ポアンカレの補題

ｎ次元空間におけるｋ次微分形式(differential form)(ｋ≦ｎ)を,

ω＝(1/ｋ!)ａ_{i1 i2..ik}ｄｘ_i1∧ｄｘ_i2∧..∧ｄｘ_ik

   ＝∑ａ_{i1 i2..ik}ｄｘ_i1∧ｄｘ_i2∧..∧ｄｘ_ik  とします。

ただし,∑はｉ₁＜i₂＜..＜ｉ_k≦ｎのあらゆる組み合わせの総和を示しています。

同じ添字が２度現われる場合には,それについて総和を取るアインシュタインの規約を採用します。

そして,このｋ次微分形式ωの外微分ｄωを,

ｄω≡(1/ｋ!)(∂ａ_{i1 i2..ik}/∂ｘ_p)ｄｘ_p∧ｄｘ_i1∧ｄｘ_i2∧..∧ｄｘ_ik

で定義します。

したがって,ｄ(ｄω)＝(1/ｋ!)(∂²ａ_{i1 i2..ik}/∂ｘ_p∂ｘ_q)ｄｘ_p∧ｄｘ_q∧ｄｘ_i1∧ｄｘ_i2∧..∧ｄｘ_ikとなります。

この式の右辺では,添え字ｐとｑに関して,(∂²ａ_{i1 i2..ik}/∂ｘ_p∂ｘ_q)は対称なのに対して,ｄｘ_p∧ｄｘ_q は反対称です。

そこで,ｄ(ｄω)＝－ｄ(ｄω)となるためｄ(ｄω)は消えます。

つまり,ｄ(ｄω)＝0 です。

これを"完全形式は閉形式である。"と言って"ポアンカレの補題(Poincare'Lemma)"と呼びます。

この補題の逆命題＝"可縮な領域では閉形式は完全形式である。"ことも"ポアンカレの補題"といわれます。

可縮であるとは,簡単に言えば,ホモトピークラスがゼロであるとか,２次元ならその領域内の任意の閉曲線を領域内部で縮めて1点にすることができる,あるいは単連結であることを意味します。

(厳密には可縮と単連結は微妙に異なる概念ですが,まあ大体同じであると考えてもめったに問題にはなりません。)

今のPoincare'の補題は,"ｋ次微分形式ωが可縮な領域でｄω＝0 を満たすならその領域ではω＝ｄθとなる(ｋ－1)次微分形式θが存在する。"ことを意味します。

この後者のPoincareの補題の成立を証明したいと思います。

まず,ωとしては前と同じように,

ω＝(1/ｋ!)ａ_{i1 i2..ik}(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)ｄｘ_i1∧ｄｘ_i2∧..∧ｄｘ_ik＝Σａ_{i1 i2..ik}(ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_n)ｄｘ_i1∧ｄｘ_i2∧..∧ｄｘ_ik;とし,ｄω＝0

と仮定します。

そして,ωにおいて変数をｘ_iからｙ_i(ｘ)に変更したものを,

Φ^*ω≡∑ａ_{i1 i2..ik}(ｙ₁(ｘ),ｙ₂(ｘ),...,ｙ_n(ｘ))(∂ｙ_i1/∂ｘ_j1)(∂ｙ_i2/∂ｘ_j2)..(∂ｙ_ik/∂ｘ_jk)ｄｘ_j1∧ｄｘ_j2∧..∧ｄｘ_jk

とします。

微分形式とは重積分の中から被積分関数×微分を取り出したものですから,変数変換をしたときに置換積分の規則が成立するのは当然です。

今の場合,元々ω＝(1/ｋ!)ａ_{i1 i2...ik}(ｙ₁,ｙ₂,..,ｙ_n)ｄｙ_i1∧ｄｙ_i2∧..∧ｄｙ_ikがｎ次元ｙ空間の微分形式として与えられているとき,

ｙ_iにｙ_i(ｘ)を代入して,ｍ次元ｘ空間の変数の微分形式に変えたと考える方が普通です。

そしてΦ^*ωを"引き戻し"と呼びます。

ここで変数を１つ増やして,それをτとしτ∈[0,1] とします。

そしてｙ_p(ｘ)＝τｘ_p と変数変換します。

この変換に対して,Φ^*ω＝∑τ^kａ_{i1 i2..ik}(τｘ₁,τｘ₂,..,τｘ_n)ｄｘ_i1∧ｄｘ_i2∧..∧ｄｘ_ik ＋∑∑'_s=1^k(－1)^s-1τ^k-1ａ_{i1 i2..ik}(τｘ₁,τｘ₂,..,τｘ_n)ｘ_sｄτ∧ｄｘ_i1∧ｄｘ_i2∧..∧ｄｘ_ik となります。

ここで∑'_s=1^kはｄτ∧ｄｘ_i1∧ｄｘ_i2∧..∧ｄｘ_ikの中からｄｘ_is だけ落とした総和を示しています。

ところで,Jacobi小行列を,Ｊ_{i1 i2．．ik；j1 j2..jk}≡∂(ｙ_i1,ｙ_i2,.,ｙ_ik)/∂(ｘ_j1,ｘ_j2,.,ｘ_jk)と,その分母の変数ｘ_jrの１つをτに置き換えたものも含めたJacobi行列で定義すれば,ｄ(Φ^*ω)＝Φ^*ｄωです。

ただし,Φ^*ｄω＝∑[∂ａ_{i1 i2..ik}(ｙ₁(ｘ),ｙ₂(ｘ),..,ｙ_n(ｘ))/∂ｙ_p]

Ｊ_{i1 i2..ik；j1 j2..jk}(∂ｙ_p/∂ｘ_p)ｄｘ_p∧ｄｘ_j1∧ｄｘ_j2∧..∧ｄｘ_jk 

です。

そこで,ｄω≡0 なら,もちろんΦ^*ｄω＝0 ですね。

したがって,仮定によってｄ(Φ^*ω)＝0 です。

そこでΦ^*ωを外微分したとき,ｄτ∧ｄｘ_i1∧ｄｘ_i2∧..∧ｄｘ_ikの係数も当然ながらゼロでなければならないので,

∂[τ^kａ_i1i2...ik(τｘ₁,τｘ₂,..,τｘ_n)]/∂τ＝∑(－1)^p-1(∂/∂ｘ_ip){∑(－1)^s-1τ^k-1ａ_{i1 i2．．ik}(τｘ₁,τｘ₂,..,τｘ_n)ｘ_s}

となることが必要です。

この両辺をτで 0 から1 まで積分すると,

左辺＝ａ_{i1 i2..ik}(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n),

右辺＝∑(－1)^p-1∫ｄτ(∂/∂ｘ_ip){∑(－1)^s-1τ^k-1ａ_{i1 i2..ik}(τｘ₁,τｘ₂,..,τｘ_n)ｘ_s}　

となります。

こうして,θ≡∑∑'_s=1^k(－1)^s-1∫ｄτ{τ^k-1ａ_{i1 i2..ik}(τｘ₁,τｘ₂,..,τｘ_n)ｘ_s}と置けば,確かに陽にω＝ｄθとなることが示されたわけです。

ここで可縮という条件をどこで使ったか？というと,

τ∈[0,1]としたときに,このあらゆるτに関してａ_{i1 i2..ik}(τｘ₁,τｘ₂,..,τｘ_n)が定義できて,しかもそれが対象領域内に留まることを前提として話をしている,　

というところです。

Poincareの補題とStokesの定理:∫_Cｄω＝∫_∂C ωは,一方から他方が導けるという表裏一体の関係にあるとも思われます。

これらは物理学では星印作用素＝Hodge作用素を使って,ベクトルの法則の微分形を積分形と結びつけるのに役立つ重要な命題ですね。

参考文献；木村利栄,菅野礼司 著「微分形式による解析力学」(吉岡書店)

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                       TOSHI

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