酔歩（ランダム・ウォーク）(訂正）

以前の記事「 酔歩(ランダム・ウォーク) 」において１次元から２次元,３次元に拡張するときに本質的な間違いがあったので訂正しました。既に現時点では以前の本文は訂正してあります。

"ｘがｘとｘ＋ｄｘの間にある確率は,

Ｐ(ｘ,Ｎ)ｄｘ＝{1/(2πＮａ²)^1/2}exp{－ｘ²/(2Ｎａ²)}ｄｘ

となるはずです。"　というのはよかったのですが。。。

このことから,

"２次元でも等方的と考えられるのでｘ²をｒ²＝ｘ²＋ｙ²と置き換えれば

Ｐ(ｘ,ｙ,Ｎ)ｄｘｄｙ＝{1/(2πＮａ²)}exp{－ｒ²/(2Ｎａ²)}ｄｘｄｙ,

同様に３次元ではｒ²＝ｘ²＋ｙ²＋ｚ²として,

Ｐ(ｘ,ｙ,ｚ,Ｎ)ｄｘｄｙｄｚ＝{1/(2πＮａ²)^3/2}exp{－ｒ²/(2Ｎａ²)}ｄｘｄｙｄｚであると考えられます。"

という部分は完全な間違いでした。

これは,１次元での１歩の長さの各次元成分への分割を考慮していなかったからです。

"２次元でも等方的と考えられるので,単純にｘ²をｒ²＝ｘ²＋ｙ²に置き換えるだけでいいと考えるところですが,実は１歩の各方向への成分Δｘ,ΔｙはΔｘ²＋Δｙ²＝ａ²を満足します。

そこで,ｘ方向とｙ方向を対等に扱うとΔｘ²＝Δｙ²＝ａ²/2 なので,Ｎ歩で位置ｒ＝(ｘ,ｙ)に到達する確率密度Ｐ(ｘ,ｙ,Ｎ)は,

全平面で１になるように規格化して,

Ｐ(ｘ,ｙ,Ｎ)ｄｘｄｙ＝{1/(πＮａ²)}exp{－ｘ²/(Ｎａ²)}exp{－ｙ²/(Ｎａ²)}ｄｘｄｙ＝{1/(πＮａ²)}exp{－ｒ²/(Ｎａ²)}ｄ²ｒ

となるはずです。"

と直しました。

  さらに,

　"同様に,３次元ではｒ²＝ｘ²＋ｙ²＋ｚ²として,Δｘ²＝Δｙ²＝Δｙ²＝ａ²/3により,位置ｒ＝(ｘ,ｙ,ｚ)に到達する確率は

　Ｐ(ｘ,ｙ,ｚ,Ｎ)ｄｘｄｙｄｚ＝[1/{(2/3)πＮａ²}^3/2]exp[－ｒ²/{(2/3)Ｎａ²}]ｄ³ｒになると考えられます。"

　と訂正しました。

  "特にｔ＝Ｎτ,Ｄ＝ａ²/(2τ)とおけば,4Ｄｔ＝2Ｎａ²となるので,

Ｐ(ｒ,ｔ)＝Ｐ(ｘ,ｙ,ｚ,Ｎ)＝{1/(4πＤｔ)^3/2}exp{－ｒ²/(4Ｄｔ)}

となります"　

　という部分も,

　"特に,３次元ではｔ＝Ｎτ,Ｄ＝ａ²/(6τ)とおけば,4Ｄｔ＝(2/3)Ｎａ²となるので,Ｐ(ｒ,ｔ)＝Ｐ(ｘ,ｙ,ｚ,Ｎ)＝{1/(4πＤｔ)^3/2}exp{－ｒ²/(4Ｄｔ)}となります。"

　と訂正しました。

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                       TOSHI 

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