２つの物体の温度の接触による交換

同じ質量Ｍの２つの物体(固体)Ａ,Ｂの温度がそれぞれＴ_Ａ,Ｔ_Ｂであったとし,これらを接触させて放置すること(＝熱伝導)だけで,ＡとＢの温度を交換する方法を考えてみます。

これは,どこだったか覚えていませんが,ある大学の入試の過去問題にあったと記憶しているものを参考にしています。

　まず,一連の手順を５つの工程に分けて行います。

　なお,これらの物体を取り囲む環境は断熱で,熱は逃げたり入ってきたりすることはないと仮定しておきます。

①     ＡとＢをそれぞれ半分の質量Ｍ/2の２つの物体Ａ₁,Ａ₂とＢ₁,Ｂ₂とに分割します。

　　そしてＡ₁とＢ₁とを接触放置します,質量が同じですから熱量保存の法則によって温度はＴ_Ａ1＝Ｔ_Ｂ1＝(Ｔ_Ａ＋Ｔ_Ｂ)/2になります。

②     次にＡ₁とＢ₂とを接触放置します。

　　温度はＴ_Ａ1＝Ｔ_Ｂ2＝{(Ｔ_Ａ＋Ｔ_Ｂ)/2＋Ｔ_Ｂ}/2＝(1/4)Ｔ_Ａ＋(3/4)Ｔ_Ｂになります。

③     次にＡ₂とＢ₁とを接触放置します。

　　温度はＴ_Ａ2＝Ｔ_Ｂ1＝{Ｔ_Ａ＋(Ｔ_Ａ＋Ｔ_Ｂ)/2}/2＝(3/4)Ｔ_Ａ＋(1/4)Ｔ_Ｂになります。

④     さらにＡ₂とＢ_２とを接触放置します。

　温度はＴ_Ａ2＝Ｔ_Ｂ2＝(Ｔ_Ａ＋Ｔ_Ｂ)/2になります。

⑤     最後に,分割していたＡ₁とＡ₂,Ｂ₁とＢ₂をそれぞれ元のＡとＢに接着して戻します。

　　このとき接着して戻したＡ全体,Ｂ全体の温度は,それぞれＴ_Ａ'＝(1/2)[{(1/4)Ｔ_Ａ＋(3/4)Ｔ_Ｂ}＋{(1/2)Ｔ_Ａ＋(1/2)Ｔ_Ｂ}]＝(3/8)Ｔ_Ａ＋(5/8)Ｔ_Ｂ ,

　　Ｔ_Ｂ'＝(1/2)[{(3/4)Ｔ_Ａ＋(1/4)Ｔ_Ｂ}＋{(1/2)Ｔ_Ａ＋(1/2)Ｔ_Ｂ}]＝(5/8)Ｔ_Ａ＋(3/8)Ｔ_Ｂになります。

　これらの結果,結局Ａの温度はＴ_ＡからＴ_Ａ'＝(3/8)Ｔ_Ａ＋(5/8)

　Ｔ_Ｂに,Ｂの温度はＴ_Ｂ'＝(5/8)Ｔ_Ａ＋(3/8)Ｔ_Ｂに変わりました。

　当然のことながら,質量が同じなのでＴ_Ａ'＋Ｔ_Ｂ'＝Ｔ_Ａ＋Ｔ_Ｂが

　成立しています。

ちなみに最初Ａの温度がＴ_Ａ＝192℃,Ｂの温度がＴ_Ｂ＝320℃であったとすれば,この手順の結果としてＴ_Ａ'＝272℃,Ｔ_Ｂ'＝240℃となり,既にこの操作だけでＡ,Ｂの温度の高低が逆転しています。

では,一連のプロセスをもう１段階増やすとどうなるでしょうか？

すなわち,次の手順です。

(1）ＡとＢをそれぞれ４分の１の等質量Ｍ/4の４つの物体Ａ₁,Ａ₂,Ａ₃,Ａ₄とＢ₁,Ｂ_2,Ｂ₃,Ｂ₄とに分割します。

　そしてＡ₁,Ａ₂とＢ₁,Ｂ₂に先の手順を施行します。

　Ｔ_Ａ1＋Ａ2＝(3/8)Ｔ_Ａ＋(5/8)Ｔ_Ｂ ,Ｔ_Ｂ1＋Ｂ2＝(5/8)Ｔ_Ａ＋(3/8)

　Ｔ_Ｂになりますね。

(2)先の操作をさらにＡ₁,Ａ₂とＢ₃,Ｂ₄に施すと,Ｔ_Ａ1＋Ａ2'＝(3/8)Ｔ_Ａ1＋Ａ2＋(5/8)Ｔ_Ｂ ,Ｔ_Ｂ3＋Ｂ4'＝(5/8)Ｔ_Ａ1＋Ａ2＋(3/8)Ｔ_Ｂとなります。

(3)さらにＡ₃,Ａ₄とＢ₁,Ｂ₂でやると,Ｔ_Ａ3＋Ａ4'＝(3/8)Ｔ_Ａ＋(5/8)Ｔ_Ｂ1＋Ｂ2,Ｔ_Ｂ1＋Ｂ2'＝(5/8)Ｔ_Ａ＋(3/8)Ｔ_Ｂ1＋Ｂ2になります。

(4) さらにＡ₃,Ａ₄とＢ₃,Ｂ₄でやると,Ｔ_Ａ3＋Ａ4"＝(3/8)Ｔ_Ａ3＋Ａ4'＋(5/8)Ｔ_Ｂ3＋Ｂ4',Ｔ_Ｂ3＋Ｂ4"＝(5/8)Ｔ_Ａ3＋Ａ4'＋(3/8)Ｔ_Ｂ3＋Ｂ4'ですね。

(5)そして最後にＡ₁,Ａ₂,Ａ₃,Ａ₄をすべて接触,Ｂ₁,Ｂ_2,Ｂ₃,Ｂ₄を全て接触させて接着すれば終わりです。

　結果は煩雑なのですが,Ａの最終温度はＴ_Ａ"＝(1/2)Ｔ_Ａ1＋Ａ2'＋(1/2)Ｔ_Ａ3＋Ａ4"＝{(3/8)²＋(3/8)(5/8)²}Ｔ_Ａ＋(1/2){(5/8)³＋(5/8)(3/8)²＋2(3/8)(5/8)＋5/8}Ｔ_Ｂとなります。

　Ｂの方はもちろんＴ_Ｂ"＝(Ｔ_Ａ＋Ｔ_Ｂ)－Ｔ_Ａ"ですね。

ではこのプロセスを無限回分割という段階にして行うとどうなるのでしょうか？

簡単のために,ａ≡3/8,ｂ≡１－ａ＝5/8としておき,ｎ段階の操作の後のＡの温度をＴ_nとしておきます。

すると,Ｔ₁＝ａＴ_Ａ＋ｂＴ_Ｂ,Ｔ₂＝(ａ²＋ａｂ²)Ｔ_Ａ＋(1－ａ²－ａｂ²)Ｔ_Ｂとなります。

一般にＴ_n＝ａ_nＴ_Ａ＋ｂ_nＴ_Ｂ (ｂ_n＝１－ａ_n)と置くと,ａ_n+1＝ａ_n²＋ａ_nｂ_n²＝ａ_n²＋ａ_n(1－ａ_n)²＝ａ_n(ａ_n²－ａ_n＋１),ｂ_n+1＝１－ａ_n+1と漸化式で書けます。

しかし,このａ_n+1＝ａ_n(ａ_n²－ａ_n＋１)(ａ₁＝3/8)は線形ではないので,一般的に考えて初等的手段では解けませんね。

しかし,ａ_n+1/ａ_n＝ａ_n²－ａ_n＋１＝(ａ_n－1/2)²＋3/4＞3/4であり,(ａ_n+1/ａ_n)－1＝ａ_n²－ａ_n＝－ａ_n(１－ａ_n)ですが,0＜ａ_n＜１なので,常に 0＜(ａ_n+1/ａ_n)＜１です。

故に, 0 ＜ｒ＜１なる定数ｒが存在して 0＜(ａ_n+1/ａ_n)＜ｒとなるため,ａ_n＜ｒ^n-1ａ₁ですから,ｎ→∞ に対しａ_n→ 0 となることが示されます。

したがって,もちろん,ｎ→∞ でｂ_n→ 1ですね。

すなわち,この熱伝導接触操作の分割ステップｎを無限に増加させていくと物体Ａの温度はＴ_n → Ｔ_Ｂと元の物体Ｂの温度に近づき,逆に物体Ｂの温度は元の物体Ａの温度Ｔ_Ａに近づくわけです。

こうして無限回分割の施行をすれば「マクスウェルの悪魔」というわけではないですが,接触のみの操作によってＡとＢの温度を"交換すること＝入れ替えること"が原理的には可能である,ということになります。

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                       TOSHI 

http://blog.with2.net/link.php?269343(ブログ・ランキングの投票）↑ここをクリックすると投票したことになります。