星の構造(ポリトロープガス球とエムデン解)

前回の議論において,４つの未知数Ｐ.ρ,Ｌ,Ｔに対する４つの方程式が得られました。

すなわち,①ｄＰ/ｄｒ＝－(4πＧρ(ｒ)/ｒ²)∫₀^rｒ²ρ(ｒ)ｄｒ,

②Ｐ＝Ｐ(ρ,Ｔ,μ),③ｄＬ/ｄｒ＝4πｒ²ρε,

④ｄＴ/ｄｒ＝－(1/λ){Ｌ/(4πｒ²)}；λ＝4ａｃＴ³/(3κρ)

の４つです。

そこで,星の中心;ｒ＝0 でＬ＝0 ,表面:ｒ＝ＲでＰ＝Ｐ_表面 ～ 0 ,Ｔ＝Ｔ_表面 ～ 0 (中心のＴに比べ表面のＴは無視できるほど小さい)という境界条件を与えます。

化学組成によりμやκがわかり,核反応の詳細なメカニズムの解明によりεがわかれば,①～④を解くことが原理的には可能となるので平衡状態での星の構造を知ることができると考えられます。

ただし,それでもまだ条件的には解くことがむずかしいと思われるので,式④ｄＴ/ｄｒ＝－(1/λ){Ｌ/(4πｒ²)}の代わりになるようなより簡明な温度勾配の式を与えるモデルを考えてみます。 

一般に,断熱変化での温度勾配はｄＴ/ｄｒ＝{1/(ｎ＋1)}(Ｔ/Ｐ)(ｄＰ/ｄｒ)と表わすことができます。

ｎは状態方程式ＰＶ＝Ｕ/ｎを満たすｎを意味します。

非相対論的気体分子ならＰＶ＝(2/3)Ｕよりｎ＝3/2,光子気体のような相対論的気体ならＰＶ＝Ｕ/3よりｎ＝3です。

これは次のような考察で導くことができます。

すなわち,並進以外の回転や振動などの自由度を無視すれば,Ｎを体積(Ｖの気体を構成する粒子数とすると,Ｕ＝ｎＮｋ_BＴです。

したがってＰＶ＝Ｎｋ_BＴですが,ｄＵ＝ｎＮｋ_BｄＴで断熱変化ではｄＵ＋ＰｄＶ＝0 によって,ＰｄＶ＝－ｎＮｋ_BｄＴが成立します。ここでｋ_BはBoltzmann定数です。 

それ故,ＰＶ＝Ｎｋ_BＴよりＰｄＶ＋ＶｄＰ＝Ｎｋ_BｄＴなので,－ｎＮｋ_BｄＴ＋Ｎｋ_BＴｄＰ/Ｐ＝Ｎｋ_BｄＴ,(ｎ＋1)ｄＴ/Ｔ＝ｄＰ/Ｐとなりますから,結局,ｄＴ/ｄｒ＝{1/(ｎ＋1)}(Ｔ/Ｐ)(ｄＰ/ｄｒ)が得られます。

これは,1/(ｎ＋1)＝ｄ(logＴ)/ｄ(logＰ)を意味しますから,ＰＴ^-(n+1)＝(一定),あるいはＰρ^-(n+1)/n＝(一定)となります。

Ｐ＝ｋρ^(n+1)/n＝ｋρ^1+1/n (ｋは定数)と書いても同じです。

そして,④式の温度勾配:ｄＴ/ｄｒ＝－(1/λ){Ｌ/(4πｒ²)}と断熱変化の温度勾配ｄＴ/ｄｒ＝{1/(ｎ＋1)}(Ｔ/Ｐ)(ｄＰ/ｄｒ)は,ｄＰ/ｄｒ＜0 なのでどちらも負の値になります。

温度勾配の絶対値:|ｄＴ/ｄｒ|が断熱変化のそれより大きいなら,輻射や熱伝導だけでは平衡を保つだけのエネルギーを輸送ができず,流体(ガス)自体の運動が生じる必要があります。これを対流と呼びます。

そして,こうした大きい温度勾配の状態は対流が生じるという意味で不安定なので,最終的にはｄＴ/ｄｒ＝{1/(ｎ＋1)}(Ｔ/Ｐ)(ｄＰ/ｄｒ)に落ち着くか,より安定な温度勾配に落ち着きます。

これを対流平衡といいます。

これらから,Ｐとρの間に次のような関係があると仮定します。

すなわち,ｄ(logρ)/ｄ(logＰ)＝Ｎ/(Ｎ＋1)が成り立つとします。このとき,Ｐ＝ｋρ^{(Ｎ＋1)/Ｎ}＝ｋρ^1＋1/Ｎ(ｋは定数)が成立します。

このＮのことをポリトロープ指数(Polytropic index)と呼びます。

通常の理想気体の断熱変化ではｃ_v,ｃ_pをそれぞれ定積比熱,定圧比熱としてγを比熱比γ≡ｃ_p /ｃ_vとすると,Ｐ＝ｋρ^γ (ｋは定数)となるのでγ＝ｄ(logＰ)/ｄ(logρ)であり,このときのポリトロープ指数ＮはＮ＝1/(γ－1)で与えられます。

Kelvinは,断熱変化でなく対流平衡でもδＱ＝ｃｄＴとなるケースがあることに気づきました。

例えば湿潤大気では乾燥大気とは異なる対流平衡が存在し得ることを示すこともできます。

Emden(エムデン)はこれを一般化して,δＱ＝ｃｄＴなる変化をポリトロープ変化と呼んで考察しました。

これはｃ＝0 では断熱変化,ｃ＝∞では等温変化,ｃ＝ｃ_v,ｃ_pでは,それぞれ定積変化,定圧変化になるという意味で一般的な記述になっていると考えられます。

そしてδＱ＝ｃｄＴというポリトロープ変化でも,あるＮについてＰ＝ｋρ^1＋1/Ｎ(ｋは定数)が成立することを導くことができます。

すなわち,δＱ＝ｄＵ＋ＰｄＶにおいてｃ_v＝(∂Ｑ/∂Ｔ)_V＝(∂Ｕ/∂Ｔ)_Vですが,理想気体なら(∂Ｕ/∂Ｖ)_T＝0 なので,(∂Ｕ/∂Ｔ)_V＝ｄＵ/ｄＴ,ＰＶ＝Ｎｋ_BＴよりδＱ＝(ｄＵ/ｄＴ＋Ｎｋ_B)ｄＴ－ＶｄＰです。

そこでｃ_p＝(∂Ｑ/∂Ｔ)_P＝ｄＵ/ｄＴ＋Ｎｋ_B,つまりｃ_p－ｃ_v＝Ｎｋ_B(Mayerの公式)が成立します。

δＱ＝ｃｄＴならδＱ＝ｄＵ＋ＰｄＶはｃｄＴ＝ｃ_vｄＴ＋(ｃ_p－ｃ_v)ＴｄＶ/Ｖより,(ｃ_v－ｃ)ｄＴ/Ｔ＋(ｃ_p－ｃ_v)ｄＶ/Ｖ＝0 と書けます。

γ'≡(ｃ_p－ｃ)/(ｃ_v－ｃ)とおけばｃ＝0 のときはγ'＝γです。

一般には(ｃ_p－ｃ_v)/(ｃ_v－ｃ)＝γ'－1ですからｄＴ/Ｔ＋(γ'－1)ｄＶ/Ｖ＝0 ,つまりｄ{log(ＴＶ^γ'－1)}＝0 となってＴＶ^γ'－1＝(一定),

あるいはＰＶ^γ'＝(一定)を得ます。

したがって,1/γ'≡Ｎ/(Ｎ＋1)とおけばγ'＝1＋1/Ｎ(Ｎ＝1/(γ'－1))であり,Ｐ＝ｋρ^1＋1/Ｎ(ｋは定数)が得られます。

Ｐ＝ｋρ^1＋1/Ｎ(ｋは定数)④'を④の代わりに用いたガスによる球対称の星をポリトロープガス球(Polytropic gas sphere)と呼びます。

①  の両辺を(ｒ²/ρ)倍した後,さらにｒで微分すると(ｄ/ｄｒ){(ｒ²/ρ)ｄＰ/ｄｒ}＝－4πＧρｒ²となります。

この方程式にＰ＝ｋρ^1＋1/Ｎ(ｋは定数)を代入すると,Lane-Emdenの式と呼ばれる微分方程式:(1/ξ²)(ｄ/ｄξ){ξ²ｄθ_N(ξ)/ｄξ}＝－[θ_N(ξ)]^Nが得られます。

ここで,ρ≡ρ_c[θ_N(ξ)]^N,ｒ≡αξ,α≡(Ｎ＋1)^1/2[Ｐ_c/(4πＧρ_c²)]^1/2であり,ρ_cは中心の密度,Ｐ_c は中心圧力です。

ただし,θ_N(0)＝1でξ,θ_Nは無次元量です。

θ_Nが満たすべき条件は,θ_N(0)＝1の他には,ξ＝ｒ＝0 においてｄＰ/ｄｒ＝0 ,すなわちθ_N'(0)＝0 です。

そしてこの方程式の解をEmden解と呼びます。

この方程式の一般のＮに対する解を求めるには数値計算が必要ですが,Ｎ＝0,1,5 の場合は解析的に厳密解を求めることができます。

ここでは,証明を省略してそれらの解を列記しておきます。

θ₀(ξ)＝1－ξ²/6,θ₁(ξ)＝sinξ/ξ,θ₅(ξ)＝1/(1＋ξ²/3)^1/2です。

上記の解の陽な表現によれば,θ₀(ξ),θ₁(ξ)にはθ_N(ξ)＝0 となるξが存在しますが,θ₅(ξ)はξが有限の範囲ではゼロにはならず,これは半径が∞であることを意味します。

一般に,θ_N(ξ)＞0 なら,ｄθ_N/ｄξ＝－(1/ξ²)∫₀^ξξ²{θ_N(ξ)}^Nｄξ＜ 0 なので,その範囲ではθ_N(ξ)は単調減少関数です。

そして,θ_N(ξ)が最初にゼロになるところが星の表面です。

その表面に相当するξ＝ｒ/αの値をξ_Nとおくと,Ｎ＜5 のときの星の半径Ｒ_Nは,Ｒ_N＝αξ_N＝[Ｐ_c/(4πＧρ_c²)]^1/2(Ｎ＋1)^1/2ξ_Nです。

星の質量Ｍは,Ｍ＝∫₀^ＲN4πρｒ²ｄｒ＝－4πα³ρ_c∫₀^ξN(ｄ/ｄξ)[ξ²{θ_N(ξ)}^N]ｄξ＝[Ｐ_c³/(4πＧ³ρ_c⁴)]^1/2φ_Nとなります。

ただしφ_N≡－(Ｎ＋1)^1/2[ξ²ｄθ_N(ξ)/ｄξ]_ξ＝ξNです。

定数であるφ_NはＮによる変動が小さいので,Ｍ＝[Ｐ_c³/(4πＧ³ρ_c⁴)]^1/2φ_NはＭとＰ_c,ρ_cの関係を知ることができる式になっています。

　Ｎ＝5のときには半径が∞ですが質量Ｍは有限です。

　しかし,Ｎ＞5のときは質量,半径ともに∞になりますから,Ｎ＞5は現実的な解を与えるとは思われません。

参考文献:佐藤文隆,原 哲也 著「宇宙物理学」(朝倉書店)

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                  TOSHI 

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