結晶内での弾性波(地震波)

　今日は等方的とは限らない一般の結晶内での弾性波,特に地震波について考察してみます。

弾性体の密度をρ,応力テンソルを{σ_jk},それを構成する部分の局所的速度をｕ＝{ｕ_j}とすると,この弾性体が従うべき運動方程式は流体方程式と同じくρｄ²ｕ_j/ｄｔ²＝∂σ_jk/∂ｘ_kで与えられます。

そして,歪み速度テンソル{ｕ_jk}をｕ_jk≡(∂ｕ_j/∂ｘ_k＋∂ｕ_k/∂ｘ_j)/2で定義すれば,これは{σ_jk}と同じく反対称の単なる回転を除いた対称テンソルです。これは６個の独立成分を持ちます。

微小変位に対しては適切な線形弾性体近似では,Hookeの法則:

σ_jk＝Ｃ_jklmｕ_lmが成立するため,先の運動方程式は,

ρｄ²ｕ_j/ｄｔ²＝Ｃ_jklm(∂²ｕ_m/∂ｘ_k∂ｘ_l)となります。

Ｃ_jklmは,一般に81個の成分を持ちますが,{σ_jk}も{ｕ_jk}も対称テンソルなのでｊとｋ,ｌとｍについて対称ですから,独立成分は６×６＝36個となります。

また,歪みエネルギーＷはΔＷ＝σ_jkΔｕ_jkから求まり,対称２次形式Ｗ＝(1/2)Ｃ_jklmｕ_jkｕ_lmになるので,Ｃ_jklmはｊ,ｋとｌ,ｍの交換についても対称であり,結局,その独立成分は(30/2)＋6＝21個となります。

この方程式の平面波の解をｕ_j＝ｕ_0jexp[i(ｋｒ－ωｔ)]として代入すると,ρω²ｕ_j＝Ｃ_jklmｋ_kｋ_lｕ_mとなります。

これは書き直すと(ρω²δ_jm－Ｃ_jklmｋ_kｋ_l)ｕ_m＝0 とも書けます。

この１次方程式が自明でない解を持つためには,３行３列の行列係数:(ρω²δ_jm－Ｃ_jklmｋ_kｋ_l) (ｊ,ｍ＝1,2,3)の行列式がゼロ,

すなわち,det(ρω²δ_jm－Ｃ_jklmｋ_kｋ_l)＝0 が成立する必要があります。

そして,ω²を未知数としてこの方程式を解けば,ω²の３個の解が得られ,それらはｋの関数となります。

ところで,もしも結晶が等方性弾性体であれば,歪みエネルギー:

Ｗ＝(1/2)Ｃ_jklmｕ_jkｕ_lmは,座標系の回転に対して不変なスカラーであるはずですが,ｕ_jkの２次形式の形で得られる独立な不変スカラーはｕ_kk²とｕ_jkｕ_jkのみです。

そこで,適当な係数λ,μを選んでＷ＝(1/2)λｕ_kk²＋μｕ_jkｕ_jkと書けるはずです。

そこで,応力テンソル{σ_jk}＝{Ｃ_jklmｕ_lm}は,σ_jk＝λｕ_llδjk＋2μｕ_jkと書けます。ここに弾性定数λ,μはLameの定数と呼ばれています。

このときには,運動方程式も,　　

ρｄ²ｕ/ｄｔ²＝(λ＋μ)∇(∇ｕ)＋μ∇²ｕ　　

と簡単になります。

先に挙げた１次方程式の係数の行列要素は,

ρω²δ_jm－Ｃ_jklmｋ_kｋ_l＝(ρω²－μｋ²)δ_jm－(λ＋μ)ｋ_jｋ_m

となります。

ｋの向きをｘ軸の正の向きに取ると,ｋ₁＝ｋ＝|ｋ|,ｋ₂＝ｋ₃＝0 ですから,行列[(ρω²－μｋ²)δ_jm＋(λ＋μ)ｋ_jｋ_m]は対角成分が[ρω²－(λ＋2μ)ｋ²]と２つの(ρω²－μｋ²)の対角行列になります。

したがって,det(ρω²δ_jm－Ｃ_jklmｋ_kｋ_l)＝0 の解は,

Ｖ_P²≡(ω_P/ｋ)²＝(λ＋2μ)/ρ,Ｖ_S²≡(ω_S/ｋ)²＝μ/ρ

となります。

それぞれの速度に対応する平面波は,速度Ｖ_Pで伝播する波の伝播方向への振動である"縦波＝Ｐ波"と,速度Ｖ_Sで伝播する波の伝播方向に垂直な方向の振動である"横波＝Ｓ波"です。

しかし,もしも異方性の弾性体の場合ならω＞0 の３つの解ω(ｋ)はｋの関数として１次の同次式ではあっても,単なる１次関数とは限らず,弾性波は一般に分散性の波であると思われます。

そこで,伝播速度は"単一波の速度＝位相速度"ではなく,群速度Ｖ＝∂ω/∂ｋで与えられると考えられます。

ところで,σ_jkやｕ_jkを[σ]＝^t(σ₁₁,σ₂₂,σ₃₃,σ₂₃,σ₃₁,σ₁₂)のように,６次元の列ベクトルで表わすVogitの表記という表記法があります。

この表記で表現すると,Hookeの法則は[σ]＝Ｃ[ｕ]と簡単になります。

ここでＣは６行６列のテンソル行列です。

また,このとき,特に結晶が等方性弾性体なら,

Ｃの成分のうちで独立なのはやはり２つだけです。

先に述べたLameの定数はλ＝Ｃ₁₂,およびμ＝Ｃ₄₄＝(Ｃ₁₁－Ｃ₁₂)/2 と表わされます。

例えば結晶が立方体構造をしている立方晶系では独立成分は３つです。

つまり,Ｃ₁₁＝Ｃ₂₂＝Ｃ₃₃,Ｃ₁₂＝Ｃ₂₃＝Ｃ₃₁,かつ４～６行の成分は４～６列しか成分のない対角行列であって,Ｃ₄₄＝Ｃ₅₅＝Ｃ₆₆です。

結局,この結晶構造を示すにはＣ₁₁とＣ₁₂とＣ₄₄の３つだけあれば十分である,ということになります。

この条件では,ｘ軸をｋの向きに取り,先のdet(ρω²δ_jm－Ｃ_jklmｋ_kｋ_l)＝ 0 はＣ_jklmをボイトの表記でＣを表わせば,ξ＝(ω/ｋ)²,ａ＝Ｃ₁₁/ρ,ｂ＝Ｃ₄₄/ρ,c＝Ｃ₁₂/ρとして,(ξ－ａ)(ξ－ｂ)²＝0 です。

この解はξ＝ａ,ｂとなります。

つまり速度をＶ_P,Ｖ_Sとすると,Ｖ_P²＝Ｃ₁₁/ρとＶ_S²＝Ｃ₄₄/ρの２つの速度が得られます。

これは等方性弾性体でのＣ₄₄＝μ,Ｃ₁₁＝λ＋2μのケースと一致します。

一方,六方晶系ではＣ₁₁＝Ｃ₂₂で,Ｃ₁₃＝Ｃ₂₃,また４～６は対角行列でＣ₄₄＝Ｃ₅₅,Ｃ₆₆＝(Ｃ₁₁－Ｃ₁₂)/2です。

故に,結局のところ,Ｃ₁₁,Ｃ₁₂,Ｃ₁₃,Ｃ₃₃,Ｃ₄₄の５つだけがあれば十分となります。

結果だけ書くと,Ｖ_P²＝Ｃ₁₁/ρ,およびＶ_S²＝Ｃ₄₄/ρ,(Ｃ₁₁－Ｃ₁₂)/(2ρ)となり,"横波＝Ｓ波"には２つの速度があるので地震の観測ではＳ波の方に二重の波が観測されると予測されます。

ただし,異方性の結晶では一般に波は完全にＳ波とＰ波になるように行列が対角形になるとは限らないので,これらの計算においては偶々波の進行方向が結晶の対称軸と一致したり直交していたりする特別なケースだけしか扱っていません。

一般的な扱いについては,暇があってその気になればまた記事にするかもしれません。

参考文献；ランダウ＝リフシッツ 著「弾性理論」(東京図書),角谷典彦 著「連続体力学」(共立出版)

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                  TOSHI

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