慣性質量とエネルギーの等価性

　相対性理論,特に特殊相対性理論で内部エネルギーなどを光速ｃの２乗で割ったもの.が何故系の慣性質量となるのか,あるいは逆に質量欠損が何故エネルギーとなるのか？を計算によって確かめてみます。

　すなわち,以下では「質量とエネルギーの等価性」を証明します。

　２つの慣性座標系Ｓ (Ｏ－ｘｙｚ)系 とＳ'(Ｏ'－ｘ'ｙ'ｚ')系を考えます。

　Ｓ'系がＳに対してｘ軸に沿って一定速度ｖで直線運動をしているとしγ≡1/{1－(ｖ/ｃ)²}^1/2と置きます。

　このときの時空座標のローレンツ変換はｘ'＝γ(ｘ－ｖｔ),ｙ'＝ｙ,ｚ'＝ｚ,ｔ'＝γ(ｔ－ｖｘ/ｃ²)です。

　そして,Ｓ系では静止質量がｍ₀の単独の自由粒子の全エネルギーをＥとするとき,Ｅ＝Ｔ＋ｍ₀ｃ²,つまりＴ＝Ｅ－ｍ₀ｃ²としてＴを運動エネルギーといいます。

　Ｓ'系ではＥ'＝Ｔ'＋ｍ₀ｃ²です。

　一方,ｎ個の自由粒子から成る系を考えます。

　系全体の量は,個々の粒子についての量の和として,運動量:Ｐ＝∑_i=1^Nｐ_i,エネルギー:Ｅ＝∑_i=1^NＥ_i (Ｅ_i＝Ｔ_i＋ｍ_0iｃ²),運動エネルギー:Ｔ＝∑_i=1^NＴ_i,質量:ｍ₀＝∑_i=1^Nｍ_0i のように自然に定義できます。

　Ｓ'系においても同様です。

　そして,Ｓ系およびＳ'系で見た系全体の運動量とエネルギーの組をそれぞれ(Ｐ,Ｅ),および(Ｐ',Ｅ')とし,各粒子の運動量とエネルギーの組をそれぞれ,(ｐ_i,Ｅ_i)および(ｐ_i',Ｅ_i')と書きます。

　これらの個々の粒子については,Ｓ系の量とＳ'系の量の間の関係は全て４元運動量のローレンツ変換によって与えられます。

　すなわち,(ｃｔ,ｘ)＝(ｃｔ,ｘ,ｙ,ｚ)から(ｃｔ',ｘ')＝(ｃｔ',ｘ',ｙ',ｚ')への慣性座標系の変換が

　ｘ'＝γ(ｘ－ｖｔ)＝γ{ｘ－ｖ(ｃｔ)/ｃ},ｙ'＝ｙ,ｚ'＝ｚ,

　ｃｔ'＝γ(ｃｔ－ｖｘ/ｃ)　で与えられるケースには,

　対応する４元運動量:(Ｅ/ｃ,ｐ)＝(Ｅ/ｃ,ｐ¹,ｐ²,ｐ³)から(Ｅ'/ｃ,ｐ')＝(Ｅ'/ｃ,ｐ¹',ｐ²',ｐ³')への変換は,

　ｐ¹'＝γ(ｐ¹－ｖＥ/ｃ²),ｐ²'＝ｐ²,ｐ³'＝ｐ³,

　Ｅ'/ｃ＝γ(Ｅ/ｃ－ｖｐ¹/ｃ)＝γ(Ｅ－ｖｐ¹)/ｃ

　で与えられます。

　このとき,各座標(事象)の不変量:ｘ²－ｃ²ｔ²＝ｘ'²－ｃ'²ｔ'²に対応して,１個の自由粒子の４元運動量の不変量(ローレンツスカラー)として,

　ｐ²－Ｅ²/ｃ²＝ｐ'²－Ｅ'²/ｃ²＝－ｍ₀ｃ²が成立します。

　しかも,"系全体の力学的な量は各粒子個々の力学的な量の総和に等しい。"という性質もＳ系からＳ'系への変換でそのまま保存されます。

そして,系全体のローレンツスカラー量(不変量)については,当然満足さるべき,Ｐ²－Ｅ²/ｃ²＝Ｐ'²－Ｅ'²/ｃ²なる不変式は確かに成立します。

しかし,計算すれば明らかですが,Ｐ²－Ｅ²/ｃ²＝Ｐ'²－Ｅ'²/ｃ²の値は一般に各粒子の不変量の総和:－ｍ₀ｃ²＝－∑_i=1^N(ｍ_0iｃ²)より小さくなることがわかります。

※(注):Ｐ²－Ｅ²/ｃ²＝(∑_i=1^Nｐ_i)²－{∑_i=1^N(Ｅ_i/ｃ)}²

≦∑_i=1^N(ｐ_i²－Ｅ_i²/ｃ²)＝－∑_i=1^N(ｍ_0iｃ²)　です。

　一般に,運動状態では等号ではなく不等号です。(※)

つまり,Ｐ'²－Ｅ'²/ｃ²＜－ｍ₀ｃ²が成立しています。

このことから,左辺が常に負の数であることは明らかですから,Ｐ'＝0 となるようなＳ'系を選ぶことが常に可能です。

このように,総運動量Ｐ'がゼロとなるように取った慣性系Ｓ'を改めてＳ⁰と名付け,そのエネルギーも改めてＥ⁰と書くことにします。

Ｓ⁰系はＳ系に対して速度ｕで運動しているとして,γ≡１/{1－(ｕ/ｃ)²}^1/2とおけば,Ｐ＝γ(Ｅ⁰/ｃ²)ｕ＝{(Ｅ⁰/ｃ²)}ｕ/{1－(ｕ/ｃ)²}^1/2,かつＥ＝γＥ⁰＝Ｅ⁰/{1－(ｕ/ｃ)²}^1/2と書くことができます。

これは,"全静止質量がＭ⁰＝Ｅ⁰/ｃ²の１つの粒子が速度ｕで運動していること"として同一視すればよいことを示唆していると見えます。

Ｍ⁰＝Ｅ⁰/ｃ²＝ｍ₀＋Ｔ₀/ｃ²ですから,この系の静止質量は静止質量の和に重心静止系での個々の粒子の運動エネルギーの和をｃ²で割ったものを加えたもので与えられます。

そして,このとき不変式は確かにＰ²－Ｅ²/ｃ²＝－Ｅ^{0 2}/ｃ²＝－Ｍ⁰ｃ²となります。 

結局,自由粒子系の内部エネルギーが系の慣性質量に効いてくるという事実が示されたわけです。

(※全系が莫大な個数の分子から成る統計物理的な気体,液体,固体のような系なら,相互作用の束縛エネルギ－などを無視する近似でば,分子運動の運動エネルギーＴは系の内部エネルギー(熱)です。※)

これは,運動エネルギーＴだけでなく,熱や化学結合など全ての種類のエネルギーに拡張することができると考えられます。

参考文献：メラー「相対性理論」（みすず書房）

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                       TOSHI

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