大気中の移流拡散方程式

　大気中の気体物質の拡散方程式について,若干の考察をしてみたいと思います。

　ある温度で大気の単位体積中に存在する同じ温度の気体物質の体積の値をその濃度と呼びＣで表わすことにします。

　"(大気＋物質)の密度＝大気全体の密度"をρ,濃度対象としている気体物質のみの密度をρ₁とし,質量濃度をｃとします。ρ₁＝ρｃです。

　そして,大気全体には"主流＝平均流"として風速ｖがあるとし,大気全体は非圧縮,かつ空間的にもρは一定と仮定すると,その全体としての連続の方程式はdivｖ＝∇ｖ＝0 となります。

　一方,混合された気体物質に着目した連続の方程式には湧き出しがあるとして,∂ρ₁/∂ｔ＋∇(ρ₁ｖ₁)＝ｑ₁と書くことができます。湧き出しｑ₁は物質の排出強度と呼ばれます。

　連続の方程式∂ρ₁/∂ｔ＋∇(ρ₁ｖ₁)＝ｑ₁にρ₁＝ρｃを代入すると,∂(ρｃ)/∂ｔ＋∇(ρｃｖ)＝－∇[ρｃ(ｖ₁－ｖ)]となります。

　結局,Ｄｃ/Ｄｔ＝∂ｃ/∂ｔ＋ｖ∇ｃ＝－∇ｉ＋ｑ₁ /ρと書けます。ただし,Ｄ/Ｄｔ＝∂ｃ/∂ｔ＋ｖ∇はLagrange微分です。ｉ≡ｃ(ｖ₁－ｖ)は拡散流束密度と呼ばれる量です。

　ここで,Ｎ₀をAvogadro数,Ｍを大気全体の分子量,Ｍ₁を濃度対象の気体物質の分子量とすると,大気全体と対象物質の単位体積当たりの分子数は,それぞれ,Ｎ₀ρ/Ｍ,Ｎ₀ρ₁/Ｍ₁です。

　同一温度での気体の体積は分子の数に比例するので,Ｃ＝ρ₁Ｍ/(ρＭ₁)＝(Ｍ/Ｍ₁)ｃとなります。

　よって,質量濃度ｃと(体積)濃度Ｃは単に定数係数の違いしかないことがわかります。

　したがって,質量濃度ｃの方程式Ｄｃ/Ｄｔ＝－∇ｉ＋ｑ₁ /ρを体積濃度Ｃで表わすと,ＤＣ/Ｄｔ＝－∇ｊ＋Ｑとなります。

　ｊ≡(Ｍ/Ｍ₁)ｉ＝Ｃ(ｖ₁－ｖ)は(体積濃度の)拡散流束密度,Ｑ≡ｑ₁Ｍ/(ρ/Ｍ₁)は物質の(体積)排出強度と解釈できます。

　ここで,Fick型の拡散を想定し,拡散流束密度ｊが濃度の高い方から低い方向へ濃度の勾配に比例した大きさて流れるとします。

　その拡散流束密度は拡散係数:Ｋをテンソル{Ｋ_ij}として,

ｊ_i＝－Ｋ_ij(∂Ｃ/∂ｘ_j)となります。

　Ｋは拡散係数ですから正値行列です。

　ただし,同じ添字が２度出現するときは１から３まで加えるというEinsteinの規約を用います。

　拡散係数テンソル:Ｋを主軸変換して対角化し,Ｋ_ij＝Ｋ_iδ_ijの主軸をｘ,ｙ,ｚ方向に取れば,主軸成分はＫ_x,Ｋ_y,Ｋ_z と表わすことができます。

　このときには,拡散流束密度はｊ＝{Ｋ_x(∂Ｃ/∂ｘ)}ｅ_x＋{Ｋ_y(∂Ｃ/∂ｙ)}ｅ_y＋{Ｋ_z(∂Ｃ/∂ｚ)}ｅ_zと書けます。

　そこで,(移流)拡散方程式として,　

∂Ｃ/∂ｔ＋ｖ∇Ｃ＝(∂/∂ｘ){Ｋ_x(∂Ｃ/∂ｘ)}＋

(∂/∂ｙ){Ｋ_y(∂Ｃ/∂ｙ)}＋(∂/∂ｚ){Ｋ_z(∂Ｃ/∂ｚ)}＋Ｑ

が得られます。

　特に拡散係数Ｋがスカラーで近似的に定数と見なせるときには,

　Ｋ_ij＝Ｋδ_ijであり,通常の移流拡散方程式である

　∂Ｃ/∂ｔ＋ｖ∇Ｃ＝Ｋ∇²Ｃ＋Ｑに帰着します。

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                  TOSHI 

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学