中心極限定理と多世界解釈

　確率現象で現われる中心極限定理(the central limit theorem)とは,

　通常の意味でのそれは,

　"ｍ個の確率変数:Ｘ_j(ｊ＝1,2,..,ｍ)が互いに独立で,平均値μ_jと分散σ_j²を持つとき,Ｘ＝∑_j=1^m(Ｘ_j－μ_j)/(∑_j=1^mσ_j²)^1/2の従う分布はｍ→∞ のとき,正規分布:Ｎ(0,1)に収束する。"という定理を言います。

　すなわち,定理は,

　"変数Ｘ＝∑_j=1^m(Ｘ_j－μ_j)/(∑_j=1^mσ_j²)^1/2がａ≦Ｘ≦ｂの範囲にある確率Ｐr(ａ≦Ｘ≦ｂ)は,ｍ→∞ の極限では∫_a^b(2π)^-1/2exp(－ｘ²/2)ｄｘに収束する。"

　というものです。

これを証明するには,特性関数:"Ｅ[exp(iｔｘ)]＝exp(iｔｘ)の期待値"がｍ→∞ の極限でexp(－ｔ²/2)に近づくことを示せばいいだけです。

しかし,これを示すのは比較的簡単なので,この意味での中心極限定理の証明は割愛します。

　一方,大数の法則においてよく引き合いに出されるのは独立試行(ベルヌーイ試行)の分布における試行回数が無限大の極限です。

　ある事象が起こる確率をｐとするとき,Ｎ回の独立試行でその事象がＸ＝ｎ回起こる確率:Ｐr(Ｘ＝ｎ)が,二項分布:Ｐr(Ｘ＝ｎ)＝_NＣ_nｐⁿｑ^N-n (ｑ＝1－ｐ)に従うことはよく知られています。

　この分布では,平均値がμ＝Ｎｐ,分散がσ²＝Ｎｐｑですが,これらが有限値のままＮ→ ∞ に移行した極限では,これはまずポアソン(Poisson)分布に近づきます。

　そして,Ｙ＝(Ｘ－μ)/(σ²)^1/2＝(Ｘ－Ｎｐ)/(Ｎｐｑ)^1/2と変数変換すれば,Ｙの確率分布は正規分布:Ｎ(0,1)に近づくことになります。

　この二項分布の正規近似も,やはり中心極限定理と呼ばれると私は思っています 。

　これは,具体的にはStirlingの公式と対数のTaylor展開公式から,

　_NＣ_nｐⁿｑ^N-n → [Ｎ/{2πｎ(Ｎ－ｎ)}]^1/2(Ｎｐ/ｎ)ⁿ[Ｎｑ/(Ｎ－ｎ)]^N-n

～ (2πＮｐｑ)^-1/2exp[－(ｎ－Ｎｐ)²/(2Ｎｐｑ)]

　が導かれることから従うわけです。

　ところで,「数理科学」2002年７月号の和田純夫氏の記事「状態の保存と波動関数の解釈」(多世界解釈)には,次のような意味のことが書かれていました。

　例えば,スピンのアップ・ダウンのように超選択則に関わる２値関係の物理量,つまり測定値がα,βのいずれか２値しか取り得ない物理量に関して,系の状態ベクトルがａ|α＞＋ｂ|β＞ (|ａ|²＋|ｂ|²＝1)で与えられるとします。

　このとき,Ｎ回の測定において測定値がαである頻度とは,この同じ状態にある粒子をＮ個用意して全てを同時に測定したとき測定値がαである個数のＮに対する比率のことです。

　そして,ａ|α＞＋ｂ|β＞(|ａ|²＋|ｂ|²＝1)で示される全く同等な状態粒子をＮ個用意した状態は,|Ｎ＞≡(ａ|α＞＋ｂ|β＞)^Nなる状態ベクトルで表わされます。

　そして,"Ｎ回の独立な測定で測定値がαになる回数がｒである状態＝相対頻度がｒ＝ｎ/Ｎである状態"|ｒ＞は規格化すると,

　|ｒ＞≡(_NＣ_n)^-1/2{|α＞ⁿ|β＞^N-n＋(これらの全ての置換項)}

　という形で与えられるはずです。

　この|ｒ＞によって,|Ｎ＞＝(ａ|α＞＋ｂ|β＞)^Nを|Ｎ＞＝∑_ｒｃ(ｒ)|ｒ＞と展開したとき,展開係数のノルムの平方|ｃ(ｒ)|²は相対頻度がｒ＝ｎ/Ｎであるときの"共存度"を意味します。

　そして,具体的に上のｃ(ｒ)を書き下すと,ｃ(ｒ)＝(_NＣ_n)^-1/2ａⁿｂ^N-n となるはずです。

　それ故,共存度は|ｃ(ｒ)|²＝_NＣ_n|ａ|²ⁿ|ｂ|^2(N-n)で与えられます。

　これはｐ＝|ａ|²,ｑ＝1－ｐ＝|ｂ|²の二項分布です。

もしも,Ｎ|ａ|²とＮ|ａ|²|ｂ|²がＮ→∞ に対して有限に留まるなら上述の二項分布の中心極限定理によって,|ｃ(ｒ)|²は

(2πＮ|ａ|²|ｂ|²)^-1/2exp[－(ｎ－Ｎ|ａ|²)²/(2Ｎ|ａ|²|ｂ|²)]　

となるはずです。

しかし,今の場合Ｎ→∞ に対して|ａ|²がゼロに収束するわけではないのでＮ|ａ|²は有限ではなく,むしろ|ａ|²自身が有限かつ一定です。

そこで,ｎではなくてｒ＝ｎ/Ｎを変数として規格化して,|ｃ(ｒ)|²は,

[Ｎ/(2π|ａ|²|ｂ|²)]^1/2exp[－(ｒ－|ａ|²)²/(2|ａ|²|ｂ|²/Ｎ)]　

になると考えるべきです。

この極限での,|ｃ(ｒ)|²はｒで積分すると１になりますが,分散はσ²＝|ａ|²|ｂ|²/Ｎ→ 0 となります。

したがって,Ｎ→∞での|ｃ(ｒ)|²の極限は,ｒの関数としてはｒ＝|ａ|²でのみ ∞でそれ以外ではゼロであり,しかもｒで積分すると１となるようなｒの関数ですから,

|ｃ(ｒ)|² → δ(ｒ－|ａ|²)　であるはずです。

この計算結果は,"１回の測定で状態が|α＞である確率が|ａ|²である"という通常の波動関数の意味での確率解釈が,

"測定回数Ｎが無限大のときの相対頻度:ｒ＝ｎ/Ｎが,大数の法則に従う結果|ａ|²になる"　という形で実現される例になっています。

以上が,この「数理科学」の記事に対する私の解釈ですが,私自身はエヴェレット(Hugh Everett)に始まる多世界解釈について,必ずしも全面的に信奉しているわけではありません。

一方,ロジャー・ペンローズ(Roger Penrose)らによる多世界解釈に対する批判があります。

これは,そもそもスピンであれば,アップとダウン|α＞と|β＞の重ね合わせ状態,また|猫生＞と|猫死＞の重ね合わせ状態も多世界解釈では観測できることになるというのがおかしい,というものだと思います。

しかし,そうした人間の意識や観測装置による超選択則がなぜ生じるのか？例えば陽子と中性子は観測されるのに,なぜその重ね合わせ粒子は観測されないのか？などという問題については,

観測の解釈とは本質的に別の問題であると私は思っています。

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                       TOSHI

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