高密度状態での陽子の中性子化(2)

前記事の続きです。

簡単のために水素原子を考えます。水素原子の半径はほぼボーア半径:ａ_B＝ｈ_c²/(ｍ_eｅ²)＝0.53×10^-8cmで与えられます。

ここで,ｈ_c≡ｈ/(2π),ｈはPlanck定数でｍ_eは電子の(換算)質量です。

原子が密着して配列しているなら水素原子の密度:ρ_Hはρ_H＝ｍ_H/(4πａ_B³/3)で与えられますが,この密度以上に物質が圧縮されると原子がバラバラに配列している状態から外れて,とても高密度な状態にあるといえます。

ただしｍ_H は水素原子の質量です。

例えば,原子が半径ａの空間に圧縮されれば,電子の陽子との間に働く静電エネルギーはc.g.s単位でＥ_e＝ｅ²/ａです。

一方,不確定性関係:ΔｐΔｘ～ｈ_cより,半径ａの空間に閉じ込められた電子は(ｈ_c/ａ)程度の運動量を持ち,そこでＥ_k＝ｈ_c²/(2ｍ_eａ²)程度の運動エネルギーで運動しています。

このエネルギーは,密度:ｎ～1/ａ³の縮退エネルギー,

つまりFermiエネルギー:ε_F＝ｐ_F²/(2ｍ_e)

＝[{3/(4πｇｈ³)}^}1/3ｎ^1/3]²/(2ｍ_e)

＝(3π²)^}2/3ｈ_c²/(2ｍ_eａ²) と同程度です。

ちなみに,ρ_H＝ｍ_H/(4πａ_B²/3)の密度では,

Ｅ_k/Ｅ_e＝{ｈ_c²/(2ｍ_eｅ²)}/ａ_B＝1/2～1なので,

Ｅ_kとＥ_eは同じオーダーになります。

しかし,ａが小さくなるとＥ_k/Ｅ_e＝ａ_B/(2ａ)は大きくなります。

やがて電子のエネルギーＥ_k＝ｈ_c²/(2ｍ_eａ²)が大きくなって,陽子の束縛をはずれて自由に飛び回るようになります。

これを圧力電離(pressure ionization)といいます。

電離された電子は密度が大きくなるにつれて静電相互作用を無視して一様密度の自由粒子の気体のように挙動するようになります。

一方,陽子の量子的運動エネルギーをＥ_K とし,その陽子同士の静電エネルギーをＥ_pと書くとＥ_K/Ｅ_p＝{ａ_B/(2ａ)}(ｍ_e/ｍ_p)です。

ｍ_pは陽子の質量です。

Ｅ_KがＥ_pより大きくなるのは電子の場合と比べて,ａが(ｍ_e/ｍ_p)倍まで小さくなったとき,密度にして10¹⁰倍大きくなったときです。

したがって,その密度が達成されるまでは陽子は静電エネルギーが最小となるような配列で規則正しく並ぶことになります。

しかし,温度Ｔがゼロ近傍の低温ではなく十分高温になり,ｋ_BＴ＞ｈ_c²/(2ｍ_pａ²)となった場合,Ｅ_Kは縮退エネルギーである量子的運動エネルギーよりも,主として熱運動エネルギーで与えられることになります。

そこで,このときはＥ_pとＥ_Kの比Γは,Γ＝Ｅ_p/Ｅ_K ～ ｅ²/(ａｋ_BＴ)となります。

そしてΓ＞1なら陽子は規則正しく結晶状に配列すると予想されます。

陽子ではなく,質量数がＡで電荷がＺのイオンなら密度はρ＝Ａｍ_pｎなのでΓ～ (Ｚｅ²)/(ａｋ_BＴ)＝2.27×10⁶(Ｚ²/Ａ^1/3){ρ(kg/ｍ³)}^1/3/Ｔ

です。

コンピュータによる結晶化の仮想数値実験によると,Γ～1では局所的に秩序のある液体状態を保っていますが,Γが50～170程度になるとはじめて結晶化するらしいです。

つまり,結晶化が崩れる温度は,大体Ｔ＞2.3×10⁴(100/Γ)(Ｚ²/Ａ^1/3){ρ(kg/ｍ³)}^1/3Ｋであることになります。

これら圧力電離が生じ始めるのは,ρ＜2×10⁹ kg/ｍ³程度の高密度状態ですが,これ以上の高密度状態になると陽子の中性子化が起きます。

中性子と陽子の質量差は,Ｑ＝(ｍ_n－ｍ_p)ｃ²＝1.29 MeVで中性子の方が陽子より重いので通常は陽子のほうが安定で中性子が陽子に崩壊します。

これが弱い相互作用によるベータ崩壊(β-decay)です。

当然のことですが自然の崩壊現象というのは重い粒子が軽い粒子に崩壊するものです。逆反応は自然には有り得ません。

しかし,Ｑ＝(ｍ_n－ｍ_p)ｃ²＝1.29MeVよりも大きいエネルギーを持つ電子を陽子に照射すればベータ崩壊の逆反応である陽子による電子捕獲(electron capture):ｐ＋ｅ^-→ｎ＋ν_eなる反応が起こります。

物質密度が非常に高くなり,ａが小さくなって電子の縮退エネルギー＝"絶対温度Ｔで電子の取り得る上限のエネルギー"ε_F＝(3π²)^}2/3ｈ_c²/(2ｍ_eａ²)が,この捕獲反応を起こすほど大きくなると,陽子は電子を吸収しどんどん中性子化してゆきます。

今,簡単のためにＴ＝0 として陽子,電子,中性子のみから成る気体を仮想して平衡状態における組成を検討してみましょう。

高密度状態で先に述べた電子捕獲の反応が起こって,ベータ崩壊と平衡状態に達するとします。

温度一定:ｄＴ＝0 ,密度一定:ｄＶ＝0 のときは平衡になる条件はHelmholtzの自由エネルギーＦ≡Ｕ－ＴＳが極小になることです。

粒子を通さない壁で仕切られた２つの異なる系があって,２つの系のうち系２は十分大きい熱浴であるとして,これらが平衡にごく近い状態にあるとすると,Ｔ₁＝Ｔ₂＝Ｔ,Ｐ₁＝Ｐ₂＝Ｐです。

２つの系全体では孤立系なので,反応は総エントロピーＳ＝Ｓ₁＋Ｓ₂が増加する方向,すなわちｄＳ₁＋ｄＳ₂≧0 の方向に進むはずです。

ところが,反応の前後で全エネルギーも全体積も保存するはずですから,ｄＵ₁＝－ｄＵ₂,ｄＶ₁＝－ｄＶ₂です。

したがって,ｄＳ₂＝(ｄＵ₂＋ＰｄＶ₂)/Ｔ＝－(ｄＵ₁＋ＰｄＶ₁)/Ｔなので,反応が進む条件は,ｄＳ₁－(ｄＵ₁＋ＰｄＶ₁)/Ｔ≧0 となります。

熱浴ではない系１の反応だけに着目して,添字１をはずすとｄＳ－(ｄＵ＋ＰｄＶ)/Ｔ≧0 です。ｄＴ＝0,ｄＶ＝0ではＰｄＶ＝0 なので,この条件はｄ(ＴＳ－Ｕ)/Ｔ＝－ｄＦ/Ｔ≧0,つまりｄＦ≦0 になります。

それ故に,平衡の条件はHelmholtzの自由エネルギー:Ｆ≡Ｕ－ＴＳが極小であることになるわけです。

そして,今はＴ＝0 の場合を考えているので,Ｆ＝Ｕですから平衡になる条件は内部エネルギーＵが極小になることです。

そして体積が一定ｄＶ＝0 の条件では,これは内部エネルギー密度Ｅ＝Ｕ/Ｖが極小になることと同じことですね。

ｐ＋ｅ^-→ｎ＋ν_eの反応で発生した電子ニュートリノ:ν_eは物質との相互作用が極端に小さく何でも通り抜けてしまうため,これは高密度領域からすぐに逃げてしまうと考えられるので,これの効果は無視することにします。

核子の数密度：ｎ_Bの保存と電荷の保存から陽子,電子,中性子の数密度を,それぞれｎ_p,ｎ_e,ｎ_nとすると,ｎ_p＋ｎ_n＝ｎ_B かつｎ_p＝ｎ_eが成立するので,与えられた一定のｎ_Bに対してｎ_nが与えられれば全ての組成は決まってしまいます。

そして陽子,中性子,電子のそれぞれについて質量を除いた内部エネルギーの密度をＥ＝Ｕ/Ｖとすると,全エネルギー密度ξはξ＝ｎｍｃ²＋Ｅで与えられます。

系全体のエネルギー密度はξ＝ξ_n＋ξ_p＋ξ_eです。

そして先に述べた平衡の条件は相対論まで含めれば質量のエネルギーと運動エネルギーを加えた広い意味での内部エネルギーが極小になる条件ですから,結局ξが極小になるという条件に同等です。

そこで平衡になるときの組成を得るためには,ｎ_n の変化に対してξが極小になる条件を求めればいいことになります。

すなわち,ｄξ/ｄｎ_n＝ｄξ_n/ｄｎ_n＋ｄξ_p/ｄｎ_n＋ｄξ_e/ｄｎ_n＝ｄξ_n/ｄｎ_n－ｄξ_p/ｄｎ_p－ｄξ_e/ｄｎ_e＝0 です。

ｄｎ＝(ｇ/ｈ³)ｐ_F²ｄｐ_F,ｄＥ＝(ｇ/ｈ³)ｄ[∫₀^ｐFεｐ²ｄｐ]により,ｄＥ/ｄｎ＝ｐ_F^-2(ｄ/ｄｐ_F)[∫₀^ｐFεｐ²ｄｐ]＝ε_Fなのでｄξ_i/ｄｎ_i＝ε_Fi＋ｍ_iｃ² (ｉ＝ｎ,ｐ,ｅ)となります。

したがって,平衡の条件はε_Fn＋ｍ_nｃ²＝ε_Fp＋ｍ_pｃ²＋ε_Fe＋ｍ_eｃ²,すなわち,(ｐ_Fn²＋ｍ_n²ｃ²)^1/2＝(ｐ_Fp²＋ｍ_p²ｃ²)^1/2＋(ｐ_Fe²＋ｍ_e²ｃ²)^1/2となります。

次はこの式からｎ_p＝ｎ_eによってｐ_Fp＝ｐ_Feであることに注意しながら(ｐ_Fp/ｐ_Fn)²を解くことを考えればよいことになります。

具体的な計算は煩雑なので省略して結果だけを書くと,(ｐ_Fp/ｐ_Fn)²＝[1＋(4Ｑｍ_n/ｐ_Fn²)＋4(Ｑ²－ｍ_e²ｃ⁴)ｍ_n²/ｐ_Fn⁴]/[4{1＋(ｍ_nｃ/ｐ_Fn)²}]が得られます。

なお,この結果式においてはｍ_p＝ｍ_nとし,ｍ_pはｍ_nで置き換えています。

ｎ_p/ｎ_n＝(ｐ_Fp/ｐ_Fn)³ですが,ρ_c≡ｍ_n⁴ｃ³/(3π²ｈ_c³)≒6.11×10¹⁸ kg/ｍ³とおけば,ｍ_nｃ/ｐ_Fn＝(ρ_c/ｍ_nｎ_n)^1/3となります。

そこで,ｎ_p/ｎ_n

＝(1/8)[(1＋{4Ｑ/(ｍ_nｃ²)}(ρ_c/ｍ_nｎ_n)^2/3＋{4(Ｑ²－ｍ_e²ｃ⁴)/(ｍ_n²ｃ⁴)}(ρ_c/ｍ_nｎ_n)^4/3)/(4{1＋(ρ_c/ｍ_nｎ_n)^2/3})]^3/2

が得られます。

右辺をｍ_nｎ_nで微分することにより,ｎ_p/ｎ_nはｎ_nの増加と共に大体において減少するが,ある値を境にして増加に転ずることがわかります。

(ｎ_p/ｎ_n)は,ｍ_nｎ_n～ 1.27×10^-4ρ_c＝7.74×10¹⁴ kg/ｍ³のとき

最小値:(ｎ_p/ｎ_n)_min～[{Ｑ＋(Ｑ²－ｍ_e²ｃ⁴)^1/2}/(ｍ_nｃ²)]^3/2

≒1.34×10^-4を取ります。　

　ｍ_nｎ_n＞＞ρ_cになると,極限値1/8に近づいていきます。

いずれにしても,圧縮されて密度が高くなると陽子はそのほとんどが中性子に変わり中性子の割合が大きくなります。

そして,中性子が崩壊しようにも,常にある量の電子が存在するため,崩壊によって生成される電子や陽子のエネルギー状態は既に占拠されているので中性子の崩壊が妨げられ,そのため不安定な粒子である中性子が安定に存在していると考えられます。

ただし,上述の議論は陽子,電子,中性子の系を理想気体と仮定した前提で得られたものです。

実際には高密度物質はこの理想化からは程遠い状態にあります。

しかも,核子は相互作用の無視できる自由運動をするわけではなく原子核の状態で存在します。

たとえ,そうでなくても核力によって強く相互作用するわけですから,核力の影響を無視できないことになります。

これらを考慮した話は中性子星を中心とした話になりますが,これについては機会があったらまた記事にしてみたいと思います。

参考文献；佐藤文隆 原 哲也 著「宇宙物理学」(朝倉書店)

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                  TOSHI 

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