観測の問題(デコヒーレンス)

今日は観測に伴なって固有状態の干渉項が消滅すること

＝デコヒーレンス　(decoherence)の現象を最近の理論に基づいて

述べてみたいと思います。

ただし私自身は本質的には多世界解釈の方に傾いています。

まず,"観測可能量(observable)＝物理量＝線型演算子"Ｏ^とその

あらゆる固有値:ｏ_iに属する固有状態：|ｉ＞の集合,つまり,

Ｏ^|ｉ＞＝ｏ_i|ｉ＞を満たす|ｉ＞の集合があり,これらが

完全系を形成している,すなわち,∑_i|ｉ＞＜ｉ|＝1

が成立しているとします。

"任意の状態＝純粋状態":|ψ＞は|ψ＞＝∑_iｃ_i|ｉ＞と展開可能

でこの同じ状態|ψ＞において,物理量Ｏ^を状態を乱すことなく

独立に多数回観測したときにはＯ^の固有値以外が観測されること

はなく,観測値がｏ_iである確率が|ｃ_i|²で与えられます。

そして∑_i|ｃ_i|²＝1が成立しているというのが量子力学

の観測に関する枠組みと考えられます。

しかも,通常は固有状態|ｉ＞は正規直交化されていて,

＜ｉ|ｊ＞＝δ_ijなのでｃ_i＝＜ｉ|ψ＞なる式が成立して

います。 

したがって,この純粋状態|ψ＞における物理量Ｏ^の観測値

の"期待値＝平均値"は,

＜Ｏ＞_ψ＝∑_i|ｃ_i|²ｏ_i＝∑_i＜ｉ|ψ＞＜ψ|ｉ＞＜ｉ|Ｏ^|ｉ＞

＝∑_i＜ψ|ｉ＞＜ｉ|Ｏ^|ｉ＞＜ｉ|ψ＞＝＜ψ|Ｏ^|ψ＞

で与えられます。

つまり,＜Ｏ＞_ψ＝＜ψ|Ｏ^|ψ＞であり.

＜Ｏ＞_ψ＝∑_i＜ψ|Ｏ^|ｉ＞＜ｉ|ψ＞＝∑_i＜ｉ|ψ＞＜ψ|Ｏ^|ｉ＞

＝Ｔr(Ｐ_ψＯ^)となります。

ここで射影演算子とよばれるＰ_ψはＰ_ψ≡|ψ＞＜ψ|で定義され,

物理量Ｘ^の対角和(trace)は,Ｔr(Ｘ^)≡∑_i＜ｉ|Ｘ^|ｉ＞で定義

されます。

そして対角和の値が,これを定義する完全系{|ｉ>}の選択に依ら

ないことも簡単にわかります。

ところで,もしもこの体系が,状態間の干渉が存在するような状態

の重ね合わせのみで成り立つ純粋状態ではなく,

情報の欠如などによって統計的に純粋状態:ψ,φ,χ,...が

それぞれ確率:Ｗ(ψ),Ｗ(φ),Ｗ(χ),...で混合している混合

状態であるとすれば,

Ｏ^の期待値は＜Ｏ＞＝∑_ψＷ(ψ)＜ψ|Ｏ^|ψ＞　

で与えられます。

これも,＜Ｏ＞＝∑_ψＷ(ψ)＜ψ|Ｏ^|ψ＞

＝∑_ψ∑_iＷ(ψ)＜ψ|Ｏ^|ｉ＞＜ｉ|ψ＞

＝∑_i∑_ψＷ(ψ)＜ｉ|ψ＞＜ψ|Ｏ^|ｉ＞＝Ｔr(ρ^Ｏ^)

となり,純粋状態の＜Ｏ＞_ψ＝Ｔr(Ｐ_ψＯ)と同じ形に

書けます。

ここでρ^はρ^≡∑_ψＷ(ψ)|ψ＞＜ψ|＝∑_ψＷ(ψ)Ｐ_ψと定義

されて統計作用素(密度演算子)と呼ばれます。

対象となる体系のHamiltonianをＨとすると統計作用素ρ^

も時間に依存する量子力学の線形演算子に相違ないので,

Heisenbergの運動方程式:iｈ_c(∂ρ^/∂ｔ)＝[Ｈ,ρ^]

を満足します。

ただし,ｈ_c≡ｈ/(2π)でｈはPlanck定数です。

実は状態|ψ＞はSchroedinger表示の時間を含む状態ベクトル

|ψ(ｔ)＞で,これがSchroedingerの方程式:

iｈ_c(∂/∂ｔ)|ψ(ｔ)＞＝Ｈ|ψ(ｔ)＞　を満たします。

逆に統計作用素ρ^≡∑_ψＷ(ψ)|ψ(ｔ)＞＜ψ(ｔ)|が時間

ｔを含むHeisenberg表示の作用素となるため,Heisenbergの

運動方程式:iｈ_c(∂ρ/∂ｔ)＝[Ｈ,ρ^]を満たすと考えて

よいわけです。

時間発展の演算子をＵ(ｔ',ｔ)＝ｅ^-iH(t'-t)とすると,

|ψ(ｔ')＞＝Ｕ(ｔ',ｔ)|ψ(ｔ)＞ですから,

ρ^(ｔ)≡∑_ψＷ(ψ)|ψ(ｔ)＞＜ψ(ｔ)|によって

ρ^(ｔ')＝Ｕ(ｔ',ｔ)ρ(ｔ)Ｕ(ｔ',ｔ)^-1となります。

統計作用素ρの時間発展はユニタリ変換によって行われる

のでρ^や,ρ^に関わる関係式は時間発展によって変化しません。

簡単のため,スピンが1/2の区別できる粒子が２個ある体系に

ついて考察します。

スピン1/2の１粒子のスピン角運動量の演算子をｓとすると,

それは２行２列の行列表示では,Pauliのスピン行列σを用いて,

ｓ＝(ｈ_c/2)σと表わされます。

σ_z の固有値＋1,－1の固有状態を,それぞれ|α＞,|β＞とします。

２つの粒子それぞれのこうした状態を,それぞれ,|α⁽ⁱ⁾＞

と|β⁽ⁱ⁾＞(ｉ＝1,2)で指定することにします。

このとき,全系の任意の状態ベクトルは|α⁽¹⁾＞|α⁽²⁾＞,

|α⁽¹⁾＞|β⁽²⁾＞,|β⁽¹⁾＞|α⁽²⁾＞,|β⁽¹⁾＞|β⁽²⁾＞の1次結合

で表わされます。

そして,例えばスピンがゼロの状態は,

|0＞＝(1/2^1/2)(|α⁽¹⁾＞|β⁽²⁾＞－|β⁽¹⁾＞|α⁽²⁾＞)

で与えられます。

この状態での統計作用素ρ^₀は,

ρ^₀ ＝(1/2)(|α⁽¹⁾＞|β⁽²⁾＞－|β⁽¹⁾＞|α⁽²⁾＞)

(＜α⁽¹⁾|＜β⁽²⁾|－＜β⁽¹⁾|＜α⁽²⁾|)

＝(1/2)(|α⁽¹⁾＞＜α⁽¹⁾|⊗|β⁽²⁾＞＜β⁽²⁾|

－|α⁽¹⁾＞＜β⁽¹⁾|⊗|β⁽²⁾＞＜α⁽²⁾|

－|β⁽¹⁾＞＜α⁽¹⁾|⊗|β⁽²⁾＞＜α⁽²⁾|

＋|β⁽¹⁾＞＜β⁽¹⁾|⊗|α⁽²⁾＞＜α⁽²⁾|)

となります。

ただし,記号⊗は直積を表わしています。

このρ^₀は確かに,純粋状態を示す"統計作用素＝射影演算子"

です。

ここで,一般に粒子１のみに関する物理量Ｓ⁽¹⁾を測定する場合

を想定すると,このときも対象としては全体系ですから,

物理量を表わす作用素はＳ⁽¹⁾⊗１⁽²⁾です。

その期待値は,

＜Ｓ⁽¹⁾⊗１⁽²⁾＞＝Ｔr(ρ^Ｓ⁽¹⁾⊗１⁽²⁾)

＝∑_i∑_j＜ｉ⁽¹⁾|＜ｊ⁽²⁾|ρ^Ｓ⁽¹⁾|ｊ⁽²⁾＞|ｉ⁽¹⁾＞

＝Ｔr(ρ^⁽¹⁾Ｓ⁽¹⁾)  と書くことができます。

ここで,ρ^⁽¹⁾≡＜ｊ⁽²⁾|ρ^|ｊ⁽²⁾＞＝Ｔr_,2(ρ^)　です。

そして,部分系である粒子１の物理量Ｓ⁽¹⁾の測定の期待値は全て

＜Ｓ⁽¹⁾⊗１⁽²⁾＞＝Ｔｒ(ρ^⁽¹⁾Ｓ⁽¹⁾)の形で表わせるので,

実質的には,ρ^⁽¹⁾が部分系である粒子１の状態を示す統計作用素

であると見なすことができるでしょう。

ここで,ρ^＝ρ^₀ の場合には,

ρ^₀⁽¹⁾＝＜α⁽²⁾|ρ^₀|α⁽²⁾＞＋＜β⁽²⁾|ρ^₀|β⁽²⁾＞

＝(1/2)(|α⁽¹⁾＞＜α⁽¹⁾|＋|β⁽¹⁾＞＜β⁽¹⁾|)　です。

そこで,全系が純粋状態でも,部分系である粒子１の状態は

ｚ成分のスピンが上向きと下向きが1対１に混合した混合状態

となることがわかります。

話を戻して,体系の状態が|ψ＞で物理量Ｏ^の固有状態での

展開が,|ψ＞＝∑_iｃ_i|ｉ＞(∑_i|ｃ_i|²＝1)　で与えられると

します。

Ｏ^の測定装置はマクロな物体ですが,装置も状態ベクトル

で表わすことができると仮想して,その初めの状態を|ｏ＞_A

とします。

そして,対象が状態|ｉ＞にあるとき,それを測定したときの

"対象＝体系と装置"の変化を|ｉ＞|ｏ＞_A → |ｉ＞|ｉ＞_A

とします。

そこで,|ψ＞を測定したときには,

|ψ＞|ｏ＞_A → ∑_iｃ_i|ｉ＞|ｉ＞_A となります。

この最後の状態はもちろん純粋状態であって,物理量Ｏ^の期待値

を取れば当然|,ｉ＞|ｉ＞_A 間の干渉が現われるはずです。

最初の状態が純粋状態であって時間発展がユニタリですから当然

それは予想されたことです。

しかし,我々の観測の経験では,測定の最後の状態は

|ｉ＞|ｉ＞_Aの状態がＷ(ｏ_i)＝|ｃ_i|²の確率で混じり合って

いて,決して干渉作用など起きない混合状態です。

簡単のために,１電子のスピンのｚ成分を観測するStern-Gerlach

の実験のようなものを考察します。

これは,不均一な磁場の中にスピン磁気モーメントを持つ電子

が入射してスピンが上向きか下向きかが検出される実験です。

入射電子はある一定のスピン状態にあって,

|ψ＞＝(ｃ₁|α＞＋ｃ₂|β＞)|φ＞,(|ｃ₁|²＋|ｃ₂|²＝1)

であるとします。

ただし,|φ＞は電子線の空間的運動を表わす状態ベクトルです。

入射電子が磁場の中を通るとスピンの向きによって空間的運動

は上下に分裂するので,

|ψ＞ → |γ＞≡ｃ₁|α＞|φ_＋＞＋ｃ₂|β＞|φ_－＞

となります。

そして,上下にある検出装置の統計作用素＝密度行列をそれぞれρ^A_α,ρ^A_β,対象と装置の全体系の"統計作用素＝密度行列"をη₀と

すると,

η₀＝|γ＞＜γ|⊗ρ^A_α⊗ρ^A_β

＝(|ｃ₁|²ρ_＋＋＋|ｃ₂|²ρ_－－＋ｃ₁ｃ₂^*ρ_＋－＋ｃ₂ｃ₁^*ρ_－＋)⊗ρ^A_α⊗ρ^A_β

と書けます。

ここで,

　ρ_＋＋＝|α＞＜α|⊗|φ_＋＞＜φ_＋|,

　ρ_－－＝|β＞＜β|⊗|φ_－＞＜φ_－|,

　ρ_＋－＝|α＞＜β|⊗|φ_＋＞＜φ_－|,

　ρ_－＋＝|β＞＜α|⊗|φ_－＞＜φ_＋|

です。

測定装置が状態ベクトルで表わされている状況では,ユニタリ性の故,

測定の結果として,干渉項ρ_＋－,ρ_－＋が消えることは決して有り得ないことです。

そこで装置は初めから混合状態にあると考えます。

すなわちマクロな装置はＮ個～ Avogadro数個程度の粒子の集合系

であり,このＮ粒子の系の多数の状態ベクトルの混合状態が装置を

表わしていると考えるわけです。

そして,測定にはある時間にわたって全体系の密度行列η₀を調べる

必要があります。

それぞれ,Ｎ,Ｎ'粒子系から成る上下の検出装置に対して

η₀(Ｎ,Ｎ')≡|γ＞＜γ|⊗ρ^A_α(Ｎ)⊗ρ^A_β(Ｎ') と定義

します。

相互作用が起こる直前の時刻をｔ₀ として,時刻ｔでの全体系の

統計作用素をＮ,Ｎ'を省略してη(ｔ)と書くと,η(ｔ₀)＝η₀に

対し, 

η(ｔ)＝∑_N,NＷ(Ｎ)Ｗ(Ｎ')Ｕ(ｔ,ｔ₀)η₀(Ｎ,Ｎ')Ｕ(ｔ,ｔ₀)^-1

(ただし∑Ｗ(Ｎ)＝1)

と書くことができます。

η₀(Ｎ,Ｎ')＝|γ＞＜γ|⊗ρ^A_α(Ｎ)⊗ρ^A_β(Ｎ')において,

例えばρ_＋－に関わる部分は,

|α＞＜β|⊗|φ_＋＞＜φ_－|⊗ρ^A_α(Ｎ)⊗ρ^A_β(Ｎ')　です。

装置との相互作用部分がスピンに依らないとすれば,時間発展

は,Ｕ(ｔ,ｔ₀)|φ_＋＞ρ^A_α(Ｎ)＜φ_－|ρ^A_β(Ｎ')Ｕ(ｔ,ｔ₀)^-1

となります。

ここで,|φ_＋＞はρ^A_α(Ｎ)のみ,＜φ_－|はρ^A_β(Ｎ')のみと相互作用

するので左右に分けました。

ｔを相互作用が終わった時刻とし,Ｎ個の粒子の個数に比例する

運動長さの単位をＬ(Ｎ)とすると,そのオーダーはＬ(Ｎ)～Ｎ^1/3

です。

そして,比例定数として波数因子ｋを掛けた位相の変化がある

と考えられるので,

左のＵ(ｔ,ｔ₀)|φ_＋＞ρ^A_α(Ｎ)は因子ｅ^iｋＬ(Ｎ)を,

右の＜φ_－|ρ^A_β(Ｎ')Ｕ(ｔ,ｔ₀)^-1は因子ｅ^{－iｋＬ(Ｎ')}

を含むはずです。

ここで,η(ｔ)＝∑_N,N’...を連続化して積分式にすると,

η(ｔ)＝∫ｄＬ∫ｄＬ'Ｗ(Ｌ－Ｌ₀)Ｗ(Ｌ'－Ｌ₀)Ｕ(ｔ,ｔ₀)

η₀(Ｌ,Ｌ')Ｕ(ｔ,ｔ₀)^-1(ただし∫ｄＬＷ(Ｌ－Ｌ₀)＝1)

となります。

位相部分だけに着目すると,Ｌ(Ｎ)～Ｎ^1/3が大きい極限で

密度行列要素は,それぞれ,

ρ_＋＋→ 1,ρ_－－→ 1,ρ_＋－→ｅ^{iｋ(Ｌ－Ｌ')},ρ_－＋→ｅ^{－iｋ(Ｌ－Ｌ')}

となります。

ところで,Riemann^Lebesgueの定理によれば,Ｌ,Ｌ'が無限大の

極限では,

∫ｄＬ∫ｄＬ'Ｗ(Ｌ－Ｌ₀)Ｗ(Ｌ'－Ｌ₀)ｅ^{iｋ(Ｌ－Ｌ')} → 0

となります。

このことから"統計作用素＝密度行列"からρ_＋－とρ_－＋の干渉項

が消えてρ_＋＋とρ_－－の項のみがそのままの形で残ることになり,

事実上デコヒーレンスが実現されることになると考えられます。

ただし,清水明氏の「量子測定の原理とその問題点」に書かれて

いますが,

"測定装置の他に環境も含めたとしても干渉項のオーダーは

観測時間をＴ,光速をｃとして,exp[－(正定数)×ｃＴ³]が限界

であり決して正確にゼロになって消えるわけではない。"

という問題は残っています。

一方,ｓ_zの測定によって必ずしもσ_zの固有状態である

|α＞,|β＞が観測されると考える必要はないという本質的な

問題もあります。

例えば,|χ_±＞≡(1/2^1/2)(|α＞±|β＞)(複号同順)はσ_xに

対してのスピンの＋,－の固有状態です。

先の統計作用素において非干渉成分として,

ρ_＋＋＝|α＞＜α|⊗|φ_＋＞＜φ_＋|,ρ_－－

＝|β＞＜β|⊗|φ_－＞＜φ_－|　の代わりに,

ρ'_＋＋＝|χ_＋＞＜χ_＋|⊗|φ'_＋＞＜φ'_＋|,

ρ'_－－＝|χ_－＞＜χ_－|⊗|φ'_－＞＜φ'_－|

が残ると考えても何の不都合もないからですね。

こちらの問題は(猫生)か(猫死)のどちらか一方のみの状態が観測

されるとして定式化しても,

それらの重ね合わせ状態が観測されるとして定式化しても,

"統計作用素＝密度行列"のデコヒーレンスだけからは,

それらは全く同等である,ことから多世界解釈の問題でもあり

超選択則に関わる問題ですね。

例えば変換群の異なる既約表現にまたがる重ね合わせ状態は

観測されない,とかの原理的問題であると思います。

具体的には既約表現の問題とは,ちょっと違うかもしれないです

が,アイソピン(荷電スピン)に関わる２次元特殊ユニタリ群

ＳＵ(2)において,

陽子と中性子の重ね合わせ状態は決して観測されない,という

のも超選択則の例です。

これに対して,φメソンやＫメソンにはむしろ混合(mixing)が

ある状態で存在する方が普通なので,自然がどういうメカニズム

になっているのかは不思議なことです。

これに関しては,観測を行なう以前の物理系の状態を記述する

"波動関数や密度行列をも実在であると考えるかどうか？"

という哲学的な問題も関連あるかもしれません。

参考文献；町田茂 著「基礎量子力学」(丸善),

ボーム 著「量子論」(みすず書房)

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                       TOSHI 

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