量子力学の交換関係の問題(その２)

今回も量子力学の交換関係の問題を解きます。

"線形演算子:Ａ,Ｂが,[Ａ,[Ａ,Ｂ]]＝0 または[Ｂ,[Ａ,Ｂ]]＝0 を満足するとき,ｅ^Ａｅ^Ｂ＝ｅ^{{Ａ＋Ｂ＋[Ａ,Ｂ]/2}}が成立することを証明せよ。"

という問題です。

[解答] [Ａ,[Ａ,Ｂ]]＝0 と仮定し,関数ｆ(ｘ)をｆ(ｘ)≡ｅ^ｘＡｅ^ｘＢ と定義します。このとき,もちろんｆ(0)＝1です。

　また,ｆ(ｘ)をｘで微分すると,ｄｆ/ｄｘ＝Ａｅ^ｘＡｅ^ｘＢ＋ｅ^ｘＡＢｅ^ｘＢ ＝{Ａ＋ｅ^ｘＡＢｅ^-ｘＡ}ｆ(ｘ)と書くことができます。

　そこで,今度はｇ(ｘ)≡ｅ^ｘＡＢｅ^-ｘＡという関数ｇを考えます。

　するとｇ(0)＝Ｂ です。

　次にこれをｘで微分すると,ｄｇ/ｄｘ＝ｅ^ｘＡ[Ａ,Ｂ]ｅ^-ｘＡですから,

　ｘ＝0 とおいてｇ'(0)＝[Ａ,Ｂ]です。

　さらに微分すると,ｄ²ｇ/ｄｘ²＝ｅ^ｘＡ[Ａ,[Ａ,Ｂ]]ｅ^-ｘＡよりｇ"(0)＝[Ａ,[Ａ,Ｂ]]を得ます。

　結局,帰納的に考えると,ｇ(ｘ)＝ｅ^ｘＡＢｅ^-ｘＡは,ｇ(ｘ)＝Ｂ＋[Ａ,Ｂ]ｘ＋[Ａ,[Ａ,Ｂ]]ｘ²/2!＋[Ａ,[Ａ,[Ａ,Ｂ]]]ｘ³/3!＋..とMaclaurin展開されることになります。

　そして,特にｘ＝1とおくと,ｇ(1)＝ｅ^ＡＢｅ^-Ａ ＝Ｂ＋[Ａ,Ｂ]＋[Ａ,[Ａ,Ｂ]]/2!＋[Ａ,[Ａ,[Ａ,Ｂ]]]/3!＋..が成立します。

　まあ,これは余談ですね。

　ところで,仮定より[Ａ,[Ａ,Ｂ]]＝0ですから,この場合には

　ｇ(ｘ)＝ｅ^ｘＡＢｅ^-ｘＡ＝Ｂ＋[Ａ,Ｂ]ｘとなりますね。

　したがって,ｄｆ/ｄｘ＝{Ａ＋Ｂ＋[Ａ,Ｂ]ｘ}ｆ(ｘ)です。

　ｆ(0)＝1という条件下でこの線形微分方程式を解くと,解は一意的で

　ｆ(ｘ)＝ｅ^{{(Ａ＋Ｂ)ｘ＋[Ａ,Ｂ]ｘ^2/2}}となります。

　これにｘ＝1を代入すると,ｆ(1)＝ｅ^Ａｅ^Ｂ＝ｅ^{{Ａ＋Ｂ＋[Ａ,Ｂ]/2}} 

　が得られます。

一方,[Ｂ,[Ａ,Ｂ]]＝0 のときは,

ｄｆ/ｄｘ＝ｅ^ｘＡＡｅ^ｘＢ＋ｅ^ｘＡｅ^ｘＢＢ

＝ｆ(ｘ){ｅ^-ｘＢＡｅ^ｘＢ＋Ｂ} と書けます。

そして,[Ｂ,[Ａ,Ｂ]]＝0 ならｅ^-ｘＢＡｅ^ｘＢ＝Ａ＋[Ａ,Ｂ]ｘなので,

ｄｆ/ｄｘ＝ｆ(ｘ){Ａ＋Ｂ＋[Ａ,Ｂ]ｘ}となり,同様にして

同じ結果が得られます。

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                       TOSHI 

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