地球の平均気温とステファン・ボルツマンの法則

今日は比較的軽い話題として黒体輻射におけるステファン・ボルツマンの法則(Stefan-Boltzmannの法則 or シュテファン・ボルツマンの法則)について述べてみたいと思います。

そして,その１つの例として地球の平均気温を考えてみます。

力学によれば,粒子の運動量をｐとし,それに働く外力をｆとすると,その粒子の従う運動方程式はｄｐ/ｄｔ＝ｆです。

そこで,例えば１辺がＬの立方体の中にある１粒子がｘ軸に垂直な立方体の一方の面と衝突する際,その面に及ぼす力をｆとすれば,時間Δｔの間に面が受ける力積ｆΔｔのｘ成分はｆΔｔ＝2ｐ_xです。

そして,衝突時の粒子の速度をｖとすると,粒子がｘ軸に垂直な面の一方と単位時間に衝突する回数はｖ_x/(2Ｌ)回(＝1/Δｔ:ここでのΔｔは衝突周期)です。

故に,立方体内の全粒子数をＮとすると,面が粒子衝突によって受ける合力:Ｆ＝Ｎｆの垂直成分はＦ＝Ｎ・2＜ｐ_xｖ_x＞/(2Ｌ)＝Ｎ＜ｐ_xｖ_x＞/Ｌとなります。

したがって,"面にかかる圧力Ｐ＝面に垂直にかかる単位面積当たりの力Ｆ/Ｓ"の表現として,Ｐ＝Ｆ/Ｌ²＝(Ｎ/Ｖ)＜ｐ_xｖ_x＞を得ます。Ｓ≡Ｌ²で,これは立方体の面の面積です。

また,Ｖ≡Ｌ³であり,これは立方体容器の体積です。記号＜ ＞は容器内の粒子全体についての平均値を表わします。

もしも,立方体内の粒子群が通常の質量ｍの分子の集まりなら,

＜ｐ_xｖ_x＞＝ｍ＜ｖ_x²＞＝ｍ＜ｖ²＞/3です。

また,粒子群が質量ゼロの光子の集まりなら,光速をｃとすると,

＜ｐ_xｖ_x＞＝＜ｃｐ＞/3です。

そこで,単位体積当たりの粒子群の全エネルギーのうち,重心運動のエネルギーをｕとすると,

粒子が質量のある分子なら,ｕ＝(Ｎ/Ｖ)ｍ＜ｖ²＞/2よりＰ＝2ｕ/3,光子なら,ｕ＝(Ｎ/Ｖ)＜ｃｐ＞よりＰ＝ｕ/3としてよいことになります。

ただし,Ｐが単原子分子気体の気圧や光子気体の輻射圧を表わす場合には,重心運動のエネルギーｕは内部エネルギー全体と一致します。

そして熱力学によると,系の全内部エネルギーをＵ,エントロピーをＳ,絶対温度をＴとすると,"エネルギー保存則＝熱力学第一法則"から,等式ｄＵ＝ＴｄＳ－ＰｄＶが成立します。

そこで,(∂Ｕ/∂Ｖ)_T＝Ｔ(∂Ｓ/∂Ｖ)_T－Ｐ＝Ｔ(∂Ｐ/∂Ｔ)_V－Ｐが成立しますから,Ｐが光子の輻射圧:Ｐ＝ｕ/3の場合にはｕ＝Ｔ(ｄｕ/ｄＴ)/3－ｕ/3,すなわち,ｄｕ/ｕ＝4ｄＴ/Ｔとなります。

これを積分すると,ａをある比例係数(積分定数)として,ｕ＝ａＴ⁴なる式を得ます。

これを,この式を発見した人の名を取ってStefan-Boltzmann(ステファン・ボルツマン)の法則といいます。

では,係数ａは具体的にはどんな値になるのでしょうか？

光子はボーズ粒子(Boson)ですから,その分布はBose-Einstein(ボーズ・アインシュタイン)分布:ｎ＝Ｎ/Ｖ＝1/[exp{(ε－μ)/(ｋ_BＴ)}－1]に従いますが,容器内に閉じ込められていようと光子の個数には制限がないので化学ポテンシャルμはゼロです。

ただしεは光子のエネルギーで,ε＝ｃｐです。

それ故,量子論によれば振動数がνの１光子のエネルギーはPlanck定数をｈとしてε＝ｃｐ＝ｈνで与えられるので,容器内の平均光子数は,

ｎ＝Ｎ/Ｖ＝1/[exp{ｈν/(ｋ_BＴ)}－1]　と書けます。

黒体輻射ではνとν＋ｄνの間の光子が占有可能な状態数は単位体積当たり8πν²ｄν/ｃ³ですから,

ｕ＝∫₀^∞(8πｈν³/ｃ³)/[exp{ｈν/(ｋ_BＴ)}－1]ｄν

＝(8πｈ/ｃ³)(ｋ_BＴ/ｈ)⁴ζ(4)Γ(4)　となります。

そこで,ｕ＝ａＴ⁴；ａ＝(8π⁵/15){ｋ_B⁴/(ｈ³ｃ³)}≒7.56×10^-16Ｊｍ^-3deg^-4なる公式を得ます。

こうして,Bose-Einstein統計に基づくPlanckの公式からも黒体輻射のStefan-Boltzmannの法則,つまりｕ＝ａＴ⁴が得られることがわかります。

したがって,逆に輻射圧Ｐに関する式:Ｐ＝ｕ/3が,量子統計力学の立場からも改めて確認されたことになります。

ところで,黒体輻射において単位時間に単位面積から射出されるエネルギーをＪとするなら,

Stefan-Boltzmannの法則はＪ＝σＴ⁴,σ＝ａｃ/4≒5.67×10^-6Ｗ・ｍ^-2・deg^-4という形になります。

そして,係数σ＝ａｃ/4をStefan-Boltzmann係数と呼びます。

なぜ,このように書けるか？というのは以下のように説明されます。

すなわち,黒体輻射の輻射エネルギーは等方的な分布をしているので,単位体積から射出される微小立体角ｄΩ＝ｄ(cosθ)ｄφ当たりのエネルギーは,ｕ(θ,φ)ｄΩ＝{ｕ/(4π)}ｄΩと書けます。

そして,今問題としている面積要素の法線と輻射光の流れのなす角をθとすると,光速ｃによってその方向に作られる単位面積当たりの円筒の体積はｃcosθです。

そこで,その面積要素の単位面積を通過する全方向の輻射光の総エネルギー流量は,Ｊ＝∫ｃcosθ{ｕ/(4π)}ｄΩ＝{ｃｕ/(4π)}∫₀^2πｄφ∫₀^π/2cosθｄ(cosθ)＝ｃｕ/4＝(ａｃ/4)Ｔ⁴となるからです。

この立体角積分でθの積分範囲を,0 ～ π/2として全体の半分にしているのは,対象とする面積要素を通過する光の向きとして１方向だけを取るべきだからです。

さて,例えば太陽から地球が受け取る総輻射エネルギー流量は太陽定数(solar constant)として知られています。

そして,大気層の頂上でのこれの具体的な値が,(太陽定数)＝1.96cal/(cm²・min)≒1370Ｗ/ｍ²であることがわかっています。

この太陽定数から太陽の総輻射量Ｌを逆算すると,Ｌ＝4π(１ＡＵ)²×(太陽定数)＝3.85×10²⁶Ｗが得られます。

１ＡＵ(１天文単位)は太陽と地球の間の平均距離を表わす単位で,約1.496×10¹¹ｍです。

一方,太陽の半径をＲとすると,太陽表面の面積は4πＲ²なので,先のStefan-Boltzmannの法則からＬ＝4πＲ²σＴ⁴となりますから,

これにＬ＝3.85×10²⁶Ｗ,Ｒ≒6.96×10⁸ ｍを代入すると太陽表面の温度Ｔが逆算できてＴ≒5780Ｋと推定されます。

一方,地球の太陽公転軌道を半径１ＡＵの円で近似して,その軌道上に１つの"黒体＝地球"があるとすれば,同じ太陽定数とStefan-Boltzmannの法則によりσＴ⁴＝1370Ｗ/ｍ²を得ます。

これから"黒体＝地球"の平均温度はＴ≒394Ｋと計算されます。

　しかし,地球をその公転軌道上の黒体と同一視して,地球半径をＲ_Eとすると,実際に太陽からの輻射を受ける側の地球の表面の面積はπＲ_E²なのに対し地球全体の表面積は4πＲ_E²です。

　そこで,地球表面全体で平均した結果はσＴ⁴＝(1370/4)Ｗ/ｍ²≒342Ｗ/ｍ²になると考えられるため,地球表面の平均気温はＴ≒394ＫではなくＴ≒279Ｋ＝6℃と算定されます。

　ところが,これでもまだ過大評価であるらしく,観測によれば太陽からの輻射エネルギーは地球大気の頂上て平均でその30％は反射されます。

　地球が吸収して我々が実際に受ける輻射エネルギーの総流量は約1.37cal/(cm²・min)＝約957Ｗ/ｍ²であることが知られています。

　それ故,上記の等式σＴ⁴＝(1370/4)Ｗ/ｍ²≒342Ｗ/ｍ²は,さらにσＴ⁴＝(9　57/4)Ｗ/ｍ²≒240Ｗ/ｍ²と変更されます。

　結局,太陽からの輻射,あるいは放射と地球表面からの放射の平衡を表現するこの等式だけから温度を算定すると,地球の平均気温としてＴ≒255Ｋ＝－18℃が得られます。

ところが,実際には現在の地球の平均気温は15℃＝288Ｋ前後ですから,上の試算とは30度以上の差があります。

これは,実は主に水蒸気やそれによって生成される雲,そしてその他にも,二酸化炭素などのガスが地表から放射された赤外線などを吸収して再放出するという「温室効果」のためと考えられています。

そこで,水蒸気や二酸化炭素などを「温室効果ガス」と呼んでいます。

こうした温室効果ガスが異常に増えたりして現状のバランス(平衡)が崩れると,いわゆる「地球温暖化現象」が起こることが指摘されています。

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                  TOSHI

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