空気中での音速

　今日も初歩的ベクトル解析がわかる程度の大学初年級向けの軽い物理学のトピックスを１つ解説してみようと思い,空気中での"音速＝弾性波の速さ"をニュートン(Newton)が求めたようなやり方で計算してみたいと思います。

　空気の流れの速度ベクトルをｖ,密度をρ,圧力をｐとします。考えている領域での主流速,つまり平均流速はゼロとします。

　これは普通に風速を観測すれば風は吹いていない静穏状態(calm)と見なされるという意味です。

　そうすると,空気の流れの速度ベクトルｖは"平均速度＝ゼロ"からのずれを意味しますから,ｖは変位速度と呼ばれるものに相当します。

　つまり,ｖは主流速(ゼロ)からの微小なゆらぎ速度で,波動,または振動と見なせる程度の量です。

　そして,一般に地上付近の空気中の通常の巨視的対象物のスケールでは,系のレイノルズ数(Reynolds number):Reは10万を超える大きな値になると考えられます。

　そこで,ごく薄い境界層内以外の空中では粘性(1/Reに比例)は無視できるため,考察対象の運動方程式は完全流体のオイラー(Euler)方程式(粘性＝摩擦の無い流体のニュートンの運動方程式)で与えられるはずです。

　そして,平均流速はゼロであるとしているので今の場合のオイラーの運動方程式では"移流項＝慣性項"はありません。

　すなわち,ρを空気の密度,ｐを空気の圧力とすると,"流れ速度＝変位速度"ｖに対する運動方程式は,移流項の無いオイラー方程式:

　∂ｖ/∂ｔ＝－∇ｐ/ρ－ｇｋ　

で与えられます。

　ただし,ｇは重力の加速度,ｋは鉛直上向きの単位ベクトルです。

　ここで,ρを空気の平均密度ρ₀とそれからのずれρ'の和として,

　ρ＝ρ₀＋ρ'と書き,

　圧力ｐも平均圧力ｐ₀とそれからのずれｐ'の和として

　ｐ＝ｐ₀＋ｐ'とします。

　ただし,平均量については静力学平衡:∇ｐ₀＝－ρ₀ｇｋが成立しているとします。

　そして,ρ',ｐ',ｖについては２次以上の微小量を無視する近似を行なうと,運動方程式∂ｖ/∂ｔ＝－∇ｐ/ρ－ｇｋは,

　∂(ρ₀ｖ)/∂ｔ＝－∇ｐ'

　になります。

　一方,空気の質量保存を表わす連続の方程式は,

　∂ρ/∂ｔ＋∇(ρｖ)＝0 ですが,これも

　∂ρ'/∂ｔ＋∇(ρ₀ｖ)＝0 　になります。

　そして,運動方程式:∂(ρ₀ｖ)/∂ｔ＝－∇ｐ'の両辺の発散を取ると,

　∂{∇(ρ₀ｖ)/∂ｔ}＝－∇(∇ｐ')＝△ｐ'となります。

　ただし,△≡∇²はラプラスの演算子＝ラプラシアン(Laplacian)です。

　連続の方程式:∂ρ'/∂ｔ＋∇(ρ₀ｖ)＝0 からは,

∇(ρ₀ｖ)＝－∂ρ'/∂ｔが得られますから,

これを運動方程式に代入すると,

　∂²ρ'/∂ｔ²＝△ｐ'　

なる関係式を得ます。

　ところで,熱力学的には弾性振動現象は熱の流出入の無い断熱過程ですから,理想気体の断熱過程に対する式であるポアソン(Poisson)の公式:

　ｐ＝ｃρ^γ　が成立すると考えられます。

　ここで,γは比熱比＝Ｃ_p/Ｃ_ｖです。ただしＣ_vは定積比熱,Ｃ_pは定圧比熱を示し,ｃは適当な定数です。

したがって,∂ρ/∂ｔ＝{ρ/(γｐ)}(∂ｐ/∂ｔ),さらに∂²ρ/∂ｔ²＝∂[{ρ/(γｐ)}(∂ｐ/∂ｔ)]/∂ｔですが,

係数{ρ/(γｐ)}をｔで微分することによって生じる非線形項はｖの２次以上の微小量なので無視します。

つまり,弾性波の伝わる現象の時間スケールは,波動の周期と比べて十分大きいため,

日常的な音の伝播する現象のレベルでは,巨視的な密度ρや圧力ｐをこのサイクルでの平均量として微分の外に出すことにより方程式を線形化する近似が有効であると考えます。

それ故,∂²ρ/∂ｔ²＝∂[{ρ/(γｐ)}(∂ｐ/∂ｔ)]/∂ｔは,

∂²ρ'/∂ｔ²＝{ρ₀/(γｐ₀)}(∂²ｐ'/∂ｔ²)と近似可能です。

これを∂²ρ'/∂ｔ²＝△ｐ'に代入すると,最終的に

∂²ｐ'/∂ｔ²＝(γｐ₀/ρ₀)(△ｐ')

なる線形近似の微分方程式が得られます。

これは"圧力を変位とする波＝圧力波"の波動方程式です。

このままでもいいのですが,これをｖに対する方程式に変換しておきましょう。

∂²ｐ'/∂ｔ²＝(γｐ₀/ρ₀)(△ｐ')の勾配を取ります。

右辺の係数は空間に対しても平均量であると考えて,

∂(ρ₀ｖ)/∂ｔ＝－∇ｐ'を利用すれば,

∂²{∂(ρ₀ｖ)/∂ｔ}/∂ｔ²＝(γｐ₀/ρ₀)[△{∂(ρ₀ｖ)/∂ｔ}

となります。

これを逆にｔで積分します。

積分定数である空間座標の任意関数は,初期条件としてｔがゼロのときには波動はまだ存在せず,速度やその微分はゼロであったとしてよいので,これをゼロとします。

∂{∂(ρ₀ｖ)/∂ｔ}/∂ｔ＝(γｐ₀/ρ₀){△(ρ₀ｖ)}ですが,ρ₀や右辺の係数は既に平均量と見なす近似をしています。

最後にρ₀を微分の外に出して,これで両辺を割ると,

∂²ｖ/∂ｔ²＝(γｐ₀/ρ₀)(△ｖ) を得ます。

これは圧力波の方程式:∂²ｐ'/∂ｔ²＝(γｐ₀/ρ₀)(△ｐ')と同じ形の変位速度ｖに対する波動方程式です。

　これらの波動方程式は圧力波の方程式形にしても変位速度の方程式形にしても,明らかに波の"位相速度＝音速"ｕが一定で,その値は

　ｕ＝√(γｐ₀/ρ₀)＝(γｐ₀/ρ₀)^1/2

という式で与えられることがわかります。

　ところで,Ｍを空気の分子量,Ｔを絶対温度,Ｒを気体定数とすると,空気を理想気体と考えたときの状態方程式はｐ₀＝ρ₀ＲＴ/Ｍです。

　したがって音速は,ｕ＝(γｐ₀/ρ₀)^1/2＝(γＲＴ/Ｍ)^1/2となります。

　より具体的にはｔを空気の摂氏(Celsius)温度とすると,

　Ｔ＝Ｔ₀＋ｔ(ただしＴ₀＝273.15Ｋ)ですから,

　ｕ＝(γＲＴ/Ｍ)^1/2＝(γＲＴ₀/Ｍ)^1/2(１＋ｔ/Ｔ₀)^1/2

≒(γＲＴ₀/Ｍ)^1/2{１＋ｔ/(2Ｔ₀)]です。

　さらに,地上付近の空気は,ほぼ窒素Ｎ₂が80％,酸素Ｏ₂が20％の混合気体ですが,いずれにしても２原子分子ですから,そのモル比熱はＣv＝(5/2)Ｒ,Ｃp＝(7/2)Ｒであり,比熱比γはγ＝1.40です。

　また,気体定数はＲ＝8.31,分子量の実測値はＭ＝28.964×10^-3ですから,概算で(γＲＴ₀/Ｍ)^1/2＝331.2(m/s),そして(γＲＴ₀/Ｍ)^1/2/(2Ｔ₀)＝0.606となります。

　つまり,摂氏温度ｔの地上付近の静止大気中での音速ｕは近似的に,

　ｕ＝331.2＋0.606ｔ(m/s)

なる式で与えられるという理論的結論が得られました。

　これによると,常温＝約15℃での空気中での音速の理論的近似値は340(m/s)になりますね。

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                       TOSHI

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