線形微分方程式系の直接解法(ボックスモデル)

　今日は屋内での汚染物質濃度を求めることを仮定した簡易ボックスモデルを例にとって定数係数の連立線形常微分方程式の数値解を求めるための１つの手法を紹介します。

　室内の濃度分布を計算するには簡易モデルではなくて熱対流などの気流を計算する２方程式モデルなどに移流拡散方程式を付加した非定常な数値流体方程式を解くという大げさな方法もあります。

　しかし,ここでは部屋の平均濃度だけを計算する,という簡易ボックスモデルを考察します。

　例えば容積がＶ(ｍ³)の部屋の中央に石油ストーブなどがあって,それからの一酸化炭素(CO)の排出強度がＱ(ｍ³/s)であるとします。

　もしも部屋が密閉されていれば,時間ｔが経った後に,その一酸化炭素の平均濃度をＣとすると,Ｃ＝Ｑｔ/Ｖになると考えていいでしょう。

　しかし一般に部屋には隙間があって換気されるわけで,通常１時間に部屋全体の空気が入れ替わる回数を換気率という量で表わします。

　例えば容積Ｖの部屋の換気率がｎなら,１時間の後には総量ｎＶの空気が排出され,物質量の保存則によって同時にｎＶの空気が外部から入ってくるわけです。

　それ故,１秒当たりの空気の流出入量をｋ(ｍ³/s)とするとｋ＝ｎＶ/3600 ですね。

そこで,各時刻の部屋の中の一酸化炭素の平均濃度をＣ(ｔ)で表わすとこの部屋の中の単位体積当たりのその量は各時刻にＣ(ｔ)(ｍ³/ｍ³)なので時刻Δｔの間に外気に流出する一酸化炭素の量はｋＣ(ｔ)Δｔです。

一方,外気の一酸化炭素濃度(一定:constant)をＣ₀とすると,

流入量はｋＣ₀Δｔですから,部屋内のその量の時刻変化は,

Ｖ(Ｃ(ｔ＋Δｔ)－Ｃ(ｔ))＝ｋ[Ｃ₀－Ｃ(ｔ)]Δｔなる式で

与えられます。

　さらに排出強度をＱとすると,右辺には発生量ＱΔｔが加わりますから,

結局,一酸化炭素濃度に対する微分方程式は,

ｄＣ/ｄｔ＝ａ(Ｃ₀－Ｃ)＋Ｑ/Ｖ　と表わすことができます。

　ここで,ａ≡ｋ/Ｖです。

　Ｂ＝ａＣ₀＋Ｑ/ＶとおけばｄＣ/ｄｔ＝－ａＣ＋Ｂとなりますが,

　この微分方程式は簡単に解けて,

　Ｃ(ｔ)＝(Ｃ( 0 )－ａ^-1Ｂ)exp(－ａｔ)＋ａ^-1Ｂ　

　なる解が得られます。

こうしたモデルを室内物質濃度の簡易ボックスモデルと言います。

　これを一般化して各部屋の容積がＶ_i(ｉ＝1,2,..,ｍ)のｍ個の部屋を有する住宅があって,これらの部屋の平均濃度が(ｍ＋1)次元の列ベクトルでＣ(ｔ)＝^t(Ｃ₀,Ｃ₁,Ｃ₂,..,Ｃ_m)で表わされるとします。

　ここで,Ｃ_kはｋ番目の部屋における物質濃度です。

　特に,Ｃ₀は屋外の平均濃度値を示しています。

そして各部屋には排出強度Ｑ_iの排出源があり"部屋iと部屋ｊの間の換気量＝先の方程式のｋに相当する値"をｋ_ij＝ｋ_ji(i≠ｊ;ｉ,ｊ＝0,1,2,..ｍ)とします。

すると,このボックスモデルの微分方程式は,

ｄＣ_i/ｄｔ＝∑_j=0^mａ_ij(Ｃ_j－Ｃ_i)＋Ｑ_i/Ｖ_i(ｉ＝0,1,2,..,ｍ)

となります。ただしａ_ij≡(ｋ_ij/Ｖ_i)です。

　さらに,(排出強度/容積)の列ベクトルを,

　Ｂ≡^t(Ｑ₀/Ｖ₀,Ｑ₁/Ｖ₁Ｑ₂/Ｖ₂,..,Ｑ_m/Ｖ_m)で定義します。

　ただしＱ₀/Ｖ₀＝0 としておきます。

　また,λ_i≡∑_j=0^mａ_ijと定義し,行列Ａを成分;(ａ_ij－λ_iδ_ij)によって定義すれば,濃度を求めるボックスモデルの微分方程式:(ｍ＋1)変数の定数係数連立線形非同次微分方程式は,

　(ｍ＋1)次元ベクトル空間での線形非同次微分方程式として,

　ｄＣ/ｄｔ＝－ＡＣ＋Ｂ　と表わされます。 　

　この方程式の形式的な解は簡単に求めることができて,

　初期値Ｃ(0)に対し,Ｃ(ｔ)＝{Ｃ(0)－Ａ^-1Ｂ}exp(－Ａｔ)＋Ａ^-1Ｂ

　と書くことができます。

　さらに,濃度をこうした形式解ではなく実際に具体的に求めるには,

　従来の慣用的な方法であれば,Ａの最大(ｍ＋1)個の固有値:λ_i(ｉ＝0,1,2,．．ｍ)を全て求め,Ｃ(ｔ)の各成分を具体的にexp(－λ_iｔ)の

１次結合で表わします。

　しかし,高々10部屋程度の住宅で行列Ａが具体的にわかっているときには,固有値を求めるなどという面倒な手続きを省略して,コンピュータで無理矢理,力技で行列の指数関数を計算してしまう,という方法があります。

　形式解:Ｃ(ｔ)＝{Ｃ(0)－Ａ^-1Ｂ}exp(－Ａｔ)＋Ａ^-1Ｂで,

　逆行列:Ａ^-1はＡからコンピュータで掃き出し法などで計算可能ですし,

　exp(－Ａｔ)＝∑_ν=0^∞(－Ａｔ)^ν/ν!であり,コンピュータで行列のベキ乗(power):(－Ａｔ)^νを具体的に計算することも可能です。

　そこで,左辺のexp(－Ａｔ)を右辺の∑_ν=0^∞のν＝0,1,2,..の最初の数項で近似評価することによって力技で数値的にＣ(ｔ)の近似解を求めることができるわけです。

　逆に,この近似解と物質濃度の直接測定実験の結果から非線形最小二乗法などによって換気率パラメータ:ｋ_ijを推定することもできます。

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物理的仕事と生理的仕事

　歳のせいなのか？最近左の肩が凝り左腕が痛いという症状に悩まされています。

　50肩再発の予兆かもしれません。左手に物をぶら下げて持つだけで痛みが走ります。

　人間の身体というのは神が機能的に創られたのでしょうが,こうした物理的仕事をしなくても生理的仕事をすることにより身体のエネルギーを消費して疲れや空腹を感じるようにできているのは困ったものです。

　物理学,特に力学においては仕事というのは,"力×移動距離"で定義され,この移動距離というのは力の働く向きの成分だけを指します。

　そしてこの力学的仕事をする能力のことが,いわゆる"エネルギー"として定義されるわけです。

　したがって物を手にぶら下げているだけで全く動かないなら,腕は"重力に抗する力＝重さを支える力を働かせていても移動距離がゼロですから,腕が行なう"力学的仕事＝物理的仕事"というのはゼロです。

　したがって,力学的にはエネルギーを全く必要としないのですから,物理学,特に力学だけを考えるなら身体が疲れたり痛みを感じたりすることもないはずなのです。

　では,何故我々は重い物を持って立ち止まっているだけで身体はエネルギーを消費し疲れたり汗をかいたりするのでしょうか？

　金属なら,金属疲労などという言葉はありますが,それは例えば機械の接合部などで繰り返し運動などによる物理的仕事を何回も受ける結果で,そのためにわずかでも振動などをするので移動距離があるからです。

　例えば,金属で出来ているとは限りませんが机の上に重い物を置いても机はもちろん剛体ではありませんから,その物体の重力を受けて最初はわずかに凹んだ後,弾性力によって反動を受けます。

　このために振動しても,その振動はすぐに減衰して静止した後には全く動かず,結局エネルギーを消費することはありません。

　こうした机や椅子とか建物の柱などの非生物が物を支えているだけで地震もないのに,ちょくちょく疲労を感じて倒れたり壊れたりしたらたまったものではありません。 

　それに対して,人間は鉄棒にぶら下がっただけでもやがて落ちてしまうというふうに,弾性体の一つであるとも言えない弱いものです。

　腕などの外部筋が内臓の腸などのように平滑筋でできていれば,その刺激に対する反応は比較的遅いので張力などに対して,まだしも長持ちするはずなのですが,

　如何せん,腕などというのは単に物を持つためだけにあるわけではないので,それは刺激に対して比較的反応が速い横紋筋でできています。

　それゆえ,引っ張られたりする刺激に対して急速に収縮と弛緩を繰り返すようにできているわけです。 

　物を下げていても外部的には動かないわけですから,何も物理的仕事をしていないように見えますが,実は"腕の筋肉＝横紋筋"の組織は収縮と弛緩という振動運動のようなものを継続的に行なっているわけです。

　したがって,それは体の内部の筋肉自身にとっては,物理的仕事をしていることに他なりません。

　そこで,身体から発生する熱エネルギー(heat)などを用いてその物理的仕事をこなす必要があり,結果として疲れるわけですね。 

　これに対し,上にも述べたように鉄骨などで支えられている建物などが疲労を感じてバタバタ倒れたりしたのではたまったものではありませんが,

　それらが疲労したり倒れたりするのは現実に風や波や地震などの物理的作用によって,わずかでも運動をするからです。

　つまり,鉄骨などなら"力×動き"の物理的仕事を受けたときだけ"疲労する"のであり,静止しているだけでは人間のように疲労はしません。 

　まあ,人間も死体になってしまえば何か物をひもでぶら下げられたりしても疲労することはありませんがね。。。。

　張力でも圧力でも受けた刺激に対し化学反応などが起こって筋肉の収縮や弛緩の反応が起こるのも実は生きている証拠なのかもしれません。 

　参考文献：ファインマン物理学Ⅰ(坪井忠二訳)「力学」（岩波書店）

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数論の演習問題(解答)

　ちと早いけど,昨日出した問題の解答を与えておきます。あまりスマートではなく泥臭い解答となりましたが,もっとエレガントな方法があればコメントで披露してください。

問１．(2¹⁰⁰－1)⁹⁹を100で割ったときの余りを求めよ。（ヒントは 2¹⁰＝1024でこれを100 で割った余りは24であるということです。）

(解答) まず, 2¹⁰＝1024≡24(mod 100 )です。そして, 24²＝576≡－24(mod 100)ですから,24³≡－24²≡24(mod100)...etc.になります。

　よって2¹⁰⁰≡24¹⁰≡－24(mod 100)です。それ故, 2¹⁰⁰－1≡－25(mod 100)ですね。

　次に(－25)²＝625≡25(mod 100)ですから,(2¹⁰⁰－1)⁹⁹≡(－25)⁹⁸・(－25)≡-25≡75(mod 100)である,というわけで,(2¹⁰⁰－1)⁹⁹を100で割った余りは75である,というのが結論です。(以上）

問2. 3³⁰≡1＋17・31 (mod  31²)であることを証明せよ。

(解答) "フェルマー(Fermat)の小定理"によれば,3³⁰≡1(mod31)です。

　よってＡ をある整数として,3³⁰＝31Ａ＋1と書けますから,Ａ≡ 17(mod31)となることを証明すればいいです。

　そこで,方針としては3¹⁵≡1(mod31)か,あるいは3¹⁵≡－1(mod31)であるかのいずれかなので,3¹⁵＝31Ｂ±1より,3³⁰＝(31Ｂ±1)²≡1±2Ｂ・31(mod 31²)として,±2Ｂ≡Ａ≡17(mod31)を示すことにします。

　そのために,まず3⁵＝243＝(31・8－5)と書き,両辺を３乗します。

　すなわち,3¹⁵＝(31・8－5)³＝(31・8)³－15(31・8)²＋75・31・8－125≡600・31－4・31－1≡7・31－1(mod 31²)ですが,これをまとめると3¹⁵≡7・31－1(mod 31²)となります。

　したがって,Ａ≡－2Ｂ＝－14≡17(mod31)となるので,結局,証明の結論である3³⁰≡1＋17・31(mod 31²)が得られました。(以上)

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数論の演習問題

　今日は久しぶりに数学の問題を出しましょう。

　簡単な整数論の演習問題です。

問１．(2¹⁰⁰－1)⁹⁹ を100で割ったときの余りを求めよ。（ヒントは 2¹⁰＝1024 でこれを100 で割った余りは24であるということです。）

問2． 3³⁰≡1＋17・31(mod 31²)であることを証明せよ。

の２つです。

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ベナール対流の安定性とレイリー数

　今日は上下にそれぞれ一様な温度の床と天井があるところに閉じ込められた流体があって,元々はその高さに比例した温度変化と圧力変化を持って静止していた流体の,上下についての対流の発生,および安定性とレイリー数(Rayleigh number)との関係について述べたいと思います。

　これは,いわゆるベナール対流(Benard's convection)の問題です。

　そのために,まず流体方程式系の非圧縮近似について考察するところから始めましょう。

　実在の流体は流体速度が音速に比較して非常に小さいときは,非圧縮性流体:Ｄρ/Ｄｔ＝0 で近似することができます。

　特に重力による圧力傾度と釣り合った静力学平衡:∂Ｐ/∂ｚ＝－ρｇを満たすような密度ρ＝ρ₀ からの温度分布によるずれ:Δρだけを圧縮性として考慮し,それ以外は非圧縮性流体として扱う近似が正当化されます。

　これは,気象力学などでブジネスク(Boussinesq)近似としてよく利用される近似です。

　準備として,まずその定式化をすることにします。

　"質量保存の方程式＝連続の方程式"は,(∂ρ/∂ｔ)＋div(ρｖ)＝ 0 ですが,これをLagrange微分で表すとＤρ/Ｄｔ＋ρdivｖ＝0 です。

　Lagrange微分は,Ｄ/Ｄｔ≡∂/∂ｔ＋ｖ∇です。

　そこで,非圧縮性流体Ｄρ/Ｄｔ＝0 の近似を行なうと連続の方程式は,

　divｖ＝0 となります。

　次に,運動方程式は初めから圧力項を除く部分では非圧縮 divｖ＝0 を仮定し,外力は重力だけであるとするナビエ・ストークス方程式(Navier-Stokes equation)とします。

　すなわち,運動方程式は,圧力項以外,非圧縮のNavier Stokes方程式:

 Ｄｖ/Ｄｔ＝－∇Ｐ/ρ－ｇｋ＋ν∇²ｖ 　を出発点にします。

　ρ＝ρ₀＋Δρ,Ｐ＝Ｐ₀＋Ｐ'とおき,∇Ｐ₀＝－ρ₀ｇｋとして運動方程式の右辺の－∇Ｐ/ρを展開して２次の微小量を無視します。

　すると,－∇Ｐ/ρ＝－∇(Ｐ₀＋Ｐ')/(ρ₀＋Δρ)＝－(1/ρ₀)[１－(Δρ/ρ₀)]∇(Ｐ₀＋Ｐ')＝[1－(Δρ/ρ₀)]ｇｋ－∇Ｐ'/ρ₀です。

　ただしｇは重力の加速度,νは動粘性係数＝η/ρです。

　そこで,運動方程式は,

　Ｄｖ/Ｄｔ＝－∇Ｐ'/ρ₀－(Δρ/ρ₀)ｇｋ＋ν∇²ｖとなります。

　これがBoussinesq近似です。

　温度Ｔは密度と圧力で決まるので温度での表現も与えておきます。

 ρ₀,Ｐ₀に対応する温度をＴ₀とし,Ｔ＝Ｔ₀＋ΔＴとおくと,圧縮率をαとしてρ＝ρ₀(1－αΔＴ)となります。

　Δρ/ρ₀＝－αΔＴですから,運動方程式は,

　Ｄｖ/Ｄｔ＝－∇Ｐ'/ρ₀＋αｇΔＴｋ＋ν∇²ｖ　と変形できます。

　最後に,エネルギー方程式です。

　これは温度の方程式に直すことができて,粘性による散逸エネルギーを無視すればＤＴ/Ｄｔ＝κ∇²Ｔで与えられます。

　ここに,κ＝ｋ/(ρＣ_p)は温度拡散係数です。

　ｋは熱伝導係数であり,Ｃ_pは定圧比熱です。

　以下では,ｖ＝(ｕ,ｖ,ｗ)として話を進めます。

　まず最初の設定としては領域全体でｕ＝ｖ＝ｗ＝0 とします。

　そして,温度は床ｚ＝0 ではＴ＝Ｔ₀,天井ｚ＝ｈではＴ＝Ｔ₁で時間的に変わらないとします。この境界条件を満たす定常熱伝導の方程式∇²Ｔ＝0 の解はＴ(ｚ)＝Ｔ₀－βｚ＝Ｔ₀＋{(Ｔ₁－Ｔ₀)/ｈ}ｚですね。

　ここで,β＞0 ,すなわちＴ₀＞Ｔ₁とします。

　何故なら,

　さもないと地球上の重力場の中では対流が起きないからです。

　　    ベナール対流の模式図↓

 (PDF:熱対流現象(山中透:京大)から勝手に引用)

　そればかりでなく|β|＝－βの値が,いわゆる断熱温度減率(＝湿度によって変化します)より大きくないと対流は起きません。(例えばランダウ著「流体力学１」(東京図書)参照） 

　そして,圧力はＰ(ｚ)＝－ρｇｚ＋const.とします。

　ｖ＝(ｕ,ｖ,ｗ)を,改めてｕ＝ｖ＝ｗ＝0 の平衡状態からのずれ:摂動流速と見なし,温度もＴ≡Ｔ(ｚ)＋θ≡Ｔ－βｚ＋θ,圧力もＰ≡Ｐ(ｚ)＋Ｐ'として摂動温度θ,摂動圧力Ｐ'を取ります。

　連続方程式は,∂ｕ/∂ｘ＋∂ｖ/∂ｙ＋∂ｗ/∂ｚ＝0 です。

　またBoussinesq近似での運動方程式は,

　Ｄｕ/Ｄｔ＝－(∂Ｐ'/∂ｘ)/ρ₀＋ν∇²ｕ,

　Ｄｖ/Ｄｔ＝－(∂Ｐ'/∂ｙ)/ρ₀＋ν∇²ｖ,

　Ｄｗ/Ｄｔ＝－(∂Ｐ'/∂ｚ)/ρ₀＋αｇθ＋ν∇²ｗ

　となります。 

　温度方程式は,ＤＴ/Ｄｔ＝κ∇²Ｔですが,ＤＴ/Ｄｔの中の移流項ｖ∇Ｔは主流を取って,ｗ∂Ｔ/∂ｚ＝－βｗのみですから, 

　∂θ/∂ｔ＝βｗ＋κ∇²θ　となります。 

　ここで,運動方程式からｕとｖを消去するために,ｖ＝(ｕ,ｖ,ｗ)の"回転＝渦"(vortex):ω＝rotｖを取ります。

　ζ≡∂ｖ/∂ｘ－∂ｕ/∂ｙとすると,運動方程式から

　∂ζ/∂ｔ＝ν∇²ζが得られます。

　また,(∂/∂ｔ)∇²ｗ＝αｇ(∇²－∂²/∂ｚ²)θ＋ν∇⁴ｗ

なる式も得られます。

　こうして基本方程式系としては,ｗ,θ,ζの３つを未知数とする３つの微分方程式が得られたことになります。

　さらに,ｘ,ｙ,ｔの独立変数をｚから分離するため,変数分離形を仮定して,ｗ≡Ｗ(ｚ)exp[i(ｋ_xｘ＋ｋ_yｙ)＋ｐｔ],θ≡Θ(ｚ)exp[i(ｋ_xｘ＋ｋ_yｙ)＋ｐｔ],ζ≡Ζ(ｚ)exp[i(ｋ_xｘ＋ｋ_yｙ)＋ｐｔ]　と置きます。

　これは方程式系において,∂/∂ｔ＝ｐ,∇²－∂²/∂ｚ²＝－ｋ²≡－(ｋ_x²＋ｋ_y²),∇²＝ｄ²/ｄｚ²－ｋ²と置き換えることに相当します。 

　すると,

　ｐ(ｄ²/ｄｚ²－ｋ²)Ｗ＝－αｇｋ²Θ＋ν(ｄ²/ｄｚ²－ｋ²)²Ｗ,

　ｐΘ＝βＷ＋κ(ｄ²/ｄｚ²－ｋ²)Θ,

　ｐΖ＝ν(ｄ²/ｄｚ²－ｋ²)Ζ

　となります。

　これは３つめの方程式とは別に,前の２つのＷとΘだけで独立しているのでこれら２つだけでも解ける形になっています。

　そして,床と天井での境界条件はｚ＝0 とｚ＝ｈでΘ＝Ｗ＝Ζ＝0 ,ｄＷ/ｄｚ＝0 です。

　ここで,これらの方程式を無次元化するために単位を[Ｌ]＝ｈ,[Ｔ]＝ｈ²/νに取ることにして,ａ≡ｋｈ,σ≡ｐｈ²/νとします。

　ｘ,ｙ,ｚの単位もｈとした後に,Ｄ≡ｄ/ｄｚと定義し,温度拡散のプラントル数(Prandtl number)をＰｒ≡ν/κとします。

　すると,３つのうち前の２つの方程式は,

　(Ｄ²－ａ²)(Ｄ²－ａ²－σ)Ｗ＝(αｇｈ²/ν)ａ²Θ,および

　(Ｄ²－ａ²－Ｐｒ・σ)Θ＝－(βＨ²/κ)Ｗ　となります。

　そして境界条件は,ｚ＝0 とｚ＝1 においてΘ＝Ｗ＝Ζ＝0 ,

　ＤＷ＝0 です。

　ただし,ＷとΘは通常の単位であり無次元化していません。

　Θを消去すると,

　(Ｄ²－ａ²)(Ｄ²－ａ²－σ)(Ｄ²－ａ²－Ｐｒ・σ)Ｗ＝－Ｒａ²Ｗ

　となります。

　Ｒはレイリー数(Rayleigh number)で,これはＲ≡ｇαβｈ⁴/(κν)で定義される無次元数であり方程式を支配する特徴的な数です。

　安定性を調べるためには,σ＝0 (つまりｐ＝0)の特別なケースを調べればよいと思われます。

　何故なら,時間的に減衰するか増幅するかの限界は,exp(ｐｔ)という因子でのｐ＝0 を臨界点として生じるからです。

　そして,その境界におけるRayleigh数に最初に達したときに流れは初めて不安定になると考えられるからです。

そして対称性を利用するために,ｚの原点を移動して,ｚ＝±1/2を境界に取ります。

基本となる微分方程式は(Ｄ²－ａ²)³Ｗ＝－Ｒａ²Ｗであり,

境界条件はＷ＝ＤＷ＝(Ｄ²－ａ²)²Ｗ＝0 atｚ＝±1/2です。

この方程式の特性方程式は,

Ｗ≡ｅ^qzとして,(ｑ²－ａ²)³＝－Ｒａ²です。

Ｒａ²＝τ³ａ⁶と置いて解くと,

ｑ²＝－ａ²(τ－1),ｑ²＝ａ²[1＋(1/2)τ(1±ｉ√3)],

または平方根を取って,±iｑ₀,±ｑ,±ｑ^* (ｑ₀＝ａ(τ－1)^1/2 etc.)

ですね。 

　あとの詳細は簡単なので本質的な部分以外は省略しますが,解は偶関数解と奇関数解の２種類に分かれ,

　偶関数解としては,

　Ｗ＝Ａ₀cos(ｑ₀ｚ)＋Ａcosh(ｑｚ)＋Ａ^*cosh(ｑ^*ｚ),

 奇関数解としては,

　Ｗ＝Ａ₀sin(ｑ₀ｚ)＋Ａsinh(ｑｚ)＋Ａ^*sinh(ｑ^*ｚ)

　が得られます。

　後は,境界ｚ＝±1/2でＷ­＝ＤＷ＝(Ｄ²－ａ²)²Ｗ＝0 である,という条件からＡ₀,Ａ,Ａ^*を決めればいいわけです。

　これらが自明でない解を持つための条件は境界条件を満足する係数ベクトル:Ａ₀,Ａ,Ａ^*の係数行列の行列式がゼロでなければならないという1つの固有値方程式になります。

　例えば偶関数解ではこの行列式＝0 の条件は,Im[(i＋√3)ｑtanh(ｑ/2)]＋ｑ₀tanh(ｑ₀/2)＝0 となります。

　こうした固有値問題を満足するＲを求めると,流れが不安定になり熱伝導だけでは熱を運ぶことが不可能となって物質で熱を運ぶ対流が激しくなる臨界点が求まり,最後には乱流へと移行することになる境界の臨界レイリー数が求められます。

　私がかつて数値的に解いた偶関数の臨界レイリー数Ｒはたとえばａ＝3.0でＲ＝1710 etc.であり文献と一致しています。

　つまり,ａ＝3.0ではこのＲを境として不安定流となり対流が激化していくことになるわけですね。

　参考文献：S.Chandrasekhar 「Hydromagnetic and Hydromagnetic stability」(Dover Books),モーニン,ヤグロム(A.S.Monin&A.M.Yaglom)著(山田豊一訳)「統計流体力学1」(総合図書),

(追加):神部勉,Ｐ.Ｇ.ドレイジン「流体力学の安定性と乱流」(東京大学出版会) 

磁石と鉄球の引力(誤解答の例)

@nifty物理フォーラムの古典物理の部屋で次のような質問を受けたことがありました。(前半はそれに対する私の誤解答で後半は訂正です。)

"表面磁束密度がＢの磁石(表面積は∞)からＬ(ｍ)離れた所にある直径Ｄの鉄球に働く力は計算できるのでしょうか？

Ｆ＝(Ｂ²Ｓ)/2μという式をインターネットで見つけました。

ここでこのＢにはいったい何を代入すればよいのでしょうか？鉄球のある位置での磁束密度？それだと鉄球の材質は関係ないのでしょうか？それとＳは何の面積なのでしょうか？鉄球の投影面積でしょうか？"

という質問を受けて私は次のように回答しました。

電磁気学は専門というわけではないので,ちょっと計算してみましたが結果には自信がありません。私の計算では力は距離Ｌには無関係という結果になりました。

結果から書くと,力Ｆの大きさはＦ＝(3π²/4)Ｄ²Ｂ²(μ－μ₀)/{μ₀(2μ₀＋μ)}となりました。

単位は合っていると思いますが,一応ＭＫＳＡ単位です。

　
　磁石の表面積が∞ なら磁束の連続性から,それは直線のまま無限遠まで延びるはずなので,強磁性体(例えば鉄)の周りは空気でしょうけど,それは無視するとして真空の磁束密度Ｂは距離Ｌに無関係に一様と考えました。

ただし,μは鉄の透磁率です。これは真空の透磁率μ₀よりはるかに大きいはずです。

　
　一様磁場のなかでの磁性体球の磁化Ｍ(単位体積あたりの磁気モーメント)は電場の中の誘電体球の誘電分極からのアナロジーを用いると,向きも大きさも一様でＭ＝{3(μ－μ₀)/(2μ₀＋μ)}Ｂ/μ₀になります。

各半径位置ｘでの磁化電流(環状電流)をＩ,そこでの面積をＳとすると,

ＩＳ＝ＭＳΔｘとなりますから,Ｉ＝ＭΔｘです。

(ｘにおける半径をｒとするとＳ＝πｒ²です。)

磁場から受ける力の寄与ΔＦは,位置ｘでの半径ｒを

ｒ＝[(Ｄ²/4)－ｘ²]^1/2とすると,各環状電流の長さが(2πｒ)なので,

ΔＦ＝ＩＢ(2πｒ)＝2πＭＢｒΔｘ　となります。

これを半径ｘ＝－Ｄ/2～Ｄ/2の範囲で積分すると鉄球全体に及ぼす力Ｆが求まると思って計算しました。

しかし,強磁性体については単純な磁場と磁化の比例関係は一般には成立しないので,比例係数を示す透磁率,比透磁率などの概念で定式化したのはかなり無理があるかもしれません。

でも別に鉄の磁化Ｍの磁場Ｂによる関数形:Ｍ＝Ｆ(Ｂ),あるいはＨによる関数形か実測値などがわかったなら,

Ｆ＝(3π²/4)Ｄ²Ｂ²(μ－μ₀)/{μ₀(2μ₀＋μ)}の代わりに,

Ｆ＝(π²/4)Ｄ²Ｂ²Ｍとなるだけの話です。

そして,横軸がＨで縦軸が磁化Ｍであるような磁気ヒステリシス曲線(履歴曲線)で磁化Ｍを読み取ればいいことになります。

一般に,Ｈ＝(Ｂ/μ₀)－Ｍですが,磁石や鉄のない外部空間では磁化Ｍはゼロなのでヒステリシス横軸のＨについては磁化の元になる真空のＨ＝Ｂ/μ₀を取ればいいと思います。

　ただし,実際の鉄の周りの外部磁場を求めるのであれば,真空の一様磁場Ｂの他に,磁化された鉄自身の発生する磁束密度を加えた重ね合わせ,になるので,その鉄球付近の外部磁場はもはや一様な磁束密度ではないです。

しかし,鉄球に働く力には自分自身の発生する磁場(自己力)は効かず,ただ自分自身の磁化と磁石による一様磁場Ｂの相互作用のみが効くだろうという場の考え方で計算しています。

　ヒステリシス曲線などの磁化や磁気モーメントの定義については,既にμ₀のかかっているもの,つまり私の今用いている定義の磁化Ｍでいうと,μ₀Ｍを磁化と称して示している曲線図などもあるので,単位や定義等については注意してください。"

  などと偉そうに答えていたのですが,まことに恥ずかしいことに,ここまでの私の議論は全くの間違いだったということに答えている私自身が気付いたのです。

　つまり,実は"一様磁場の中で鉄球に働く力はゼロであり引力も斥力も全く働かない"ことにやっと気付いたのですね。

磁気による力を総和することにばかり専心していて,その向きを考慮することが完全に抜けていたわけです。

鉄は強磁性体なので磁化され,その向きはトルクが最小,つまりゼロになる向きですから,磁場の向きと一致します。

ところで,磁化されて磁石となった鉄の磁荷ですが,電荷と異なりＮ極とＳ極のそれぞれが必ず磁石の両側に同じ大きさだけ現れることになり,ＮかＳが単独で存在するもの(モノポール:単極子monopole)は今のところ見つかっていません。

　ということで,一方の磁荷には引力,他方の磁荷には斥力が同じ大きさだけ働くことになり結果として鉄は動かない,つまり力は釣り合ってゼロであるということになります。

　常識では磁石は必ず鉄を引き付けますが,それは磁場が一様ではなくて,磁石が有限の大きさなので近いところの方が遠いところより磁力が大きいことになり引力の方が斥力に勝るためです。

  したがって,初めに"こうした問題が何故巷の演習書などにありふれていないのか不思議だ。"などと考えていたのは私の誤りで,

こうした設定を扱った文献等が全く見当たらないのは,"この設定がつまらないというか無意味であるというか非現実的である"せいだったのだということがわかりました。

　Ｎ極から出た磁力線は必ずＳ極に向かって進み,そこで終わるわけですから一様磁場なら,かなたに ∞-表面積のＳ極があることになるわけです。

このＮとＳの間に鉄や磁石があっても,結局は両側から同じ力で引かれる結果として動きませんね。

　実際は磁石表面(たとえばＮ極)は片側にしかないわけですが,表面積が ∞ でＳ極がどこにもないのなら,結局は無限遠の仮想Ｓ極を探して真っ直ぐ伸びていくので同じことです。

これは,電気の平面コンデンサーで考えてみると同じことであるとわかるでしょうね。

電気なら帯電した無限平面から出る電気力線は,やはり一様電場の直線ですが,電荷ならプラスかマイナスかの一方だけで存在することが可能なので,単極の電荷があればそれには電気力が働きます。

しかし,もしこうした電場の中に磁場の中の磁石のように両側に同じ大きさのプラスとマイナス電荷が固定されるよう帯電した棒があるなら,この電場でもその棒全体に働く力はやはりゼロです。

　これは帯電していないもの:電荷のない中性のものを電場の中に置いたのと同じですから,それに働く電気力はゼロです。

　したがって,磁力の場合も磁石は必ず両側にＮとＳがあるので磁場の磁束が直線でなくて曲がっていない限り,引力など働かないことになります。

　つまり,∞ の表面積ではダメで,有限な表面積の磁束の磁石でないと,こうした問題そのものが成立しないでしょう。

とおわびし,訂正をして回答を終わったわけでした。

というわけで偉そうに長々と答えた回答が実は大間違いであったという私の失敗談をお話しました。

※(蛇足):間違いはそれに気が付けば訂正して謝ればいいだけです。

誤認逮捕や冤罪,それに手術ミスなど人命に関わるような取り返しのつかない間違いは別で謝っただけじゃ済まないでしょうが。。。

私は軽薄なのでメンツに傷が付く程度なら謝ります。

(↑メンツもカネもないくせに。。)

スグ謝る軽率なヤツと言われ,いくらか信用は失墜しますが,謝らずにごまかしたりしているうち,自ら恥ずかしくなって同じ名前ではネットに出てこれなくなった人が少なからずいるようです。

ま,それを職業:メシの種としたり自己のステータスの中心にしている人なら信用失墜が致命的な場合もあるでしょうから,こういうのは無責任野郎の私にしかできないかもネ。。。

安倍政権に思う

　自民党に安倍新総裁が誕生しました。

　やがて指名選挙で新総理になるでしょう。

　朝日新聞によると,最大の関心事は教育改革であり,まず教育基本法の改正をすることだそうです。

  相変わらずピントはずれな人です。

　恐らく日教組でもぶっつぶしたいのでしょうが,大体,この国で子供が親を殺したりその逆だったり,子供同士の殺し合いなど殺伐としたことが頻発しているのは,別に直接的な教育などに主要な問題があるわけではないと思います。

　結局は,みんなが将来に社会的不安,特に経済的不安を持っているからだろうと思います。

　資本主義の深化,あるいは公的機関の民営化等により日本的な終身雇用制があまりにも急速に崩壊して,欧米的な雇用形式に転化しつつあります。

　その結果,実際的な少子化,高齢化に加え,フリーターの増加などの現象に通じ,子供たちを中心に将来が保証されないという不安が社会に満ち満ちているのが,結果として社会を殺伐とさせていることの主因ではなかろうかと思います。

　経済がデフレ化し財布のヒモが堅くなり,貯蓄貯金やその人口が増えるのも,少ない年金なども含めて,老後の生活が保証されないからでしょう。

　たとえ消費税,あるいは物品税的な生活必需品以外の贅沢品にのみ課税する,というような福祉目的税などの増税を行なっても,とにかく老後を保証することは,今の高齢化を見る限りこの国の最重要課題なのではないでしょうか？

　いずれにしても年金問題や増税を主眼とした国内経済が最重要関心事でなければおかしい,そしてその次が外交です。

（もっとも一般会計の５倍もある「特別会計＝日本の現在の債務額800兆円の半分以上の400兆円を超えるといわれる年間特別予算」を少しでも我々一般国民の方にまわしてくれるなら,そもそも増税など不要で減税してもらいたいぐらいなのが私の本音です。。。。）

（ちなみに,我々一般国民が恩恵を受けるとされる一般会計約80兆円がいわゆる年間の国家歳出予算額です。）　　

　相変わらずピントはずれな人で,北朝鮮拉致問題などに夢中になり結果的に世論の人気取りをしていることにはなっています。

　拉致被害者には申し訳ないが,たかが百人程度の拉致人数です。

　国家の主権を侵されたとナショナリストなら怒るでしょうが,それによって経済制裁などをするのは,相手の国の圧迫された幾百万の人民をさらに抑圧すると私は思っています。

　また,日本によるかつての大量拉致被害者でもある在日と,その祖国との経済的交流を絶つことになり,拉致被害者の数百倍以上の人々に苦難を強いることになるでしょう。

(キレイゴトに見えるでしょうが,私には日本人,朝鮮人の区別よりも,人として対等な憐憫感情が湧くのみです。)

　"美しい日本"などが主目標ではないです。"美しい地球"というグローバルな見方ができなければならないと私は思います。

　まあ,"自虐的歴史観を払拭しよう"などという目的で教育改革などに固執するナショナリストの小物にそうしたことは期待できないでしょうが。。。

　自分のまわりにも一見正義感にあふれていて,最近問題になっている酒酔い運転の横行などに対し義憤に耐えないという感じで「もし自分の経営している酒場にそいう奴がいたら許せない。」などと言う人がいます。

　そこで,私が「それはそもそも酒というものがあるから悪いのじゃないか？とか車というものがあるから悪いのじゃないか？」とか茶化すと,すぐ正体がばれて,「酒がなくなるのは商売上困る」などという矛盾した正義感が露呈してしまう人物がいたりします。

　安倍氏のナショナリストとしての拉致問題などに対する正義感も,実は目先だけしか見えず,大きな全体は見えていないそれではないかと考えられます。

　そうであれば指導者としては失格だと思うのは私だけでしょうか？

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非線形最小二乗法（JEA式の作成過程)

　今日は窒素酸化物濃度などを計算する解析的な低煙源拡散式のパラメータの推定のために用いたことがある非線形最小二乗法について解説してみたいと思います。(直角風のJEA式)

　地上の道路上を走行する自動車からの窒素酸化物(NOx)などの汚染物質排出のソースを,有効煙源高さ(effective height):ｈe＝0 (ｍ)のｙ軸上で単位長さ当たりの定常的な排出強度がＱ(Ｎｍ³/(ｍｓ)の無限線煙源としてモデル化します。

　そして,道路に直角のｘ方向に風が吹いている設定で,風速も拡散係数も高さｚ(ｍ)のベキ乗則に従って鉛直上方に向かって増加するというモデルを想定します。

　このときの拡散方程式の解である汚染物質濃度を,垂直距離ｘ(ｍ)と高さｚ(ｍ)の関数と考えてＣ(ｘ,ｚ)で表わすと,これはＡをＱに比例するあるパラメータとして,Ｃ(ｘ,ｚ)＝Ａｘ^-sexp(－Ｂｚ^p/ｘ)なる形の式(Robertsの式)で表わされる,ことがわかります。

　様々な環境の下で数回に渡って行なわれた実際の実験時の煙源長さはもちろん有限なのですが,とりあえず,これを無限大長さで近似します。

　　　

　実はガウスの誤差関数でもって有限長さの効果を取り入れることもできるのですが,今日の話題では割愛します。

　実験はトレーサーガスを地上にある有限長さの直線状のパイプに均等間隔で開けた穴から拡散させるというものです。

そのパイプ状の発生源をｙ軸としたとき,ｎ個の観測点座標:(ｘ_i,ｚ_i)(ｉ＝1,2,..ｎ)において,風向が直角に近い環境のときの実測濃度:ｃ_iと先に設定した低煙源拡散式による計算値:Ｃ_i＝Ｃ(ｘ_i,ｚ_i)とを比較することによって,逆にその式のパラメータＡ,ｓ,Ｂ,ｐを推定します。

　具体的には,Ｃ(ｘ,ｚ)＝Ａｘ^-sexp(－Ｂｚ^p/ｘ)の右辺をｆ(Ａ,ｓ,Ｂ,ｐ；ｘ,ｚ)と書いて,Ｃ_i＝ｆ(Ａ,ｓ,Ｂ,ｐ；ｘ_i,ｚ_i)として,この計算値と実測値ｃ_iの誤差の二乗和:Ｓ(Ａ,ｓ,Ｂ,ｐ)≡∑(Ｃ_i－ｃ_i)²を最小にするパラメータＡ,ｓ,Ｂ,ｐを求めるわけです。

　これは,次に述べる非線形最小二乗法のパラメータ数が４個のときの例になっています。

　ここでは,より一般的に未知パラメータがｒ個あるとし,それらを順にＡ₁, Ａ₂,..,Ａ_rとします。

　上のケースではｒ＝4で,Ａ₁＝Ａ,Ａ₂＝ｓ,Ａ₃＝Ｂ,Ａ₄＝ｐです。

　そして,Ｃ_i＝Ｃ(ｘ_i,ｚ_i)＝ｆ(Ａ₁,Ａ₂,..,Ａ_r；ｘ_i,ｚ_i)とし,Ｓ(Ａ₁,Ａ₂,..,Ａ_r)≡∑(Ｃ_i－ｃ_i)²と定義するわけです。

　誤差の二乗和Ｓが最小となる条件は,

　通常の線形回帰の計算の場合と同様,必要条件として

　Ｆ_i(Ａ₁,Ａ₂,..,Ａ_r)≡∂Ｓ/∂Ａi＝2∑(Ｃ_k－ｃ_k)∂Ｃ_k/∂Ａi＝0 (ｉ＝1,2,..,ｒ)　で与えられます。

　そして,この r 個の連立方程式を解くことにより未知数Ａ₁,Ａ₂,..,Ａ_rを求めることが主目的となります。

　これらの方程式は一般に非線形ですから,こうした非線形回帰によるパラメータ推定の方法を非線形最小二乗法と呼ぶことにします。

　具体的には,Ｆ_i(Ａ₁,Ａ₂,．．Ａ_r)＝0 (ｉ＝1,2,．．ｒ)を線形近似することにより多変数ニュートン法(Newtonian method)を実行します。

　そこで,まず連立方程式を線形近似します。

　すなわち,初期値としてＡ_j＝Ａ_j⁰ を適当に与えた後に,

　0 ＝ Ｆ_i(Ａ₁,Ａ₂,..Ａ_r)

　 ＝Ｆ_i(Ａ₁⁰,Ａ₂⁰,..,Ａ_r⁰)＋∑(∂Ｆ_i/∂Ａ_j)|_Ａ＝Ａ0(Ａ_j－Ａ_j⁰)

　と近似します。

これを行列形式で書くため,Ｄという行列をＤ＝(ｄ_ij)≡(∂Ｆ_i/∂Ａ_j)で定義し,特にＤ₀＝(ｄ_ij⁰)≡(∂Ｆ_i/∂Ａ_j)|_Ａ＝Ａ0とします。

一方,列ベクトルＡをＡ≡^t(Ａ₁,Ａ₂,..,Ａ_r)で定義し,特に

Ａ₀≡^t(Ａ₁⁰,Ａ₂⁰,..,Ａ_r⁰)とします。

さらに,Ｆ_i⁰≡Ｆ_i(Ａ₁⁰,Ａ₂⁰,..,Ａ_r⁰)を成分とする同様な列ベクトルをＦ₀と定義します。Ｆ₀≡^t(Ｆ₁⁰,Ｆ₂⁰,..,Ｆ_r⁰)です。

こうすれば,先の線形近似は 0＝Ｆ₀＋Ｄ₀(Ａ－Ａ₀)と表わされます。

これを単純に解くと,Ａ＝Ａ₀－Ｄ₀^-1Ｆ₀と近似されることになります。

ここでＤ₀^-1はＤ₀の逆行列です。

得られたＡ＝Ａ₀－Ｄ₀^-1Ｆ₀を,改めてＡ₀として代入してＤ₀^-1Ｆ₀を計算し,Ａ＝Ａ₀－Ｄ₀^-1Ｆ₀が収束するまで繰り返します。

すなわち,Ａ_m+1＝Ａ_m－Ｄ_m^-1Ｆ_mの漸化式において誤差|Ａ_m+1－Ａ_m|の相対値が十分小さくなるまで繰り返し計算します。

具体的には,Ａ₁＝Ａ₀－Ｄ₀^-1Ｆ₀,Ａ₂＝Ａ₁－Ｄ₁^-1Ｆ₁,..,Ａ_m+1＝Ａ_m－Ｄ_m^-1Ｆ_mを用います。ただし,Ｄ_k＝(ｄ_ij^k)≡(∂Ｆ_i/∂Ａ_j)|_Ａ＝Ａkです。

ｍ→ ∞では,|Ａ_m+1－Ａ_m|→ 0,それ故Ｆ_m→ 0 となることが予想されるため,この反復計算を実行するわけです。

こうすれば,ｍ→ ∞ でのＡ_m＝^t(Ａ₁^m,Ａ₂^m,..,Ａ_r^m)の極限値としてＦ_i(Ａ₁,Ａ₂,..,Ａ_r)＝0 (ｉ＝1,2,．．．ｒ)を満たすＡ＝^t(Ａ₁,Ａ₂,..,Ａ_r)が得られるはずです。

さらに,実際には収束を速くするために加速係数:ｗを与えて,Ａ_m+1＝Ａ_m－ｗＤ_m^-1Ｆ_mとする方法などを用いた方がいいと思います。

(※ここではｗを加速係数であると称してはいますが,それは広い意味でありｗ＞1を意味するわけではありません。実際,計算ではｗとして2.0や逆に0.01など収束が悪い場合には,さまざまな値で試行錯誤しました。)

実際のｒ＝4 の計算では,かつてFortranを使ってプログラミングしましたが,初期値を適切に取ると各環境のケースについて大体十数回の繰り返し計算でパラメータの推定値が得られました。

そして濃度の実測値とその推定パラメータによる計算値との相関係数としては,0.9 前後の値が得られ,回帰係数の値も0.8 から 1.2程度となって,仮定した計算式が良い近似になることがわかりました。

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電子を大きさのない点であると考える背景

  その昔,ニフティの「物理フォーラム」で受けた質問の中に次のような

ものがありました。

　"なぜ,電子を大きさのない点（電荷）と考えるのか？その理由を

お教え下さい。

　電子,および素粒子を大きさを持たない点として取り扱うと,色々な問題

が発生して,現在建設中の新しい理論では,その解決策として,大きさの

ある弦として考え直すという話を聞いたことがあります。

　問題点があるにも関わらず,,

なぜ電子を点と考えざるを得なかったのか？

　その背景（点でない場合の問題点,歴史的な経緯,等）が知りたい

のですが"。。

　というものです。

　それに対して,その当時も「物理フォーラム」スタッフの１人であった

私が回答したことがありますが,それをそのまま記事として掲載したい

と思います。

　それは次のような内容です。

まず,,電子は光子などと同様.レプトンと言われて

陽子,パイ(π)などクォークがグルオンで結合されているというハドロンとは異なり,それ自身が素粒子である,つまり"構造を持たない粒子"であると仮定されています。

　構造を持たないのであれば,それ自身,1点であるわけです。

　もし２点以上であれば,その２点を結びつける力とは何か?ということも物理的問題として生じますから,構造があるということになり論理的にも矛盾します。

　そして,たとえば電子が剛体であると仮定しても,そうしたものは相対論によって存在を否定されています。

　そうでないなら弾性体ですが,もし電子が大きさを持つ弾性体なら,押せば縮み引っ張れば伸びるなどの性質を持ち,弾性振動して音が出たりします。

　しかし寡聞にしてそういうことは聞いたことがありません。

　また,そもそも電子や素粒子の電荷とか,そういう固有の性質は大きさを持つ,つまりそれらが２点以上から成るなら,電子が同時に異なる場所でそういう性質を持つ,ことを意味するので,相対性理論に反する,あるいは因果律に反するということになります。

　同時に,というのはその距離がいくら小さくても情報の伝達速度は光速を超えますからね。

　こうした同時に２点以上に存在するというような性質を非局所性といいます。

　これに対して１点に固有であるということを局所性といいます。

　というわけで,素粒子であるなら,古典論的には広がりを持たないということになっています。

　量子論では粒子はみな波動として広がりを持つわけですから,そもそも量子論では素朴な形の相対論的因果律は成立しません。

　つまり,量子論は本質的に非局所的,非因果的なので,いわゆる相対論を破り,量子テレポーテーションを起こす,というものです。

　波なので,東京と大阪に同時に存在できるわけです。

　このことは,"アインシュタイン・ポドルスキー・ローゼンのパラドックス＝ＥＰＲのパラドックス"に代表されることです。

　1980年代にアスペ(Aspect)等により"ベル(Ｂｅｌｌ)の不等式が成立するか否か？"に関する実験によって,この不等式が成立しないことから非局所性の意味が確かめられました。

　結局,"量子論はＥＰＲの意味での相対性理論とは矛盾する理論であり,それでも現実の現象とは合致する理論である。"ということで解決しました。

　そして,「相対論的場の量子論」においては素粒子とは,例えば"光＝光子"の場合の電磁波における電場,磁場のように,"粒子＝量子場"であるという発想になっています。

　そして,"1点＝局所的"というのは,場が４次元時空の各1点ごとで定義された関数になっていて,広がりを持った２点以上で定義された関数ではないという意味に解釈されます。

  問題点というのは点粒子を考えると古典論では電子が"無限大の自己エネルギーを持つ"＝"例えばクーロンの法則で電荷が小さくても自分自身との距離はゼロなので,それでも自分自身に働くクーロン力はゼロなので矛盾しないのですが,

　クーロンの静電エネルギーは無限大になる。"ということなどですね。

　一応,それは,"小さい電子の半径"などを仮定することにより解決しよう,という試みがなされましたが解決されていないまま,量子論に移り量子電磁力学というものに移行しました。

　そこでも自己エネルギーは無限大になりましたが,古典論の高次の無限大でなく,幸い対数程度の低い次数の無限大であったため,"ファインマン,朝永,シュヴィンガーのくりこみ理論"によって,処方箋的に無限大を除去することに成功しました。

こうした実験結果と合わせるだけの理論を 「有効理論」と言います。

　くりこみというのは,見方によっては無限大から無限大を引くというような荒っぽい方法であります。

　この無限大になる計算も,仮に素粒子が１点でなく広がりを持てば無限大にはならず有限になるというので,湯川や片山の素領域など非局所場の理論や中野の剛体模型などいろいろと考案されましたが,根本的な解決には至っていない,

　と私は思っています。

　そして,"重力場＝一般相対性理論の量子化"については現在までのところ,点粒子の理論では,くりこみさえも不可能であることがわかっています。

　そこで,現在流行っていると言われている「超弦理論」では,まだ誰も成功していない重力場の量子化をもめざして点粒子の代わりに弦粒子を想定しているわけです。

　この「超弦理論」においては,量子論における相対論的微視的因果性などの問題はクリアされていると言われており,弦理論に,さらに超対称性,すなわちボーズ粒子とフェルミ粒子の入れ替え対称性を導入した理論として,トポロジー(位相幾何学)なども関わる難解な話になっているらしいです。

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酔歩（ランダム・ウォーク）(訂正）

以前の記事「 酔歩(ランダム・ウォーク) 」において１次元から２次元,３次元に拡張するときに本質的な間違いがあったので訂正しました。既に現時点では以前の本文は訂正してあります。

"ｘがｘとｘ＋ｄｘの間にある確率は,

Ｐ(ｘ,Ｎ)ｄｘ＝{1/(2πＮａ²)^1/2}exp{－ｘ²/(2Ｎａ²)}ｄｘ

となるはずです。"　というのはよかったのですが。。。

このことから,

"２次元でも等方的と考えられるのでｘ²をｒ²＝ｘ²＋ｙ²と置き換えれば

Ｐ(ｘ,ｙ,Ｎ)ｄｘｄｙ＝{1/(2πＮａ²)}exp{－ｒ²/(2Ｎａ²)}ｄｘｄｙ,

同様に３次元ではｒ²＝ｘ²＋ｙ²＋ｚ²として,

Ｐ(ｘ,ｙ,ｚ,Ｎ)ｄｘｄｙｄｚ＝{1/(2πＮａ²)^3/2}exp{－ｒ²/(2Ｎａ²)}ｄｘｄｙｄｚであると考えられます。"

という部分は完全な間違いでした。

これは,１次元での１歩の長さの各次元成分への分割を考慮していなかったからです。

"２次元でも等方的と考えられるので,単純にｘ²をｒ²＝ｘ²＋ｙ²に置き換えるだけでいいと考えるところですが,実は１歩の各方向への成分Δｘ,ΔｙはΔｘ²＋Δｙ²＝ａ²を満足します。

そこで,ｘ方向とｙ方向を対等に扱うとΔｘ²＝Δｙ²＝ａ²/2 なので,Ｎ歩で位置ｒ＝(ｘ,ｙ)に到達する確率密度Ｐ(ｘ,ｙ,Ｎ)は,

全平面で１になるように規格化して,

Ｐ(ｘ,ｙ,Ｎ)ｄｘｄｙ＝{1/(πＮａ²)}exp{－ｘ²/(Ｎａ²)}exp{－ｙ²/(Ｎａ²)}ｄｘｄｙ＝{1/(πＮａ²)}exp{－ｒ²/(Ｎａ²)}ｄ²ｒ

となるはずです。"

と直しました。

  さらに,

　"同様に,３次元ではｒ²＝ｘ²＋ｙ²＋ｚ²として,Δｘ²＝Δｙ²＝Δｙ²＝ａ²/3により,位置ｒ＝(ｘ,ｙ,ｚ)に到達する確率は

　Ｐ(ｘ,ｙ,ｚ,Ｎ)ｄｘｄｙｄｚ＝[1/{(2/3)πＮａ²}^3/2]exp[－ｒ²/{(2/3)Ｎａ²}]ｄ³ｒになると考えられます。"

　と訂正しました。

  "特にｔ＝Ｎτ,Ｄ＝ａ²/(2τ)とおけば,4Ｄｔ＝2Ｎａ²となるので,

Ｐ(ｒ,ｔ)＝Ｐ(ｘ,ｙ,ｚ,Ｎ)＝{1/(4πＤｔ)^3/2}exp{－ｒ²/(4Ｄｔ)}

となります"　

　という部分も,

　"特に,３次元ではｔ＝Ｎτ,Ｄ＝ａ²/(6τ)とおけば,4Ｄｔ＝(2/3)Ｎａ²となるので,Ｐ(ｒ,ｔ)＝Ｐ(ｘ,ｙ,ｚ,Ｎ)＝{1/(4πＤｔ)^3/2}exp{－ｒ²/(4Ｄｔ)}となります。"

　と訂正しました。

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この国の末路

　日本の中国侵略を含む先の戦争での,相手国に対してはまだしも,自国の民への敗戦の戦争責任と総括を先の先まで先送りしたい馬鹿な総裁候補がいる。

　もう60年も70年も経っているんだよね。そろそろ終わりにしないかい？　

　こうした責任は学者が取るんじゃなくて,みんなが取るんだよ。そしてあんたはその代表なんだよ。

　親や祖父たちのやったことを子供が尻拭いしたっていいじゃないか。

　「消費税を先送りにして「俺の在任中には上げない。」とか言っている無責任なヤクザが日本の政治を牛耳ってる。これも同じような輩だ。

　何で責任を先に先に延ばしちゃうんだろう？　

　オボッチャマばかりが総理大臣になるこの国では,昔からこういうのが相場なんだろう。。。

　これも俺を含めた国民が馬鹿なんだろうなあ。。。。。

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中心極限定理と多世界解釈

　確率現象で現われる中心極限定理(the central limit theorem)とは,

　通常の意味でのそれは,

　"ｍ個の確率変数:Ｘ_j(ｊ＝1,2,..,ｍ)が互いに独立で,平均値μ_jと分散σ_j²を持つとき,Ｘ＝∑_j=1^m(Ｘ_j－μ_j)/(∑_j=1^mσ_j²)^1/2の従う分布はｍ→∞ のとき,正規分布:Ｎ(0,1)に収束する。"という定理を言います。

　すなわち,定理は,

　"変数Ｘ＝∑_j=1^m(Ｘ_j－μ_j)/(∑_j=1^mσ_j²)^1/2がａ≦Ｘ≦ｂの範囲にある確率Ｐr(ａ≦Ｘ≦ｂ)は,ｍ→∞ の極限では∫_a^b(2π)^-1/2exp(－ｘ²/2)ｄｘに収束する。"

　というものです。

これを証明するには,特性関数:"Ｅ[exp(iｔｘ)]＝exp(iｔｘ)の期待値"がｍ→∞ の極限でexp(－ｔ²/2)に近づくことを示せばいいだけです。

しかし,これを示すのは比較的簡単なので,この意味での中心極限定理の証明は割愛します。

　一方,大数の法則においてよく引き合いに出されるのは独立試行(ベルヌーイ試行)の分布における試行回数が無限大の極限です。

　ある事象が起こる確率をｐとするとき,Ｎ回の独立試行でその事象がＸ＝ｎ回起こる確率:Ｐr(Ｘ＝ｎ)が,二項分布:Ｐr(Ｘ＝ｎ)＝_NＣ_nｐⁿｑ^N-n (ｑ＝1－ｐ)に従うことはよく知られています。

　この分布では,平均値がμ＝Ｎｐ,分散がσ²＝Ｎｐｑですが,これらが有限値のままＮ→ ∞ に移行した極限では,これはまずポアソン(Poisson)分布に近づきます。

　そして,Ｙ＝(Ｘ－μ)/(σ²)^1/2＝(Ｘ－Ｎｐ)/(Ｎｐｑ)^1/2と変数変換すれば,Ｙの確率分布は正規分布:Ｎ(0,1)に近づくことになります。

　この二項分布の正規近似も,やはり中心極限定理と呼ばれると私は思っています 。

　これは,具体的にはStirlingの公式と対数のTaylor展開公式から,

　_NＣ_nｐⁿｑ^N-n → [Ｎ/{2πｎ(Ｎ－ｎ)}]^1/2(Ｎｐ/ｎ)ⁿ[Ｎｑ/(Ｎ－ｎ)]^N-n

～ (2πＮｐｑ)^-1/2exp[－(ｎ－Ｎｐ)²/(2Ｎｐｑ)]

　が導かれることから従うわけです。

　ところで,「数理科学」2002年７月号の和田純夫氏の記事「状態の保存と波動関数の解釈」(多世界解釈)には,次のような意味のことが書かれていました。

　例えば,スピンのアップ・ダウンのように超選択則に関わる２値関係の物理量,つまり測定値がα,βのいずれか２値しか取り得ない物理量に関して,系の状態ベクトルがａ|α＞＋ｂ|β＞ (|ａ|²＋|ｂ|²＝1)で与えられるとします。

　このとき,Ｎ回の測定において測定値がαである頻度とは,この同じ状態にある粒子をＮ個用意して全てを同時に測定したとき測定値がαである個数のＮに対する比率のことです。

　そして,ａ|α＞＋ｂ|β＞(|ａ|²＋|ｂ|²＝1)で示される全く同等な状態粒子をＮ個用意した状態は,|Ｎ＞≡(ａ|α＞＋ｂ|β＞)^Nなる状態ベクトルで表わされます。

　そして,"Ｎ回の独立な測定で測定値がαになる回数がｒである状態＝相対頻度がｒ＝ｎ/Ｎである状態"|ｒ＞は規格化すると,

　|ｒ＞≡(_NＣ_n)^-1/2{|α＞ⁿ|β＞^N-n＋(これらの全ての置換項)}

　という形で与えられるはずです。

　この|ｒ＞によって,|Ｎ＞＝(ａ|α＞＋ｂ|β＞)^Nを|Ｎ＞＝∑_ｒｃ(ｒ)|ｒ＞と展開したとき,展開係数のノルムの平方|ｃ(ｒ)|²は相対頻度がｒ＝ｎ/Ｎであるときの"共存度"を意味します。

　そして,具体的に上のｃ(ｒ)を書き下すと,ｃ(ｒ)＝(_NＣ_n)^-1/2ａⁿｂ^N-n となるはずです。

　それ故,共存度は|ｃ(ｒ)|²＝_NＣ_n|ａ|²ⁿ|ｂ|^2(N-n)で与えられます。

　これはｐ＝|ａ|²,ｑ＝1－ｐ＝|ｂ|²の二項分布です。

もしも,Ｎ|ａ|²とＮ|ａ|²|ｂ|²がＮ→∞ に対して有限に留まるなら上述の二項分布の中心極限定理によって,|ｃ(ｒ)|²は

(2πＮ|ａ|²|ｂ|²)^-1/2exp[－(ｎ－Ｎ|ａ|²)²/(2Ｎ|ａ|²|ｂ|²)]　

となるはずです。

しかし,今の場合Ｎ→∞ に対して|ａ|²がゼロに収束するわけではないのでＮ|ａ|²は有限ではなく,むしろ|ａ|²自身が有限かつ一定です。

そこで,ｎではなくてｒ＝ｎ/Ｎを変数として規格化して,|ｃ(ｒ)|²は,

[Ｎ/(2π|ａ|²|ｂ|²)]^1/2exp[－(ｒ－|ａ|²)²/(2|ａ|²|ｂ|²/Ｎ)]　

になると考えるべきです。

この極限での,|ｃ(ｒ)|²はｒで積分すると１になりますが,分散はσ²＝|ａ|²|ｂ|²/Ｎ→ 0 となります。

したがって,Ｎ→∞での|ｃ(ｒ)|²の極限は,ｒの関数としてはｒ＝|ａ|²でのみ ∞でそれ以外ではゼロであり,しかもｒで積分すると１となるようなｒの関数ですから,

|ｃ(ｒ)|² → δ(ｒ－|ａ|²)　であるはずです。

この計算結果は,"１回の測定で状態が|α＞である確率が|ａ|²である"という通常の波動関数の意味での確率解釈が,

"測定回数Ｎが無限大のときの相対頻度:ｒ＝ｎ/Ｎが,大数の法則に従う結果|ａ|²になる"　という形で実現される例になっています。

以上が,この「数理科学」の記事に対する私の解釈ですが,私自身はエヴェレット(Hugh Everett)に始まる多世界解釈について,必ずしも全面的に信奉しているわけではありません。

一方,ロジャー・ペンローズ(Roger Penrose)らによる多世界解釈に対する批判があります。

これは,そもそもスピンであれば,アップとダウン|α＞と|β＞の重ね合わせ状態,また|猫生＞と|猫死＞の重ね合わせ状態も多世界解釈では観測できることになるというのがおかしい,というものだと思います。

しかし,そうした人間の意識や観測装置による超選択則がなぜ生じるのか？例えば陽子と中性子は観測されるのに,なぜその重ね合わせ粒子は観測されないのか？などという問題については,

観測の解釈とは本質的に別の問題であると私は思っています。

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ガンマ関数とスターリングの公式

　今日はガンマ関数(Gamma function)について考察し,ガウスの積公式と統計学などで重要なスターリングの公式(Stirling's formula):ｎ!～(2π)^1/2ｎ^n＋1/2ｅ^-n (as ｎ→ ∞)を証明します。

　まず,ｘ＞0 に対してガンマ関数をΓ(ｘ)＝∫₀^∞ｅ^-tｔ^x-1ｄｘ

によって定義します。

　そして,まずガウスの積公式:

(ｎ^xｎ!)/[ｘ(ｘ＋1)..(ｘ＋ｎ)] → Γ(ｘ) (as ｎ→ ∞)

を示しましょう。

公式を証明するために,ｎ≧2の整数:ｎに対して

ｆ(ｘ)≡logΓ(ｎ＋ｘ)とおきます。

すると,これは凸関数であることがわかります。

ｆ(ｘ)が凸関数であること証明します。

その手順は次の通りです。

　その前に,"ｆ(ｘ)が凸関数である"という定義を明確にして

おきます。

　すなわち,これは 

　"ｘ＜ｙなる任意の実数ｘ,ｙと0＜λ＜1なる任意のλに対して,

不等式:ｆ[λｘ＋(1－λ)ｙ]≦λｆ(ｘ)＋(1－λ)ｆ(ｙ)が常に

成り立つ"　ことを意味します。

そして,ｆ(ｘ)が２階微分可能なとき対象領域でｆ(ｘ)が凸関数

であるためには,ｆのｘによる２階導関数ｆ"(ｘ)が非負,つまり

ｆ"(ｘ)≧0 を満足すれば十分です。

一応,これも証明しておきます。

(ｆ"(ｘ)≧0 ならｆが凸であることの証明)

ｆ"(ｘ)≧0 のときには１階導関数ｆ'(ｘ)が単調増加です。

そこで,ｘ＜ｙのとき,Δｘ＞0,Δｙ＞0 とすれば,平均値の定理

よりｆ(ｘ)の差商も単調増加です。

すなわち,

[ｆ(ｘ＋Δｘ)－f(ｘ)]/Δｘ≦[ｆ(ｙ＋Δｙ)－ｆ(ｙ)]/Δｙ

for ｘ＜ｙ が成立します。

そこで,ｆ[λｘ＋(1－λ)ｙ]－[λｆ(ｘ)＋(1－λ)ｆ(ｙ)]

＝λ{ｆ[λｘ＋(1－λ)ｙ]－ｆ(ｘ)}－(1－λ)

{ｆ(ｙ)－ｆ[λｘ＋(1－λ)ｙ]}をλ(1―λ)(ｙ－ｘ)＞0

で割れば,

ｘ＜λｘ＋(1－λ)ｙ＜ｙ,および上記の"差商の単調増加性"

により,これは常にゼロ以下となります。

以上から,"ｆ"(ｘ)≧0 ならｆ(ｘ)は凸関数である"ことが

示されました。(証明終わり)

ところで,対数が共に凸関数である２つの関数の和の対数は

凸関数,つまりlog(ｐ(ｘ)),log(ｑ(ｘ))が凸なら

log(ｐ(ｘ)＋ｑ(ｘ))も凸ですから,無限和である積分を

考えてもそうなります。

それ故,ｇ(ｘ)＝∫φ(ｔ,ｘ)ｄｔにおいて,ｔを任意に固定

したときlog[φ(ｔ,ｘ)]がｘの凸関数であれば,

ｆ(ｘ)＝log[ｇ(ｘ)]もｘの凸関数であることがわかります。

ｆ(ｘ)＝logΓ(ｎ＋ｘ)＝log[∫₀^∞ｅ^-tｔ^n+x-1ｄｘ]ですから,

φ(ｔ,ｘ)≡ｅ^-tｔ^n+x-1とおけばｆ(ｘ)＝∫₀^∞φ(ｔ,ｘ)ｄｔで

ありψ(ｘ)≡logφ(ｔ,ｘ)＝－ｔ＋(ｎ＋ｘ－1)logｔです。

任意のｔについてψ"(ｘ)≧0 ですからψ(ｘ)＝logφ(ｔ,ｘ)

は凸です。

そこで,ｆ(ｘ)＝logΓ(ｎ＋ｘ)も凸関数であることがわかり

ました。

さて,いよいよガウスの積公式の証明に進みます。

ｆ[λｘ＋(1－λ)ｙ]≦λｆ(ｘ)＋(1－λ)ｆ(ｙ)において,

ｘ＝0 ,ｙ＝1とおけば,ｆ(1－λ)≦λｆ(0)＋(1－λ)ｆ(1)

より,[ｆ(1－λ)－ｆ(0)]/(1－λ)≦ｆ(1)－ｆ(0)が成立

します。

また,ｘ＝(1－λ)/λ,ｙ＝－1とおけば,

ｆ(0)－ｆ(－1)≦[λ/(1－λ)]{ｆ[(1－λ)/λ]－ｆ(0)}

ですから,

一般に 0＜ｘ＜1なる任意のｘに対して,

ｆ(0)－ｆ(－1)≦[ｆ(ｘ)－ｆ(0)]/ｘ≦ｆ(1)－ｆ(0)

が成立するはずです。

したがって,ガンマ関数の性質:

Γ(ｎ＋1)＝ｎ!,Γ(ｘ＋1)＝ｘΓ(ｘ)により,

log(ｎ－1)≦[logΓ(ｎ＋ｘ)－log{(ｎ－1)!}]/ｘ≦logｎ

(ｎ≧2,0＜ｘ＜1)　となります。

よって,(ｎ－1)^x(ｎ－1)!≦Γ(ｎ＋ｘ)≦ｎ^x(ｎ－1)!が

得られます。

そこで,(ｎ－1)^x(ｎ－1)!/[ｘ(ｘ＋1)..(ｘ＋ｎ－1)]

≦Γ(ｘ)≦ｎ^x(ｎ－1)!/[ｘ(ｘ＋1)..(ｘ＋ｎ－1)]

＝(ｎ^xｎ!)[(ｘ＋ｎ)/ｎ]/[ｘ(ｘ＋1)..(ｘ＋ｎ)]です。

ｎは２以上の任意の整数なので,これを 

(ｎ^xｎ!)/[ｘ(ｘ＋1)..(ｘ＋ｎ)]≦Γ(ｘ)

≦(ｎ^xｎ!)![(ｘ＋ｎ)/ｎ]/[ｘ(ｘ＋1)..(ｘ＋ｎ)]　

と書いてもいいわけです。

それ故,結局,

ｎΓ(ｘ)/(ｘ＋ｎ)≦(ｎ^xｎ!)/[ｘ(ｘ＋1)..(ｘ＋ｎ)]≦Γ(ｘ)

となります。

したがって,ｎ→ ∞ のとき,

(ｎ^xｎ!)/[ｘ(ｘ＋1)..(ｘ＋ｎ)]→Γ(ｘ) (0＜ｘ＜1)

なることが導かれました。

ここで簡単のため,

γ(ｎ,ｘ)≡(ｎ^xｎ!)/[ｘ(ｘ＋1)..(ｘ＋ｎ)]と定義して

おくと,γ(ｎ,ｘ＋1)＝ｎγ(ｎ,ｘ)/(ｘ＋ｎ＋1)です。

そこで,ｎ→ ∞ のとき,

γ(ｎ,ｘ＋1) → ｘΓ(ｘ)＝Γ(ｘ＋１)　　です。

それ故, 0＜ｘ＜1 を満足するｘだけでなく任意のｘ＞0

に対して, 

"ｎ→ ∞ でγ(ｎ,ｘ)＝(ｎ^xｎ!)/[ｘ(ｘ＋1)..(ｘ＋ｎ)]

→ Γ(ｘ)が成立することがわかりました。

次はスターリングの公式の証明です。

不等式:[1＋(1/ｋ)]^k＜ｅ＜[1＋(1/ｋ)]^k+1をｋ＝1,2,..,ｎ－1

について全て掛け合わせると,不等式:

ｎⁿｅ^-(n-1)＜ｎ!＜ｎⁿ⁺¹ｅ^-(n-1)が得られます。

Γ(ｎ)＝(ｎ－１)!ですが,Γ(ｘ)≡ａｘ^x-1/2ｅ^-xｅ^μ(ｘ)なる形

を仮定して,右辺の未知関数μ(ｘ)を求めることにします。

この表式では,ｘ＝Γ(ｘ＋1)/Γ(ｘ)

＝[1＋(1/ｘ)]^x+1/2ｘｅ^-1ｅ^{μ(ｘ＋１)－μ(ｘ)}なので,μ(ｘ)

の満たすべき必要条件は,

μ(ｘ)－μ(ｘ＋1)＝(ｘ＋1/2)log[1＋(1/ｘ)]－1です。

そこで,ｇ(ｘ)≡(ｘ＋1/2)log[1＋(1/ｘ)]－1と置けば,

μ(ｘ)＝∑_m=0^∞ｇ(ｘ＋ｍ)と書けます。この級数が収束すれば,

それは左辺の存在を意味するので,これが収束することを見

ておきましょう。

級数展開:(1/2)log[(1＋ｙ)/(1－ｙ)]

＝ｙ/1＋ｙ³/3＋ｙ⁵/5＋.. (|ｙ|＜1)において,ｙ＝1/(2ｘ＋1)

を代入します。これはｘ＞0 であれば 0＜1/(2ｘ＋1)＜1なので

全く問題はありません。

そこでｇ(ｘ)＝(ｘ＋1/2)log[1＋(1/ｘ)]－1

＝1/[3(2ｘ＋1)²]＋1/[5(2ｘ＋1)⁴]＋1/[7(2ｘ＋1)⁶]＋..

を得ます。

この式の右辺の第２項から後の項の分母の5,7,9..を全て3に

置き換えた等比級数の和は簡単に導出できて,それは

1/[12ｘ(ｘ＋1)]＝(1/12)[１/ｘ－1/(ｘ＋1)]です。

そこで,0＜ｇ(ｘ)＜(1/12)[１/ｘ－1/(ｘ＋1)]であり,

それ故,

0＜∑_m=0^∞ｇ(ｘ＋ｍ)

＜(1/12)∑_m=0^∞[１/(ｘ＋ｍ)－1/(ｘ＋ｍ＋1)]

＝1/(12ｘ)ですからμ(ｘ)＝∑_m=0^∞ｇ(ｘ＋ｍ)は確かに

収束して0＜μ(ｘ)＜1/(12ｘ)となることがわかります。

そこで,0＜θ＜1なるあるθを用いてμ(ｘ)＝θ/(12ｘ)

と書くことができて,Γ(ｘ)＝ａｘ^x-1/2ｅ^{-x＋θ/(12ｘ)}

と書けます。

そして,これにｘ＝ｎを代入した後に両辺にｎを掛けると,

ｎ!＝ａｎ^n+1/2ｅ^{-n＋θ/(12n)}となります。

最後に未知の定数ａを決めましょう。

先に証明したガウスの積公式:

(ｎ^xｎ!)/[ｘ(ｘ＋1)..(ｘ＋ｎ)]→Γ(ｘ) (as ｎ→∞)において

ｘ＝1/2とおけば, 

(ｎ^1/2ｎ!2ⁿ⁺¹)/[1・3・5・...(2ｎ＋1)]→Γ(1/2)　

となります。

左辺の分母:[1・3・5・...(2ｎ＋1)]は,[(2ｎ＋1)!]/2ⁿｎ!

とも書けますから,既知の数:Γ(1/2)＝π^1/2は

[ｎ^1/2(ｎ!)²2²ⁿ⁺¹]/[(2ｎ＋1)!]で近似できることになります。

ｎ!＝ａｎ^n+1/2ｅ^{-n＋θ/(12n)}等を代入すると,

[ｎ^1/2ａ²ｎ²ⁿ⁺¹ｅ^{-2n＋θ/(6n)} 2²ⁿ⁺¹]

/[(2ｎ＋1)ａ(2ｎ)^2n+1/2ｅ^{-2n＋Θ/(24n)}]

＝ａｅ^{[θ/(6n)－Θ/(24n)]}/[2^1/2{1＋1/(2ｎ)}]

→ Γ(1/2) ＝π^1/2です。

それ故,ｎ→ ∞を考慮してａ＝(2π)^1/2が得られます。

こうして,最終的なスターリングの公式の表式である

ｎ!＝(2π)^1/2ｎ^n+1/2ｅ^{-n＋θ/(12n)} が証明されました。

参考文献：

アルティン著,上野健爾 訳「ガンマ関数入門」(日本評論社）

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酔歩（ランダム・ウォーク）

　今日は酔歩(ランダム・ウォーク:Random walk)について考察してみます。

　まず,１次元の酔歩を考えます。

　１歩の長さは一定値ａとし,左右１次元にしか運動できないとします。

　左右どちらにも１歩ずつ移動することができて,その確率は両側で共に1/2であるとします。

ｘ 軸の原点(ｘ＝0)から出発して,Ｎ 歩の後に ｘ＝ｍａ (－Ｎ≦ｍ≦Ｎ) の位置にいる 確率をＰ(ｍ,Ｎ)とすると,

正の向きにＮ^＋歩,負の向きにＮ^－歩だけ歩いた場合にｘに到達するとして,その場合の数はＮ!/(Ｎ^＋!Ｎ^－!)ですから,

その確率はＰ(ｍ,Ｎ)＝{Ｎ!/(Ｎ^＋!Ｎ^－!)}(1/2)^Nとなるはずです。

しかし,Ｎ^＋＋Ｎ^－＝Ｎ,Ｎ^＋－Ｎ^－＝ｍなので単純に計算するとＮ^＋＝(Ｎ＋ｍ)/2,Ｎ^－＝(Ｎ－ｍ)/2でなければなりません。

Ｎ＋ｍとＮ－ｍは一方が奇数ならば他方も奇数,一方が偶数ならば他方も偶数ですから,これらが偶数でないなら整数であることを必要とするＮ^＋,Ｎ^－は共に存在できません。

したがって,Ｎ－ｍが偶数のときはＰ(ｍ,Ｎ)＝{Ｎ!/(Ｎ^＋!Ｎ^－!)}(1/2)^N(Ｎ⁺＝(Ｎ＋ｍ)/2,Ｎ^-＝(Ｎ－ｍ)/2)となって有限の確率になりますが,

Ｎ－ｍが奇数のときは,実現不可能なので確率はＰ(ｍ,Ｎ)＝0 です。

ここで,ｎが非常に大きいときのStirlingの公式:

ｎ!～(2π)^1/2ｅ^-nｎ^(ｎ+1/2),あるいは　

log(ｎ!)～(1/2)log(2π)＋(ｎ＋1/2)log(ｎ)－ｎ

を使用します。

すると,Ｎ－ｍが偶数であるとしてＮが非常に大きいとすれば,

Ｎ^＋＝(Ｎ＋ｍ)/2,Ｎ^－＝(Ｎ－ｍ)/2 も非常に大きく,

log{Ｐ(ｍ,Ｎ)}～ －Ｎlog2＋ＮlogＮ－Ｎ^＋logＮ^＋－Ｎ^－logＮ^－＋(1/2)log(2π)＋(1/2)(logＮ－logＮ^＋－logＮ^－)＝(1/2)log{2/(πＮ)}－(Ｎ/2)[{1＋(ｍ＋1)/Ｎ}log{1＋(ｍ/Ｎ)}＋{1＋(1－ｍ)/Ｎ}log{1－(ｍ/Ｎ)}]

ですね。

ここで,ｍ＜＜Ｎと考えて(ｍ/Ｎ)の２次までの展開を考えます。

Taylor展開による近似:log(1－ｘ)～ －ｘ－ｘ²/2,log(1＋ｘ)～ ｘ－ｘ²/2 を利用すれば,

log{Ｐ(ｍ,Ｎ)}～(1/2)log{2/(πＮ)}－(Ｎ/2)(ｍ/Ｎ)²となるので,Ｐ(ｍ,Ｎ)～ {2/(πＮ)}^1/2exp{－ｍ²/(2Ｎ)}　です。

ｘ＝ｍａ(－Ｎ≦ｍ≦Ｎ)として１歩の長さａは非常に小さいとします。

Ｎ－ｍが偶数のときと奇数のときの両方を考慮すれば,有限な寄与をする偶数のケースは全体の半分ですから,

ｘがｘとｘ＋ｄｘの間にある確率Ｐ(ｘ,Ｎ)ｄｘは,

Ｐ(ｘ,Ｎ)ｄｘ＝(1/2){2/(πＮ)}^1/2exp{－ｘ²/(2Ｎａ²)}(ｄｘ/ａ)＝{1/(2πＮａ²)^1/2}exp{－ｘ²/(2Ｎａ²)}ｄｘ　となるはずです。

このＰ(ｘ,Ｎ)は,Ｎａ→ ∞,ａ→ 0,Ｎａ² →σ²(有限)のときには,ｘで積分すると確かに１になるので,確率密度の条件を満足しています。

　２次元の場合でも酔歩は等方的であると考えられるので,単純に上式でｘ²をｒ²＝ｘ²＋ｙ²に置き換えるだけでいいと考えるところですが,実は１歩の各方向への成分Δｘ,ΔｙはΔｘ²＋Δｙ²＝ａ²を満足します。

　そこで,ｘ方向とｙ方向を対等に扱うならΔｘ²＝Δｙ²＝ａ²/2なので,Ｎ歩で位置ｒ＝(ｘ,ｙ)に到達する確率密度Ｐ(ｘ,ｙ,Ｎ)は,

　全平面で１になるように規格化して,

　Ｐ(ｘ,ｙ,Ｎ)ｄｘｄｙ＝{1/(πＮａ²)}exp{－ｘ²/(Ｎａ²)}exp{－ｙ²/(Ｎａ²)}ｄｘｄｙ＝{1/(πＮａ²)}exp{－ｒ²/(Ｎａ²)}ｄ²ｒ

　となるはずです。

  同様に,３次元ではｒ²＝ｘ²＋ｙ²＋ｚ²として,Δｘ²＝Δｙ²＝Δｙ²＝ａ²/3により,位置ｒ＝(ｘ,ｙ,ｚ)に到達する確率は,

　Ｐ(ｘ,ｙ,ｚ,Ｎ)ｄｘｄｙｄｚ＝[1/{(2/3)πＮａ²}^3/2]exp[－ｒ²/{(2/3)Ｎａ²}]ｄ³ｒになると考えられます。

　(※特にａ＝1,つまり酔歩の１歩がある物差しで測った単位長さなら,

　原点から出発する３次元酔歩でＮ歩の後に,ｒ＝(ｘ,ｙ,ｚ)の付近の単位体積中に彼が存在する確率は,[1/{(2/3)πＮ}^3/2]exp[－ｒ²/{(2/3)Ｎ}]となるはずです。

　これは２次元なら単位面積当たりの確率で,

　{1/(πＮ)}exp(－ｒ²/Ｎ)です。※)

  特に,３次元ではｔ＝Ｎτ,Ｄ＝ａ²/(6τ)とおけば,4Ｄｔ＝(2/3)Ｎａ²となるので,Ｐ(ｒ,ｔ)＝Ｐ(ｘ,ｙ,ｚ,Ｎ)＝{1/(4πＤｔ)^3/2}exp{－ｒ²/(4Ｄｔ)}となります。

　これは,拡散係数がＤの拡散方程式:∂Ｐ/∂ｔ＝Ｄ∇²Ｐにおいて,初期時刻ｔ＝0 に発生源の強度が原点に集中しているときの解,

　つまり,初期条件がＰ(ｒ,0)＝δ³(ｒ)の拡散方程式の解に一致します。

　ここで拡散の平均速度をｖとすると,これは酔歩の１歩の時間τと長さａによってｖ＝ａ/τと同定されます。

　そして,ａ＝ｖτを代入するとＤ＝ｖ²τ/6となります。

　常温では並進運動のエネルギーはｍｖ²/2＝(3/2)ｋ_BＴですから,拡散係数Ｄはブラウン運動(Brownian motion)などの平均衝突時間τに(ｋ_BＴ/2ｍ)を掛けた程度の値になるという考察ができると思います。

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フェルマーの小定理の別証明

　前記事の"フェルマー(Fermat)の小定理"ですが,"オイラー(Euler)の定理"からそれを証明するのは少し大げさな気がします。

　これはもっと簡単で,恐らくよりポピュラーな方法で証明できるので,それも紹介しておきましょう。

　要するに,ｘ,ｙを任意の整数,ｐを任意素数とするとき,(ｘ＋ｙ)^p≡ｘ^p＋ｙ^p (mod ｐ)が成立することさえ証明できれば,任意の整数ａに対してａ^p≡ａ (mod ｐ)が成立することが示せます。

　そこで,後はａとｐが互いに素ならａ≡0 (mod ｐ)ではないので,両辺をａで割ることにより,ａ^p-1≡1 (mod ｐ)が示されるというわけです。

　具体的には,ｘ,ｙ,ｚを任意の整数,ｐを任意の素数とすると(ｘ＋ｙ＋ｚ)^p≡(ｘ＋ｙ)^p＋ｚ^p≡ｘ^p＋ｙ^p＋ｚ^p (mod ｐ)が成立しますから,

　整数ｘ,ｙ,ｚの３つを,さらに４つ,５つ..といくら増やしていってもこうした性質が常に成り立つことになります。

　そこで,もしａが正の整数なら,ａ＝1＋1＋..＋1でありａは１をａ個加えたもので,もちろん 1^p＝1ですから,ａ^p≡1＋1＋..＋1≡ａ (mod ｐ)が成立するわけです。

　また,ａ＝0 ならａ^p≡ａ (mod ｐ)は自明です。

　ａが負の整数ならａ＝－1－1－..－1ですが,素数ｐは２以外は奇数ですからｐ≠２なら(－1)^p＝－1です。

　ｐ＝２のときも－1≡1 (mod 2)ですから,やはり(－1)²≡－1(mod 2)なので,ａ^p≡－1－1－..－1≡ａ (mod ｐ)が成立します。

　では,上の証明で前提とした等式:(ｘ＋ｙ)^p≡ｘ^p＋ｙ^p(mod ｐ)は本当に成立するのでしょうか？

　これの成立は式の左辺を二項展開することで証明することができます。

　すなわち,(ｘ＋ｙ)^p＝∑_pＣ_ｒｘ^rｙ^p-rですが,_pＣ_ｒはｒ≠0 のときは_pＣ_ｒ＝ｐ(ｐ－1)(ｐ－2)..(ｐ－ｒ＋1)/ｒ!です。

　右辺の分母のｒ!の因数はｒ≠ｐのときは全てｐよりも小さく,分子の素数ｐとは互いに素ですから,明らかに_pＣ_ｒはｐで割り切れます。

　すなわち,_pＣ₀＝_pＣ_p＝1であり,1≦ｒ≦ｐ－1なら_pＣ_ｒ≡0 (mod ｐ)ですから,(ｘ＋ｙ)^p≡ｘ^p＋ｙ^p (mod ｐ)が確かに成立することが示されました。

　しかし,高校の"順列と組み合わせ"で初めて習った_nＣ_ｒはｎを任意の整数とし,ｒを1≦ｒ≦ｎの任意の整数とするとき,本当にいつも整数になるのでしょうか？

　確かに,_nＣ_ｒは組み合わせの数を示すものですから整数になるのは当たり前といえば当たり前ですが,代数的に証明しないと私には何か気持ちが悪いです。

　というわけで,これを二重帰納法によって証明してみたいと思います。

　そのために,ａ,ｒを任意の整数として(ａ；ｒ)≡ａ(ａ＋1)(ａ＋2)..(ａ＋ｒ－1)と定義し,これがｒ!で割り切れることを帰納法で証明することを考えます。

　ｒ＝１のときには(ａ；ｒ)＝(ａ；１)＝ａでありｒ!＝1ですから,明らかに(ａ；ｒ)はｒ!で割り切れます。

　そこで,ｒ＞1とし,第一の帰納法の仮定として,あらゆるａに対して(ａ；ｒ－1)は(ｒ－1)!で割り切れるとします。

　すると,ａ＝１のときには(ａ；ｒ)＝(１；ｒ)＝ｒ!ですから,このときは(ａ；ｒ)は明らかにｒ!で割り切れます。

　そこで,第二の帰納法の仮定として,あるａに対しては(ａ；ｒ)がｒ!で割り切れるとします。

　このとき,(ａ＋1；ｒ)＝(ａ＋1)(ａ＋2)..(ａ＋ｒ－1)(ａ＋ｒ)＝ａ(ａ＋1)(ａ＋2)..(ａ＋ｒ－1)＋ｒ(ａ＋1)(ａ＋2)..(ａ＋ｒ－1)＝(ａ；ｒ)＋ｒ×(ａ＋1；ｒ－1)となりますから,右辺の第１項も第２項も仮定によってｒ!で割り切れます。

以上から,任意のａとｒに対して(ａ；ｒ)はｒ!で割り切れることが証明されました。ここで,ｎ＝ａ＋ｒ－１と置けば(ａ；ｒ)/ｒ!＝_nＣ_ｒですから,結局_nＣ_ｒが常に整数であることが示されたわけです。

ちなみに,"Eulerーの定理:ａ^φ(ｍ)≡1 (mod ｍ)"を"Fermatの小定理"から証明することもできます。

指針だけを示すと,まずｍが素数ｐのベキ乗であるとき：ｍ＝ｐ^αのときにEulerの定理が成立することを証明し,一般のｍの場合はｍを素因数分解すれば証明することができます。

ただし,φ(ｐ^α)＝ｐ^α－ｐ^α-1,φ(ｍｎ)＝φ(ｍ)φ(ｎ)などEuler関数φ(ｍ)の性質を使う必要があります。

参考文献：松坂和夫著「代数系入門」（岩波書店）

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オイラーの定理とフェルマーの小定理(合同式)

　今日は数論の"オイラーの定理(Euler's theorem)"を証明し,それによって,"フェルマーの小定理(Fermat's little theorem)"を証明する方法を簡単に紹介します。 

　まず,整数の合同式(modular equality)の定義を述べます。

　ａ,ｎという２つの整数があってｎは正の整数であるとします。

　"ａをｎで割ったときの余りがｒである"というのは,"ａ,ｎに対し整数ｑが存在してａ＝ｎｑ＋ｒ, 0≦ｒ≦ｎ－1と一意的に表現できること"を意味します。

　そして,ｎをある正の整数とするとき,"整数ａとｂがｎを法(modulo)として合同である。"とは,"ａとｂそれぞれをｎで割ったときの余りが一致すること"をいいます。あるいは,"(ａ－ｂ)がｎで割り切れる"といっても同じです。

　そして,整数ａとｂがｎを法として合同であることをａ≡ｂ(modｎ)と書きます。ａ≡ｂ(modｎ)なる式を合同式と呼びます。

　合同であるという合同式の性質は普通の等式のように両辺に互いに合同な数を加えたり引いたり,また掛けたりしても変わりません。

　また,ゼロと合同でない数であれば,それで合同式の両辺を割ることもできます。

"フェルマーの小定理"というのは,"ある整数ａがあって,それがある素数ｐと互いに素,つまり(ａ,ｐ)＝１のときにはａ^p-1≡1(mod ｐ)である。"というものです。

ここで,(ａ,ｂ)は,整数ａとｂの最大公約数(gcd)を意味します。

そして,ａ^p-1は,もちろんａ×ａ×...×ａと,ａを(ｐ－１)回掛けたものを表わしています。これをｐで割ったら余りは必ず１である,

というのがこの定理の内容です。これは結構有名なものです。

では,"オイラーの定理"とはどのようなものでしょうか？ 

それを説明するため,まず正の整数ｍに対してｍの整数値関数としてオイラー関数(Euler's function)φ(ｍ)を定義します。

オイラー関数φ(ｍ)とは,１からｍまでの正整数のうちでｍと互いに素な正の整数の個数のことです。

つまり,正の整数ｍが与えられたとき,丁度φ(ｍ)個のｍ以下の正整数ｂ₁,ｂ₂,...,ｂ_φ(ｍ)が存在して(ｂ_k,ｍ)＝１(ｋ＝1,2,..,φ(ｍ))を満たすことを意味します。

当然のことですが,1≦φ(ｍ)＜ｍです。

そして,"オイラーの定理"というのは,"ある整数ａがあって,それがある正整数ｍと互いに素,つまり(ａ,ｍ)＝1のときには,必ずａ^φ(ｍ)≡1(mod ｍ)が成り立つ。"というものです。

これの証明は意外と簡単です。

すなわち,(ｂ_k,ｍ)＝１;ｂ_k≦ｍなるφ(ｍ)個の整数ｂ₁,ｂ₂, ．,ｂ_φ(ｍ)に対して,ａとｂ_kの積の全てａｂ₁,ａｂ₂,...,ａｂ_φ(ｍ)を作り,これらを全部掛け合わせるだけでいいのです。

この積は,ａ^φ(ｍ)ｂ₁ｂ₂...ｂ_φ(ｍ)と書けますが,ｉ≠ｊのときａｂ_iとａｂ_jはｍを法として決して合同にはなりません。 

なぜなら,もしａｂ_i≡ａｂ_j(mod ｍ)ならａ(ｂ_i－ｂ_j)≡0（mod ｍ)ですから,ａ(ｂ_i－ｂ_j)はｍで割り切れることになりますが,ａは ｍ と互いに素なので(ｂ_i－ｂ_j)がｍで割り切れるしかありません。

ところが,定義によってｉ≠ｊのときにはｂ_i≠ｂ_jであり,しかも,ｂ_iとｂ_jの差の絶対値|ｂ_i－ｂ_j|はｍより小さくてゼロではないのですから,これは有り得ません。

ですから,ｉ≠ｊのときにはａｂ_iとａｂ_jはｍを法として決して合同にはならないわけです。 

それ故,ａｂ₁,ａｂ₂,...,ａｂ_φ(ｍ)から取った全ての対はｍを法として互いに合同ではなく,しかも,これらは丁度φ(ｍ)個の整数ですから,それらの各々をｍで割ったときの異なるφ(ｍ)個の余りは,丁度ｂ₁,ｂ₂,...ｂ_φ(ｍ)の全体と一致します。

故に,ａ^φ(ｍ)ｂ₁ｂ₂・・・ｂ_φ(ｍ)≡ｂ₁ｂ₂・・・ｂ_φ(ｍ) (mod ｍ)となりますが,ｂ₁ｂ₂・・・ｂ_φ(ｍ)はｍと互いに素です。

したがって,両辺をｂ₁ｂ₂・・・ｂ_φ(ｍ)で割ることができて,結局ａ^φ(ｍ)≡1 (mod ｍ)を得ます。

これでオイラーの定理が証明されました。 

そして,特にｍが素数ｐに等しいなら,φ(ｐ)＝ｐ－１なので,フェルマーの小定理:ａ^p-1≡1 (mod ｐ)が成立することになります。　

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記念日

　週末の飲み疲れで忘れるところでしたが,今日は"アメリカ合衆国本土爆撃記念日"であり,かつ"小泉選挙大勝記念日"でもある,という対照的な"記念日"であることに気付いたのでした。

　そして,これを起点として一方ではアフガンとイラクで無辜の民を殺戮するという侵略戦争が始まり,他方では利益誘導で利権を得るという政治構造の部分的かつ中途半端な破壊が進み,終結を迎えることになったのだと思います。

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パウリのスピンと相対性理論

　Pauli(パウリ)の導入した電子などのスピンという概念は,Dirac(ディラック)方程式という量子論の相対論的波動方程式が導入されて初めてその意味が明らかになったというのは,恐らく歴史的にはその通りであろうと思います。

すなわち,まず自由粒子のDirac方程式:(γｐ－ｍ)Ψ＝0 において電磁場の極小相互作用(minimal interaction)の原理を用いて,粒子の４元運動量ｐをｐ→ｐ－ｅＡと置き換えて,電磁場がある場合の方程式{γ(ｐ－ｅＡ)－ｍ}Ψ＝0 を作ります。

そして,４×４行列γを２×２のPauli行列:σで表現し,正エネルギー解の４成分スピノルΨ＝^t(ψ,χ)において,大成分の部分である上２成分のスピノルψだけを取り出します。(反粒子なら大成分は下２成分χです。)

そして,例えばFoldy-Wouthuysen変換などを用いて相対論的方程式の非相対論の極限を取れば,非相対論での波動方程式＝Scrödinger方程式においてスピンの存在を意味するPauli項:{－ｅ/(2ｍ)}σＢψが自然に得られるというわけです。

(この項は,スピンによる磁気モーメントの磁気回転比ｇがｇ＝2となることも説明します。)

しかし,このマジックは,別に非相対論の波動方程式を相対論的に修正したために生じたわけではなく,方程式を線形な行列方程式にしたために生じたのです。

つまり,波動関数がスピノルであることを明示したことが,Pauli項を浮き出させた原因であり,たまたま相対論的Dirac方程式においてそのことが顕在化しただけであるということを,このトピックで強調しておこうと思った次第です。

(※決して,Diracの歴史的発見を貶めよう。。とかの意図は

ありません。) 

非相対論的量子力学でも,電子はスピンが1/2のFermi粒子であることを考慮して,最初から"Scrödinger方程式の解の波動関数が２成分のスピノルである。"ことを意識していればPauli項は自然に得られるのです。

波動関数が２成分スピノルであることを意識するなら,非相対論で

の自由粒子のHamiltonian:Ｈ＝ｐ²/(2ｍ)が,Pauli行列σを用いて

Ｈ＝(σｐ)²/(2ｍ)とも表現できることに気付くはずです。

自由粒子ならどちらの表現も同じで,ワザワザσを導入することに何の意味もないのですが,電磁場の極小相互作用変換:ｐ→ｐ－ｅＡ,すなわち,ｐ→ｐ－ｅＡ,かつＨ→Ｈ－ｅΦを実行して電磁場があるケースにするなら事情は違ってきます。

Ｈ＝ｐ²/(2ｍ)からｐ→ｐ－ｅＡ,Ｈ→Ｈ－ｅΦと変形しても

Ｈ＝(ｐ－ｅＡ)²/(2ｍ)＋ｅΦで何の変哲も生じないのですが,

これをＨ＝(σｐ)²/(2ｍ)を出発点として変形し,

Ｈ＝{σ(ｐ－ｅＡ)}²/(2ｍ)＋ｅΦとすれば,何と不思議なこと

に自然にPauli項が得られるのです。

これは非可換なPauli行列σがあることにより,

{－ｅ/(2ｍ)}(σ_iｐ_iσ_jＡ_j＋σ_ｊＡ_ｊσ_iｐ_i)の項から,

{－ｅ/(2ｍ)}(ｐＡ＋Ａｐ)以外の項が得られるからです。

スピン行列は,ｉ＝ｊのときにはσ_iσ_j＝１でｉ≠ｊのときには

σ_iσ_j＝－σ_jσ_i＝ｉε_ijkσ_kなる性質を持っています。

そして,(σ_iσ_jｐ_iＡ_j＋σ_ｊσ_iＡ_ｊｐ_i)の項でｐ_i＝－ｉ∂_iとし,

ε_ijk＝ε_kijであることと,ベクトルポテンシャルＡから磁場

ＢがＢ_k＝ε_kij∂iＡ_jによって与えられることを組み合わせます。

すると,波動関数に掛かる係数として(ｐＡ＋Ａｐ)なる項の

他にσＢが得られるのです。

※(注)：↑文章だけではわかりにくく不親切なので追加です。

まず,{σ(ｐ－ｅＡ)}²＝σ(ｐ－ｅＡ)σ(ｐ－ｅＡ)

＝{(σｐ)²＋(ｅσＡ)²－ｅ(σｐσＡ＋σＡσｐ)}です。

(σｐ)²＋(ｅσＡ)²＝ｐ²＋(ｅＡ)²ですが,最後の項は波動関数

Ψに作用する演算子としては,

(σｐσＡ＋σＡσｐ)Ψ＝(σ_iσ_jｐ_iＡ_j＋σ_ｊσ_iＡ_ｊｐ_i)Ψ

＝(ｐＡ＋Ａｐ)Ψ＋i(ε_ijkσ_kｐ_iＡ_j－ε_ijkσ_kＡ_ｊｐ_i)Ψ 

＝(ｐＡ＋Ａｐ)Ψ＋(ε_ijkσ_k∂_iΨＡ_j－ε_ijkσ_kＡ_ｊ∂_iΨ)

　＋(ε_ijk∂_iＡ_jσ_k)Ψ

となります。

右辺の２番目の項は同じ項の差なのでゼロです。

そこで残りは(ｐＡ＋Ａｐ)Ψ＋σＢΨです。

それ故,{σ(ｐ－ｅＡ)}²Ψ＝{(ｐ－ｅＡ)²－σＢ}Ψが得られます。

(注終わり)※

　というわけで,パウリの1/2のスピンは単に３次元回転群の２価表現の１つであって,相対論とは直接には何の関係もない,のでした。

ここでは,簡単のために,ｃ＝ｈ_c＝１とする自然単位系を取りましたが,通常のＳＩ単位系なら,

Pauli項{－ｅ/(2ｍ)}σＢψは{－ｅｈ_c/(2ｍ)}σＢψとなります。

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　今年5月のある日,夜中に巣鴨一丁目のスナック「チャンティー」で,ママと一対一で客として酒を飲み,歓談していたところへ,60歳をかなり越えたと思われる似顔絵書きの爺さんがドアを開けた。。

　雨の中を歩いてきたようで,「二人で千円でいいから描かせてください。」と店に入ってきた。

　ママは断わったが,私は「まあ,いいじゃないか」ということで,千円で私の似顔絵を描いてもらうことにして,爺さんには酒を一杯おごった。

　できた絵は,ちょっと美化しすぎているし,髪の毛も多すぎるけど,20年くらい前であれば何となく輪郭は似ているようだ。

　私が40歳くらいのときのパスポートの写真にも似ているから,この絵描きの爺さん,「今の私から若い頃を想像して描いたのかもしれないな。」と思った。

　その日も,わたしは"はしご"をしたので,この似顔絵はそれからずーっと「チャンティー」に預けていたのだが,先日持って帰ってスキャナーでPCに取り込み,ここにアップしたわけです。

　　　　　　　　

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ポアンカレ群と粒子のスピン

　今日はポアンカレ(Poincare')群,特にローレンツ(Lorentz)群と粒子のスピンの関係について書いてみます。 

　ポアンカレ群という変換群は,座標系のローレンツ変換の作るローレンツ群に,時空座標の平行移動群を加えたミンコフスキー空間(Minkowski space)の合同変換群全体を指します。

　このうち,平行移動に関係する物理量は,ネーター(Noether)の定理でご存知のように"平行移動変換群の生成子＝エネルギーと運動量"です。

　そして,それらの生成子から作られ,既約表現ごとに異なる固有値を与えるカシミア(Casimir)演算子は質量の２乗を示す演算子です。

　そして,平行移動変換群の表現に対して"平行移動のカシミア演算子の固有値＝質量の２乗"が負なら,その表現はタキオン(tachyon)を表わします。　

　また,それがゼロなら,例えばベクトル場(スピンが１)だと光子(photon)を表わします。

　他方,正なら既約表現での固有状態は有限質量の実在粒子を表わします。

　結局,自由粒子はその質量により平行移動群の既約表現に分解されるというわけです。

一方,ローレンツ群の表現の方には,その表現空間に応じてスピノル,ベクトル,テンソルなどがあります。

しかし,これらは４次元ミンコフスキー空間のスピノル,ベクトル,テンソルではなく,３次元ユークリッド空間(Euclidian space)のそれです。

そして,粒子のスピンが,ｓ＝0,1/2,1,3/2,2,..であるという性質も,質量の２乗が正でエネルギーも正の場合なら,３次元回転群:SO(3)のカシミア演算子による既約表現の分類から得られるわけです。

ただ,質量がゼロの特別な場合は,SO(3)ではなく"E(2)＝２次元ユークリッド群"に関係するという理由から,光子はベクトルなのに独立成分が２つしかないのですね。

また,質量の２乗が負の既約表現に属するタキオンなら,３次元ローレンツ群:SO(2,1)に関係します。

そして,一般に,これら回転群の生成子はスピン,軌道を含めた角運動量演算子であるということになりますが,自由粒子なら軌道角運動量は関係ないのでスピンのみです。

ローレンツ変換は４次元空間の回転であるはずなのに,これはどういう意味か？というと,ウィグナー(E.P.Wigner)によってリトル・グループ(小群)なる概念に基づいて分類可能なことがわかっているからです。

まず,上記のように,平行移動群の表現をその既約表現の不変部分空間に分割することにより,質量の如何によって各表現ごとに生成子である４元運動量の固有値は限定されます。

実粒子であってエネルギーが正である範疇に属する４元運動量の固有値の任意の１つをｋとして,それを不変に保つローレンツ変換:Λの集合,

すなわち,Λｋ＝ｋを満たす変換Λの集合を作ると,これはローレンツ群の１つの部分群になります。

こうして作られた部分群の１つ１つをローレンツ群のリトル・グループ(little-group)と呼びます。

このとき,４元運動量の１つの固有値ｋとして,その静止系での値:ｋ＝(ｍ,0,0,0)(ｍ＞0)を取れば,このリトル・グループが３次元回転群:SO(3)に一致するのは明らかでしょう。

ただし,質量がゼロでエネルギーが正の場合は,例えばｋ＝(Ｅ,Ｅ,0,0)(Ｅ＞0)を４元運動量の１つの固有値に取ればよく,リトル・グループは２次元ユークリッド群Ｅ(2)になります。

とにかく,ローレンツ群のユニタリな既約表現はリトル・グループの１価または２価のユニタリな既約表現を全て与えることで尽くされます。

そのため,質量が正の実粒子なら４次元空間のローレンツ群の既約表現を与えるのは３次元空間の回転群のそれを与えることと一致します。

そして,３次元空間の回転群については既に通常の非相対論においてスピンによって分類できることがわかっています。

なぜ,群の種々の表現のうちで,既約表現を特別視するのでしょうか？

それは,例えば質量やスピンを考えるとわかるように,量子論では超選択則(superselection rule)によって,"特別な場合を除いて１つの既約表現の基底空間から他の既約表現の基底空間への遷移が禁止されている"からです。

特別な場合というのは,,粒子の崩壊などの非弾性相互作用がある状況です。

要するに,変換群の示す対称性が成立しなくなる場合に相当します。

　相対性理論の粒子の４つの運動量成分(Ｅ,Ｐ)は,実は全てが独立というのではなくて,その質量ｍによって制限されています。　

(※:Ｅ²－Ｐ²＝ｍ²です。これは運動量空間の波動方程式(Ｅ²－Ｐ²－ｍ²)|Ψ＞＝0 を意味します。)

　そこで,,自由なパラメータは実は４つではなく３つなのです。

　運動量空間での波動方程式は,フーリエ変換すれば座標空間での波動方程式になりますから,座標空間でも自由なパラメータは３つという状況は同じです。

　そこで,高々３つのパラメータで決まるローレンツ変換群の部分群であるリトル・グループ,例えば３次元回転群で,その全てを記述できるわけです。

　したがって,非相対論的量子論でも現われる通常の３次元空間でのスピンが,相対論の４次元空間でも主役になるわけですね。

参考文献：大貫義郎著「ポアンカレ群と波動方程式」（岩波書店）

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不確定性,相補性とネーターの定理

前記事との関連で不確定性,相補性とネーター(Noether)の定理について書いてみます。

以下,Planck定数:ｈ or ｈ/(2π),および光速ｃを１とする自然単位で考察します。　

ハイゼンベルク(Heisenberg)の不確定性原理は,物理量の交換関係と密接につながっています。

[Ｐ,Ｘ]＝－iなる交換関係は,Ｐの標準偏差ΔｐとＸの標準偏差Δｘの間にΔｐΔｘ≧1/2 なる不確定性関係を生ぜしめます。

同じく[Ｅ,ｔ]＝iですから,ΔＥΔｔ≧1/2 ですね。

これらの交換関係は特に正準交換関係と呼ばれ交換関係[ , ]をPoisson括弧式:[ , ]_P.B.にｉを乗じたものと解釈すると,古典論に帰します。

そこで,量子論での運動方程式:ｄＸ/ｄｔ＝(－i)[Ｘ,Ｈ],ｄＰ/ｄｔ＝(－i)[Ｐ,Ｈ]etc.の右辺を(－i)で割り,[ , ]→[ , ]_P.B.とすると古典論の方程式になります。

こうした変数の対は互いに正準共役であるといわれます。

いわゆるFourier変換での振動数と周期の関係,あるいは格子と逆格子の関係にあるともいえるこうした量の対は,量子論では"相補的(complementary)である"といわれるようです。

数学の言葉なら,"互いに双対(そうつい;dual))な変数である"とい

えるでしょうか。

これらは,"時間,空間座標の平行移動の下で運動方程式(または理論)が不変である"という対称性に関係しています。

古典論では接触変換,量子論では大域的ゲージ変換という位相変換の下での理論の不変性に対応して,共役な変数が時間的に保存されるという構造があることがNoetherの定理で保証されています。 

例えば,時間ｔの一様性はエネルギーＥの保存に帰します。 

古典論で考察してみましょう。

系を記述するLagrangian:ＬがＬ(ｑ,ｄｑ/ｄｔ,ｔ)＝Ｔ－Ｖで与えられるとにします。

系はｎ体系で一般化座標をｑ＝{ｑ_i}とします。

すると,一般に運動エネルギーＴはｄｑ/ｄｔの二次形式:Ｔ＝∑{ａ_ij(ｄｑ_i/ｄｔ)(ｄｑ_j/ｄｔ)}で表わされます。

他方,一般化位置エネルギーＶはＶ＝Ｖ(ｑ,ｔ)で与えられるとします。

時間ｔの一様性とは,時間原点をどこに取ってもいいことを意味します。

例えば,時刻ｔが原点の微小平行移動εによってｔ'＝ｔ－εになったとします。

ｔ＝ｔ'＋εとなりますから,ｔにｔ'＋εを代入することにより平行移動によって,ｑ'(ｔ')＝ｑ(ｔ'＋ε)＝ｑ(t)として,新しいLagrangian:Ｌ'をＬ'(ｑ',ｄｑ'/ｄｔ',ｔ')としても,これがＬ(ｑ,ｄｑ/ｄｔ,ｔ)と一致するとします。

これは,両方のLagrangianで異なるのは陽に含まれている時間パラメータｔのみですから,Ｌ,Ｌ'が時間を陽に含まないこと,つまりＬ(ｑ,ｄｑ/ｄｔ,ｔ)＝Ｌ(ｑ,ｄｑ/ｄｔ)であることを意味します。

時間ｔの一様性により,Lagrangianから得られるEuler-Lagrange方程式(運動方程式)はＬ,Ｌ'のどちらのLagrangianに対しても同一です。

これはＬ'(ｑ',ｄｑ'/ｄｔ')＝Ｌ(ｑ',ｄｑ'/ｄｔ'),つまり対称性変換の前後でLagrangianの関数形が同じであることを意味します。

そこでｔ'＝ｔ－εに対し,ＬのLie変分はδＬ≡Ｌ'(ｑ',ｄｑ'/ｄｔ')|_t'=t－Ｌ(ｑ,ｄｑ/ｄｔ)＝Ｌ(ｑ',ｄｑ'/ｄｔ')|_t'=t－Ｌ(ｑ,ｄｑ/ｄｔ)です。

ｑ'＝ｑ'(ｔ)とすれば,Lie変分δｑ＝ｑ'(ｔ)－ｑ(ｔ)＝ε(ｄｑ/ｄｔ),そして,大域的変換なのでεはｑやｔに依存しない定数ですから,δ(ｄｑ/ｄｔ)＝ε(ｄ²ｑ/ｄｔ²)です。 

一方,ＬのLie変分はδＬ＝ε(ｄＬ/ｄｔ)ですが,Ｌはｔを陽に含まないのでｑやｄｑ/ｄｔを通じてしかｔに依存しません。

そこで,ｔ'＝ｔ－εに対し,δＬ＝(∂Ｌ/∂ｑ)δｑ＋{∂Ｌ/∂(ｄｑ/ｄｔ)}δ(ｄｑ/ｄｔ)＝ε[(∂Ｌ/∂ｑ)(ｄｑ/ｄｔ)＋{∂Ｌ/∂(ｄｑ/ｄｔ)}(ｄ²ｑ/ｄｔ²)]です。

ここで,右辺にEuler-Lagrange方程式∂Ｌ/∂ｑ＝(ｄ/ｄｔ){∂Ｌ/∂(ｄｑ/ｄｔ)}を代入すれば,

ε(ｄＬ/ｄｔ)＝ε[(ｄ/ｄｔ){∂Ｌ/∂(ｄｑ/ｄｔ)}](ｄｑ/ｄｔ)＋{∂Ｌ/∂(ｄｑ/ｄｔ)}(ｄ²ｑ/ｄｔ²)]＝ε(ｄ/ｄｔ)[{∂Ｌ/∂(ｄｑ/ｄｔ)}(ｄｑ/ｄｔ)] を得ます。

これと,δＬ＝ε(ｄＬ/ｄｔ)から,(ｄ/ｄｔ)[{∂Ｌ/∂(ｄｑ/ｄｔ)}(ｄｑ/ｄｔ)―Ｌ]＝0 ですから,

Ｈ≡[{∂Ｌ/∂(ｄｑ/ｄｔ)}(ｄｑ/ｄｔ)―Ｌ]とおくと,ｄＨ/ｄｔ＝0 となって,Ｈが時間的に保存されることになります。

これがネーターの定理(Noether)の１例です。

通常の形式のＬ＝Ｔ－ＶでＴがｄｑ/ｄｔの二次形式の場合なら,Ｈ＝Ｔ＋Ｖ＝Ｅ(エネルギー)ですから,これはｄＥ/ｄｔ＝0 ,つまりエネルギー保存を意味します。

同様にして,空間の一様性:"座標ｑの原点がどこでもいい"という対称性からは,"運動量Ｐの保存:ｄＰ/ｄｔ＝0 "が得られます。

また,ここでは例に挙げていませんが,"座標系の向きをどのように取ってもいい。"という空間の等方性は角運動量の保存を意味します。

例えば,スピンは角運動量ですから,これが定義される空間は等方的である必要があります。

余談ですが,一般相対論の時空なら一般に等方的とは限らないので,角運動量やスピンを考察するのはむずかしいですね。

PS:唐突ですが,ｄＥ＝ＴｄＳ＋ＰｄＶを満たす熱力学的変化を考えると,

　定積変化(ΔＶ＝0)では,

　ΔＥΔｔ≧1/2という不確定性はＴΔＳΔｔ≧1/2と同等です。

　そこで,交換関係:[Ｅ,ｔ]＝iからのアナロジーで,

これは[Ｓ,ｔ]＝ｉ/Ｔと同等あろうと考えられます。

この相補的関係にNoetherの定理を関連付けると,

"エントロピー(entropy):Ｓの保存(断熱準静変化)が温度一定の下での時間の一様性からの帰結を意味する"のでは？と思ったのですが,これが何らかの物理的意味を持つのか？について,ときどき考えています。

エントロピーは確率の対数(Boltzmannの原理より)なので,観測と関係しているのでしょうか？

高林武彦氏の著書「量子力学(観測と解釈問題)」or「熱学史」に何らかの示唆が述べられていたと記憶しています。

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エネルギーと時間の不確定性関係

「EMANお物理学」の「談話室」での内容に触発されて,,

「エネルギーと時間の不確定性」という内容で書いてみたい

と思います。

「Heisenberg(ハイゼンベルク)の不確定性原理」の解釈は"測定誤差に

関する「小澤の不等式」の意味ではなく標準偏差の積の不等式と考える

のが通常の意味で,不確定性原理は物理量の交換関係と密接につながって

いるという認識を持っています。

以下,Planck定数:ｈ or ｈ/(2π)と光速ｃを１とする自然単位系で考察

します。

[Ｐ,Ｘ]＝－iなる交換関係は運動量Ｐの標準偏差Δｐと

Ｘの標準偏差Δｘの間にΔｐΔｘ≧1/2なる不確定性関係を生ぜし

めます。

そして運動量は座標表示ではＰ＝－ｉ∂/∂Ｘですね。

同じく時間座標ｔの表示では,Ｅ＝Ｈ＝ｉ∂/∂ｔであり

[Ｅ,ｔ]＝iですから,ΔＥΔｔ≧1/2 のはずです。

しかし,これの意味を

"時刻とエネルギーを同時に確定することができない。"

と素朴に解釈することがむずかしいのは何故か？

について考察してみます。

一般に状態ベクトルを|ψ＞とするとき,その波動関数を,

ψ(ｘ,ｔ)≡＜ｘ,ｔ|ψ＞で定義すると|ψ(ｘ,ｔ)|²ｄ³ｘｄｔは,

ある時空点(ｘ,ｔ)付近の瞬間的存在確率を示すものである,

と解釈できます。

つまり|ψ(ｘ,ｔ)|²ｄ³ｘはある時刻ｔにおける単位時間当たりの

存在確率と解釈します。

ここでは,それぞれ位置座標と時間の線形演算子ＸとＴが存在し,

これは交換可能であって,ＸとＴの同時的固有状態ベクトル|ｘ,ｔ＞

が存在する,と仮定しています。

自由粒子ならエネルギーＥ＝Ｈと運動量Ｐは交換可能：[Ｈ,Ｐ]＝0 で,

これはHeisenbergによるとＰの時間的保存を示しています。

そこで運動量ＰとエネルギーＥ＝Ｈの同時的固有状態を取ることができ

て,その同時的な固有ベクトルを|ｐ,Ｅ＞とおくなら,

座標表示Ｐ＝－i∇,Ｅ＝Ｈ＝ｉ∂/∂ｔに従って,

＜ｘ,ｔ|ｐ,Ｅ＞＝Ａexp(iｐｘ－ｉＥｔ)(Ａは規格化定数)

と書けます。

しかし,謂わゆるFourier変換による展開として,

ψ(ｘ,ｔ)＝＜ｘ,ｔ|ψ＞＝∫ｄ³ｐｄＥ＜ｘ,ｔ|ｐ,Ｅ＞＜ｐ,Ｅ|ψ＞

となるわけではない,と考えるべきだと思います。

何故なら,自由粒子のｐとＥの間には,粒子が質量殻の上にある,

つまりＥ²＝ｐ²＋ｍ²であるという制約があるので,　

１＝∫ｄ³ｐｄＥ|ｐ,Ｅ><ｐ,Ｅ｜という単純な完全性は成立しない

と思うからです。

そうでなくて,

1＝∫ｄ³ｐｄＥθ(Ｅ)δ(Ｅ²－ｐ²－ｍ²)|ｐ,Ｅ＞＜ｐ,Ｅ|という式が

本当の完全性を示す式であると考えられます。

(θ(ｘ)はHeaviside関数です。）

ｄＥによる積分を実行し,ω_p≡(ｐ²＋ｍ²)^1/2と置くと,後者の完全性は

1＝∫(ｄ³ｐ/2ω_p)|ｐ,ω_p＞＜ｐ,ω_p|となります。

したがって,＜ψ|ψ＞＝∫(ｄ³ｐ/2ω_p)＜ψ|ｐ,ω_p＞＜ｐ,ω_p|ψ＞

＝∫(ｄ³ｐ/2ω_p)|＜ｐ,ω_p|ψ＞|²となるので,

固有状態を|ｐ＞≡(2ω_p)^1/2|ｐ,ω_p＞と定義し,運動量表示の波動関数

としてΦ(ｐ)≡＜ｐ|ψ＞とおけば,１＝∫ｄ³ｐ|ｐ＞＜ｐ|

が成立します。

そこで,状態|ψ＞のノルムの２乗|ψ|²(これは全確率で通常１

に規格化されている)は＜ψ|ψ＞＝∫ｄ³ｐ|Φ(ｐ)|²となりますね。

これらのことから,運動量表示の波動関数Φ(ｐ)に対して,

|Φ(ｐ)|²ｄ³ｐはエネルギーが一定Ｅ＝ω_pの下で運動量が

ｐを取る確率を示すものであると考えられます。

これのアナロジーで座標表示の波動関数ψ(ｘ,ｔ)＝＜ｘ,ｔ|ψ＞にも

１＝∫ｄ³ｘｄｔ|ｘ,ｔ＞＜ｘ,ｔ|が成立するわけではなく,

Ｅ²＝ｐ²＋ｍ²に相当してｔとｘが独立ではなく,

"－∂²/∂ｔ²＝－∇²＋ｍ²という制限＝波動方程式"を考慮する

必要があると考えます。

すなわち,|ｘ,ｔ＞の代わりに,ある|ｘ＞を定義し直して,

１＝∫ｄ³ｘ|ｘ＞＜ｘ|によって,改めてｘ表示の波動関数

としてψ(ｘ,ｔ)≡＜ｘ|ψ＞と定義することにより,

＜ψ|ψ＞＝∫ｄ³ｘ|ψ(ｘ,ｔ)|² が成立するようにできる

はずです。

この新しい|ψ(ｘ,ｔ)|²ｄ³ｘは時刻ｔが一定の下で粒子が位置ｘにある

存在確率を表わすことになりますから,通常の波動関数の確率解釈と一致

します。

ここで,波動関数ψ(ｘ,ｔ)＝＜ｘ|ψ＞の左辺にｔを残したのは,

これは状態|ψ＞に含まれる情報によって,時間演算子Ｔの固有値ｔ

の関数でもあるということを強調したかったからです。

というわけで,

"時間ｔをパラメータに取る代わりに空間座標ｘ,ｙ,ｚ

のいずれか１つをパラメータに取ることも可能であり,

通常の偏差値の意味で不確定性関係ΔＥΔｔ≧1/2を"時刻とエネルギーを同時に確定することができない。"

と捉えることも可能だと思います。

(※あるいは非相対論的に考えて,自由粒子ではＥ＝Ｈ＝ｐ²/(2ｍ)

より,１＝∫ｄ³ｐｄＥδ(Ｅ－ｐ²/(2ｍ))|ｐ,Ｅ＞＜ｐ,Ｅ|であり,

右辺のＥによる積分を実行すれば,ω_p≡ｐ²/(2ｍ)としたとき,　

１＝∫ｄ³ｐ|ｐ,ω_p＞＜ｐ,ω_p｜が得られるので|ｐ＞≡|ｐ,ω_p＞

と定義してもよいと思います。

上記の議論では,座標ｘ,ｔに関する波動方程式も,相対論的な

Klein-GordonやDiracク方程式ではなく,Schroedinger方程式であ

っても別にかまいません。

そこで,特に相対論を意識する理由はありませんが,座標と時間を対等に

扱う意識が生まれたのはMinkowski空間以降の感覚だと思ったので,

そうしたわけです。

特に相対論的扱いをしたことに他意はありません。※）

上記の考察は,本を参照せず,出来るだけ自力で考えましたが,自分の

発想に基づいて考察するのはずいぶん久しぶりなので,内容にはやや

自信なしという思いもありますね。

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ｎ変数の相加平均と相乗平均

　今日は,数学の統計学の話題です。

　ｎ変数の相加平均と相乗平均（幾何平均)を考察します。 

　"(相加平均)≧(相乗平均)"という公式の意味は,２変数の場合には,

"ｘ,ｙが正の数のとき{(ｘ＋ｙ)/2}≧(ｘｙ)^1/2(等号はｘ＝ｙのとき)が成り立つ。"　ということです。

　この不等式の成立は自明なのでワザワザ証明はしません。

　では,一般のｎ変数の場合の"(相加平均)≧(相乗平均)"の公式である{(∑_i=1ⁿｘ_i)/ｎ}≧(Π_i=1ⁿｘ_i)^1/n (ｘ_ｉは全て正の数)はどのように証明すればいいのでしょうか？

　まあ,一応は数学的帰納法(induction)を用いればいい,ということはすぐに気が付くでしょうね。 

　まず,ｎ＝2^M のときにはこの不等式が成立すると仮定して,ｎ＝2^M+1のときにも成立することを証明します。

　{(∑_i=1ⁿｘ_i)/ｎ}≧(Π_i=1ⁿｘ_i)^1/n (ｎ＝2^M) が成立すると仮定すると,

ｎ＋1,ｎ＋2,.,2^M＋1,2^M＋2,.,2^M+1の総個数も丁度 2^Mですから,

　{(ｘ＋ｙ)/2}≧(ｘｙ)^1/2を使うと,

[{(∑_i=1ⁿｘ_i)/ｎ＋(∑_j=1ⁿｘ_n+j)/ｎ}/2]≧{(Π_i=1ⁿｘ_i)^1/n(Π_j=1ⁿｘ_n+j)^1/n}^1/2となります。ｎ＝2^Mです。

　故に,{(∑_i=1²ⁿｘ_i)/(2ｎ)}≧(Π_i=1²ⁿｘ_i)^1/2n (2ｎ＝2^M+1)が成立します。

　そこで,ｎ＝2^M+1のときにも{(∑_i=1ⁿｘ_i)/ｎ}≧(Π_i=1ⁿｘ_i)^1/nが成立することが示されました。

　すなわち,数学的帰納法により,ｎが２のベキ乗のときには,常に"(相加平均)≧(相乗平均)"が成り立つことが証明されたわけです。

　では,ｎが２のベキ乗でないときはどうでしょうか？

　このときには,2^M-1＜ｎ＜2^Mを満足するＭが必ず存在するはずです。

　そこで,Ｎ≡2^M,ｎ₁≡Ｎ－ｎ,＜ｘ＞≡{(∑_i=1ⁿｘ_i)/ｎ}と置きます。

　このとき,Ｎは２のベキ乗なので既に証明した事実によって,

　{(∑_i=1ⁿｘ_i＋ｎ₁＜ｘ＞)/Ｎ}≧{(Π_i=1ⁿｘ_i)＜ｘ＞ⁿ¹}^1/N

が成立します。

　ところが,この不等式の左辺は丁度＜ｘ＞に等しいので,両辺をＮ＝2^M乗すると,＜ｘ＞^N≧{(Π_i=1ⁿｘ_i)＜ｘ＞ⁿ¹となります。

　さらに,＜ｘ＞^N≧{(Π_i=1ⁿｘ_i)＜ｘ＞ⁿ¹の両辺を＜ｘ＞ⁿ¹で割ると,

　＜ｘ＞ⁿ≧(Π_i=1ⁿｘ_i)となります。

　結局,ｎが２のベキ乗に等しいとは限らない一般の場合にも,

　＜ｘ＞＝{(∑_i=1ⁿｘ_i)/ｎ}≧(Π_i=1ⁿｘ_i)^1/n

が成立すること,が示されました。

　この後半の証明にはちょっとした工夫が必要でしたね。

　これはン十年前,大学の授業で習ったときの記憶なので,参考文献は不明です。

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歌人：島秋人

　永山則夫氏の前にも窪田空穂（くぼたうつぼ）の弟子になった死刑囚の歌人：島秋人もいましたね。

　処刑の前日にはニコニコしていたと聞きます。

　昭和42年のことです。昭和39年には既にできていたけれど,本人の強盗殺人の被害者への遠慮のため,彼の刑死後に歌集「遺愛集」も出ました。640首もありました。

　人が人を処刑できるものなんですね。島さん,あなたの犯した罪もすべて私の罪でもあります。

　あなたが天国にいるのでなければ,いずれ地獄でお目にかかりましょう。　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　かしこ

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ロートレアモンとサド

　モーリス・ブランショの評論に「ロートレアモンとサド」というのがあります。

　　　　

　彼はモンテヴィデオの怪人イジドール・デュカス＝ロートレアモン伯爵とマルキ・ド・サドとの間に共通性を見出していたと思われます。

　私も両者の間に,大きな共通性を見出しています。

　「マルドロールの歌」という悪魔＝マルドロールを崇拝した詩集,と「ポエジー(詩学断想)」,ロートレアモンの作品はこれだけしかないですが,私の受けた衝撃は計り知れないものがあります。

　人生においてモラルというものを完全に拒否したいと考えるようになり,ただ価値というのは"美"というものだけしかない,と考えるに至ったきっかけとしては,これらの作品から,マルクスによるものと同じかそれ以上の影響を蒙っています。

　「深い森の奥に『エルマフロジット＝両性具有者』が住んでいる・・・」

　なんと魅力的な響きでしょうか。彼の作品を読むとランボーもボードレールも中原中也もなぜか色褪せて見えます。

　マルキ・ド・サドにも私は若い頃,大きな影響を受けました。

　なぜだかわかりませんが,「悪徳の栄え＝ジュリエット」よりも,妹の「美徳の不幸＝ジュスチーヌ」の方が好きです。

　「ソドム百二十日」については読んだけど訳が下手なのか理解不能でした。

　彼の作品は,その後の日本の村上龍などにも影響を与えていると考えられますが,こちらの日本人の作品は読んだことがありません。

　この芥川賞作品の題名からそう感じただけです。

　話変わりますが,恐らく同時代の天才レイモン・ラディゲの「肉体の悪魔」も短編ですが,珠玉の反モラル小説ですね。

  数学者,エヴァリスト・ガロアと共に,これらの人物を慕う私は19世紀のフランスに恋しているのかもしれません。

　モラルに反する,という意味では,亡命ロシア人ウラジミール・ナボコフの「ロリータ」もあります。これも私は好きです。

　"ロリータ＝本名ドロレス・ヘイズ"に恋したために母親と結婚するハンバート・ハンバートの欺瞞は,ヘイズ夫人には気の毒ですが,わかるような気がするのは,私もロリコンであるせいかもしれません。　

　モラルを嫌い,それに忠実に生きようとするがために,私は不遇な生活でも,退廃的な満足感が常にあるような気がしています。

　一時の快楽,現実逃避のため,私は今日も酒を飲む。

　決して禁酒しようとか禁煙しようとかという感覚は持ってないし,

　これからもそうであろう。。。

　話は違うけれど聖なる娼婦である「罪と罰のソーニャ」や無邪気な娼婦であるマノン・レスコーとは違ったタイプの,新しい私の観音様になるかもしれないＡＶ女優を見つけました。

　大阪の「紅音（あかね）ほたる」さん。

　聖なるとは完全に逆のキャラクターです。

　昼間は娼婦のごとく夜も娼婦のごとくです。

　ファンになろうかなあ,本当に最高ですねえ。。

　ってここはアダルトブログじゃぁないよ。まあ,私の場合,何でもアリですけどね。

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