遮蔽ポテンシャルとブラソフ方程式(クーロン系)

　以前の考察において,分子間力のような短距離力に根ざす現象を扱う際には粒子衝突を統計的に表現したBoltzmann方程式が有効であることを見ました。

　しかし,重力や電気力は距離に反比例するCoulomb型の長距離力ですから,,こうした力がメインの現象では個々の粒子間衝突よりも多数の粒子との平均的相互作用の方が効いてきます。

　そして,プラズマ(Plasma)のように多数の電子とイオンから成っていて全体としては電気的に中性な系を考察するときには,イオンは重くて静止したまま,数密度ｎ₀で一様に分布していて電子だけがその中で運動しているという平均場近似のモデルが有効であると考えられます。

　このとき,電場ＥをＥ＝－∇φによって与える静電場のスカラー・ポテンシャルφは,∇Ｅ＝ρ/ε₀によって,ε₀∇²φ＝ｅｎ_el－ｅｎ₀というPoisson方程式に従います。

　(－ｅ)＜0 は電子１個の電荷でｎ_elは電子数密度です。

　また,イオンは原子価が１価であると仮定しています。

　電子は軽いので電子気体という近似が有効であると思われます。

　そこで,この平均場近似で系が電子自身の密度にも依存した電場に応じて熱平衡分布に達しているとすると,電子数密度の分布はｎ_el(ｒ)＝ｎ₀exp{ｅφ(ｒ)/(ｋ_BＴ)}で与えられると考えることができます。

　ポテンシャルφ(ｒ)がｒ→∞でゼロになるとすれば,ｒ→∞ではｎ_el(ｒ)→ｎ₀が成立するので,十分遠方では電気的に中性になるという条件は満足されます。

　そして,このとき先のPoisson方程式:ε₀∇²φ＝ｅｎ_el－ｅｎ₀は,

　ε₀∇²φ＝ｅｎ₀[exp{ｅφ/(ｋ_BＴ)}－1] となります。

　対象とする系はプラズマですから,十分高温である:|eφ|/(ｋ_BＴ)＜＜１と仮定します。

　この仮定に基づき,Poisson方程式:ε₀∇²φ＝ｅｎ₀[exp{ｅφ/(ｋ_BＴ)}－1]において,右辺をeφ/(ｋ_BＴ)の１次まで展開する近似を採用すると,

∇²φ＝ｅ²ｎ₀/(ε₀ｋ_BＴ)φ＝φ/λ_D²が得られます。

　ただし,λ_D≡[ε₀ｋ_BＴ/(ｅ²ｎ₀)]^1/2は,Debye長さと呼ばれる特徴的な長さです。

　上のようなφの満たす１次近似の方程式:(∇²－1/λ_D²)φ＝0 は,よく知られたHelmholzの方程式です。

　球対称で,かつ遠方でゼロになるという境界条件を満たす解もよく知られており,これは湯川ポテンシャルの形の式:φ(ｒ)＝const・exp(－ｒ/λ_D)/ｒです。

　一方,上記の解φ(ｒ)＝const・exp(－ｒ/λ_D)/ｒはλ_D→∞ において∇²φ＝－ｅｎ₀の解であるCoulombポテンシャル:φ(ｒ)＝ｅｎ₀/(4πε₀ｒ)に一致するはずです。

　そこで,未知係数も一意的に決まって,

　φ(ｒ)＝ｅｎ₀ exp(－ｒ/λ_D)/(4πε₀ｒ) と書けます。

　これを遮蔽ポテンシャルと呼びます。

　電荷密度ｎ₀が大きくてプラズマパラメータ:Λ≡ｎ₀λ_D³がΛ＞＞１を満足するなら,遮蔽範囲であるDebye長以下の領域に多数の電荷があるので,電子の運動は個々の電子の衝突ではなく平均的分布による電場によって大きく支配されます。

　さて,電子の分布関数を速度ｖと位置ｒの関数としてｆ(ｒ,ｖ,ｔ)と書くことにします。

このとき,位置ｒだけの関数である数密度は,ｎ_el(ｒ,ｔ)＝∫ｆ(ｒ,ｖ,ｔ)ｄｖで与えられます。

　ところで,以前の記事では外力がない場合の連続の方程式を,

　∂ｆ/∂ｔ＋ｖ∇ｆ＝(∂ｆ/∂ｔ)_collと書いて,これからBoltzmann方程式を導きました。

　しかし,今の場合には電子速度ｖは一定ではなく電場Ｅによる外力,あるいは加速度を受けて変化します。

　また,右辺の衝突湧き出し項は無視できるので,連続の方程式は

　∂ｆ/∂ｔ＋ｖ∂ｆ/∂ｒ＋(－ｅＥ/ｍ)∂ｆ/∂ｖ＝0 となります。

　ここで,∇ｆを∂ｆ/∂ｒと表記しｄｖ/ｄｔ＝－ｅＥ/ｍを用いました。

　したがって,結局,ｆに対する方程式系は,連続方程式:

∂ｆ/∂ｔ＋ｖ∂ｆ/∂ｒ－(ｅＥ/ｍ)∂ｆ/∂ｖ＝0 と,

　電場Ｅを決定する方程式:

ε₀∇Ｅ＝－ｅ∫ｆ(ｒ,ｖ,ｔ)ｄｖ＋ｅｎ₀の２つになります。

　これらの方程式をブラソフ方程式(Vlasov's equation)と呼びます。

　こうして電場Ｅが分布ｆから決まることになり,ｆについては非線形になります。

　これらは,私が北原和夫著「非平衡系の統計力学」(岩波書店)を現在勉強しているプロセスの中での覚え書きとして記したものです。　

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                  TOSHI 

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