スペクトル展開と超関数（量子力学）

　自分の復習の意味で"量子力学の線形演算子＝物理量"をその固有状態の状態ベクトルで作った射影演算子で展開する方法を考察してみます。

　まず,ある自己共役な線形演算子Ａの固有値が離散的であるとして,それをλ_n (ｎ＝1,2,3,...) とし,その固有状態のケットベクトルを|λ_n ＞とします。

　簡単のため縮退がないとすると ｍ≠ｎのときは＜λ_m| Ａ |λ_n＞＝λ_m＜λ_m |λ_n ＞＝λ_n ＜λ_m |λ_n ＞で,λ_m≠λ_n ですから ,＜λ_m |λ_n＞＝0 であり, |λ_m＞と |λ_n＞は直交します。

　一般に離散的固有値のみのときは,＜λ_m |λ_n ＞＝δ_mnとヒルベルト空間のベクトルとして直交規格化することができます。

　そして固有状態のベクトル系が完全系:∑_n|λ_n＞＜λ_n | ＝1であれば任意の状態のベクトル |ψ＞は |ψ＞＝∑_n|λ_n＞＜λ_n |ψ＞ と展開できます。

　特に, Ａ |ψ＞＝∑_n|λ_n＞λ_n＜λ_n |ψ＞ と書くこともできるので,P_n≡|λ_n＞＜λ_n | で射影演算子を定義すれば, Ａ＝∑_nλ_n P_n と表わすことができます。

　これを演算子のスペクトル展開といいます。

　一方,Ａが位置や運動量Ｐのような連続)固有値の場合はどうでしょうか？

　 運動量Ｐは閉じ込められたり,束縛状態(の場合には離散固有値も取りますが,自由粒子では連続固有値しか取りませんね。

　このときの Ａの連続固有値をλ,固有ベクトルを|λ＞とするとλ≠λ' ならやはり ＜λ |λ' ＞＝0 です。

　しかし,この場合は一般に固有ベクトルはノルムが有限でなく,ヒルベルト空間のベクトルでさえないので,"直交規格化"することはできません。

　例えばＸ表示で は,＜Ｘ | Ｘ'＞＝δ(X－Ｘ' ) という,ディラック(Dirac)のデルタ関数という"関数とはいえないもの＝超関数"でしか"直交規格化"をうまく表現できません。

　展開の方も,形式的には |ψ＞＝∫|λ＞＜λ |ψ＞ｄλ,また Ａ |ψ＞＝∫|λ＞λ＜λ |ψ＞ｄλと書いて,Ｐ (λ)≡|λ＞＜λ| と定義し, Ａ＝∫λP(λ) ｄλ と表現して,これを演算子の"スペクトル展開"である。としてもいいように思えます。

　しかし,Ｐ (λ)≡|λ＞＜λ|なるものを記号的,形式的に射影演算子と定義しても,これ自身が"長さ＝ノルム"が有限でなくて超関数的な実体です。

　ヒルベルト空間の上の有限な演算子,または物理量という資格がありません。

　Ａ＝∫λP(λ) ｄλという形式的な展開を表わす右辺の積分も,ルベーグやリーマンの意味での積分という通常の定義からはみ出してしまいます。

　そこでＡの固有値がλとλ＋ｄλの間のＰ（λ）ｄλ＝|λ＞ｄλ＜λ| に相当するものｄＥ（λ）をスペクトル射影演算子と定義します。

　そして,スティルチェス積分を使って,|ψ＞＝∫|ψ＞ｄＥ（λ）と展開します。

　また,Ａ＝∫λｄＥ（λ）と書けば,やっと意味のある演算子のスペクトル展開になるわけです。

　超関数を気持ち悪いと考えないなら,ディラックのオリジナルのＡ＝∫λP(λ) ｄλ＝∫|λ＞λ＜λ |ｄλを演算子のスペクトル展開としても,私は別にかまわないと思います。

　いずれの扱いでも,積分の定義を拡大解釈することにより,離散的な場合をも含めて機能的に扱うことが可能となります。

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                       TOSHI

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