力学的エネルギー保存則

　普通のニュートン力学で質量ｍの物体が速度ｖで運動しているときの運動エネルギーＴが何故Ｔ＝ (1/2)ｍｖ²なのか？とか,

　いわゆる力学的エネルギー保存の法則,すなわち,"(運動エネルギー＋位置エネルギー)は摩擦などの位置だけでなく速度にも依存する散逸エネルギー(熱などに転化するエネルギー)がないなら常に時間的に一定である。"のは何故か

　などの問題を高校生向けに説明してみます。 

　まず,運動エネルギーというのは何か？というと,それは速度ｖで運動中の物体を止める,すなわち速度をゼロにするにはどれくらいの"仕事＝力×距離"が必要なのか,というのがその意味ですね。

　質量ｍの物体が最初は速度ｖで走っていて,加速度ａで加速されながら距離ｓを走った後の速度をｖ'とするとｖ'とｖの関係はａとｓだけを使ってどのように表わされるでしょうか？

　結果から書くと,ｖ'²－ｖ²＝２ａｓとなります。これはｓ＝(1/2)ａｔ²＋ｖｔ,ｖ'＝ｖ＋ａtの２つめの式から,t＝(ｖ'－ｖ)/ａとなるので,これを１つめの式に代入すれば出てきます。

　ｖ'²－ｖ²＝２ａｓの両辺に(1/2)ｍを掛けてみると,(1/2)ｍｖ'²－(1/2)ｍｖ²＝ｍａｓとなりますが,運動方程式から,ｍａ＝Ｆなので右辺はＦ×ｓ,つまりこの物体に加えられた仕事になります。

　左辺は実はｓだけ力を受けながら走ったときのこの物体の持つ運動エネルギーというものの増加分になっています。つまり得られた式は(運動エネルギーの増加分)＝(もらった仕事)という式になっています。

また,ｖ'＝0 と置けば止めるのに必要な仕事は－ｍａｓ＝(1/2)ｍｖ²となりますから,最初に述べたように速度の向きとは逆向きの加速度ａ＜ 0（－ｍａｓ＞0 )でどのくらいの仕事をすれば止められるか,という意味になっています。

　後は,物体にこの仕事ｍａｓを加えることが位置エネルギーというものの減少を表わすことがいえれば力学的エネルギーの保存法則も得られます。

　つまり,速度がｖであったときの位置での位置エネルギーをＵ,ｓだけ走って速度がｖ'になった位置での位置エネルギーをＵ'と書くと,

ｍａｓ＝Ｆ×ｓ＝Ｕ－Ｕ'となるように,つまり,"位置が仕事Ｆｓをしたために位置エネルギーがＵからＵ'に減ってしまった。"というように位置エネルギーを定義すればいいと思います。

　そうすると,結局(1/2)ｍｖ'²－(1/2)ｍｖ²＝Ｕ－Ｕ'となるので,移項すると,(1/2)ｍｖ'²＋Ｕ'＝(1/2)ｍｖ²＋Ｕとなります。

　これは運動の最初と最後で(運動エネルギー＋位置エネルギー)が変化しない。つまり"力学的エネルギーが保存される"ことを述べています。

　ところで,位置エネルギーというものですが,これは例えば重力の加速度をｇとすると,地上から高さｈのところでは位置エネルギーをＵ＝ｍｇｈという値で表わせばいいことがわかります。

　物が落下するとき,物が受ける力は下向きにＦ,加速度は下向きにｇなのでＦ＝ｍｇですから,下向きにｓだけ落下したとき物がもらう仕事はＦ×ｓ＝ｍｇｓです。

そこで,下向き速さの増加によりこれだけの量だけ運動エネルギーが増加することになります。

そして,ｓだけ落下したときには,確かに位置エネルギー:Ｕ＝ｍｇｈはｍｇｓだけ減少しています。

　このように物体に加えた仕事だけ引き算されるように決められているのが位置エネルギーです。

高校の教科書などでは,逆に物をスピードをつけずにゆっくりと持ち上げるのに必要な手のする仕事が重力の位置エネルギーである,と書いてあるものが多いです。

(なぜなら,スピードがあると運動エネルギーが関係するからです。）

しかし,よく考えると,同じだけ落下したときに,重力がした仕事だけ減るものを重力の位置エネルギーと定義しても同じですね。

　ゆっくり持ち上げるときには,手が失うエネルギー(仕事)が位置エネルギーの増加になりますが,落下するときにはもちろん位置エネルギーの減少は運動エネルギーの増加になります。

(力学的エネルギーかどうかは別にして,とにかくどちらでも全エネルギーは保存されます。）

　また,バネなどはもとの状態より伸びたり,ちぢんだりした状態のほうが位置エネルギーが大きいと決めます。

そうすると,例えばバネの先に物をつけておくと伸びていたものが手をはなして縮みはじめると同時に位置エネルギーは減少をはじめ,運動エネルギーが作られて増加します。

　こうして運動エネルギーの増加が位置エネルギーの減少,運動エネルギーの減少が位置エネルギーの増加というようになっていれば,ともかく,それらの和である力学的エネルギーは保存されます。

ちなみにニュートン力学ではなくて特殊相対性理論の力学では物体のエネルギーはＥ＝ｍｃ²/{1－(ｖ/ｃ)²}^1/2(力を受けず自由に運動しているとき)ですが,速度がなくて静止しているとき:ｖ＝0 でも,Ｅはゼロではなくて,Ｅ＝ｍｃ²となります。

したがって運動エネルギーはＴ＝[ｍｃ²/{1－(ｖ/ｃ)²}^1/2]ーｍｃ²となります。

ニュートン力学でｐ＝ｍｖと書くと,運動方程式は実はｍａ＝Ｆではなく本当はｍも含めた加速度でｄｐ/ｄｔ＝Ｆとなりますが,相対論力学でもｐ＝ｍｖ/{1－(ｖ/ｃ)²}^1/2と書くと運動方程式は同じようにｄｐ/ｄｔ＝Ｆと書けます。

そこでＭ＝ｍ/{1－(ｖ/ｃ)²}^1/2と置けばｐ＝Ｍｖと書くことができてニュートン力学でのｐ＝ｍｖの形と同じになるのでよく速度が光速ｃに近づくと慣性質量が ∞ になる,などという昔からの誤まった解釈があります。

しかし,これは便宜上ニュートン力学と同じ扱いができるように見えるようにした相対論的質量などという質量もどきのＭ が∞ になるというわけです。

そもそも,特殊相対性理論とニュートンの理論とは異なるものです。

本来の質量であるいわゆる静止質量ｍが増えるわけではないので,運動エネルギーＴ＝[ｍｃ²/{1－(ｖ/ｃ)²}^1/2]ーｍｃ²が増えて∞になると解釈すべきですね。

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                       TOSHI 

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