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2006年11月25日 (土)

高密度状態での陽子の中性子化(1)

 陽子と中性子と電子が多数ある系で,高密度状態の際に陽子が中性子化するメカニズムについて述べてみたいと思います。

 そのために,今日はまずスピンの自由度がgであるフェルミ粒子(Fermion)について,"縮退エネルギー=Fermiエネルギー"について論じてみます。

スピンが半奇数である粒子は絶対温度TでFermi-Dirac分布(Fermi分布)に従います。

 

これは,化学ポテンシャルをμとするとき,エネルギーがεの状態にある平均粒子数がnF(ε)=1/[exp{(ε-μ)/(kB)}+1]で与えられることを示しています。

このFermi分布はBose分布と同じく,exp{(ε-μ)/(kB)}>>1のときには,n~ exp{-(ε-μ)/(kB)}で与えられる古典分布のMaxwell-Boltzmann分布になります。

 

体積がVの系の全粒子数は,N=(V/h3)∫(4πgp2/[exp{(ε-μ)/(kB)}+1])dp~ (V/h3)∫0[4πgp2exp{-(ε-μ)/(kB)}]dpで与えられます。

 

したがって,粒子の数密度nはn≡N/V~ (4πg/h3)∫0[p2exp{-(ε-μ)/(kB)}]dpとなります。

 

また,系の全エネルギーをUとすると,エネルギー密度は

E≡U/V~ (4πg/h3)∫02εexp{-(ε-μ)/(kB)}dpです。

同様に,圧力Pは

P~ {4πg/(3h3)}∫0(dε/dp)2exp{-(ε-μ)/kB}dp

=(4πgkB/h3)∫02exp{-(ε-μ)/kB}dp

=nkB

となります。

非相対論的粒子ではエネルギーがε=p2/(2m)なので,数密度n=N/Vを求めるdp積分を実行し結果をμをnで表わす式で示せば,

μ=kBlog[(n/g){h2/(2πmkB)}3/2]],or exp{μ/kB}

=(n/g){h2/(2πmkB)}3/2

となります。

そして,特にexp{μ/kB}>>1,すなわち,数密度nが非常に高い状態でのFermi分布:nF(ε)=1/[exp{(ε-μ)/(kB)}+1]を考えると,

 

これはF(ε)~ 1 (ε<μ),nF(ε)~ 0 (ε>μ)なる分布で

近似できます。

 

特にT→ 0 の極限では厳密にこの分布になります。この極限の状態を完全縮退といい,そうでないときは部分縮退といいます。

そして,この分布においてnF(ε)がゼロではない上限のエネルギーをεFと書き,これをFermiエネルギーと呼びます。

 

一般にεF~ μであり,完全縮退の極限では正確にεF=μです。

 

εFに対応する上限運動量の大きさをpFと書きFermi運動量と呼びます。

εF(pF22+m24)1/2-mc2ですね。

Fermi運動量pFを用いると,数密度n,圧力P,エネルギーEは,

 

n=(4πg/h3)∫0F2dp=(4πg/3)(mc/h)33,

P={4πg/(3h3)}∫0F[p2(dε/dp)]dp=Kf(x),

E=(4πg/h3)∫0F(εp2)dp=Kg(x)

 

と表現できます。

 

ここで,x≡F/(mc)としました。

 

K={g/(6π2)}(mc/h)3mc2≒6.0×1014×(g/2)J/m3,

f(x)=x(2x2-3)(x2+1)1/2+3sinh-1(x),

(x)=8x3[(x2+1)1/2-1]-f(x) です。

また,n=(4πg/h3)∫0F2dp=(4πg/3)(mc/h)33,

x≡F/(mc)からF{3/(4πgh3)}}1/31/3

と書くことができます。

 

  (つづく) 

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー)                                  TOSHI 

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