ブラソフ方程式の解とプラズマ乱流の渦

　前記事の続きです。

　ブラソフ方程式(Vlasov equation):∂ｆ/∂ｔ＋ｖ∂ｆ/∂ｒ－(ｅＥ/ｍ)∂ｆ/∂ｖ＝0 を実際に解いてみます。

　ただし,時間ｔを陽には含まない定常解に対する方程式:

　ｖ∂ｆ/∂ｒ－(ｅＥ/ｍ)∂ｆ/∂ｖ＝0 の解を求めます。

　今から述べる解はＢＧK解(Bernstein-Greeene-Kruskal solution)として知られています。

　実は,１電子のエネルギーをＨ＝ｍｖ²/2－ｅφと書くと,Ｈの任意関数ｆ(Ｈ)が方程式:ｖ∂ｆ/∂ｒ－(ｅＥ/ｍ)∂ｆ/∂ｖ＝ 0 を満足することがわかります。

　ただし,ここでの記号ＨはHamiltonianを意識しているわけではなく,今の場合,電場Ｅと区別するためにエネルギーの記号Ｅの代わりにＨを用いているだけです。

　実際,∂ｆ/∂ｒ＝－ｅ(ｄｆ/ｄＨ)∇φ＝ｅＥ(ｄｆ/ｄＨ)

　であり,∂ｆ/∂ｖ＝ｍｖ(ｄｆ/ｄＨ)ですから,

　ｆ(Ｈ)はｖ∂ｆ/∂ｒ－(ｅＥ/ｍ)∂ｆ/∂ｖ＝ 0

　を確かに満たすことがわかります。

　そこで,後はＥ,またはφとｆ(Ｈ)が,ε₀∇Ｅ＝－ｅ∫ｆ(ｒ,ｖ,ｔ)ｄｖ＋ｅｎ₀,またはε₀∇²φ＝ｅ{∫ｆ(Ｈ)ｄｖ－ｎ₀}を満たすようにｆ(Ｈ)の関数形を決めるだけでよいことになります。

　そして,Ｈ＝ｍｖ²/2－ｅφより∫ｆ(Ｈ)ｄｖ＝4π∫₀^∞ｆ(Ｈ)ｖ²ｄｖ＝(8π/ｍ)∫ｆ(Ｈ)(Ｈ＋ｅφ)(ｄｖ/ｄＨ)ｄＨ＝2π(2/ｍ)^3/2∫_-eφ^∞ｆ(Ｈ)(Ｈ＋ｅφ)^1/2ｄＨです。

　∇²φ＝(ｅ/ε₀){2π(2/ｍ)^3/2∫_-eφ^∞ｆ(Ｈ)(Ｈ＋ｅφ)^1/2ｄＨ－ｎ₀}

　なる形の方程式が得られます。

　ただし,ｒ→∞ではφ≡0 であり,そこでは∇²φ＝0 ですから,

　2π(2/ｍ)^3/2∫_-eφ^∞ｆ(Ｈ)Ｈ^1/2ｄＨ＝ｎ₀

が満たされる必要があります。

　そして,ｆ(Ｈ)が決まればφ,つまりＥが決まる形になっています。

　Ｖ(φ)≡－(4π/3ε₀)(2/ｍ)^3/2∫_-eφ^∞ｆ(Ｈ)(Ｈ＋ｅφ)^3/2ｄＨ＋ｅｎ₀φ/ε₀とおけば,方程式は∇²φ＝－ｄＶ/ｄφとなります。

　ここで導入されたＶ(φ)は,Sadgeev(サジェーエフ)ポテンシャルと呼ばれます。

　そして,∇²φ＝－ｄＶ/ｄφの両辺に∇φを掛ければ,

　∇[(∇φ)²/2＋Ｖ(φ)]＝0 となるため,

　結局,(∇φ)²/2＋Ｖ(φ)＝(空間的に一定)と結論されます。

　もしも空間微分∇を時間微分ｄ/ｄｔと同一視するなら,

　(∇φ)²/2＋Ｖ(φ)＝(空間的に一定)は(ｄφ/ｄｔ)²/2＋Ｖ(φ)＝(時間的に一定)となって,"エネルギー保存則"と同一視できます。

　また,特に空間を1次元と考えると,ｆ(Ｈ)ｄｖ＝(2/ｍ)^1/2∫_-eφ^∞ｆ(Ｈ)(Ｈ＋ｅφ)^-1/2ｄＨです。

　そして必要条件も(2/ｍ)^1/2∫_-eφ^∞ｆ(Ｈ)Ｈ^-1/2ｄＨ＝ｎ₀に変わります。

　そこで,１次元のSadgeevポテンシャルは,

Ｖ(φ)＝－(2/ε₀)(2/ｍ)^1/2∫_-eφ^∞ｆ(Ｈ)(Ｈ＋ｅφ)^1/2ｄＨ＋ｅｎ₀φ/ε₀　となり,保存則は(ｄφ/ｄｘ)²/2＋Ｖ(φ)＝一定となります。

　仮に,－ｅφ₀≦Ｈ≦Ｅ₀ではｆ(Ｈ)＝(ｍ/Ｅ₀)^1/2ｎ₀/2^3/2＝一定,それ以外のＨではｆ(Ｈ)＝0 というモデルを設定してみます。

　すると,0≦φ＜φ₀ならＶ(φ)＝－{2ｎ₀Ｅ₀^1/2/(3ε₀)}(Ｅ₀＋ｅφ)^3/2＋ｅｎ₀φ/ε₀で,φ≧φ₀ならＶ(φ)＝－{2ｎ₀Ｅ₀^1/2/(3ε₀)}[(Ｅ₀＋ｅφ)^3/2－{ｅ(φ－φ₀)}^3/2]＋ｅｎ₀φ/ε₀となります。

　これは,φ→0ではＶ(φ)＝－2ｎ₀Ｅ₀/(3ε₀)－ｎ₀(ｅφ)²/(4ε₀Ｅ₀)＋..を満たし,0≦φ＜φ₀なら(ｄＶ/ｄφ)＜0 であって,Ｖはφの減少関数であることを意味します。

　また,φ≧φ₀なら(ｄ²Ｖ/ｄφ²)＞0 なのでＶは常にφについて下に凸な関数です。そこで,ある点φ＝φ_minでＶ(φ)は極小になります。

　ｘを時間と考え,φを１次元の空間座標と見て,速度を位置座標φの時間ｘによる微分係数:ｖ≡ｄφ/ｄｘであると見ます。

　このとき,ｖ²/2＋Ｖ(φ)＝一定という法則はＶ(φ)をφを位置とする位置エネルギーであるとした力学的エネルギー保存則の描像と考えることができます。

　無限の過去ｘ＝－∞ではφ＝0 で速度ｖ＝ｄφ/ｄｘもゼロとすると,全エネルギーはＶ(0)です。

　この状態から出発して保存則ｖ²/2＋Ｖ(φ)＝Ｖ(0)を満たしながら進んでいくと,運動エネルギーｖ²/2＝Ｖ(0)－Ｖ(φ)における－Ｖ(φ)はφ＝φ_minで最大値:－Ｖ(φ_min)に到達します。

　その後,運動エネルギーは次第に減少し,ついにはどこかでｖ²/2がゼロ,つまり速度ｖがゼロになって反転することになり,やがて元の位置φ＝0 に戻っていくと解釈されます。

　この描像で元の位置φ＝0 まで戻る時刻を無限の未来ｘ＝∞であると考えることにすれば,この往復運動は１回だけということになります。

　したがって,反転するところの座標φをφ＝φ_c＞0 とすると,φ_cはφ_c≧φ₀,かつＶ(φ_c)＝Ｖ(0)＝－2ｎ₀Ｅ₀/(3ε₀)から求まる値です。

　それ故,φ(ｘ)は,ｘ＝－∞でゼロ,ｘ＝∞でもゼロで,その間のあるｘでφ(ｘ)＝φ_cという正のピークを持つ上に凸な関数となるはずです。

　こうした状況は,一般の３次元の話に戻っても成立するはずです。

　３次元で電場のポテンシャルφ(ｒ)が正のピークを持つところ,つまりφ(ｒ)＝φ_cを満たす位置ｒの近傍では電子が少なく,"正電荷＝イオン"の影響の方が大きくなっている領域と考えられますから,この領域を電子のホール(hole:電子の穴)と呼びます。

　これは一旦電子の少ないところができると,そこでは正のイオンが支配的になるため,周囲の電子がそこの近くを通ると加速されて素通りし,

　また仮に正イオンに捕捉されたなら,電子気体の電子としては出てこられなくなくなるためと考えられます。

先に,Ｖ(φ)の下に凸な形からφが周期的な反復運動をすると予想した描像からもわかるように,こうした電子ホール生成などは決して静的な現象ではありません。

電子の集団が大きいスケールで振動運動をしているという意味から,１つの渦の形成を意味すると考えられます。

プラズマ中の乱流では,こうした"ホール＝渦"がたくさん存在するはずで,これらをクランプ(clump)と呼びます。

こうして電子気体の運動論から出発して,非平衡な統計物理としてプラマ物理の一端を垣間見ることができたかなと思います。

参考文献；北原和夫 著「非平衡系の統計力学」(岩波書店)