不確定性,相補性とネーターの定理

前記事との関連で不確定性,相補性とネーター(Noether)の定理について書いてみます。

以下,Planck定数:ｈ or ｈ/(2π),および光速ｃを１とする自然単位で考察します。　

ハイゼンベルク(Heisenberg)の不確定性原理は,物理量の交換関係と密接につながっています。

[Ｐ,Ｘ]＝－iなる交換関係は,Ｐの標準偏差ΔｐとＸの標準偏差Δｘの間にΔｐΔｘ≧1/2 なる不確定性関係を生ぜしめます。

同じく[Ｅ,ｔ]＝iですから,ΔＥΔｔ≧1/2 ですね。

これらの交換関係は特に正準交換関係と呼ばれ交換関係[ , ]をPoisson括弧式:[ , ]_P.B.にｉを乗じたものと解釈すると,古典論に帰します。

そこで,量子論での運動方程式:ｄＸ/ｄｔ＝(－i)[Ｘ,Ｈ],ｄＰ/ｄｔ＝(－i)[Ｐ,Ｈ]etc.の右辺を(－i)で割り,[ , ]→[ , ]_P.B.とすると古典論の方程式になります。

こうした変数の対は互いに正準共役であるといわれます。

いわゆるFourier変換での振動数と周期の関係,あるいは格子と逆格子の関係にあるともいえるこうした量の対は,量子論では"相補的(complementary)である"といわれるようです。

数学の言葉なら,"互いに双対(そうつい;dual))な変数である"とい

えるでしょうか。

これらは,"時間,空間座標の平行移動の下で運動方程式(または理論)が不変である"という対称性に関係しています。

古典論では接触変換,量子論では大域的ゲージ変換という位相変換の下での理論の不変性に対応して,共役な変数が時間的に保存されるという構造があることがNoetherの定理で保証されています。 

例えば,時間ｔの一様性はエネルギーＥの保存に帰します。 

古典論で考察してみましょう。

系を記述するLagrangian:ＬがＬ(ｑ,ｄｑ/ｄｔ,ｔ)＝Ｔ－Ｖで与えられるとにします。

系はｎ体系で一般化座標をｑ＝{ｑ_i}とします。

すると,一般に運動エネルギーＴはｄｑ/ｄｔの二次形式:Ｔ＝∑{ａ_ij(ｄｑ_i/ｄｔ)(ｄｑ_j/ｄｔ)}で表わされます。

他方,一般化位置エネルギーＶはＶ＝Ｖ(ｑ,ｔ)で与えられるとします。

時間ｔの一様性とは,時間原点をどこに取ってもいいことを意味します。

例えば,時刻ｔが原点の微小平行移動εによってｔ'＝ｔ－εになったとします。

ｔ＝ｔ'＋εとなりますから,ｔにｔ'＋εを代入することにより平行移動によって,ｑ'(ｔ')＝ｑ(ｔ'＋ε)＝ｑ(t)として,新しいLagrangian:Ｌ'をＬ'(ｑ',ｄｑ'/ｄｔ',ｔ')としても,これがＬ(ｑ,ｄｑ/ｄｔ,ｔ)と一致するとします。

これは,両方のLagrangianで異なるのは陽に含まれている時間パラメータｔのみですから,Ｌ,Ｌ'が時間を陽に含まないこと,つまりＬ(ｑ,ｄｑ/ｄｔ,ｔ)＝Ｌ(ｑ,ｄｑ/ｄｔ)であることを意味します。

時間ｔの一様性により,Lagrangianから得られるEuler-Lagrange方程式(運動方程式)はＬ,Ｌ'のどちらのLagrangianに対しても同一です。

これはＬ'(ｑ',ｄｑ'/ｄｔ')＝Ｌ(ｑ',ｄｑ'/ｄｔ'),つまり対称性変換の前後でLagrangianの関数形が同じであることを意味します。

そこでｔ'＝ｔ－εに対し,ＬのLie変分はδＬ≡Ｌ'(ｑ',ｄｑ'/ｄｔ')|_t'=t－Ｌ(ｑ,ｄｑ/ｄｔ)＝Ｌ(ｑ',ｄｑ'/ｄｔ')|_t'=t－Ｌ(ｑ,ｄｑ/ｄｔ)です。

ｑ'＝ｑ'(ｔ)とすれば,Lie変分δｑ＝ｑ'(ｔ)－ｑ(ｔ)＝ε(ｄｑ/ｄｔ),そして,大域的変換なのでεはｑやｔに依存しない定数ですから,δ(ｄｑ/ｄｔ)＝ε(ｄ²ｑ/ｄｔ²)です。 

一方,ＬのLie変分はδＬ＝ε(ｄＬ/ｄｔ)ですが,Ｌはｔを陽に含まないのでｑやｄｑ/ｄｔを通じてしかｔに依存しません。

そこで,ｔ'＝ｔ－εに対し,δＬ＝(∂Ｌ/∂ｑ)δｑ＋{∂Ｌ/∂(ｄｑ/ｄｔ)}δ(ｄｑ/ｄｔ)＝ε[(∂Ｌ/∂ｑ)(ｄｑ/ｄｔ)＋{∂Ｌ/∂(ｄｑ/ｄｔ)}(ｄ²ｑ/ｄｔ²)]です。

ここで,右辺にEuler-Lagrange方程式∂Ｌ/∂ｑ＝(ｄ/ｄｔ){∂Ｌ/∂(ｄｑ/ｄｔ)}を代入すれば,

ε(ｄＬ/ｄｔ)＝ε[(ｄ/ｄｔ){∂Ｌ/∂(ｄｑ/ｄｔ)}](ｄｑ/ｄｔ)＋{∂Ｌ/∂(ｄｑ/ｄｔ)}(ｄ²ｑ/ｄｔ²)]＝ε(ｄ/ｄｔ)[{∂Ｌ/∂(ｄｑ/ｄｔ)}(ｄｑ/ｄｔ)] を得ます。

これと,δＬ＝ε(ｄＬ/ｄｔ)から,(ｄ/ｄｔ)[{∂Ｌ/∂(ｄｑ/ｄｔ)}(ｄｑ/ｄｔ)―Ｌ]＝0 ですから,

Ｈ≡[{∂Ｌ/∂(ｄｑ/ｄｔ)}(ｄｑ/ｄｔ)―Ｌ]とおくと,ｄＨ/ｄｔ＝0 となって,Ｈが時間的に保存されることになります。

これがネーターの定理(Noether)の１例です。

通常の形式のＬ＝Ｔ－ＶでＴがｄｑ/ｄｔの二次形式の場合なら,Ｈ＝Ｔ＋Ｖ＝Ｅ(エネルギー)ですから,これはｄＥ/ｄｔ＝0 ,つまりエネルギー保存を意味します。

同様にして,空間の一様性:"座標ｑの原点がどこでもいい"という対称性からは,"運動量Ｐの保存:ｄＰ/ｄｔ＝0 "が得られます。

また,ここでは例に挙げていませんが,"座標系の向きをどのように取ってもいい。"という空間の等方性は角運動量の保存を意味します。

例えば,スピンは角運動量ですから,これが定義される空間は等方的である必要があります。

余談ですが,一般相対論の時空なら一般に等方的とは限らないので,角運動量やスピンを考察するのはむずかしいですね。

PS:唐突ですが,ｄＥ＝ＴｄＳ＋ＰｄＶを満たす熱力学的変化を考えると,

　定積変化(ΔＶ＝0)では,

　ΔＥΔｔ≧1/2という不確定性はＴΔＳΔｔ≧1/2と同等です。

　そこで,交換関係:[Ｅ,ｔ]＝iからのアナロジーで,

これは[Ｓ,ｔ]＝ｉ/Ｔと同等あろうと考えられます。

この相補的関係にNoetherの定理を関連付けると,

"エントロピー(entropy):Ｓの保存(断熱準静変化)が温度一定の下での時間の一様性からの帰結を意味する"のでは？と思ったのですが,これが何らかの物理的意味を持つのか？について,ときどき考えています。

エントロピーは確率の対数(Boltzmannの原理より)なので,観測と関係しているのでしょうか？

高林武彦氏の著書「量子力学(観測と解釈問題)」or「熱学史」に何らかの示唆が述べられていたと記憶しています。

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                       TOSHI 

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