。

　これは数理論理学や,数学基礎論の話ですね。証明)の回数が可算個＝個であるようなツリー構造についてしか記号論理学は論及できないとかいうのもあったと思います

　,まあ,ゲーデルの証明が対角線論法によるものですからね。これらは証明論の話です。

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                       TOSHI

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