ホワイトノイズ,１/ｆ ゆらぎ

　以前,マイナスイオンについてかなり"マユツバなもの"だと書きましたが,最近電気店で見たコピーはさらに奇妙でした。

　｢プラス電子が減少してマイナス電子が増えるから健康になる。｣などと"トンデモない"文言に遭遇してあきれています。

　プラス電子って電子の反粒子の陽電子のことでしょうか？だったら,そんなもの減少もなにも発見することすら大変なことですよ。

ところで,ちょっと前に「身体にやさしい１/ｆゆらぎ」というキャッチフレーズがはやりましたが,こちらの方はどうやら根拠は無いですが一応もっともらしくまともなようです。

そもそも,ここでいう"ゆらぎ(fluctuation)"とは電気回路などの雑音(ノイズ)のことでしょう。

電気抵抗Ｒがつながれた回路では,一般に熱雑音に起因する起電力Ｖ(ｔ)が生じますが,これを振動数 fの単振動の周波数成分にフーリエ(Fourier)分解してみます。

振動数ｆは正であるとしｆにおけるフーリエ振幅成分をＶ(f)とします。振幅の強度としてサンプル平均＜｜Ｖ(f)|²＞Δｆを取り,これの２倍(＝ｆと－ｆの２つ)をパワースペクトル(power spectrum)Ｓ(f)Δｆとして定義します。

雑音電圧Ｖ(ｔ)の自己相関関数はΦ(τ)≡＜Ｖ(ｔ)Ｖ(ｔ＋τ)＞＝∫₀^∞ｄｆcos(2πｆτ)Ｓ(f)となることがわかります。

これは「ウィーナー・ヒンチンの定理(Wiener-Khintchine's theorem)」として知られています。

特に,"Ｓ(f)＝振幅強度の平均"が振動数ｆによらず一定のとき,これは光の白色光と同じく全ての色が同じ割合で混合したものという意味で白色雑音(ホワイトノイズ)と呼ばれます。

白色雑音の場合,Ｓ(f)＝4Ｄ(一定)と置いて先の積分に代入すると,自己相関関数Φ(τ)は,Φ(τ)＝2Ｄδ(τ)とディラック(Dirac)のデルタ関数になります。

これをＲＣ回路に適用します。すなわち,回路方程式をｄＱ/ｄｔ＝－Ｑ/(ＣＲ)＋Ｖ(ｔ)/Ｒと書き,回路内に熱雑音起電力Ｖ(ｔ)があるとして,Ｑのゆらぎを考えます。

雑音は白色としてその起電力Ｖ(ｔ)の自己相関関数をΦ(τ)＝2Ｄδ(τ)とします。

すると,一般にブラウン運動に対するランダムな揺動力Ｒ(t)を導入したランジュバン(Langevin)方程式ｍ(ｄｕ/ｄｔ)＝－ｍγｕ＋Ｒ(t)からのアナロジーでブラウン粒子の速度ｕの２乗平均に相当するＱの２乗平均は,Φ(τ)＝2Ｄδ(τ)によってＣＤ/Ｒに等しくなります。

これは,また平衡状態でのコンデンサーのエネルギーＥ＝Ｑ²/(2Ｃ)に対するボルツマン(Boltzmann)分布の因子exp(－Ｅ/ｋ_BＴ)によっても決まります。

すなわち,こちらからの計算ではＱ²の平均値は∫_-∞^∞[Ｑ²exp{－Ｑ²/(2Ｃｋ_BＴ}]ｄＱ/[∫_-∞^∞exp{－Ｑ²/(2Ｃｋ_BＴ)}ｄＱ]＝Ｃｋ_BＴです。

そこで,ホワイトノイズとしての起電力Ｖ(ｔ)は,そのパワースペクトルＳ(f)＝4Ｄ(一定)が,Ｄ＝Ｒｋ_BＴを満たすことがわかります。これは「ナイキスト(Nyquist)の定理」と呼ばれます。

コンデンサーから電荷が失われて熱雑音だけになり平衡状態になったときの雑音電圧はパワースペクトルがＳ(f)＝4Ｒｋ_BＴのホワイトノイズであることがわかります。

しかし,一般にはレーザー光線(Laser)のスペクトルのコヒーレンス時間(可干渉時間)のように,

自己相関関数:Φ(ｔ)には"相関がある時間が一瞬である"という理想的ケースはほとんど無く,むしろある有限なスパンτ_ｃがある方が現実的です。

Φ(ｔ)＝(Ｄ/τ_ｃ)exp(－|ｔ|/τ_ｃ),つまり完全なホワイトノイズであるよりも,釣り鐘型のある幅を持ったローレンツ(Lorentz)型雑音であると考えたほうが現実的だと思います。

そして,一般の電気回路にはこうしたナイキスト雑音の他に,より周期が長くてノイズのパワースペクトルＳ(f)が１/ｆに比例する,つまり

"ある振動数ｆの"雑音の強さ＝雑音エネルギー"がｆに反比例する。"というような"１/ｆ雑音"が混じっていることが知られています。

また,自然界のバイオリズムとか生理的に心地よいリズムとして,この１/ｆ雑音分布が最適である,という生物的パターンがあるらしいとも聞いています。

すなわち,私にとっては根拠は不明なのですが,

"振動数ｆがゼロの極限＝超低音でゆったりとしたノイズの成分が最も多く,高音になるにつれてノイズの量が少ないというパターン＝１/ｆゆらぎパターン"が,まるで"フィボナッチ数列＝黄金分割"が美しさと関係あるように,心拍数のリズムなど生物である人間の快感のリズムと関係がある

らしいという話があります。

これは,経験上マユツバな話では無くかなりもっともらしい話だと感じました。

参考文献：北原和夫著「非平衡系の統計力学］（岩波書店）

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