負エネルギー解と相対論的因果律

　私が学生時代には東大教授であった"奇妙さ（strangeness）の

量子数"の発見者としても知られ,「Fields and Particles」の著者と

しても有名な西島和彦氏,が著わした和書「相対論的量子力学」

（培風館）には他の著書にはない興味深いことが書かれています。 

"量子力学の相対論的波動方程式の解のうち,物理的粒子

であると考えられる正エネルギー解のみを採用して

負エネルギー解を捨てると,相対論的因果律が破れる"

ということです。 

　簡単のため,スピンがゼロで質量がゼロの粒子が存在すると

してその粒子の因果性を論じて,そのことを確かめてみま

しょう。 

　まず,質量がゼロなので,その粒子は光速度ｃで運動します。

　そこで,ある時刻ｔに位置ｒにあった粒子が時刻ｔ'に位置

ｒ'に存在する確率密度を計算すると,因果律を正しく表現

した確率であるならば,|ｒ'－ｒ|²＝ｃ²(ｔ'－ｔ)²を満足

する時空点以外ではそれはゼロになるはずです。

　以下では,簡単のためPlanck定数と光速を１,つまり

ｃ＝ｈ/2π＝1とする自然単位で計算することにします。

　求める確率密度は,＜ｘ'|ｘ＞＝＜ｒ',ｔ'|ｒ,ｔ＞という

遷移振幅で表わすことができます。

ここで,ｘ＝(ｒ,ｔ),ｘ'＝(ｒ',ｔ')です。

　この遷移振幅はいわゆる自由粒子の"伝播関数＝propagator"

で,１粒子の"Green関数＝積分核"でもあり,Fourier表示では

＜ｘ'|ｘ＞＝(2π)^-4i∫ｄ⁴ｐexp{－iｐ(ｘ'－ｘ)}/(ｐ²＋iε)

＝(2π)^-4i∫ｄ⁴ｐexp{－iＥ(ｔ'－ｔ)＋iｐ(ｒ'－ｒ)}

/(Ｅ²－ｐ²＋iε)　と表わされます。

　ここで,もしエネルギーＥが正の値しか取れないと仮定

すると,被積分関数の分母の極Ｅ＝±ω_p＝±(|ｐ|－iε)

のうち,ω_p＝(|ｐ|－iε)だけが効きますから,

∫ｄ⁴ｐのうち,∫ｄｐ⁰＝∫ｄＥのみを実行すると,

＜ｘ'|ｘ＞

＝－(2π)^-3∫ｄ³ｐexp{－i|ｐ|(ｔ'－ｔ)＋

iｐ(ｒ'－ｒ)}/(2|ｐ|)

＝－(2π)^-2∫ｄ|ｐ|ｄ(cosθ)|ｐ|exp{－i|ｐ|(ｔ'－ｔ)

＋i|ｐ||ｒ'－ｒ|cosθ}/2 となります。

　さらに,cosθによる積分を実行し,その後|ｐ|による積分を

行なうと,

－(2π)^-2∫ｄ|ｐ|exp{－i|ｐ|(ｔ'－ｔ)sin(|ｐ||ｒ'－ｒ|)

/|ｒ'－ｒ|＝(i/2π)[1/{(ｔ'－ｔ)²－|ｒ'－ｒ|²}　

を得ます。

　結局,正エネルギー解のみが許されると仮定したときの

遷移振幅は,

＜ｘ'|ｘ＞＝(i/2π)[1/{(ｔ'－ｔ)²－|ｒ'－ｒ|²}

となります。

　これを見ると,|ｒ'－ｒ|²＝ｃ²(ｔ'－ｔ)²が特異点になって

いて振幅はこの点で∞になり,これは確かに想定した質量ゼロ

の粒子が非常に大きな確率で光速度ｃで進むことを表わして

はいます。

　しかし,それ以外の点を通る確率もゼロでない値を取る

ので,厳密には相対論的因果律を破っているといえます。

一方,エネルギーＥは正の値だけでなく負の値も取る

ことができて負エネルギーの解をも認めるなら,分母

のＥの両方の極:Ｅ＝±ω_p＝±(|ｐ|－iε)をとる

ことが可能です。

　結果もそれぞれの閉経路の留数の和になります。
 

ただし,これらの極に対するｐ＝Ｅの積分の複素平面内

での周回経路は,回る向きが正反対なので,ω_p＝(|ｐ|－iε)

の留数には(2πi)が,－ω_p＝－(|ｐ|－iε)の留数には

(－2πi) が掛かります。

　(※－ω_pを極として含む周回経路は上に示した図から

下半円を除き,逆に上半円を加えたもので,向きも反時計回り

で図の,ωpを極とする経路とは逆向きです。) 

最終計算結果は,Diracのデルタ関数を用いて,

＜ｘ'|ｘ＞＝＜ｒ',ｔ'|ｒ,ｔ＞

＝(i/2π)[δ((ｔ'－ｔ)－|ｒ'－ｒ|)－δ((ｔ'－ｔ)

＋|ｒ'－ｒ|)/|ｒ'－ｒ|]となります。

得られた遷移振幅を見ると,遅延波と先進波の両方を

重ね合わせたGreen関数の形式になっています。

つまり,|ｘ＞から|ｘ'＞への遷移確率振幅:＜ｘ'|ｘ＞は粒子

が光速で進むことを意味する点:|ｒ'－ｒ|＝±ｃ(ｔ'－ｔ)のみ

に集中し,それ以外の点では完全にゼロです。

これは見事に質量がゼロの光速粒子の相対論的因果的軌道を

正しく表現するものとなっています。

それ故,西島和彦氏著の「相対論的量子力学」に書かれていた

ように,

"相対論的波動方程式の正エネルギー解のみを採用して

負エネルギー解を捨てると相対論的因果律が破れる。"

という命題が確かに成立することを示すことができました。

参考文献：西島和彦 著「相対論的量子力学」（培風館）

ＰＳ：2007年8月31日(金)追記

本文ではその当時の直観で＜ｘ'|ｘ＞＝＜ｒ',ｔ'|ｒ,ｔ＞が

Green関数,あるいは伝播関数であると説明なしで書きました

が,後付けながら一応説明しておきます。

|ｘ＞＝|ｒ,ｔ＞というのは普通は位置演算子の固有ベクトル

を表わすのに用いるケットベクトルの記法です。

実際,粒子が時刻ｔに位置ｒにいることを表現しているので,

それで間違いありません。

そして,もちろん|ｘ'＞＝|ｒ',ｔ'＞も粒子が時刻ｔ'に

位置ｒ'にいることを表現している位置演算子の固有ベクトル

を示しています。

しかし,"同じ演算子の固有ベクトル同士のスカラー積は通常ゼロ

(直交している)か,またはδ関数であるべきはず"なのに,この

場合は何故にGreen関数,または伝播関数になると主張している

のか？

という疑問が生じるでしょう。

確かにそれはもっともな疑問です。

＜ｘ'|ｘ＞＝＜ｒ',ｔ'|ｒ,ｔ＞という表現におけるブラとケット

は確かに同じ表記をしており,共に位置演算子の固有ベクトル

であることは間違いありません。

しかし,それぞれの固有ベクトルが対応している位置演算子は

暗黙のうちに時間に依存しています。

そして,時刻ｔの位置演算子と時刻ｔ'の位置演算子はユニタリ同値

ではありますが,異なる演算子であるという事実を含んでいます。

すなわち,時間発展のユニタリ演算子をＵ(ｔ)で定義すると,

(Ｈを系のHamiltonianとすると,これは自然単位で

Ｕ(ｔ)＝exp(－iＨｔ)と表現されます。)

|ｒ,ｔ＞＝Ｕ(ｔ)|ｒ＞ (|ｒ＞≡|ｒ,0＞)なので,

＜ｘ'|ｘ＞＝＜ｒ',ｔ'|ｒ,ｔ＞＝＜ｒ'|Ｕ(ｔ')^-1Ｕ(ｔ)|ｒ＞

＝＜ｒ'|Ｕ(ｔ',ｔ)|ｒ＞ (Ｕ(ｔ',ｔ)≡Ｕ(ｔ')^-1Ｕ(ｔ)

＝exp{iＨ(ｔ'－ｔ)})となります。

そして,|Ψ(ｔ)＞を任意の状態ベクトルとすると,

|Ψ(ｔ')＞＝Ｕ(ｔ',ｔ)|Ψ(ｔ)＞なので,

＜ｒ'|Ψ(ｔ')＞＝∫ｄｒ＜ｒ'|Ｕ(ｔ',ｔ)|ｒ＞＜ｒ｜Ψ(ｔ)＞

となります。

ここで＜ｒ｜Ψ(ｔ)＞は,位置表示の波動関数です。

したがって,

＜ｘ'|ｘ＞＝＜ｒ',ｔ'|ｒ,ｔ＞＝＜ｒ'|Ｕ(ｔ',ｔ)|ｒ＞となり,

これは確かに"Green関数＝伝播関数"であることが示されました。

(以上)

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                       TOSHI 

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