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2006年9月16日 (土)

ガンマ関数とスターリングの公式

 今日はガンマ関数(Gamma function)について考察し,ガウスの積公式と統計学などで重要なスターリングの公式(Stirling's formula):n!~(2π)1/2n+1/2-n (as n→ ∞)を証明します。

 まず,x>0 に対してガンマ関数をΓ(x)=∫0-tx-1dx

によって定義します。

 そして,まずガウスの積公式:

(nxn!)/[x(x+1)..(x+n)] → Γ(x) (as n→ ∞)

を示しましょう。

公式を証明するために,n≧2の整数:nに対して

f(x)≡logΓ(n+x)とおきます。

 

すると,これは凸関数であることがわかります。

 

f(x)が凸関数であること証明します。

その手順は次の通りです。

 その前に,"f(x)が凸関数である"という定義を明確にして

おきます。

 

 すなわち,これは 

 "x<yなる任意の実数x,yと0<λ<1なる任意のλに対して,

不等式:f[λx+(1-λ)y]≦λf(x)+(1-λ)f(y)が常に

成り立つ" ことを意味します。

そして,f(x)が2階微分可能なとき対象領域でf(x)が凸関数

であるためには,fのxによる2階導関数f"(x)が非負,つまり

f"(x)≧0 を満足すれば十分です。

 

一応,これも証明しておきます。

 

(f"(x)≧0 ならfが凸であることの証明)

 

f"(x)≧0 のときには1階導関数f'(x)が単調増加です。

  

そこで,x<yのとき,Δx>0,Δy>0 とすれば,平均値の定理

よりf(x)の差商も単調増加です。

 

すなわち,

[f(x+Δx)-f(x)]/Δx≦[f(y+Δy)-f(y)]/Δy

for x<y が成立します。

そこで,f[λx+(1-λ)y]-[λf(x)+(1-λ)f(y)]

=λ{f[λx+(1-λ)y]-f(x)}-(1-λ)

{f(y)-f[λx+(1-λ)y]}をλ(1―λ)(y-x)>0

で割れば,

 

x<λx+(1-λ)y<y,および上記の"差商の単調増加性"

により,これは常にゼロ以下となります。

 

以上から,"f"(x)≧0 ならf(x)は凸関数である"ことが

示されました。(証明終わり)

ところで,対数が共に凸関数である2つの関数の和の対数は

凸関数,つまりlog(p(x)),log(q(x))が凸なら

log(p(x)+q(x))も凸ですから,無限和である積分を

考えてもそうなります。

 

それ故,g(x)=∫φ(t,x)dtにおいて,tを任意に固定

したときlog[φ(t,x)]がxの凸関数であれば,

f(x)=log[g(x)]もxの凸関数であることがわかります。

(x)=logΓ(n+x)=log[∫0-tn+x-1dx]ですから,

φ(t,x)≡e-tn+x-1とおけばf(x)=∫0φ(t,x)dtで

ありψ(x)≡logφ(t,x)=-t+(n+x-1)logtです。

 

任意のtについてψ"(x)≧0 ですからψ(x)=logφ(t,x)

は凸です。

 

そこで,f(x)=logΓ(n+x)も凸関数であることがわかり

ました。

さて,いよいよガウスの積公式の証明に進みます。

[λx+(1-λ)y]≦λf(x)+(1-λ)f(y)において,

x=0 ,y=1とおけば,f(1-λ)≦λf(0)+(1-λ)f(1)

より,[f(1-λ)-f(0)]/(1-λ)≦f(1)-f(0)が成立

します。

 

また,x=(1-λ)/λ,y=-1とおけば,

f(0)-f(-1)≦[λ/(1-λ)]{f[(1-λ)/λ]-f(0)}

ですから,

 

一般に 0<x<1なる任意のxに対して,

f(0)-f(-1)≦[f(x)-f(0)]/x≦f(1)-f(0)

が成立するはずです。

したがって,ガンマ関数の性質:

Γ(n+1)=n!,Γ(x+1)=xΓ(x)により,

log(n-1)≦[logΓ(n+x)-log{(n-1)!}]/x≦logn

(n≧2,0<x<1) となります。

 

よって,(n-1)x(n-1)!≦Γ(n+x)≦nx(n-1)!が

得られます。

そこで,(n-1)x(n-1)!/[x(x+1)..(x+n-1)]

≦Γ(x)≦nx(n-1)!/[x(x+1)..(x+n-1)]

=(nxn!)[(x+n)/n]/[x(x+1)..(x+n)]です。

 

nは2以上の任意の整数なので,これを 

(nxn!)/[x(x+1)..(x+n)]≦Γ(x)

≦(nxn!)![(x+n)/n]/[x(x+1)..(x+n)] 

と書いてもいいわけです。

 

それ故,結局,

nΓ(x)/(x+n)≦(nxn!)/[x(x+1)..(x+n)]≦Γ(x)

となります。

したがって,n→ ∞ のとき,

(nxn!)/[x(x+1)..(x+n)]→Γ(x) (0<x<1)

なることが導かれました。

 

ここで簡単のため,

γ(n,x)≡(nxn!)/[x(x+1)..(x+n)]と定義して

おくと,γ(n,x+1)=nγ(n,x)/(x+n+1)です。

 

そこで,n→ ∞ のとき,

γ(n,x+1) → xΓ(x)=Γ(x+1)  です。

 

それ故, 0<x<1 を満足するxだけでなく任意のx>0

に対して, 

"n→ ∞ でγ(n,x)=(nxn!)/[x(x+1)..(x+n)]

→ Γ(x)が成立することがわかりました。

次はスターリングの公式の証明です。

不等式:[1+(1/k)]k<e<[1+(1/k)]k+1をk=1,2,..,n-1

について全て掛け合わせると,不等式:

n-(n-1)<n!<nn+1-(n-1) が得られます。

 

Γ(n)=(n-1)!ですが,Γ(x)≡axx-1/2-xμ(x)なる形

を仮定して,右辺の未知関数μ(x)を求めることにします。

この表式では,x=Γ(x+1)/Γ(x)

=[1+(1/x)]x+1/2xe-1μ(x+1)-μ(x)なので,μ(x)

の満たすべき必要条件は,

μ(x)-μ(x+1)=(x+1/2)log[1+(1/x)]-1です。

 

そこで,g(x)≡(x+1/2)log[1+(1/x)]-1と置けば,

μ(x)=∑m=0g(x+m)と書けます。この級数が収束すれば,

それは左辺の存在を意味するので,これが収束することを見

ておきましょう。

級数展開:(1/2)log[(1+y)/(1-y)]

=y/1+y3/3+y5/5+.. (|y|<1)において,y=1/(2x+1)

を代入します。これはx>0 であれば 0<1/(2x+1)<1なので

全く問題はありません。

そこでg(x)=(x+1/2)log[1+(1/x)]-1

=1/[3(2x+1)2]+1/[5(2x+1)4]+1/[7(2x+1)6]+..

を得ます。

 

この式の右辺の第2項から後の項の分母の5,7,9..を全て3に

置き換えた等比級数の和は簡単に導出できて,それは

1/[12x(x+1)]=(1/12)[1/x-1/(x+1)]です。

 

そこで,0<g(x)<(1/12)[1/x-1/(x+1)]であり,

 

それ故,

0<∑m=0g(x+m)

<(1/12)∑m=0[1/(x+m)-1/(x+m+1)]

=1/(12x)ですからμ(x)=∑m=0g(x+m)は確かに

収束して0<μ(x)<1/(12x)となることがわかります。

そこで,0<θ<1なるあるθを用いてμ(x)=θ/(12x)

と書くことができて,Γ(x)=axx-1/2-x+θ/(12x)

と書けます。

 

そして,これにx=nを代入した後に両辺にnを掛けると,

n!=ann+1/2-n+θ/(12n)となります。

 

最後に未知の定数aを決めましょう。

先に証明したガウスの積公式:

(nxn!)/[x(x+1)..(x+n)]→Γ(x) (as n→∞)において

x=1/2とおけば, 

(n1/2n!2n+1)/[1・3・5・...(2n+1)]→Γ(1/2) 

となります。

 

左辺の分母:[1・3・5・...(2n+1)]は,[(2n+1)!]/2nn!

とも書けますから,既知の数:Γ(1/2)=π1/2

[n1/2(n!)222n+1]/[(2n+1)!]で近似できることになります。

 

n!=ann+1/2-n+θ/(12n)等を代入すると,

 

[n1/222n+1-2n+θ/(6n) 22n+1]

/[(2n+1)a(2n)2n+1/2-2n+Θ/(24n)]

=ae[θ/(6n)-Θ/(24n)]/[21/2{1+1/(2n)}]

→ Γ(1/2) =π1/2です。

 

それ故,n→ ∞を考慮してa=(2π)1/2が得られます。

こうして,最終的なスターリングの公式の表式である

!=(2π)1/2n+1/2-n+θ/(12n) が証明されました。

 

参考文献:

アルティン著,上野健爾 訳「ガンマ関数入門」(日本評論社)

p://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー)                                       TOSHI 

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