ベルヌーイ数とゼータ関数

　前記事の続きです。今日はベルヌーイ数(Bernoulli number)とゼータ関数の関係の一部について述べてみたいと思います。 

　まず,Bernoulli多項式:Ｂ_n(ｘ)というものを定義します。

　"Ｂ_n(ｘ)は∫_x^x+1Ｂ_n(ｙ)ｄｙ＝ｘⁿ が成立する唯一の多項式である。"

　と定義します。

　Bernoulli多項式:Ｂ_n(ｘ)の定義が一意的であることは明らかです。

　このＢ_n(ｘ)が,Ｂ_n(ｘ)＝∑_r=0ⁿ(－1)^r_nＣ_rＢ_rｘ^n-r

＝Ｂ₀ｘⁿ－ｎＢ₁ｘ^n-1＋_nＣ₂Ｂ₂ｘ^n-2－..(－1)^n-1_nＣ_n-1Ｂ_n-1ｘ＋(－1)ⁿＢ_nと書けることは,右辺を直接積分してみればわかります。

　実際,上のＢ_n(ｘ)の表式の右辺の変数ｘをｙに変更し,[ｘ,ｘ＋1]の区間でｙで積分すると,∑_r=0ⁿ(－1)^r_nＣ_rＢ_r[(ｘ＋1)^n+1-r－ｘ^n+1-r]/(ｎ＋1－ｒ)

となります。

これは前記事で得た公式:Ｓ_ｎ(ｘ)＝∑_r=0ⁿ[_nＣ_rＢ_rｘ^n+1-r/(ｎ＋1－ｒ)]において,ｘの代わりに(－ｘ－1),および(－ｘ)をそれぞれ代入したものの差を取って(－1)ⁿ⁺¹を掛けたものに等しいです。

すなわち,∫_x^x+1∑(－1)^r_nＣ_rＢ_rｙ^n-rｄｙ＝(－1)ⁿ[Ｓ_ｎ(－ｘ)－Ｓ_ｎ(－ｘ－1)] です。

Ｓ_ｎ(ｘ)はＳ_n(ｘ＋1)－Ｓ_n(ｘ)＝(ｘ＋１)ⁿを満たすｘの(ｎ＋1)次多項式ですから,この等式のｘを(－ｘ－1)に置き換えると,

(－1)ⁿ[Ｓ_ｎ(－ｘ)－Ｓ_ｎ(－ｘ－1)]＝(－1)ⁿ(－ｘ)ⁿ＝ｘⁿ

を得ます。

したがって,多項式の[ｘ,ｘ＋1]の区間での積分の一意性によって,

Ｂ_n(ｘ)＝∑_r=0ⁿ(－1)^r_nＣ_rＢ_rｘ^n-rが示されたことになります。

これによって,ｔｅ^xt/(ｅ^t－1)＝∑_n=0^∞Ｂ_n(ｘ)ｔⁿ/ｎ!なる恒等式が成立することもわかります。

なぜなら,右辺のｘをｙに変更して[ｘ,ｘ＋1]の区間でｙで積分すると,∫_x^x+1Ｂ_n(ｙ)ｄｙ＝ｘⁿによって∑_n=0^∞ｘⁿｔⁿ/ｎ!＝ｅ^xtとなりますが,

左辺を同じようにして積分するとｅ^xtとなりますから,両辺が共にｘで何回でも連続微分可能なため,両辺が等しいことは明らかです。 

また,明らかにＢ_n(0)＝(－1)ⁿＢ_nです。

ｔｅ^xt/(ｅ^t－1)＝∑_n=0^∞Ｂ_n(ｘ)ｔⁿ/ｎ!においてｘ＝1とおくことにより,Ｂ_n(1)＝Ｂ_nもわかります。

ｎが１以外の奇数ならＢ_n＝0 なので,Ｂ_n(0)＝(－1)ⁿＢ_nより,

Ｂ_n(0)＝Ｂ_n(1)＝Ｂ_n(ｎ≧2)が成立します。

そして,∫_x^x+1Ｂ_n(ｙ)ｄｙ＝ｘⁿをｘで微分すると,

Ｂ_n(ｘ＋1)－Ｂ_n(ｘ)＝ｎｘ^n-1ですから,∫_x^x+1[Ｂ_n'(ｙ)/ｎ]ｄｙ＝ｘ^n-1

より,Ｂ_n'(ｘ)＝ｎＢ_n-1(ｘ)も成り立ちます。 

ここで,唐突ですが,ａ,ｂをａ≦ｂなる任意の整数としＭを任意の自然数とすると,区間[ａ,ｂ]でＣ^M級の任意関数ｆ(ｘ)に対して,

∑_a^bｆ(ｎ)

＝∫_a^bｆ(ｘ)ｄｘ＋{ｆ(ａ)＋ｆ(ｂ)}/2＋∑_k=1^M-1[Ｂ_k+1{ｆ^(k)(ｂ)－ｆ^(k)(ａ)}/(ｋ＋1)!]－{(－1)^M/Ｍ!}∫_a^bＢ_M(ｘ－[ｘ])ｆ^(M)(ｘ)ｄｘ

なる公式が成立します。

ただし,Ｍ＝1のときには右辺の∑の項はゼロであると規約します。

これを証明するため,区間 [0,1]においてＣ^M 級の任意関数ｇ(ｘ)と,

Ｂ₁(ｘ)＝(ｘ－1/2)なる関係式を用います。

すなわち,∫₀¹ｇ(ｘ)ｄｘ＝∫₀¹Ｂ₁'(ｘ)ｇ(ｘ)ｄｘ＝{ｇ(1)＋ｇ(0)}/2－∫₀¹Ｂ₁(ｘ)ｇ'(ｘ)ｄｘなる等式が成立することを利用します。

Ｂ_k'(ｘ)＝Ｂ_k+1(ｘ)/(ｋ＋1)を用いて部分積分を繰り返せば,

∫₀¹ｇ(ｘ)ｄｘ

＝{ｇ(1)＋ｇ(0)}/2－(1/2)[Ｂ₂(ｘ)ｇ'(ｘ)] ₀¹

　＋(1/2)∫₀¹Ｂ₂(ｘ)ｇ”(ｘ)ｄｘ

＝...　　

＝{ｇ(1)＋ｇ(0)}/2＋∑₁^M-1{(－1)^k/(ｋ＋1)!}[Ｂ_k+1(ｘ)ｇ^(k)(ｘ)] ₀¹＋{(－1)^M/Ｍ!}∫₀¹Ｂ_M(ｘ)ｇ^(M)(ｘ)ｄｘ

を得ます。

ここで,ｋ≧2 ではＢ_k(0)＝Ｂ_k(1)＝Ｂ_kであり,(－1)^kＢ_k＝Ｂ_k でもあるのでこれらの置き換えをします。

結局,{ｇ(1)＋ｇ(0)}/2

＝∫₀¹ｇ(ｘ)ｄｘ－∑_k=1^M-1{Ｂ_k+1/(ｋ＋1)!}{ｇ^(k)(1)－ｇ^(k)(0)}－{(－1)^M/Ｍ!}∫₀¹Ｂ_M(ｘ)ｇ^(M)(ｘ)ｄｘ が得られます。

そして,ｇ(ｘ)≡ｆ(ｘ＋ｎ)(ａ≦ｎ≦ｂ－1)として右辺最後の項の[0,1]での積分変数ｘをｘ＋ｎに置き換えます。

ｎ≦ｘ＜ｎ＋1に対しｎ＝[ｘ]ですから,書き直して,

{ｆ(ｎ＋1)＋ｆ(ｎ)}/2

＝∫_nⁿ⁺¹ｆ(ｘ)ｄｘ＋∑_k=1^M-1{Ｂ_k+1/(ｋ＋1)!}{ｆ^(k)(ｎ＋1)－ｆ^(k)(ｎ)}－{(－1)^M/Ｍ!}∫_nⁿ⁺¹Ｂ_M(ｘ－[ｘ])ｆ^(M)(ｘ)ｄｘ

となります。

上に得られた式をｎ＝ａからｎ＝ｂ－1まで加え合わせた後に,両辺に{ｆ(ａ)＋ｆ(ｂ)}/2を加えることにより,

∑_a^bｆ(ｎ)

＝∫_a^bｆ(ｘ)ｄｘ＋{ｆ(ａ)＋ｆ(ｂ)}/2＋∑₁^M-1[Ｂ_k+1{ｆ^(k)(ｂ)

－ｆ^(k)(ａ)}/(ｋ＋1)!]－{(－1)^M/Ｍ!}∫_a^bＢ_M(ｘ－[ｘ])ｆ^(M)(ｘ)ｄｘ

が証明されました。

この公式は,Euler-Maclaurinの和公式と呼ばれています。

では,これをRiemannのゼータ関数に適用してみましょう。

まず,∑_n=1^∞(1/ｎ^s)の有限和:∑_n=1^N(1/ｎ^s)を考えることにして,

ｆ(ｘ)≡ｘ^-sと定義します。

このとき,ｆ^(k)(ｘ)＝(－ｓ)(－ｓ－1)..(－ｓ－ｋ＋1)ｘ^-s-k

＝(－1)^k(ｓ)_kｘ^-s-k です。

ここで,記号:(ｓ)_k≡ｓ(ｓ＋1)..(ｓ＋ｋ－1) を用いました。

ただし,ｋ＝0 では(ｓ)_k≡0 と規約します。

ａ＝1,ｂ＝ＮとしてEuler-Maclaulinの和公式を使うと,

ｓ≠1なら,∑_n=1^N(1/ｎ^s)

＝(1－1/Ｎ^s-1)/(ｓ－1)＋(1/2)(1＋1/Ｎ^s)＋∑_k=1^M-1[Ｂ_k+1/(ｋ＋1)!](ｓ)_k(1－1/Ｎ^s+k)－{(ｓ)_M/Ｍ!}∫₁^NＢ_M(ｘ－[ｘ])ｘ^-s-Mｄｘ

が得られます。

Riemannのゼータ関数は,まず,Re(ｓ)＞1なる複素数ｓに対し,

ζ(ｓ)≡∑_n=1^∞(1/ｎ^s) と定義されます。

この範囲では左辺も右辺もＮ→∞で絶対収束するので,Ｎ→∞の極限でも等式として正しく成立します。

そこで,このEuler^Maclaurinの和公式で,Ｎ→∞の極限を取ると,

ζ(ｓ)＝∑_n=1^∞(1/ｎ^s)＝1/(ｓ－1)＋1/2＋∑_k=1^M-1[Ｂ_k+1/(ｋ＋1)!](ｓ)_k－{(ｓ)_M/Ｍ!}∫₁^∞Ｂ_M(ｘ－[ｘ])ｘ^-s-Mｄｘ

となります。

Re(ｓ)＞1ではζ(ｓ)≡∑_n=1^∞(1/ｎ^s)なので,最左辺で∑_n=1^N(1/ｎ^s)のＮ→∞の極限をζ(ｓ)と表現しましたが,Re(ｓ)＞1以外では∑_n=1^N(1/ｎ^s)は有限値に収束しないので,この等式は成立しません。

しかし,最右辺の積分は,Re(ｓ)＞1だけでなくRe(ｓ)＞1－Ｍ の範囲でも絶対収束するので,右辺の和公式によりゼータ関数ζ(ｓ)を定義し直すことによって,自然にRe(ｓ)＞1－Ｍ の範囲に解析接続されると考えます。

Ｍは任意の自然数ですから,結局,ζ(ｓ)はｓ＝１に特異点(１位の極)を持つだけで,それを除く全複素ｓ平面に解析接続されます。

ここで,ｍを任意の自然数とし,ζ(ｓ)のｓをｓ＝1－ｍとおいてＭ＝ｍとすれば,(1－ｍ)_M＝0 ですから右辺の積分項は消えてζ(1－ｍ)は次のようになります。

ζ(1－ｍ)＝－1/ｍ＋1/2＋∑_k=1^m-1[Ｂ_k+1/(ｋ＋1)!](1－ｍ)(2－ｍ)..(ｋ－ｍ)と書くことができます。

ｍ＝1なら,ζ(0)＝－1＋1/2＝－1/2＝－Ｂ₁です。

そこで,ｍ≧2とすると,

(1－ｍ)(2－ｍ)...(ｋ－ｍ)＝(－1)^kｋ!_m-1Ｃ_kですから,

∑₁^m-1[Ｂ_k+1/(ｋ＋1)!](1－ｍ)(2－ｍ)...(ｋ－ｍ)

＝∑_k=1^m-1[(－1)^kＢ_k+1/(ｋ＋1)] _m-1Ｃ_k＝(1/ｍ)∑_k=1^m-1(－1)^k _mＣ_k+1Ｂ_k+1

＝－(1/ｍ)∑_k=2^m _mＣ_kＢ_k＝－(1/ｍ)∑_k=0^m—1_mＣ_kＢ_k＋1/ｍ＋1/2－Ｂ_m/ｍ

＝－1＋1/ｍ＋1/2－Ｂ_m/ｍ

となります。

よって,いずれにしてもζ(1－ｍ)＝－Ｂ_m/ｍが成立するという美しい結果が得られました。

特に,ζ(0)＝1＋1＋1＋...＋1＝－1/2 なる形式的,象徴的な等式も得られ,ｍが 3 以上の奇数ならζ(1－ｍ)＝0 ということも示されたため,

ｓ＝－2,－4,－6...がζ(s)の零点であることもわかったことに満足して,今日はここまでにしておきます。

それにしても,"参考文献：荒川恒男・伊吹山知義・金子昌信 著「ベルヌーイ数とゼータ関数」(牧野書店)"は読み返してみるとまた新しい驚きを覚えました。

この種のマニアックな本としては秀逸ですね。

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                       TOSHI

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