高温状態での電子対発生

　前記事の続きです。

　高温の状態:Ｔ＝6×10⁹Ｋ程度では,電子と陽電子の対発生(対創生)が起こるようになります。

　これは丁度ｋ_BＴ～ ｍ_eｃ²≒0.51MeVとなる温度になっています。

　この反応はγ＋γ ⇔ ｅ-＋ｅ+で与えられます。

　ただし,γ,ｅ-,ｅ+はそれぞれ光子,電子,陽電子を表わします。ｍ_eは電子(陽電子)の質量,ｃは真空中の光速です。

　また,以下ではγ,ｅ-,ｅ+に対応する物理量に,それぞれ添字γ,－,＋を与えることにします。

なぜ,光子(photon)が１個ではなく２個必要なのかというと,"慣性中心系＝重心系"で見たとき,γ ⇔ ｅ-＋ｅ+ なら運動量の保存則から両辺はそれぞれ総運動量がゼロの状態ですが光子の質量がゼロであるために光子１個だけではエネルギー保存の法則が成立しなくなるからです。

もっとも自由運動状態ではなく束縛状態などにあって束縛エネルギーなどがあればその限りではありません。ただし,以下の話では光子の個数は関係しない話となっています。

先の記事でも述べたように,平衡の条件は反応の前後で化学ポテンシャルが等しいというものです。ただし今の電子対発生においては質量もその"化学ポテンシャル＝自由エネルギー"に入ってきます。

化学ポテンシャルは質量項を含まないように定義されているので,平衡条件は,2μ_γ＝(μ_＋＋ｍ_eｃ²)＋(μ_－＋ｍ_eｃ²)となります。

そして熱平衡にある光子ではμ_γ＝0 ですから,μ_＋＋ｍ_eｃ²＝－(μ_－＋ｍ_eｃ²)という式が得られます。

一方,光子は電気的に中性なので,元々存在していた電子の数密度をｎ₀とすれば,ｎ_－－ｎ_＋＝ｎ₀＝ρＺ/(Ａｍ_H)となります。

ρは物質密度,Ｚ,Ａはこの物質の原子核の原子番号と質量数,ｍ_H は水素原子の質量です。

ｋ_BＴ＞＞ｍ_eｃ²のときにはｎ_－～ｎ_＋＞＞ｎ₀なので,簡単のためにｎ₀＝ 0 とすると,ｎ_＋＝ｎ_－より,μ_＋＝μ_－＝－ｍ_eｃ²となります。

この場合には,ｎ ～ {1/(π²ｈ_c³)}∫₀^∞ｐ²ｄｐ/[exp{(ε－μ)/(ｋ_BＴ)}＋1]において積分に寄与するのは大きいｐですから,(ε－μ)～ｃｐとしてよいと考えられます。

そこで,ｎ₊＝ｎ_-～ {(ｋ_BＴ)³/(π²ｈ_c³)}∫₀^∞ｕ²ｄｕ/(expｕ＋1)＝{3ζ(3)/(2π²)}{ｋ_BＴ/(ｈ_cｃ)}³ となります。

これを,平衡状態にあってBose分布をしている光子の密度:

ｎ_γ＝{(ｋ_BＴ)³/(π²ｈ_c³ｃ³)}∫₀^∞ｕ²ｄｕ/(expｕ－1)

＝(2ζ(3)/π²){ｋ_BＴ/(ｈ_cｃ)}³

と比較すると,ｎ_＋＝ｎ_－＝(3/4)ｎ_γとなります。

同様に,電子,陽電子のエネルギー密度は,

Ｅ₊＝Ｅ_-

～ {1/(π²ｈ_c³)}∫₀^∞ｃｐ³ｄｐ/[exp{ｃｐ/(ｋ_BＴ)}＋1]

＝{(ｋ_BＴ)⁴/(π²ｈ_c³ｃ³)}∫₀^∞ｕ³ｄｕ/(expｕ＋1)

＝(7/8)(π⁴/15)(8π³/π²){ｋ_B⁴Ｔ⁴/(ｈ³ｃ³)}＝(7/8)ａＴ⁴

となります。

ここで,ａは光子のエネルギー密度に対するStefan-Boltzmannの法則:

Ｅ_γ＝ａＴ⁴の係数ａです。

したがって,(Ｅ₊＋Ｅ_-)/Ｅ_γ＝7/4 となります。

さらに高温になると,電子以外の他の粒子も対発生して輻射エネルギー密度が総エネルギー密度に占める割合はさらに小さくなります。

参考文献；佐藤文隆 原 哲也 著「宇宙物理学」(朝倉書店)

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                  TOSHI

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