ゲーデルの不完全性定理

　今日もまた軽い話題を少し。。。。

　ゲーデル（Kurt Gödel)の「不完全性定理」は"通常の数学の公理から出発して証明することが不可能な命題が存在する。"というような定理だったと思いますが集合の「ラッセルの背理」などと同じような範疇に入りますね。

　"一つの数学の体系があるとき,その閉じた体系の枠内から自分自身の体系が無矛盾かどうか？を判定することはできない。”という類の定理なのでしょうね。

　有名なところでは,"クレタ人はみんなウソツキである。とクレタ人が言った。"という文があります。

　この場合,,"クレタ人はみんなウソツキである。"という命題が「正しい」のであればこのクレタ人はウソツキではないので,"クレタ人はみんなウソツキである。"という命題が「間違い」だということになります。

　一方,この命題が「間違い＝ウソ」であれば,"クレタ人はウソツキである。"ということが間違いなので,"クレタ人はウソツキではない。"ことになるにも関わらず,"これを言ったクレタ人はウソツキである。"というジレンマに陥ります。

　そこで,この,,"クレタ人はみんなウソツキである。"という命題を含む全体の文,"クレタ人はみんなウソツキである。とクレタ人が言った。"というのは"パラドックス＝矛盾"であるというわけですね。

(PS:このクレタ人の話については上では"みんな"という人称を入れて「クレタ人はみんなウソツキである。」という命題を含む文にしました。

　しかし,厳密にはこの命題が「間違い＝ウソ」の場合の否定命題は「ウソツキでない人もいる。」ということなので,全体としての文は別に"パラドックス＝矛盾"ではなかったですね。

　この文をパラドックスの例として挙げたのは,適当ではなかったことに後で気付くきました。"「私＝Ａはウソツキである。(Ａはウソしか言わない。)」とＡが言った。"と１人称の文にすべきでした。

　失礼しました。(多重人格を除きます。)）

　まあ,簡単に述べるなら,ゲーデルが証明したことは,"「この文は誤りである。」という文は正しいのか誤りなのかを証明できない。"という類のことです。

　"この文が誤り"であることが"正しい"と証明されれば"この文は正しい"ことになるので,"この文は誤り"であり,逆に"誤り"であると証明されれば"この文は正しい"ことになるので"この文が誤り"というのが正しいことになります。

　彼(ゲーデル)はこうした”証明することができない命題が数学の論理体系の中には必然的に存在する。"ことをカントールの対角線論法を使って証明したというわけです。

　（まあ,数学の公理系の無矛盾性の証明ができないことを証明した。という意味では「この文は正しい」という文が正しいことをこの文だけから証明することはできない。と言ったほうが適切なのですが,それではパラドキシカルな説明ができなくて面白味がないと思ったので逆にしました。）

　説明しようする私自身が完全には理解していないので,既にかなり混乱していますが,結局,"文を次々と枚挙してゆき,それが正しいなら誤りという文をつくって連ねていくと,正しくてかつ誤りであるというような"矛盾した文"が必ずできるということになり,ゲーデルは,そうした文が常に存在する。"ということを厳密に証明したということでしょうか。

　まあ,厳密には形式論理学の"論理式をトートロジー変形していく操作",例えば"「真理の木」のようなダイアグラムを作る操作"を続けていって最終的に矛盾を導くことなどをしなければならないのでしょうね。

　参考文献：リチャード・ジェフリー著「形式論理学」（産業図書）

PS:後記事ですがこれの続編として,2007年９/22の記事「ゲーデルの完全性,不完全性」があります。

また,さらに続いて2007年10/４の「形式論理学(1)」に始まり,(1)から(6)までで途中で中断している論理学シリーズ記事もあります。

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