電離平衡のサハの式

　前回に引き続く話題として,高温プラズマ状態における電離に対するサハの式(Sahaの式)について述べてみます。

　一般に核反応や化学反応などにより系を構成する成分粒子数の変化がある場合,定温,定圧では平衡の条件は反応の前後での化学ポテンシャルμが等しいことで与えられます。 

"Ｃ ⇔ Ａ＋Ｂ"という反応系で,Ａ,Ｂ,Ｃの粒子数を,それぞれ,Ｎ_A,Ｎ_B,Ｎ_C,反応の前後を１,２として添字表現をするとき,温度,圧力が反応前後で同じ:Ｔ₁＝Ｔ₂,Ｐ₁＝Ｐ₂であるとします。

全体のエントロピーの変化は,ΔＳ＝(∂Ｓ/∂Ｎ_C)ΔＮ_C＋(∂Ｓ/∂Ｎ_A)ΔＮ_A＋(∂Ｓ/∂Ｎ_B)ΔＮ_Bですが,ΔＮ_A＝ΔＮ_B＝－ΔＮ_Cという粒子数の条件から,ΔＳ＝[(∂Ｓ/∂Ｎ_C)－(∂Ｓ/∂Ｎ_A)－(∂Ｓ/∂Ｎ_B)]ΔＮ_C＝(μ_C－μ_A－μ_B)ΔＮ_C/Ｔとなります。

そこで,平衡の条件ΔＳ＝0 がμ_C＝μ_A＋μ_Bで与えられることがわかるからですね。

ここで,高温での中性原子状態Ａが電離状態Ａ^＋と,"Ａ⇔Ａ^＋＋ｅ^－"で表わされる平衡にあるとします。

この条件は,イオン化エネルギーをＥとするとμ₀＝μ_＋＋μ_－＋Ｅです。

ただし,μ₀,μ_＋,μ_－は,それぞれ,Ａ,Ａ^＋,ｅ^－の化学ポテンシャルを示しています。

つまり,通常の化学式のようにＥを陽に書くなら,"Ａ＋Ｅ→Ａ^＋＋ｅ^－"であり,Ａの最低エネルギーの準位はＡ^＋やｅ^－のそれよりもＥだけ低いので,

通常の並進,回転,振動の自由度のみによる"Gibbsの自由エネルギー＝化学ポテンシャル"のＡ^＋やｅ^－での原点をＡのそれよりＥだけ高い位置に取ればいいことになります。

それ故,平衡の条件が,μ₀－Ｅ＝μ_＋＋μ_－で与えられるからですね。

一方,前記事で非相対論的粒子に対して述べたように,

化学ポテンシャルは.μ_i＝ｋ_BＴlog[(ｎ_i/ｇ_i){ｈ²/(2πｍ_iｋ_BＴ)}^3/2]

＝log[(ｎ_i/ｇ_i){2πｈ_c²/(ｍ_iｋ_BＴ)}^3/2]

(ｉ＝0,＋,－)で与えられます。

ここで,ｈ_c≡ｈ/(2π)でｈはPlanck定数です。

したがって,ｋ_BＴlog[(ｎ₀/ｇ₀){2πｈ_c²/(ｍ₀ｋ_BＴ)}^3/2]

＝ｋ_BＴlog[{ｎ_＋ｎ_－/(ｇ_＋ｇ_－)}{2πｈ_c²/(ｍ_＋ｋ_BＴ)}^3/2{2πｈ_c²/(ｍ_eｋ_BＴ)}^3/2]＋Ｅです。

故に,ｍ₀ ～ ｍ_＋であることに注意すれば,　　

ｎ_＋ｎ_－/ｎ₀＝(ｇ_＋ｇ_－/ｇ₀)[ｍ_eｋ_BＴ/(2πｈ_c²)}^3/2exp{－Ｅ/(ｋ_BＴ)}

が得られます。

原子の総数密度をｎ≡ｎ₀＋ｎ_＋とし,イオン化成分の比率をｘ≡ｎ_＋/ｎ＝ｎ_－/ｎとすれば,1－ｘ＝ｎ₀/ｎであり,

上の式はｘ²/(1－ｘ)＝{ｇ₊ｇ_-/(ｇ₀ｎ)}{ｍ_eｋ_BＴ/(2πｈ_c²)}^3/2exp{－Ｅ/(ｋ_BＴ)}となります。これをSahaの式と呼びます。

そして,Ｔ→大,Ｅ＜＜ｋ_BＴでは,exp{－Ｅ/(ｋ_BＴ)}→１によりｘ²/(1－ｘ)→ ∞ なので,ｘ→１となってイオン化が進むことになります。 

参考文献；佐藤文隆 原 哲也 著「宇宙物理学」(朝倉書店)

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                  TOSHI

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