ブラックホールの形成時間

　ちまたでは,銀河系の中心には巨大ブラックホールがあるとか言われています。

　しかし,ブラックホールというか,"シュヴァルツシルト半径＝事象の地平面"の内部に何かが落ち込んでしまうという現象は実際には観測できないはずです。(検索用＝Schwartzschild；シュワルツシルト,シュバルツシルト)

　外部遠方からは,事象の地平面を通過して内側に何かが落ち込んでしまうようには見えず,外から事象の地平面に近づくだけでも我々の時間では無限大の時間がかかります。　

　にもかかわらず,銀河系の中心には実際に巨大ブラックホールがあると言われています。どうしてそんなことがあり得るのでしょうか？

　という質問が「ニフティ物理フォーラム」で過去にありました。

　その当時,これは非常にむずかしい問題だと思いました。

　完全な意味でのブラックホールというものが既にどこかに存在しているとしたら,それに吸収される物体を観測している側からは事象の地平面まで到達するのに無限大時間がかかるため,物体がのみこまれるのを観測できないはずです。

　しかし,曲率から判断される本当の特異点はブラックホールの中心にしかありません。

　シュヴァルツシルト半径は物体自身にとっては特異点でも何でもないですから,物体の固有時間では有限の時間でのみこまれてしまいます。

　したがって,遠方から見ているだけでは光であれ,いつまでたっても吸い込まれませんが,危険を省みず光といっしょに走れば吸い込まれるのがわかるはずです。(何かゼノンの背理(パラドックス)の「アキレスと亀」みたいですね。)

　とは言うものの,実際にそういう観測ができるかというのはむずかしいかもしれません。

　ブラックホールが既にあるとしたらと言った意味は,重力崩壊によってブラックホールができるという通常の星の進化過程なら,それは結局のところ,自由落下と同じなので外部の我々から見て,ブラックホール形成にも無限大時間がかかるはずだという意味です。

　無限大時間ということは,それこそ宇宙開闢から今までかかっても,重力崩壊しかかったまま,ずーっと事象の地平面に凍り付いているはずだ,と質問された当時は思っていました。

　そこで,何らかの重力崩壊以外の理由で,ブラックホールが既存であるということがないとするなら,現時点でも出来かかったままの,つまり「出来そこないのブラックホールもどき」,しかないのではないか？という風に当時の私は考えていました。

  そういうわけですから,「銀河中心に巨大ブラックホールがある。」としてもそれは宇宙ができて後の通常の"星の進化"によるものではなくて,我々の宇宙のビッグバンが開始した頃とか,銀河系が出来たばかりの頃の何らかの重力崩壊以外の作用因でできたものだろうとか,考えていました。

　また,例えば,あるブラックホールがあって,そこに物体が落ち込んでいくとすると,　事象の地平面近くまで落ちたところで,外部から観察すると,その物体はそれ以上落ちていかなくなるように見えると思います。

　しかし,実際にはその物体が落ちたことによって全体の質量が増すはずですから,事象の地平面の内部はそれによって質量的には太るとも思えます。

　重力崩壊の場合,その星がブラックホールになる前といえば,その星の質量全体が中心にあると仮定したときの仮想の事象の地平面は星の半径の内部にあるわけです。

　例えば我々の太陽なら中心から約３ｋｍのところに仮想の事象地平面があるわけですが,重力崩壊して鉄だけの星や中性子星になるということは,

　体積的には星は太るというよりどんどんやせて,地平面がせり出してくることになり,ついには星の半径より外に地平面が出てきたとき,初めてブラックホールになったといえるわけです。

　もっとも,太陽程度の質量では,その進化によって,半径３ｋｍ程度のミニブラックホールになるわけではありませんが。。。。

　ですから,外部からの吸収により質量的に太るというよりは星が本来持っていて重力崩壊の期間にずっと"不変である全質量＝星の自重"が本質的であって,

　それにガスの圧力が抵抗できなくなる内部崩壊の力学が重要であり,自重でつぶれるという意味の方が大きいと思っていたわけです。

　くわしくは,圧力がゼロのダスト物質からなると仮定した球状の密度分布が一般の星の場合の重力崩壊の方程式の解は次のようになります。

　すなわち, ｔ を共動座標の時間,つまり観測者の座標時間ではなく星の固有時間とし,星の半径Ｒがゼロになる時刻を ｔ₀ として書き下すと,

　重力崩壊中の今の時刻 ｔ に対する星の半径Ｒ (t ) は, (ｔ₀－ｔ )の 2/3乗に比例します。

　もちろん無限大時間でなく,速やかに半径Rはゼロになりますが,これを遠方の観測者がみると,重力崩壊はシュヴァルツシルト時空での自由落下に同等なので,固有時間は有限であっても,座標時間は無限大経過して"半径がシュヴァルツシルト半径の球面＝事象の地平面"に到達します。

　ただし,表面から出る光のエネルギーは座標時間と共に指数関数的に減少)しますから,重力崩壊が止まっているように見えても明るさとしては急激に暗くなっていきます。

　一方,これとは独立に一般相対論の球対称一様密度の星のＴＯＶ方程式を解くことにより,求められるシュヴァルツシルトの内部解では,

　中心圧力が正であるためには星の半径がシュヴァルツシルト半径の( 9/8 )倍より大きくなければならないので,ブラックホールが存在することは不可能です。

　これがあるので,シュヴァルツシルト自身は,ある意味では"安心していた?"かもしれません。

　しかし実際には例えば一様密度であるという内部解成立以外の条件による解もあるわけで,現実には条件次第でブラックホールは存在可能です。

　そして,一般には核反応や超新星爆発などの現象が中心となって星がブラックホール化するわけですが,ブラックホール化したあとに,外部の物体やエネルギーの吸収によって"星＝ブラックホール"が肥大していくというのも可能だと思っていました。

  しかし,現時点では次のような考え方に変わりました。

　重力崩壊が完了する前には,星全体の質量を元にして計算した仮想的な事象の地平面の内部に,星全体があるというわけではなく,崩壊の途中段階ではガウスの法則により仮想半径の外の部分に働く重力は内部にある質量のみに比例し半径の外にある部分の質量は全く無関係です。

　そもそも,地平面内部の質量だけを元に計算した自己無撞着な事象地平面の半径というものを想定すると,最初は内部質量がゼロなので,明らかにそれによる地平面半径もゼロであるというのが真であると考えられます。

　そして事象地平面は崩壊中に固定しているものではなく,重力崩壊が進んでいくと共に内部質量も次第に増加して,それと連動して地平面の半径が次第に成長していくという描像が真であると考えれば,遠方の観測者から見てもブラックホールの形成時間は有限であると考えられ全く何の問題も生じないのではないか,と思うに到りました。

　そして,重力崩壊以外の例えば２つのブラックホール同士の融合についても,こうした考えに基づいて両者の共通の地平面が有限時間で形成されると考えれば,融合によるブラックホールの成長も可能だと思います。

　ただ,し,この場合はやはり互いに自由落下して一方の質量をｍとするとき,他方がその地平面に到達するまでの座標時間 ｔ は,素朴に考えるとやはり無限大になりますね。

　具体的には,シュヴァルツシツト半径を ｒ_g＝ 2Ｇｍ/ｃ²とすると,球対称時空の計量は動径部分のみで考えたｓ波では,ｄｓ²＝ｃ²ｄτ²＝(1－ｒ_g/ｒ)ｃ²ｄｔ²－ｄｒ²/(1－ｒ_g/ｒ)です。

　この時空を仮に質量ゼロの光が自由落下すると仮定するなら,"光の経路＝測地線"はｄτ＝0 で与えられます。

　つまり光の固有時間の経過は常にゼロで,光自身は決して歳を取らずτで表わされる固有時では即座に地平面を通過して星の中心に到達するわけですね。

　そして,光の測地線はｃｄｔ＝±ｄｒ/(1－ｒ_g/ｒ)となりますから,これを素朴に解くと,時刻ｔ₀でｒ＝r₀であったとして落下の条件ならばｃ(ｔ－ｔ₀)＝(ｒ₀－ｒ)－ｒ_glog(ｒ－ｒ_g)/(ｒ₀－ｒ_g)となります。

　右辺の第１項は単に光速度で等速運動をするという距離を示しており,自由落下の効果は第２項の対数項で表わされます。

　したがって,これは距離ｒが地平面半径ｒ_gに近づくときに観測者の座標時間ｔが－ｒ_glog 0 ＋(ｒ₀－ｒ_g),つまり無限大になるということを表わしています。

　光ではなくて有限質量の物体の落下の場合は,最小作用の原理,つまりｄｓ＝ｃｄτの積分が最大になる経路が測地線になります。

　これを解いた結果だけを書くと,ｃｔ/(2ｒ_g)＝(－2/3)(ｒ/ｒ_g)^2/3－2(ｒ/ｒ_g)^1/2－log[{(ｒ/ｒ_g)^1/2－1}/{(ｒ/ｒ_g)^1/2＋１}]＋const.となり,やはり対数項の影響によって距離ｒが"地平面半径＝ｒ_g"に近づくときにｔは無限大になります。

　しかしｒがｒ_g まで到達しなくても,(ｒ－ｒ_g)がいわゆる"プランク長さ＝約10^-35ｍ"程度になるまで,接近すれば重力の量子効果が無視できないことになります。

　でも,この位置では,事実上,両者は合体したと見なしてもかまわないでしょうね。

　そして,ｒがプランク長さの距離までｒ_gに接近する時間,つまり－ｒ_glog(ｒ－ｒ_g)＋(ｒ₀－ｒ_g)に(ｒ－ｒ_g)＝約10^-35ｍを代入した時間は無限大ではなく有限です。

　このときは,逆に対数項の効果はほとんど無視できて,他の有限な項の寄与のほうがはるかに大きいことになります。

　結局,量子効果を考慮すれば,合体までの時間は無限大ではなく有限である,ということになると思うに到りました。

　(この最後の量子効果を考慮する考察の部分については,主にネットで「甘泉法師さん」から得た情報です。ありがとうございます。)

　　参考文献：佐藤文隆、原哲也　著　「宇宙物理学」　（朝倉書店）

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                       TOSHI http://blog.with2.net/link.php?269343(ブログ・ランキングの投票）