星の重力平衡とエネルギーの流れ

　星(恒星)は重力によって束縛されたガスの塊りで,その表面から核融合などの反応で得られたエネルギーを放出しています。

　こうしたメカニズムの一端を述べてみようと思います。

　まず,今日は球対称な星の重力平衡の話から始めます。 

　中心から半径がｒ,ｒ＋ｄｒにおける圧力をＰ,Ｐ＋ｄＰとすると,この圧力差によってｒとｒ＋ｄｒの間のガスはｒの増加する向きに単位面積当たり－ｄＰの力を受けます。

　一方,同じ領域のガスはｒの内側の質量Ｍ(ｒ)による重力で中心に向かって引き付けられています。

　　　

　そこで,万有引力定数をＧ,半径ｒの位置の密度をρ(ｒ)とすると,重力平衡の条件＝釣り合いの条件は,－ｄＰΔＳ＝{ＧＭ(ｒ)ρ(ｒ)ΔＶ/ｒ²}

　＝{ＧＭ(ｒ)ρ(ｒ)/ｒ²}ΔＳｄｒ で与えられます。

　つまり－ｄＰ/ｄｒ＝ＧＭ(ｒ)ρ(ｒ)/ｒ² です。

　また,Ｍ(ｒ)はＭ(ｒ)＝4π∫₀^rｒ²ρ(ｒ)ｄｒと書くことができます。

　他方,Ｐとρは一般に温度Ｔや組成の平均分子量μなどから決まる,ある気体の状態方程式:Ｐ＝Ｐ(ρ,Ｔ,μ)を満足するはずです。

　このため,温度Ｔを決定する関係式が必要となります。

　そのためには星の内部でのエネルギーの流れを考える必要があります。

　星の内部の点でのガスのエネルギー密度をＥ,そこでのエネルギー流束をＦとし,εを単位質量当たりの星によるエネルギー発生率とすると,エネルギー保存の方程式は,∂Ｅ/∂ｔ＋∇Ｆ＝ρεで与えられます。

　そこで,Ｌ(ｒ)を半径ｒの球面を単位時間に横切るエネルギーの総量とすると,Ｌ(ｒ)＝4πｒ²Ｆ_rですから,ｄＬ/ｄｒ＝4πｄ(ｒ²Ｆ_r)/ｄｒ

　＝4πｒ²∇Ｆ＝4πｒ²(－∂Ｅ/∂ｔ＋ρε)です。

　Ｆ_rはＦのｒ方向の成分です。

　平衡状態では,∂Ｅ/∂ｔ＝0 ですから,エネルギー保存の方程式は,

　ｄＬ(ｒ)/ｄｒ＝4πｒ²ρεとなります。

　一方,Ｌ(ｒ)＝4πｒ²Ｆ_rにおいて,一般にＦ＝－λ∇Ｔにより,

　Ｆ_r＝－λ(ｄＴ/ｄｒ)ですからｄＴ/ｄｒ＝－(1/λ){Ｌ(ｒ)/(4πｒ²)}

　を得ます。

　ａをStefan-Boltzmannの法則Ｅ＝ａＴ⁴における係数とし,ｃを光速,κを吸収係数とすれば,輻射平衡の場合の熱拡散係数λは,λ＝4ａｃＴ³/(3κρ)なる式で与えられます。

　ここで,理論的にλ＝4ａｃＴ³/(3κρ)なる式が成立することを証明しておきます。 

　Ｉを光の強度(単位時間当たりに単位面積を通過する単位立体角当たりの光のエネルギー)とすると,エネルギー流束はＦ＝∫ＩcosθｄΩ＝πＩで与えられます。

　そして,熱平衡で完全黒体のときにはＩ＝Ｊ≡ａｃＴ⁴/(4π)です。

　光の強度Ｉとエネルギーの流束Ｆの違いは,あらゆる方向から直進してきた強度Ｉの光がその断面積をあらゆる方向に通過するのに対し,

　流束Ｆの方は,その断面に垂直な成分のみを総和したという意味になっているということです。

　振動数がνの光の流束と光の強度をＦ_ν,Ｉ_νとすると,

　Ｆ＝∫Ｆ_νｄν,Ｉ＝∫Ｉ_νｄνです。

　それに対応して平衡状態での理想的な黒体輻射の法則を,

　Ｊ＝∫Ｊ_νｄνと書いておきます。

ある物質の距離ｄｓを通過する間に,Ｉ_νが物質によってα_νＩ_νだけ吸収され,物質からｊ_νの光放出を受け,さらに全体として散乱の寄与を受けるとすれば,

ｄＩ_ν/ｄｓ＝－α_νＩ_ν＋ｊ_ν－α_ν^SC(Ｉ_ν－Ｊ_ν)

＝－(α_ν＋α_ν^SC) (Ｉ_ν－Ｓ_ν)となります。

α_ν^SCは散乱係数で,Ｓ_ν≡(ｊ_ν＋α_ν^SCＪ_ν)/(α_ν＋α_ν^SC)です。

ここで,簡単のために物質の温度や吸収係数がｚ方向のみに変化するとして考察することにすれば,対称性によって光の強度もｚとその方向となす角度θのみに依存します。

θ方向への光の流れを考えると,ｄｓ＝ｄｚ/cosθより,

cosθ{∂Ｉ_ν(ｚ,θ)/∂ｚ}＝－(α_ν＋α_ν^SC)(Ｉ_ν－Ｓ_ν),

または,Ｉ_ν(ｚ,θ)＝Ｓ_ν－cosθ(∂Ｉ_ν/∂ｚ)/(α_ν＋α_ν^SC)

です。

星の内部では局所的に熱平衡にあると見なせるので,第ゼロ近似として,

Ｉ_ν⁽⁰⁾(ｚ,θ)＝Ｓ_ν⁽⁰⁾ ＝Ｊ_ν(Ｔ)と取ります。

そして第１次の近似を行なえば,Ｉ_ν⁽¹⁾(ｚ,θ)

＝Ｊ_ν(Ｔ)－cosθ{Ｊ_ν(Ｔ)/∂ｚ}/(α_ν＋α_ν^SC)

となります。

そこでエネルギーの流束として正味の値,向きが反対の光も考慮してθを 0～πの範囲に取ると,

Ｆ_ν(ｚ)＝∫Ｉ_ν⁽¹⁾cosθｄΩ

＝2π∫_-1¹Ｉ_ν⁽¹⁾cosθｄ(cosθ)＝

－[4π/{3(α_ν＋α_ν^SC)}]{∂Ｊ_ν(Ｔ)/∂ｚ}

を得ます。

∂J_ν(Ｔ)/∂ｚ＝{∂Ｊ_ν(Ｔ)/∂Ｔ}(ｄＴ/ｄｚ)ですから,

Ｆ(ｚ)＝∫Ｆ_ν(ｚ)ｄν

＝(－4π/3)(ｄＴ/ｄｚ)∫(∂Ｊ_ν/∂Ｔ)/{ρ(κ_ν＋κ_ν^SC)}ｄν

となります。

ここで,α_ν＝ρκ_ν,α_ν^SC＝ρκ_ν^SCとしました。

さらに,∫(∂J_ν/∂Ｔ)ｄν＝(∂/∂Ｔ)(∫Ｊ_νｄν)

＝(∂/∂Ｔ){ａｃＴ⁴/(4π)}＝ａｃＴ³/πを使用し,　

Rossland平均:1/κ≡[∫(∂Ｊ_ν/∂Ｔ)/(κ_ν＋κ_ν^SC)ｄν]/[∫(∂Ｊ_ν/∂Ｔ)ｄν]による吸収係数κを定義すると,

Ｆ(ｚ)＝－{4ａｃＴ³/(3κρ)}(ｄＴ/ｄｚ)

が得られます。

そして,１次元ｚから球対称ｒに移行すれば,Ｌ(ｒ)＝4πｒ²Ｆ_rで,

Ｆ_r＝－{4ａｃＴ³/(3κρ)}(ｄＴ/ｄｒ)となります。

以上で証明は完了しました。

こうした吸収,散乱の他に,熱伝導によるエネルギーの減衰も考えると物質の吸収のκをκ_rad,熱伝導率をκ_condとして,1/κ＝1/κ_rad＋1/κ_cond とする必要があります。

取り合えず,今日はここまでにします。

参考文献:佐藤文隆,原 哲也 著「宇宙物理学」(朝倉書店)

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                  TOSHI

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学