数列の和とベルヌーイ数

　皆さん,ベルヌーイ数(Bernoulli number)というものをご存知でしょうか？

　私は,かつて御茶ノ水の予備校のアルバイト講師をしていた時代に,当時同僚のＳ田先生から,ベキ乗数列の和:Ｓ_j(ｎ)＝∑_k=1ⁿｋ^jはBernoulli数という有理数を係数とするｎの多項式で表わすことができる,という話を聞いて,そういう数が存在することを初めて知りました。

　そして後になって,こうした数がゼータ関数とも大いに関係がありRiemann予想では重要な意味を持つことも知ったのでした。

　今日は,そのとき聞いた数列の和の公式やBernoulli数などについて説明したいと思います。

　まず,Bernoullli自身の定義によると,Bernoulli数:Ｂ_nとは,

　漸化式:∑_r=0ⁿ_n+1Ｃ_rＢ_r＝ｎ＋1によって定義される数Ｂ_rです。

　すなわち,ｎ＝0 としてＢ₀＝1,ｎ＝1として,Ｂ₀＋2Ｂ₁＝2よりＢ₁＝1/2,

以下,Ｂ₂＝1/6,Ｂ₃＝0,Ｂ₄＝－1/30と続きます。

　ｎが１以外の奇数ならＢ_n＝0 となることも証明できますが,

　この証明は数列の和の公式の証明の後で行なうことにします。

　さて,各項がその項の順番を表わす自然数のベキ乗で表わされる数列の和,謂ゆるべき乗和をＳ_j(ｎ)≡∑_k=1ⁿｋ^jとします。

　このとき,Ｓ_j(ｎ)＝∑_k=1ⁿｋ^j＝∑_r=0^ｊ[_jＣ_rＢ_rｎ^j+1-r/(ｊ＋1－ｒ)]なる

　等式が成立する,という数列の和の公式を以下で証明します。

　例えば,Ｓ₀(ｎ)＝ｎ,Ｓ₁(ｎ)＝ｎ²/2＋ｎ/2＝ｎ(ｎ＋1)/2,

　Ｓ₂(ｎ)＝ｎ³/3＋ｎ²/2＋ｎ/6＝ｎ(ｎ＋1)(2ｎ＋1)/6,

　Ｓ₃(ｎ)＝ｎ⁴/4＋ｎ³/2＋ｎ²/4＝ｎ²(ｎ＋1)²/4,

　Ｓ₄(ｎ)＝ｎ⁵/5＋ｎ⁴/2＋ｎ³/3－ｎ/30

　＝ｎ(ｎ＋1)(2ｎ＋1)(3ｎ²＋3ｎ－1)/30 etc.です。

　まず,Ｓ₀(ｎ)＝ｎは自明です。そこでｊ≧1とします。

　２項展開によって,(ｍ＋１)^j+1－ｍ^j+1＝∑_r=0^ｊ_j+1Ｃ_rｍ^rですから,

これをｍ＝1,2..ｎについて総和することにより,

(ｎ＋１)^j+1－1＝∑_r=0^ｊ_j+1Ｃ_rＳ_r(ｎ)を得ます。

　したがって,Ｓ_j(ｎ)＝[(ｎ＋１)^j+1－1－∑_r=0^ｊ-1_j+1Ｃ_rＳ_r(ｎ)]/(ｊ＋1)と書くことができます。

　帰納的に考えると,Ｓ_j(ｎ)はｎ^j+1/(ｊ＋1)で始まるｎの(ｊ＋1)次多項式ですから,ｎを連続変数ｘに拡張してＳ_j(ｘ)はｘ^j+1/(ｊ＋1)で始まるｘの(ｊ＋1)次多項式です。

　２つの多項式ｆ(ｘ),ｇ(ｘ)についてｆ(ｎ)＝ｇ(ｎ)が全ての自然数ｎに対して成り立つなら,ｆ(ｘ)＝ｇ(ｘ)が成り立つので,

　Ｓ_j(ｎ＋1)－Ｓ_j(ｎ)＝(ｎ＋１)^jによりＳ_j(ｘ＋1)－Ｓ_j(ｘ)＝(ｘ＋１)^jが成立します。

　この恒等式でｘ＝0 とおけば,Ｓ_j(1)＝1なのでＳ_j(0)＝0 を得ます。

　そして,Ｓ_j(ｘ＋1)－Ｓ_j(ｘ)＝(ｘ＋１)^jにおいて,両辺をｘで微分するとＳ_j'(ｘ＋1)－Ｓ_j'(ｘ)＝ｊ(ｘ＋１)^j-1です。

　ｘ＝0,1,2,...ｎ－1とおいて両辺の和を取ると,恒等式:

　Ｓ_j'(ｎ)－Ｓ_j'(0)＝ｊＳ_j-1(ｎ) が得られます。

　ここで,ｂ_j≡Ｓ_j'(0)とします。(ただし,ｂ₀＝1とします。)

　Ｓ_j'(ｘ)＝ｊＳ_j-1(ｘ)＋ｂ_jをさらにｘで微分すると,

  Ｓ_j"(ｘ)＝ｊＳ_j-1'(ｘ)です。この式でｘ＝0 とおいて

  Ｓ_j"(0)＝ｊｂ_j-1を得ます。

　Ｓ_j"(ｘ)＝ｊＳ_j-1'(ｘ)をさらに微分して,ｘ＝0 とおくと

  Ｓ_j⁽³⁾(0)＝ｊ(ｊ－1)ｂ_j-2となり,以下,これを繰り返して,

　Ｓ_j^(r)(0)＝ｊ(ｊ－1)..(ｊ－ｒ＋2)ｂ_j-r+1 (ｒ＝2,3,.ｊ＋1 )

　を得ます。

　したがって,Taylor展開により,　

　Ｓ_j(ｘ)＝∑_r=0^ｊ+1Ｓ_j^(r)(0)ｘ^r/ｒ!＝∑_r=1^ｊ+1[_j+1Ｃ_rｂ_j-r+1ｘ^r/(ｊ＋1)]

　＝∑_r=0^ｊ[_j+1Ｃ_rｂ_rｘ^j-r+1/(ｊ＋1)] が得られます。

　この式でｘ＝1とおけば,ｊ＋1＝∑_r=0^ｊ_j+1Ｃ_rｂ_rとなります。

　したがって,ｂ_rはベルヌーイ数:Ｂ_rの定義を満足しており,これらｂ_rが

　Bernoulli数Ｂ_rに一致することがわかります。

　そして,同時に,Ｓ_j(ｎ)＝∑_k=0ⁿｋ^j＝∑_r=0^ｊ[_j+1Ｃ_rＢ_rｎ^j-r+1/(ｊ＋1)]

　＝∑_r=0^ｊ[_jＣ_rＢ_rｎ^j+1-r/(ｊ＋1－ｒ)]となって,求める数列の和の公式

　も証明されます。

　ここで,最後の等号では２項係数の簡単な関係式:

　_j+1Ｃ_r/(ｊ＋1)＝_jＣ_r/(ｊ＋1－ｒ) を用いました。

　次に,ｊを奇数としＳ_j(ｘ＋1)－Ｓ_j(ｘ)＝(ｘ＋１)^jにおいて,ｘ＝－1とおけば,Ｓ_j(－1)＝0 です。

　そこで,等式:(ｊ＋1)Ｓ_j(ｘ)＝∑_r=0^ｊ_j+1Ｃ_rＢ_rｘ^j-r+1において,ｘ＝－1とおけば,∑_r=0^ｊ_j+1Ｃ_rＢ_r(－1)^r＝0 となります。

　これを,∑_r=0^ｊ_j+1Ｃ_rＢ_r＝ｊ＋1から辺々引けばｒが奇数の項だけが残って,2∑_s=0^(j-1)/2_j+1Ｃ_2s+1Ｂ_2s+1＝ｊ＋1となります。

　ここで,左辺のｓ＝0 の項は,Ｂ₁＝1/2 により右辺のｊ＋1と相殺するので,結局,∑_s=1^(j-1)/2_j+1Ｃ_2s+1Ｂ_2s+1＝0 となります。

　この式でｊ＝3,5,7...としていくことにより,ｎが１以外の奇数の場合,

　Ｂ_n＝0 となることが証明されます。

　さらに,ベキ級数によるBernoulli数の別の定義を与えておきます。

　それは,ｔｅ^t/(ｅ^t－1)＝∑_n=0^∞Ｂ_nｔⁿ/ｎ! における右辺のべき級数展開の係数Ｂ_nとしてBernoulli数を定義するものです。

　このベキ級数展開表示を母関数表示といいます。

　後の定義と前の定義が一致しなければ無意味ですから,両者が同じ定義になっていることを確かめてみましょう。

　それには,(∑_n=0^∞Ｂ_nｔⁿ/ｎ!)(ｅ^t－1)＝ｔｅ^tの両辺のｔのベキの係数を比較して,∑_r=0ⁿ_n+1Ｃ_rＢ_ｒ＝ｎ＋1が得られることを示せばいいです。

　すなわち,後の定義によれば,(∑_n=0^∞Ｂ_nｔⁿ/ｎ!)(∑_m=1^∞₁ｔ^m/ｍ!)

　＝∑_n=1^∞[∑_ｒ=0^n-1Ｂ_r/{ｒ!(ｎ－ｒ)!}]ｔⁿ ＝∑_n=1^∞ｔⁿ/(ｎー1)!

　が成立します。

　このことから,係数を比較して,∑_ｒ=0^n-1Ｂ_r/{ｒ!(ｎ－ｒ)!}

　＝1/(ｎ－1)! (ｎ＝1,2,..)となることがわかります。

　これは,ｎ→ｎ＋1とシフトして∑_ｒ=0ⁿ_n+1Ｃ_rＢ_ｒ＝ｎ＋1を意味します。

　こうして,前の定義を示す等式の成立が示されたので,両者の定義が確かに同義であることがわかりました。

　参考文献；荒川恒男・伊吹山知義・金子昌信 著「ベルヌーイ数とゼータ関数」(牧野書店)

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                       TOSHI

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