エネルギーと時間の不確定性関係

「EMANお物理学」の「談話室」での内容に触発されて,,

「エネルギーと時間の不確定性」という内容で書いてみたい

と思います。

「Heisenberg(ハイゼンベルク)の不確定性原理」の解釈は"測定誤差に

関する「小澤の不等式」の意味ではなく標準偏差の積の不等式と考える

のが通常の意味で,不確定性原理は物理量の交換関係と密接につながって

いるという認識を持っています。

以下,Planck定数:ｈ or ｈ/(2π)と光速ｃを１とする自然単位系で考察

します。

[Ｐ,Ｘ]＝－iなる交換関係は運動量Ｐの標準偏差Δｐと

Ｘの標準偏差Δｘの間にΔｐΔｘ≧1/2なる不確定性関係を生ぜし

めます。

そして運動量は座標表示ではＰ＝－ｉ∂/∂Ｘですね。

同じく時間座標ｔの表示では,Ｅ＝Ｈ＝ｉ∂/∂ｔであり

[Ｅ,ｔ]＝iですから,ΔＥΔｔ≧1/2 のはずです。

しかし,これの意味を

"時刻とエネルギーを同時に確定することができない。"

と素朴に解釈することがむずかしいのは何故か？

について考察してみます。

一般に状態ベクトルを|ψ＞とするとき,その波動関数を,

ψ(ｘ,ｔ)≡＜ｘ,ｔ|ψ＞で定義すると|ψ(ｘ,ｔ)|²ｄ³ｘｄｔは,

ある時空点(ｘ,ｔ)付近の瞬間的存在確率を示すものである,

と解釈できます。

つまり|ψ(ｘ,ｔ)|²ｄ³ｘはある時刻ｔにおける単位時間当たりの

存在確率と解釈します。

ここでは,それぞれ位置座標と時間の線形演算子ＸとＴが存在し,

これは交換可能であって,ＸとＴの同時的固有状態ベクトル|ｘ,ｔ＞

が存在する,と仮定しています。

自由粒子ならエネルギーＥ＝Ｈと運動量Ｐは交換可能：[Ｈ,Ｐ]＝0 で,

これはHeisenbergによるとＰの時間的保存を示しています。

そこで運動量ＰとエネルギーＥ＝Ｈの同時的固有状態を取ることができ

て,その同時的な固有ベクトルを|ｐ,Ｅ＞とおくなら,

座標表示Ｐ＝－i∇,Ｅ＝Ｈ＝ｉ∂/∂ｔに従って,

＜ｘ,ｔ|ｐ,Ｅ＞＝Ａexp(iｐｘ－ｉＥｔ)(Ａは規格化定数)

と書けます。

しかし,謂わゆるFourier変換による展開として,

ψ(ｘ,ｔ)＝＜ｘ,ｔ|ψ＞＝∫ｄ³ｐｄＥ＜ｘ,ｔ|ｐ,Ｅ＞＜ｐ,Ｅ|ψ＞

となるわけではない,と考えるべきだと思います。

何故なら,自由粒子のｐとＥの間には,粒子が質量殻の上にある,

つまりＥ²＝ｐ²＋ｍ²であるという制約があるので,　

１＝∫ｄ³ｐｄＥ|ｐ,Ｅ><ｐ,Ｅ｜という単純な完全性は成立しない

と思うからです。

そうでなくて,

1＝∫ｄ³ｐｄＥθ(Ｅ)δ(Ｅ²－ｐ²－ｍ²)|ｐ,Ｅ＞＜ｐ,Ｅ|という式が

本当の完全性を示す式であると考えられます。

(θ(ｘ)はHeaviside関数です。）

ｄＥによる積分を実行し,ω_p≡(ｐ²＋ｍ²)^1/2と置くと,後者の完全性は

1＝∫(ｄ³ｐ/2ω_p)|ｐ,ω_p＞＜ｐ,ω_p|となります。

したがって,＜ψ|ψ＞＝∫(ｄ³ｐ/2ω_p)＜ψ|ｐ,ω_p＞＜ｐ,ω_p|ψ＞

＝∫(ｄ³ｐ/2ω_p)|＜ｐ,ω_p|ψ＞|²となるので,

固有状態を|ｐ＞≡(2ω_p)^1/2|ｐ,ω_p＞と定義し,運動量表示の波動関数

としてΦ(ｐ)≡＜ｐ|ψ＞とおけば,１＝∫ｄ³ｐ|ｐ＞＜ｐ|

が成立します。

そこで,状態|ψ＞のノルムの２乗|ψ|²(これは全確率で通常１

に規格化されている)は＜ψ|ψ＞＝∫ｄ³ｐ|Φ(ｐ)|²となりますね。

これらのことから,運動量表示の波動関数Φ(ｐ)に対して,

|Φ(ｐ)|²ｄ³ｐはエネルギーが一定Ｅ＝ω_pの下で運動量が

ｐを取る確率を示すものであると考えられます。

これのアナロジーで座標表示の波動関数ψ(ｘ,ｔ)＝＜ｘ,ｔ|ψ＞にも

１＝∫ｄ³ｘｄｔ|ｘ,ｔ＞＜ｘ,ｔ|が成立するわけではなく,

Ｅ²＝ｐ²＋ｍ²に相当してｔとｘが独立ではなく,

"－∂²/∂ｔ²＝－∇²＋ｍ²という制限＝波動方程式"を考慮する

必要があると考えます。

すなわち,|ｘ,ｔ＞の代わりに,ある|ｘ＞を定義し直して,

１＝∫ｄ³ｘ|ｘ＞＜ｘ|によって,改めてｘ表示の波動関数

としてψ(ｘ,ｔ)≡＜ｘ|ψ＞と定義することにより,

＜ψ|ψ＞＝∫ｄ³ｘ|ψ(ｘ,ｔ)|² が成立するようにできる

はずです。

この新しい|ψ(ｘ,ｔ)|²ｄ³ｘは時刻ｔが一定の下で粒子が位置ｘにある

存在確率を表わすことになりますから,通常の波動関数の確率解釈と一致

します。

ここで,波動関数ψ(ｘ,ｔ)＝＜ｘ|ψ＞の左辺にｔを残したのは,

これは状態|ψ＞に含まれる情報によって,時間演算子Ｔの固有値ｔ

の関数でもあるということを強調したかったからです。

というわけで,

"時間ｔをパラメータに取る代わりに空間座標ｘ,ｙ,ｚ

のいずれか１つをパラメータに取ることも可能であり,

通常の偏差値の意味で不確定性関係ΔＥΔｔ≧1/2を"時刻とエネルギーを同時に確定することができない。"

と捉えることも可能だと思います。

(※あるいは非相対論的に考えて,自由粒子ではＥ＝Ｈ＝ｐ²/(2ｍ)

より,１＝∫ｄ³ｐｄＥδ(Ｅ－ｐ²/(2ｍ))|ｐ,Ｅ＞＜ｐ,Ｅ|であり,

右辺のＥによる積分を実行すれば,ω_p≡ｐ²/(2ｍ)としたとき,　

１＝∫ｄ³ｐ|ｐ,ω_p＞＜ｐ,ω_p｜が得られるので|ｐ＞≡|ｐ,ω_p＞

と定義してもよいと思います。

上記の議論では,座標ｘ,ｔに関する波動方程式も,相対論的な

Klein-GordonやDiracク方程式ではなく,Schroedinger方程式であ

っても別にかまいません。

そこで,特に相対論を意識する理由はありませんが,座標と時間を対等に

扱う意識が生まれたのはMinkowski空間以降の感覚だと思ったので,

そうしたわけです。

特に相対論的扱いをしたことに他意はありません。※）

上記の考察は,本を参照せず,出来るだけ自力で考えましたが,自分の

発想に基づいて考察するのはずいぶん久しぶりなので,内容にはやや

自信なしという思いもありますね。

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                       TOSHI 

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