バナッハ空間における逆写像定理

　今日は解析学の課題として完備なノルム空間であるバナッハ空間(Banach)における"逆写像定理(＝逆関数定理:Inverse-function Theorem)"を証明してみたいと思います。

　まず,逆写像定理という定理の意味ですが,これは次の命題のことです。

"ＸをBanach空間としＥ⊂ＸをＸにおける開集合とする。そして,ｆをＥ→ＸのＣ¹級写像とし,ａ∈Ｅ,ｂ＝ｆ(ａ)とする。

　さらに,線形写像:Ａ≡ｆ'(ａ)は可逆(invertible),つまり,点ａにおけるｆの微分係数Ａ＝ｆ'(ａ)は全単射で逆写像;Ａ^-1を持つ,とする。"

(定理の仮定)

(※もしも,Banach空間ＸがＲⁿであれば,可逆とはｆ'(ａ)のJacobi行列式(Jacobian)がゼロでないことを意味します。※）

　このとき,"ａ∈Ｕ⊂Ｅ,ｂ∈Ｖを満たすＸの開集合:Ｕ,Ｖが存在して,

(1)ｆ:Ｕ→Ｖは全単射 (2)ｆ^-1はＣ¹級写像となる。"(定理の結論)

　というものです。

　これを証明するためには２つの補題:「縮小写像定理(contraction lemma)or 不動点定理」と「平均値の定理」が必要です。

　縮小写像定理(不動点定理)とは,

　"(Ｅ,ｄ)を完備な距離空間(complete metric space)とする。

　ｆがＥ→Ｅの縮小写像である(0＜^ヨＫ＜1:ｄ(ｆ(ｘ),ｆ(ｙ))≦Ｋｄ(ｘ,ｙ) for ∀ｘ,ｙ∈Ｅ)なら,ｆ(ｘ)＝ｘを満たすｘ∈Ｅが存在して一意的である。"

　という定理です。

　この定理の結論での一意的(unique)なｘのことを不動点と言います。

　これの証明は簡単です。

　任意のｘ₀∈Ｅを取り,これを基に,ｘ₁＝ｆ(ｘ₀),ｘ₂＝ｆ(ｘ₁),..,ｘ_n＝ｆ(ｘ_n-1),..と点列{ｘ_n}を逐次的に定義すると,

　ｄ(ｘ₂,ｘ₁)＝ｄ(ｆ(ｘ₁),ｆ(ｘ₀))≦Ｋｄ(ｘ₁,ｘ₀)...より,

　帰納的にｄ(ｘ_n+1,ｘ_n)≦Ｋⁿｄ(ｘ₁,ｘ₀)が成り立うことがわかります。

　そこで,ｍ＞ｎのときにはｄ(ｘ_m,ｘ_n)≦{Ｋⁿ/(1－Ｋ)}ｄ(ｘ₁,ｘ₀)→ 0 as ｍ,ｎ→ ∞ です。

　つまり{ｘ_n}はCauchy列になります。

したがって,(Ｅ,ｄ)の完備性から,∃ｘ∈Ｅ:ｄ(ｘ,ｘ_n)→ 0 です。

ところで,0＜^ヨＫ＜1:ｄ(ｆ(ｘ),ｆ(ｙ))≦Ｋｄ(ｘ,ｙ) for ∀ｘ,ｙ∈Ｅ であり,ｆはＥの上で一様連続なので,

ｎ→ ∞に対してｆ(ｘ_n)→ ｆ(ｘ)となります。

他方,ｄ(ｆ(ｘ_n),ｘ_n)≦Ｋⁿｄ(ｘ₁,ｘ₀)が成立しますから,

ｎ→ ∞の極限では,ｄ(ｆ(ｘ),ｘ)＝0,つまりｆ(ｘ)＝ｘです。

もしも,これ以外に不動点ｘ'があれば,ｄ(ｘ,ｘ')＝ｄ(ｆ(ｘ),ｆ(ｘ'))≦Ｋｄ(ｘ,ｘ')＜ｄ(ｘ,ｘ'),つまりｄ(ｘ,ｘ')＜ｄ(ｘ,ｘ')となって明らかに矛盾です。

よって不動点ｘは一意的です。(証明終わり)

次に平均値の定理ですが,これは,

"ＸをBanach空間,Ｕ⊂ＸをＸにおける開集合,さらに凸集合とする。

そして,ｆをＵにおいてＣ¹級の写像とする。　

(※Banach空間というのは完備な線形ノルム空間です。

ノルム空間の距離空間としての距離ｄは,ノルム(norm)で与えられ,ノルムを|・|で表わすと,ｘとｙの距離はｄ(ｘ,ｙ)＝|ｘ－ｙ|です。※)

このとき,ｘ,ｙ∈Ｕに対しｖ＝ｘ＋ｔ(ｙ－ｘ)(0＜ｔ＜1)が存在して,

|ｆ(ｙ)－ｆ(ｘ)|≦|ｙ－ｘ|sup|ｆ'(ｖ)|が成立する。"

というのが平均値の定理です。

これの証明は,Ｆ(ｔ)≡ｆ(ｘ＋ｔ(ｙ－ｘ))とおけば,Ｆ'(ｔ)＝(ｙ－ｘ)ｆ'(ｘ＋ｔ(ｙ－ｘ))ですが,単純な実数関数の平均値の定理により

|Ｆ(1)－Ｆ(0)|＝|Ｆ'(ｃ)|なる 0＜ｃ＜1 が存在するので完了です。

(つまり実数値関数ｈ(ｔ)≡|Ｆ(ｔ)－Ｆ(0)|に平均値の定理を適用すればいいのですね。)

さて,いよいよ,逆写像定理の証明をします。

(証明) Ａ≡ｆ'(ａ)が可逆なのでＡ^-1が存在しますから,1/λ≡|Ａ^-1|とおきます。

ｆ'はＥの上で連続でＥは開集合なので,ｒ＞0 が存在して,

|ｘ－ａ|≦ｒなら,ｘ∈Ｅ,かつ|Ａ－ｆ'(ｘ)|≦λ/2,

つまり|Ｉ－Ａ^-1ｆ'(ｘ)|≦1/2を満たすようにできます。

(ここで線形写像のノルムも同じノルム記号を使っています。)

次に,|ｙ－ｂ|≦λｒ/2なるｙ∈Ｘを取り固定します。

ｇ_y(ｘ)≡ｘ＋Ａ^-1(ｙ－ｆ(ｘ)とおけば,ｇ_y'(ｘ)＝Ｉ－Ａ^-1ｆ'(ｘ),

よって|ｇ_y'(ｘ)|≦1/2 for ∀ｘ:|ｘ－ａ|≦ｒです。

平均値の定理により,∀ｘ₁,ｘ₂:|ｘ_i－ａ|≦ｒ(ｉ＝1,2)に対して,

|ｇ_y(ｘ₁)－ｇ_y(ｘ₂)|≦(1/2)|ｘ₁－ｘ₂|が成立します。

特に,|ｘ－ａ|≦ｒなら,|ｇ_y(ｘ)－ｇ_y(ａ)|≦ｒ/2,

また|ｇ_y(ａ)－ａ|＝|Ａ^-1(ｙ－ｂ)|≦ｒ/2,

つまり|ｇ_y(ａ)－ａ|≦ｒです。

しかも |ｇ_y(ｘ₁)－ｇ_y(ｘ₂)|≦(1/2)|ｘ₁－ｘ₂|より,ｇ_y(ｘ)はＵ_r(ａ)の閉包の上では縮小写像ですから,

縮小写像定理によって,Ｕ_r(ａ)の閉包の中にｘ^*＝ｇ_y(ｘ^*), or

ｙ＝ｆ(ｘ^*)を満たすｘ^*が一意的に存在します。

上のｙは固定していましたが,これは任意なので,

Ｕ_λr(ｂ)の閉包における任意のｙに対して,Ｕ_r(ａ)の閉包の中に一意的なｘが存在してｙ＝ｆ(ｘ)が成立することが示されました。

そして,ｘ＝ｘ＋Ａ^-1(ｙ－ｆ(ｘ)－Ａ^-1(ｙ－ｆ(ｘ))より,

|ｘ－ａ|≦|ｇ_y(ｘ)－ｇ_y(ａ)|＋|Ａ^-1(ｆ(ｘ)－ｂ)|

≦|Ａ^-1||ｆ(ｘ)－ｂ|＋(1/2)|ｘ－ａ|です。

よって,|ｆ(ｘ)－ｂ|≧(λ/2)|ｘ－ａ|であり,|ｘ－ａ|≧ｒなら

|ｆ(ｘ)－ｂ|≧λｒ/2です。

そこで,ｙ＝ｆ(ｘ)でｙ∈Ｕ_λr(ｂ)ならｘ∈Ｕ_r(ａ)ですから,

"ｙ∈Ｕ_λr(ｂ)⇒ｘ∈Ｕ_r(ａ)"の関係は,ｘの一意性により１対１対応であることがわかります。

ここで,Ｕ≡{ｘ∈Ｕ_r(ａ)｜f(ｘ)∈Ｕ_λr(ｂ)}とおけば,

ｆの連続性からＵは開集合であり,Ｖ≡ｆ(Ｕ)とおくと,

明らかにｆはＵ→Ｖの上への写像になります。

結局,φ:Ｖ→Ｕなるｆの逆写像φ≡ｆ^-1が存在することがわかります。

そこで,Ｖも開集合であることを証明するために,ｙ₀∈Ｖを取ります。

既に示したことから,ｙ₀＝ｆ(ｘ₀)を満たすｘ₀∈Ｕが存在しますが,

Ｕは開集合なので|ｘ－ｘ₀|＜η⇒ｘ∈Ｕなるη＞0 が存在します。

ところが,先に導いた|ｆ(ｘ)－ｂ|≧(λ/2)|ｘ－ａ|と同じく,

|ｘ－ｘ₀|≦(2/λ)|ｆ(ｘ)－ｙ₀|＝(2/λ)|ｙ－ｙ₀|ですから,

|ｙ－ｙ₀|＜λη/2なら|ｘ－ｘ₀|＜ηより,

ｘ∈Ｕ,すなわちｆ(ｘ)∈Ｖ,つまりｙ∈Ｖが成立します。

よってＶも開集合です。

最後に,φ≡ｆ^-1がＶの上でＣ¹級写像であることを示しましょう。

ｘ∈Ｕ_r(ａ)⇒|Ａ－ｆ'(ｘ)|≦λ/2＜λ＝1/|Ａ^-1|から

ｆ'(ｘ)も可逆であることがわかります。

実際,微分係数ｆ'(ｘ)というのは線形写像を意味するのですが,

Ｔを,ＸからＸへの|Ａ－Ｔ|＜λ＝1/|Ａ^-1|を満たす任意の線形写像とすると,|(Ａ－Ｔ)Ａ^-1|≦|Ａ－Ｔ||Ａ^-1|＜1なので,

δ≡|Ａ－Ｔ||Ａ^-1|とおけば 0＜δ＜1であり,

|Σ_k=n^m{(Ａ－Ｔ)Ａ^-1}^k|≦δⁿ/(1－δ)→ 0 となります。

そして,Ｘの完備性により,Ｘの上の線形写像全体から成る線形空間:Ｌ(Ｘ)も完備ですから,極限:Ｗ≡Σ_n=0^∞{(Ａ－Ｔ)Ａ^-1}ⁿが存在してＷ∈Ｌ(Ｘ)となります。

それ故,∀ｙ∈Ｘに対しｘ≡Ａ^-1Ｗｙとすると,

Ｔｘ＝{Ａ－(Ａ－Ｔ)}ｘ＝{Ｉ－(Ａ－Ｔ)Ａ^-1}Ｗｙ

＝Σ_n=0^∞{(Ａ－Ｔ)Ａ^-1}ⁿｙ－Σ_n=1^∞{(Ａ－Ｔ)Ａ^-1}ⁿｙ＝ｙ

となることがわかります。

さらに,Ｔは１対１であることも示せるので,結局Ａが可逆で,かつ

|Ａ－Ｔ|＜λ＝1/|Ａ^-1|なら,Ｔも可逆ということになるからです。 

そこで,Ｂ≡ｆ'(ｘ)^-1とするとＢは有界です。

y,ｙ＋ｋ∈Ｖ,ｘ＝φ(ｙ),ｈ≡φ(ｙ＋ｋ)－φ(ｙ)とおけば,

ｋ＝ｆ(ｘ＋ｈ)－ｆ(ｘ)＝ｆ'(ｘ)ｈ＋ｒ(ｈ)です。

ただし,|ｒ(ｈ)|/|ｈ|→ 0 as |ｈ|→ 0です。

それ故,Ｂｋ＝ｈ＋Ｂｒ(ｈ):φ(ｙ＋ｋ)－φ(ｙ)＝Ｂｋ－Ｂｒ(ｈ)

ですが,λ|ｈ|/2≦|ｋ|なので ,|ｋ|→ 0 なら|ｈ|→ 0 です。

したがって,φ'(y)が存在してφ'(y)＝Ｂ＝ｆ'(φ(ｙ))^-1です。

そして,ｆ'(ｘ)が"連続＝有界"でありφも連続故,合成写像φ'も"連続＝有界"ですから,結局φ≡ｆ^-1はＶの上でＣ¹級写像です。(証明終わり)

※これは大学の物理学科３年のときに数学科の２年の解析学の講義にもぐりこんで取ったノ－トに基づいているので特に種本はありません。

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                  TOSHI

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