数列の和とベルヌーイ多項式

　今思い返してみると,Bernoulli多項式を利用すればべき乗数列の和の公式の導出は非常に簡単でしたね。

　Bernoulli多項式Ｂ_n(ｘ)に対しては,Ｂ_n(ｘ＋1)－Ｂ_n(ｘ)＝ｎｘ^n-1が成立します。

　そこで,ｘ^j＝{Ｂ_j+1(ｘ＋1)－Ｂ_j+1(ｘ)}/(ｊ＋1)となり,したがって∑_k=1ⁿｋ^j＝{Ｂ_j+1(ｎ＋1)－Ｂ_j+1}/(ｊ＋1)と書けることが直ちにわかります。

　そして,∫_x^x+1Ｂ_n(1－ｙ)ｄｙ＝(－ｘ)ⁿより,Ｂ_n(1－ｘ)＝(－1)ⁿＢ_n(ｘ)です。

　それ故,Ｂ_j+1(ｎ＋1)＝(－1)^j+1Ｂ_j+1(－ｎ)＝(－1)^j+1∑_r=0^j+1(－1)^r_j+1Ｃ_rＢ_r(－ｎ)^j+1-r＝∑_r=0^j+1_j+1Ｃ_rＢ_rｎ^j+1-r＝∑_r=0^j+1_j+1Ｃ_rＢ_rｎ^j+1-rとなります。

　そこで,直接∑_k=1ⁿｋ^j＝∑_r=0^j[_j+1Ｃ_rＢ_rｎ^j+1-r/(ｊ＋1)]＝∑_r=0^j[_jＣ_rＢ_rｎ^j+1-r/(ｊ＋1－ｒ)]から,Bernoulli数による数列の和(べき乗数列の和)の公式は簡単に導出できることがわかります。

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                       TOSHI 

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