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2006年8月19日 (土)

スペクトル展開と超関数(量子力学)

 自分の復習の意味で"量子力学の線形演算子=物理量"をその固有状態の状態ベクトルで作った射影演算子で展開する方法を考察してみます。

 まず,ある自己共役な線形演算子Aの固有値が離散的であるとして,それをλn (n=1,2,3,...) とし,その固有状態のケットベクトルを|λn >とします。

 簡単のため縮退がないとすると m≠nのときは<λm| A |λn>=λm<λmn >=λn <λmn >で,λm≠λn ですから ,<λmn>=0 であり, |λm>と |λn>は直交します。

 一般に離散的固有値のみのときは,<λmn >=δmnとヒルベルト空間のベクトルとして直交規格化することができます。

 そして固有状態のベクトル系が完全系:∑nn><λn | =1であれば任意の状態のベクトル |ψ>は |ψ>=∑nn><λn |ψ> と展開できます。

 特に, A |ψ>=∑nn>λn<λn |ψ> と書くこともできるので,Pn≡|λn><λn | で射影演算子を定義すれば, A=∑nλn Pn と表わすことができます。

 これを演算子のスペクトル展開といいます。

 一方,Aが位置や運動量Pのような連続)固有値の場合はどうでしょうか?

  運動量Pは閉じ込められたり,束縛状態(の場合には離散固有値も取りますが,自由粒子では連続固有値しか取りませんね。

 このときの Aの連続固有値をλ,固有ベクトルを|λ>とするとλ≠λ' ならやはり <λ |λ' >=0 です。

 しかし,この場合は一般に固有ベクトルはノルムが有限でなく,ヒルベルト空間のベクトルでさえないので,"直交規格化"することはできません。

 例えばX表示で は,<X | X'>=δ(X-X' ) という,ディラック(Dirac)のデルタ関数という"関数とはいえないもの=超関数"でしか"直交規格化"をうまく表現できません。

 展開の方も,形式的には |ψ>=∫|λ><λ |ψ>dλ,また A |ψ>=∫|λ>λ<λ |ψ>dλと書いて,P (λ)≡|λ><λ| と定義し, A=∫λP(λ) dλ と表現して,これを演算子の"スペクトル展開"である。としてもいいように思えます。

 しかし,P (λ)≡|λ><λ|なるものを記号的,形式的に射影演算子と定義しても,これ自身が"長さ=ノルム"が有限でなくて超関数的な実体です。

 ヒルベルト空間の上の有限な演算子,または物理量という資格がありません。

 A=∫λP(λ) dλという形式的な展開を表わす右辺の積分も,ルベーグやリーマンの意味での積分という通常の定義からはみ出してしまいます。

 そこでAの固有値がλとλ+dλの間のP(λ)dλ=|λ>dλ<λ| に相当するものdE(λ)をスペクトル射影演算子と定義します。

 そして,スティルチェス積分を使って,|ψ>=∫|ψ>dE(λ)と展開します。

 また,A=∫λdE(λ)と書けば,やっと意味のある演算子のスペクトル展開になるわけです。

 超関数を気持ち悪いと考えないなら,ディラックのオリジナルのA=∫λP(λ) dλ=∫|λ>λ<λ |dλを演算子のスペクトル展開としても,私は別にかまわないと思います。

 いずれの扱いでも,積分の定義を拡大解釈することにより,離散的な場合をも含めて機能的に扱うことが可能となります。

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー)                                       TOSHI

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コメント

 こんにちは、T_NAKAさん、TOSHIです。

 なるほど、同世代でしたか。。中津川へは行っていませんが。。。

 山崎ハコの「地獄」はどうもおっしゃるとおりのようで、私の映画は誤解だったようです。まあ、唄そのものは好きなんですけどね。。

 というわけで、今後ともよろしくお願いします。

                 TOSHI

投稿: TOSHI | 2006年9月 5日 (火) 08時47分

こんばんは、T_NAKAです。

どうも、同じ世代のようですね。
浅川マキは中津川フォーク・ジャンボリーで聞いた記憶があります。
舞台のトークで、彼女の母親から「もっと不潔じゃない唄を歌えないの」とか言われたとか喋ってました。
このフォーク・ジャンボリーのスターは岡林信康でしたね。(バックでベースを弾いていたのがYMOの細野氏)

ところで、山崎ハコが主題歌を歌っていた映画は「地獄」(監督:神代辰巳)
http://www.generalworks.com/databank/movie/title2/jig79.html
だと思います。これは見たことがあるんですが、神代監督作品としは失敗作でしょう。
(血の池地獄とかの仏教の地獄を特撮で描いた作品でした。)

投稿: T_NAKA | 2006年9月 4日 (月) 22時26分

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