ガンマ関数とスターリングの公式

　今日はガンマ関数(Gamma function)について考察し,ガウスの積公式と統計学などで重要なスターリングの公式(Stirling's formula):ｎ!～(2π)^1/2ｎ^n＋1/2ｅ^-n (as ｎ→ ∞)を証明します。

　まず,ｘ＞0 に対してガンマ関数をΓ(ｘ)＝∫₀^∞ｅ^-tｔ^x-1ｄｘ

によって定義します。

　そして,まずガウスの積公式:

(ｎ^xｎ!)/[ｘ(ｘ＋1)..(ｘ＋ｎ)] → Γ(ｘ) (as ｎ→ ∞)

を示しましょう。

公式を証明するために,ｎ≧2の整数:ｎに対して

ｆ(ｘ)≡logΓ(ｎ＋ｘ)とおきます。

すると,これは凸関数であることがわかります。

ｆ(ｘ)が凸関数であること証明します。

その手順は次の通りです。

　その前に,"ｆ(ｘ)が凸関数である"という定義を明確にして

おきます。

　すなわち,これは 

　"ｘ＜ｙなる任意の実数ｘ,ｙと0＜λ＜1なる任意のλに対して,

不等式:ｆ[λｘ＋(1－λ)ｙ]≦λｆ(ｘ)＋(1－λ)ｆ(ｙ)が常に

成り立つ"　ことを意味します。

そして,ｆ(ｘ)が２階微分可能なとき対象領域でｆ(ｘ)が凸関数

であるためには,ｆのｘによる２階導関数ｆ"(ｘ)が非負,つまり

ｆ"(ｘ)≧0 を満足すれば十分です。

一応,これも証明しておきます。

(ｆ"(ｘ)≧0 ならｆが凸であることの証明)

ｆ"(ｘ)≧0 のときには１階導関数ｆ'(ｘ)が単調増加です。

そこで,ｘ＜ｙのとき,Δｘ＞0,Δｙ＞0 とすれば,平均値の定理

よりｆ(ｘ)の差商も単調増加です。

すなわち,

[ｆ(ｘ＋Δｘ)－f(ｘ)]/Δｘ≦[ｆ(ｙ＋Δｙ)－ｆ(ｙ)]/Δｙ

for ｘ＜ｙ が成立します。

そこで,ｆ[λｘ＋(1－λ)ｙ]－[λｆ(ｘ)＋(1－λ)ｆ(ｙ)]

＝λ{ｆ[λｘ＋(1－λ)ｙ]－ｆ(ｘ)}－(1－λ)

{ｆ(ｙ)－ｆ[λｘ＋(1－λ)ｙ]}をλ(1―λ)(ｙ－ｘ)＞0

で割れば,

ｘ＜λｘ＋(1－λ)ｙ＜ｙ,および上記の"差商の単調増加性"

により,これは常にゼロ以下となります。

以上から,"ｆ"(ｘ)≧0 ならｆ(ｘ)は凸関数である"ことが

示されました。(証明終わり)

ところで,対数が共に凸関数である２つの関数の和の対数は

凸関数,つまりlog(ｐ(ｘ)),log(ｑ(ｘ))が凸なら

log(ｐ(ｘ)＋ｑ(ｘ))も凸ですから,無限和である積分を

考えてもそうなります。

それ故,ｇ(ｘ)＝∫φ(ｔ,ｘ)ｄｔにおいて,ｔを任意に固定

したときlog[φ(ｔ,ｘ)]がｘの凸関数であれば,

ｆ(ｘ)＝log[ｇ(ｘ)]もｘの凸関数であることがわかります。

ｆ(ｘ)＝logΓ(ｎ＋ｘ)＝log[∫₀^∞ｅ^-tｔ^n+x-1ｄｘ]ですから,

φ(ｔ,ｘ)≡ｅ^-tｔ^n+x-1とおけばｆ(ｘ)＝∫₀^∞φ(ｔ,ｘ)ｄｔで

ありψ(ｘ)≡logφ(ｔ,ｘ)＝－ｔ＋(ｎ＋ｘ－1)logｔです。

任意のｔについてψ"(ｘ)≧0 ですからψ(ｘ)＝logφ(ｔ,ｘ)

は凸です。

そこで,ｆ(ｘ)＝logΓ(ｎ＋ｘ)も凸関数であることがわかり

ました。

さて,いよいよガウスの積公式の証明に進みます。

ｆ[λｘ＋(1－λ)ｙ]≦λｆ(ｘ)＋(1－λ)ｆ(ｙ)において,

ｘ＝0 ,ｙ＝1とおけば,ｆ(1－λ)≦λｆ(0)＋(1－λ)ｆ(1)

より,[ｆ(1－λ)－ｆ(0)]/(1－λ)≦ｆ(1)－ｆ(0)が成立

します。

また,ｘ＝(1－λ)/λ,ｙ＝－1とおけば,

ｆ(0)－ｆ(－1)≦[λ/(1－λ)]{ｆ[(1－λ)/λ]－ｆ(0)}

ですから,

一般に 0＜ｘ＜1なる任意のｘに対して,

ｆ(0)－ｆ(－1)≦[ｆ(ｘ)－ｆ(0)]/ｘ≦ｆ(1)－ｆ(0)

が成立するはずです。

したがって,ガンマ関数の性質:

Γ(ｎ＋1)＝ｎ!,Γ(ｘ＋1)＝ｘΓ(ｘ)により,

log(ｎ－1)≦[logΓ(ｎ＋ｘ)－log{(ｎ－1)!}]/ｘ≦logｎ

(ｎ≧2,0＜ｘ＜1)　となります。

よって,(ｎ－1)^x(ｎ－1)!≦Γ(ｎ＋ｘ)≦ｎ^x(ｎ－1)!が

得られます。

そこで,(ｎ－1)^x(ｎ－1)!/[ｘ(ｘ＋1)..(ｘ＋ｎ－1)]

≦Γ(ｘ)≦ｎ^x(ｎ－1)!/[ｘ(ｘ＋1)..(ｘ＋ｎ－1)]

＝(ｎ^xｎ!)[(ｘ＋ｎ)/ｎ]/[ｘ(ｘ＋1)..(ｘ＋ｎ)]です。

ｎは２以上の任意の整数なので,これを 

(ｎ^xｎ!)/[ｘ(ｘ＋1)..(ｘ＋ｎ)]≦Γ(ｘ)

≦(ｎ^xｎ!)![(ｘ＋ｎ)/ｎ]/[ｘ(ｘ＋1)..(ｘ＋ｎ)]　

と書いてもいいわけです。

それ故,結局,

ｎΓ(ｘ)/(ｘ＋ｎ)≦(ｎ^xｎ!)/[ｘ(ｘ＋1)..(ｘ＋ｎ)]≦Γ(ｘ)

となります。

したがって,ｎ→ ∞ のとき,

(ｎ^xｎ!)/[ｘ(ｘ＋1)..(ｘ＋ｎ)]→Γ(ｘ) (0＜ｘ＜1)

なることが導かれました。

ここで簡単のため,

γ(ｎ,ｘ)≡(ｎ^xｎ!)/[ｘ(ｘ＋1)..(ｘ＋ｎ)]と定義して

おくと,γ(ｎ,ｘ＋1)＝ｎγ(ｎ,ｘ)/(ｘ＋ｎ＋1)です。

そこで,ｎ→ ∞ のとき,

γ(ｎ,ｘ＋1) → ｘΓ(ｘ)＝Γ(ｘ＋１)　　です。

それ故, 0＜ｘ＜1 を満足するｘだけでなく任意のｘ＞0

に対して, 

"ｎ→ ∞ でγ(ｎ,ｘ)＝(ｎ^xｎ!)/[ｘ(ｘ＋1)..(ｘ＋ｎ)]

→ Γ(ｘ)が成立することがわかりました。

次はスターリングの公式の証明です。

不等式:[1＋(1/ｋ)]^k＜ｅ＜[1＋(1/ｋ)]^k+1をｋ＝1,2,..,ｎ－1

について全て掛け合わせると,不等式:

ｎⁿｅ^-(n-1)＜ｎ!＜ｎⁿ⁺¹ｅ^-(n-1)が得られます。

Γ(ｎ)＝(ｎ－１)!ですが,Γ(ｘ)≡ａｘ^x-1/2ｅ^-xｅ^μ(ｘ)なる形

を仮定して,右辺の未知関数μ(ｘ)を求めることにします。

この表式では,ｘ＝Γ(ｘ＋1)/Γ(ｘ)

＝[1＋(1/ｘ)]^x+1/2ｘｅ^-1ｅ^{μ(ｘ＋１)－μ(ｘ)}なので,μ(ｘ)

の満たすべき必要条件は,

μ(ｘ)－μ(ｘ＋1)＝(ｘ＋1/2)log[1＋(1/ｘ)]－1です。

そこで,ｇ(ｘ)≡(ｘ＋1/2)log[1＋(1/ｘ)]－1と置けば,

μ(ｘ)＝∑_m=0^∞ｇ(ｘ＋ｍ)と書けます。この級数が収束すれば,

それは左辺の存在を意味するので,これが収束することを見

ておきましょう。

級数展開:(1/2)log[(1＋ｙ)/(1－ｙ)]

＝ｙ/1＋ｙ³/3＋ｙ⁵/5＋.. (|ｙ|＜1)において,ｙ＝1/(2ｘ＋1)

を代入します。これはｘ＞0 であれば 0＜1/(2ｘ＋1)＜1なので

全く問題はありません。

そこでｇ(ｘ)＝(ｘ＋1/2)log[1＋(1/ｘ)]－1

＝1/[3(2ｘ＋1)²]＋1/[5(2ｘ＋1)⁴]＋1/[7(2ｘ＋1)⁶]＋..

を得ます。

この式の右辺の第２項から後の項の分母の5,7,9..を全て3に

置き換えた等比級数の和は簡単に導出できて,それは

1/[12ｘ(ｘ＋1)]＝(1/12)[１/ｘ－1/(ｘ＋1)]です。

そこで,0＜ｇ(ｘ)＜(1/12)[１/ｘ－1/(ｘ＋1)]であり,

それ故,

0＜∑_m=0^∞ｇ(ｘ＋ｍ)

＜(1/12)∑_m=0^∞[１/(ｘ＋ｍ)－1/(ｘ＋ｍ＋1)]

＝1/(12ｘ)ですからμ(ｘ)＝∑_m=0^∞ｇ(ｘ＋ｍ)は確かに

収束して0＜μ(ｘ)＜1/(12ｘ)となることがわかります。

そこで,0＜θ＜1なるあるθを用いてμ(ｘ)＝θ/(12ｘ)

と書くことができて,Γ(ｘ)＝ａｘ^x-1/2ｅ^{-x＋θ/(12ｘ)}

と書けます。

そして,これにｘ＝ｎを代入した後に両辺にｎを掛けると,

ｎ!＝ａｎ^n+1/2ｅ^{-n＋θ/(12n)}となります。

最後に未知の定数ａを決めましょう。

先に証明したガウスの積公式:

(ｎ^xｎ!)/[ｘ(ｘ＋1)..(ｘ＋ｎ)]→Γ(ｘ) (as ｎ→∞)において

ｘ＝1/2とおけば, 

(ｎ^1/2ｎ!2ⁿ⁺¹)/[1・3・5・...(2ｎ＋1)]→Γ(1/2)　

となります。

左辺の分母:[1・3・5・...(2ｎ＋1)]は,[(2ｎ＋1)!]/2ⁿｎ!

とも書けますから,既知の数:Γ(1/2)＝π^1/2は

[ｎ^1/2(ｎ!)²2²ⁿ⁺¹]/[(2ｎ＋1)!]で近似できることになります。

ｎ!＝ａｎ^n+1/2ｅ^{-n＋θ/(12n)}等を代入すると,

[ｎ^1/2ａ²ｎ²ⁿ⁺¹ｅ^{-2n＋θ/(6n)} 2²ⁿ⁺¹]

/[(2ｎ＋1)ａ(2ｎ)^2n+1/2ｅ^{-2n＋Θ/(24n)}]

＝ａｅ^{[θ/(6n)－Θ/(24n)]}/[2^1/2{1＋1/(2ｎ)}]

→ Γ(1/2) ＝π^1/2です。

それ故,ｎ→ ∞を考慮してａ＝(2π)^1/2が得られます。

こうして,最終的なスターリングの公式の表式である

ｎ!＝(2π)^1/2ｎ^n+1/2ｅ^{-n＋θ/(12n)} が証明されました。

参考文献：

アルティン著,上野健爾 訳「ガンマ関数入門」(日本評論社）

p://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                       TOSHI 

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