ｎ変数の相加平均と相乗平均

　今日は,数学の統計学の話題です。

　ｎ変数の相加平均と相乗平均（幾何平均)を考察します。 

　"(相加平均)≧(相乗平均)"という公式の意味は,２変数の場合には,

"ｘ,ｙが正の数のとき{(ｘ＋ｙ)/2}≧(ｘｙ)^1/2(等号はｘ＝ｙのとき)が成り立つ。"　ということです。

　この不等式の成立は自明なのでワザワザ証明はしません。

　では,一般のｎ変数の場合の"(相加平均)≧(相乗平均)"の公式である{(∑_i=1ⁿｘ_i)/ｎ}≧(Π_i=1ⁿｘ_i)^1/n (ｘ_ｉは全て正の数)はどのように証明すればいいのでしょうか？

　まあ,一応は数学的帰納法(induction)を用いればいい,ということはすぐに気が付くでしょうね。 

　まず,ｎ＝2^M のときにはこの不等式が成立すると仮定して,ｎ＝2^M+1のときにも成立することを証明します。

　{(∑_i=1ⁿｘ_i)/ｎ}≧(Π_i=1ⁿｘ_i)^1/n (ｎ＝2^M) が成立すると仮定すると,

ｎ＋1,ｎ＋2,.,2^M＋1,2^M＋2,.,2^M+1の総個数も丁度 2^Mですから,

　{(ｘ＋ｙ)/2}≧(ｘｙ)^1/2を使うと,

[{(∑_i=1ⁿｘ_i)/ｎ＋(∑_j=1ⁿｘ_n+j)/ｎ}/2]≧{(Π_i=1ⁿｘ_i)^1/n(Π_j=1ⁿｘ_n+j)^1/n}^1/2となります。ｎ＝2^Mです。

　故に,{(∑_i=1²ⁿｘ_i)/(2ｎ)}≧(Π_i=1²ⁿｘ_i)^1/2n (2ｎ＝2^M+1)が成立します。

　そこで,ｎ＝2^M+1のときにも{(∑_i=1ⁿｘ_i)/ｎ}≧(Π_i=1ⁿｘ_i)^1/nが成立することが示されました。

　すなわち,数学的帰納法により,ｎが２のベキ乗のときには,常に"(相加平均)≧(相乗平均)"が成り立つことが証明されたわけです。

　では,ｎが２のベキ乗でないときはどうでしょうか？

　このときには,2^M-1＜ｎ＜2^Mを満足するＭが必ず存在するはずです。

　そこで,Ｎ≡2^M,ｎ₁≡Ｎ－ｎ,＜ｘ＞≡{(∑_i=1ⁿｘ_i)/ｎ}と置きます。

　このとき,Ｎは２のベキ乗なので既に証明した事実によって,

　{(∑_i=1ⁿｘ_i＋ｎ₁＜ｘ＞)/Ｎ}≧{(Π_i=1ⁿｘ_i)＜ｘ＞ⁿ¹}^1/N

が成立します。

　ところが,この不等式の左辺は丁度＜ｘ＞に等しいので,両辺をＮ＝2^M乗すると,＜ｘ＞^N≧{(Π_i=1ⁿｘ_i)＜ｘ＞ⁿ¹となります。

　さらに,＜ｘ＞^N≧{(Π_i=1ⁿｘ_i)＜ｘ＞ⁿ¹の両辺を＜ｘ＞ⁿ¹で割ると,

　＜ｘ＞ⁿ≧(Π_i=1ⁿｘ_i)となります。

　結局,ｎが２のベキ乗に等しいとは限らない一般の場合にも,

　＜ｘ＞＝{(∑_i=1ⁿｘ_i)/ｎ}≧(Π_i=1ⁿｘ_i)^1/n

が成立すること,が示されました。

　この後半の証明にはちょっとした工夫が必要でしたね。

　これはン十年前,大学の授業で習ったときの記憶なので,参考文献は不明です。

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