算術幾何平均と楕円積分

今日はちょっとマニアックですが算術幾何平均と楕円積分

との関係について述べてみたいと思います。

　まず,算術幾何平均(Aeithmetic geometric mean)とは何か？

という定義から始めるとａ＞0,ｂ＞0 の場合には次のように

定義されます。

すなわち,ａ₀＝ａ,ｂ₀＝ｂ,ａ_n+1＝(ａ_n＋ｂ_n)/2,ｂ_n+1＝(ａ_nｂ_n)^1/2

によって算術平均と幾何平均の交互の数列{ａ_n},{ｂ_n}をつくります。

すると,仮にａ≧ｂならｂ_n≦ｂ_n+1≦ａ_n+1≦ａ_nであり,

ｂ≧ａならａ_n≦ｂ_n+1≦ａ_n+1≦ｂ_nなので,２つの数列は共に

上下に有界です。

しかも単調増加,または単調減少なので共に収束します。

{ａ_n},{ｂ_n}のｎ→ ∞での極限値をそれぞれα,βとすると,

α＝(α＋β)/2,β＝(αβ)^1/2より,α＝βとなります。

この極限値α＝βをａとｂの算術幾何平均と定義し,

これをＭ(ａ,ｂ)と書くことにします。

一方,第１種の楕円積分(Elliptic integral)を

Ｆ(φ,ｋ)≡∫₀^φｄφ/(1－ｋ²sin²φ)^1/2で定義します。

ここで,ｘ＝sinφとおくと,

ｄｘ＝cosφｄφ,or ｄφ＝ｄｘ/(1－ｘ²)^1/2なので

Ｆ(φ,ｋ)＝∫₀^xｄｘ/{(1－ｘ²)(1－ｋ²ｘ²)}^1/2とも書けます。

　この積分をｕ(ｘ)とおくと,ｋsinφがφ＝2π＝(π/2)×4

の周期を持つことに対応して,ｕ(ｘ)の逆関数ｘ(ｕ)は,

２つの定積分:Ｋ＝∫₀¹ｄｘ/{(1－ｘ²)(1－ｋ²ｘ²)}^1/2,

Ｋ'＝∫₀¹ｄｘ/{(1－ｘ²)(1－ｋ'²ｘ²)}^1/2

から決まる周期:4Ｋと2ｉＫ'を持つことを確かめる

ことができます。

ただし,ｋ'²＝１－ｋ²です。

本記事での目的は,1/Ｍ(1,ｋ')＝2Ｋ/π,かつ

1/Ｍ(1,ｋ)＝2Ｋ'/πを示すことです。

　結果としてｋ＝√2,ｋ'＝iを代入したとき,ω≡Ｆ(π/2,i)

＝∫₀^π/2ｄφ/(1＋sin²φ)^1/2＝∫₀¹ｄｘ/(1－ｘ⁴)^1/2とおけば,

ω＝(π/2)/Ｍ(1,√2)が示されます。

つまり,レムニスケート(Lemniscate)積分:

∫₀^π/2ｄφ/(1＋sin²φ)^1/2＝∫₀¹ｄｘ/(1－ｘ⁴)^1/2の値が

１と√2の算術幾何平均に等しいことがわかります。

もっとも,1/Ｍ(1,ｋ')＝2Ｋ/π,ｋ'＝i によって,

(π/2)/Ｍ(1,ｉ)＝Ｆ(π/2,√2)＝∫₀^π/2ｄφ/(1－2sin²φ)^1/2

＝∫₀¹ｄｘ/{(1－ｘ²)(1－2ｘ²)}^1/2の方を示すのには,

算術幾何平均を正の実数だけでなく複素数の範囲まで拡張する

必要があるので,ここでは割愛します。

さて,(π/2)/Ｍ(1,√2)＝ω≡Ｆ(π/2,i)に対して,

Gaussの２つの証明を紹介しましょう。

まず,１つ目の証明は,Ｍ(λａ,λｂ)＝λＭ(ａ,ｂ)=λＭ(ａ_n,ｂ_n)

なる性質から,等式:Ｍ[1＋2ｔ/(1＋ｔ²),1－2ｔ/(1＋ｔ²)]

＝Ｍ[(1＋ｔ)²,(1－ｔ)²]/(1＋ｔ²)＝Ｍ(1＋ｔ²,1－ｔ²)/(1＋ｔ²)

が得られることから出発します。

一方,Ｍ(ｂ,ａ)＝Ｍ(ａ,ｂ)からＭ(1＋ｋ,1－ｋ)はｋの偶関数より,

1/Ｍ(1＋ｋ,1－ｋ)＝1＋ａ₁ｋ²＋ａ₂ｋ⁴＋..と展開可能とします。

ｋ＝2ｔ/(1＋ｔ²)とすると,Ｍ[1＋2ｔ/(1＋ｔ²),1－2ｔ/(1＋ｔ²)]

＝Ｍ(1＋ｔ²,1－ｔ²)/(1＋ｔ²)から,

1＋ａ₁[2ｔ/(1＋ｔ²)]²＋ａ₂[2ｔ/(1＋ｔ²)]⁴＋..

＝(1＋ｔ²)(1＋ａ₁ｔ⁴＋ａ₂ｔ⁸＋..)です。

両辺を(1＋ｔ²)で割って2ｔを掛けると,

2ｔ/(1＋ｔ²)＋ａ₁[2ｔ/(1＋ｔ²)]³＋ａ₂[2ｔ/(1＋ｔ²)]⁵＋..

＝ 2ｔ(1＋ａ₁ｔ⁴＋ａ₂ｔ⁸＋..)　が得られます。

左辺をｔのベキ級数に展開するため,

1/(1＋ｔ²)＝1－ｔ²＋ｔ⁴－ｔ⁶＋..,(1＋ｔ²)^-3

＝∑_m=1^∞[(－１)(－3－1)...(1－3－ｍ＋1)t^2m/ｍ!] etc.

を用います。

そして,上の恒等式の両辺のｔのベキの係数を比較すると,

　0 ＝1－4ａ₁＝9ａ₁－16ａ₂＝25ａ₂－36ａ₃＝..

　＝(2ｎ－１)²ａ_n-1－(2ｎ)²ａ_n が得られます。

よって,ａ_n＝[1・3・5・..(2ｎ－1)/{2・4・6・...(2ｎ)}]²

＝[1・3・5・..(2ｎ－1)/(2ⁿｎ!)]² です。

この結果をまとめると,

1/Ｍ(1＋ｋ,1－ｋ)＝∑_n=1^∞[1・3・5・..(2ｎ－1)/(2ⁿｎ!)]²ｋ²ⁿ

となります。

一方,1/(1－ｋ²sin²φ)^1/2

＝1＋(1/2)ｋ²sin²φ＋(1/2)²(1・3)ｋ⁴sin⁴φ/2!

＋(1/2)³(1・3・5)ｋ⁶sin⁶φ/3!＋..と展開できます。

そして,∫₀^π/2sin²ⁿφｄφ＝[1・3・5・...(2ｎ－1)/ (2ⁿｎ!)](π/2)

ですから,結局,

(2/π)Ｋ＝∑_n=1^∞[[1・3・5・...(2ｎ－1)/(2ⁿｎ!)]²ｋ²ⁿ

となることがわかります。

以上から,1/Ｍ(1＋ｋ,1－ｋ)＝(2/π)Ｋですが,

Ｍ(1＋ｋ,1－ｋ)＝Ｍ[1,(1―ｋ²)^1/2]＝Ｍ(1,ｋ')ですから

1/Ｍ(1,ｋ')＝(2/π)Ｋです。

ｋをｋ'＝(1―ｋ²)^1/2で置き換えれば,

1/Ｍ(1,ｋ)＝(2/π)Ｋ'も得られ,結局,

(π/2)/Ｍ(1,√2)＝ω≡Ｆ(π/2,i)＝∫ｄφ/(1＋sin²φ)^1/2

＝∫ｄｘ/(1－ｘ⁴)^1/2 が示されたことになるように見えます。

しかし,実は上に求めた級数の収束半径は１なので,Lemniscate積分

には適用できません。

そこで,Gaussの与えたもう一つの証明を見てみましょう。

まず,次の積分Ｉ(ａ,ｂ)を,

Ｉ(ａ,ｂ)≡∫₀^π/2[ｄφ/(ａ²cos²φ＋ｂ²sin²φ)^1/2

で定義します。

この積分において,sinφ＝2ａsinφ'/{ａ＋ｂ＋(ａ－ｂ)sin²φ'}

によって変数変換をして置換積分をすると,

Ｉ(ａ,ｂ)≡∫₀^π/2ｄφ/(ａ²cos²φ＋ｂ²sin²φ)^1/2

＝∫₀^π/2ｄφ'/(ａ₁²cos²φ'＋ｂ₁²sin²φ')^1/2＝Ｉ(ａ₁,ｂ₁)

となります。

もちろん,ａ₁＝(ａ＋ｂ)/2,ｂ₁＝(ａｂ)^1/2です。

Ｉ(ａ,ｂ)＝Ｉ(ａ₁,ｂ₁)＝Ｉ(ａ₂,ｂ₂)＝...＝Ｉ(ａ_n,ｂ_n)＝...

ですから,ｎ → ∞ に対してＩ(ａ_n,ｂ_n) → Ｉ(ａ,ｂ)です。

ところが,ａ_n → Ｍ(ａ,ｂ),ｂ_n → Ｍ(ａ,ｂ)より,

Ｉ(ａ,ｂ)＝Ｉ(Ｍ(ａ,ｂ),Ｍ(ａ,ｂ))

＝1/Ｍ(ａ,ｂ)]∫₀^π/2ｄφ/(cos²φ＋sin²φ)^1/2

＝π/[2Ｍ(ａ,ｂ)]　が得られます。

この結果から,ａ＝1,ｂ＝ｋにより,やはり1/Ｍ(1.ｋ)＝(2/π)Ｋ'

が得られます。

上に証明された結論に基づいて,ω≡Ｆ(π/2,i)

＝∫₀^π/2ｄφ/(1＋sin²φ)^1/2＝∫₀¹ｄｘ/(1－ｘ⁴)^1/2

を計算する代わりに,

実際にエクセル(Excel)を使って算術幾何平均を計算する

ことによって(π/2)/Ｍ(1,√2)を求めてみました。

これは,10回程度の繰り返し計算でほぼ収束して,

ω＝1.311028777146なる値になることがわかりました。

　話は変わりますが,こうしたことに興味を抱いたのは斉藤利弥 著の

「線形微分方程式とフックス関数(ポアンカレ)を読む)」

(河合文化教育研究所)に興味を持ったためです。

ｚの１価解析関数Ｆ(ｚ)があるとき,これが変換群Ｇに属する任意

の変換Ｔに対してＦ(Ｔｚ)＝Ｆ(ｚ)を満たすなら,この関数ＦをＧ

に対する保型関数と呼びます。

そして,特に群Ｇがメビウス変換＝１次分数変換:

Ｔ＝(ａｚ＋ｂ)/(ｃｚ＋ｄ)の集合で,これがある条件を満足する

ときに構成されるFuchs(フックス)群であるときにはＧに対する

保型関数をFuchs関数と言います。

特に,２階線形常微分方程式ｄ²ｙ/ｄｘ² ＝Ｑ(ｘ)ｙの２つの

独立な解ｆ(ｘ)とφ(ｘ)の比をｚ(ｘ)＝ｆ(ｘ)/φ(ｘ)とします。

　複素平面上の１点ｘからｘに戻る有向閉曲線で作られる

ホモトピークラスの作る群である基本群から派生する変換に対して

閉曲線１回転でｘに戻ったとき,^t(ｆ(ｘ),φ(ｘ))が変換される

１次変換の２行２列の行列をモノドロミー行列(Monodromy matrix)

といいます。

この行列の作るMonodromy群の行列で,ｚ(ｘ)＝ｆ(ｘ)/φ(ｘ)

がメビウス変換を受けてもｘの方は１回転で単に元に戻ることから,

ｚ(ｘ)の逆関数ｘ(ｚ)が１価ならメビウス変換群の保型関数になる

ことがわかります。

こうしたFuchsの発想から,係数に確定特異点のある線形常微分方程式

の解の多価性と関連してFuchs関数を分析することで,

壮大なPoincare'(ポアンカレ)の世界が広がります。

これの第１歩として,今日のトピックである算術幾何平均と楕円関数

の話題があるわけです。私はまだ端緒に付いたにすぎません。

参考文献；

斉藤利弥著「線形微分方程式とフックス関数(ポアンカレを読む)」

(河合文化教育研究所), J.J.グレイ著「線形微分方程式と群論」

(シュプリンガーフェアラーク東京),

久賀道郎著「ガロアの夢」(日本評論社),

高木貞治著「近世数学史談」(共立出版)

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                       TOSHI 

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