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2006年12月 5日 (火)

バナッハ空間における逆写像定理

 今日は解析学の課題として完備なノルム空間であるバナッハ空間(Banach)における"逆写像定理(=逆関数定理:Inverse-function Theorem)"を証明してみたいと思います。

 まず,逆写像定理という定理の意味ですが,これは次の命題のことです。

 

"XをBanach空間としE⊂XをXにおける開集合とする。そして,をE→XのC1級写像とし,∈E,()とする。

 

 さらに,線形写像:A≡'()は可逆(invertible),つまり,点におけるの微分係数A='()は全単射で逆写像;A-1を持つ,とする。"

(定理の仮定)

  

(※もしも,Banach空間XがRnであれば,可逆とは'()のJacobi行列式(Jacobian)がゼロでないことを意味します。※)

  

 このとき,"∈U⊂E,∈Vを満たすXの開集合:U,Vが存在して,

(1):U→Vは全単射 (2)-11級写像となる。"(定理の結論)

 

 というものです。

  

 これを証明するためには2つの補題:「縮小写像定理(contraction lemma)or 不動点定理」と「平均値の定理」が必要です。

 

 縮小写像定理(不動点定理)とは,

 

 "(E,d)を完備な距離空間(complete metric space)とする。

 

 がE→Eの縮小写像である(0<K<1:d((),())≦Kd(,) for ∀,∈E)なら,()=を満たす∈Eが存在して一意的である。"

 

 という定理です。

 

 この定理の結論での一意的(unique)なのことを不動点と言います。

 

 これの証明は簡単です。

 

 任意の0∈Eを取り,これを基に,1(0),2(1),..,n(n-1),..と点列{n}を逐次的に定義すると,

 

 d(2,1)=d((1),(0))≦Kd(1,0)...より,

 帰納的にd(n+1,n)≦Kn(1,0)が成り立うことがわかります。

 

 そこで,m>nのときにはd(m,n)≦{Kn/(1-K)}d(1,0)→ 0 as m,n→ ∞ です。

 

 つまり{n}はCauchy列になります。

 

したがって,(E,d)の完備性から,∃∈E:d(,n)→ 0 です。

 

ところで,0<K<1:d((),())≦Kd(,) for ∀,∈E であり,はEの上で一様連続なので,

 

n→ ∞に対して(n)→ ()となります。

 

他方,d((n),n)≦Kn(1,0)が成立しますから,

n→ ∞の極限では,d((),)=0,つまり()=です。

 

もしも,これ以外に不動点'があれば,d(,')=d((),('))≦Kd(,')<d(,'),つまりd(,')<d(,')となって明らかに矛盾です。

 

よって不動点は一意的です。(証明終わり)

 

次に平均値の定理ですが,これは,

 

"XをBanach空間,U⊂XをXにおける開集合,さらに凸集合とする。

そして,をUにおいてC1級の写像とする。 

 

(※Banach空間というのは完備な線形ノルム空間です。

ノルム空間の距離空間としての距離dは,ノルム(norm)で与えられ,ノルムを||で表わすと,の距離はd(,)=|xy|です。※)

  

このとき,,∈Uに対し+t()(0<t<1)が存在して,

|f()-()||yx|sup|f'()|が成立する。"

 

というのが平均値の定理です。

 

これの証明は,(t)≡(+t())とおけば,'(t)=()'(+t())ですが,単純な実数関数の平均値の定理により

 

|F(1)-F(0)||F'(c)|なる 0<c<1 が存在するので完了です。

 

(つまり実数値関数h(t)≡|F(t)-F(0)|に平均値の定理を適用すればいいのですね。)

 

さて,いよいよ,逆写像定理の証明をします。

 

(証明) A≡'()が可逆なのでA-1が存在しますから,1/λ≡|-1|とおきます。

 

'はEの上で連続でEは開集合なので,r>0 が存在して,

|xa|≦rなら,∈E,かつ|A-'()|≦λ/2,

つまり|I-A-1'()|≦1/2を満たすようにできます。

 

(ここで線形写像のノルムも同じノルム記号を使っています。)

 

次に,|yb|≦λr/2なる∈Xを取り固定します。

 

y()≡+A-1(()とおけば,y'()=I-A-1'(),

よって|gy'()|≦1/2 for ∀:|xa|≦rです。

 

平均値の定理により,∀1,2:|xia|≦r(i=1,2)に対して,

|gy(1)-gy(2)|≦(1/2)|x12|が成立します。

 

特に,|xa|≦rなら,|gy()-y()|≦r/2,

また|gy()-a||-1()|≦r/2,

つまり|gy()-a|≦rです。

 

しかも |y(1)-y(2)|≦(1/2)|x12|より,y()はUr()の閉包の上では縮小写像ですから,

 

縮小写像定理によって,Ur()の閉包の中に*y(*), or

(*)を満たす*が一意的に存在します。

 

上のは固定していましたが,これは任意なので,

 

λr()の閉包における任意のに対して,Ur()の閉包の中に一意的なが存在して()が成立することが示されました。

 

そして,+A-1(()-A-1(())より,

|xa||gy()-y()||-1(()-)|

|-1||()-b|+(1/2)|xa|です。

 

よって,|f()-b|≧(λ/2)|xa|であり,|xa|≧rなら

|f()-b|≧λr/2です。

 

そこで,()で∈Uλr()なら∈Ur()ですから,

"∈Uλr()⇒∈Ur()"の関係は,の一意性により1対1対応であることがわかります。

 

ここで,U≡{∈Ur()|f()∈Uλr()}とおけば,

の連続性からUは開集合であり,V≡(U)とおくと,

明らかにはU→Vの上への写像になります。

 

結局,φ:V→Uなるの逆写像φ-1が存在することがわかります。

 

そこで,Vも開集合であることを証明するために,0∈Vを取ります。

 

既に示したことから,0(0)を満たす0∈Uが存在しますが,

Uは開集合なので|x0|<η⇒∈Uなるη>0 が存在します。

 

ところが,先に導いた|f()-b|≧(λ/2)|xa|と同じく,

|x0|(2/λ)|f()-0|=(2/λ)|y0|ですから,

 

|y0|<λη/2なら|x0|<ηより,

∈U,すなわちf()∈V,つまり∈Vが成立します。

 

よってVも開集合です。

 

最後に,φ-1がVの上で1級写像であることを示しましょう。

 

∈Ur()⇒|A-'()|≦λ/2<λ=1/|-1|から

'()も可逆であることがわかります。

 

実際,微分係数'()というのは線形写像を意味するのですが,

 

Tを,XからXへの|A-T|<λ=1/|-1|を満たす任意の線形写像とすると,|(A-T)A-1||A-T||-1|1なので,

 

δ≡|A-T||-1|とおけば 0<δ<1であり,

|Σk=nm{(A-T)A-1}k|≦δn/(1-δ)→ 0 となります。

 

そして,Xの完備性により,Xの上の線形写像全体から成る線形空間:L(X)も完備ですから,極限:W≡Σn=0{(A-T)A-1}nが存在してW(X)となります。

 

それ故,∀∈Xに対し≡A-1とすると,

 

{A-(A-T)}={I-(A-T)A-1}W

Σn=0{(A-T)A-1}nΣn=1{(A-T)A-1}n

となることがわかります。

 

さらに,Tは1対1であることも示せるので,結局Aが可逆で,かつ

|A-T|<λ=1/|-1|なら,Tも可逆ということになるからです。 

 

そこで,B≡'()-1とするとBは有界です。

 

y,∈V,φ(),φ()-φ()とおけば,

()-()='()()です。

 

ただし,|r()|/|h|→ 0 as |h|→ 0です。

 

それ故,B+B():φ()-φ()=B-B()

ですが,λ|h|/2≦|k|なので ,||0 なら|h|→ 0 です

 

したがって,φ'(y)が存在してφ'(y)=B='(φ())-1です。

 

そして,'()が"連続=有界"でありφも連続故,合成写像φ'も"連続=有界"ですから,結局φ-1はVの上で1級写像です。(証明終わり)

 

※これは大学の物理学科3年のときに数学科の2年の解析学の講義にもぐりこんで取ったノ-トに基づいているので特に種本はありません。

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