量子力学の交換関係の問題

　久しぶりに問題を出しますが,今回は簡単なのですぐに解答も添えておきます。

　[Ｂ,[Ａ,Ｂ]]＝0 なら[Ａ,ｆ(Ｂ)]＝[Ａ,Ｂ](ｄ/ｄＢ)ｆ(Ｂ)であることを証明せよ。

という問題です。

　解答は以下の通りです。

　まず,ｆ(Ｂ)＝Ｂⁿのときには,(ｄ/ｄＢ)ｆ(Ｂ)＝ｎＢ^n-1ですから,

　[Ａ,Ｂⁿ]＝ｎ[Ａ,Ｂ]Ｂ^n-1となることが簡単にわかります。

　例えばｎ＝2 のとき,[Ａ,Ｂ²]＝ＡＢ²－Ｂ²Ａ＝ＡＢ²－ＢＡＢ＋ＢＡＢ－Ｂ²Ａ＝[Ａ,Ｂ]Ｂ＋Ｂ[Ａ,Ｂ]ですが,[Ｂ,[Ａ,Ｂ]]＝0 なので[Ａ,Ｂ]Ｂ＝Ｂ[Ａ,Ｂ]です。

　故に,[Ａ,Ｂ²]＝2[Ａ,Ｂ]Ｂとなります。

　そこで,ｎ＝ｋに対して[Ａ,Ｂ^k]＝ｋ[Ａ,Ｂ]Ｂ^k-1が成立すると仮定して数学的帰納法で証明します。

　[Ａ,Ｂ^k+1]＝ＡＢ^k+1－Ｂ^k+1Ａ＝ＡＢ・Ｂ^k－ＢＡＢ^k＋ＢＡＢ^k－Ｂ・Ｂ^kＡ

　＝[Ａ,Ｂ]Ｂ^k＋Ｂ[Ａ,Ｂ^k]です。

　これに,[Ａ,Ｂ^k]＝ｋ[Ａ,Ｂ]Ｂ^k-1を代入すると,

　[Ａ,Ｂ^k+1]＝[Ａ,Ｂ]Ｂ^k＋ｋＢ[Ａ,Ｂ]Ｂ^k-1ですが,[Ｂ,[Ａ,Ｂ]]＝0 より,Ｂ[Ａ,Ｂ]＝[Ａ,Ｂ]Ｂですから,

　[Ａ,Ｂ^k+1]＝[Ａ,Ｂ]Ｂ^k＋ｋ[Ａ,Ｂ]Ｂ^k＝(ｋ＋1)[Ａ,Ｂ]Ｂ^k

となります。

　よって,ｎ＝ｋ＋1でも成立するので,帰納法によって

　[Ａ,Ｂⁿ]＝ｎ[Ａ,Ｂ]Ｂ^n-1となることが証明されました。

　このことから,ｆ(Ｂ)がＢの多項式(polymonial)であるときには[Ａ,ｆ(Ｂ)]＝[Ａ,Ｂ](ｄ/ｄＢ)ｆ(Ｂ)が成立することも明らかです。

　そこでｆが解析的であるとして,これをMaclaulin展開してみます。

　すなわち,ｆ(Ｂ)＝∑ａ_nＢⁿ,ａ_n＝[ｄⁿｆ/ｄＢⁿ]_Ｂ＝0/ｎ!と展開します。

　このとき,[Ａ,ｆ(Ｂ)]＝[Ａ,Ｂ]∑ｎａ_nＢ^n-1＝[Ａ,Ｂ](ｄ/ｄＢ)ｆ(Ｂ)となりますから,ｆがＢで展開可能なら[Ａ,ｆ(Ｂ)]＝[Ａ,Ｂ](ｄ/ｄＢ)ｆ(Ｂ)となります。

　ところで,演算子の関数とかその微分というのは何を意味するのでしょうか？

　この問題での関数の意味は,ｘを単なる数の変数としたときのｆ(ｘ)と,その微分式(ｄｆ/ｄｘ)にｘの代わりに形式的に演算子Ｂを代入したものですね。

　一般に級数展開には収束半径:r＞0 が存在しますが,演算子Ｂにノルムを与えるならｆ(Ｂ)＝∑ａ_nＢⁿ は,このノルムが収束半径ｒより小さいなら強収束する,という意味に取れます。

　そしてＢのノルムとしては任意に小さい値を与えることが可能ですから,形式的な公式:[Ａ,ｆ(Ｂ)]＝[Ａ,Ｂ](ｄ/ｄＢ)ｆ(Ｂ)は,

　特異点を除いて無限回微分可能なあらゆる関数ｆに対して成立すると考えてよいと思われます。