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2006年8月13日 (日)

力学的エネルギー保存則

 普通のニュートン力学で質量mの物体が速度vで運動しているときの運動エネルギーTが何故T= (1/2)mv2なのか?とか,

 いわゆる力学的エネルギー保存の法則,すなわち,"(運動エネルギー+位置エネルギー)は摩擦などの位置だけでなく速度にも依存する散逸エネルギー(熱などに転化するエネルギー)がないなら常に時間的に一定である。"のは何故か

 などの問題を高校生向けに説明してみます。 

 まず,運動エネルギーというのは何か?というと,それは速度vで運動中の物体を止める,すなわち速度をゼロにするにはどれくらいの"仕事=力×距離"が必要なのか,というのがその意味ですね。

 質量mの物体が最初は速度vで走っていて,加速度aで加速されながら距離sを走った後の速度をv'とするとv'とvの関係はaとsだけを使ってどのように表わされるでしょうか?

 結果から書くと,v'
2-v2=2asとなります。これはs=(1/2)at2+vt,v'=v+atの2つめの式から,t=(v'-v)/aとなるので,これを1つめの式に代入すれば出てきます。

 v'
2-v2=2asの両辺に(1/2)mを掛けてみると,(1/2)mv'
2(1/2)mv2=masとなりますが,運動方程式から,ma=Fなので右辺はF×s,つまりこの物体に加えられた仕事になります。

 左辺は実はsだけ力を受けながら走ったときのこの物体の持つ運動エネルギーというものの増加分になっています。つまり得られた式は(運動エネルギーの増加分)=(もらった仕事)という式になっています。

また,v'=0 と置けば止めるのに必要な仕事は-mas=(1/2)mv2となりますから,最初に述べたように速度の向きとは逆向きの加速度a< 0(-mas>0 )でどのくらいの仕事をすれば止められるか,という意味になっています。

 後は,物体にこの仕事masを加えることが位置エネルギーというものの減少を表わすことがいえれば力学的エネルギーの保存法則も得られます。

 つまり,速度がvであったときの位置での位置エネルギーをU,sだけ走って速度がv'になった位置での位置エネルギーをU'と書くと,

 

mas=F×s=U-U'となるように,つまり,"位置が仕事Fsをしたために位置エネルギーがUからU'に減ってしまった。"というように位置エネルギーを定義すればいいと思います。

 そうすると,結局(1/2)mv'
2(1/2)mv2=U-U'となるので,移項すると,(1/2)mv'2+U'=(1/2)mv2+Uとなります。

 これは運動の最初と最後で(運動エネルギー+位置エネルギー)が変化しない。つまり"力学的エネルギーが保存される"ことを述べています。

 ところで,位置エネルギーというものですが,これは例えば重力の加速度をgとすると,地上から高さhのところでは
位置エネルギーをU=mghという値で表わせばいいことがわかります。

 物が落下するとき,物が受ける力は下向きにF,加速度は下向きにgなのでF=mgですから,下向きにsだけ落下したとき物がもらう仕事はF×s=mgsです。

 

そこで,下向き速さの増加によりこれだけの量だけ運動エネルギーが増加することになります。

 

そして,sだけ落下したときには,確かに位置エネルギー:U=mghはmgsだけ減少しています。

 このように物体に加えた仕事だけ引き算されるように決められているのが位置エネルギーです。

 

高校の教科書などでは,逆に物をスピードをつけずにゆっくりと持ち上げるのに必要な手のする仕事が重力の位置エネルギーである,と書いてあるものが多いです。

 

(なぜなら,スピードがあると運動エネルギーが関係するからです。)

 

しかし,よく考えると,同じだけ落下したときに,重力がした仕事だけ減るものを重力の位置エネルギーと定義しても同じですね。

 ゆっくり持ち上げるときには,手が失うエネルギー(仕事)が位置エネルギーの増加になりますが,落下するときにはもちろん位置エネルギーの減少は運動エネルギーの増加になります。

 

(力学的エネルギーかどうかは別にして,とにかくどちらでも全エネルギーは保存されます。)

 また,バネなどはもとの状態より伸びたり,ちぢんだりした状態のほうが位置エネルギーが大きいと決めます。

 

そうすると,例えばバネの先に物をつけておくと伸びていたものが手をはなして縮みはじめると同時に位置エネルギーは減少をはじめ,運動エネルギーが作られて増加します。

 こうして運動エネルギーの増加が位置エネルギーの減少,運動エネルギーの減少が位置エネルギーの増加というようになっていれば,ともかく,それらの和である力学的エネルギーは保存されます。

 

ちなみにニュートン力学ではなくて特殊相対性理論の力学では物体のエネルギーはE=mc2/{1-(v/c)2}1/2(力を受けず自由に運動しているとき)ですが,速度がなくて静止しているとき:v=0 でも,Eはゼロではなくて,E=mc2となります。

 

したがって運動エネルギーはT=[mc2/{1-(v/c)2}1/2]ーmc2となります。

 

ニュートン力学でp=mvと書くと,運動方程式は実はma=Fではなく本当はmも含めた加速度でdp/dt=Fとなりますが,相対論力学でもp=mv/{1-(v/c)2}1/2と書くと運動方程式は同じようにdp/dt=Fと書けます。

 

そこでM=m/{1-(v/c)2}1/2と置けばp=Mvと書くことができてニュートン力学でのp=mvの形と同じになるのでよく速度が光速cに近づくと慣性質量が ∞ になる,などという昔からの誤まった解釈があります。

 

しかし,これは便宜上ニュートン力学と同じ扱いができるように見えるようにした相対論的質量などという質量もどきのM が∞ になるというわけです。

 

そもそも,特殊相対性理論とニュートンの理論とは異なるものです。

 

本来の質量であるいわゆる静止質量mが増えるわけではないので,運動エネルギーT=[mc2/{1-(v/c)2}1/2]ーmc2が増えて∞になると解釈すべきですね。

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー)                                       TOSHI 

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コメント

 こんにちは。。。hirotaさん。TOSHIです。コメントありがとうございます。

>外からは「静止質量」と見えるものでも、内部構造まで考えると大部分が運動エネルギーだったりしますから、「相対論的質量」と「静止質量」の違いも不明確になりますね。

 そうですね。運動エネルギーが静止質量になる話は、この記事の後の同じ8月の29日の記事「慣性質量とエネルギーの同等性(等価性)」にも書いているのでよかったら見てください。

            TOSHI

投稿: TOSHI | 2007年7月17日 (火) 17時19分

外からは「静止質量」と見えるものでも、内部構造まで考えると大部分が運動エネルギーだったりしますから、「相対論的質量」と「静止質量」の違いも不明確になりますね。(視点のレベルを変えるときは注意すべき、というだけの話だが)

投稿: hirota | 2007年7月17日 (火) 14時51分

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