惑星と恒星

　今日はコーヒー・ブレイクとして惑星(planet)と星(恒星;star)の違い,つまり星が惑星となるか恒星となるかの境界の条件について手短かに述べてみます。

　星が惑星になって恒星にならないための条件は,簡単に言えばその星の構成物質である原子や分子がイオン結合や共有結合で固体になる効果が,重力平衡によるバランスで恒星になる効果と比べて大きいことであろうと考えられます。

　つまり,１原子当たりの電子とイオンの相互作用に関わる"電気的エネルギー＝Coulombエネルギー＝ε_c"のオーダーが,"重力エネルギー＝ε_G"のオーダーより大きいことが惑星の条件である,としてよいと考えます。 

　密度がρの星の質量をＭ_ρ,半径をＲとし,構成原子の質量数をＡ,水素原子の質量をｍ_Hとすれば,その１原子当たりの重力エネルギーの大きさε_Gはε_G＝ＧＭ_ρＡｍ_H/Ｒです。

　そこで,ε_c≧ε_Gとなる条件はＧＭ_ρＡｍ_H/Ｒ≦ε_cで,これはＲ³≧(ＧＡｍ_H/ε_c)³Ｍ_ρ³です。

　一方,4πＲ³ρ/3 ＝Ｍ_ρですから代入すると,3Ｍ_ρ/(4πρ)≧(ＧＡｍ_H/ε_c)³Ｍ_ρ³となります。

　結局,質量の条件としては,Ｍ_ρ≦{3/(4π)}^1/2/ρ^1/2{ε_c/(ＧＡｍ_H)}^3/2

です。

　オーダーの比較なので,係数{3/(4π)}^1/2を無視すると,

　Ｍ_ρ≦{ε_c/(ＧＡｍ_H)}^3/2/ρ^1/2が,星が惑星になって恒星にならないための条件になります。

　Coulombエネルギーε_cの方は,イオン結合や共有結合になって固体となるための条件として水素原子のイオン化エネルギー:13.6ｅＶ,　

　あるいはBohr半径～ａ_B＝10^-10ｍでの静電エネルギー:

(1/4πε₀)ｅ²/ａ_B～ 9×10⁹×(1.6×10^-19)²/10^-10Ｊ程度と考えると,

　いずれにしても,ε_c～ 10^-18Ｊ程度と考えられます。 

　そこで,木星の場合を考えると,Ｍ_木星～ 2×10²⁷ kg,ρ～1.34です。

　一方,質量数Ａは構成元素が水素Ｈと仮定してＡ～１とすると,

　ε_c ＝10^-18Ｊのとき,{ε_c/(ＧＡｍ_H)}^3/2/ρ^1/2～ 7.4×10²⁶ kg

　です。

　そこで,Ｍ_木星＞{ε_c/(ＧＡｍ_H)}^3/2/ρ^1/2でε_c＜ε_Gですが,

　この程度なら,オーダー的にはＭ_木星～{ε_c/(ＧＡｍ_H)}^3/2/ρ^1/2

　です。

　そこで,木星は惑星としては最大質量になっていて,まさに太陽になりそこねた惑星であると言えます。

　我々の地球の場合を考えると,Ｍ_地球～ 6×10²⁴ kg,ρ～ 5.2です。

　もしＡ～ 56つまり地球全部が鉄のみでできていると仮定するなら,

　{ε_c/(ＧＡｍ_H)}^3/2/ρ^1/2～ 9.0×10²³kgとなりますから,地球も,

　Ａ～ 56(Fe;鉄)の場合なら惑星として最大質量になります。

　しかし,地球の構成物質の質量数は,それよりも一桁くらい小さいですから,地球は確かに惑星の条件を満たしているようです。

参考文献:佐藤文隆,原 哲也 著「宇宙物理学」(朝倉書店)

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