酔歩（ランダム・ウォーク）

　今日は酔歩(ランダム・ウォーク:Random walk)について考察してみます。

　まず,１次元の酔歩を考えます。

　１歩の長さは一定値ａとし,左右１次元にしか運動できないとします。

　左右どちらにも１歩ずつ移動することができて,その確率は両側で共に1/2であるとします。

ｘ 軸の原点(ｘ＝0)から出発して,Ｎ 歩の後に ｘ＝ｍａ (－Ｎ≦ｍ≦Ｎ) の位置にいる 確率をＰ(ｍ,Ｎ)とすると,

正の向きにＮ^＋歩,負の向きにＮ^－歩だけ歩いた場合にｘに到達するとして,その場合の数はＮ!/(Ｎ^＋!Ｎ^－!)ですから,

その確率はＰ(ｍ,Ｎ)＝{Ｎ!/(Ｎ^＋!Ｎ^－!)}(1/2)^Nとなるはずです。

しかし,Ｎ^＋＋Ｎ^－＝Ｎ,Ｎ^＋－Ｎ^－＝ｍなので単純に計算するとＮ^＋＝(Ｎ＋ｍ)/2,Ｎ^－＝(Ｎ－ｍ)/2でなければなりません。

Ｎ＋ｍとＮ－ｍは一方が奇数ならば他方も奇数,一方が偶数ならば他方も偶数ですから,これらが偶数でないなら整数であることを必要とするＮ^＋,Ｎ^－は共に存在できません。

したがって,Ｎ－ｍが偶数のときはＰ(ｍ,Ｎ)＝{Ｎ!/(Ｎ^＋!Ｎ^－!)}(1/2)^N(Ｎ⁺＝(Ｎ＋ｍ)/2,Ｎ^-＝(Ｎ－ｍ)/2)となって有限の確率になりますが,

Ｎ－ｍが奇数のときは,実現不可能なので確率はＰ(ｍ,Ｎ)＝0 です。

ここで,ｎが非常に大きいときのStirlingの公式:

ｎ!～(2π)^1/2ｅ^-nｎ^(ｎ+1/2),あるいは　

log(ｎ!)～(1/2)log(2π)＋(ｎ＋1/2)log(ｎ)－ｎ

を使用します。

すると,Ｎ－ｍが偶数であるとしてＮが非常に大きいとすれば,

Ｎ^＋＝(Ｎ＋ｍ)/2,Ｎ^－＝(Ｎ－ｍ)/2 も非常に大きく,

log{Ｐ(ｍ,Ｎ)}～ －Ｎlog2＋ＮlogＮ－Ｎ^＋logＮ^＋－Ｎ^－logＮ^－＋(1/2)log(2π)＋(1/2)(logＮ－logＮ^＋－logＮ^－)＝(1/2)log{2/(πＮ)}－(Ｎ/2)[{1＋(ｍ＋1)/Ｎ}log{1＋(ｍ/Ｎ)}＋{1＋(1－ｍ)/Ｎ}log{1－(ｍ/Ｎ)}]

ですね。

ここで,ｍ＜＜Ｎと考えて(ｍ/Ｎ)の２次までの展開を考えます。

Taylor展開による近似:log(1－ｘ)～ －ｘ－ｘ²/2,log(1＋ｘ)～ ｘ－ｘ²/2 を利用すれば,

log{Ｐ(ｍ,Ｎ)}～(1/2)log{2/(πＮ)}－(Ｎ/2)(ｍ/Ｎ)²となるので,Ｐ(ｍ,Ｎ)～ {2/(πＮ)}^1/2exp{－ｍ²/(2Ｎ)}　です。

ｘ＝ｍａ(－Ｎ≦ｍ≦Ｎ)として１歩の長さａは非常に小さいとします。

Ｎ－ｍが偶数のときと奇数のときの両方を考慮すれば,有限な寄与をする偶数のケースは全体の半分ですから,

ｘがｘとｘ＋ｄｘの間にある確率Ｐ(ｘ,Ｎ)ｄｘは,

Ｐ(ｘ,Ｎ)ｄｘ＝(1/2){2/(πＮ)}^1/2exp{－ｘ²/(2Ｎａ²)}(ｄｘ/ａ)＝{1/(2πＮａ²)^1/2}exp{－ｘ²/(2Ｎａ²)}ｄｘ　となるはずです。

このＰ(ｘ,Ｎ)は,Ｎａ→ ∞,ａ→ 0,Ｎａ² →σ²(有限)のときには,ｘで積分すると確かに１になるので,確率密度の条件を満足しています。

　２次元の場合でも酔歩は等方的であると考えられるので,単純に上式でｘ²をｒ²＝ｘ²＋ｙ²に置き換えるだけでいいと考えるところですが,実は１歩の各方向への成分Δｘ,ΔｙはΔｘ²＋Δｙ²＝ａ²を満足します。

　そこで,ｘ方向とｙ方向を対等に扱うならΔｘ²＝Δｙ²＝ａ²/2なので,Ｎ歩で位置ｒ＝(ｘ,ｙ)に到達する確率密度Ｐ(ｘ,ｙ,Ｎ)は,

　全平面で１になるように規格化して,

　Ｐ(ｘ,ｙ,Ｎ)ｄｘｄｙ＝{1/(πＮａ²)}exp{－ｘ²/(Ｎａ²)}exp{－ｙ²/(Ｎａ²)}ｄｘｄｙ＝{1/(πＮａ²)}exp{－ｒ²/(Ｎａ²)}ｄ²ｒ

　となるはずです。

  同様に,３次元ではｒ²＝ｘ²＋ｙ²＋ｚ²として,Δｘ²＝Δｙ²＝Δｙ²＝ａ²/3により,位置ｒ＝(ｘ,ｙ,ｚ)に到達する確率は,

　Ｐ(ｘ,ｙ,ｚ,Ｎ)ｄｘｄｙｄｚ＝[1/{(2/3)πＮａ²}^3/2]exp[－ｒ²/{(2/3)Ｎａ²}]ｄ³ｒになると考えられます。

　(※特にａ＝1,つまり酔歩の１歩がある物差しで測った単位長さなら,

　原点から出発する３次元酔歩でＮ歩の後に,ｒ＝(ｘ,ｙ,ｚ)の付近の単位体積中に彼が存在する確率は,[1/{(2/3)πＮ}^3/2]exp[－ｒ²/{(2/3)Ｎ}]となるはずです。

　これは２次元なら単位面積当たりの確率で,

　{1/(πＮ)}exp(－ｒ²/Ｎ)です。※)

  特に,３次元ではｔ＝Ｎτ,Ｄ＝ａ²/(6τ)とおけば,4Ｄｔ＝(2/3)Ｎａ²となるので,Ｐ(ｒ,ｔ)＝Ｐ(ｘ,ｙ,ｚ,Ｎ)＝{1/(4πＤｔ)^3/2}exp{－ｒ²/(4Ｄｔ)}となります。

　これは,拡散係数がＤの拡散方程式:∂Ｐ/∂ｔ＝Ｄ∇²Ｐにおいて,初期時刻ｔ＝0 に発生源の強度が原点に集中しているときの解,

　つまり,初期条件がＰ(ｒ,0)＝δ³(ｒ)の拡散方程式の解に一致します。

　ここで拡散の平均速度をｖとすると,これは酔歩の１歩の時間τと長さａによってｖ＝ａ/τと同定されます。

　そして,ａ＝ｖτを代入するとＤ＝ｖ²τ/6となります。

　常温では並進運動のエネルギーはｍｖ²/2＝(3/2)ｋ_BＴですから,拡散係数Ｄはブラウン運動(Brownian motion)などの平均衝突時間τに(ｋ_BＴ/2ｍ)を掛けた程度の値になるという考察ができると思います。

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                       TOSHI

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