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2006年12月20日 (水)

算数の問題(再掲)

2006年3月30日の記事を修正して再掲します。

 頭の体操です。簡単な?算数の問題です。

  

 一般的な不等辺四角形が1つあるとします。その4つの辺のそれぞれを3等分して,その向かい合う辺の分点同士を直線で結ぶと,でたらめな形の9つの小さい四角形に分割されます。

 

このとき真ん中にできる小四角形の面積は元の四角形の面積の丁度1/9になることを証明せよ。という問題です。小学生程度の知識だけで解けるはずです。

 

という記事を以前書きました。

 

これに対して,今回はヒント(hint)として対辺の分点同士を結んでできる3つの四角形のうちの真ん中のそれは全体の1/3になることを示すことができるという指摘を追加しておきます。

 

ちょっと疲れているのでブログを手抜きしました。

 

 追伸:今2007年1月9日~10日の深夜ですが,kaさんから補助線を明示した図を見たいとの希望がありました。

 

 □ABCDとそのADの3等分点M,NおよびBCの3等分点P,Qを書いた図を書いてみました

 要するに⊿MPQ=(1/2)⊿MBQ,⊿MQN=(1/2)⊿MQDなので,□MPQN=(1/2)□MBQDとなります。

 

別の補助線を引いて⊿MBD=(2/3)⊿ABD,⊿DBQ=(2/3)⊿DBCなので□MBQD=(2/3)□ABCDが成立しますから,□MPQN=(1/3)□ABCDになります。

もちろん,台形ではないですから1/3になるのは真ん中の四角形だけで両側の四角形は1/3にはなりません。

 

これがヒントです。

 

 

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