非共変ゲージの非局所性（電磁場）

今日は電磁気学のごく軽い話題を一つ述べてみましょう。

真空中のMaxwell方程式において,電場をＥ,磁場をＢとするとき,

電磁場のスカラーポテンシャルをΦ,ベクトルポテンシャルをＡ

とすれば,Ｂ＝∇×Ａ,Ｅ＝－∇Φ－∂Ａ/∂ｔと書けます。

　もしも,非共変ゲージ(gauge)であるCoulombゲージ:∇Ａ＝0 を

　採用するなら,例えばΦの満たすべき方程式は,∇Ｅ＝ρ/ε₀より

　∇²Φ＝－ρ/ε₀というPoisson方程式になります。

　これを解くためには,"∇²Ｇ＝δ³(ｒ)を満たし無限遠でゼロとなる

　球対称なＧ(ｒ)＝Green関数がＧ(ｒ)＝[－1/(4πｒ)]で与えられる

　こと"を利用します。

　Ｇ(ｒ)を用いれば,∇²Φ＝－ρ/ε₀の解である一般的な

　スカラー・ポテンシャルは,

　Φ(ｒ,ｔ)＝(1/4πε₀)∫ｄ³ｒ'[ρ(ｒ',ｔ)/|ｒ－ｒ'|]

　で与えられることがわかります。

　これは,静電Coulombポテンシャルと同じ形になっていて,

　見かけ上は何の問題もないように見えます。

　しかし,実は定常的で電荷密度が時間的に一定:

　ρ(ｒ,ｔ)＝ρ(ｒ)の静電場とは異なり,電荷密度ρに時間ｔ

　が含まれていることに気付きます。

　そこで,一見したところ,右辺の∫ｄ³ｒ'の積分により,時刻ｔ

　でのｒ'の電荷密度ρ＝ρ(ｒ',ｔ)の瞬間の変化が即座に,

　つまり超光速でスカラーポテンシャルΦ(ｒ,ｔ)に反映される

　ことになります。

　それ故,このポテンシャルは"相対論を破っている＝非局所的

　である(超光速である)"ことになり,結果,物理的に因果律と矛盾

　するように見えます。

　しかし,スカラーポテンシャルΦは観測可能量ではなく,観測

　される量で,このΦと関係あるのは電場Ｅ＝－∇Φ－∂Ａ/∂ｔ

　のみですから,問題ないことがわかります。

　すなわち,電場Ｅはゲージ変換の不変量ですから,非共変な

　Coulombゲージを取ろうと,相対論的に共変なゲージ,例えば

　Lorenzゲージ:∇Ａ－(1/ｃ)(∂Φ/∂ｔ)＝0 を取ろうと,　

　Ｅ＝－∇Φ－∂Ａ/∂ｔは全く同じ値の電場Ｅを与えます。

　見かけ上は,相対論を破っている,非局所的であるように

　見えても,観測される量という意味では相対論との矛盾はない

　といえるわけです。

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                       TOSHI

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